CONTROLE DIGITAL

SINAIS E SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO

Jaime Alex Boscov

OBJETIVOS GERAIS

Apresentar os conceitos relacionados a sinais e sistemas em tempo discreto

Apresentar os conceitos de sinais e sequencias Descrever e definir sistemas em tempo discreto Apresentar as caractersticas principais de sistemas em

tempo discreto, como causalidade, invarincia no tempo e linearidade.

OBJETIVOS ESPECFICOS

BIBLIOGRAFIA

OPPENHEIM, Alan V; SCHAFER, Ronald W. Discrete-Time Signal Processing . 3. ed., Pearson, 2009.

OGATA, Katsuhiko. Discrete-Time Control Systems . 2. ed., Prentice Hall, 1995.

SINAL

REPRESENTA O COMPORTAMENTO DE ALGUM SISTEMA FSICO

REPRESENTADO MATEMATICAMENTE ATRAVS DE FUNES DE UMA OU MAIS VARIVEIS INDEPENDENTES

PROCESSAMENTO DE SINAIS

Representao,

Transformao e

Manipulao de sinais e de informaes contidas em sinais

TIPOS DE SINAIS

ANALGICOS (CONTNUOS)

TIPOS DE SINAIS

DISCRETOS(DIGITAIS)

REPRESENTAO DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO

SEQUENCIAS

x = {x[n]} - < n < , n inteiro

OBTENO DE SEQUENCIAS A PARTIR DE AMOSTRAGEM DE UM SINAL:

x[n] = xa(nT) - < n < , T = perodo de

amostragem

REPRESENTAO GRFICA

REPRESENTAO DE UMA VARIVEL NA FORMA DE UM SINAL CONTINUO E UM SINAL DISCRETO

OUTRO EXEMPLO

SINAIS DISCRETIZADOS COM DIFERENTES PERODOS DE AMOSTRAGEM

SINAL ANALGICOSINAL DISCRETIZADO

Operaes bsicas

Soma: soma amostra a amostra

Exemplo:

{3, 6, 8, 2, 4} + {5, 1, 0, 0, 1} = {8, 7, 8, 2, 5}

Multiplicao: multiplica amostra a amostra

Exemplo:

{3, 6, 8, 2, 4} x {5, 1, 0, 0, 1} = {15, 6, 0, 0, 4}

Multiplicao por um escalar: multiplica todas as amostras

Exemplo:

2 x {3, 6, 8, 2, 4} = {6, 12, 16, 4, 8}

Operaes bsicas

Deslocamento

Deslocamento ou atraso de uma sequencia:[] = [ 0]

Onde 0 um nmero inteiro.

[]

[] = [ 3]

SEQUENCIAS BSICAS

Impulso unitrio:

= 0, 0 = 1, =0

SEQUENCIAS BSICAS

Degrau unitrio:

= 1, 0 = 0,

Degrau unitrio

Pode ser interpretado como uma sequencia de impulsos deslocados.

= + 1 + 2 + 3 +...

=

Impulso

Pode ser interpretado como a subtrao de dois degraus deslocados

= 1

1

SEQUENCIAS BSICAS

=

Exponencial

Se 0 < < 1 > 0 !#$!%!&' ( %

Se > 1 ! ( %

SEQUENCIAS BSICAS

=cos( + )

Senoidal

SEQUENCIAS BSICAS

=cos( + )

Senoidal

Sinal peridico

Sinal peridico em tempo continuo:

% = % + 0 , 0operodofundamental

cos(% + )= cos(% + =>? + )

Sinal peridico em tempo discreto:

= + @ , #(%$'$#(@!%!($

cos( + )= cos ( + @) + cos( + )= cos + @) + Portanto

@ = 2(

=2( @

A discretizao de um sinal peridico no necessariamente cria um outro sinal peridico

A discretizao de um sinal peridico no necessariamente cria um outro sinal peridico

SEQUENCIAS

QUALQUER SEQUENCIA PODE SER REPRESENTADA PELA SOMA DE IMPULSOS ESCALADOS E DESLOCADOS NO TEMPO

= B [ ]C

COMBINAO DE SEQUENCIAS

EXEMPLO: exponencial que = 0 para n

SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO

TRANSFORMAO OU OPERAO QUE

MAPEIA UMA SEQUENCIA DE ENTRADA {x[n]} EM UMA SEQUENCIA DE SADA {y[n]}

y[n] = T{x[n]}

SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO

Sistemas em tempo discreto

Delay (atraso) ideal:

= F , < <

[]

[] = [ 3]

Acumulador:

= H

C

CARACTERSTICAS

QUANTO A MEMRIA

Sem memria: y[n] = T (x[n]), para cada valor de n

Ex: y[n] = x[n]

y[n] = 2x[n]

Com memria: y[n] = T (x[n], x[n-1], x[n-2],...)

Ex: y[n] = 2x[n] + x[n-1]

LINEARIDADE

Sistemas Lineares atendem ao principio da superposio.

seja y1[n] e y2[n] respostas de um sistema para as entradas x1[n] e x2[n]. O sistema linear se :

T{x1[n] + x2[n]} = T{x1 [n]} + T{x2[n]} = y1 [n] + y2 [n]

e

T{ax[n]} = aT{x[n]} , onde a uma constante

LINEARIDADE T{ax1 [n] + bx2[n]} = aT{x1 [n]} + bT{x2 [n]} , a e b

constantes

LINEARIDADE

EXEMPLOS

Ex. sistema linear: y[n] = 2x[n] + x[n-1] x[n-2]

Ex. sistema no linear: y[n] = 2(x[n])

SISTEMAS INVARIANTES NO TEMPO

UM DESLOCAMENTO (DELAY) NA SEQUENCIA DE ENTRADA CAUSA O MESMO DESLOCAMENTO NA SEQUENCIA DE SADA

seja y[n] = T{x[n]}

se x1[n] = x[n-n0], n0 inteiro positivo

ento y1[n] = y[n-n0]

CAUSALIDADE

UM SISTEMA CAUSAL SE A SADA EM UM INSTANTE n0 S DEPENDE DE ENTRADAS EM INSTANTES n n0

UM SISTEMA NO ANTECIPATIVO

Ex. sistema causal: y[n] = 2x[n] + x[n-1] x[n-2]

Ex. sistema no causal: y[n] = 2x[n] + x[n+1] x[n-2]

ESTABILIDADE

UM SISTEMA ESTVEL SE PARA QUALQUER ENTRADA FINITA, A SADA TAMBM SER FINITA.

Sequencia finita: |x[n]| Bx < para todo n, onde Bx finito e

positivo

Sendo y[n] = T {x[n]} ento

|y[n]| By < para todo n, onde By finito e positivo

ESTABILIDADE

Exemplos sistema estveis:

y[n] = 2x[n] + x[n-1]

y[n] = 2(x[n] )

Exemplos sistemas instveis:

Exerccio

Classifique os seguintes sistemas quanto a memria, invarincia no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade

1. y[n]=x[n+1]+x[n+2], -

SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO

PODE SER COMPLETAMENTE CARACTERIZADO PELA SUA RESPOSTA AO IMPULSO UNITRIO

SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO - LTI

= [ ]C (seq. genrica)

SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO - LTI

= [ ]C (seq. genrica)

= 0 I C

SISTEMAS LINEARES E INVARIANTES NO TEMPO - LTI

= [ ]C (seq. genrica)

= 0 I C (linearidade)

= 0{I C }

LTI

Sequenciagenrica: = H 0{I

C}

Sendo =T{[]}

=T{[ ]}(invarincianotempo)

LTI

Sequenciagenrica: = H U{V W X

C}

Como =T{[ ]}(invarincianotempo)

= C

= (somadeconvoluo)

Convoluo

Cada amostra na entrada produz uma sada equivalente ao valor da amostra multiplicado pela resposta do sistema ao impulso unitrio.

A sada do sistema equivale a superposio dessa sadas

Convoluo

Convoluo

*

Convoluo

Convoluo

Exerccio

Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso unitrio seja

= 1 +2 , onde o impulso unitrio

1. Desenhe h[n]

2. Desenhe a entrada = [ 2], onde u[n] o degrau unitrio.

3. Faa a convoluo

Propriedades - Convoluo

Comutativa: = *

Distributiva na adio:

(\ + ] ) = \ + ]

Propriedades - Convoluo

Sistemas em cascata

Sistemas paralelos

Estabilidade de um sistema em tempo discreto

Um sistema estvel se, e somente se, sua resposta ao impulso unitrio absolutamente somvel, ou seja:

|[]| < C

Causalidade de um sistema em tempo discreto

Um sistema causal se sua resposta no depende de valores futuros da entrada, ou seja

= 0, < 0

Exerccio

Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso unitrio seja

= 1 +2 , onde o impulsounitrio1. Desenhe h[n]2. Desenhe a entrada = [ 2],

onde u[n] o degrau unitrio.3. Faa a convoluo 4. Classifique o sistema quanto a causalidade e

estabilidade.