Equacionamento de

sistemas trifásicos

Sistema trifásico

Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados com cargas desequilibradas Carga em estrela aterrada através de uma impedância • 3 geradores simétricos • Rede trifásica equilibrada

• Carga trifásica desiquilibrada ligada em estrela No sistema conhece-se: • Tensões de fase nos geradores • Impedâncias na carga • Impedância de aterramento • Impedâncias de linha

Deseja-se determinar: as correntes nas três fases e as tensões de fase e de linhas nos terminais da carga. Ponto Q.

Sistema trifásico

Inicialmente considerando ZN = 0:

ZP é a impedância própria da linha.

As tensões de fase são:

Sistemas trifásicos

As tensões de linha são:

Se ZN não for zero:

Somando essas equações:

Sistemas trifásicos

Carga em estrela com centro-estrela isolado

Em que Y são as admitâncias totais de cada fase

Sistemas trifásicos

Somando as correntes e lembrando que sua soma é zero:

Com o valor de VNN’ podem-se determinar os valores das tensões e correntes:

Sistemas trifásicos

Linha trifásica a 4 fios com indutâncias mútuas qualquer

Sistemas trifásicos

𝑉𝐴𝑁 − 𝑉𝐴′𝑁′ = 𝑉𝐴𝐴′ + 𝑉𝑁𝑁′

𝐼 𝑁 = −(𝐼 𝐴 + 𝐼 𝐵 + 𝐼 𝐶)

Balanço de tensões:

Considerando as três fases:

𝑉 𝐴𝐴′ = 𝐼 𝐴 ∙ 𝑅𝐴 + 𝑗𝑤 𝐿𝐴 −𝑀𝐴𝐺 + 𝐼 𝐵 ∙ 𝑗𝑤 𝑀𝐴𝐵 −𝑀𝐴𝐺 + 𝐼 𝐶 ∙ 𝑗𝑤 𝑀𝐴𝐶 −𝑀𝐴𝐺

𝑉𝐴𝐴′ =

𝑉 𝐴𝐴′

𝑉 𝐵𝐵′

𝑉 𝐶𝐶′

=

𝑅𝐴 + 𝑗𝑤 𝐿𝐴 −𝑀𝐴𝐺 𝑗𝑤 𝑀𝐴𝐵 −𝑀𝐴𝐺 𝑗𝑤 𝑀𝐴𝐶 −𝑀𝐴𝐺

𝑗𝑤 𝑀𝐴𝐵 −𝑀𝐵𝐺 𝑅𝐵 + 𝑗𝑤 𝐿𝐵 −𝑀𝐵𝐺 𝑗𝑤 𝑀𝐵𝐶 −𝑀𝐵𝐺

𝑗𝑤 𝑀𝐴𝐶 −𝑀𝐶𝐺 𝑗𝑤 𝑀𝐵𝐶 −𝑀𝐶𝐺 𝑅𝐶 + 𝑗𝑤 𝐿𝐶 −𝑀𝐶𝐺

∙

𝐼 𝐴𝐼 𝐵𝐼 𝐶

𝑉 𝐴𝐴′ = 𝐼 𝐴 ∙ 𝑅𝐴 + 𝑗𝑤𝐿𝐴 + 𝐼 𝐵 ∙ 𝑗𝑤𝑀𝐴𝐵 + 𝐼 𝐶 ∙ 𝑗𝑤𝑀𝐴𝐶 + 𝐼 𝑁 ∙ 𝑗𝑤𝑀𝐴𝐺

Sistemas trifásicos

Juntando as expressões:

= 𝐼 𝐴 ∙ 𝑅𝐺 + 𝑗𝑤 𝐿𝐺 −𝑀𝐴𝐺 + 𝐼 𝐵 ∙ 𝑅𝐺 + 𝑗𝑤 𝐿𝐺 −𝑀𝐵𝐺 + 𝐼 𝐶 ∙ 𝑅𝐺 + 𝑗𝑤 𝐿𝐺 −𝑀𝐶𝐺

𝑉 𝑁𝑁′ = 𝐼 𝐴 + 𝐼 𝐵 + 𝐼 𝐶 ∙ 𝑅𝐺 + 𝑗𝑤𝐿𝐺 − 𝐼 𝐴 ∙ 𝑗𝑤𝑀𝐴𝐺 − 𝐼 𝐵 ∙ 𝑗𝑤𝑀𝐵𝐺 − 𝐼 𝐶 ∙ 𝑗𝑤𝑀𝐶𝐺

𝑉𝐴𝑁 − 𝑉𝐴′𝑁′ = 𝑉𝐴𝐴′ + 𝑉𝑁𝑁′

𝑉𝐴𝐴′ =

𝑉 𝐴𝑁𝑉 𝐵𝑁𝑉 𝐶𝑁

−

𝑉 𝐴′𝑁′

𝑉 𝐵′𝑁′

𝑉 𝐶𝑁

=

𝑍 𝐴𝐴 𝑍 𝐴𝐵 𝑍 𝐴𝐶𝑍 𝐵𝐴 𝑍 𝐵𝐵 𝑍 𝐵𝐶𝑍 𝐶𝐴 𝑍 𝐶𝐵 𝑍 𝐶𝐶

∙

𝐼 𝐴𝐼 𝐵𝐼 𝐶

𝑍 𝑘𝑘 = 𝑅𝑘 + 𝑗𝑤 𝐿𝑘 + 𝐿𝐺 − 2𝑀𝑘𝐺 ; 𝑘 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑍 𝑘𝑙 = 𝑅𝑘 + 𝑗𝑤 𝑀𝑘𝑙 −𝑀𝑘𝐺 −𝑀𝑙𝐺 + 𝐿𝐺 ; 𝑘, 𝑙 = 𝐴, 𝐵, 𝐶

Sistemas trifásicos

Em uma linha de transmissão, usualmente tem-se:

𝑉𝐴𝐴′ =

𝑉 𝐴𝑁𝑉 𝐵𝑁𝑉 𝐶𝑁

−

𝑉 𝐴′𝑁′

𝑉 𝐵′𝑁′

𝑉 𝐶𝑁

=

𝑍 𝑝 𝑍 𝑀 𝑍 𝑀

𝑍 𝑀 𝑍 𝑝 𝑍 𝑀

𝑍 𝑀 𝑍 𝑀 𝑍 𝑝

∙

𝐼 𝐴𝐼 𝐵𝐼 𝐶

𝑍 𝑘𝑘 = 𝑅 + 𝑅𝐺 + 𝑗𝑤 𝐿 + 𝐿𝐺 − 2𝑀′ = 𝑍 𝑝

𝑍 𝑘𝑙 = 𝑅𝐺 + 𝑗𝑤 𝐿𝐺 +𝑀 − 2𝑀′ = 𝑍 𝑀

𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 𝑅𝐶 = 𝑅

𝐿𝐴 = 𝐿𝐵 = 𝐿𝐶 = 𝐿

𝑀𝐴𝐵 = 𝑀𝐵𝐶 = 𝑀𝐶𝐴 = 𝑀

𝑀𝐴𝐺 = 𝑀𝐵𝐺 = 𝑀𝐶𝐺 = 𝑀′

Com isso tem-se que:

Sistemas trifásicos

Para um sistema simétrico com cargas equilibradas:

Potência em sistemas trifásicos

𝑆 = 𝑆 𝐴 + 𝑆 𝐵 + 𝑆 𝐶 = 𝑉 𝐹𝐴 ∙ 𝐼 𝐹𝐴∗ + 𝑉 𝐹𝐵 ∙ 𝐼 𝐹𝐵

∗ + 𝑉 𝐹𝐶 ∙ 𝐼 𝐹𝐶∗

S = 3 VF IF

P = 3 VF IF cos φ Q = 3 VF IF sen φ

S = 3 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝐼𝐿 P = 3 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝐼𝐿 ∙ cos𝜑 Q = 3 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝐼𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜑

𝑉𝐹 =𝑉𝐿

3 𝐼𝐹 = 𝐼𝐿

Geralmente, em linhas, dispõe-se de valores de linha. Assim:

Sistemas trifásicos

Assim, em um sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada, qualquer que seja o tipo de ligação, são válidas as equações:

S = 3 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝐼𝐿

P = 3 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝐼𝐿 ∙ cos𝜑

Q = 3 ∙ 𝑉𝐿 ∙ 𝐼𝐿 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜑

𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 3 ∙ 𝑉 𝐹𝐴 ∙ 𝐼 𝐹𝐴*

Exemplo Petrobras – 2011

Eng. Eq. Elétrica - 28

Exemplo

Para o sistema trifásico desequilibrado mostrado na figura acima, composto por uma fonte simétrica e uma carga desequilibrada, a(s) (A) potência aparente total é a soma das potências aparentes das três impedâncias. (B) tensão de deslocamento de neutro (VNN’) é igual a zero. (C) soma das corrente nas três impedâncias é diferente de zero. (D) corrente em cada impedância são iguais. (E) tensões VAN e VAN’ são iguais.

Exemplo

(A) – certo. A potência complexa total é a soma das três potências complexas.

(B) - errado. A tensão de deslocamento de neutro é diferente de zero, pois ela seria zero apenas no caso de um sistema equilibrado.

Exemplo

(C) – errado. A soma das três correntes deve ser zero, pois não há o condutor de retorno (neutro). (D) – errado. As corrente nas impedâncias são diferentes, pois o sistema é desequilibrado e as impedâncias são diferentes. (E) – errado. Novamente, as tensões citadas seriam iguais em um sistema equilibrado. Alternativa (C).

Componentes simétricas

Componentes simétricas

Fortescue “Qualquer grupo desiquilibrado de n fasores associados, do mesmo tipo, pode ser resolvido em n grupos de fasores equilibrados, denominados de componentes simétricas dos fasores originais.” Objetivo Estudar sistemas trifásico devido a faltas assimétricas, tais como condutores abertos, curto-circuitos (fase-terra, duas fase-terra, entre duas fases).

Suponha um sistema trifásico de sequência direta

Esse sistema pode ser decomposto em três sistemas

Sequência positiva

Sistema trifásico equilibrado, na mesma sequência de fase do sistema original:

Sequência negativa

Sistema trifásico equilibrado, na sequência de fase inversa ao sistema original:

Sequência zero

Sistema de três fasores iguais em módulo e fase:

Componentes simétricas

Determinação analítica

Matricialmente:

T é a matriz de transformação de componentes simétricas

Componentes simétricas

Analogamente:

Componentes simétricas

Aplicação a um sistema trifásico: Sistemas trifásicos a três fios – ligação estrela

Em termos de componentes simétricas, tem-se que:

Em termos de componentes simétricas:

Componentes simétricas

Componentes simétricas

Significado da decomposição de um sequência em suas componentes simétricas. Considerando um gerador em estrela:

Componentes simétricas

2ª Lei de Kirchhoff em termos de componentes simétricas para circuitos sem indutâncias mútuas

Componentes simétricas

Dois nós, quatro elementos >> três malhas independentes (AN’N, BN’N e CN’N)

Componentes simétricas

Os elementos da diagonal da matriz são as impedâncias próprias . Das leis das malhas tem-se:

Componentes simétricas

Multiplicando os dois lados por T-1:

Componentes simétricas

Z0, Z1 e Z2 são as C.S. de ZA, ZB e ZC

Componentes simétricas

Componentes simétricas

Componentes simétricas

Sistema trifásico a 4 fios sem mútuas:

O resultado disso será:

Componentes simétricas

2ª Lei de Kirchhoff em termos de componentes simétricas para circuitos com indutâncias mútuas

ZA, ZB e ZC – impedâncias próprias dos condutores a, b e c, respectivamente ZAB, ZBA; ZBC, ZCB; ZCA, ZAC – Impedâncias entre os respectivos condutores ZAG, ZGA; ZBG, ZGB; ZCG, ZGC – impedâncias entre os condutores e o retorno ZG – impedância própria do condutor de retorno IA, IB e IC – correntes os condutores a, b e c, respectivamente IN = IA + IB + IC - corrente no condutor neutro

Componentes simétricas

Em que 𝐼 0representa a componente de sequência zero das correntes 𝐼 𝐴, 𝐼 𝐵 , 𝐼 𝐶

O valor de 𝑉 𝑁𝑁′ é dado por 𝑉 𝑁𝑁′ = 𝑍 𝐺𝐼 𝑁 − 𝑍 𝐴𝐺𝐼 𝐴 + 𝑍 𝐵𝐺𝐼 𝐵 + 𝑍 𝐶𝐺𝐼 𝐶 . Como

𝐼 𝑁 = 𝐼 𝐴 + 𝐼 𝐵 + 𝐼 𝐶 = 3𝐼 0, tem-se que:

Componentes simétricas

Considerando:

𝑍 𝐴 = 𝑍 𝐵 = 𝑍 𝐶 = 𝑍

𝑍 𝐴𝐵 = 𝑍 𝐵𝐶 = 𝑍 𝐶𝐴 = 𝑍 𝑀

𝑍 𝐴𝐺 = 𝑍 𝐵𝐺 = 𝑍 𝐶𝐺 = 𝑍 𝑀𝐺

O resultado será:

𝑉 𝐴𝑁0𝑉 𝐴𝑁1𝑉 𝐴𝑁2

−

𝑉 𝐴′𝑁′0

𝑉 𝐴′𝑁′1

𝑉 𝐴′𝑁′2

=

𝑍 00 0 0

0 𝑍 11 0

0 0 𝑍 22

𝑍 00 = 𝑍 + 2𝑍𝑀 + 3(𝑍𝐺 − 2𝑍𝑀𝐺)

𝑍 11 = 𝑍 22 = 𝑍 − 𝑍𝑀

Componentes simétricas

Exemplo

Exemplo

PETROBRAS 2012 – Eng. De Equipamentos Jr. – Elétrica Q38

Uma linha de transmissão trifásica e idealmente transposta, sendo as impedâncias próprias das fases iguais a Zp, e as impedâncias mútuas entre as fases todas iguais a ZM. Essas impedâncias já levam em consideração o efeito do solo. As impedâncias de sequência positiva e zero dessa linha são j3Ω e j9Ω, respectivamente. De acordo com essas informações, os valores, em ohm, das impedâncias Zp e ZM, respectivamente, são:

Exemplo

PETROBRAS 2012 – Eng. De Equipamentos Jr. – Elétrica Q38

𝑍 00 = 𝑍𝑃 + 2𝑍𝑀 + 3(𝑍𝐺 − 2𝑍𝑀𝐺) 𝑍 11 = 𝑍𝑃 − 𝑍𝑀

Como o exercício diz que o efeito do solo já está sendo considerado nas impedâncias, tem-se:

𝑍 00 = 𝑍𝑃 + 2𝑍𝑀

𝑍 00 = 𝑗9 𝑍 11 = 𝑗3

As expressões para calcular essas impedâncias são:

Fazendo os cálculos:

𝑍𝑃 + 2𝑍𝑀 = 𝑗9 𝑍𝑃 − 𝑍𝑀 = 𝑗3

3𝑍𝑀 = 𝑗6 𝑍𝑀 = j2

𝑍𝑃 − 𝑍𝑀 = 𝑗3 = 𝑍𝑃 − 𝑗2 → 𝑍𝑃 = 𝑗5

Resposta (B)

Representação de geradores por C.S.:

Multiplicando por T-1:

Componentes simétricas

Usualmente, pelo fato dos geradores serem simétricos, tem-se:

𝐸 0 = 𝐸 2 = 0𝑒𝐸 1 = 𝐸

Se o alternador estiver diretamente ligado à terra ou com o centro-estrela isolado, tem-se:

𝑍 𝑁 = 0𝑒𝑍 𝑁 = ∞

Se a rede for equilibrada as impedância Z0, Z1 e Z2 serão iguais.

Componentes simétricas