Post on 17-Apr-2015
Ensino Superior
Cálculo 1
3- Derivada das Funções Inversas
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Derivadas
Uma função é inversível se seu gráfico é interceptado por qualquer reta horizontal somente em um ponto. Assim f(x) = x3 é inversível, mas f(x) = x2 não é.
Cálculo 1 - Derivadas
Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).
Simetria das funções inversas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Se f é inversível, para cada y do conjunto Imagem de f existe somente um número x no Domínio de f tal que f(x) = y. Assim, se f é inversível, existe uma nova função chamada a inversa de f tal que (x) = y se f(y) = x.
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) = 0.
Interpretação geométrica das raízes de uma função
raiz
raiz
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.
Teste da reta vertical
Cálculo 1 - Derivadas
4.1. Derivada da função inversa f-1(x)
Seja f inversível e sua inversa dada por f-1.
Se f tem uma tangente de inclinação m 0 em (y, x), então a inclinação de f-1 em (x, y) é m-1.Como m = f´(y) e y = f-1(x), então m = f´(f-1(x)).
Daí m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)).
A inversa da função y(x) é a função x(y):
Cálculo 1 - Derivadas
4.1. Derivada da função inversa f-1(x)Exemplo: f(x) = y = x + 1 m = 1 y’ = 1
m = f´(y) = 1 e y = f-1(x) = x - 1 m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)) = 1
Cálculo 1 - Derivadas
• Derivada da função inversa– Se uma função derivável f tem inversa g, então g é também
derivável e vale a seguinte igualdade:
• Exemplo– Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança do ponto x = 2.
Calcule a derivada da função inversa de f no ponto b = f(2) = 13.– Derivando f(x), temos:
)('
1))(('
xfxfg
16)(' xxf
Cálculo 1 - Derivadas
• Se g indica a função inversa de f, então, pela regra da derivada da inversa, temos:
• A derivada de g no ponto f(2)=13 é:
)('
1))(('
xfxfg
16
1))(('
x
xfg
13
1
12.6
1)13('
g
Cálculo 1 - Derivadas
• Derivada de ordem superior– No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas
da derivada de uma função, mas de suas demais derivadas(das derivadas das derivadas).
– A derivada de uma função f é às vezes chamada de primeira derivada de f e é denotada por f ’. A derivada de f ‘ é chamada de segunda derivada de f e é denotada por f ’’. A derivada de f ‘ ‘ é chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f ’’’; e assim sucessivamente.
Cálculo 1 - Derivadas
• Notação de Leibniz– Leibniz denotava a derivada da função f por .
– Se a função f é inversível, num dado intervalo, utilizamos a
notação para designar a derivada da função inversa.
– Assim:
dx
dy
dx
dy
dxdydy
dx 1
Cálculo 1 - Derivadas
• Exemplo– Calcule a derivada da função inversa de f(x) = x3 + 4x2 – x no
ponto f(1)=4.
– Seja y= x3 + 4x2 – x , então,
– Logo, a inversa de y é:
– Como f(1)=4, então:
183 2 xxdx
dy
183
112
xx
dxdydy
dx
10
1
11.81.3
1
)1(
1)4(
2
dxdydy
dx
Cálculo 1 - Derivadas
Gottfried Wilhelm LeibinizGottfried Wilhelm Leibiniz
(u + v) = +
+
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)´= 0
d(ku) = 0 (ku)´= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u
d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) = du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)