Post on 18-Oct-2015
CONTROLE DIGITAL
Introduo. Sistemas de tempo discreto, ou sistemas de dados amostrados, so sistemas
dinmicos em que uma ou mais variveis podem mudar apenas em instantes discretos de tempo.
Estes instantes, que denotaremos por kT ou tk (k=0,1,2,...) podem especificar o instante em que feita
alguma medida fsica ou o instante em que lida a memria de um computador digital, etc. O
intervalo de tempo entre dois instantes discretos considerado suficientemente pequeno, de tal forma
que os dados para os tempos entre estes instantes discretos podem ser aproximados por interpolao
simples.
Sistemas de tempo discreto diferem dos de tempo contnuo, em que os sinais para um sistema
de tempo discreto esto na forma amostrada.
Sistemas de tempo discreto ocorrem na prtica quando as medidas necessrias para o controle
so obtidas de forma intermitente, ou um controlador de larga escala ou computador multiplexado
no tempo entre vrios processos de tal forma que um sinal de controle mandado para cada processo
apenas periodicamente ou quando um computador digital usado para fazer as computaes
necessrias para controle. Muitos sistemas de controle industrial modernos so sistemas de tempo
discreto uma vez que invariavelmente incluem alguns elementos cujas entradas e/ou sadas so
discretas no tempo. s vezes, entretanto, a operao de amostragem, ou discretizao, pode ser
inteiramente fictcia e introduzida apenas para simplificar a anlise de um sistema de controle que na
realidade contm apenas elementos contnuos.
Sistemas discretos. Na maioria de sistemas que so estudados em sistemas de controle e
automao industrial, o tempo importante e os sinais relacionados com estes so funes do tempo.
Estas funes do tempo podem ser discretas ou contnuas, isto , estarem definidas para um nmero
contvel de pontos no eixo dos tempos ou para intervalos com infinitos pontos.
O ndice da bolsa do RJ (mdia dos ndices de cotao das diferentes aes da bolsa) um
sinal discreto, pois para cada dia tem-se um ndice.
I(k) = *8,3; 7,2; 5,0; +
A temperatura de um forno medida com termopar um sistema contnuo, pois para cada
instante ,0,) tem-se um dado valor de temperatura.
Os sistemas associados a sinais discretos so chamados de Sistemas Discretos e os associados
a sinais contnuos de Sistemas Contnuos. Muitas vezes, na prtica, sobretudo nos sistemas de
controle, trabalha-se com combinao de sinais e/ou sistemas contnuos e discretos. Ento para poder
analisar matematicamente estas combinaes, faz-se necessrio amostrar os sinais contnuos de
forma tal a construir seqncias que os representam. Este processo realizado colhendo amostras do
sinal contnuo em determinados instantes.
O sinal obtido dito sinal amostrado. Em geral este processo feito usando um intervalo T
entre amostras de valor constante. Este valor chamado de amostragem e sua inversa 1/T de
freqncia de amostragem.
() = (0)( = 0) + ()( = ) + (2)( = 2)
+ + ()( = )
CONVERSOR A/D
Amostra sinais analgicos ocorre em intervalos de tempo regulares, a cada T segundos.
Pode ser considerado como uma chave que fechada a cada T segundos por um intervalo
de tempo t.
f(t) sinal analgico.
f*(t) sinal digital.
Qualquer que seja a forma da funo de tempo contnuo, a sada digital uma seqncia
de impulsos.
Cada impulso na seqncia um impulso unitrio multiplicado pelo valor de f(t) naquele
instante de tempo.
Uma funo f*(t) que descreve a seqncia de pulsos para uma funo f(t) com perodo de
amostragem T pode ser escrita como:
Quando o processo de amostragem feito para obter uma representao discreta de um sinal
contnuo, deve se considerar quanta informao de sinal perdida nesse processo. De forma
intuitiva, pode-se afirmar que quanto mais prximas no tempo sejam as amostras, menos informao
ser perdida. Por outro lado, a utilizao de freqncias de amostragem muito altas eleva o custo
computacional e produz problemas de identificao.
Figura 1: Sinal amostrado
Quantizao. A incluso de um computador em um sistema analgico produz sinais em
forma digital (normalmente como nmeros binrios) em parte do sistema. O sistema ento toma a
forma de uma combinao mista digital-analgica. A introduo de um computador digital em um
sistema de controle requer o uso de conversores digital-analgico e analgico-digital. A converso de
um sinal analgico para o correspondente sinal digital (nmero binrio) uma aproximao porque o
sinal analgico pode assumir um nmero infinito de valores, ao passo que a variedade de diferentes
nmeros que podem ser formados por um conjunto finito de dgitos limitada. Este processo de
aproximao chamado de quantizao.
O processo de quantizao (converso de um sinal em forma analgica para um em forma
digital) pode ser ilustrado atravs da curva caracterstica da Figura abaixo. A gama de amplitudes de
entrada dividida em um nmero finito de intervalos disjuntos hi que no so necessariamente
iguais. Todas as amplitudes caindo dentro de cada intervalo so equacionadas a um valor nico
dentro do intervalo. Este valor nico a aproximao digital para as amplitudes do sinal de entrada
analgico. Portanto, se x a entrada analgica, a sada digital dada por y=Q(x), onde Q a funo
de quantizao.
Figura 2: Sinal quantizado
A operao de sistemas de controle digital envolve quantizao tanto em amplitude quanto
em tempo.
Sinal contnuo no tempo e em amplitude
Sinal contnuo no tempo e discreto em amplitude
Sinal discreto no tempo e contnuo em amplitude
Sinal discreto no tempo e discreto em amplitude
Sistema numrico binrio. O sistema numrico mais simples que usa notao posicional o
sistema numrico binrio. Como o prprio nome diz, um sistema binrio contm apenas dois
elementos ou estados. Num sistema numrico isto expresso como uma base dois, usando os dgitos
0 e 1. Esses dois dgitos tm o mesmo valor bsico de 0 e 1 do sistema numrico decimal.
Devido a sua simplicidade, microprocessadores usam o sistema binrio de numerao para
manipular dados. Dados binrios so representados por dgitos binrios chamados "bits". O termo
"bit" derivado da contrao de "binary digit". Microprocessadores operam com grupos de "bits" os
quais so chamados de palavras. O nmero binrio 1 1 1 0 1 1 0 1 contm oito "bits".
Notao Posicional. Tal qual no sistema numrico decimal, cada posio de "bit" (dgito) de
um nmero binrio tem um peso particular o qual determina a magnitude daquele nmero. O peso de
cada posio determinado por alguma potncia da base do sistema numrico.
Potncias de 2
20 = 110 25 = 3210
21 = 210 26 = 6410
22 = 410 27 = 12810
23 = 810 28 = 25610
24 = 1610 29 = 51210
Para calcular o valor total do nmero, considere os "bits" especficos e os pesos de suas
posies (a tabela abaixo mostra uma lista condensada das potncias de 2). Por exemplo, o nmero
binrio 110101 pode ser escrito com notao posicional como segue:
(1x25)+(1x24)+(0x23)+(1x22)+(0x21)+(1x20)
Para determinar o valor decimal ao nmero binrio 1101012, multiplique cada "bit" por seu
peso posicional e some os resultados.
(1x32)+(1x16)+(0x8)+(1x4)+(0x2)+(1x1) =
32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310
O "bit" mais a direita, chamado o bit menos significativo ou (LSB) tem o menor peso inteiro
de 20 = 1.
O "bit" mais a esquerda o bit mais significativo ou (MSB) pois ele comporta o maior peso
na determinao do valor do nmero neste caso, ele tem um peso de 25 = 32.
ENGENHARIA ELETRNICA OU ELETRO-ELETRNICA eletronorte Engenheiro de
Automao e Controle/Engenheiro de Manuteno Eletrnica NCE/UFRJ 2006
Letra D
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO ELETRNICA petrobras maio 2006
fundao cesgranrio
Tenso (V) Valor binrio
-4 0000
-3.5 0001
-3 0010
-2.5 0011
-2 0100
-1.5 0101
-1 0110
-0.5 0111
0 1000
0.5 1001
1 1010
1.5 1011
2 1100
2.5 1101
3 1110
3.5 1111
101001100010
Como 10 amostras percorreu 01 ciclo da
senide, 250 amostras (que durou 01
segundo) percorrer 25 ciclos. Ou seja, a
freqncia de 25 ciclos/s (Hz)
Letra B
SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL
Podem executar duas funes:
1) SUPERVISO (externa malha de realimentao): sincronismo de tarefas, monitorao de
valores fora da faixa de parmetros e a seqncia de interrupo em condies seguras de
operao.
2) CONTROLE (interna malha de realimentao): executa mtodos de compensao
implementados com controladores digitais.
VANTAGENS DO USO DE CONTROLADORES DIGITAIS:
1) Variaes na lei de controle de um controlador analgico requerem variaes de hardware,
enquanto que no controlador digital podem ser obtidas por mudanas no software.
2) Reduo do custo.
3) Alta imunidade rudo.
DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL
PROCESSO DE CONTROLE DIGITAL
1) Clock no controlador fornece um pulso a cada T segundos.
2) Para cada instante de tempo, o conversor A/D recebe um pulso e amostra o sinal de erro.
3) O sinal de erro, que varia de forma contnua, convertido pelo conversor A/D em um sinal
digital.
4) O erro amostrado a cada T segundos.
5) O controlador aplica a lei de controle, de acordo com o software.
6) A sada convertida em um sinal analgico por um conversor D/A e utilizado para atuar na
varivel da planta.
PROCESSO DE RECONSTRUO
CONVERSOR D/A: converte o sinal codificado em binrio, em algum instante do tempo,
em um impulso cuja amplitude est relacionada com o cdigo binrio.
A entrada, que era uma seqncia de sinais codificados em binrio, torna-se uma
seqncia de impulsos.
O tempo entre dois impulsos sucessivos igual ao perodo de amostragem T.
RECONSTRUTOR DE ORDEM ZERO = ZERO ORDER HOLD: a seqncia de
impulsos convertida em um sinal analgico com forma de degraus que se mantm
constantes durante o intervalo T.
Funo de transferncia: Ghoz(s) = (1 e-Ts) / s
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO ELTRICA PETROBRAS
DEZEMBRO 2005 FUNDAO CESGRANRIO
Letra D
TRANSFORMADA Z
Conceito. Ferramenta matemtica utilizada para o estudo dos sistemas de tempo discreto no domnio
da freqncia, que possibilita uma grande simplificao na anlise dos sinais e posterior
representao dos sistemas digitais.
Substituio: esT
= z (varivel complexa para operao com sistemas discretos)
Processo de transformao:
a) O sinal necessariamente conhecido nos instantes de amostragem e ignorado ou
irrelevante fora dos mesmos teremos uma sucesso de impulsos.
b) Calcula-se a transformada de Laplace F*(s) da sucesso de impulsos.
c) Faz-se a substituio de varivel esT
= z, que resulta numa srie de potncias em z-1
. Esta
funo resultante a transformada Z do sinal, para a qual usa-se a notao:
Z [ F(s) ] ou Z [ F*(s) ]
d) Funo descrevendo uma seqncia de impulsos:
f*(t) = f(0)(impulso em t=0) + f(1T)(impulso em t=1T) + f(2T)(impulso em t=2T) + ... +
f(kT)(impulso em t=kT)
e) Aplicando-se a transformada de Laplace:
de um impulso em t=0 1
de um impulso em t=T e-Ts
de um impulso em t=2T e-2Ts
de um impulso em t=kT e-kTs
Assim: { f*(t) } = F*(s) = f(0).1 + f(T).e-Ts
+ f(2T).e-2Ts
+...+ f(kT).e-kTs
f) Fazendo z = eTs
podemos simplificar e escrever como:
s = (1/T) . ln z
Ou ainda:
F*(s) s=(1/T)lnz = k=0 k=
f(kT) z-k
F(z) = F*(s) s=(1/T)lnz = f(0).z-0
+ f(T).z-1
+ f(2T).z-2
+..+ f(kT).z-k
onde: s = nmero complexo; z = nmero complexo tambm
Propriedades bsicas da Transformada z:
1) A multiplicao da funo no tempo por uma constante resulta na multiplicao da
transformada Z pela mesma constante: k.f(t) k.F(z)
2) A adio de duas funes no tempo resulta na adio de duas transformadas Z separadas:
[f1(t) + f2(t)] [F1(z) + F2(z)]
3) O teorema do valor final d o valor que ser alcanado pela funo de tempo amostrado,
isto , o valor em regime permanente: lim f(t)t = lim (z-1).F(z)z 1
4) O teorema do valor inicial d o valor que a funo no tempo tem quando (t = 0): lim f(t)t 0
= lim F(z)z
5) Se a funo no tempo deslocada por um intervalo kT, ento a transformada Z da funo
multiplicada por z-k
: Z[f(t - kT)] = z-k
F(z)
ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JNIOR (ELETRNICA) Termoau fundao
cesgranrio maio 2008
() = 1 + 2 + 4 +
2() = 2 + 4 +
() 2() = 1
() =1
1 2=
2
2 1
Letra C
Resoluo de Equaes de diferena
A resoluo de equaes diferena pelo mtodo da Transformada Z muito til, tal como a
soluo de equaes diferenciais por Transformadas de Laplace. Essencialmente, usando o mtodo
da Transformada Z, podemos transformar equaes de diferenas em equaes algbricas em z. A
seguir usaremos a notao simplificada x(k) para denotar x(kT).
Transformada z de x(k+1). A transformada z de x(k+1) dada por:
Z[x(k+1)]=zX(z)-zx(0)
onde X(z)=Z[x(k)].
Note que se x(0)=0, ento
Z[x(k+1)]=zX(z)
De uma forma geral,
Z[x(k+m)]=zmX(z)-z
mx(0) -z
m-1x(1) -z
m-2x(2) -z
m-3x(3)-... -zx(m-1)
Exemplo. Resolver a equao de diferenas usando o mtodo da transformada z
( + 2) + 3 ( + 1) + 2 () = 0 (0) = 0, (1) = 1
Tomando a transformada z em ambos os lados desta equao de diferenas, obtemos:
2() 2 (0) (1) + 3() 3 (0) + 2() = 0
Substituindo os dados iniciais e simplificando, temos:
() =
2 + 3 + 2=
( + 1)( + 2)=
+ 1
+ 2
Notando que
( ) =
temos:
,(1) - =
1, ,(2) - =
2
Portanto
() = (1) (2) ( = 0,1,2, )
ENGENHARIA ELETRNICA OU ELETRO-ELETRNICA eletronorte Engenheiro de Automao e Controle/Engenheiro de Manuteno Eletrnica NCE/UFRJ 2006
() = () + ()
( + 1) = () + ()
Tem-se que:
( + 1) = ( + 1) + ( + 1)
( + 1) = () + () + ( + 1)
( + 1) + () = () + ( + 1)
() + () = () + ()
Logo:
() = +
+ ()
Letra A
Engenheiro(a) de Equipamentos Jnior Eletrnica UnB/CESPE PETROBRAS 2007
107C
108C
109E
110E
116C
117E
118E
119C
() =0 + 1 + 1
()
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JNIOR ELETRNICA CESGRANRIO
PETROBRAS - 2010
Soluo:
Freqncia natural do sistema
= 50 /
Perodo natural:
= 2 =2
2
=
=2
50=6,28
50 =
6.280
50
Condio 1:
5=6.280
250 = 25
Letra A
() =52 7
( 2)( 1)
() =
2+
1
2 + 2 2 = 52 7
{ + = 5 + 2 = 7
= 3 = 2
() = 3
2+ 2
1
() = ,3 (2) + 2 (1)-()
Letra D
5() + 31() + 22() = 1()
31() 82() + 1() = ()
() + 31() + 82()= 5() + 31() + 22()
()
()=5 + 31 + 22
1 + 31 + 82
()
()=52 + 3 + 2
2 + 3 + 8
Letra E.
ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JNIOR ELETRNICA CESGRANRIO
PETROBRAS - 2011
Soluo:
=
4
25 =
4 =
1
100 = 10
Letra B
Soluo:
Letra D
Soluo:
= 8 /
2 = 8 = 0,5
=
3
= 3
81 .12/
2=
2 3
83 4
=
63=3
18
10
=3
180
Letra B
Soluo:
Letra A