Post on 15-Nov-2018
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Coordenadas Polares
Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2014.2
30 de marco de 2015
1 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Sumario
1 Coordenadas Polares
2 Graficos de Equacoes Polares
3 Outras representacoes de Equacoes Polares
2 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
A origem do sistema de coordenadas polares e chamada polo.
Neste sistema, representa-se um ponto do plano atraves deum raio (segmento cujo ponto inicial e o polo, e cujo pontofinal e o ponto em questao) e o angulo que este segmento fazcom o eixo polar, medido a partir do eixo polar.
Assim, nesse sistema, um ponto do plano tambem erepresentado por dois numeros reais: (r , θ).
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
A origem do sistema de coordenadas polares e chamada polo.
Neste sistema, representa-se um ponto do plano atraves deum raio (segmento cujo ponto inicial e o polo, e cujo pontofinal e o ponto em questao) e o angulo que este segmento fazcom o eixo polar, medido a partir do eixo polar.
Assim, nesse sistema, um ponto do plano tambem erepresentado por dois numeros reais: (r , θ).
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
A origem do sistema de coordenadas polares e chamada polo.
Neste sistema, representa-se um ponto do plano atraves deum raio (segmento cujo ponto inicial e o polo, e cujo pontofinal e o ponto em questao) e o angulo que este segmento fazcom o eixo polar, medido a partir do eixo polar.
Assim, nesse sistema, um ponto do plano tambem erepresentado por dois numeros reais: (r , θ).
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
A origem do sistema de coordenadas polares e chamada polo.
Neste sistema, representa-se um ponto do plano atraves deum raio (segmento cujo ponto inicial e o polo, e cujo pontofinal e o ponto em questao) e o angulo que este segmento fazcom o eixo polar, medido a partir do eixo polar.
Assim, nesse sistema, um ponto do plano tambem erepresentado por dois numeros reais: (r , θ).
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
No sistema cartesiano, representamos o ponto por suascoordenadas retangulares ou cartesianas (x , y).
No sistema polar, representamos o ponto por suascoordenadas polares (r , θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
No sistema cartesiano, representamos o ponto por suascoordenadas retangulares ou cartesianas (x , y).
No sistema polar, representamos o ponto por suascoordenadas polares (r , θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
No sistema cartesiano, representamos o ponto por suascoordenadas retangulares ou cartesianas (x , y).
No sistema polar, representamos o ponto por suascoordenadas polares (r , θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Para marcar um ponto no sistema decoordenadas polares, iniciamos a partirdo eixo polar, fazendo a rotacao deum angulo θ.
Se r > 0, entao o ponto esta a runidades do polo e na mesmadirecao do lado final do angulo θ.
Se r < 0, entao o ponto esta a |r |unidades do polo e na direcao opostado lado final do angulo θ.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Para marcar um ponto no sistema decoordenadas polares, iniciamos a partirdo eixo polar, fazendo a rotacao deum angulo θ.
Se r > 0, entao o ponto esta a runidades do polo e na mesmadirecao do lado final do angulo θ.
Se r < 0, entao o ponto esta a |r |unidades do polo e na direcao opostado lado final do angulo θ.
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Para marcar um ponto no sistema decoordenadas polares, iniciamos a partirdo eixo polar, fazendo a rotacao deum angulo θ.
Se r > 0, entao o ponto esta a runidades do polo e na mesmadirecao do lado final do angulo θ.
Se r < 0, entao o ponto esta a |r |unidades do polo e na direcao opostado lado final do angulo θ.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Para marcar um ponto no sistema decoordenadas polares, iniciamos a partirdo eixo polar, fazendo a rotacao deum angulo θ.
Se r > 0, entao o ponto esta a runidades do polo e na mesmadirecao do lado final do angulo θ.
Se r < 0, entao o ponto esta a |r |unidades do polo e na direcao opostado lado final do angulo θ.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 01
Marque os seguintes pontos no plano polar: A
(3,
3π
4
),
B(−2, 600
)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 01
Marque os seguintes pontos no plano polar: A
(3,
3π
4
),
B(−2, 600
)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 02
Idem para os pontos: C
(−4,
3π
2
), D(3, 3300
)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 02
Idem para os pontos: C
(−4,
3π
2
), D(3, 3300
)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Relacao entre os sistemas de coordenadas
Seja um ponto (r , θ) no sistema decoordenadas polares.
No sistema de coordenadascartesianas, teremos:
x = r . cos θ, y = rsenθ
Se (x , y) sao as coordenadas de umponto no sistema cartesiano, entao,
r =√x2 + y2, θ = arctg
y
x
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Relacao entre os sistemas de coordenadas
Seja um ponto (r , θ) no sistema decoordenadas polares.
No sistema de coordenadascartesianas, teremos:
x = r . cos θ, y = rsenθ
Se (x , y) sao as coordenadas de umponto no sistema cartesiano, entao,
r =√x2 + y2, θ = arctg
y
x
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Relacao entre os sistemas de coordenadas
Seja um ponto (r , θ) no sistema decoordenadas polares.
No sistema de coordenadascartesianas, teremos:
x = r . cos θ, y = rsenθ
Se (x , y) sao as coordenadas de umponto no sistema cartesiano, entao,
r =√x2 + y2, θ = arctg
y
x
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Relacao entre os sistemas de coordenadas
Seja um ponto (r , θ) no sistema decoordenadas polares.
No sistema de coordenadascartesianas, teremos:
x = r . cos θ, y = rsenθ
Se (x , y) sao as coordenadas de umponto no sistema cartesiano, entao,
r =√x2 + y2, θ = arctg
y
x
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 03
Converta (−1,√
3) de coordenadas retangulares para coordenadaspolares.
Resposta...(2,
2π
3
)ou
(2,−4π
3
)ou
(−2,
5π
3
)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 03
Converta (−1,√
3) de coordenadas retangulares para coordenadaspolares.
Resposta...
(2,
2π
3
)ou
(2,−4π
3
)ou
(−2,
5π
3
)
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 03
Converta (−1,√
3) de coordenadas retangulares para coordenadaspolares.
Resposta...(2,
2π
3
)ou
(2,−4π
3
)ou
(−2,
5π
3
)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 03
Converta (−1,√
3) de coordenadas retangulares para coordenadaspolares.
Resposta...(2,
2π
3
)ou
(2,−4π
3
)ou
(−2,
5π
3
)
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 04
Converta (6√
2, 1350) de coordenadas polares para coordenadasretangulares.
Resposta...
(−6, 6)
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 04
Converta (6√
2, 1350) de coordenadas polares para coordenadasretangulares.
Resposta...
(−6, 6)
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Exemplo 04
Converta (6√
2, 1350) de coordenadas polares para coordenadasretangulares.
Resposta...
(−6, 6)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Sumario
1 Coordenadas Polares
2 Graficos de Equacoes Polares
3 Outras representacoes de Equacoes Polares
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Estamos familiarizados com equacoes na forma cartesiana:
y = 3x + 5: reta.
y = x2 + 1: parabola.
x2 + y2 = 9: circunferencia.
y =1
x: hiperbole.
19 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Estamos familiarizados com equacoes na forma cartesiana:
y = 3x + 5: reta.
y = x2 + 1: parabola.
x2 + y2 = 9: circunferencia.
y =1
x: hiperbole.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Estamos familiarizados com equacoes na forma cartesiana:
y = 3x + 5: reta.
y = x2 + 1: parabola.
x2 + y2 = 9: circunferencia.
y =1
x: hiperbole.
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Estamos familiarizados com equacoes na forma cartesiana:
y = 3x + 5: reta.
y = x2 + 1: parabola.
x2 + y2 = 9: circunferencia.
y =1
x: hiperbole.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Estamos familiarizados com equacoes na forma cartesiana:
y = 3x + 5: reta.
y = x2 + 1: parabola.
x2 + y2 = 9: circunferencia.
y =1
x: hiperbole.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Agora discutiremos equacoes na forma polar.
r = 5θ: ?
r = 2 cos θ: ?
r = sen(5θ): ?
20 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Agora discutiremos equacoes na forma polar.
r = 5θ: ?
r = 2 cos θ: ?
r = sen(5θ): ?
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Agora discutiremos equacoes na forma polar.
r = 5θ: ?
r = 2 cos θ: ?
r = sen(5θ): ?
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Agora discutiremos equacoes na forma polar.
r = 5θ: ?
r = 2 cos θ: ?
r = sen(5θ): ?
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 05
Interpretacao geometrica para r = 3
Observe que r e sempreigual a 3 e que o valor deθ nao e mencionado, istoe, θ pode assumirqualquer valor.
Ou ainda:r =
√x2 + y2 ⇐⇒
x2 + y2 = 9
21 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 05
Interpretacao geometrica para r = 3
Observe que r e sempreigual a 3 e que o valor deθ nao e mencionado, istoe, θ pode assumirqualquer valor.
Ou ainda:r =
√x2 + y2 ⇐⇒
x2 + y2 = 9
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 05
Interpretacao geometrica para r = 3
Observe que r e sempreigual a 3 e que o valor deθ nao e mencionado, istoe, θ pode assumirqualquer valor.
Ou ainda:r =
√x2 + y2 ⇐⇒
x2 + y2 = 9
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 05
Interpretacao geometrica para r = 3
Observe que r e sempreigual a 3 e que o valor deθ nao e mencionado, istoe, θ pode assumirqualquer valor.
Ou ainda:r =
√x2 + y2 ⇐⇒
x2 + y2 = 9
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 06
Interpretacao geometrica para θ =π
4
Observe que θ e sempre
igual aπ
4e que r pode
assumir qualquer valorreal.
Ou ainda,y
x= tg
(π4
),
isto e,
y = x
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 06
Interpretacao geometrica para θ =π
4
Observe que θ e sempre
igual aπ
4e que r pode
assumir qualquer valorreal.
Ou ainda,y
x= tg
(π4
),
isto e,
y = x
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 06
Interpretacao geometrica para θ =π
4
Observe que θ e sempre
igual aπ
4e que r pode
assumir qualquer valorreal.
Ou ainda,y
x= tg
(π4
),
isto e,
y = x
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Caso r =constante, θ =constante
Exemplo 06
Interpretacao geometrica para θ =π
4
Observe que θ e sempre
igual aπ
4e que r pode
assumir qualquer valorreal.
Ou ainda,y
x= tg
(π4
),
isto e,
y = x
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
23 / 48
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
23 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Marcando os pontosencontrados no sistemade coordenadas polares,teremos:
24 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Marcando os pontosencontrados no sistemade coordenadas polares,teremos:
24 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Ligando os pontos comuma curva suave:
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 07
Interpretacao geometrica para r = 4 cos θ
Ligando os pontos comuma curva suave:
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 08
Interpretacao geometrica para r = 4senθ
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exemplo 08
Interpretacao geometrica para r = 4senθ
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
r
Assim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0
(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4
(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . cos θ
A equacao polar r = c . cos θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(c2, 0)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)
Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
r
Assim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0
(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4
(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Generalizando o caso r = c . sin θ
A equacao polar r = c . sin θ representa uma circunferencia de raioc
2e centro
(0,
c
2
)Cada ponto (r , θ) da curva r = c . cos θ pode ser representadona forma cartesiana atraves de (x , y).
senθ =y
re cos θ =
x
r. Daı, r = c . cos θ ⇐⇒ r = c.
x
rAssim, r2 = c.x ⇐⇒ x2 + y2 = cx
(x2 − cx) + y2 = 0(x2 − 2.
c
2.x +
c2
4
)+ y2 =
c2
4(x − c
2
)2+ (y − 0)2 =
(c2
)2
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos θ, r = c .senθ onde c e constante
Exercıcio
O que representa a equacao polar r = c. sin θ (e r = c . cos θ)quando c < 0?
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
Note que o argumento dafuncao seno esta dobrado,portanto o perıodo ficadividido ao meio.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
Note que o argumento dafuncao seno esta dobrado,portanto o perıodo ficadividido ao meio.
30 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
Note que o argumento dafuncao seno esta dobrado,portanto o perıodo ficadividido ao meio.
30 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Calculemos alguns valoresde r a partir de valoresdados para θ
Note que o argumento dafuncao seno esta dobrado,portanto o perıodo ficadividido ao meio.
30 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Marcando os pontos, e osligando os pontos com umacurva suave, teremos
Veja que os valoresdeterminados na tabela,representam o que acontece noprimeiro quadrante.
Um comportamento semelhanteocorre nos demais quadrantes.
Esta e a Rosa de QuatroPetalas.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Marcando os pontos, e osligando os pontos com umacurva suave, teremos
Veja que os valoresdeterminados na tabela,representam o que acontece noprimeiro quadrante.
Um comportamento semelhanteocorre nos demais quadrantes.
Esta e a Rosa de QuatroPetalas.
31 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Marcando os pontos, e osligando os pontos com umacurva suave, teremos
Veja que os valoresdeterminados na tabela,representam o que acontece noprimeiro quadrante.
Um comportamento semelhanteocorre nos demais quadrantes.
Esta e a Rosa de QuatroPetalas.
31 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Marcando os pontos, e osligando os pontos com umacurva suave, teremos
Veja que os valoresdeterminados na tabela,representam o que acontece noprimeiro quadrante.
Um comportamento semelhanteocorre nos demais quadrantes.
Esta e a Rosa de QuatroPetalas.
31 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 09
Interpretacao geometrica para r = 5sen(2θ)
Marcando os pontos, e osligando os pontos com umacurva suave, teremos
Veja que os valoresdeterminados na tabela,representam o que acontece noprimeiro quadrante.
Um comportamento semelhanteocorre nos demais quadrantes.
Esta e a Rosa de QuatroPetalas. 31 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 10
Interpretacao geometrica para r = 5 cos(2θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Exemplo 10
Interpretacao geometrica para r = 5 cos(2θ)
32 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(2θ), r = c .sen(2θ) onde c e constante
Generalizacao - Rosaceas
Em geral, para r = c .sen(nθ) e r = c . cos(nθ), temos uma Rosa den petalas se n e ımpar e uma Rosa de 2n petalas se n e par.Quanto maior o valor de r , maior o tamanho da petala.
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(nθ), r = c .sen(nθ) onde c e constante
r = 5.sen(7θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(nθ), r = c .sen(nθ) onde c e constante
r = 8.sen(12θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Casos r = c . cos(nθ), r = c .sen(nθ) onde c e constante
r = 8.sen(12θ) e r = 8. cos(12θ)
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Sumario
1 Coordenadas Polares
2 Graficos de Equacoes Polares
3 Outras representacoes de Equacoes Polares
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Limacon
Limacon ou Caracol de Pascal
Representacao geometrica de equacoes polares do tipo
r = a± b cos θ ou r = a± bsenθ
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Limacon
r = 2 + 3senθ
39 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Limacon
r = 3− 7 cos θ
40 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Limacon
Cardioide
r = 3− 3senθ
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Limacon
(1) r = 3− 3senθ
(2) r = 3− 15senθ
(3) r = 3− 2senθ
42 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Lemniscata
Lemniscata de Bernoulli
Representacao geometrica de equacoes polares do tipo
r = a√
cos 2θ ou r = a√sen2θ
43 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Lemniscata
r = 4√sen2θ
44 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Lemniscata
r = 8√
cos 2θ
45 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Espiral
Espiral
Representacao geometrica de equacoes polares do tipo
r = c.θ
r = 3θ r = −2θ
46 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 11
Converta a equacao polar r =2
cos θ + senθem uma equacao
cartesiana.
Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos:
r(cos θ + senθ) = 2
(r cos θ) + (rsenθ) = 2
x + y = 2
47 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 11
Converta a equacao polar r =2
cos θ + senθem uma equacao
cartesiana.
Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos:
r(cos θ + senθ) = 2
(r cos θ) + (rsenθ) = 2
x + y = 2
47 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 11
Converta a equacao polar r =2
cos θ + senθem uma equacao
cartesiana.
Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos:
r(cos θ + senθ) = 2
(r cos θ) + (rsenθ) = 2
x + y = 2
47 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 11
Converta a equacao polar r =2
cos θ + senθem uma equacao
cartesiana.
Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos:
r(cos θ + senθ) = 2
(r cos θ) + (rsenθ) = 2
x + y = 2
47 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 11
Converta a equacao polar r =2
cos θ + senθem uma equacao
cartesiana.
Multiplicando ambos os membros por cos θ + senθ, temos:
r(cos θ + senθ) = 2
(r cos θ) + (rsenθ) = 2
x + y = 2
47 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 12
Converta a equacao polar r2 = 9.sen2θ em uma equacaocartesiana.
r2 = 9sen2θ
r2 = 9(2.senθ. cos θ)
r2 = 18.y
r.x
rr4 = 18xy
(x2 + y2)2 = 18xy
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Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 12
Converta a equacao polar r2 = 9.sen2θ em uma equacaocartesiana.
r2 = 9sen2θ
r2 = 9(2.senθ. cos θ)
r2 = 18.y
r.x
rr4 = 18xy
(x2 + y2)2 = 18xy
48 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 12
Converta a equacao polar r2 = 9.sen2θ em uma equacaocartesiana.
r2 = 9sen2θ
r2 = 9(2.senθ. cos θ)
r2 = 18.y
r.x
rr4 = 18xy
(x2 + y2)2 = 18xy
48 / 48
Coordenadas PolaresGraficos de Equacoes Polares
Outras representacoes de Equacoes Polares
Convertendo equacoes polares em cartesianas
Exemplo 12
Converta a equacao polar r2 = 9.sen2θ em uma equacaocartesiana.
r2 = 9sen2θ
r2 = 9(2.senθ. cos θ)
r2 = 18.y
r.x
r
r4 = 18xy
(x2 + y2)2 = 18xy
48 / 48