ESPAÇO DE ESTADOS · 2007-03-22 · 4.4 Resolução equações de estado ... Exemplo 1 No modelo...

ADC/LEB/FCTUC/20071

Capítulo 4

ESPAÇO DE ESTADOS

ADC/LEB/FCTUC/20072

Objectivos do capítulo

Espaço de estados

Plano de fase

Estabilidade• valores próprios

Sistemas não lineares• linearização

ADC/LEB/FCTUC/20073

Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Domínio temporal• Trasnformada de Laplace

4.5 Estabilidade4.6 Estados de equilibrio• Linearização

4.7 Conclusões

ADC/LEB/FCTUC/20074

Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Domínio temporal• Trasnformada de Laplace


4.7 Conclusões

ADC/LEB/FCTUC/20075

M y B y Ky u•• •

+ + =

Exemplo 1

No modelo do músculo da rã suspenso (Cap. 3) obteve-se a equação diferencial de 2ª ordem

Pode-se reduzir a duas de 1ª ordem, por substituição de variáveis:

1 2 x y x y•

y

B

u(Bruce)

ADC/LEB/FCTUC/20076

1 1 2

2 2

2 2 1

1( )

1ou seja

x y x y x

B Kx y x y y y y u

M M MB K

x x x uM M M

• •

•• • • •• •

•

⇒ = =

⇒ = = = − − +

= − − +

1 2

2 2 1

1

0 1 0

1

x x

B Kx x x u

M M M

x x uK B

M M M

•

•

•

=

= − − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x Ax Bu•

= +

ADC/LEB/FCTUC/20077

O que queremos observar ?

Isto é qual é a saída ?

A posição y ?

Neste caso a saída é y e portanto

[ ] [ ]1 1 21 0 0 1 0 0y x x x u x u

y Cx Du

= = + + = +

= +y Cx Du= +

ADC/LEB/FCTUC/20078

( ) ( ) ( )L LV t aV t bP t•

+ =

Exemplo 2

No modelo de inspiração-expiração pulmonar

O que queremos observar ?

V ? Nesse caso x1 é a saída

0

y x

y x u

== +

( )x V u P t

x ax bu•

= − +

x Ax Bu•

= + y Cx Du= +

ADC/LEB/FCTUC/20079

Exemplo 3 Metabolismo da glucose

1 2

3 4

( )

( )

: desvio do nível da glucose do seu valor recomendado

: desvio do nível da insulina do seu valor recomendado

: taxa exper

dgm g m h J t

dtdh

m h m g K tdt

g

h

J

= − − +

= − + +

1 2 3 4

imental de infusão de glucose

: taxa experimental de infusão de insulina

, , , , constantes características de cada indiví o.du

K

m m m m

ADC/LEB/FCTUC/200710

1 21 1 1 1 1 1

4 3 2 2 2 2 22

1 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 0

m mx x u y x u

m m x u y x ux

•

•

⎡ ⎤ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

1 2

1 2

1 1 2 2

11 1 2 2 1 1 1

24 1 3 2 2

Estados:

Entradas: ( ) ( )

Sáidas:

x g x h

u J t u K t

y x y x

dxm x m x u y x

dtdx

m x m x udt

=

= =

= − − + =

= + − + 2 2 y x=

x Ax Bu•

= +y Cx Du= +


Exemplo 4 No modelo de Lotka-Volterra

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

dx tax t bx t y t

dtdy t

cy t px t y tdt

= −

= − +

1 2

11 1 2

22 1 2

(presas) (predadores

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) (

)

)

= −

= − +

dx tax t bx t x t

dtdx t

cx t px t x tdt

x x x y


1 1 21

2 1 22

( , )

( , )

•

•

=

=

x f x x

x f x x

( )x f x•

=

Sistema não linear autónomo (sem entrada exógena)

1 1 21

1 1 22

•

•

= −

= − +

x ax bx x

x cx px x


Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Trasnformada de Laplace• Domínio temporal


4.7 Conclusões


Caso geral

1 1 ( ), ... ( ), ... , (( ), ( ), ), =in mi x t x t

dxf u t t

dttu

1 1 ( ), ..., ( ( ), ..., ( )), ( ,) ( ) =i i mnxy t x tt t u tt g u

n variáveis de estado

x1 x2 … xn

u1

u2

um

y1

y2

yr

•

0 ( , ), ( ) 0

( , )

x f x u x t x

y g x u

= =

=


Equação de estado•

0 ( , ), ( ) 0x f x u x t x= =

( , )y g x u=Equação de saída

Caso linear

Caso linear

•

0 , ( ) 0x Ax Bu x t x= + =

y Cx Du= +


•

0 , ( ) 0x Ax Bu x t x= + =

B Integrador C

A

+

Condições iniciais

(memória)

D

+

+x•

x yu

y Cx Du= +

Caso linear


Vantagens / Desvantagens

FunFunçção de Transferênciaão de Transferência• Para uma entrada e uma saída• Representação Incompleta (não inclui condições iniciais)• Sistemas lineares invariantes (LTI-linear time invariant)• Domínio complexo s

EquaEquaçção de Estadoão de Estado• Para várias entradas e várias saídas• Representação Completa (condições iniciais são

consideradas)• Aplicável a sistemas não lineares e variantes• Possível de representar no domínio temporal t


Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Trasnformada de Laplace• Domínio temporal


4.7 Conclusões


x1 ' = - 2 x1 + 3 x2 + ux2 ' = - 0.5 x1 + 2 x2

u = 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x2

Plano de fase e curvas de fase

x1

x2


Plano de fase e curvas de fase

X1 posição

X2

velocidade

y

B

u(Bruce) XO


Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Domínio temporal • Transformada de Laplace


4.7 Conclusões


Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Domínio temporal• Transformada de Laplace


4.7 Conclusões


Resolução da equação de estado no domínio temporal

Parte homogénea

•

, (0) 0x Ax Bu x x= + =

•

0 , (0) x Ax x x= =

Exemplo•

0 , (0) (uma variável de estado)x ax x x= =

0

0 0

( ) . de facto,

( )

at

at at

x t e x

x x ae a x e ax•

=

= = =


•

0 , (0) ( variáveis de estado)x Ax x x n= =

0( ) . ????Atx t e x=

… e se A for uma matriz ?

2 32 31 ... ...

2! 3! !

kat kt t t

e at a a ak

= + + + + + +

2 32 31 ... ...

2! 3! !

kAt kt t t

e At A A Ak

= + + + + + +


0( ) ( )x t t x= Φ

Matriz de transição de estado, Φ(t)

Conhecida a condição inicial, para calcular o estado em qualquer instante futuro basta multiplicar o estado inicial pela matriz de transição de estado nesse instante;

isto é, esta matriz transita o estado inicial para o instante t, e daí o seu nome.


-1-1 1 0

0

( ) ... 0 n nn

I A

Q a a a

λ

λ λ λ λ

− =

= + + + + =

Valores próprios de A: raízes da sua equação característica

Vectores próprios à direita de A: vectores v tais que

Vectores próprios à esquerda de A: vectores w tais que

Polinómio característico da matriz A

0 [ ] 0T T T T Tw w A w w A w I Aλ λ λ= ⇔ − = ⇔ − =

0 [ ] 0v Av v Av I A vλ λ λ= ⇔ − = ⇔ − =


Estrutura própria da matriz A (caso de valores próprios distintos)

Conjunto dos

Valores próprios λi

Vectores próprios

à direita vi

à esquerda wi

1 1

n nT

i i i i ii i

A v w Zλ λ= =

= =∑ ∑A matriz A pode ser reconstruída a partir da sua estrutura

própria (caso n valores próprios distintos)

Matrizes Constituintes

de A


1

1

1 1 2 2

( ) . . (0)

. . (0) . (0). ... . . (0)

j

c n

nt T

j jj

t tt T T Tn n

x t e v w x

e v w x e v w x e v w x

λ

λ λλ

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + +

∑

1

. j

ntAt T

j jj

e e v wλ

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Pelo Teorema das Matrizes Constituintes

e portanto


Exemplo

y

B

u(Bruce)


Exemplo


Exemplo


Exemplo


Solução da equação de estado completa

x Ax Bu•

= +

( )

0

( ) (0) ( )

( )

tAt A t

zi zs

x t e x e Bu d

x t x x

τ τ τ−= +

= +

∫



Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Domínio temporal

• Transformada de Laplace4.5 Estabilidade4.6 Estados de equilibrio• Linearização

4.7 Conclusões


Resolução da equação de estado

-pela transformada de Laplace



Exemplo


Exemplo


Exemplo


Exemplo


Indice

4.1 Exemplos4.2 Caso Geral4.3 Plano de fase4.4 Resolução equações de estado• Transformada de Laplace• Domínio temporal


4.7 Conclusões


0( ) ( )x t t x= Φ

Matriz de transição de estado, Φ(t)

Valores próprios - vectores próprios (esquerda/direita)

2 32 31 ... ...

2! 3! !

kAt kt t t

e At A A Ak

= + + + + + +

0( ) . = Atx t e x

1

. j

ntAt T

j jj

e e v wλ

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑


Este resultado diz-nos que, para uma dada condição iniciala trajectória temporal do estado é uma soma ponderada de exponenciais dos valores própriosda matriz A ( os termos eλt) . são os vectores próprios que estabelecem os coeficientes de ponderação.

Se existe um λi real positivo lim i t

te λ

→ ∞= ∞

… e o sistema é instável em relação às condições iniciais!!!

Estabilidade ?


Condição necessária e suficiente de estabilidade às condições iniciais:

• Que todos os valores próprios de A tenham parte real negativa ou nula, mas neste caso só pode haver um (de parte real nula).


Indice



4.7 Conclusões


Estados de equilíbrio de sistemas não-lineares

( , )x f x u•

=

0 ( , ) 0x f x u•

= ⇔ =

( , ) 0S Sf x u =

( , )s s sy g x u=


•

1 1 2

•

2 2 1 2

- 2

( - )

x x x u

x x x x

= +

=

1

2

1

1

2

0

s S

s S

x u

x u

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemplo

x1 ' = x1 + x2 - 2 ux2 ' = x2 (x1 - x2)

u = 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x2

0•

=x


Indice



4.7 Conclusões


Linearização em torno dos estados de equilíbrio

Série de Taylor

1 1 11 1

( ,...) ( , )

+ termos de ordem superior= =

∂ ∂+ ∆ = + ∆ + ∆

∂ ∂∑ ∑n m

i ii s i s k k

k kk k

f ff x x f x x u

x u

1 1 11 1

( ,...) g ( ,...)

+ termos de ordem superior= =

∂ ∂+ ∆ = + ∆ + ∆

∂ ∂∑ ∑n m

i ii s i s k k

k kk k

g gg x x x x u

x u


1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

n

n n

n x u

f f

x x

A

f f

x x

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

m

n n

m x u

f f

u u

B

f f

u u

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

n

p p

n x u

g g

x x

C

g g

x x

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

m

p p

m x u

g g

u u

D

g g

u u

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Definindo os Jacobianos


( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

x f x u y g x u

x x f x x u u y y g x x u u

x x f x u A x B u y y g x u C x D u

•

• •

• •

= =

+ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆

+ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆

Substituindo na série de Taylor

•

x A x B u

y C x D u

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆


•

1 1 2 1 2

•

2 2 1 2

- 2

( - )

x x x u y x x

x x x x

= + =

=

1 1

1s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemplo

2 2 1

2 1

[1,1]

[1,1]

1 1 B=[-2]

2

[ ] D=[0]

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦

=

Ax x x

C x x

2 2

0s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 1

2

[2,0]

[2,0]1

1 1 B=[-2]

2

[ ] D=[

0]

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦

=

Ax x x

C x x


1 1

1s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 B=[-2]

1 1

[1 1] D=[0]

A

C

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

2 2

1s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 B=[-2]

0 2

[2 1] D=[0]

A

C

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

eig(A) = [ -1.411.41]

eig(A) = [ 12 ]


Os estados de equilíbrio são um pontos sela e um nó instável

x1 ' = x1 + x2 - 2 ux2 ' = x2 (x1 - x2)

u = 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x2

Alcançam que ponto de equilibrio?

Depende das condições iniciais!


Exemplo •2

1 1 2

•2

2 2

( -1)

( - 2)

x x u y x

x x u

= − =

= −

2 21 1 1

2 22 2 2

( -1) 0 ( -1) ( -1)

( - 2) 0 ( - 2) ( - 2)

x u x u x u

x u x u x u

− = ⇔ = ⇔ = ±

− = ⇔ = ⇔ = ±

1 1

2 2

( -1) = 1

( - 2) = 2

S S

S S

x u x u

x u x u

⇔ = ± ⇔ ±

⇔ = ± ⇔ ±

1

2

1 [2,3]

[0,1]

TS S

TS

u x

x

= ⇔ =

=


1

2

= 1

= 2

S S

S S

x u

x u

±

±

1 2 3 3

1

2 2 0 0

3 1 3 1

2 0 2 0 2 0 2 0

0 2 0 2 0 2 0 2

nó instável ponto sela

S

S S S S

u

x x x x

A A A A

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ponto sela nó estável


x1 ' = (x1 - 1)2 - ux2 ' = (x2 - 2)2 - u

u = 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-2

-1

0

1

2

3

4

x1

x2


Indice



4.7 Conclusões


Conclusão

A representação de estado aplica-se de igual modo aos sistemas• lineares e não lineares, variantes ou invariantes.

No caso linear obtém-se uma representação matricial. • As propriedades dinâmicas do sistema são dependentes dos

valores próprios da matriz de estado, tal como são dependentes dos pólos da função de transferência na representação no domínio complexo

Os sistemas não lineares podem ter zero, um ou vários estados de equilíbrio para a a mesma entrada. • Alcançam um ou outro conforme as condições iniciais.

Aproximando as funções de estado e de saída pela série de Taylor nos pontos de equilíbrio, desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se um sistema linearizado.

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