apostila logarítmos, exponenciais e funções

Matemática Farmácia - FAG logaritmos e Funções

Definição de logaritmo

sendo b>0 ,a>0 e a1

a= base do logaritmob= logaritmando ou antilogaritmox= logaritmo

Conseqüências da definição

Sendo b>0 ,a>0 e a1 e m um número real qualquer, temos a seguir algumas conseqüências da definição de logaritmo:

Propriedades operatórias dos logaritmos

1) Logaritmo do produto: (a>0, a1, x>0 e y>0)

2) Logaritmo do quociente: (a>0, a1, x>0 e y>0)

3) Logaritmo da potência: (a>0, a1, x>0 e m )

Caso particular: como , temos:

Cologaritmo

Chamamos de cologaritmo de um número positivo b numa base a (a>0, a1) e indicamos cologa b o logaritmo inverso desse número b na base a

(a>0, a1 e b>0)

1


Mudança de base

Em algumas situações podemos encontrar no cálculo vários logaritmos em bases diferentes. Como as propriedades logarítmicas só valem para logaritmos numa mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma única base conveniente. Essa conversão chama-se mudança de base. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se:

Resolvendo problemas com logaritmos

Exemplo 1

Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que, caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada multa de R$ 2,00 que dobraria a cada dia de atraso. Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais?

Solução:

A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande.Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x. Veja:

1 dia de atraso x=1 multa = 21 = 2 2 dias de atraso x=2 multa = 22 = 43 dias de atraso x=3 multa = 23 = 8e assim por diante.

Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica. Devemos calcular em que dia essa multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação: 2x =1 000 000

Para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados:

log 2x = log 1 000 000

log 2x = log 106

Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência:

x . log 2 = 6 log 10

Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301, temos agora, uma equação de 1ºgrau:

x . 0,301 = 6

2


x = = 19,93

Assim, concluímos que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais.

EXEMPLO 2

Um construtor deseja fazer um reservatório de água para conter 5000 litros e que tenha a forma de um cubo. Quanto deve medir o lado desse cubo?

Solução:

Um cubo é uma caixa que tem comprimento, largura e altura iguais.

O volume de uma caixa é o produto de suas dimensões: comprimento x largura x altura. Logo, se o lado do cubo mede a seu volume será a . a .a = a3. Por outro lado, sabemos que 1m3 é igual a 1000 litros. Portanto, se essa caixa deve conter 5000 litros, seu volume será 5m3. Devemos então resolver a equação:

a3 = 5

O valor de a será a medida em metros do lado desse cubo. Aplicando logaritmo dos dois lados e, em seguida, a propriedade da potência temos:

log a3 = log 53.loga = log 5

Como log 5 = 0,699:

3.log a = 0,699

log a =

log a = 0,233

Como agora sabemos que o logaritmo de a é igual a 0,233, devemos descobrir o valor de a . Sabemos que:

então

10 0,233 = aa = 1,71

Dessa forma, o construtor saberá que construindo um reservatório de água com a forma de um cubo de 1,71 m de lado, ele terá a capacidade de conter 5000 litros de água.

EXEMPLO 3

Em certo país, a taxa de inflação é igual todos os meses, mas no final de um ano verificou-se que os preços dobraram. Qual é a taxa mensal de inflação nesse país?

3


Solução:

Suponhamos que a taxa mensal de inflação seja i. Se hoje um produto custa x, custará daqui a um mês x (1 + i). Dentro de dois meses custará x (1 + i)2 e assim por diante. No final de um ano, esse preço será x (1 +i )12 . Como sabemos que o preço será também o dobro do valor inicial, temos a equação:

x (1 + i) 2 = 2x

ou

(1 + i)12 = 2

Para calcular o valor da taxa i, aplicamos o logaritmo aos dois lados da nossa equação:

log(1+i)12 = log2

12. log (1 + i) = 0,301

log (1+i) = 0,301 12

log (1 + i) = 0,0251

Então, temos uma equação de 1º grau:

10 0,0251 = 1+ i1,06 = 1+ ii = 1,06 – 1

i = 0,06 = 6% (aproximadamente)

Portanto, a inflação mensal que faz os preços dobrarem em um ano é de aproximadamente 6%.

EXEMPLO 4

Pela evaporação, um reservatório perde, em um mês, 10% da água que contém. Se não chover, em quanto tempo a água se reduzirá a um terço do que era no início?

Solução:

Vamos chamar de x a quantidade de água que temos no reservatório. Em um mês essa quantidade será

.

Em dois meses será x .0,92 e assim por diante. Logo, depois de n meses, a quantidade de água no reservatório

será x .0,9n. Desejamos então calcular n para que esse valor seja igual a , ou seja, um terço do que era no

início.

Para calcular n vamos aplicar o logaritmo nessa equação e usar as propriedades da potência e da razão.

log 0,9 n = log

n . log 0,9 = log

4


n . log = log

Veja que log 1 = 0, log 10 = 1, log 3 = 0,4771 e log 9 = 0,9542.

Substituindo esses valores e aplicando a propriedade da divisão dos logaritmos, temos, novamente uma equação de 1º grau:

n (0,9542 - 1) = 0 - 0,4774

n (-0,0458) = - 0,4774

n = = 10,42

Assim, temos 10 meses e uma fração (0,42) que é quase a metade.Como 0,42.30 dias = 12,6 dias, dizemos que em 10 meses e 13 dias a água do reservatório terá se reduzido a um terço do que era no inicio.

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

2) Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b) c) d)

3) Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b) c) d)

4) O número real x, tal que , é

(A)

(B)

(C)

(D)

5


(E)

5) (PUCRS) Escrever , equivale a escrever

(A) (B)

(C)

(D)

(E)

6) Se , o valor de é:

(A) -2 (B) -1 (C) 0

(D) 1 (E) 2

7) (PUCRS) A solução real para a equação , com a>0, a≠1 e b>0, é dada por

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

GABARITO

04 - A 05 - A 06 - B 07 - E

6


EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais:1) 3x =81 (a solução é x=4)2) 2x-5=16 (a solução é x=9)3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;2º) aplicação da propriedade:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) 3x=81Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34

E daí, x=4.

2) 9x = 1Resolução: 9x = 1 9x = 90 ; logo x=0.

5) 23x-1 = 322x

Resolução: 23x-1 = 322x 23x-1 = (25)2x 23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,de onde x=-1/7.

6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:32x–6.3x–27=0 (3x)2-6.3x–27=0Fazendo 3x=y, obtemos:y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’=-3 e y’’=9Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:y’=-3 3x’ = -3 não existe x’, pois potência de base positiva é positivay’’=9 3x’’ = 9 3x’’ = 32 x’’=2

Portanto a solução é x=2

EXERCÍCIOS1.Resolva em as equações:

7


FUNÇÃO

O que é uma função

É comum no dia-a-dia situações como as seguintes:1) O custo para colocar combustível em um carro dependerá do preço desse produto.2) O crescimento de uma planta dependerá da quantidade de fertilizante aplicada ao solo.

Analisando a linguagem matemática da primeira situação, verifica-se que, como o preço varia de acordo com o local onde se abastece, ele será denominado variável x; já o custo é uma função de x. Dessa forma, a cada preço x, este irá corresponder a um e somente um valor denominado f(x).

Observa-se, entretanto, que f(x) também é uma variável, porém uma variável dependente de x; assim, x será denominada variável independente.

Definição:Uma quantidade é uma função de outra quando, para cada quantidade da variável independente x, corresponde a um único valor denominado f(x). O conjunto no qual os valores de x podem ser tomados é chamado de domínio da função, e o conjunto dos valores que f assume para cada x é denominado imagem da função.

Representações de funções

Uma função pode ser representada no mínimo de três formas: tabelas, gráficos ou equações.

Funções Crescente e Decrescente

Definição:Função crescente é aquela cujo o valor aumenta quando aumenta o valor da variável, ou seja:

Função decrescente é aquela cujo o valor diminui quando aumenta o valor da variável, ou seja:

Função de 1º grau

DefiniçãoChama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear. O coeficiente a será também chamado de taxa de variação.

GráficoO gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Dada uma função linear f(x) = ax + b, Se a > 0, o gráfico será inclinado para a direita, ou seja, será um função crescente; Se a < 0, o gráfico será inclinado para a esquerda, ou seja, será uma função decrescente; Se a = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja, será uma função constante.

Os gráficos a seguir ilustram essas possibilidades:

8


Funções quadráticas

DefiniçãoChama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

GráficoO gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

ObservaçãoA quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas, ou seja, a curva intercepta o eixo x em dois pontos. quando é zero, há só uma raiz reais, isto é a curva intercepta uma vez o eixo x. quando negativo, não há raiz real, ou seja a curva não intercepta o eixo x.

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

:

Em qualquer caso, as coordenadas de V são .

1

9

a > 0

a < 0


Exercícios1. Observe os gráficos e relacione os mesmos com as respectivas funções:

a. f(x)=x³-4

b. g(x)=5

c. h(x)=2x+3

d. t(x)=x²-2

2. Sejam as funções f(x)=2x-4 e g(x)=3x+a. Se f(1)-g(0)=6, quanto vale f(2)+5g(7)=?

3. Em cada gráfico, analise o intervalo de crescimento e de decrescimento.

a) f(x)=x³ b) g(x)=x² c) h(x)=3x-15 d) f(x)=-2x

4. Dada a função tal que , calcule:

a) b) c) d)

5. - Determinar o domínio da função .




9. – Construa o gráfico de cada uma das funções a seguir, e determine as coordenadas dos pontos de intersecção de cada gráfico com os eixos Ox e Oy.

a) b) c) d)

10. Construa o gráfico das seguintes funções e determine o domínio e a imagem:

a) d)

b) e)

10


c) f)

11. Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com , em que S indica a posição

do corpo (em metros) no instante t (segundos). Construa o gráfico de S em função de t.

12. Considere a função definida por ; sem construir o gráfico, responda

a) Qual é a figura do gráfico de f?

b) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo x?

c) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo y?

d) f é função crescente ou decrescente?

13. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50

por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:

a) Escreva a função que fornece o custo total;

b) Calcule o custo de 100 peças.

14. Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P

(em watts) que um certo gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação , em que

i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, determine o número de watts que

expressa a potência P quando i = 3 ampères.

15. Atribuindo para x os valores –1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5, construa o gráfico da função definida por

. A seguir, responda com base no gráfico ou na lei da função.

a) A concavidade fica para cima ou para baixo?

b) Qual é o vértice dessa parábola?

c) Em que ponto a parábola intersecta o eixo y?

d) Em quantos pontos ela intersecta o eixo x? Quais são esses pontos?

e) Essa função é crescente ou decrescente?

f) Qual é a imagem dessa função?

g) Determine se são maiores, menores ou iguais a zero.

h) Existe x tal que ? Em caso positivo, determine x?

16. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e (0, 4) e tem vértice

no ponto (2,-4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:

a) b) c)

17. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t

segundos após o chute, seja dada por , determine:

a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?

b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

18. Determine o vértice, os pontos que interceptam os eixos Ox e Oy, o valor máximo (mínimo), o domínio e

a imagem das seguintes funções:

a) d) g)

b) e) h)

c) f)

19. é a função quadrática definida por .

11


é a função quadrática cujo gráfico é:

A partir desses dados, responda com relação à f e com

relação à g:

a) A concavidade da parábola da função fica para baixo

ou para cima?

b) Qual é o vértice da parábola

c) Qual é domínio e qual é a imagem da função?

d) A função tem valor máximo ou valor mínimo? Diga

qual é.

e) A função possui raízes? Quais são?

f) Em que ponto a parábola corta o eixo y?

g) Em que pontos a parábola intersecta o eixo x?

h) Determine f(4) e g(4).

i) O ponto (7, 18) pertence ou não à parábola da função?

20. A assinatura de um plano de celular custa R$ 34,50, o que inclui a cobrança de 100 minutos. Além

disso, o consumidor paga R$ 0,08 para cada minuto excedente.

a. Quanto o consumidor pagaria pela conta, utilizando 82 minutos em um mês? E se utilizasse 300

minutos?

b. Um consumidor pagou R$53,00 pela sua conta telefônica. Quantos minutos esse consumidor utilizou?

c. Escreva a lei de formação da função que representa esta situação.

d. Se esse consumidor têm três celulares com o mesmo plano, qual é o valor mínimo gasto em um mês?

21.

Respostas

1. 1C,2D,3A,4B

2. 65

3.

4. a) 13 b)1 c)1/4 d)-1

5.

6.

7.

8.

9. Gráfico

10. Gráfico

11. Gráfico

12. a) reta b) c) (0, -3) d) crescente

13. a) b) R$ 58,00 14. 15 watts

12


15. a) Para cima b) (2, -4) c) (0, 0) d) Em dois pontos: (0, 0) e (4, 0) e)Crescente

para x 2 e decrescente para x 2. f)

g) h) Sim, 3 e 1

16. b 17. a) 3 s b) 9 m

18. a) V(1, -4) b) V(-1, 0) c) d) V(3, -9) e) V(5, 9) f) V(0, -4) g) V(2, -1) h)

19. Para f(x) a) Para cima b) c) d) Valor mínimo:

e) Sim: 4 e 1 f) (0, 4) g) (1, 0) e (4, 0) h) 0 i) Pertence

Para g(x) a) Para baixo b) c) d) Valor máximo: 4

e) Sim: 1 e 5 f) (0, -5) g) (1, 0) e (5, 0) h) 3 i) Não pertence

17. a) R$ 34,50, R$50,50b) 331,25 minutos c)

d)103,50

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