Jaime Vinícius - Engenharia de Produção

Equações e Funções Trigonométricas

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1

Equações Trigonométricas

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Equações trigonométricas são aquelas que envolvemas funções trigonométricas em seus membros.Exemplos:

Como as equações trigonométricas possuem umagama muito grande de variedades, vamos fazer oestudo dos principais tipos.Salvo indicação em contrário, usaremos x comoincógnita.

cos (2x) = -cos(x) sen (x) = 𝟏

𝟐tg (x) =

𝝅

𝟒

Relações Trigonométricas

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As relações entre os valores das funçõestrigonométricas de um mesmo arco sãodenominadas relações trigonométricas. Algumasrelações são importantes como:

𝐬𝐞𝐧𝟐 (𝐱) + 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝐱) = 1

𝐭𝐠 (𝐱) = 𝐬𝐞𝐧 (𝐱)

𝐜𝐨𝐬 (𝐱)

𝐜𝐨𝐭𝐠 (𝐱) = 𝟏

𝐭𝐠 (𝐱)= 𝐜𝐨𝐬 (𝐱)

𝐬𝐞𝐧 (𝐱)

𝐬𝐞𝐜 (𝐱) = 𝟏

𝐜𝐨𝐬 (𝐱)𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =

𝟏

𝐬𝐞𝐧 (𝐱)

Equações Trigonométricas

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y

y

2

a)

- y - y

y

a

O

/2

3/2

y

x

sen (x) = a -1 < sen(x) < 1

Praticando

Resolva a equação:

a) sen2(𝑥) + 3 sen(𝑥) + 2 = 0

5/26

𝒙 =𝟑

𝟐 + 𝟐𝒌, k Z

Equações Trigonométricas

b)

6/26

y

2a2 - y

y

3/2

/2

y

x2 - y

O

cos (x) = a -1 < cos(x) < 1

Praticando

7/26

Equações Trigonométricas

8/26

O xO x

/2

t

O

3/2

2

y

x

y

c)tan (x) = b b IR

Praticando

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Resolva as equações:

a) tan(3𝑥) = 0

b) cotg(𝑥) = 3

𝒙 =𝒌

𝟑, k Z

𝒙 =𝟔+ 𝒌, k Z

Revisando

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Vamos observar o sinal das funções em cadaquadrante.

2

/2

3/2

US

T C

Use Sempre a Tua Cabeça.

U = Todas as funções tem valor positivo.

S = A função seno tem valor positivo.

T = A função tangente tem valor positivo.

C = A função cosseno tem valor positivo.

Funções Trigonométricas

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Função Seno:

A função associa cada arco x da circunferênciatrigonométrica a um número real y, logo, teremos y =sen (x).

f : IR IR

f(x) = sen (x)

x IR -1 sen x 1 ; Então: Im(f) = [ -1 , 1 ]

Funções Trigonométricas

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Gráfico:

y

0 3

2

2

2

2-

-

x

Funções Trigonométricas

Periodicidade:

A função y = sen(x) é periódica e tem período igual a 2radianos.

Paridade:

A função y = sen (x) é ímpar.

13/26

sen (x) = sen (x + 2)

sen (x) = - sen (-x)

Funções Trigonométricas

Função Cosseno:

A função associa cada arco x da circunferênciatrigonométrica a um número real y, logo, teremos y =cos (x).

14/26

f : IR IR

f(x) = cos (x)

x IR -1 cos x 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

Funções Trigonométricas

Gráfico:

15/26

y

x0 3

2

2

2

2-

Funções Trigonométricas

Periodicidade:

A função y = cos(x) é periódica e tem período igual a2 radianos.

Paridade:

A função y = cos (x) é par.

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cos (x) = cos ( x + 2)

cos (x) = cos (- x)

Funções Trigonométricas

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Função Tangente:

A função associa cada arco x, para 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋, da

circunferência trigonométrica a um número realy, logo, teremos y = tg (x).

f : D IR

f(x) = tg (x)

D(f) = { x IR / 𝑥 ≠𝜋

2+ 𝑘𝜋 } e Im(f) = IR

Funções Trigonométricas

Gráfico:

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y

3

2

2- 2

2

Funções Trigonométricas

Periodicidade:

A função y = tg (x) é periódica e tem período igual a radianos.

Paridade :

A função y = tg(x) é ímpar.

19/26

tg (x) = tg ( x + )

tg (x) = - tg (-x)

Obrigada pela atenção!

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