Post on 15-Oct-2021
Deformacao e MovimentoDescricao Espacial × Descricao Material
Conservacao de Massa
Equacao da Continuidade
Marcio Antonio de Andrade Bortoloti
Departamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas - DCETUniversidade Estadual do Sudoeste da Bahia
Matematica Aplicada
Marcio Bortoloti Equacao da Continuidade
Deformacao e MovimentoDescricao Espacial × Descricao Material
Conservacao de Massa
Sumario
1 Deformacao e MovimentoDeformacaoMovimento
2 Descricao Espacial × Descricao Material
3 Conservacao de Massa
Marcio Bortoloti Equacao da Continuidade
Deformacao e MovimentoDescricao Espacial × Descricao Material
Conservacao de Massa
DeformacaoMovimento
Deformacao
Definicao: Considere um corpo B. Definimos uma deformacao de B como o mapeamentoinjetivo suave
f : B → B ⊂ Eonde B ⊂ E e fechado e
det∇f > 0. O que ocorreria se det∇f ≤ 0 ?(Exercıcio)
O vetoru(p) = f(p)− u
representa o deslocamento de p (p e chamado ponto mate-rial).Quando u e constante, f e uma translacao, neste caso,
f(p) = p + u.
O tensor F(p) = ∇f(p) e chamado gradiente de de-formacao.
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Deformacao e MovimentoDescricao Espacial × Descricao Material
Conservacao de Massa
DeformacaoMovimento
Movimento
Definicao: Seja B um corpo. Um movimento de B e definido como uma funcao declasse C3 da forma
x : B × R→ E
com x(·, t), para cada t fixado, uma deformacao de B.Quando nao houver confusao, escreveremos
x = x(p, t)
como o lugar ocupado por um ponto p em um tempo t e escreveremos
Bt = x(B, t)
para a regiao do espaco ocupada pelo corpo no tempo t.
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Conservacao de Massa
DeformacaoMovimento
Conservacao de Massa
Definimos trajetoria como o conjunto
T = (x, t); x ∈ Bt, t ∈ R.
A cada t, x(·, t) e uma bijecao entre B e Bt. Logo possui uma inversa
p(·, t) : Bt → B
tal quex(p(x, t), t) = x p(x(p, t), t) = p.
Dado (x, t) ∈ T ,p : T → B
define o mapa de referencia do movimento.
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Conservacao de Massa
DeformacaoMovimento
Velocidade e Aceleracao
Definiremos velocidade como sendo
x(p, t) =∂
∂tx(p, t)
e aceleracao como
x(p, t) =∂2
∂t2x(p, t).
Usando o mapeamento p podemos descrever a velocidade x(p, t) como uma funcaov(x, t). Especificamente,
v : T → Vdefinida por
v(x, t) = x(p(x, t), t).
Neste caso, v e chamada descricao espacial da velocidade. O vetor v e a velocidadedo ponto material que ocupa a posicao x em um tempo t.
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Conservacao de Massa
Descricao Espacial × Descricao Material
Observamos que qualquer campo associado a um movimento pode ser expressocomo uma funcao do ponto material p e tempo, t, com domınio em B ×R ou comofuncao da posicao e tempo com domınio T .
Um campo material e uma funcao com domınio B × R, isto e, analisa-se aevolucao de seu valor ao longo do caminho de um ponto material;Um campo espacial e uma funcao com domınio T , ou seja, analisa-se seu valorem ponto fixo na atual configuracao do corpo.
Definicao: Uma descricao espacial Φs de um campo material (p, t) 7→ Φ(p, t) edefinida por
Φs(x, t) = Φ(p(x, t), t)
e a descricao material de um campo espacial (x, t) 7→ Ω(x, t) e definida por
Ωm(p, t) = Ω(x(p, t), t).
Nota-se que (Φs)m = Φ e (Ωm)s = Ω.Marcio Bortoloti Equacao da Continuidade
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Conservacao de Massa
Descricao Espacial × Descricao Material
Dado um campo material Φ nos escrevemos
Φ(p, t) =∂
∂tΦ(p, t)
para representar a derivada material no tempo e
∇Φ(p, t) = ∇pΦ(p, t)
para o gradiente material de Φ.Em particular, o campo material
F = ∇x
e o gradiente de deformacao em um movimento x.
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Similarmente, dado um campo espacial Ω nos escrevemos
Ω′(x, t) =∂
∂tΩ(x, t)
para a derivada no tempo na descricao espacial e
grad Ω(x, t) = ∇xΩ(x, t)
para o gradiente espacial de Ω. Algumas vezes a descricao material e chamada de DescricaoLagrangeana e a descricao espacial de Descricao Euleriana.
Campo Material Φ Campo Espacial Ω
Domınio B × R TArgumentos Ponto Material p e tempo t Posicao x e tempo tGradiente ∇Φ grad Ω
Derivada no tempo Φ Ω′
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Conservacao de Massa
Descricao Espacial × Descricao Material
Proposicao: Seja u um campo vetorial suave na descricao espacial. Entao
∇(um) = ( grad u)mF
onde F e o gradiente de deformacao.Prova: Por definicao
um(p, t) = u(x(p, t), t) = u(·, t) x(·, t).
Pela Regra da Cadeia
∇(um) = ( grad u)m∇x = ( grad u)mF.
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Proposicao: Seja F o gradiente de deformacao. Entao
F = ( grad v)mF
Prova:Como x ∈ C3 temos
F(p, t) =∂
∂tF(p, t) =
∂
∂t∇x(p, t) = ∇x(p, t) = ∇vm(p, t) = ( grad v)mF.
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Uma das mais importantes propriedades de corpos e que eles possuem massa.
Nesse estudo vamos considerar corpos cuja massa esteja continuamentedistribuida.
Mesmo que um corpo esteja sob severa deformacao, sua massa e a integral deum campo de densidade , isto e, dado qualquer deformacao f , existe umacampo de densidade ρf sobre f(B) tal que a massa m(P) de qualquer parte Pde B e dada por
m(P) =
∫f(P)
ρf dV.
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Uma distribuicao de massa para B e definida como uma famılia de campos dedensidade suaves
ρf : f(B)→ R+,
uma para cada deformacao f , tal que,∫f(P)
ρf dV =
∫g(P)
ρg dV = m(P)
para qualquer parte P de B e todas deformacoes f e g.
O numero ρf (x) representa a densidade em um ponto x ∈ f(B) para umadeformacao f .
A equacao acima expressa a conservacao de massa.
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Vamos denotar por ρ0 o campo de densidade ρf quando f(p) = p para todop ∈ B.
Logo ρ0(p) denota a densidade em p quando o corpo esta na posicao dereferencia.
Pelo Teorema da Localizacao tem-se
ρ0(p) = limδ→0
m(Ωδ)
vol(Ωδ).
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Teorema: Seja f uma deformacao de B, e seja φ um campo escalar contınuo sobref(B). Entao dado qualquer P ⊂ B tem-se∫
f(P)φ(x) dVx =
∫Pφ(f(p)) det F(p) dVp.
Observacao: Dado P ⊂ B, tem-se
vol (f(P)) =
∫f(P)
dV =
∫P
det F dV.
Pelo Teorema da Localizacao temos, para p ∈ Ωδ,
det F(p) = limδ→0
vol (f(Ωδ))
vol (Ωδ).
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Nota-se que det F representa o volume apos uma deformacao por unidade dovolume original, ou seja,
det F(p) = limδ→0
vol (f(Ωδ))
vol (Ωδ).
Definicao: Dizemos que f e isocorica, ou seja, preserva volume, se para qualquerP ⊂ B tivermos
vol (f(P)) = vol (P).
Proposicao: Uma deformacao e isocorica se e somente se det F = 1.
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Teorema: Seja f uma deformacao de B e seja F = ∇f . Entao
ρf (x) det F(p) = ρ0(p)
com x = f(p).Prova:
Da conservacao de massa temos∫f(P)
ρf dV =
∫g(P)
ρg dV
De onde segue que ∫f(P)
ρf (x) dV =
∫Pρ0(p) dV
A integral do lado esquerdo pode ser reescrita como
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∫f(P)
ρf (x) dV =
∫Pρf (f(p)) det F(p) dVp (Exercıcio)
Logo, podemos obter∫Pρf (f(p)) det F(p) dVp =
∫Pρ0(p) dVp
Ou seja, ∫P
[ρf (f(p)) det F(p)− ρ0(p) dVp] = 0
Pelo Teorema da Localizacao temos
ρf (x) det F(p)− ρ0(p) = 0
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Conservacao de Massa
Conservacao de Massa
Teorema: Para qualquer P ⊂ B e qualquer tempo t > 0,
d
dt
∫Pt
ρ dV = 0.
Prova:A prova segue direto do Princıpio da Conservacao de Massa.
Teorema (Conservacao de Massa Local) : Assumindo que ρ e um campo dedensidade e v um campo de velocidade, ambos, suficientemente regulares, tem-se
ρ+ ρ divv = 0 e ρ′ + div(ρv) = 0.
Prova :Sabe-se que
ρdet F = ρ0
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Conservacao de Massa
Logoρdet F + ρ(det F) = 0
Temos que (det S) = (det S) tr (SS−1) (Exercıcio) implica em
(det F) = (det F) tr (FF−1) = (det F) tr(
( grad v)mFF−1)
= (det F) tr ( grad v)m
= (det F)divv
Assim temosρdet F + ρdet F divv = 0.
Portantoρ+ ρ divv = 0.
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Antes de mostrar que ρ′ + div(ρv) = 0, vamos estabelecer um resultadoimportante.Proposicao: Sejam φ e u campos suaves na descricao espacial. Entao
φ = φ′ + v · gradφ.
Prova:
φ(x, t) =∂
∂tφ(x(p, t), t)|p=p(x,t) = [ gradφ(x, t)] · x(p(x, t)) + φ′(x, t)
= v(x, t) · gradφ(x, t) + φ′(x, t)
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Conservacao de Massa
De volta ao teorema, vamos mostrar que ρ′ + div(ρv) = 0. Pelo resultado anteriortemos
ρ = ρ′ + v · grad ρ ou ρ′ = ρ− v · grad ρ
Como ja mostramos que ρ+ ρdivv = 0 segue que
ρ′ = −ρdivv − v · grad ρ = −div (ρv)
Assim,ρ′ + div(ρv) = 0.
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Conservacao de Massa
Exercıcios:1 Seja L = grad v. Defina D = (L + LT )/2 e W = (L− LT )/2. Mostre que em um movimento
planoWD + DW = (div v)W.
2 Mostre que F = ( grad v)mF.
3 Mostre que
v = v′ +1
2grad (v · v) + 2Wv
4 Mostre que as seguintes afirmacoes sao equivalentes:
a) x e isocorico;b) (det F) = 0;c) divv = 0;d) Para toda parte P e um tempo t∫
∂Pt
v · n dA = 0
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