Regras De Derivação · 2013-10-21 · Derivada De Fun˘c~oes Polinomiais As Regras do Produto e...

Derivada De Funcoes PolinomiaisAs Regras do Produto e do Quociente

Regras De Derivacao

Jairo Menezes e Souza

UFG/CAC

29/05/2013

Jairo Menezes e Souza Regras De Derivacao


Funcao ConstanteFuncao PotenciaNovas Derivadas A Partir Das AntigasFuncoes Exponenciais

Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0

Vamos calcular a derivada da funcao constante, f (x) = c .O graficoe a reta horizontal y = c e tem inclinacao 0 em todos os pontos.

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0

Vamos calcular a derivada da funcao constante, f (x) = c .

O graficoe a reta horizontal y = c e tem inclinacao 0 em todos os pontos.

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h

= limh→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c − c

h

= limh→0

0 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Assim,

derivada de uma funcao constante

d

dx(c) = 0




Funcao Potencia

x

y y = x inclinacao = 1

Agora olhamos para a funcao f (x) = xn onde n e um inteiropositivo. Se n = 1 o grafico e uma reta com inclinacao 1. Daıpodemos mostrar que

derivada de y = x

d

dx(x) = 1 (1)




Podemos mostrar que

d

dx(x2) = 2x (2)

e que

d

dx(x3) = 3x2 (3)

Ainda que

d

dx(x4) = 4x3 (4)

Fazemos a conjectura que ddx (xn) = nxn−1




Proposicao

Se n e um inteiro positivo, entao

d

dx(xn) = nxn−1




Demonstracao.

Primeiro note que

xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)

Daı

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a

= limx→a

(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1

= nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · ·+ xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · ·+ aan−2 + an−1 = nan−1




A regra da multiplicacao por constante

A regra da multiplicacao por constante

Se c for uma constante e f uma funcao derivavel, entao

d

dx(cf (x)) = c

d

dx(f (x))




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h)− (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h)− cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h)− f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h)− f (x)

h= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h)− (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h)− cf (x)

h

= limh→0

c

[f (x + h)− f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h)− f (x)

h= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h)− (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h)− cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h)− f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h)− f (x)

h= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h)− (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h)− cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h)− f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h)− f (x)

h

= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h)− (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h)− cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h)− f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h)− f (x)

h= cf ′(x)




Exemplo

1 ddx (4x5)

2 ddx (−5x2)




Regra da Soma

A derivada da soma de duas funcoes e a soma das derivadas

A regra da soma

Se f e g forem diferenciaveis, entao

d

dx((f + g)(x)) =

d

dx(f (x)) +

d

dx(g(x))




Demonstracao.

temos que

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x + h)− (f + g)(x)

h

= limh→0

[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h

]+

[g(x + h)− g(x)

h

]

= limh→0

f (x + h)− f (x)

h+ lim

x→0

g(x + h)− g(x)

h= f ′(x) + g ′(x)




Demonstracao.

temos que

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x + h)− (f + g)(x)

h

= limh→0

[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h

]+

[g(x + h)− g(x)

h

]

= limh→0

f (x + h)− f (x)

h+ lim

x→0

g(x + h)− g(x)

h

= f ′(x) + g ′(x)




Demonstracao.

temos que

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x + h)− (f + g)(x)

h

= limh→0

[f (x + h) + g(x + h)]− [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h)− f (x)

h

]+

[g(x + h)− g(x)

h

]

= limh→0

f (x + h)− f (x)

h+ lim

x→0

g(x + h)− g(x)

h= f ′(x) + g ′(x)




Escreva a fincao (f − g)(x) = f (x) + (−1)g(x) assim usando aregra da soma e da multiplicacao por constante temos que

Regra da Diferenca

Se f e g forem diferenciaveis, entao

d

dx((f − g)(x)) =

d

dx(f (x))− d

dx(g(x))




Exemplo

1 ddx (x8 + 12x5 − 5x3 + 10x + 5)

2 Ache os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4 onde a retatangente e horizontal.




x

y

y = x4 − 6x + 4




Funcoes Exponenciais

Vamos tentar calcular a derivada da funcao f (x) = ax usando adefinicao de derivada.

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h

= limh→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h

]Como ax e constante com relacao a h, temos

f ′(x) = ax limh→0

ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h

= limh→0

ax[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h

]

Como ax e constante com relacao a h, temos


ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h

. Daı temos quef ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)




Tınhamos definido o numero e como a base em que a inclinacaoda reta tangente a curva y = ax no ponto (0, 1)e igual a 1.Usando a definicao de derivada temos que

Definicao de e

e e o numero que satisfaz

limh→0

eh − 1

h= 1




De todas as funcoes exponeciais a funcao f (x) = ex e a funcao emque a tangente ao grafico de y = f (x) no ponto (0, 1) teminclinacao 1.

x

y y = 3x

y = exy = 2x

x

y

1 inclinacao = 1

(x , ex) inclinacao = ex

y = ex




Se pusermos a = e, temos que f ′(0) = 1 teremos na equacao 16,teremos esta formula de derivacao muito importante.

Derivada da funcao exponencial natural

d

dx(ex) = ex

Assim temos que a funcao y = ex e solucao da equacao diferencialordinaria y ′ = y .




Exemplo

1 Se f (x) = ex − x ache f ′ e f ′′.

2 Em que ponto da curva y = ex sua tangente e paralela a retay = 2x .



A Regra do ProdutoA Regra Do Quociente

A Regra do Produto

A Regra do Produto

Se f e g sao diferenciaveis no ponto a entao

(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f (a)g ′(a).




Demonstracao.

(f · g)′(a) = limx→a

(fg)(x)− (fg)(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(x)− f (x)g(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)

x − a

= limx→a

g(x)

[f (x)− f (a)

x − a

]+ f (a)

[g(x)− g(a)

x − a

]

= limx→a

g(x) limx→a

f (x)− f (a)

x − a+ f (a) lim

x→a

g(x)− g(a)

x − a

.




Demonstracao.

(f · g)′(a) = limx→a

(fg)(x)− (fg)(a)

x − a= lim

x→a

f (x)g(x)− f (x)g(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(x)−f(a)g(x) + f(a)g(x)− f (a)g(a)

x − a

= limx→a

g(x)

[f (x)− f (a)

x − a

]+ f (a)

[g(x)− g(a)

x − a

]

= limx→a

g(x) limx→a

f (x)− f (a)

x − a+ f (a) lim

x→a

g(x)− g(a)

x − a

.




Demonstracao.

Ja que g e diferenciavel em a temos que g e contınua em a daılimx→a g(x) = g(a). Entao

(f · g)′(a) = f ′(a)g(a) + f (a)g ′(a).




A Regra Do Produto

Na notacao de Leibniz temos que se f e g sao diferenciaveis entao

d

dx(f (x)g(x)) =

d

dx(f (x))g(x) + f (x)

d

dx(g(x)).




Exemplo

1 Se f (x) = xex encontre f ′(x).

2 Encontre a n-esima derivada f (n)(x).




A Regra Do Quociente

A Regra Do Quociente

Se f e g sao diferenciaveis no ponto a e entao(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)

[g(a)]2




Demonstracao.

Temos que

(f

g

)′(a) = lim

x→a

(fg

)(x)−

(fg

)(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(x) −

f (a)g(a)

x − a= lim

x→a

f (x)g(a)−f (a)g(x)g(x)g(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(a)−f(a)g(a) + f(a)g(a)− f (a)g(x)

g(x)g(a)(x − a)




Demonstracao.

Temos que

(f

g

)′(a) = lim

x→a

(fg

)(x)−

(fg

)(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(x) −

f (a)g(a)

x − a

= limx→a


x − a

= limx→a


g(x)g(a)(x − a)




Demonstracao.

Temos que

(f

g

)′(a) = lim

x→a

(fg

)(x)−

(fg

)(a)

x − a

= limx→a

f (x)g(x) −

f (a)g(a)

x − a= lim

x→a


x − a

= limx→a


g(x)g(a)(x − a)




Demonstracao.

= limx→a

(g(a)

g(x)g(a)

[f (x)− f (a)

x − a

]− f (a)

g(x)g(a)

[g(x)− g(a)

x − a

])

=

(limx→a

g(a)

g(x)g(a)

)(limx→a

f (x)− f (a)

x − a

)

−(

limx→a

f (a)

g(x)g(a)

)(limx→a

g(x)− g(a)

x − a

)Como limx→a g(x) = g(a) temos que(

f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)

[g(a)]2




Demonstracao.

= limx→a

(g(a)

g(x)g(a)

[f (x)− f (a)

x − a

]− f (a)

g(x)g(a)

[g(x)− g(a)

x − a

])

=

(limx→a

g(a)

g(x)g(a)

)(limx→a

f (x)− f (a)

x − a

)

−(

limx→a

f (a)

g(x)g(a)

)(limx→a

g(x)− g(a)

x − a

)

Como limx→a g(x) = g(a) temos que(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)

[g(a)]2




Demonstracao.

= limx→a

(g(a)

g(x)g(a)

[f (x)− f (a)

x − a

]− f (a)

g(x)g(a)

[g(x)− g(a)

x − a

])

=

(limx→a

g(a)

g(x)g(a)

)(limx→a

f (x)− f (a)

x − a

)

−(

limx→a

f (a)

g(x)g(a)

)(limx→a

g(x)− g(a)

x − a

)Como limx→a g(x) = g(a) temos que

(f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)

[g(a)]2




Demonstracao.

= limx→a

(g(a)

g(x)g(a)

[f (x)− f (a)

x − a

]− f (a)

g(x)g(a)

[g(x)− g(a)

x − a

])

=

(limx→a

g(a)

g(x)g(a)

)(limx→a

f (x)− f (a)

x − a

)

−(

limx→a

f (a)

g(x)g(a)

)(limx→a

g(x)− g(a)

x − a

)Como limx→a g(x) = g(a) temos que(

f

g

)′(a) =

f ′(a)g(a)− f (a)g ′(a)

[g(a)]2




Regra Do Quociente

Na notacao de Leibniz temos que

d

dx

(f (x)

g(x)

)=

ddx (f (x))g(x)− f (x) d

dx (g(x))

[g(x)]2




Exemplo

Se n > 0 e um numero natural entao

d

dx(x−n) =

d

dx

(1

xn

)

=ddx (1)xn − 1 d

dx (xn)

[xn]2=−nxn−1

x2n= −nx−n−1

Sendo assim vale a Regra da Potencia para todo inteiro. Se r ∈ Zentao d

dx (x r ) = rx r−1




Exemplo


d

dx(x−n) =

d

dx

(1

xn

)

=ddx (1)xn − 1 d

dx (xn)

[xn]2

=−nxn−1

x2n= −nx−n−1


dx (x r ) = rx r−1




Exemplo


d

dx(x−n) =

d

dx

(1

xn

)

=ddx (1)xn − 1 d

dx (xn)

[xn]2=−nxn−1

x2n

= −nx−n−1


dx (x r ) = rx r−1




Exemplo


d

dx(x−n) =

d

dx

(1

xn

)

=ddx (1)xn − 1 d

dx (xn)

[xn]2=−nxn−1

x2n= −nx−n−1


dx (x r ) = rx r−1




Exemplo

Seja y = x3+2x+1x2−x+4

. Entao

dy

dx=

ddx (x3 + 2x + 1)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1) d

dx (x2 − x + 4)

(x3 + 2x + 1)2

=(3x2 + 2)(x2 − x + 4)− (x3 + 2x + 1)(2x − 1)

(x3 + 2x + 1)2

=x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9

(x3 + 2x + 1)2

=x4 − 2x3 + 10x − 2x + 9

x6 + 4x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 1


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