1.1 Conceitos Basicos

EDOs de Primeira Ordem:Conceitos Basicos

Universidade Tecnologica Federal do ParanaCampus Francisco Beltrao

Disciplina: Equacoes Diferenciais OrdinariasProfessor: Jonas Joacir Radtke

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Modelagem

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Definicao

Uma equacao diferencial ordinaria (EDO) e uma equacao quecontem uma ou mais derivadas de uma funcao desconhecida, aqual usualmente chamamos de y(x) ou y(t).

Exemplos:y ′ = cos(x)

y ′′ + 9y = 0

x2y ′′′y ′ + 2exy ′′ = (x2 + 2)y2

Uma EDO e de ordem n quando a n-esima derivada da funcaodesconhecida y e a derivada mais alta de y na equacao.

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Conceito de Solucao

Uma funcaoy = h(x)

e chamada de solucao de uma EDO em algum intervalo abertoa < x < b se h(x) for definida e diferenciavel ao longo de todoesse invtervado e ser for tal que a equacao se torna uma identidadequando y e y ′ sao substituıdos por h e h′, respectivamente.

Exemplo: Verifique que y = h(x) = c/x e uma solucao dexy ′ = −y , onde c e uma constante arbitraria.

Exemplo: Resolvendo a EDO y ′ =dy

dx= cos x diretamente por

integracao em ambos os lados obtemos a solucao y = sen x + c ,onde c e uma constante arbitraria. Assim, obtemos uma famıliade solucoes, onde cada valor de c fornece uma solucao para y .

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Exemplo: Do calculo, sabemos que y = ce0,2t possui a seguintederivada

y ′ =dy

dt= 0,2ce0,2t = 0,2y

Isso mostra que y e uma solucao de y ′ = 0,2y . Logo, essa EDOpode servir para modelar o crescimento exponencial, como, porexemplo, o de colonia de bacterias.

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Problema de Valor Inicial (PVI)

Na maioria dos casos, a solucao unica de um determinadoproblema, e obtida a partir de um solucao geral por meio de umacondicao inicial y(x0) = y0, com valores dados para x0 e y0, quesao utilizados para determinar um valor para a constante c .

y ′ = f (x , y), y(x0) = y0

Exemplo: Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)

y ′ =dy

dx= 3y , y(0) = 5,7

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Exemplo: Dada uma certa quantidade, digamos 0,5g , de umasubstancia radioativa, encontre a quantidade que estara presentenum instante posterior qualquer.Informacao fısica: Experimentos mostram que, a cada instante,uma substancia radioativa se decompoe segundo uma taxaproporcional a quantidade dela presente.

1. Elaboracao de um modelo matematico do processofısico.

dy

dt= ky , y(0) = 0,5

2. Solucao matematica.

y(t) = cekt

onde, aplicando a condicao inicial, obtemos

y(t) = 0,5ekt

3. Interpretacao do resultado.

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Exercıcio

Resolva a EDO por integracao ou lembrando de alguma formula dederivacao.

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Exercıcio

(a) Verifique que y e uma solucao da EDO.

(b) A partir de y, determine a solucao particular do PVI.

(c) Trace o grafico da solucao do PVI.

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Exercıcio

17. Meia-vida. A meia-vida mede decaimento exponencial. E otempo que leva para que metade de uma dada quantidade desubstancia radioativa desapareca. Qual e a meia-vida (emanos) do isotopo de radio (88Ra226), cujo valor dek = −1,4 · 10−11s−1?

18. Meia-vida. O radio (88Ra226) tem uma meia-vida deaproximadamente 3,6 dias.

(a) Dado 1 grama, quanto ainda estara presente apos 1 dia?(b) E apos um ano?

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Exercıcio

19. Queda livre. Deixando cair uma pedra ou uma bola de ferro, aresistencia do ar e praticamente desprezıvel. Experimentos mostram que aaceleracao do movimento e constante (g = 9,80m/s2, denominada aaceleracao da gravidade). Modele essa situacao por meio de uma EDOpara y(t), a distancia que o objeto cai em funcao do tempo t. Se omovimento iniciar a partir do repouso, no instante t = 0 (isto e, comvelocidade v = y ′ = 0), mostre que voce obtem a lei de queda livre

y =1

2gt2

20. Decaimento exponencial. Voo Subsonico. A eficiencia dos motores deaeronaves subsonicas depende da pressao do ar e, em geral, e maxima emuma altura de aproximadamente 35.000 pes. Determine a pressao do ary(x) nessa altura.

Informacao fısica. A taxa de variacao y ′(x) e proporcional a pressao.Em uma altura de 18.000 pes, vale a metade do seu valor y0 = y(0) nonıvel do mar. Sugestao: lembre-se, do calculo, que se y = ekx , entaoy ′ = kekx = ky. Voce consegue ver, sem efetuar calculos, que a respostadeve ser proxima de y0/4?

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