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Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 4
15 de maio de 2013
Parte 4 Cálculo Aplicado I 1
Novas funções a partir de antigas:operações com funções
Parte 4 Cálculo Aplicado I 2
Operações com funções
Sejam f : Df → R e g : Dg → R duas funções reais. Definimos asfunções soma f + g, diferença f − g, produto f · g e quociente f/g daseguinte forma:
(f+g)(x) = f (x)+g(x), com Df+g = Df ∩ Dg(f−g)(x) = f (x)−g(x), com Df−g = Df ∩ Dg(f · g)(x) = f (x) · g(x), com Df · g = Df ∩ Dg(f /g)(x) = f (x)/g(x), com Df / g = {x ∈ Df ∩ Dg | g(x) 6= 0}.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 3
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 4
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 5
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 6
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 7
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 8
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 9
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 10
Exemplo: soma
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 1 +√
x − 2 + x − 3 = x − 2 +√
x − 2,
Df+g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 11
Exemplo: diferença
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f − g)(x) = f (x)− g(x) = 1 +√
x − 2− (x − 3) = 4− x +√
x − 2,
Df−g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 12
Exemplo: diferença
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f − g)(x) = f (x)− g(x) = 1 +√
x − 2− (x − 3) = 4− x +√
x − 2,
Df−g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 13
Exemplo: diferença
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f − g)(x) = f (x)− g(x) = 1 +√
x − 2− (x − 3) = 4− x +√
x − 2,
Df−g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 14
Exemplo: diferença
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f − g)(x) = f (x)− g(x) = 1 +√
x − 2− (x − 3) = 4− x +√
x − 2,
Df−g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 15
Exemplo: diferença
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f − g)(x) = f (x)− g(x) = 1 +√
x − 2− (x − 3) = 4− x +√
x − 2,
Df−g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 16
Exemplo: diferença
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f − g)(x) = f (x)− g(x) = 1 +√
x − 2− (x − 3) = 4− x +√
x − 2,
Df−g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 17
Exemplo: produto
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f · g)(x) = f (x) · g(x) = (1 +√
x − 2) · (x − 3),
Df ·g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 18
Exemplo: produto
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f · g)(x) = f (x) · g(x) = (1 +√
x − 2) · (x − 3),
Df ·g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 19
Exemplo: produto
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f · g)(x) = f (x) · g(x) = (1 +√
x − 2) · (x − 3),
Df ·g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 20
Exemplo: produto
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f · g)(x) = f (x) · g(x) = (1 +√
x − 2) · (x − 3),
Df ·g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 21
Exemplo: produto
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f · g)(x) = f (x) · g(x) = (1 +√
x − 2) · (x − 3),
Df ·g = Df ∩ Dg = [2,+∞).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 22
Exemplo: quociente
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f/g)(x) = f (x)/g(x) =1 +√
x − 2x − 3
,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = [2,+∞)− {3}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 23
Exemplo: quociente
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f/g)(x) = f (x)/g(x) =1 +√
x − 2x − 3
,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = [2,+∞)− {3}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 24
Exemplo: quociente
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f/g)(x) = f (x)/g(x) =1 +√
x − 2x − 3
,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = [2,+∞)− {3}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 25
Exemplo: quociente
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f/g)(x) = f (x)/g(x) =1 +√
x − 2x − 3
,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = [2,+∞)− {3}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 26
Exemplo: quociente
f (x) = 1 +√
x − 2, g(x) = x − 3.
Df = [2,+∞), Dg = R.
(f/g)(x) = f (x)/g(x) =1 +√
x − 2x − 3
,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = [2,+∞)− {3}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 27
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 28
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 29
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 30
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 31
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 32
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 33
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 34
Cuidado!
f (x) = x , g(x) = x .
Df = R, Dg = R.
(fg
)(x) =
f (x)g(x)
=xx= 1,
Df/g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg | g(x) = 0} = R− {0}.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 35
Revisão: funções da formax elevado a menos n
Parte 4 Cálculo Aplicado I 36
Revisão: funções da forma x elevado a menos n
Parte 4 Cálculo Aplicado I 37
Revisão: funções da forma x elevado a menos n
y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x 6= 0
(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.
(2) Se 0 < x < 1, então1xn <
1xn+1 .
(3) Se 1 < x , então1
xn+1 <1xn .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 38
Revisão: funções da forma x elevado a menos n
y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x 6= 0
(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.
(2) Se 0 < x < 1, então1xn <
1xn+1 .
(3) Se 1 < x , então1
xn+1 <1xn .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 39
Revisão: funções da forma x elevado a menos n
y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x 6= 0
(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.
(2) Se 0 < x < 1, então1xn <
1xn+1 .
(3) Se 1 < x , então1
xn+1 <1xn .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 40
Revisão: funções da forma x elevado a menos n
y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x 6= 0
(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.
(2) Se 0 < x < 1, então1xn <
1xn+1 .
(3) Se 1 < x , então1
xn+1 <1xn .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 41
Revisão: funções da forma x elevado a menos n
y = f (x) = x−n =1xn , com n ∈ N e x 6= 0
(1) f é uma função par se n é um número par e f é uma funçãoímpar se n é um número ímpar.
(2) Se 0 < x < 1, então1xn <
1xn+1 .
(3) Se 1 < x , então1
xn+1 <1xn .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 42
Revisão: funções da forma x elevado a α
Parte 4 Cálculo Aplicado I 43
Novas funções a partir de antigas:composição de funções
Parte 4 Cálculo Aplicado I 44
Composição de funções
Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 45
Composição de funções
Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Definição
(entrada) (saída)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 46
Composição de funções
Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Definição
(entrada) (saída)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 47
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√
x) = (√
x)2 + 3 = x + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 48
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√
x) = (√
x)2 + 3 = x + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 49
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√
x) = (√
x)2 + 3 = x + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 50
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√
x) = (√
x)2 + 3 = x + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 51
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√
x) = (√
x)2 + 3 = x + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 52
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√
x) = (√
x)2 + 3 = x + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 53
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√
x2 + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 54
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√
x2 + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 55
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√
x2 + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 56
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√
x2 + 3.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 57
Exemplo
f (x) = x2 + 3, g(x) =√
x .
(f ◦ g)(x) = x + 3, (g ◦ f )(x) =√
x2 + 3.
Moral: (em geral) f ◦ g 6= g ◦ f .A operação de composição de funções não é comutativa!
Parte 4 Cálculo Aplicado I 58
Identificando composições
h(x) = (x2 + 1)10 = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = x10 e g(x) = x2 + 1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 59
Identificando composições
h(x) = (x2 + 1)10 = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = x10 e g(x) = x2 + 1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 60
Identificando composições
h(x) = tg(x5) = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = tg(x) e g(x) = x5.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 61
Identificando composições
h(x) = tg(x5) = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = tg(x) e g(x) = x5.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 62
Identificando composições
h(x) =√
4− 3 x = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) =√
x e g(x) = 4− 3 x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 63
Identificando composições
h(x) =√
4− 3 x = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) =√
x e g(x) = 4− 3 x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 64
Identificando composições
h(x) = 8 +√
x = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = 8 + x e g(x) =√
x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 65
Identificando composições
h(x) = 8 +√
x = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = 8 + x e g(x) =√
x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 66
Identificando composições
h(x) = 1/(x + 1) = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = 1/x e g(x) = x + 1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 67
Identificando composições
h(x) = 1/(x + 1) = (f ◦ g)(x)
onde
f (x) = 1/x e g(x) = x + 1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 68
Funções inversíveis
Parte 4 Cálculo Aplicado I 69
Funções inversíveis
Dizemos que uma função f : D → C é inversível se existefunção g : C → D tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x , para todo x ∈ D
e(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x , para todo x ∈ C.
Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos:
g = f−1.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 70
Funções inversíveis
Dizemos que uma função f : D → C é inversível se existefunção g : C → D tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x , para todo x ∈ D
e(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x , para todo x ∈ C.
Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos:
g = f−1.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 71
Exemplo
Parte 4 Cálculo Aplicado I 72
Exemplo
Parte 4 Cálculo Aplicado I 73
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 74
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 75
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 76
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 77
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 78
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 79
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 80
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 81
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 82
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 83
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 84
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 85
Exemplo
A função
f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1
é inversível, pois
g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2
é tal que
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R
e
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.
Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 86
Cuidado
Cuidado!
f−1(x) e (f (x))−1
denotam objetos diferentes!
f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .
(f (x))−1 é igual a 1/f (x).
No exemplo anterior,
f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 87
Cuidado
Cuidado!
f−1(x) e (f (x))−1
denotam objetos diferentes!
f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .
(f (x))−1 é igual a 1/f (x).
No exemplo anterior,
f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 88
Cuidado
Cuidado!
f−1(x) e (f (x))−1
denotam objetos diferentes!
f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .
(f (x))−1 é igual a 1/f (x).
No exemplo anterior,
f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 89
Cuidado
Cuidado!
f−1(x) e (f (x))−1
denotam objetos diferentes!
f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .
(f (x))−1 é igual a 1/f (x).
No exemplo anterior,
f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 90
Cuidado
Cuidado!
f−1(x) e (f (x))−1
denotam objetos diferentes!
f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .
(f (x))−1 é igual a 1/f (x).
No exemplo anterior,
f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 91
Observações
Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.
Aprenderemos mais adiante novas ferramentas para estudar se umafunção é inversível (localmente).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 92
Observações
Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.
Aprenderemos mais adiante novas ferramentas para estudar se umafunção é inversível (localmente).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 93
Observações
Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.
Aprenderemos mais adiante novas ferramentas para estudar se umafunção é inversível (localmente).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 94
Observações
Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.
Aprenderemos mais adiante novas ferramentas para estudar se umafunção é inversível (localmente).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 95
Observações
Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.
Aprenderemos mais adiante novas ferramentas para estudar se umafunção é inversível (localmente).
Parte 4 Cálculo Aplicado I 96
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 97
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 98
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 99
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 100
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 101
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 102
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 103
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 104
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 105
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 106
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 107
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 108
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 109
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 110
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 111
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 112
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 113
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 114
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 115
O gráfico da função inversa
Seja f uma função real inversível.
Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.
Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 116
O gráfico da função inversa
(Ir para o GeoGebra)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 117
O gráfico da função inversa
Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido
fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 118
O gráfico da função inversa
Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido
fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 119
O gráfico da função inversa
Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido
fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 120
O gráfico da função inversa
Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido
fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 121
O gráfico da função inversa
Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido
fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 122
O gráfico da função inversa
Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .
Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido
fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .
Parte 4 Cálculo Aplicado I 123
Funções injetivas, sobrejetivas ebijetivas
Parte 4 Cálculo Aplicado I 124
Funções injetivas
Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).
Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 125
Funções injetivas
Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).
Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 126
Funções injetivas
Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).
Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 127
Funções injetivas
Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).
Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 128
Funções injetivas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 129
Funções injetivas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 130
Funções injetivas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 131
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 132
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 133
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 134
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 135
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 136
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 137
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 138
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 139
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 140
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 141
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 142
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 143
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 144
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 145
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 146
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 147
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 148
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 149
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 150
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 151
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 152
Exercício
Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.
Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que
f (x1) = f (x2).
Temos que
f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2
2 ⇒ x21 − x2
2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.
Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 153
Funções sobrejetivas
Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 154
Funções sobrejetivas
Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 155
Funções sobrejetivas
Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 156
Funções sobrejetivas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 157
Funções sobrejetivas
(Ir para o GeoGebra)
Parte 4 Cálculo Aplicado I 158
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 159
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 160
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 161
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 162
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 163
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 164
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 165
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 166
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 167
Exemplo
Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.
Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que
f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1
2.
Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 168
Atenção!
Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva
é bem mais complicado!
Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 169
Atenção!
Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva
é bem mais complicado!
Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 170
Atenção!
Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva
é bem mais complicado!
Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.
Parte 4 Cálculo Aplicado I 171
Funções bijetivas
Dizemos que f : D → C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 172
Funções bijetivas
Dizemos que f : D → C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva.
Definição
Parte 4 Cálculo Aplicado I 173
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1
é bijetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 174
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1
é bijetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 175
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1
é bijetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 176
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 177
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 178
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 179
Funções bijetivas
f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 180
Funções bijetivas
f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 181
Funções bijetivas
f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 182
Funções bijetivas
f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 183
Funções bijetivas
f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 184
Funções bijetivas
f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 185
Funções bijetivas
f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 186
Funções bijetivas
f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.
x
y
0
Parte 4 Cálculo Aplicado I 187
Proposição
f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,
1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,
2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .
Proposição
A demonstração pode ser encontrada no livro A Matemáticado Ensino Médio de Lima et al!
Parte 4 Cálculo Aplicado I 188
Proposição
f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,
1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,
2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .
Proposição
A demonstração pode ser encontrada no livro A Matemáticado Ensino Médio de Lima et al!
Parte 4 Cálculo Aplicado I 189
Proposição
f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,
1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,
2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .
Proposição
A demonstração pode ser encontrada no livro A Matemáticado Ensino Médio de Lima et al!
Parte 4 Cálculo Aplicado I 190
Proposição
f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,
1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,
2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .
Proposição
A demonstração pode ser encontrada no livro A Matemáticado Ensino Médio de Lima et al!
Parte 4 Cálculo Aplicado I 191
Proposição
f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,
1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,
2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .
Proposição
A demonstração pode ser encontrada no livro A Matemáticado Ensino Médio de Lima et al!
Parte 4 Cálculo Aplicado I 192