PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DO RIO GRANDE DO SUL

Faculdade de Matemtica Departamento de Matemtica Disciplina de lgebra Linear e Geometria Analtica

Professor Paulo Winterle

DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR Sejam n21 v..., , v,v vetores em V e a equao vetorial

0...2211 =+++ nnvavava (1) Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito trivialmente como CL de n1 v..., ,v pois a afirmao

0.0....0.0 21 =+++ nvvv sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A soluo 0...21 ==== naaa chamada soluo trivial de (1). A respeito desta equao o interesse est na resposta pergunta

A soluo trivial de (1) nica? Se a resposta for

a) Sim, ento n21 v..., , v,v so linearmente independentes (LI) ou o conjunto { }n21 v..., , v,v LI

b) No, ento n21 v..., , v,v so linearmente dependentes (LD) ou o conjunto { }n21 v..., , v,v LD, e neste caso, a equao (1) admite solues no triviais ( )0ia

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1 Os vetores unitrios cannicos de 4R ( )0,0,0,11 =e ( )0,0,1,02 =e ( )0,1,0,03 =e ( )1,0,0,04 =e so LI pois a equao

044332211 =+++ eaeaeaea ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0,01,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,1 4321 =+++ aaaa se reduz a ( ) ( )0,0,0,0,,, 4321 =aaaa e portanto, possui somente a soluo trivial 04321 ==== aaaa Exemplo 2 Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,0v2 = e ( )1,-1,1v3 = so LI, pois a equao 0332211 =++ vavava ou o sistema correspondente

000

111

012

001

s admite a soluo trivial 0321 === aaa . Exemplo 3 Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,2v2 = e ( )1,2,4v3 = so LD pois alm de ser verdade que

0.0.0.0 321 =++ vvv tambm verdadeira a afirmao 023 321 =+ vvv (verifique)

isto , a igualdade 0332211 =++ vavava admite solues ( )0ia (no triviais).

Professor Paulo Winterle

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Observao Importante Todo sistema homogneo no qual ocorre

nmero de equaes < nmero de variveis indeterminado, ou seja, admite solues no triviais ( )0 . Este fato permite identificar de imediato alguns conjuntos LD. No intuito de simplificar, tomemos o espao vetorial 3R e observemos dois detalhes importantes:

a) como neste conjunto cada vetor tem 3 componentes, o sistema homogneo correspondente equao (1) ter sempre 3 equaes, independente do nmero de vetores.

b) na igualdade (1) o nmero de variveis ( )ia coincide com o nmero de vetores ( )iv . Com base nestas duas observaes, conclui-se: em 3R , 4 ou mais vetores (so 3 equaes contra 4 ou mais variveis) sempre sero LD. Em outras palavras:

No 3R o nmero mximo de vetores LI 3. Com raciocnio anlogo, infere-se que o nmero mximo de vetores LI em nR

n ( 1+n vetores ou mais so LD) Exemplos:

1) os vetores ( )1,0e1 = , ( )0,1e2 = e ( )2,5v = so LD, pois sendo vetores do 2R , o nmero mximo de vetores LI 2; 2) os vetores ( )1,0,0e1 = , ( )0,1,0e2 = , ( )0,0,1e3 = e ( )2,3,4v = so LD e dentre eles encontramos no mximo 3

vetores LI; 3) quaisquer 5 ou mais vetores do 4R so LD. No entanto, muito cuidado precisamos ter quando, no nR , tivermos vetores em nmero n . Exemplo 4 Verificar se so LI ou LD os vetores ( )1,-1,1v1 = , ( )2,1,5v2 = e ( )1,4,2-v3 = . Soluo: Examinemos a igualdade

0332211 =++ vavava (2)

ou o sistema homogneo

000

241

512

111

Escalonando o sistema,vem

000

031

032

001

e, portanto, existem solues no triviais ( )0ia . Logo, os vetores dados so LD. Observao: Resolvendo o sistema obtm-se

31 3a a= e 32 aa = . e, portanto, a equao (2) fica ( ) ( ) 0a3 332313 =++ vavva (3) para Ra 3 . E para cada valor de ( )03 a , a igualdade (3) se escreve com solues no triviais. Dividindo (3) por ( )03 a , vem

03 321 =+ vvv

Professor Paulo Winterle

3

e da

321 31

31 vvv = ( 1v CL de 2v e 3v )

ou

312 3 vvv += ( 2v CL de 1v e 3v ) ou

213 3 vvv += ( 3v CL de 1v e 2v ) (Estas combinaes lineares mostram que um vetor depende dos outros Por isso so dependentes (LD)). Concluso: sempre que um conjunto de vetores LD, existe vetor no conjunto que CL dos outros. A recproca tambm verdadeira, isto , se um vetor CL dos outros, o conjunto deles LD. De fato, independente dos vetores, seja 22113 vavav += ou de modo equivalente 032211 =+ vvava , e a igualdade (2) admite solues ( )0 (no caso: 13 =a ). Por isso a Propriedade Um conjunto de vetores LD se, e somente se, existir no conjunto um vetor que CL dos outros. Propriedade Todo conjunto que contm o vetor nulo LD. De fato, o conjunto { }nvvA ,...,0,...,1= LD pois a igualdade

0.0...0.5...0 1 =++++ nvv se verifica para coeficientes no todos nulos. Um s vetor LI ou LD? Depende. Todo vetor 0v LI pois 0. =va s admite a soluo trivial 0=a . O vetor nulo, no entanto, LD porque 00. =a tem solues no triviais. Dois vetores so LI ou LD? Depende. Se um mltiplo escalar do outro, ento eles so LD. Por exemplo, o vetor ( )2,4,-6v2 = mltiplo de ( )1,2,-3v1 = pois 12 2v v= , e, portanto, 02v- 21 =+ v , o que prova serem LD. Conseqentemente, se 12 vv , para todo R , ento { }21,vv LI.

Os grficos a seguir apresentam a interpretao geomtrica da dependncia linear de 2 vetores no 3R ( a mesma no 2R ).

{ }21,vv LD { }21,vv LI

z

y

V1

V2

z

y

V1 V2

x x

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Trs vetores no 3R Sabe-se que dois vetores 1v e 2v no paralelos geram um plano pela origem. Se um terceiro vetor 3v estiver neste plano, isto , [ ]213 ,vvv , o conjunto { }321 ,, vvv LD. Logo, trs vetores no 3R so LD caso sejam coplanares. Em caso contrrio, o conjunto { }321 ,, vvv LI. Os grficos do a interpretao geomtrica para este caso.

{ }321 ,, vvv LD { }321 ,, vvv LI

Uma outra maneira de verificar se 3 vetores 1v , 2v e 3v do 3R so LI ou LD, calcular o determinante da matriz

=

|||

|||

221 vvvA

com os vetores dispostos em colunas. Se acontecer det 0A

ento os 3 vetores so LI. Em caso contrrio, os vetores so LD. Por exemplo, so LI os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )1,2,0v2 = e ( )1,1,6v3 = pois

det 012600120111

=

O mesmo raciocnio vale para o 2R quando a matriz A quadrada de ordem 2, para o 4R onde A 4x4 e, assim por diante. No 2R , por exemplo, os vetores ( )1,2v1 = e ( )2,4v2 = so LD pois

det 04221 =

z

y

V3 V2

V1

x

z

y

V3

V2

V1

x