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FCTUC/EngBiomedica/ADC/2007 1

CAPÍTULO 3

DINÂMICA DOS SISTEMAS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS

Objectivos

Modelo: equações diferenciais• Resolução de equações diferencias ?• Transformada de Laplace !

Função de Transferência• Plano complexo• Estabilidade• Resposta transitória e estacionária• Sistemas de primeira e segunda ordem

Indice3.1 Modelização: equações diferenciais3.2 Transformada de Laplace

• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade reposta natural

3.4 Função de Transferência• Estabilidade reposta forçada• Pano complexo• Polos: resposta transitória• Zeros

3.5 Resposta temporal de sistemas lineares• Sistemas de primeira ordem• Sistemas de segunda ordem• Sistemas de ordem superior

Indice3.1 Modelização: equações diferenciais3.2 Transformada de Laplace

• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Polos e zeros• Polinómio característico• Plano complexo• Estabilidade resposta natural

3.4 Função de Transferência• Estabilidade resposta forçada• Plano complexo• Polos• Zeros

3.5 Resposta temporal de sistemas lineares• Sistemas de primeira ordem• Sistemas de segunda ordem• Sistemas de ordem superior

Do capítulo 2 …

….. como ???

Indice3.1 Modelização: equações diferenciais

3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Polos e zeros• Polinómio característico• Plano complexo

O problema ?

Resolução de uma equação diferencial

Resolução de uma equação algébrica

Transformada de Laplace

domínio s

domínio t

Solução no domínio s

domínio sManipulações

Transformada Inversa

A Solução !

Solução no domínio temporal

domínio tMétodo normal

algébricas

3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade

Transforma Laplace

( )f t ( )F sL

∫∞

−==0

)()()]([ dtetfsFtfL st

Algumas transformadas

3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares

• Propriedades da TLP• Linearidade• Derivação • Integração• Deslocamento• Teorema Valor inicial e final

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade

Linearidade

Derivação

Integração

Deslocamento

Deslocamento temporal

Teoremas valor inicial e final

Utilidade da Transformada?

Se a entrada (força) for igual a f=5 qual a saída (posição) ?

Resolução de uma equação diferencial !

Está calculada a saída !

Algumas transformadas

ConcluindoConcluindo, a determinação da saída torna-se num problema de fácil resolução • a resolução de uma eq. diferencial transforma-se na

resolução de uma eq. algébrica

No entanto obteve-se a solução em Y(s)Em termos práticos apenas nos interessa y(t)

Será possível usando Y(s), calcular y(t) ?

Para tal recorre-se à inversa da transformada de Laplace.

O problema ?

Resolução de uma equação diferencial

Resolução de uma equação algébrica

Transformada de Laplace

domínio s

domínio t

Solução no domínio s

domínio sManipulações

Transformada Inversa

A Solução !

Solução no domínio temporal

domínio tMétodo normal

algébricas

Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade

Resolução equações diferenciais

Y =Yzi + Yzs

Efeito das condições iniciais

Efeito da entrada externa

Função de Transferência

3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais

• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade

Problema da inversa resolvido !Uso de transformada inversa !

Problema resume-se a decomposição em fracções parciais

Cálculo dos residuos (raizes denominador)

• Raizes simples

• Raizes Multiplas

• Raizes complexas conjugadas

Inversa

Raizes Simples

Raizes de multiplicidade r

Raizes complexas

Matlab: residuesExemplo de Scripts em MatLab

%---------- factores simples - estritamente propria-----num=1;den=[1 3 2]; %---- den=(s+1)(s+2)[A,P,Ao]=residue(num,den);

%---------------------------------- output ------A=[ -1 1 ]P=[ -2 -1 ]Ao=[ ]

Matlab: residues

%--------- factores simples - bipropria ----------------num=[1 0 -9];den=[1 0 -1]; %---- den=(s+1)(s-1)[A,P,Ao]=residue(num,den);

%---------------------------------- output ------A=[ 4 -4]P=[ -1 1]Ao=1

Matlab: residues

%---------- factor de multiplicidade 3 --------------num=1;den=[1 3 3 1 ]; %---- den=(s+1)3

[A,P,Ao]=residue(num,den);

%---------------------------------- output ------A=[ 1 -2 -8]P=[ -1 -1 -1]Ao=[ ]

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais

• Polinómio característico • Estabilidade da resposta natural

Polinómio característico e modos do sistema

Se entrada nula, Y = Yzi, resposta não-forçada ou resposta natural

Polinómio característico

Modos (característicos)

A resposta natural é uma combinação linear dos modos

Os coeficientes da combinação linear dependem das condições iniciais

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico

• Estabilidade resposta natural

Estabilidade (resposta natural)

Modos (característicos)

Se um dos modos tender para infinito, a resposta natural tende para infinito, o sistema diz-se instável

Condição necessária e suficiente de estabilidade:

• Se as raízes do polinómio forem todas menores que zero

• Se as raízes do polinómio forem menores que zero excepto uma (e só uma) que pode ser zero

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