Aparecimento dos números complexos e equações do 4o grau

métodos e história

Fonte: Aulas do professorJoão Carlos Vieira Sampaio - UFSCar

Um aparente paradoxo

x0 = 4 é uma raiz

1 -150 -4

4 1

+4 1 0(algoritmo de Briot-Ruffini)

Portanto, a equação tem três raízes reais e distintas

Mas !!!

Rafael Bombelli (L’Algebra, 1572)

A fórmula de Cardano “esconde” raízes racionais

x0 = 1 é uma raiz

é raiz da equação

Buscando as demais raízes:

Aplicando Cardano:

Portanto,

François Viète, advogado francês (1540-1603)

Guerra contra a Espanha, século 16:Viète serviu ao rei francês Henri IV

1591: desenvolveu um método para calcular as três raízes reais da cúbica

quando o discriminante

é negativo

Decifrou o código usado pelos espanhóisem suas correspondências militares

O método de Viète para o caso indesejável de Cardano

será uma solução se tivermos

e

O método de Viète funciona se D < 0:

e

Obteremos k e satisfazendo

se tivermos

ou seja,

As três raízes da cúbica pelo método de Viète

e

Um exemplo

O conselho de Euler (Elementos de Álgebra, 1770)

são todas da forma p/q, sendo q um divisor de an e p um divisor de a0

o denominador q divide o coeficiente dominante, e o numerador p divide o coeficiente constante !

As raízes racionais de um polinômio de grau n, n 1, de coeficientes inteiros,

Procure primeiramente por raízes racionais!

Exemplo.

As raízes racionais só podem ser inteiros, divisores de -4.

Descobrimos então que

x0 = -2 é uma raiz:

o denominador q divide o coeficiente dominante, e o numerador p divide o coeficiente constante

Demais raízes:

1 -60 -4

-2 1 +-2 -2 0(algoritmo de Briot-Ruffini)

Raízes racionais de

As únicas possibilidades são: 1, 2, 4

O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

Um exemplo

se

o discriminante do segundo membro é

O discriminante do segundo membro é

é equivalente à equação

Quando temos e a equação torna-se

Temos então duas equações do 2o grau, dando asquatro raízes

e

O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

Calculamos t de modo a ter no segundo membro

Isto nos dará uma equação cúbica em t, da qual precisamos somente de uma raiz

O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

Calculando-se t de modo a ter no segundo membro

chegaremos a uma equação

Natureza das raízes da cúbica

r é real ou

com

(P e Q reais)

Natureza das raízes da cúbica

r é real ou

com

(P e Q reais)

duas ou todas as raízes são coincidentes, sendo todas reais com

as três raízes são reais e distintas entre si

Equações do quinto grau e além

Nos 250 anos que se seguiram, todos os esforços para resolver algebricamente a equação geral de 5o grau falharam.

Em 1786, E.S. Bring mostrou que a equação geral do 5o grau (equação quíntica) pode ser reduzida, por transformações algébricas, à equação

x5 - x - A = 0

Paolo Ruffini mostrou, em 1799, que uma solução geral da equação quíntica, por radicais, é impossível.

Em 1826, Niels Abel publicou uma prova satisfatória do teorema de Ruffini

fato repetido com a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois, em 1831.

Toda equação polinomial de grau n, n 1, com coeficientes reais ou complexos, possui uma raiz complexa.

O Teorema Fundamental da Álgebra

Enunciado, sem demonstração, por Albert Girard em 1629.

Jean D'Alembert, em 1746, e Carl Friedrich Gauss, em 1799, publicaram demonstrações deste teorema.

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