Aula 21 Integrais Duplas em Coordenadas Polares.
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Aula 21
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
2 2 2 cos sen r x y x r y r
Retângulo Polar
Retângulo Polar
1i ir r r Logo a área de é dada por:ijR
Soma de Riemann
As coordenadas retangulares do centro sãoijR
Logo, a soma de Riemann típica será dada por:
*onde A = r ri i
* * * * ( cos , sen ). i j i jr r
* * * * * * * * *
1 1 1 1
( cos , sen ) ( cos , sen ) m n m n
i j i j i i j i j ii j i j
f r r A f r r r r
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
onde
Mudança para Coordenadas Polares
Regra do Ponto MédioRegra do Ponto Médio
Mudança para Coordenadas Polares
Se é contínua no retângulo polar dado por
onde então
f
Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 1
Calcule onde é a
região no semiplano superior limitada pelos
círculos e
2 2 4.x y
2(3 4 ) ,R
x y dA R
2 2 1x y
Exemplo 1
1 2 e 0 ,r
Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 2
Determine o volume do sólido limitado pelo plano e pelo parabolóide
2 21 .z x y 0z
Exemplo 2
Exemplo 2
0 1 e 0 2 ,r
Regiões mais complicadas
Mudança para Coordenadas Polares
Regra do Ponto MédioRegra do Ponto Médio
Integral dupla em regiões mais complicadas
Se é contínua em uma região polar da forma
então
f
Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3
Use integral dupla para determinar a área
contida em um laço da rosácea de quatro
pétalas
cos 2 .r
Exemplo 3
Exemplo 3
Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 3 Exemplo 4Exemplo 1Integral Dupla sobre o RetânguloExemplo 4
Determine o volume do sólido que está
sob o parabolóide
e dentro do cilindro
2 2 2 .x y x
2 2 ,z x y
Exemplo 4
(ou 2cos )r
Exemplo 4
Exemplo 4