Cia da Matemática

Logarítmos Decimais

A criação

A necessidade faz a descoberta

• Durante os estudos de equações exponenciais precisávamos colocar ambos os membros na mesma base ou não conseguíamos resolver o problema.

Relembrar também é viver...

• Lembre:

• 2x = 8

• 2x = 23

• x = 3

• Assim, S={3}

Imagine calcular:

2x = 5• Desta vez não conseguimos colocar na

mesma base e portanto o problema ficaria sem solução

• ??? ??? ???

Histórico

A invenção dos logarítmos

• Quando surgiu?– Final da idade Média – Séculos XIV a XVI

• Onde Surgiu? – Europa Ocidental

O mundo da época

• Está saindo da Idade Média

• O feudalismo está acabando

Transformações mundiais

• Políticas

• Sociais

• Econômicas

• Culturais

• Artísticas

• Científicas

Esta série de transformações culturais ocorridas no mundo,

ficou conhecida como...

Renascimento

Renascimento

• Época das grandes navegações

• Mitos colocados abaixo

• Desenvolvimento da navegação

• Desenvolvimento da Astronomia

• Os cálculos matemáticos começaram a ficar longos e trabalhosos...

Renascimento

• O verdadeiro renascentista humanista tem o dever do conhecer múltiplo– Música– Geometria– Astronomia– Artes – Arítmética

• Collegium Poetarum et Mathematicorum

Literatura

Os Lusíadas

As armas e os barões assinalados, Que da ocidental praia Lusitana, Por mares nunca dantes navegados Passaram além da Taprobana, Em perigos e guerras esforçados, Mais do que prometia a força humana, E entre gente remota edificaram, Novo reino, que tanto sublimaram.

Renascimento e Navegação

• O cálculo do posicionamento das “naves” do século XVI através dos estudos de trigonometria, auxiliou as grandes navegações.

• Um dos grandes avanços foi a utilização de velas triangulares nas caravelas.

Artes, ciências, engenharia...

• Nomes famosos como:– Leonardo Da Vinci– Michelângelo– Maquiavel– Giotto– Shakespeare

Leonardo Da Vinci

O ideal renascentista do polímata

Leonardo Da Vinci

• Artista

• Contador de anedotas

• Músico

• Cientista

• Matemático

• Engenheiro

Leonardo Da Vinci

• Um homem de muitos talentos, com uma insaciável curiosidade e sede de conhecimento.

• Nasceu em Anchiano, vilarejo da cidade de Vinci em 15 de abril de 1452

• Viveu principalmente em Florença, Milão

Leonardo Da Vinci

• Não se dizia pintor, mas sim engenheiro:– Sistemas de aquecimento– Dreno de pântanos– Confecção de mapas– Sistema de canais– etc

Leonardo Da Vinci

• A Virgem e o Menino com Sant’Ana

• 1508-10

A Mona Lisa

• Obra mais famosa• Foi pintada na época

de maior produção• Concluída em 1508• Obedece

rigorosamente a padrões matemáticos.

Leonardo Da Vinci

• Trabalhou ainda com o Rei da França

• Foi para Roma a convite do Papa Leão X.

• Instalou-se no Belvedere do Vaticano, mas não gostava da agitação dos artistas do país, inclusive da incontestável posição de Michelângelo em Roma, resultante do seu trabalho na Capela Sistina

• Morreu em 2 de maio de 1519, em Cloux

Michelângelo

Renascentista humanista

Michelângelo

• Outro grande renascentista

• Como todo renascentista também atuava em outras áreas.

Capela Sistina

A Criação

Forçando a descoberta

• A esta altura dos acontecimentos, os matemáticos necessitavam criar operações que simplificassem os cálculos.

• Lembre-se que:– Não haviam computadores ou calculadoras

Os inventores

• Primeiros a solucionarem os problemas – Joost Bürgi– John Neper

• Criaram uma tabela que facilitava os cálculos

• Tal tabela ficou conhecida como:

TÁBUA DE LOGARÍTMOS DECIMAIS

Comparação de Sucessões de Bürgi

• Aritmética 0 1 2 3 ...

• Geométrica a0 a1 a2 a3 ...

• Na base 10

• Aritmética 0 1 2 3 ...

• Geométrica 100 101 102 103 ...

• Resultado 1 10 100 1000 ...

Utilização dos logarítmos

log x música

Escala musical

• A escala musical possui intervalos de semitons em escala logarítmica.

• Isto é fácil de ser observado pela própria curvatura existente nos instrumentos de corda

• Verifica-se também quando mede-se as distâncias dos trastes de um violão.

Teoria

Característica

• log 1• log 10• log 100• log 1000

= 0 = 1 = 2 = 3

• É esperado que log de 5 seja um número compreendido entre 0 e 1

• É esperado que log de 50 seja um número compreendido entre 1 e 2

Característica

• Se log 10 = 1

• Se log 100 = 2

• Então log 50 = 1,????

Característica

• A este número, facilmente encontrado, chamamos de característica.

• Assim, a característicca do log 5000

• é 3.

Aplicação 01

• Qual a característica dos seguintes logarítmos:

• log 3

• log 20

• log 785

• log 1234567

Característica

• log 100• log 10• log 1• log 0,1• log 0,01

= 2 = 1 = 0 = -1 = -2

• É esperado que a característica do log 0,3 seja -1

• Espera-se também que seja um número compreendido no intervalo [ -1 , 0 ]

Característica

• Quando a base de um logarítmo está compreendida entre 0 e 1

• 0 < x < 1

• A característica é igual ao número de zeros que o número apresenta antes do primeiro algarismo não nulo

Aplicação 02

• Calcule a característica de cada um dos logarítmos abaixo

• log 0,8

• log 0,0045

• log 0,0103

Característica e mantissa

• Observemos o que uma calculadora fornece sobre:

• log 50 = 1,6989...

– CARACTERÍSTICA MANTISSA

Mantissa

• A mantissa de um logarítmo pode ser fornecido por calculadoras ou tábuas.

Tábua de logarítmos

n 0 1 2 3 4 ... 9

10 0000 0043 0086 0128 0170 ... 0374

11 0414 0453 0492 0531 0569 ... 0755

12 0792 0828 0864 0899 0934 ... 1106

13 ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... ...

20 3010 3032 3054 3075 3096 ... 3201

21 3222 3243 3263 3284 3304 ... 3404

... ... ... ... ... ... ... ...

99 9956 9961 9965 9969 9974 ... 9996•

Mantissa

• Alguns detalhes não podem passar despercebidos: – log 5 = 0,6989– log 50 = 1,6989– log 500 = 2,6989– log 5000 = 3,6989

• Note que a mantissa permaneceu a mesma enquanto a característica foi modificada

Característica e Mantissa

• Log 300 pode ser escrito como:

• log 100 . 3 =

• = log 100 + log 3 =

• = 2 + 0,4771 =

• = 2,4771

• Característica 2 e mantissa 0,4771

Característica e mantissa

• Chega-se à conclusão que:

• O log de um número pode ser dado por

• Característica + Mantissa

• C + M

Observe o que acontece

• Log 0,005

• C = -3 M = 0,6989

• C + M = -3+0,6989 = -2,3011

Forma preparada ou mista

• Quando calculamos log 0,005 = -2,3011,

• perde-se a mantissa.

• Esta forma é chamada de forma negativa.

• Utilizando a forma mista, pode-se escrever:

• log 0,005 = 3,6989

Aplicação 03

• Se log 21=1.3222, calcule log 0,021

Resolução:

M = 3222

C = -2

Forma mista: 2,3222

Forma negativa -2 + 0,3222 = -1,6778

Aplicação 04

Passe para a forma preparada ou mista,

log 0,07 = -1,1549

Resolução:

Característica -2

Mantissa: 1- 0,1549=0,8451

Daí: 2,8451

Logarítmos neperianos

• Nome em homenagem ao seu criador

• Tudo o que foi visto continua válido

• A base deixa de ser 10 e passa a ser e

• Pode-se simplificar a escrita utilizando-se a nomenclatura: ln

Aplicação 05

Calcule x em 2x=5.

Resolução:

Passando para a forma logarítmica log25

Mudando para base 10...

log 5 / log 2 =

= 0,6989 / 0,3010 =

= 2,3219

Aplicação 06

Ao nível do mar, a pressão atmosférica é de 760mm Hg.

Essa pressão varia com a altura, de acordo com a fórmula

h=18400.log(750/P) h em metros

P em mm Hg

Considere log 3=0,5. A que altura do nível do mar a pressão é de 250 mm Hg?

Aplicação 06

Resolução:

P = 250 mm Hg. Substituindo...

h = 18400. log 750/P

h = 18400. log 750/250

h = 18400. log 3

h = 18400. 0,5

h = 9200m

Resumo

Logarítmos decimais

• log x = C + M

• se x >1, C é dado pelo n de dígitos -1

• se 0<x<1, - C = n de zeros (“antes”)

• M é retirado de tabelas ou fornecido por calculadoras

Fontes de Consulta

• Fotos e pesquisas internet– Sites:

• Vaticano

• Nasa

• Memorial Ayrton Senna

• Museu do Louvre

• Leonardo Da Vinci

• http://www.cytelecom.com.br/luciana/pintores.htm

Fontes de Consulta

• Revista Superinteressante• Revista Nova Escola• Matemática e Vida• Fundamentos da Matemática Elementar• Os Fundamentos da Física - Ramalho• Enciclopédia Barsa• Enciclopédia Conhecer• Descobrindo a Trigonometria - Ática - CD