PUC Minas

Livro texto: Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - WilliamE. Boyce e Richard C. Diprima.

Equacoes Lineares de Primeira OrdemAs equacoes (diferenciais ordinarias) lineares de 1a ordem podem ser escritas como

a(t)dy

dt+ b(t)y = c(t).

Vamos considerar as equacoes lineares de 1a ordem na forma

dy

dt+ p(t)y = q(t).

1o Caso: Equacoes em que p(t) = 0

Se a funcao p(t) = 0 a equacao torna-sedy

dt= q(t), que e facilmente resolvida integrando-se os

dois lados. Assim, a solucao geral desta equacao e dada por

y(t) =

∫q(t)dt+ c,

Exemplo: Encontre a solucao geral da equacao diferencial

dy

dt= sen(2t).

2o Caso: Caso geral

Vamos considerar equacoes da formady

dt+ p(t)y = q(t) em um intervalos em que p(t) e q(t)

sao contınuas. Para resolver esse tipo de equacao, definiremos uma funcao auxiliar, µ(t), de formaque, ao multiplicarmos a equacao dada por esta funcao, a equacao obtidda e uma equacoa linearcom p(t) = 0, ou seja, cairemos no primeiro caso, que ja sabemos resolver. Uma funcao com estapropriedade e chamada fator integrante da equacao linear.

1

Sejaµ(t) = e

∫p(t)dt.

Vamos mostrar que µ(t) e um fator integrante da equacao dada.

Exemplos: Resolva as equacoes diferenciais abaixo:

• dy

dt+

1

2y =

1

2et/3;

2

• dy

dt− 2y = 4 − t,

• tdy

dt+ 4y = 5t.

Exemplos: Resolva os PVI’s abaixo:

3

• tdy

dt+ 4y = 5t;

• y′ − 4

xy = − 2

x3.

4