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Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Relações entre tensões e deformações
29 de agosto de 2016
Relações entre tensões e deformações
Ensaio de traçãoEnsaio de Compressão
Ensaio de TorçãoLei de Hooke generalizada
Exercícios
Relações entre tensões e deformações
As relações entre tensões e deformações são estabelecidas apartir deensaios experimentais simples que envolvem apenas uma componentedo tensor de tensões. Ensaios complexos com tensões significativasnas 3 direções ortogonais tornam difíceis as correlações entre astensões e suas correspondentes deformações.Destacam-se:
ensaio de tração
ensaio de compressão
ensaio torção.
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Ensaio de tração
Objetivos:Relacionar tensões normais (σ) e deformações lineares (ε);Determinar as propriedades dos materiais;Verificar a qualidade dos mesmos.
→ Corpo de prova (CP): barra reta de seção constante, comprimentoL, diâmetroD e áreaA, na configuração inicial
P PLD
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Exercícios
O ensaio consiste em aplicar ao CP uma cargaP axial de tração queaumenta lenta e gradualmente (carga “estática”), até sua ruptura.Mede-se, durante o ensaio, a cargaP, a variação do comprimentoL(∆L) e do diâmetroD (∆D)
P PLD
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Exercícios
Tensor de tensões:
x
y
z
P
Figura :Referencial adotado
σ =
σx 0 00 0 00 0 0
=
P/A 0 00 0 00 0 0
(1)
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Quais são as deformações causadas pela tração aplicada ao CP?
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
Figura :Deformações no ensaio de tração
não sofre distorções angulares
alongamento dos ladosbc e ad→ εx
encurtamento dos ladosab e cd→ εy
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
σx causaεx, εy eεz;
σy causaεx, εy eεz;
σz causaεx, εy eεz;
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
→ Traça-se, durante o ensaio, um gráfico contendo no eixo vertical osvalores da cargaP e no eixo horizontal o alongamento∆L
σ = PA
ε = ∆LL
P
∆L
(a) DiagramaP×∆L
ε
σ
x
x
(b) Diagramaσx × εx - Tensão-deformação
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Tipos de diagramas tensão× deformação
A forma do diagrama depende do tipo de material
εx
σx
5 %
R
1
2
α
(c) Material Frágil
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
(d) Material dútil sem pata-mar de escoamento
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
(e) Material dútil com pata-mar de escoamento
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Materiais frágeis (concreto, vidro): a ruptura (pontoR) se dá paravaloresεx < 5 %;
εx
σx
5 %
R
1
2
α
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Exercícios
Material dútil sem patamar de escoamento definido
(aços especiais com alto teor de carbono). A ruptura (pontoR) se dápara valoresεx >> 5 % e o material não apresenta patamar deescoamento.
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Material dútil com escoamento definido
(aços comuns, com baixo teor de carbono). A ruptura (pontoR) se dápara valoresεx >> 5 % e o material apresenta patamar de escoamento.
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Principais propriedades mecânicas obtidas do ensaio
I – Ponto 1 – limite de proporcionalidade: define o nível de tensão apartir do qual o material deixa de ter comportamento linear.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
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Principais propriedades mecânicas obtidas do ensaio
II – Ponto 2 – limite de elasticidade. Quando o CP é carregadoacima deste limite, não retorna a sua configuração inicial quandodescarregado. Acima deste ponto passam a existir deformaçõespermanentes ou plásticas.Aço =⇒ os limites de elasticidade e proporcionalidade são muitopróximos, e não se faz muita diferença entre esses dois níveis detensão=⇒ materiais elásticos lineares.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
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Exercícios
Principais propriedades mecânicas obtidas do ensaio
III – Ponto 3 – tensão ou ponto de escoamento. Tensão ou ponto deescoamento que caracteriza o início do comportamento não linearelástico.→ aços com baixo teor de carbono: diretamente da curvatensão-deformação.→ aços especiais com alto teor de carbono arbitrado como sendoatensão que provoca uma pequena deformação residual de 0,2 % apóso descarregamento.
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Principais propriedades mecânicas obtidas do ensaio
IV – Módulo de elasticidade – E. Durante a fase elástica linear arelação entre a tensãoσx e a deformaçãoεx é linear→ Lei de Hooke(Robert Hooke, Londres, 1635 a 1703)
σx = tanα εx
σx = E εx
εx
σx
5 %
R
1
2
α
εx
σx
5 %
R
0,2 %
12
3
α
εx
σx
R
3 42
1
5 %
α
Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Principais propriedades mecânicas obtidas do ensaio
Coeficiente dePoisson ν. Além de gerar deformaçõesεx, a tensãoσx
gera deformações lineares nas direções transversais (εy e εz)
x
y
a
b c
d
antes do carregamento
depois do carregamento
εy =∆DD e εz =
∆DD
→ εx, εy eεz: obtidos experimentalmente com as medidas dosextensômetros
εyεx= constante= −ν
εzεx= constante= −ν
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Exercícios
Relações entre a tensãoσx e as deformaçõesεx, εx eεz
εy = −ν εx
εz = −ν εx
Substituindoσx = tanα εx = E εx (Lei de Hooke), chega-se ás relaçõesentre tensões normais e deformaçõs transversais:
εy = −νσx
E(2)
εz = −νσx
E(3)
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Exercícios
Caso estivessem atuando simultaneamenteσx, σy eσz:
εx = +σx
E− νσy
E− νσz
E(4)
εy = −νσx
E+σy
E− νσz
E(5)
εz = −νσx
E− νσy
E+σz
E(6)
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Exercícios
Ensaio de Compressão
É semelhante ao ensaio de tração, mas o CP deve ter dimensõesadequadas para se evitar a flambagem. Para materiais metálicos osCPs devem ser de tal forma que a razãoL/D deve se situar entre 2 e 4(ou entre 3 e 8, segundo alguns autores ).O ensaio de compressão do aço apresenta um diagrama semelhante aoensaio de tração na fase elástica. Admite-se que as constanteselásticasE eν obtidas experimentalmente são as mesmas para traçãoou compressão (postulado da isotropia) .
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Exercícios
Ensaio de torção
→ Alternativa ao ensaio de cisalhamento→ Aplica-se um torque num CP analisando as distorções angulares
αa b
→ Verifica-se experimentalmente que, para pequenas deformações, avariação da dimensão do segmentoab pode ser desprezada→ asdeformações medidas no ensaio de torção sãodistorções angulares.
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Exercícios
Lei de Hooke para o ensaio de torção
τxy = tanα γxy = Gγxy
G→Módulo de Elasticidade Transversale é uma outracaracterística do material.
Relações entre tensões cisalhantes e distorções angulares
τxz = Gγxz
τyz = Gγyz
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Relações entre tensões e deformaçõesLei de Hooke generalizada
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Exercícios
Lei de Hooke generalizada
G = E2(1+ν)
εx
εy
εz
γxy
γxz
γyz
=
1/E −ν/E −ν/E 0 0 0−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0
0 0 0 1/G 0 00 0 0 0 1/G 00 0 0 0 0 1/G
σx
σy
σz
τxy
τxz
τyz
(7)
Na forma matricial compacta:
ε = D−1σ σ = Dε
ondeD é chamada de matriz constitutiva do material.Relações entre tensões e deformações
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Exercícios
Tabela :Constantes elásticas de alguns materiais
Material E (GPa) G (GPa) ν σe µ
(MPa) (kg/m3)
Aço CA-25 210 79 0,33 250 7860Aço CA-50 210 79 0,33 500 7860Aço CA-60 210 79 0,33 600 7860Aço CP-150 210 79 0,33 1500 7860
Aço ASTM A-36 206 253 7860
Concreto 22 a 30 � 0,1 15 a 40 2400
Alumínio 69 26 0,33 290 2710
Titânio 114 825 4460
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Exercícios
Exercícios
1 Um cilindro de alumínio (E= 69 GPa), com diâmetro original de20mm e comprimento de 75mm, é colocado em uma máquina decompressão e comprimido até que a carga axial aplicada seja de5kN. Determinar:a) o decréscimo de seu comprimento.b) seu novo diâmetro.Resposta: a)∆L = −0,0173mm b) d= 20,00152mm
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Exercícios
2 Um corpo de prova padronizado, de aço, com 13 mm dediâmetro, sujeito a uma força de tração de 29,5 kN teve umalongamento de 0,216 mm para um comprimento de 200 mm.Admitindo-se que não foi superado o limite deproporcionalidade, estimar o valor do módulo de elasticidadelongitudinal do aço.Resposta:E = 206 GPa
3 Um cilindro de bronze (ν = 0,34),com diâmetro original de 1,5cm e comprimento de 3 cm, é colocado em uma maquina decompressão e comprimido até que seu comprimento se torne2,98 cm. Determinar o novo diâmetro do cilindro. Resposta: d=
1,5034 cm.
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Exercícios
2 A barra da Figura, que possui 20 mm de espessura e 77 mm dealtura, está submetida a carga P. Os dispositivos x e y permitemcalcular as deformações específicas nas direções longitudinal etransversal, que são, respectivamente,εx = 0,84×10−3 eεy = −0,25×10−3 Determine:
O coeficiente de PoissonSe as deformações foram obtidas para uma carga P de 140 kN , omódulo de elasticidade.
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