Post on 20-Nov-2015
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Universidade Federal da Paraba
Centro de Ciencias Exatas e da Natureza
Coordenacao dos Cursos de Pos-Graduacao em Fsica
Tese de Doutorado
Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplicacoes
Roberto Menezes da Silva
Joao Pessoa
- 2007 -
Universidade Federal da Paraba
Centro de Ciencias Exatas e da Natureza
Coordenacao dos Cursos de Pos-Graduacao em Fsica
Tese de Doutorado
Defeitos Globais em Teoria de Campos e Aplicacoes
Roberto Menezes da Silva
Tese realizada sob a orientacao do Prof.
Dr. Dionisio Bazeia, apresentada ao
Departamento de Fsica em comple-
mentacao aos requisitos para obtencao
do ttulo de doutor em Fsica
Joao Pessoa
- 2007 -
A meus pais Rosa e Mariano
A minha esposa Eli
A meu filho Caio
Resumo
Neste trabalho investigamos modelos de campos escalares e
aplicacoes. Iniciamos com uma revisao de solucoes topologicas
e nao topologicas e algumas de suas caractersticas mais impor-
tantes. A partir da, introduzimos e investigamos novos modelos
de campos escalares, entre eles, generalizacoes do modelo seno-
Gordon e de outros, que admitem defeitos no plano, no espaco,
solucoes estaticas tipo dois-kinks e defeitos que violam a sime-
tria de Lorentz. Utilizamos o formalismo de primeira ordem para
a investigacao de modelos na cosmologia moderna. Tambem es-
tudamos redes de paredes de domnio que podem aparecer em
transicoes de fase no universo primordial, no contexto de energia
escura.
Abstract
In this work, we investigate scalar fields models and aplications.
We begin with a revision of topological and non topological so-
lutions and some of their most important caracteristics. We in-
troduce and investigate new models of scalar fields, for example,
generalizations of the sine-Gordon model and of others models,
which admit defects in the plane and space, two-kink static so-
lutions and defects that violate Lorentz symmetry. We use the
first order formalism for the investigation of models of interest in
modern cosmology. We also study domain walls networks which
can appear in fase transitions in the primordial universe, within
the dark energy context.
Agradecimentos
Nessas poucas linhas quero agradecer ao meu orientador, Prof. Dionisio
Bazeia, pelo cuidado apresentado durante o curso de todo esse trabalho de
tese. E mais de que isso, pelo apoio e o incentivo dados nos momentos
de mais precisao. Aos Professores Laercio Losano e Clovis Wotzasek pelos
conselhos que sempre me foram uteis. Aos Professores Jose Roberto Soares do
Nascimento e Rubens Freire Ribeiro com quem trabalhei durante o mestrado
e parte do doutorado. Aos professores Claudio Benedito Furtado, Fernando
Morais, Carlos Pires e Paulo Sergio por estarem sempre dispostos em atenter
minhas duvidas por mais basicas que fossem. A Seu Mariano, a quem
tenho todo o respeito, por todas as conversas interminaveis nos intervalos
do trabalho. Agradeco tambem aos professores Pedro Pina Avelino e Carlos
Martins da Universidade do Porto com quem colaborei no perodo de um ano,
no estagio de dourado sanduche la realizado.
Nao posso deixar de agradecer aos meus colegas de curso que me fizeram
crescer pessoal e profissionalmente: Tiago Homero, Lincoln Ribeiro, Antonio
Inacio (Drac), Adalto Gomes, Ewerton (Sal), Josinaldo Menezes, Victor
Afonso, Carlos Alberto, Eduardo Passos, Joana Oliveira, Jamilton Rodrigues,
Jean Spinelly, Alex Silva (Pastor), Mauro Santos, Josevi, Caio, Knut, e a
todos os outros.
Agradeco toda minha famlia, principalmente a meus pais e a minha esposa
que torceram muito para que esse projeto de vida fosse realizado. Tambem
sou grato a Maria da Penha, minha segunda mae, o que devo a ela nao posso
pagar. E a todos meus amigos, agradeco.
Finalmente agradeco a CAPES pela concessao das bolsas de estudo que me
proporcionaram a realizacao deste trabalho.
I was observing the motion of a boat which was rapidly
drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the
boat suddenly stopped - not so the mass of water in the
channel which it had put in motion; it accumulated round
the prow of the vessel in a state of violent agitation,
then suddenly leaving it behind, rolled forward with great
velocity, assuming the form of a large solitary elevation,
a rounded, smooth and well-defined heap of water, which
continued its course along the channel apparently without
change of form or diminution of speed. I followed it on
horseback, and overtook it still rolling on at a rate of
some eight or nine miles an hour, preserving its original
figure some thirty feet long and a foot to a foot and a
half in height. Its height gradually diminished, and after
a chase of one or two miles I lost it in the windings of
the channel. Such, in the month of August 1834, was my
first chance interview with that singular and beautiful
phenomenon which I have called the Wave of Translation
John Scott Russell - 1844
Lista de Publicacoes
Esse trabalho de tese e baseado nos seguintes artigos:
New global defect structures, D. Bazeia, J. Menezes and R. Menezes, Phys. Rev.Lett. 91, 241601 (2003).
Regular and periodic tachyon kinks, D. Bazeia, R. Menezes and J. G. Ramos,Mod. Phys. Lett. A 20, 467 (2005).
Defect structures in sine-Gordon-like models, D. Bazeia, L. Losano andR. Menezes, Physica D 208, 236 (2005).
Defect structures in Lorentz and CPT violating scenarios, D. Bazeia andR. Menezes, Phys. Rev. D 73, 065015 (2006).
Global Defects in Field Theory with Applications to Condensed Matter, D. Bazeia,J. Menezes and R. Menezes, Mod. Phys. Lett. B 19, 801 (2005).
First-order formalism and dark energy, D. Bazeia, C. B. Gomes, L. Losano andR. Menezes, Phys. Lett. B 633, 415 (2006).
Frustrated expectations: Defect networks and dark energy, P. Pina Avelino,C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, Phys. Rev. D
73, 123519 (2006).
Defect junctions and domain wall dynamics, P. P. Avelino, C. J. A. Martins,J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, Phys. Rev. D 73, 123520 (2006).
Scaling of cosmological domain wall networks with junctions, P. P. Avelino,C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, arXiv:astro-
ph/0612444.
Scaling of cosmological domain wall networks with junctions, P. P. Avelino,C. J. A. Martins, J. Menezes, R. Menezes and J. C. R. Oliveira, arXiv:astro-
ph/0612444.
Generalized Global Defect Solutions, D. Bazeia, L. Losano, R. Menezes and J. C.R. Oliveira, arXiv:astro-th/0702052.
Conteudo
1 Introducao 11
2 Defeitos em Teorias de Campos Escalares 17
2.1 Defeitos em Modelos com um Campo Escalar Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Kinks e Lumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Solucao de Onda Viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Metodo da Deformacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Defeitos em Modelos com N Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Metodo de Bolgomolnyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Defeitos em Dimensao Espacial Arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Novas Classes de Potenciais 44
3.1 Modelo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Modelo de Lump Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Modelo Seno-Gordon Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 Seno-Gordon Duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Generalizacao para Dois Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Comentarios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Defeitos em Acoes Modificadas 61
4.1 Defeitos Globais para Modelos Explicitamente Dependentes da Posicao . . . . . . . . . 61
4.1.1 Corrente Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.2 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8
4.1.4 Comentarios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2 Defeitos em Cenarios com Violacao de Lorentz e CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Quebra da Simetria por um Parametro Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Quebra da Simetria por um Parametro Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Defeitos Taquionicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Kinks Taquionicos Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.2 Solucoes Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Dinamica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.1 Estabilidade Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Campos Escalares e Energia Escura I - Quintessencia e Dinamica Taquionica 96
5.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.1 O Modelo Cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1.2 Quintessencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3 Dinamica Taquionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.4 Dinamica Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.1 Quintessencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.2 Dinamica Taquionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.3 Modelos com N Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3 Formalismo de Primeira Ordem para Curvatura Nao Nula . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.1 Exemplos para Curvatura Nao Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 Campos Escalares e Energia Escura II - Redes de Paredes de Domnio 111
6.1 Defeitos em Campos Escalares em 2 e 3 Dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Analise Numerica de Redes de Paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3 Modelos com Dois Campos Escalares Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Modelos com Tres Campos Escalares Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.1 O Modelo BBL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4.2 O Modelo de Kubotani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.3 Relacionando os modelos BBL e Kubotani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.5 Propriedades de uma Rede de Paredes de Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.6 O Modelo Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9
7 Comentarios, Conclusoes e Perspectivas 138
A Generalidades 144
A.1 Expressoes Diferenciais e Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.2 Formulas da Gravitacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.3 O Tensor Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.4 Potencial Quantico de Poschl-Teller Modificado sem Reflexao . . . . . . . . . . . . . . 146
A.5 Encontrando Solucoes Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.6 Aproximacoes Analticas do Modelo Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10
Captulo 1
Introducao
One half of the world cannot understand the pleasures of the other
Jane Austen
Em uma grande mesa redonda esta disposto um prato de sopa para cada pessoa sentada e ha uma
colher em cada lado, uma a direita e outra a esquerda. Portanto o numero de colheres e o mesmo que
o de pratos. Para que qualquer convidado para o jantar possa tomar a sopa, e preciso que se escolha
uma das duas colheres. Como nao ha uma regra pre-estabelecida, a primeira pessoa da mesa que
pegar a colher tem duas opcoes igualmente provaveis, a colher da esquerda ou a da direita. Uma vez
escolhida uma das colheres, e quebrada toda a simetria do sistema, pois para que todos os convidados
possam ter uma colher ao seu lado, todos tem que pegar a colher do mesmo lado que o primeiro
pegou. Portanto, ha duas possibilidades em que todos terao colheres para sopa. E ambas tem igual
probabilidade de acontecer. Mas, uma vez escolhendo uma, a simetria esta quebrada.
Em nosso cotidiano muitas vezes esbarramos em situacoes como esta onde somos obrigados a que-
brar alguma especie de simetria. Por vezes temos que decidir entre duas opcoes que para nos sao igual-
mente satisfatorias. Na natureza, e muito comum encontrarmos sistemas com essas caractersticas.
Por exemplo, uma cadeia polimerica de poliacetileno, que se comporta de maneira unidimensional,
tem dois estados fundamentais degenerados. Essa degenerescencia esta relacionada com a instabili-
dade de Peirels[1, 2]. Existem dois padroes distintos para eletrons se ligarem a atomos de carbono
11
para formar a cadeia de poliacetileno com mnima energia - veja as ilustracoes A e B da figura 1.1(b).
As configuracoes trans sao termodinamicamente estaveis. Cada crculo preto representa um elemento
(CH)x. As ligacoes duplas e simples sao ilustradas, por linhas duplas e simples, respectivamente. A
estrutura do tipo A pode ser levada a B por trocas dos tipos de ligacoes, contudo essa troca despende
um gasto energetico, o que torna A e B estaveis.
Voltando a ilustracao da mesa redonda, supomos que um convidado pegue a colher do seu lado
direito e o do lado oposto da mesa pegue a do lado esquerdo. Se as pessoas dos seus lados seguirem
esses convidados, em algum momento, alguem nao tera nenhuma colher para pegar e outrem ficara
com duas colheres ao seu dispor - veja a ilustracao da figura 1.1(a). Para resolver este problema o
convidado que tem duas colheres da uma delas para o que nao tem nenhuma, jogando ou indo ate
ele, outra maneira e o que tem duas da uma das colheres a seu vizinho, este por sua vez passa para o
proximo e assim sucessivamente, ate chegar ao convidado sem colher. Agora, todos da mesa ficarao
com as colheres do lado esquerdo ou do lado direito, que e a uma das duas situacoes ideais. Conflitos
como estes tambem sao comum na natureza. Redes de poliacetileno podem apresentar falhas em suas
estrutura que denominamos de defeitos do mesmo tipo do exemplo da mesa redonda. Veja a ilustracao
C da figura 1.1(b). Ha duas ligacoes simples para um (CH)x. A energia da configuracao C e maior
do que as de A e B, apesar disso por razoes topologicas, ela nao decai em uma das duas. Este defeito
pode se mover para um dos lados da cadeia, percorrendo todo o polmero ou se aniquilando com um
defeito de caracterstica oposta (com duas ligacoes duplas), assim como no exemplo da mesa, que a
situacao com duas colheres percorre a mesa ate encontrar a situacao sem colher.
Nos exemplos vistos acima, a transicao de um estado de energia mnima para outro se faz de
maneira discreta. Contudo e mais comum em sistemas fsicos que a passagem se realize de maneira
suave, pois tem graus de liberdades contnuos. Veja por exemplo na figura 1.1(c), se assumirmos
que a regiao de cor uniforme ilustra um estado de mnima energia, a transicao entre as cores pode
se realizar discretamente, ou por um degrade contnuo, como vemos na passagem do preto para o
cinza (on-line:amarelo) - veja na figura 1.1(c) a ilustracao de paredes com diversas espessuras. Isso
acontece em sistemas ferromagneticos onde domnios magneticos sao formados para minimizar a soma
das energias magnetostaticas, de troca, de anisotropia e de Zeeman. Em cada domnio os vetores de
magnetizacao estao alinhados em um mesma direcao do espaco. Estes domnios tem tamanho finito e
entre eles formam-se areas de transicoes denominadas paredes de domnio magneticas. A energia de
troca e mais baixa quando a mudanca de um domnio para outro se da com muitos spins. O termo
parede de domnio foi introduzido em 1907 por P. Weiss[3]. Uma parede que separa dois domnios
onde os vetores formam 180, o angulo muda de maneira contnua de um domnio para o outro - veja
12
(a) Ilustracao de uma possvel
escolha de colheres no exem-
plo da mesa redonda. Ha dois
defeitos: com duas colheres
e sem colher.
(b) Ilustracao de disposicoes de cadeias de po-
liacetileno. Note que A e B sao os perfis de
mnima energia degenerados e C e o perfil de
um defeito de duas ligacoes simples em um
(CH)x.
(c) Transicao contnua de esta-
dos de energia mnima simboliza-
dos pelas cores amarelo e preta.
A transicao de cima e discreta,
enquanto nas outras se da de
maneira contnua com espessuras
diferentes.
Figura 1.1: Tres ilustracoes sobre defeitos.
a figura 1.2. Ha dois principais tipos de estruturas de spin dentro de paredes de domnio: paredes
de Bloch e paredes de Neel. Nas do primeiro tipo, o vetor de magnetizacao gira fora do plano dos
domnios. Enquanto no segundo tipo, a rotacao do spin e no proprio plano.
Na verdade, a simetria discreta de um sistema nao e uma condicao necessaria para a existencia
de paredes de domnio. E preciso apenas que haja dois estados de mesma energia e que estes sejam
desconectados. Novamente observamos o exemplo da mesa. O convidado pode ter dois tipos diferentes
de colheres a sua escolha. Nao e preciso que elas sejam iguais, o que importa e que uma dessas colheres
nao se sobressaia nessa escolha e nao que sejam iguais. Caso contrario todos escolheriam as colheres
do mesmo lado e nao haveria defeito. Recentemente, alguns modelos sem simetria discreta (mas com
vacuos desconectados) foram estudados[4] e solucoes do tipo paredes foram encontradas.
O estudo de solucoes de energia localizada foi iniciado em 1845, quando J. Scott Russel[5] apre-
sentou a conjectura de que uma propagacao isolada de um pulso de agua em canais estreitos fosse
causada pelas propriedades do meio. Cinquenta anos depois[6], Korteweg e de Vries mostraram que a
estabilidade do pulso devia-se a combinacao de efeitos nao lineares e dispersivos. A equacao de KdV
e dada por u/t + 3u/x3 + u u/x = 0, onde u e a altura de agua levantada. As solucoes tem
velocidades constantes que dependem da amplitude. Algumas das aplicacoes desta equacao sao os
estudo de ondas na atmosfera, ondas on-acusticas em um plasma e ondas de pressao em misturas de
lquido e gases[7]. Ha outras modificacoes dessa equacao como a mKdV, a de Schrodinger nao linear,
13
Figura 1.2: Perfil de um material ferromagnetico contendo uma parede de domnio cujos spins giram
180 No lado esquerdo, e mostrado uma estrutura de parede hipotetica e o spin e trocado discretamente
em apenas uma distancia atomica. Na direita, temos uma parede de espessuraN.a, onde a e a distancia
interatomica e N e o numero de atomos da parede (Em materiais reais, N esta no intervalo 40 a 104).
a de Burgers, entre outras. Em 1965, Zabusky e Kruskal[8] introduziram a palavra soliton para carac-
terizar concentracoes de energia em movimento que nao se dispersavam e que preservavam sua forma
apos a colisao com outra de mesma propriedade. E por causa dessas caractersticas, solitons apresen-
tam uma boa estrutura matematica para a descricao de uma partcula classica. As configuracoes que
investigaremos nessa tese, em geral, nao preservam a forma depois de colisoes, portanto estritamente
nao poderemos chama-las de solitons, apesar de, as vezes, por extensao, elas sejam tambem assim
chamadas.
Existem defeitos associados a quebras de simetrias contnuas. Eles sao formados na transicao
de domnios mais sofisticados. Estes defeitos sao, por exemplo, cordas e monopolos que quebram
simetrias U(1) e SU(2), respectivamente. Por, em tres dimensoes, cordas sao objetos unidimensionais
e carregados. Foram primeiramente investigados por Nielsen e Olesen[9], que introduziram um modelo
de campo escalar complexo acoplado ao campo de Maxwell sendo uma extensao relativstica do modelo
de Ginzburg-Landau[10, 11]. Monopolos sao configuracoes puntiformes introduzidas por t Hooft[12]
e Polyakov[13]. Tem carga magnetica, e as vezes tambem eletrica, e sao obtidos em modelos onde um
isovetor a de tres componentes e acoplado ao campo nao abeliano de Yang-Mills.
Em 1976, Kibble[14] indicou que estruturas de domnio poderiam ser formadas em uma quebra
espontanea de simetria no universo primordial. Essas quebras de simetrias acarretariam transicoes
de fases que formariam os defeitos. Os domnios surgiriam quando a temperatura do universo se
14
reduzisse abaixo de uma temperatura crtica Tc, da mesma maneira que os domnios magneticos sao
formados em temperaturas um pouco abaixo da de Curie[15]. Kibble mostrou que a formacao de
paredes de domnio, cordas ou monopolos depende dos grupos de homotopia da variedade M do
conjunto de vacuos degenerados. Paredes podem ser formadas se 0 e nao trivial, isto e, se os vacuos
nao forem conectados, como ja vimos. A formacao de cordas e monopolos requer 1(M) e 2(M) nao
triviais, respectivamente - ver o captulo 4 de [16] como revisao. Desde os anos setenta, implicacoes
cosmologicas de uma possvel existencia desses defeitos tem sido amplamente estudados[17]. Em
especial, redes de paredes de domnio foram consideradas perigosas cosmologicamente, pois por suas
caractersticas tenderiam a dominar a energia do universo[18] e ate 1998, nao havia nenhuma razao
fsica para isso. Por essa razao foram poucos estudadas em comparacao com os outros defeitos[19].
Geralmente, modelos que suportam solucoes localizadas em teoria de campos relativstica tem
campos escalares que interagem de maneira nao linear. Esta especie de campo e muito utilizada por
sua simplicidade e serve para descrever diversas possibilidades presentes na natureza. Por exemplo,
paredes de domnio magneticas podem ser modeladas no limite do contnuo do modelo de Ising,
por um simples modelo de teoria de um campo escalar real que representa a elongacao angular dos
spins. Campos escalares surgem naturalmente em fsica de partculas e campos. O campo escalar de
Higgs, por exemplo, e muito importante do modelo padrao, pois ao adquirir valor esperado nao nulo,
possibilita a geracao de massa para as partculas elementares.
Recentemente, modelos com campos escalares estao sendo investigados como candidatos a energia
escura[20], componente do universo necessaria para sua expansao acelerada[22, 23]. Ha uma grande
variedade de modelos com um ou mais campos escalares, cada um com suas caractersticas especficas.
Citamos a quintessencia, o fantom, o quintom, a hessencia, a k-essencia, o condensado taquionico,
o dilaton e o condensado de fantasmas, entre outros - veja a referencia [20]. Em todos esses casos
o campo escalar se comporta como um fluido isotropico e homogeneo, logo apenas tem dinamica
temporal. Outra possibilidade de aplicacoes de campos escalares para a energia escura e atraves de
redes de paredes de domnio. Se essas redes fossem formadas em uma epoca mais recente e chegassem
a congelar em coordenadas comoveis, sua energia poderia dominar o universo e faze-lo acelerar, como
e observado.
Em dimensoes extras, o nosso universo tridimensional pode ser interpretado como uma parede de
domnio imersa em um bulk de dimensao superior[24], essa parede pode ter estrutura interna se for
obtida de um modelo de gravidade acoplado a campos escalares reais[25, 26, 27]. Portanto, tambem
neste cenario, campos escalares tambem foram amplamente estudados nos ultimos anos.
15
Nesta tese, investigamos diversos aspectos de sistemas de campos escalares reais em teoria de
campos, enfatizando os defeitos do tipo parede de domnio. Introduzimos novos modelos e fazemos
aplicacao em cosmologia. No captulo 2, fazemos uma introducao aos defeitos topologicos e nao
topologicos unidimensionais, observando suas caractersticas principais como energia, pressao e carga
topologica. Investigamos a estabilidade linear, destacando as solucoes BPS. Finalmente, estudamos
as condicoes necessarias para a existencia de defeitos com energia finita em mais dimensoes.
No captulo 3, investigamos novas classes de potenciais: o modelo p que suporta solucoes do
tipo dois-kinks; um modelo 4 com solucoes nao topologicas generalizadas; e extensoes do modelo
seno-Gordon. No captulo 4, estudamos modelos com acoes modificadas por razoes fsicas diversas.
Introduzimos modelos com dependencia explcita da posicao e outro com quebra explcita da simetria
de Lorentz e CPT. Tambem fazemos modificacoes na dinamica taquionica com o objetivo de encontrar
solucoes topologicas regulares.
Nos captulos 5 e 6, abordamos a funcao de modelos de campos escalares para a compreensao da
aceleracao do universo. No captulo 5, estudamos o formalismo de primeira ordem para os campos da
quintessencia e da dinamica taquionica, em geometrias plana, esferica e hiperbolica. No captulo 6,
investigamos a possibilidade de paredes de domnio possam contribuir para a energia escura. Discuti-
mos o conceito de frustracao e introduziremos um modelo que mais propcio a formar redes de paredes
de domnio que frustrem.
No captulo 7, fazemos comentarios, conclusoes, perspectivas e consideracoes finais sobre o presente
trabalho de tese. No apendice, selecionamos algumas expressoes importantes, utilizada durante o
trabalho. Tambem falamos brevemente do potencial quantico de Poschl-Teller modificado. Tambem,
apresentamos os passos para a resolucao numerica para equacoes que suportam kinks e lumps. Por
fim, estimamos de maneira analticas as caractersticas de paredes de domnio no modelo ideal com
N = 3. Com excecao da secao 4.3, em toda a tese utilizaremos a assinatura g = (1,1, . . . ,1).
16
Captulo 2
Defeitos em Teorias de Campos
Escalares
Muitos sistemas fsicos tridimensionais se comportam de maneira planar e unidimensional. Os
mais simples defeitos podem ser modelados por teorias em uma dimensao espacial. Neste captulo
investigamos defeitos topologicos e nao topologicos em modelos de campos escalares reais em 1 + 1
dimensoes. Na secao 2.1, estudamos modelos com apenas um campo escalar real, observando os
tipos de solucoes localizadas estaticas e de onda viajante. Tambem vemos o metodo da deformacao,
um procedimento muito util na busca de novos potenciais. Na secao 2.2, ampliamos o estudo para
modelos com mais campos escalares que admitem conjuntos de vacuos mais sofisticados, vemos o
metodo de Bolgomolnyi para solucoes topologicas BPS e conclumos investigando a estabilidade linear
das solucoes topologicas e nao topologicas. Na secao 2.3, apresentamos as condicoes necessarias para
estabilidade de solucoes de energia finita em uma dimensao arbitraria, atraves dos argumentos de
Derrick e Hobart.
2.1 Defeitos em Modelos com um Campo Escalar Real
O modelo mais simples em D dimensoes espaciais que admite solucoes localizadas e o de um unico
campo escalar real (~x, t) no espaco de Minkowski. A acao e dada por
S =
dt
dDx
(1
2
V ())
, (2.1)
17
onde V () e uma funcao arbitraria que determina a maneira com que o campo auto interage1. O
campo tem dimensao de massa elevada a (D 1)/2.A variacao desta acao com respeito ao campo origina a equacao de movimento
2
t22+ V
= 0, (2.2)
que e uma equacao diferencial parcial de segunda ordem. Como estamos interessados em encontrar
solucoes localizadas, o potencial e escolhido de maneira que esta equacao tambem seja nao linear.
O tensor energia-momento associado a solucao da equacao de movimento (2.2) e
= (1
2
V ())
. (2.3)
Devido a preservacao da simetria de Lorentz esse tensor e simetrico = . Em qualquer ponto
do espaco-tempo, podemos ter a densidade de energia de uma certa confinguracao (~x, t)
(~x, t) = 00 =1
2
(
t
)2
+1
2()2 + V (), (2.4)
onde cada termo representa contribuicoes cinetica, gradiente e potencial do modelo
C(~x, t) =1
2
(
t
)2
, G(~x, t) =1
2()2 , P (~x, t) = V (), (2.5)
com = C + G + P . O tensor de densidade de estresse e ij = (/xi) (/xj). Se i = j, temos
a pressao
pi(~x, t) = ii =
1
2
(
t
)2
+
(
xi
)2
12()2 V (). (2.6)
Os ndices i nao se somam. Efetuando esse somatorio, definimos a pressao media
p(~x, t) 1D
i
pi =1
2
(
t
)2
+
(1
D 1
2
)
()2 V (), (2.7)
onde D e o numero de dimensoes espaciais.
A densidade de fluxo de energia 0i, atraves da superfcie xi, tem o mesmo valor da densidade de
momento i0,
0i = i0 = t
xi. (2.8)
Usando a equacao de movimento (2.2), o tensor energia-momento e conservado
= 0. (2.9)
1Utilizamos o sistema natural de unidades, com ~ = c = 1.
18
A expressao acima e um conjunto de D+ 1 equacoes de continuidade do tipo /t+ ~ ~j = 0, onde e a densidade de carga e ~j e a densidade de corrente. Em tres dimensoes, essa equacao mostra que
em um volume V delimitado por uma superfcie fechada S, a variacao temporal da carga Q =d3x
e dada pordQ
dt=
Vd3x ~ ~j dQ
dt=
Sd2x~n ~j, (2.10)
onde ~n e o vetor normal a superfcie em cada ponto de S. Quando fazemos a integracao em todo
o espaco, essa carga e conservada. A equacao (2.9) mostra a conservacao da energia ( = 0) e do
momento ( = i). Da conservacao do momento, podemos definir
dF i = ijnj , (2.11)
que relaciona a densidade de forca com o tensor densidade de estresse.
A solucao mais trivial da equacao de movimento (2.2) e a do campo constante. Esses valores
devem ser escolhidos de modo que a derivada do potencial seja nula
V
= 0 i = ci. (2.12)
Ha tres classes dessas solucoes, as que maximizam, as que minimizam o potencial e os pontos de
inflexao. Elas tem significado fsico diferentes, como veremos na secao 2.2.2.
Uma classe especial de solucoes da equacao (2.2), e a daquelas que sao independentes do tempo,
que chamaremos de estaticas. A equacao se reduz a
2 = V
(2.13)
Para solucoes dependentes apenas de uma das coordenadas = (x), a equacao (2.13) se escreve
na formad2
dx2=
dV
d, (2.14)
que e uma equacao ordinaria nao linear de segunda ordem. Para esse caso, a densidade de energia e
a pressao sao os unicos termos nao nulos do tensor energia momento
(x) =1
2
(d
dx
)2
+ V (), (2.15a)
p =1
2
(d
dx
)2
V (). (2.15b)
O estudo das solucoes estaticas unidimensionais pode ser comparado fazendo analogia a mecanica
classica de um ponto material de massa unitaria em uma trajetoria reta. Se fizermos as identificacoes
19
x t, x e invertermos o potencial V () U(x), a equacao de movimento (2.14) se escreve
d2x
dt2= dU
dx, (2.16)
enquanto a densidade de energia e a pressao (2.15) tornam-se a lagrangeana e energia do movimento
da partcula, respectivamente,
L(t) =1
2
(dx
dt
)2
U(x), (2.17a)
E =1
2
(dx
dt
)2
+ U(x). (2.17b)
Para o problema mecanico dado pela densidade de lagrangeana (2.17a) a energia da partcula na
trajetoria unidimensional e conservada durante a evolucao temporal, o que nos sugere que a pressao
seja constante. Isso pode ser visto pela equacao da conservacao do tensor energia-momento (2.9),
para = 1, encontramos que a pressao p e constante para solucoes estaticas unidimensionais, pois
xxx = 0. Esse vnculo permite reescrever a equacao de segunda ordem em uma de primeira, tendo
a pressao constante como parametro de integracao
1
2
(d
dx
)2
= V () + p. (2.18)
Derivando essa equacao chega-se a equacao de movimento (2.14). Como o termo do lado esquerdo
nao e negativo, os valores possveis da pressao dependem da forma explcita do potencial V (), isto e,
o campo apenas tomara valores onde a densidade de energia potencial tenha valores que obedecam a
relacao V () p. Por exemplo, para o simples potencial constante V () = V0, a pressao e restritaa p V0, e as solucoes sao
(x) =
V0 + p (x x0). (2.19)
A constante x0 e o ponto onde a solucao se anula. A densidade de energia nesse caso e constante,
= 2V0 + p.
Consideramos agora um potencial generico com o perfil mostrado na figura 2.1. Se desenharmos
uma linha horizontal correspondente a p, onde p e um dado valor da densidade de pressao quepode ser escolhido, imediatamente encontramos possveis regioes de movimento do campo . Nesse
exemplo, a solucao vive no intervalo AB, ou no lado direito de C.
O conjunto de pontos que satisfazem V () = p indica os limites do movimento. Podemos chama-los de pontos de retorno por analogia a mecanica classica. Nesses pontos a velocidade d/dx se anula.
O que forca esse retorno e a aceleracao contraria d2/dx2 devido a variacao do potencial dV/d. O
20
-pBA C
V( )f
f1 f2 f3
Figura 2.1: Grafico de um potencial generico para o campo . Os valores de campo abaixo da linha
horizontal p sao os valores proibidos para o campo
caso mais interessante e a situacao onde o ponto de retorno tambem e um ponto crtico de mnimo
ou de inflexao. Aqui, quanto mais proximo deste ponto, nao so a velocidade vai se reduzindo, como
tambem o valor da aceleracao contraria dV/d, isso impede que a velocidade se anule para algum valor
finito do campo e ocorra o retorno, o que leva a um caso assintotico onde o campo tende a assumir o
valor do ponto crtico no limite x ou x . No proximo captulo, vemos um modelo em quetemos um ponto crtico com aceleracao nula, a solucao nao tem valores assintoticos para esse ponto.
Isto e explicado devido ao valor divergente da segunda derivada do potencial neste ponto.
2.1.1 Kinks e Lumps
Em modelos com apenas um campo escalar, ha duas classes de solucoes assintoticas: as topologicas
e as nao topologicas. As solucoes nao topologicas tem limites assintoticos iguais tanto para x ,quanto para x , (x ) = (x +) = 0. Elas em geral tem a forma de um sino, porisso sao comumente chamadas de lumps (que significa protuberancia). Solucoes como estas existem
em potenciais como o da figura 2.2 nos trechos 1 2 e 3 4. No trecho 1 2(3 4), o lumptem valores assintoticos em 2(3) e mnimo (maximo) no ponto de retorno 1(4).
Por outro lado, as solucoes topologicas tem limites assintoticos diferentes, (x ) = a e(x ) = b, com a 6= b. Elas em geral sao chamadas de kinks. No mesmo potencial que suportalumps da figura 2.2, ha duas configuracoes do tipo kink (kink k e antikink k), no trecho 2 3.Para x , a solucao tende ao valor assintotico 2(3) e para x , 3(2). Chamamos ossetores que suportam kinks de setores topologicos. Como a teoria (2.1) e invariante por paridade, em
21
um mesmo setor topologico existem duas solucoes tipo kink com os valores assintoticos invertidos que
chamaremos de kink (k) e seu antikink (k), k(x) = k. Nao tem sentido falar de antilump, pois oantilump e o proprio lump. No captulo 4, estudamos teorias que tem simetria de paridade violada,
quebrando o cenario defeito-antidefeito.
-p
V( )f
f1 f2 f3 f4
Figura 2.2: Perfil de um potencial que suporta solucoes tipo kink (no trecho 2 3) e lumps (nostrechos 1 2 e 3 4) para uma dada pressao p. Contudo essas configuracoes tem pressao naonula, logo tem energia que diverge, o que fisicamente nao e aceitavel.
Para kinks e lumps, a densidade de energia gradiente, G = 1/2(d/dx)2, e localizada proximo a
um ponto do espaco. Usando (2.18), vemos que a densidade potencial assume valor igual a p nospontos do espaco onde a energia gradiente se anula. Entao a densidade de energia total = G + P
nao e localizada, por causa do plato de valor p. A solucao tem energia finita E =dx apenas para
pressao nula, p = 0. Conclumos que qualquer solucao tipo kink ou lump estatica unidimensional com
pressao nao nula nao e fisicamente aceitavel. Veja por exemplo na figura 2.3, os dois potenciais tem as
mesmas caractersticas e suportam solucoes do tipo kink. Identicos, pois tem as mesmas equacoes de
movimento. No primeiro caso, a solucao tipo kink tem pressao negativa, logo a energia e divergente.
No segundo caso, a solucao tipo kink tem pressao nula, logo a energia e finita, tornando a solucao
fisicamente aceitavel. Logo para evitar esse problema escolhemos potenciais em que as solucoes tenha
valores assintoticos para os zeros desses potenciais, V ((x )) = 0, como na figura 2.3(b).O caso de pressao nula e especial pois nele se da a equiparticao das densidades de energias gradiente
e potencial, G = P = /2. Em termos da energia escrevemos
EG = EP =E
2, (2.20)
onde EG e EP sao as porcoes gradiente e potencial da energia. Como mostramos na secao 2.2.2, a
condicao de pressao nula e um pre-requisito para a estabilidade de solucoes de energia finita.
22
f
-a a
V( )f
(a) Potencial que suporta solucao
tipo kink com pressao negativa e en-
ergia divergente.
(b) Potencial que suporta solucao
tipo kink com pressao nula e ener-
gia finita.
Figura 2.3: Exemplo de potenciais que suportam solucoes tipo kink de perfis identicos, mas com
valores de pressao diferentes.
Devido a monoticidade das solucoes do tipo kink, para a pressao nula, a equacao (2.18) pode ser
dividida em duasd
dx=
2V () oud
dx=
2V (), (2.21)
uma para o kink e outra para o antikink. Essas equacoes sao resolvidas levando a
x x0 =
d
2V ()= F (), (2.22)
onde x0 e uma constante de integracao que identifica o centro do kink. Finalmente a funcao F deve
ser inversvel, de modo que podemos escrever
(x) = F1(x x0). (2.23)
A solucao para o sinal positivo (negativo) e monoticamente crescente (decrescente). Para termos
solucoes analticas explcitas, e preciso que (2V ())1/2 tenha integral analtica e que esta seja in-
versvel.
Ja para configuracoes do tipo lump, ao assumimos a condicao de pressao nula, a equacao (2.18)
torna-se (d/dx)2 = V (). Ao contrario das configuracoes do tipo kink, nao podemos escrever na
forma (2.21), pois lumps nao sao monotonicos. No entanto, podemos escrever
d
dx=
2V () ed
dx=
2V (). (2.24)
Usamos a primeira equacao de (2.21) para encontrar o lump na regiao onde a velocidade d/dx e
positiva e a outra equacao quando d/dx e negativo. Apesar de o potencial ter valores negativos, na
23
regiao permitida de valores de para o lump (regiao onde o lump vive), ele e sempre positivo ou
nulo. Essas equacoes podem ser resolvidas, levando a
x x0 =
d
2V ()= F (),
d
dx> 0 ;
d
2V ()= F (), d
dx< 0
(2.25)
Sendo F () uma funcao inversvel para cada trecho de x, podemos encontrar o lump como
(x) =
F1(x x0),d
dx> 0 ;
F1(x0 x),d
dx< 0.
(2.26)
Para lumps, F1 e sempre par em x x0. Com isso, a expressao reduz-se a
(x) = F1(x x0). (2.27)
Esses passos podem ser melhor entendidos para exemplos especficos, como veremos na subsecao 2.1.3.
Definimos agora um objeto que denominamos de corrente topologica
j = , (2.28)
onde e o tensor de Levi-Civita em 1+1 dimensoes definido no Apendice A. Da maneira como e
construda, a corrente topologica e automaticamente conservada, j = 0. Essa conservacao nao se
origina de nenhuma quantidade conservada da acao (2.1). Se integrarmos a densidade de carga em
todo espaco, temos
dQTdt
=
dx
jxx
= jx(x ) jx(x ) = 0. (2.29)
Logo a carga e conservada e e dada por
QT =
dx j0 =
dx
x= (x ) (x ). (2.30)
Para solucoes estaticas, temos jx = j1 = 0 e j0 = d/dx. A carga topologica caracteriza o tipo da
solucao: ela e nula para lump, mas nao e para kinks. Kink e antikink tem cargas opostas QTk = QTak .Uma forma mais geral de definir a corrente topologica e j =
g() = (dg/d)j, onde g() e
uma funcao bijetora do campo. A carga topologica generalizada e Q = g((x )) g((x )),que e muito util em modelos onde a carga topologica usual (2.28) e divergente.
24
Uma outra quantidade conservada e a energia que para solucoes estaticas escrevemos E =dxj20 =
(d/dx)
2dx. Contudo nao podemos dar uma carater topologico a essa quantidade, pois ela nao
distingue a topologia das solucoes. Kink e antikink tem a mesma energia. E ate mesmo solucoes tipo
lump (que nao sao topologicas) tem essa quantidade conservada nao nula.
2.1.2 Solucao de Onda Viajante
Uma classe de solucoes localizadas com dependencia temporal e a das solucoes de onda viajante.
Para a equacao de movimento em 1 + 1 dimensoes
2
t2
2
x2+
V
= 0, (2.31)
vamos supor solucoes de onda viajante do tipo
(x, t) = e(u), (2.32)
com u = (x vt), onde = (1 v2)1/2 e o fator de contracao de Lorentz e v e um valor constanteda velocidade. As derivadas parciais se transformam como
t=
d
du
u
t=
d
duv , (2.33a)
z=
d
du
u
z=
d
du . (2.33b)
A equacao (2.31) torna-sed2
du2=
V
. (2.34)
Logo, se existir um campo e(x) que resolva a equacao (2.14), existira uma solucao de onda viajante
para a equacao acima escrita por
(x, t) = e((x vt)). (2.35)
A solucao de onda viajante tem a forma da solucao estatica, se desloca com velocidade constante v
abaixo da velocidade da luz (v2 < 1) e tem espessura = 0/, onde 0 e a espessura da solucao
estatica.
Para esse tipo de solucao, integramos a equacao de movimento para encontrar o seguinte teorema
virial1
2
(d
du
)2
= V. (2.36)
25
Com isso podemos relacionar a energia da solucao da onda viajante com a da solucao estatica
E = E0. (2.37)
Vemos entao que a solucao de onda viajante se comporta como uma partcula relativstica classica.
2.1.3 Exemplos
Potencial 4
O potencial 4 e muito utilizado em teoria de campos. Ele e dado por
V () =
2(2 a2)2, (2.38)
onde e a sao parametros positivos com dimensoes [L]D3 e [L]1D2 , respectivamente. Esse potencial
tem simetria discreta Z2, pela reflexao . Seu perfil e mostrado na figura 2.4(a).A equacao de movimento para solucoes estaticas e
d2
dx2= 2(2 a2). (2.39)
Os pontos crticos sao as solucoes homogeneas a = a e a = a que sao pontos de mnimos e o0 = 0, que e o ponto de maximo. De (2.18), obtemos
1
2
(d
dx
)2
=
2(2 a2)2 + p. (2.40)
Para ver com mais detalhe o comportamento do campo em relacao a pressao, desenhamos na figura
2.4(b), o perfil de d/dx em relacao a para dados valores de p. Para valores positivos da pressao,
a solucao diverge, para p negativos, as solucoes sao periodicas e, como esperado, apenas para p =
0, temos a solucao localizada do tipo kink. Escolhemos uma das equacoes de (2.21) e escrevemos
d/dx = (2 a2). Seguindo (2.22), obtemos
x x0 =
d(2 a2)
= 1aarctanh
(
a
)
. (2.41)
Essa funcao F () e inversvel, seguimos para o passo seguinte obtendo a forma analtica das solucoes
kink e antikink
(x) = a tanh(
a(x x0)
)
, (2.42)
26
onde x0 e o centro do kink que e onde esta localizada sua energia. Isso pode ser visto pela densidade
de energia
(x) = a4sech4(
a(x x0)
)
, (2.43)
o maximo de e em x0 com valor a4. Definimos a espessura do kink por
= (a)1. (2.44)
A energia da solucao e
E =
(x) dx =
4a3
3. (2.45)
A espessura e a energia ficam fixadas unicamente com a escolha de e a, que podem ser encontradas
por
=4
3
1
E3e a =
3E
4. (2.46)
Entao o kink do modelo 4 e caracterizado pela energia e espessura, ou pelos parametros e a.
(a) Perfil do potencial. O ponto de
maximo 0 = 0 tem valor V (0) =
a4
.
(b) Perfil do espaco de configuracao
para dados valores de pressao. A
linha mais grossa corresponde a
solucao assintotica.
(c) Perfis do kink (linha solida) e da
densidade de energia (linha trace-
jada) para x0 = 0.
Figura 2.4: Perfis do potencial, espaco de configuracao, solucao tipo kink e densidade de energia para
o modelo 4 (2.38).
Potencial 3
Um modelo que suporta solucao do tipo lump e o 3. O potencial e dado por
V () = 22(
1 a
)
, (2.47)
27
onde e a sao parametros positivos. O perfil do potencial e mostrado na figura 2.5(a). A equacao de
movimento para solucoes estaticas e
d2
dx2= 2
(
2 3a
)
, (2.48)
que tem duas solucoes homogeneas 0 = 0 e max = 2a/3 que sao os pontos de mnimo e maximo
loca, respectivamente. De (2.18), obtemos
1
2
(d
dx
)2
= 22(
1 a
)
+ p. (2.49)
Como no caso 4, vemos o comportamento de d/dx em termo de para dados valores da pressao, ob-
servando a figura 2.5(b). Resolvemos a solucao de tipo lump usando a equacao d/dx = 2
(1 /a)e d/dx = 2
(1 /a). Seguindo, escrevemos (2.25)
x x0 =
d
2
(1 /a)=
1arcsech
(
a
)
,d
dx> 0 ;
d
2
(1 /a)= 1
arcsech
(
a
)
,d
dx< 0.
(2.50)
Como essa funcao e inversvel, escrevemos
(x) =
a sech2( (x x0)),
d
dx> 0 ;
a sech2( (x0 x)),
d
dx< 0.
(2.51)
A funcao sech e par, podemos escrever o lump simplesmente por
(x) = a sech2( (x x0)). (2.52)
A densidade de energia e dada por
(x) = 4a2sech4(
(x x0))
tanh2(
(x x0))
. (2.53)
A energia esta localizada em dois picos simetricos ao ponto x0, que localizam nos pontos xmax =
x0 (1/a) arctanh
(3/3), com valor maximo 16a2/27. A distancia entre esses dois picos e
d = (2/a) arctanh
(3/3)
, (2.54)
28
Integrando a densidade em todo o espaco, obtemos
E =
(x) dx =
16a2
15(2.55)
A distancia entre os picos e a energia total ficam fixadas unicamente com a escolha de e a, que
podem ser encontradas por
=4
d2arctanh2
(3/3)
e a =1
4
(
15Ed
2 arctanh(
3/3)
) 12
. (2.56)
entao o lump do modelo 3 e caracterizado pela energia e a distancia entre os picos de energia ou
pelos parametros e a.
(a) Perfil do potencial. O ponto
de maximo max = 2a/3 tem
valor V (0) = 8a2/27.
(b) Perfil do espaco de configuracao
para dados valores de pressao. A
linha mais grossa corresponde a
solucao assintotica.
(c) Perfis do lump (linha solida) e
da densidade de energia (linha trace-
jada) para x0 = 0
Figura 2.5: Perfis do potencial, espaco de configuracao, solucao tipo lump e densidade de energia para
o modelo 3 (2.47).
2.1.4 Metodo da Deformacao
Recentemente, devido a sistemas fsicos com caractersticas especficas, e feito um esforco em elab-
orar novos modelos de campos escalares que modelem esses sistemas. Contudo, devido a dificuldade de
encontrar potenciais que tenham kinks ou lumps com uma forma analtica conhecida, somos obrigados
a fazer analise numerica das solucoes de tais modelos2. O procedimento conhecido como o metodo da
deformacao[29], serve como uma alternativa na busca de potenciais com solucoes analticas.
2No apendice A, sao mostrados os passos para se obter solucoes numericas utilizando o Maple V
29
Seja f() uma funcao generica do campo denominada funcao deformadora. Introduzimos um
novo potencial dependente dessa funcao
V () =V (f())(df()
d
)2 . (2.57)
Denominamos V () de potencial deformado. Dependendo da forma explcita de f(), esse potencial
deformado tambem admite solucoes localizadas de energia finita. A solucao deformada e encontrada
simplesmente utilizando a funcao inversa f1,
(x) = f1((x)). (2.58)
Podemos escrever deste modo, pois satisfaz a equacao de primeira ordem
1
2
(
d
dx
)2
=V (f())(df)
d
)2 (2.59)
A funcao deformadora deve ser bijetora nos domnios das solucoes. A densidade de energia da solucao
deformada pode ser expressa em termos da solucao original
(x) =
(
d
dx
)2
=
(df1
d
)2(d
dx
)2
=
(d
dx
)2
(df
d
)2 . (2.60)
Como ilustracao deste metodo, consideramos o potencial 3 (2.47) como o potencial deformado do
modelo 4 (2.38), a funcao deformadora (para todos os parametros das teorias iguais a unidade)
e f() = 1 , de modo que as solucoes se relacionam por = 1 2. Obtemos o potencial
deformado
V () =
1
2
(1 f()2
)2
(df()
d
)2 =
1
2
(
1 (
1 )2)2
(1
2
11
)2 = 22(1 ). (2.61)
Utilizando esse metodo, encontramos solucoes para extensoes do modelo seno-Gordon, o que sera visto
na secao (3.3). Um estudo mais detalhado do metodo de deformacao pode ser visto na tese de Carlos
Alberto de Almeida[30] e em artigo recente[31].
2.2 Defeitos em Modelos com N Campos Escalares
30
Na secao anterior estudamos modelos com um unico campos escalar e encontramos solucoes
topologicas e nao topologicas. Muitas vezes e preciso incluir mais campos para se ter solucoes mais
complexas que modelem de maneira mais realstica alguns sistemas fsicos. Generalizamos a acao (2.1)
dada por
S =
dt
dx
[
1
2
(at
)2
12
(ax
)2
V (1, . . . , N )]
(2.62)
onde V e uma funcao nao linear dos campos 3. As equacoes de movimento para configuracoes estaticas
a = a(x), com a = 1, 2, . . . , N, sao dadas por
d2adx2
=V
a(2.63)
que sao N equacoes diferenciais ordinarias nao lineares de segunda ordem acopladas. Novamente
poderemos fazer analogia a mecanica classica. A coordenada x e identificado com o tempo x t e osN campos a sao identificados como as coordenadas do espaco N -dimensional, a xa.
Alguns conceitos vistos na secao anterior sao preservados, e outros devem ser estendidos. As
solucoes estaticas de N componentes e de energia finita ainda podem ser divididas em topologicas e
nao topologicas. Na figura 2.6 ilustramos o espaco de configuracoes bidimensional para um sistema de
dois campos, e . Os pontos A, B e C sao os mnimos do potencial V (, ). As orbitas representam
as solucoes (). As orbitas AB, AC e CB representam solucoes topologicas, enquanto a orbita
fechada BB representa uma solucao nao topologica. A orbita que circunda o ponto D representa
uma solucao oscilatoria com energia divergente. Ha uma infinidade de orbitas do tipo AB (na figura
estao ilustradas tres). Em geral, essas orbitas representam solucoes com energias distintas. E nesse
caso ha a instabilidade de solucoes com energia superior que decairao em outras de menor energia.
Isso pode influenciar na estabilidade das solucoes. As topologicas nao sao necessariamente estaveis.
Investigamos isso com mais detalhes na secao 2.2.2.
Tambem temos que estender a definicao de corrente topologica para a de um isovetor no espaco
dos campo dado por
ja = a, (2.64)
que leva a isocarga conservada dQa/dt = 0, com intensidade Q2 = Q21 + . . . + Q
2N . A solucao sera
topologica quando Q nao for nulo. Alem disso, defeito e antidefeito tem cargas opostas Qak = Qaak.3Assumimos o somatorio de Einstein para ndices repetidos. No caso de quadrados com apenas um ndice, consider-
amos o somatorio, p2a = papa.
31
Figura 2.6: Ilustracao de uma possvel distribuicao de vacuos no espaco de configuracoes e .
2.2.1 Metodo de Bolgomolnyi
Ummetodo muito interessante, implementado por Bolgomolnyi[32] e generalizado em [33], consiste
em reduzir as equacoes de movimento de segunda ordem em equacoes de primeira ordem atraves da
minimizacao da energia de um dado setor topologico do modelo. Como vimos na secao 2.1, para
um sistema com apenas um campo escalar, a equacao de movimento (2.14) se reduz a de primeira
ordem (2.18), atraves da conservacao do tensor energia-momento. Contudo para sistemas com mais
campos escalares com uma acao dada por (2.62) isso nao e tao simples. Para entender o que acontece,
multiplicamos cada equacao (2.63) por da/dx, somando-as e resolvendo a integracao obtemos
1
2
(dadx
)2
= V (1, . . . , N ) + p, (2.65)
que e a generalizacao direta de (2.65). Entretanto, ao contrario do caso de um campo, esta equacao
nao traz consigo toda a informacao da dinamica do sistema, por isso nao e uma substituta de (2.63).
Sendo assim, vamos trata-la como um vnculo que chamaremos de vnculo da pressao. O vnculo da
pressao nula e muito importante pois como ja vimos apenas solucoes de pressao nula tem energia
finita em todo o espaco. O metodo de Bolgomolnyi leva a equacoes de primeira ordem, para alguns
potenciais especficos, que substituem (2.63) em alguns setores da teoria.
A energia relacionada a acao (2.62) e para solucoes estaticas e dada por
E =
dx
[
1
2
(ax
)2
+ V (1, , . . . , N )
]
. (2.66)
32
Para uma dada funcao W (a), fazemos a seguinte organizacao dos termos
E =1
2
dx
(ax
Wa
)2
+
dx
[
V 12
(W
a
)2]
dxdW
dx. (2.67)
Se escolhermos que o potencial tenha a forma especfica
V (1, . . . , N ) =1
2
(W
a
)2
(2.68)
e calcularmos a integracao total, obtemos
E =1
2
dx
(ax
Wa
)2
+ EB, (2.69)
onde
EB = |W | = |W (a(x ))W (a(x ))| (2.70)
e a chamada energia de Bolgomolnyi. EB depende apenas da diferenca de W nos valores assintoticos
dos campos, portanto independe da forma explcita de a(x). Isso nos leva a conclusao que EB e o
menor valor que a energia pode ter para um dado setor topologico. E esse mnimo de energia apenas
ocorre quando as solucoes da equacao de movimento (2.63) resolvem tambem as seguintes equacoes
de primeira ordemax
= Wa
(2.71)
de modo que a energia dessas solucoes e EB = |W |. Uma grande vantagem desse metodo e se temosa funcao W (1, . . . , N ) e conhecemos o setor topologico, e possvel ter a energia da solucao sem
encontrar explicitamente a solucao.
Os setores topologicos onde W 6= 0 sao chamados de setores BPS e suas solucoes de solucoesBPS; caso contrario, com W = 0, sao chamados de setores nao BPS com solucoes nao BPS. Para
modelos com um campo, todas os setores e solucoes topologicas sao tambem BPS. As configuracoes
BPS sao mnimos de energia do setor BPS e portanto e esperado que sejam estaveis. Por outro lado,
nao ha garantia que as configuracoes dos setores nao BPS sejam estaveis. A estabilidade desse tipo
de solucao sera investigada na proxima secao.
Modelo de campos escalares com o potencial (2.68) pode ser visto como o setor bosonico de uma
teoria supersimetrica [34]. Em supersimetria a funcao W e chamada de superpotencial4.
4Um estudo detalhado de sistemas de campos escalares pode ser visto na tese de Dionisio Bazeia[35].
33
O modelo BNRT
Um modelo com dois campos escalares bem conhecido foi introduzido em [36, 37] e investigado
com mais detalhes em [38, 39, 40]. A funcao superpotencial W e dada por
W (, ) = 133 r2, (2.72)
o parametro real e positivo r controla a maneira com que os campos interagem. O potencial e
encontrado pela expressao
V (, ) =1
2
(W
)2
+1
2
(W
)2
. (2.73)
Substituindo (2.72), temos
V (, ) =1
2
(1 2 r2
)2+
1
2(2r)2 . (2.74)
Este potencial tem simetria Z2 Z2, pois e invariante sobre as reflexoes de cada um dos campos. Opar de equacoes de movimento para solucoes estaticas e
d2
dx2= 2
[r(r + 2r)2 1 + 2
], (2.75a)
d2
dx2= 2r
[(1 + 2r)2 1 + r2
]. (2.75b)
Da maneira que foi construdo, o potencial tem mnimos absolutos que sao os pontos crticos da funcao
superpotencial. Neste modelo especfico, o potencial tem quatro mnimos dados por
vh = (1, 0) , vv =(
0,
1/r)
. (2.76)
Para r positivo, eles estao dispostos simetricamente nos eixos e , como mostrado na figura 2.7.
Existem seis setores topologicos distintos, destes cinco sao BPS e as configuracoes sao solucoes das
equacoes de primeira ordem
d
dx= (1 2 r2), (2.77a)
d
dx= 2r. (2.77b)
E bom reforcar que a grande vantagem de termos uma teoria com um potencial escrito na especfica
forma (2.74) e que podemos obter a energia das solucoes BPS sem mesmo conhecer a solucao explcita.
A energia dos setores entre os mnimos diagonais e 2/3, enquanto entre os mnimos horizontais e 4/3.
As equacoes (2.77) podem ser integradas pelo fator integrante f() = 11
r , resultando na orbita
2 =r
2r 12 + C
1
r + 1, (2.78)
34
onde C e uma parametro de integracao que determina a orbita que conecta os mnimos de um dado
setor BPS. A orbita desacopla a equacao (2.77b), logo podemos encontrar todas as solucoes BPS.
Infelizmente, para um dado r, nem sempre e possvel encontrar solucoes analticas para um valor de
C arbitrario. Em [39], Izquierdo e colaboradores encontraram solucoes gerais para alguns valores de
r. Aqui, vamos explicitar duas orbitas especficas conectando os mnimos horizontais: a linha reta
horizontal (C ) e a elipse (C = 0).
Figura 2.7: Perfil dos quatro mnimos do potencial do modelo BNRT, representados por crculos. As
setas indicam como os mnimos estao conectados para x variando de ate . As linhas tracejadasse referem as orbitas elpticas que conectam os mnimos vh = (1, 0) para C = 0, na equacao (2.78).
As solucoes da orbita linha reta (tipo um campo) sao
(x) = tanh(x) e (x) = 0, (2.79a)
enquanto as quatro solucoes para a orbita elptica (tipo dois campos) sao
(x) = tanh(2rx), e (x) =
1 2 rr
sech(2rx), (2.79b)
com 0 < r < 1/2. Essas solucoes podem ser aplicadas em sistemas que descrevem interfaces quirais
[41, 42], para modelar polarizacoes lineares e elpticas. As solucoes tipo dois campos podem ser usadas
para descrever estruturas internas. No centro do kink (x = 0), o campo e maximo.
Modelos com dois ou mais campos sao tambem usados para descrever estruturas em cadeias de
35
polmeros unidimensionais. Trabalhos neste contexto tem utilizado o modelo BNRT para descrever
defeitos topologicos em cristais ferroeletricos[43, 44] e no polietileno[45, 46].
2.2.2 Estabilidade Linear
Toda configuracao fsica tem a tendencia natural de ir para um estado de mnima energia. A
estabilidade das solucoes estaticas esta diretamente ligada a possibilidade desta decair para um estado
de menor energia, ou para o proprio vacuo. A estabilidade de uma solucao deve ser investigada nao
apenas por aspecto energetico, como tambem por aspecto topologico. Solucoes topologicas tendem
a manter a topologia mesmo apos perturbacoes. Contudo, nem toda solucao topologica e estavel
pois algumas solucoes multicomponentes podem decair em duas solucoes de energia inferior ainda
preservando as condicoes assintoticas.
Para verificar isso explicitamente, introduzimos um sistema de N campos escalares reais em D
dimensoes espaciais, cuja acao e dada por
S =
dt
dDx
[1
2a
a V (1, . . . , N )]
. (2.80)
As N equacoes de movimento sao dadas por
a +
V
a= 0. (2.81)
Para estudar a estabilidade linear das solucoes sob pequenas perturbacoes, assumimos a = a + a,
onde a e alguma solucao nao perturbada da equacao (2.81) e a a perturbacao da solucao a. A acao
perturbada ate segunda ordem, apos uma integracao por partes, e
S = S0 +
dt
dDx[ (
a +
V
a
)
nulo
a +1
2a
a 2V
abab
]
, (2.82)
onde S0 e uma constante que carrega os termos da solucao a e em nada interfere na evolucao de a,
que e regido pela equacao
a + Uab(t, ~x)b = 0 (2.83)
com
Uab(t, ~x) =2V
ab
a=a
, (2.84)
onde Uab(t, ~x) e a chamada matrix hessiana, simetrica por construcao. Temos um sistema de equacoes
diferenciais parciais lineares hiperbolicas com coeficientes dependentes da posicao e do tempo.
36
Quando consideramos configuracoes estaticas a = a(x), a funcao U e independente do tempo,
Uab(~x, t) Uab(~x). Neste caso, atraves de separacao de variaveis, podemos escrever a perturbacaocomo o somatorio de modos de Fourrier
a(t, ~x) =
a (~x) cos(t), (2.85)
o somatorio e feito em todos os possveis valores de , que sao determinados pela forma explcita de
U(~x). A equacao (2.83) para cada modo e reescrita como
2a + Uab(~x)b = 2a . (2.86)
Este conjunto de equacoes tem a mesma forma da equacao de Schrodinger para uma funcao de onda
de N componentes. Identificamos o operador hamiltoniano
Hab = 2ab + Uab(~x). (2.87)
Temos entao um problema de autovalores, Habb =
2a , equivalente a um problema em D dimensoes
de mecanica quantica de uma funcao de onda de N componentes submetida a um potencial quantico
matricial Uab.
Estas equacoes tem N D modos zeros (modos que nao contribuem para a energia da solucao a).Destes, D sao os modos referentes as translacoes, pois a teoria (2.80), e invariante sob essa simetria.
Podemos escrever, para pequenos valores de x0,
a(~x+ ~x0) = a(~x) +
(a(~x+ ~x0)
x0i|x0=0
)
x0i, (2.88)
onde a indica uma dosN perturbacoes dos campos, e i uma dasD dimensoes espaciais. As coordenadas
xi sao as D coordenadas retangulares. Escrevemos o modo
ai(x) =a(~x+ ~x0)
x0i
x0=0
=a(~x)
xi. (2.89)
Da acao (2.82), encontramos a energia para uma perturbacao estatica
E =1
2
dDx[
(a )2 + Uab a b]
=1
2
dDx a(2a + Uab b
). (2.90)
Na passagem para o terceiro termo foi feita uma integracao por partes. Substituindo um dos modos
zeros (2.89), temos
E =1
2
dDx
(axl
)[
2(axl
)
+ Uab
(bxl
)]
=1
2
dDx
(axl
)[
xl
(
2a V ()
a
nulo
)]
= 0, (2.91)
37
Da primeira para a segunda linha, levamos em conta que em coordenadas cartesianas e valida a
relacao de comutacao, [2, /xi] = 0. Como a contribuicao da perturbacao da energia e nula, (2.89)sao os D modos zeros da teoria (2.80). Uma teoria de D campos escalares nao precisa ter a forma
padrao (2.80) para que tenha esses D modos zeros. Qualquer teoria com uma lagrangeana generica
L = L(a, a) tem modos zeros dados por (2.89). Contudo, e muito importante salientar que nemsempre esse modo zero e normalizavel. Por exemplo, para uma densidade de lagrangeana do tipo
L = V ()(1 )a, com a 6= 1/2, introduzida em [47], a solucao e uma e linha reta, logoo modo zero e constante e por isso nao normalizavel. Para essa teoria o primeiro modo e um modo
positivo.
Os outros (N 1)D modos sao encontrados da derivacao das outras (N 1)D constantes deintegracao das solucoes das equacoes (2.81).
Em uma dimensao a equacao tipo Schrodinger e reescrita como
d2adx2
+ Uab(x)b =
2a . (2.92)
Como vimos anteriormente, diferente do caso de um campo escalar, a estabilidade de solucoes
topologicas nao esta assegurada. Isso pode ser explicado porque em um mesmo setor topologico, as
solucoes adquirem diversos valores de energia. Logo, as de maior energia decairao nas de menor.
Por exemplo, na figura 2.6, se a orbita AB superior tiver energia inferior as outras duas, elas terao
a tendencia em decair para ela. Outra maneira de uma configuracao topologica ser instavel e o
decaimento para um outro valor assintotico intermediario. Por exemplo, na figura 2.6, as orbitas AB
podem decair para duas orbitas AC e CB se a soma dessas duas energias for menor que a energia
original.
Em setores BPS, todas as solucoes tem a mesma energia, e isto e um indcio de serem estaveis.
Vamos estudar a estabilidade de solucoes topologicas BPS que sao encontrar para potenciais do tipo
(2.68), derivados de uma funcao superpotencial W . A matrix hessiana Uab pode ser escrita da seguinte
forma
Uab(x) =
(2W
ac
)(2W
cb
)
+
(3W
abc
)(W
c
)
. (2.93)
Para solucoes BPS que obedecam o conjunto de equacoes (2.71), podemos reescrever (2.92) como
(d
dxab +
2W
ab
)(
ddx
bc +2W
bc
)
c = 2a . (2.94)
Definimos os operadores diferenciais de primeira ordem,
Sab = d
dxab +
2W
ab. (2.95)
38
Lembrando que (d/dx) = d/dx escrevemos o seu hermitiano conjugado
Sab =d
dxab +
2W
ab. (2.96)
Desta maneira, podemos reescrever (2.94) de uma forma compacta
Habb = S
abSbc
c =
2a . (2.97)
Multiplicando (2.97) a direita por
a , obtemos
d SdbSbc
c =
2
a a , (2.98a)
(Sbd
d )Sbc
c =
2
a a . (2.98b)
Se definimos |na >= a , a funcao de onda normalizada para um dado n. E assumindo que os estadossao ortogonais,< na|mb >= 0, para n 6= m, escrevemos a equacao acima como
2n = < na|SbaSbc|nc >, (2.99a)
2n =
dx |a(x)|2, (2.99b)
onde a = Sac|nc > . Conclumos entao que 2 0, logo nao existe modo negativo. O que significa queas solucoes BPS sao estaveis sob pequenas perturbacoes dos campos, pois os modos menos energeticos
sao os modo zeros 0a com 0 = 0.
Exemplos
Vamos analisar os modelos com apenas um campo escalar 4 (2.38) e 3 (2.47), que suportam
configuracoes de kinks e lumps, respectivamente. Em modelos de um campo, a matriz hessiana Uab(x)
e simplesmente uma funcao escalar e a equacao de autovalores correspondente e uma equacao de
Schrodinger para uma funcao de onda escalar
d2
dx+ U(x) = 2 (2.100)
O potencial 4 tem derivada segunda dada por
d2V
d2= 2
(32 a2
). (2.101)
Para os pontos de maximo = 0, U = 2a2, logo esse ponto e instavel por apresentar modostaquionicos, 2 < 0. Os pontos de mnimo sao estaveis visto que U = 4a2.
39
Substituindo a solucao (2.42), encontramos o potencial quantico
U(x) = 2a2(
2 3 sech2(ax)
)
, (2.102)
O potencial 3 tem derivada segunda dada por
d2V
d2= 4
(
1 3a
)
. (2.103)
Substituindo (2.52), encontramos o potencial quantico
U(x) = 4(
1 3 sech2(x)
)
(2.104)
Ambos os potenciais estao includos na classe do potencial de Poschl-Teller modificado sem estados
contnuos de reflexao, dado pela expressao U(x) = A B sech2(x), como podemos ver no apendiceA. O potencial (2.102) com os parametros = a = 1, tem os parametros de Poschl-Teller dados por
A = 4 e B = 6. O espectro de energia dos estados ligados e portanto
n = n(4 n) (2.105)
com n = 0, 1. Os valores deles sao 0 = 0 e 1 = 3. O modo zero e o modo de menor energia, portanto
o modelo 4 e estavel sob pequenas perturbacoes do campos.
Com a = = 1 para o potencial 3, os parametros do potencial de Poschl-Teller e A = 4 e B = 12.
O espectro de energia e dada por
n = (n 1)(5 n) (2.106)
com n = 0, 1, 2. Os valores deles sao 0 = 1, 1 = 0 e 2 = 3 O modo zero nao e o modo de menorenergia, portanto o modelo 3 nao e estavel sob pequenas perturbacoes.
Isso ja essa esperado, pois sabemos que para modelos com apenas um campo escalar real, a
estabilidade esta segurada por aspectos topologicos. Tambem vemos que o modo zero e a derivada da
solucao 0 = d/dx. Para o kink, a derivada nao cruza o eixo x, mostrando ser o modo mais baixo.
Para o lump, a derivada cruza o eixo x, denunciando sua instabilidade.
2.3 Defeitos em Dimensao Espacial Arbitraria
Uma possvel existencia de solucoes estaticas estaveis e de energia finita de teorias de campos
escalares em 3 dimensoes dadas por acoes do tipo (2.82) foi categoricamente descartada por Hobart
[51] e Derrick [52], no comeco dos anos sessenta. Atraves de argumentos bastante simples, ele provaram
que toda solucao dessa especie tem a tendencia a colapsar.
40
Teorema de Derrick
A energia associada a acao (2.82) e
E =
dDx
[1
2(a)2 + V (1, . . . , N )
]
. (2.107)
exigimos que o potencial seja nao nulo no domnio da solucao, V (1(x), . . . , N (x)) 0. Definimosuma funcao E, escrita como
E =
dDx
[1
2
(
a)2
+ V (1 , . . . , N )
]
(2.108)
onde a(~x) = a(~x) e a solucao contrada ( > 1) ou dilatada ( < 1). Entao E e a energia da
solucao reescalada. E obvio que E|=1 = E. Esse tratamento e valido para proximo a unidade.
Para escrevermos E em termos de , fazemos a seguinte modificacao ~y = ~x.
E =
dDy
D
[1
22 (a)2 + V (1, . . . , N )
]
(2.109)
= 2DEG + DEP (2.110)
onde EG e EP sao as porcoes gradiente e potencial da energia. E deve ser minimizada para = 1,
logo escrevemosE
=1
= (2D)EG DEP = 0 (2.111)
como EG e EP nao sao negativos, a identidade acima so pode ser obedecida em uma dimensao
(D = 1) ou em duas, neste ultimo caso apenas se EP for nula. Em uma dimensao, a expressao reduz a
equiparticao da energia EG = EP , que como ja vimos na secao (2.1) e uma condicao de pressao nula.
Para constatar que E e mnimo, precisamos encontrar a segunda derivada de E
2E2
=1
= (2D)(1D)EG +D(1 +D)EP = 2(2D)EG. (2.112)
Em D = 1, a expressao acima reduz-se a E |=1 = E confirmando que para esse caso E, a solucao eestavel sob contracoes e dilatacoes. A equacao (2.110) em D = 1 se escreve como E = (E/2)(+1/),
esta funcao e vista na figura 2.8(a). Tambem mostramos nas figuras 2.8(b) e 2.8(c) o comportamento
qualitativo de E = EG + Ep/2 (D = 2) e E = EG/+ Ep/
3 (D = 3).
Para verificar com mais detalhes esses resultados, repetimos esse metodo para uma densidade
de lagrangeana generica do tipo L = L(a, a). Do tensor energia-momento, a energia e paraconfiguracoes estaticas, e
E =
dDxL(a,a). (2.113)
41
1
E
l
(a) D = 1. Note que = 1 e um
mnimo de energia.
1
E
l
EG
(b) D = 2. A solucao colapsa.
1
E
l
(c) D = 3. A solucao colapsa.
Figura 2.8: Perfil da energia de uma configuracao fsica em termos do parametro de deformacao . O
procedimento de Derrick e valido apenas para proximo a unidade.
Definimos novamente E e repetimos a modificacao x x, para obter
E =
dDxDL(a, a). (2.114)
Exigimos novamente que a primeira derivada desta funcao em = 1 seja nula para garantir a estabil-
idade por dilatacao
E
=1
=
dDx
(L
(a)a DL
)
=
dDx
i
ii = Dp = 0, (2.115)
onde p e a pressao media da configuracao. Vemos entao que para qualquer teoria dada por L =L(a, a), a solucao sera estavel por reescala das coordenadas apenas se a pressao media for nula.
O argumento de Hobart
O trabalho de Hobart [51] e muito parecido com o de Derrick, foi feito exclusivamente no espaco
tridimensional para solucoes de um campo escalar com simetria esferica. Vamos manter a dependencia
radial, mas vamos generalizar para um numero de campos e dimensoes arbitrarias. Substitumos a
seguinte perturbacao
a =ar
(2.116)
na energia relacionada (2.90), de maneira que
E =1
2
dDx
(ar
)[
2(ar
)
+ Uab
(br
)]
=1
2
dDx
(ar
)[
r
(
2a V ()
a
nulo
)]
12
dDx
(ar
)[
2, r
]
a (2.117)
42
Ao contrario de coordenadas cartesianas, o comutador acima nao e nulo, em D dimensoes para con-
figuracoes dependentes de r. Usamos o laplaceano em (A.4), de modo que
[
2, r
]
=
[1
rD1d
dr
(
rD1d
dr
)
,d
dr
]
=D 1r2
d
dr. (2.118)
Logo encontramos
E = 12
dDx
(ar
)2
, (2.119a)
E = (D 1
2
)
D
dr rD3(ar
)2
, (2.119b)
onde D e o fator da integracao angular dado em (A.6). A contribuicao para a energia da perturbacao
(2.116) e negativa, para D 2, portanto a solucao e instavel sob essa perturbacao.E importante notar que ambos argumentos sao do tipo no-go, que so provam a instabilidade das
solucoes de energia finita em D 2.
43
Captulo 3
Novas Classes de Potenciais
Neste captulo investigamos novas classes de potenciais de campos escalares reais que foram in-
troduzidos durante o programa de doutorado. Na secao 3.1, introduzimos o modelo dependente de
um parametro mpar denominado modelo p, a sua equacao de movimento possui solucoes estaticas do
tipo dois-kinks que sao caracterizados por terem densidade de energia localizada em dois pontos do
espaco. Na sequencia, introduzimos um modelo 4 que admite solucoes nao topologicas do tipo lump
que formam um plato bastante largo controlado por um parametro positivo. Por fim, investigamos
diversas generalizacoes do modelo de seno-Gordon para um e dois campos escalares reais.
3.1 Modelo p
Seja o seguinte modelo, introduzido em [53],
V () =
2
(
0
)2[(
0
) 1p
(
0
) 1p
]2
, (3.1)
onde e 0 tem dimensao de massa elevado a D e a (D 1)/2, respectivamente. Para facilitar ainterpretacao dos resultados, fazemos redefinicoes de modo que temos todas as variaveis do modelo
adimensionais. Fazendo V V, 0 e x 0x, obtemos o potencial
V () =1
22(
1
p 1
p
)2, (3.2)
onde p e um parametro inteiro mpar. O caso especial p = 1 nos da o modelo 4 (2.38) com = a = 1.
44
Este potencial e obtido do superpotencial
W () =
1
p+2
2 + 1p
1p+2
2 1p. (3.3)
O potencial p pode ser obtido por uma deformacao do potencial 4 (2.38), para = a = 1, atraves
da funcao deformadora f() = tanh(p arctanh(1
p )),
V () =12
(1 f()2
)2
(df()
d
)2 =12
(1 tanh(p arctanh(1/p))2
)2
((1 tanh(p arctanh(1/p))2
)1/p1
1 2/p
)2 =1
22(
1
p 1
p
)2. (3.4)
Para p = 1, o maximo do potencial e o ponto = 0. Para p 6= 1, os dois maximos simetricos saomax = ((p 1)/(p + 1))p/2. Os mnimos do potencial sao (1, 1) para p = 1 e (1, 0, 1)para p 6= 1. O mnimo = 0 tem segunda derivada do potencial divergente
d2V
d2
=0
. (3.5)
Por causa disso, esse ponto nao e um bom estado fundamental perturbativo. Consequentemente, pode
nao haver solucao tipo kink que tenha valor assintotico para esse mnimo. Portanto, o setor topologico
pode conectar dois mnimos nao consecutivos, = 1 e = +1. Podemos ver isso explicitamenteobservando as solucoes deste modelo
(x) = tanh(x
p
)p
. (3.6)
E o primeiro potencial na literatura com esta caracterstica. Escolhemos x = 0 como o ponto onde a
solucao cruza o mnimo = 0, para p 6= 1. Nesse caso, temos solucoes tipo dois-kinks, como vemosna figura 3.1(b). Vemos que as solucoes para p = 3, 5, . . . conectam os mnimos 1 e +1, passandopor = 0 com derivada nula. Essa e uma solucao do tipo dois-kinks autentica, pois ela e composta
por dois kinks com derivadas nulas nos seus extremos. Esses dois kinks estao separados por uma
distancia proporcional a p, o parametro que especifica o potencial. Ao contrario da solucao tipo kink
onde o centro esta localizado em um ponto do espaco, para uma solucao tipo dois-kinks, o centro
esta localizado em dois pontos do espaco (centro dos dois kinks). Tambem vemos isso observando a
densidade de energia que e dada por
= sech
(x
p
)4
tanh
(x
p
)2p2. (3.7)
45
A energia esta localizada em dois pontos do espaco. O perfil da densidade de energia e mostrado na
figura 3.1(c). Note que a funcao se anula no centro do defeito e tem dois pontos de maximos simetricos
x = p arcsech
2
p+ 1, (3.8)
mostrando que a solucao dois-kinks possui estrutura interna. E interessante notar que comportamento
desse tipo foi encontrado recentemente em sistemas magneticos [54] quando vinculamos a geometria
de certo material (Fe20Ni80 de tamanho tpico de 2nm) de uma maneira especfica.
Esse perfil de energia e muito parecido com o de um lump, a diferenca e que aquela solucao nao e
topologica e instavel. As solucoes (3.7) sao topologicas com a estabilidade assegurada. As configuracoes
tipo dois-kinks foram estudadas por Christ e Lee na referencia [55] no contexto de modelos de sacolas
unidimensionais em teoria de hadrons. Os dois kinks modelam um par de quarks. O modelo escolhido
pelos autores nao representa rigorosamente dois kinks. A densidade de energia nao se anula entre um
kink e outro. No modelo p, o valor de (0) e nulo, para p 6= 1.
1
f
V( )f
-1
(a) Perfil do potencial. O setor
topologico conecta os mnimos nao
consecutivos 1 e 1.
(b) Perfil da solucao tipo dois-kinks.
O valor da inclinacao em = 0 e
nula.
r( )x
(c) Perfil da densidade de energia.
A energia esta localizada em dois
pontos do espaco, simetricos
Figura 3.1: Potencial, solucao tipo dois-kinks e densidade de energia para o modelo p. As curvas
solida e tracejada correspondem a p = 3 e p = 5, respectivamente.
O valor da energia para um p arbitrario e
Ep =4p
4p2 1 . (3.9)
Para p 6= 1, a segunda derivada do potencial e 4/p2 nos mnimos 1. Os maximos tem segundaderivada 2/p2 ((p 1)/(p+ 1))p/2. E para o mnimo central = 0 e divergente, como ja vimos. Paraverificar com detalhes as excitacoes da solucao dois-kinks, encontramos o potencial quantico (2.84)
U(x) =
(
1 +1
p
)(
1 +2
p
)
tanh2(x
p
)
+
(
1 1p
)(
1 2p
)
tanh2(x
p
)
2. (3.10)
46
O modo zero e
0 = cp sech2(x
p
)
tanhp1(x
p
)
, (3.11)
onde cp e a constante de normalizacao dada por cp =
(4p2 1)/(4p). Para p 6= 1, o potencialquantico e divergnte para = 0. Por causa disso, o espectro contnuo tem reflexao total. Isso e o
contrario do comportamento do modelo 4, onde o potencial quantico nao tem reflexao.
Esse modelo foi recentemente aplicado por D. Bazeia, C. Furtado e A. R. Gomes [56] no contexto de
branas. Ele foi utilizado para encontrar branas espessas com estrutura externa. Sua grande virtude
e que simplifica muito o modelo considerado por A. Campos [57] que acoplou um campo escalar
complexo com a gravidade em temperatura finita.
3.2 Modelo de Lump Generalizado
Uma solucao do tipo kink, como ja foi visto, pode conectar dois pontos de mnimo. Se um desses
pontos, ao inves de ter valor nulo assumir valor negativo - veja a figura 3.2(a) - nao havera solucao
tipo kink, pois o ponto de retorno da solucao nao mais sera esse mnimo. O que se obtem agora e
uma solucao do tipo lump. Quanto menor for esse desnvel mais largo sera lump, formando assim um
plato em certa regiao do espaco. Para isso introduziremos um modelo com essas caractersticas dado
pelo seguinte potencial
V () = 22 ( 0 tanh(a)) ( 0 coth(a)) , (3.12)
onde 0 e um parametro positivo com a mesma dimensao do campo e a e um parametro real adimen-
sional. Escolhemos 0 = 1. Fixamos a a valores positivos, pois a transformacao a a apenas refleteo potencial no eixo . O perfil do potencial e mostrado na figura 3.2(a)
Esse potencial pode ser encontrado pela deformacao da teoria 3 (3.20) com a funcao deformadora
f() =sech2(a)
tanh(a)(1 tanh(a)) . (3.13)
No limite a ,lima
tanh(a) = lima
coth(a) = 1. (3.14)
Logo, o modelo se reduz ao 4 que suporta apenas solucoes localizadas do tipo kink. Depois da
redefinicao = (+ 1)/2, vemos claramente
V () =1
8
(2 1
)2. (3.15)
47
A equacao de movimento para as solucao estatica e dado por
d2
dx2= 4
[22 3 coth(2a)+ 1
]. (3.16)
Esta equacao tem 3 solucoes constantes
0 = 0, (3.17a)
max =3 coth(2a)
9 coth2(2a) 84
, (3.17b)
min =3 coth(2a) +
9 coth2(2a) 84
. (3.17c)
O primeiro ponto e um mnimo fixo, com valor de potencial nulo e concavidade positiva 2. Os dois
outros dependem do parametro a e no limite a , max e min tendem a 1/2 e a 1, respectivamente.O valor do potencial do ponto de maximo max e positivo para qualquer valor de a. O valor do potencial
para o ponto de mnimo min e sempre negativo e vai assintoticamente para o zero. Isso significa que
o potencial obrigatoriamente corta o zero entre o ponto de maximo e de mnimo. Logo, sempre exitira
uma solucao nao topologica, tipo lump, que sai do mnimo em e volta para ele, ao ter passado pelo
segundo zero do potencial back = tanh(a).
A solucao lump centrada em x = 0 e
(x) =1
2[tanh(x+ a) tanh(x a)] , (3.18)
que e basicamente a subtracao de dois kinks centrados em a e +a ou a soma centrado em a e umantikink centrado em +a. O maximo do lump e back em x = 0, com (0) = tanh(a). Quanto maior
for o valor do parametro a, mais esse maximo se aproxima da unidade. Reescrevemos a solucao com
a seguinte expressao
=b sech(x)2
1 b2 tanh(x)2 , (3.19)
onde b = tanh(a). Para a muito pequeno, a solucao se reduz a = a sech(x)2, que e a solucao do
modelo 3 (2.47), com = 1,
V () = 22(
1 a
)
. (3.20)
Continuando, vemos do perfil dos graficos que quanto maior for o valor de a maior sera a largura
do plato da solucao. A densidade de energia estara localizada em dois pontos a e +a e dependendodo valor de a temos dois morros desconectados. A expressao da densidade e
=1
4
[tanh2(x+ a) tanh2(x a)
]2(3.21)
48
1
f
V( )f
(a) Perfil do potencial para tres val-
ores de a. De baixo para cima
a = 0.75, a = 1, a = 5. Note que
para o valor a = 5, o valor do se-
gundo ponto de mnimo e negativo.
So sera nulo no limite a .
1
-10 10
(b) Perfil das solucoes tipo lump
para o parametro a assumindo os
valores 0.75, 1 e 5, respectivamente
para as curvas cheia, tracejada, e
ponto-tracejada.
1
-15 15
(c) Perfil das solucoes tipo lump
para o parametro a assumindo os
valores a = 4, a = 6, a = 8, a = 10 e
a = 12, do lump mais estreito para
o mais largo.
Figura 3.2: Potencial e solucao para o modelo (3.12).
e a energia
E = 2
(
dy
1
4sech(y)4
)
2(
dy
1
4sech(y a)2sech(y + a)2
)
. (3.22)
A primeira integral independe de a e e igual a soma das energias do par kink-antikink calculadas
isoladamente. O segundo termo e dependente de a e e sempre menor que a primeira integral, tendo
este valor com a = 0, e se tornando pequeno para a grande. Calculando as integrais, temos
E =2
3 4cossech2(2a)
[2a 1
2+ ae2acossech(2a)
]
. (3.23)
Para a = 0, a energia se anula. Para a muito grande, a energia adquire o valor assintotico 2/3 que e
a energia de cada kink.
Agora investigamos a estabilidade linear da solucao. Para isso, encontramos a segunda derivada
do potencial2V
2= 4(62 6 coth(2a)+ 1). (3.24)
Substituindo o valor da solucao, obtemos o potencial (2.84) da equacao de Schordinger,
U(x) =4b2sech(x)2
[9 sech(x)2 5 + 4 sech(x)2 b2
] 12sech(x)2 + 4
(1 b2 tanh(x)2)2. (3.25)
O modo translacional e dada por
0 =1
2
[tanh2(x+ a) tanh2(x a)
]. (3.26)
49
Essa solucao e a subtracao de dois modos zeros do modelos 4. O modo zero no modelo 4 e o modo
de energia mais baixa. Contudo esse modo zero (3.26) cruza o zero no ponto x = 0 e portanto temos