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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Implicita
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
11/06/2013
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
As funcoes que estudamos ate agora foram funcoes dadasexplicitamente por uma variavel em funcao de outra. Por exemplo.
y =√x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter funcoes implicitas em equacoes envolvendo duasvariaveis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em funcao ”explıcita“ de x . Porexemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√1− x2. Neste caso temos duas
funcoes, y =√
1− x2 e y = −√
1− x2.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
As funcoes que estudamos ate agora foram funcoes dadasexplicitamente por uma variavel em funcao de outra. Por exemplo.
y =√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter funcoes implicitas em equacoes envolvendo duasvariaveis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em funcao ”explıcita“ de x . Porexemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√1− x2. Neste caso temos duas
funcoes, y =√
1− x2 e y = −√
1− x2.
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
As funcoes que estudamos ate agora foram funcoes dadasexplicitamente por uma variavel em funcao de outra. Por exemplo.
y =√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter funcoes implicitas em equacoes envolvendo duasvariaveis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em funcao ”explıcita“ de x . Porexemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√1− x2. Neste caso temos duas
funcoes, y =√
1− x2 e y = −√
1− x2.
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
As funcoes que estudamos ate agora foram funcoes dadasexplicitamente por uma variavel em funcao de outra. Por exemplo.
y =√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter funcoes implicitas em equacoes envolvendo duasvariaveis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em funcao ”explıcita“ de x . Porexemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√1− x2. Neste caso temos duas
funcoes, y =√
1− x2 e y = −√
1− x2.
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
As funcoes que estudamos ate agora foram funcoes dadasexplicitamente por uma variavel em funcao de outra. Por exemplo.
y =√
x2 + 1 ou y = ex sin x
Podemos ter funcoes implicitas em equacoes envolvendo duasvariaveis. Como
x2 + y2 = 1 (1)
ou(x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0 (2)
Em certos casos podemos isolar y em funcao ”explıcita“ de x . Porexemplo x2 + y2 = 1⇒ y = ±
√1− x2. Neste caso temos duas
funcoes, y =√
1− x2 e y = −√
1− x2.
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x
y
1
1
x2 + y2 = 1
x
y
1
1
y =√
1− x2
x
y
1
−1
y = −√
1− x2
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
No caso da equacao 2 nao e facil isolar y em funcao de X . Emcasos assim dizemos que uma funcao y = f (x) e dadaimplicitamente pela equacao 2 se(x2 + [f (x)]2)2 + 3x2f (x)− [f (x)]3 = 0 para x no domınio de f .
Definicao
A funcao y = f (x) e dada implicitamente pela equacaoG (x , y) = k , onde k e uma costante, se
G (x , f (x)) = k
para todo x no domınio de f .
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No caso da equacao 2 nao e facil isolar y em funcao de X . Emcasos assim dizemos que uma funcao y = f (x) e dadaimplicitamente pela equacao 2 se(x2 + [f (x)]2)2 + 3x2f (x)− [f (x)]3 = 0 para x no domınio de f .
Definicao
A funcao y = f (x) e dada implicitamente pela equacaoG (x , y) = k , onde k e uma costante, se
G (x , f (x)) = k
para todo x no domınio de f .
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Figura : (x2 + y2)2 − 3x2y − y3 = 0
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivacao Implicita
Derivamos uma funcao dada implicitamente pela equacaoG (x , y) = k , derivando dos dois lados com relacao a x . Devemoslembrar que y = y(x) e uma funcao de x e usarmos a regra dacadeia.
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx(1)⇒ d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
⇒ 2x + 2ydy
dx= 0⇒ dy
dx=−2x
2y= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a funcao y =√
1− x2 entao temos que
dy
dx= −x
y= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx(1)
⇒ d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
⇒ 2x + 2ydy
dx= 0⇒ dy
dx=−2x
2y= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a funcao y =√
1− x2 entao temos que
dy
dx= −x
y= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx(1)⇒ d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
⇒ 2x + 2ydy
dx= 0⇒ dy
dx=−2x
2y= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a funcao y =√
1− x2 entao temos que
dy
dx= −x
y= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx(1)⇒ d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
⇒ 2x + 2ydy
dx= 0
⇒ dy
dx=−2x
2y= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a funcao y =√
1− x2 entao temos que
dy
dx= −x
y= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx(1)⇒ d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
⇒ 2x + 2ydy
dx= 0⇒ dy
dx=−2x
2y= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a funcao y =√
1− x2 entao temos que
dy
dx= −x
y= − x√
1− x2
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Exemplo
Vamos derivar as funcoes dadas implicitamente por x2 + y2 = 1.
d
dx(x2 + y2) =
d
dx(1)⇒ d
dx(x2) +
d
dx(y2) = 0
⇒ 2x + 2ydy
dx= 0⇒ dy
dx=−2x
2y= −x
y
Exemplo
Se tomarmos a funcao y =√
1− x2 entao temos que
dy
dx= −x
y= − x√
1− x2
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Exemplo
Agora poderıamos ter derivado a funcao explıcitay =√
1− x2.
Assim,
dy
dx= (−2x) ·
(1
2√
1− x2
)= − x√
1− x2
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Exemplo
Agora poderıamos ter derivado a funcao explıcitay =√
1− x2.Assim,
dy
dx= (−2x) ·
(1
2√
1− x2
)= − x√
1− x2
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Exemplo
Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1)
Derivandoimplicitamente temos
d
dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx((x2 + y2)2) +
d
dx(3x2y) +
d
dx(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy
dx) + 6xy + (3x2)(
dy
dx)− 3y2 dy
dx= 0
⇒ 4x3 + 4x2ydy
dx+ 4xy2 + 4y3 dy
dx+ 6xy + 3x2 dy
dx− 3y2 dy
dx= 0
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Exemplo
Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivandoimplicitamente temos
d
dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx((x2 + y2)2) +
d
dx(3x2y) +
d
dx(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy
dx) + 6xy + (3x2)(
dy
dx)− 3y2 dy
dx= 0
⇒ 4x3 + 4x2ydy
dx+ 4xy2 + 4y3 dy
dx+ 6xy + 3x2 dy
dx− 3y2 dy
dx= 0
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Exemplo
Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivandoimplicitamente temos
d
dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx((x2 + y2)2) +
d
dx(3x2y) +
d
dx(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy
dx) + 6xy + (3x2)(
dy
dx)− 3y2 dy
dx= 0
⇒ 4x3 + 4x2ydy
dx+ 4xy2 + 4y3 dy
dx+ 6xy + 3x2 dy
dx− 3y2 dy
dx= 0
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Exemplo
Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivandoimplicitamente temos
d
dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx((x2 + y2)2) +
d
dx(3x2y) +
d
dx(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy
dx) + 6xy + (3x2)(
dy
dx)− 3y2 dy
dx= 0
⇒ 4x3 + 4x2ydy
dx+ 4xy2 + 4y3 dy
dx+ 6xy + 3x2 dy
dx− 3y2 dy
dx= 0
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Exemplo
Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivandoimplicitamente temos
d
dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx((x2 + y2)2) +
d
dx(3x2y) +
d
dx(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy
dx) + 6xy + (3x2)(
dy
dx)− 3y2 dy
dx= 0
⇒ 4x3 + 4x2ydy
dx+ 4xy2 + 4y3 dy
dx+ 6xy + 3x2 dy
dx− 3y2 dy
dx= 0
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Exemplo
Ache a equacao da reta tangente a curva(x2 + y2)2 + 3x2y − y3 = 0 no ponto (0, 1) Derivandoimplicitamente temos
d
dx((x2 + y2)2 + 3x2y − y3) = 0
⇒ d
dx((x2 + y2)2) +
d
dx(3x2y) +
d
dx(−y3) = 0
⇒ 2(x2 + y2)(2x + 2ydy
dx) + 6xy + (3x2)(
dy
dx)− 3y2 dy
dx= 0
⇒ 4x3 + 4x2ydy
dx+ 4xy2 + 4y3 dy
dx+ 6xy + 3x2 dy
dx− 3y2 dy
dx= 0
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1)
= 0−3 = 0. Daı a
reta tangente ey = 1
A vantagem da derivacao implicita e que derivamos uma funcaoque nao conhecemos. A desvantagem e que a derivada dy
dx vem emfuncao de x e y e nao so em funcao de x como na derivacaoexplıcita.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1)
= 0−3 = 0. Daı a
reta tangente ey = 1
A vantagem da derivacao implicita e que derivamos uma funcaoque nao conhecemos. A desvantagem e que a derivada dy
dx vem emfuncao de x e y e nao so em funcao de x como na derivacaoexplıcita.
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1)
= 0−3 = 0. Daı a
reta tangente ey = 1
A vantagem da derivacao implicita e que derivamos uma funcaoque nao conhecemos. A desvantagem e que a derivada dy
dx vem emfuncao de x e y e nao so em funcao de x como na derivacaoexplıcita.
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Exemplo
⇒ (4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2)dy
dx= −4x3 − 4xy2 − 6xy
⇒ dy
dx= − 4x3 + 4xy2 − 6xy
4x2y + 4xy2 + 3x2 − 3y2
Aplicando no ponto (0, 1) demos que dydx (x=0,y=1)
= 0−3 = 0. Daı a
reta tangente ey = 1
A vantagem da derivacao implicita e que derivamos uma funcaoque nao conhecemos. A desvantagem e que a derivada dy
dx vem emfuncao de x e y e nao so em funcao de x como na derivacaoexplıcita.
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx(sin (x + y)) =
d
dx(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·(
1 +dy
dx
)= 2y · dy
dx· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx− 2y cos x
dy
dx= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx= − y2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx(sin (x + y)) =
d
dx(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·(
1 +dy
dx
)= 2y · dy
dx· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx− 2y cos x
dy
dx= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx= − y2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx(sin (x + y)) =
d
dx(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·(
1 +dy
dx
)= 2y · dy
dx· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx− 2y cos x
dy
dx= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx= − y2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx(sin (x + y)) =
d
dx(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·(
1 +dy
dx
)= 2y · dy
dx· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx− 2y cos x
dy
dx= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx= − y2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx(sin (x + y)) =
d
dx(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·(
1 +dy
dx
)= 2y · dy
dx· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx− 2y cos x
dy
dx= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx= − y2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′ se sin (x + y) = y2 cos x
d
dx(sin (x + y)) =
d
dx(y2 cos x)
⇒ cos (x + y) ·(
1 +dy
dx
)= 2y · dy
dx· cos x − y2 · sin x
⇒ cos (x + y)dy
dx− 2y cos x
dy
dx= −y2 sin x − cos (x + y)
⇒ dy
dx= − y2 sin x + cos (x + y)
cos (x + y)− 2y cos x
⇒ dy
dx=
y2 sin x + cos (x + y)
2y cos x − cos (x + y)
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Figura : sin (x + y) = y2 cos x
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16
Derivando implicitamente temos que
d
dx(x4 + y4) =
d
dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx= 0
dy
dx= −4x3
4y3= −x3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16Derivando implicitamente temos que
d
dx(x4 + y4) =
d
dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx= 0
dy
dx= −4x3
4y3= −x3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16Derivando implicitamente temos que
d
dx(x4 + y4) =
d
dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx= 0
dy
dx= −4x3
4y3= −x3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Exemplo
Encontre y ′′ se x4 + y4 = 16Derivando implicitamente temos que
d
dx(x4 + y4) =
d
dx(16)⇒ 4x3 + 4y3 · dy
dx= 0
dy
dx= −4x3
4y3= −x3
y3
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.Devemos continuar lembrando que y = y(x) e funcao de x .
d2y
dx2= −
(3x2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx[y3]2
d2y
dx2=
3x3y2 dydx − 3x2y3
y6
Note que y ′′ esta em funcao de x , y e y ′.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.Devemos continuar lembrando que y = y(x) e funcao de x .
d2y
dx2= −
(3x2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx[y3]2
d2y
dx2=
3x3y2 dydx − 3x2y3
y6
Note que y ′′ esta em funcao de x , y e y ′.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Usamos a regra do quociente para achar a segunda derivada.Devemos continuar lembrando que y = y(x) e funcao de x .
d2y
dx2= −
(3x2) · (y3)− (x3) · (3y2) · dydx[y3]2
d2y
dx2=
3x3y2 dydx − 3x2y3
y6
Note que y ′′ esta em funcao de x , y e y ′.
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Figura : x4 + y4 = 16
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada da Funcao Inversa
Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.
Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos
dy
dx(f (f −1(x))) =
dy
dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada da Funcao Inversa
Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos
dy
dx(f (f −1(x))) =
dy
dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
Jairo Menezes e Souza Derivada Implicita
Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada da Funcao Inversa
Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos
dy
dx(f (f −1(x))) =
dy
dx(x)
⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada da Funcao Inversa
Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos
dy
dx(f (f −1(x))) =
dy
dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada da Funcao Inversa
Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos
dy
dx(f (f −1(x))) =
dy
dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada da Funcao Inversa
Se f (x) e uma funcao injetora temos que exite a funcao inversaf −1(x). Se f e diferenciavel temos que f −1 tambem ediferenciavel.Vamos aplicar derivacao implıcita (regra da cadeia) na relacaof (f −1(x)) = x temos
dy
dx(f (f −1(x))) =
dy
dx(x)⇒ f ′(f −1(x)) · (f −1)′(x) = 1
⇒ (f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
(f −1)′(x) =1
f ′(f −1(x))
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
. Entao
d
dx(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , entao
cos y =
√1− sin2 y =
√1− [sin (arcsin x)]2 =
√1− x2
Portanto
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
. Entao
d
dx(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , entao
cos y =
√1− sin2 y =
√1− [sin (arcsin x)]2 =
√1− x2
Portanto
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
. Entao
d
dx(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , entao
cos y =
√1− sin2 y =
√1− [sin (arcsin x)]2 =
√1− x2
Portanto
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
. Entao
d
dx(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , entao
cos y =
√1− sin2 y =
√1− [sin (arcsin x)]2 =
√1− x2
Portanto
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Derivada do arcseno
Temos que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
. Entao
d
dx(arcsin x) =
1
sin′ (arcsin x)=
1
cos (arcsin x)
Agora se y = arcsin x , entao
cos y =
√1− sin2 y =
√1− [sin (arcsin x)]2 =
√1− x2
Portanto
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Para nao precisar de decorar a “formula” para a derivada dainversa, podemos usar a derivacao implıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx(sin (arcsin x)) =
d
dx(x)
⇒ cos (arcsin x) · ddx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Para nao precisar de decorar a “formula” para a derivada dainversa, podemos usar a derivacao implıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx(sin (arcsin x)) =
d
dx(x)
⇒ cos (arcsin x) · ddx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Para nao precisar de decorar a “formula” para a derivada dainversa, podemos usar a derivacao implıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx(sin (arcsin x)) =
d
dx(x)
⇒ cos (arcsin x) · ddx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Para nao precisar de decorar a “formula” para a derivada dainversa, podemos usar a derivacao implıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx(sin (arcsin x)) =
d
dx(x)
⇒ cos (arcsin x) · ddx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Para nao precisar de decorar a “formula” para a derivada dainversa, podemos usar a derivacao implıcita e a regra da cadeia.
sin (arcsin x) = x ⇒ d
dx(sin (arcsin x)) =
d
dx(x)
⇒ cos (arcsin x) · ddx
(arcsin x) = 1
⇒ d
dx(arcsin x) =
1
cos (arcsin x)
Como fizemos acima
d
dx(arcsin x) =
1√1− x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Figura : y = arcsin x y = 1√1−x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =√
1− cos2 y =√
1− [cos (arccos x)]2 =√
1− x2
Daı,d
dx(arccos x) = − 1√
1− x2
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Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =√
1− cos2 y =√
1− [cos (arccos x)]2 =√
1− x2
Daı,d
dx(arccos x) = − 1√
1− x2
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Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =√
1− cos2 y =√
1− [cos (arccos x)]2 =√
1− x2
Daı,d
dx(arccos x) = − 1√
1− x2
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Derivada do arccosseno
Lembrando que (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arccos x) =
1
cos′ (arccos x)=
1
− sin (arccos x)
Agora se y = arccos x temos que
sin y =√
1− cos2 y =√
1− [cos (arccos x)]2 =√
1− x2
Daı,d
dx(arccos x) = − 1√
1− x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Figura : y = arccos x y = − 1√1−x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Entao
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Daı,d
dx(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Entao
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Daı,d
dx(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y
. Entao
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Daı,d
dx(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Entao
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Daı,d
dx(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Derivada do arctangente
Usando (f −1)′(x) = 1f ′(f −1(x))
, temos
d
dx(arctan x) =
1
tan′ (arctan x)=
1
sec2 (arctan x)
Agora se y = arctan x temos que, 1 + tan2 y = sec2 y . Entao
sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + x2
Daı,d
dx(arctan x) =
1
1 + x2
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Derivacao ImplicitaDerivada Da Funcao Inversa
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Figura : y = arctan x y = 1√1+x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Com os mesmo argumentos calculamos as derivadas dearc-secante, arc-cossecante e arc-cotangente.
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Iversas
d
dx(arccsc(x)) = − 1
x√x2 − 1
d
dx(arcsec(x)) =
1
x√x2 − 1
d
dx(arccot(x)) = − 1
1− x2
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Derivada Das Funcoes Trigonometricas Inversas
Com os mesmo argumentos calculamos as derivadas dearc-secante, arc-cossecante e arc-cotangente.
Derivada Das Funcoes Trigonometricas Iversas
d
dx(arccsc(x)) = − 1
x√x2 − 1
d
dx(arcsec(x)) =
1
x√x2 − 1
d
dx(arccot(x)) = − 1
1− x2
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