Post on 11-Dec-2018
Disciplina ENG04404 – Ondas Eletromagnéticas Versão: 21 de março de 2012 1
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
LISTA DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO
Problemas
1) Sendo 𝐀 e 𝐁 dois vetores arbitrários no espaço 𝐑𝟑, determine (a) o produto escalar 𝐀 ∙ 𝐁 entre ambos os vetores anteriormente mencionados. Se a base adotada na representação dos vetores previamente especificados é do tipo ortonormal, (b) a qual expressão se reduz aquela obtida no item (a)? Adote a notação envolvendo somatórios na descrição de ambos os vetores. Por somatórios, um vetor 𝐂 é expresso por 𝐂 = 𝐶!𝐞!! , sendo 𝐶! e 𝐞! respectivamente a componente e o vetor da base na direção 𝛼.
2) Considere 3 vetores 𝐀, 𝐁 e 𝐂 no espaço 𝐑𝟑. Obtenha (a) 𝐀 ∙ (𝐁 + 𝐂) e (b) 𝐀 ∙ 𝐁 + 𝐀 ∙ 𝐂. Determine então (c) 𝐀×(𝐁 + 𝐂) e (d) 𝐀×𝐁 + 𝐀×𝐂. (e) Com base nos resultados dos itens (a), (b), (c) e (d), o produto escalar e o produto vetorial são operações que satisfazem a propriedade distributiva?
3) Considere 2 vetores 𝐀 e 𝐁 no espaço 𝐑𝟑. Obtenha (a) 𝐀 ∙ 𝐁 e (b) 𝐁 ∙ 𝐀. Determine então (c) 𝐀×𝐁 e (d) 𝐁×𝐀. (e) Com base nos resultados dos itens (a), (b), (c) e (d), o produto escalar e o produto vetorial são operações que satisfazem a propriedade comutativa?
4) Considere 2 vetores 𝐀 e 𝐁 no espaço 𝐑𝟑 e 2 escalares 𝑎 e 𝑏. Obtenha (a) (𝑎𝐀) ∙ (𝑏𝐁) e (b) 𝑎𝑏(𝐀 ∙ 𝐁). Determine então (c) (𝑎𝐀)×(𝑏𝐁) e (d) 𝑎𝑏(𝐀×𝐁). (e) Com base nos resultados dos itens (a), (b), (c) e (d), o produto escalar e o produto vetorial são operações que satisfazem a propriedade de multiplicação por um escalar?
5) Certo campo vetorial 𝐆 é descrito no espaço e no tempo mediante a expressão 𝐆 𝐫, 𝑡 = 𝐆!𝑒!(𝐤∙𝐫±!"), sendo 𝐫 o vetor posição espacial, 𝑡 o tempo e as demais quantidades não mencionadas meras constantes.
Sendo ∇= 𝐞!!! !,!,!!!" o operador gradiente, determine (a) ∇ ∙ 𝐆, (b) ∇×𝐆 e (c) !
!"𝐆.
6) 𝐀, 𝐁 e 𝐂 correspondem a 3 arbitrários vetores no espaço 𝐑𝟑. Assim, (a) demonstre a seguinte identidade vetorial 𝐀× 𝐁×𝐂 = 𝐁 𝐀 ∙ 𝐂 − 𝐂(𝐀 ∙ 𝐁). A identidade vetorial descrita anteriormente é comumente reconhecida como a Fórmula de Lagrange para o triplo produto vetorial de vetores. (b) Se 𝐀 = 𝐁 = ∇, sendo ∇ o operador gradiente, a qual expressão se reduz aquela obtida no item (a)?
7) 𝐀, 𝐁 e 𝐂 correspondem a 3 arbitrários vetores no espaço 𝐑𝟑. Assim, demonstre a seguinte identidade vetorial 𝐀 ∙ 𝐁×𝐂 = 𝐁 ∙ 𝐂×𝐀 = 𝐂 ∙ (𝐀×𝐁). A identidade vetorial em questão é comumente denominada de o triplo produto escalar. (b) Se 𝐀 = ∇, sendo ∇ o operador gradiente, qual novo formato assume a expressão obtida no item (a)?