Post on 14-Feb-2019
Universidade Federal do Rio de Janeiro
EEE 335 Eletromagnetismo II
Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima
0 2 4 6 8 10
!0.2
0
0.2
0.4
0.6J0
J1J2 J3
Alguns Exercícios Resolvidos❖ (3.8b) Considere um caso no qual os campos vetoriais
complexos podem ser representados pelas expressões abaixo. Substitua nas equações de Maxwell na forma complexa e separe parte real e imaginária para obter o conjunto de equações diferenciais. Verifique o resultado usando as componentes instantâneas
E = E0(x, y, z) exp(j✓1(x, y, z))
H = H0(x, y, z) exp(j✓2(x, y, z))
J = J0(x, y, z) exp(j✓3(x, y, z))
⇢ = ⇢0(x, y, z) exp(j✓4(x, y, z))
r·D = ⇢ r· (E0 exp(j✓1)) =⇢
"exp(j✓4)
Aplicando uma identidade vetorial
E0 ·r (exp(j✓1)) + exp(j✓1)r·E0 =
⇢
"exp(j✓4)
Parte Real Parte Imaginária
Usando a formulação temporal r· (E0 cos(!t+ ✓1)) =⇢0"
cos(!t+ ✓4)
Se expandir os cosenos acima obtemos a expressão da parte Real
r⇥ (H0 exp(j✓2)) = J0 exp(j✓3) + j!"E0 exp(j✓1)
r(exp(j✓2))⇥H0 + exp(j✓2)r⇥H0 = J0 exp(j✓3) + j!"E0 exp(j✓1)
Repetindo o procedimento anterior verifica-se a igualdade da parte real com a!expressão obtida pela manipulação direta da expressão temporal
E0 ·r (cos ✓1) + cos ✓1 r·E0 E0 ·r (sin ✓1) + sin ✓1 r·E0
Uso do Vetor A❖ Fonte puntual de corrente — injeta corrente no meio!
❖ O Vetor A possui apenas componentes na direção de J
❖ E e H podem ser tridimensionais
J = I0` �(x)�(y)�(z)z
r2Az + k2Az = 0
1
r2d
dr
✓r2
dAz
dr
◆+ k2Az = 0
1
rexp(�jkr)
1
rexp(jkr)
r2A� µ"@2A
@t2= �µJ
Uso do Vetor A❖ Fonte puntual de corrente J = I0` �(x)�(y)�(z)z
Az =
C
rexp(�jkr) Quando k tende a zero vira equação de Poisson
Az =
I`
4⇡rexp(�jkr)
❖ Calcular o campo elétrico e magnético
E+@A
@t= �r� E+ j!A = �r�
r·A+ j!µ"� = 0r·A+ µ✏@�
@t= 0
Uso do Vetor A❖ Fonte puntual de corrente J = I0` �(x)�(y)�(z)z
E = �j!A+1
j!µ"r (r·A)
Er =
I`
2⇡exp(�jkr) cos ✓
✓Zc
r2+
1
j!" r3
◆
E✓ =
I`
2⇡exp(�jkr) sin ✓
✓j!µ
r+
Zc
r2+
1
j!" r3
◆
H� =
I`
2⇡exp(�jkr) sin ✓
✓jk
r+
1
r2
◆
Potencias
❖ Potencial vetor no domínio do tempo!
❖ Potencial vetor no domínio da frequência!
❖ Potencial escalar
r2A = µ✏@2A
@t2+ µ�
@A
@tr2A = j!µ (� + j!✏)A
r2� = j!µ (� + j!✏)�
Unidades dos Potenciais❖ Potencial Vetor (Magnético)!
!
❖ Potencial Escalar (elétrico)!
!
❖ Potencial Vetor (Elétrico)!
!
❖ Potencial Escalar (Magnético)
A Wb/m ou V-s/m ou J/A
� V
�⇤
F C/m
A-espira
Alguns Exercícios Resolvidos❖ (3.11b) — Em coordenadas cilíndricas
r2A = r
r2Ar �
2
r2@A�
@�� Ar
r2
�+ �
r2A� +
2
r2@Ar
@�� A�
r2
�+ z
⇥r2Az
⇤
❖ Em coordenadas esféricas
r2Ar �2
r2
Ar + cot ✓A✓ + csc ✓
@A�
@�+
@A✓
@✓
�= µ"
@2Ar
@t2
r2A✓ �1
r2
csc
2 ✓A✓ � 2
@Ar
@✓+ 2 cot ✓ csc ✓
@A�
@�+
@A�
@✓
�= µ"
@2A✓
@t2
r2A� � 1
r2
csc
2 ✓A� � 2 csc ✓@Ar
@�� 2 cot ✓ csc ✓
@A✓
@�+
@A�
@✓
�= µ"
@2A�
@t2
Mais Exercícios❖ 3.19c: Uma alternativa ao calibre de Lorentz é o calibre
de Coulomb. Discuta os problemas associados ao uso dessa abordagem e verificando que as equações associadas são idênticas a configurações envolvendo apenas cargas estáticas