ESCOAMENTO POTENCIAL -...

Angela Nieckele – PUC-Rio

1

ESCOAMENTO POTENCIAL

Escoamento de fluido não viscoso, 0

Equação de Euler:

Escoamento de fluido incompressível r cte

Equação da continuidade:

Escoamento Irrotacional

Se o escoamento for irrotacional, uma grande simplificação pode ser

obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de

velocidades pode ser obtido sem a solução da equação de Euler.

PgρtD

VDρ grad

0V

div

0 VV

rot


Para situações bi-dimensionais, pode-se utilizar o conceito de função

de corrente

Escoamento bi-dimensional, incompressível, não viscoso,

irrotacional

função de corrente:

satisfaz a equação da continuidade

Se obrigarmos o escoamento a ser irrotacional, temos

para situações 2-D, e escoamento plano,

satisfaz a equação de Laplace, para escoamento plano, não

viscoso, irrotacional, incompressível

2

uy

vx

,

V 0

z

v

x

u

y x x y y

0 2 0


3

Procedimento de solução:

1. Resolve-se 2 0 com as condições de contorno apropriadas

2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função de corrente

3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler

Condições de contorno:

velocidade ao longe conhecida:

y x, conhecidos

superfície sólida: corpo cons te tan

Coordenadas polares: função de corrente ur

urr

1

,

z

r

r

r u

r r

u

r rr

r r r

0

1 1 1 1 1 2 0



r, conhecidos

superfície sólida: corpo cons te tan


Sabemos que esta equação será sempre verdadeira se definirmos

onde é um potencial, já que o rotacional do gradiente de qualquer

função potencial é sempre zero, .

4

V 0

V

0

ux

vy

wz

, , u

ru

ru

zr z

, ,1

coordenadas cartesianas: coordenadas cilíndricas:

Escoamento Tri-dimensional, Incompressível, Não

Viscoso, Irrotacional

Para situações 3-D, não podemos utilizar o conceito de função de

corrente, já que a mesma só é definida para situações 2-D.

Introduziremos um novo conceito:

FUNÇÃO POTENCIAL DE VELOCIDADE

função potencial de velocidade é definida de forma a satisfazer a

condição de escoamento irrotacional:


5

Se obrigarmos o escoamento irrotacional a satisfazer a equação de conservação de massa para

fluidos incompressíveis, V 0 , temos

x x y y z z

0 2 0

satisfaz a equação de Laplace, para escoamento não viscoso, irrotacional,

incompressível, 2-D ou 3-D.



x y z, , conhecidos

superfície sólida, velocidade normal nula:

n 0

NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE

TANGENCIAL

sjá que o escoamento é sem viscosidade


6

LINHAS DE CORRENTE E EQUIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS

Procedimento de solução:

1. Resolve-se 2 0 com as condições de contorno apropriadas

2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função potencial

3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler

Obs: Podemos resolver e

a) linhas de corrente = constante são sempre tangente ao campo de velocidade

b) V

V é perpendicular as linhas de constante (equipotenciais)

e


Pergunta:

Existe alguma vantagem em resolver a

equação de Laplace, ao invés da equação de

Euler?

SIM!!!

A análise da equação de Laplace está bastante

desenvolvida. Existem diversas técnicas disponíveis

superposição de soluções elementares

análise numérica

mapeamento conforme

analogia elétrica

etc.7


SOLUÇÕES ELEMENTARES PARA ESCOAMENTOS

PLANOS

Vários problemas interessantes de escoamento potencial

podem ser construídos a partir de três tipos de soluções

elementares:

escoamento uniforme

fonte ou sorvedouro

vórtice

As soluções destes problemas podem ser combinadas produzindo

resultados úteis. Para isso, usamos o fato que a equação de Laplace é

linear e o princípio de superposição

Se 1 e 2 são soluções da equação de Laplace, a soma de 1 2

também é solução.

8

21

22

21 20 0 0 e ( )


9


10


11


12


13


14

Exemplo 6.11: Escoamento sobre um Cilindro:

Superposição de Dipolo e Escoamento Uniforme.

Determine: (i) função corrente (ii) função potencial (iii) campo de velocidade

(iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pressão

(vi) força resultante sobre o cilindro: arraste e sustentação

Solução:

escoamento uniforme: yU ; xU

dipolo:

senr

;

cosr

(i) Função corrente:

senrUsenr

(ii) Função potencial:

coscos rUr


15

ur

urr

1

,

r

1u

rur ,

eueuV rr

ou

(iii) Campo de velocidade:

coscos rUr

22

22r

r

U1senUsenUsen

rr

1u

r

U1UU

rru

/

/coscoscos

(iv) pontos de estagnação: ponto onde 0V

logo 0ur e 0u

Note que 0ur para qualquer se Ur / (r=cte círculo) logo o raio do

cilindro é Ua /

Para ambos os componentes serem nulos, é preciso verificar se o componente angular pode

ser nulo sobre a superfície do cilindro.

Para r=a senU2u . Então 0u para = 0 e

Os pontos de estagnação são (r, ) = (a, 0) e ( a,


16

A função de corrente pode representar um escoamento sobre um cilindro ou um semi-

hemisfério

U r sena

r1

2

2

a

A B

O perfil de velocidade sobre a superfície do cilindro é senU2uu ;

euV

; senU2VV

0 45 90 135 1800

1

2

| u

/U |

B A


17

(v) campo de pressão:

Para escoamento irrotacional podemos utilizar a EQUAÇÃO DE Bernoulli entre quaisquer

dois pontos: ponto no infinito e ponto sobre a superfície do cilindro

2

Vp

2

Up

22

rr 2222

sen412

Up

2

V

2

Upp r

r

Coeficiente de pressão: 2

2p sen412U

ppC

r

/

0 45 90 135 180

-3

-2

-1

0

1

C p


18

Força resultante sobre o cilindro: R F i F j p dA p n a L dA S

cilindro

0

2

n e i j senr cos

R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L dA S cos cos

0

2

0

2

0

2

rr

2

0

222A dLasen4U

2

1U

2

1pF cos

r

r

dsenLaU2dLaU2

1pF

2

0

222

0

2A coscos 0

3

senU2senU

2

1p

La

F2

0

322

02A

r

r

FA 0

rr

2

0

222S dLasensen4U

2

1U

2

1pF

F

a Lp U U sen

S

1

22

32 02

02 2 2

0

2

r r

coscos

( ) FS 0

Força de arraste:

Força de sustentação:

r

r

dsensenLaU2dsenLaU2

1pF

2

0

222

0

2S


19

Obs:

1. Na realidade existe arraste, veremos que o escoamento separa, ocorre a formação de

esteira.

2. Todo escoamento com simetria em relação a horizontal, apresenta sustentação nula.


20

Exercício: Meia Superfície de Rankine

Conhecendo o seguinte campo potencial m r U rln cos , determine:

i) o campo de velocidades

ii) pontos de estagnação

iii) as linhas de corrente

iv) forma do corpo

r

x

y

a

Sabe-se que x= r cos y= r sen , logo

m x y U x

mx y U xln ln2 2 2 2

2

i)

ux

Um x

x yU

m r

rU

m

r

2 2 2

coscos

vy

m y

x y

m r sen

r

m

rsen

2 2 2

Sabe-se que x= r cos y= r sen , logo

m x y U x

mx y U xln ln2 2 2 2

2

i)

ux

Um x

x yU

m r

rU

m

r

2 2 2

coscos

vy

m y

x y

m r sen

r

m

rsen

2 2 2


21

ii) Ponto de estagnação: V 0 ,

i) velocidade vertical: v = 0 para = 0 e

ii) velocidade horizontal :

em = 0 , u = U + m / r = 0 r < 0 impossível

em = , u = U - m / r = 0 r = m/U = a x = - a

iii) uy

Um x

x ydy f x U y m

y

xf x

2 21( ) tan ( )

vx

m y

x ydx g y m

y

xg y

2 21( ) tan ( )

f(x) = 0 e g(y) = U y U y my

xU r sen mtan 1

iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de no ponto de

estagnação é m ou m

O lugar geométrico da linha de corrente m , a qual separa o escoamento da fonte do

escoamento uniforme é

m U r sen m rm

U sen

( )

ux

Um x

x yU

m r

rU

m

r

2 2 2

coscos

vy

m y

x y

m r sen

r

m

rsen

2 2 2





em = , u = U - m / r = 0 r = m/U = a x = - a

iii) uy

Um x

x ydy f x U y m

y

xf x

2 21( ) tan ( )

vx

m y

x ydx g y m

y

xg y

2 21( ) tan ( )

f(x) = 0 e g(y) = U y U y my

xU r sen mtan 1





m U r sen m rm

U sen

( )





em = , u = U - m / r = 0 r = m/U = a x = - a

iii) uy

Um x

x ydy f x U y m

y

xf x

2 21( ) tan ( )

vx

m y

x ydx g y m

y

xg y

2 21( ) tan ( )

f(x) = 0 e g(y) = U y U y my

xU r sen mtan 1





m U r sen m rm

U sen

( )


22

uniforme U r sen

dipolo

r

sen

vórtice Kr

aln

Definindo: a U2 / , a referência

U r sena

rK

r

a1

2

2ln

r = a é uma linha de corrente ( = 0)

ur

Ua

rr

11

2

2

cos

Velocidade:

ur

U sena

r

K

r

1

2

2

Exercício: Escoamento ao redor de um cilindro com rotação

Obtido com a combinação de escoamento:


23


24


25

Distribuição de pressão:

p V p U V u U senK

a

1

2

1

222 2 2 2

2

r r

p p U U senK

a

U K

asen

1

2

1

24

42 2 22

2r r

Força resultante sobre o cilindro: R F i F j p dA p n a L dA S

cilindro

0

2

n e i j senr cos

R p i jsen a L d F p a L d e F p sen a L dA S cos cos

0

2

0

2

0

2


26

Força de arraste:

r

2

0

2A dLaU

2

1pF cos

r

dsena

KU4d

a

KdsenU4La

2

2

0

2

02

22

0

22 coscoscos

F

a Lp U

K

asen U

sen U K

a

senA

r r

r

22

3

2

202

2 02 2

3

0

2 2

0

2

FA 0

Força de sustentação

F p UK

aa L sen d a L U sen d

U K

asen dS

r

r

2 24

422

20

22 3

0

22

0

2

F a L p UK

aU a L sen

U K

aa L

sen U K

aa L

S

r r

r r

22

32

2

2

2

40 0

2

22

2 02 2 2

0

2

0

2

coscos

( )

F K L US 2 r

Força de arraste:

r

2

0

2A dLaU

2

1pF cos

r

dsena

KU4d

a

KdsenU4La

2

2

0

2

02

22

0

22 coscoscos

F

a Lp U

K

asen U

sen U K

a

senA

r r

r

22

3

2

202

2 02 2

3

0

2 2

0

2

FA 0

Força de sustentação

F p UK

aa L sen d a L U sen d

U K

asen dS

r

r

2 24

422

20

22 3

0

22

0

2

F a L p UK

aU a L sen

U K

aa L

sen U K

aa L

S

r r

r r

22

32

2

2

2

40 0

2

22

2 02 2 2

0

2

0

2

coscos

( )

F K L US 2 r


27

1a Questão: Um cilindro é formado ao aparafusar duas calhas semi-cilíndricas pelo lado interno,

como mostra a figura. Existem 10 parafusos por comprimento de largura em cada lado, e a pressão

interna é 50 kPa (manométrica). Determine a força em cada parafuso, se o fluido externo é ar a

CNTP (r 12 kg/m3). Utilize a teoria de escoamento potencial, logo, o escoamento ao redor do

cilindro pode ser aproximado pela soma de um dipolo (

sen

r) com um escoamento

uniforme ( U y ).

U=25 m/s

p = patm

pin

D = 20 cm


28

221

r

UU

rU

rur

/cos

coscos

221

r

UU

rU

ru

/sin

sinsin

em r=(/U)0.5 , ur=0,

u= -2 U sin

Entao R=D/2=(/U)0.5

r

V

tds

Vg z

d pcons te

s s

2

2tan

rr pupU

22

22

r 22

412

sin

UppPara r=cte, regime permanente = >

LRdU

ppLRdppF inin r

sin)sin(sin)(0

22

0

412

2

3

42

3

0

32

2

0

2

0

20

422

2

rr

sincoscos

sinsin)( dLRU

dLRU

ppF in

NL

RUpp

NL

Fin

223

162

2

r )( mNNL

F/,567


29

2a Questão: Uma usina nuclear despeja Q = 8,5 m3/s de água quente, utilizada no processo de

refrigeração no fundo do mar. O jato de água sai verticalmente do fundo do mar, que está a uma

profundidade de b = 7,6 m. A corrente marinha é igual a U = 0,4 m/s. Por razões ecológicas é

necessário saber, a que distância da saída da tubulação a corrente marinha é afetada pela água

quente. De acordo com a figura, deseja-se saber a e L. Note que este escoamento pode ser

representado por uma combinação de uma fonte e um escoamento uniforme.

Sabe-se:

Escoamento uniforme:

yU

Fonte:

2

b/Q

x = r cos

y r sen

222 yxr

)x/y(tan 1

2 LU

r

x

y

a


30

22

bQrU

bQyU

/sin

/

x

ybQyU 1

2 tan

/

r

bQU

rur

2

/cos

sinU

ru

Ponto de estagnação: u=0 , ur=0 u=0 em 0 e

ur=0 em 0 impossível

em se a = (Q/b)/(2 U)

Ponto de estagnação: r=a, a = (Q/b)/(2 U)=0,44m

Linha de corrente que passa pelo ponto de estagnação: 2

bQa

/),(

221 bQ

x

ybQyU

/tan

/

Lugar geométrico desta linha de corrente:

U

bQ

x

y

U

bQy

221 /

tan/

Lyx

U

bQ

U

bQL

zero

20

21 /

tan/

mU

bQL 41

2,

/


31

Exercicio: Um tornado pode ser representado por um vórtice (=- K ln r). A pressão foi

medida a 0,5 m do centro do vórtice como sendo igual a 90 KPa. Qual a velocidade

nesta posição? Qual a intensidade K do vórtice?

0

rur

r

K

ru

2

2222

r

KuVV

r

r 2

2

1

2

22

21 pV

pV

atmprp )( 02 )(rV

atmp

V

p 2

2

11 sm

ppV atm /)( 1352 1

1

r

smrVK /, 276711


32

Questão: Um “chip” retangular de microcircuito flutua numa camada de ar (r=1,2

kg/m3), com espessura h= 0,5 mm, acima de uma superfície porosa. A largura do “chip” é

L= 20 mm, e a espessura é t = 2 mm, conforme mostrado. O seu comprimento b, na

direção perpendicular ao plano da figura, é igual 100 mm. Não há escoamento na direção

z. Admita que o perfil de velocidade na direção x, na fresta sob o “chip”, é uniforme em

y, isto é, não varia com y. O fluido é incompressível e os efeitos de atrito podem ser

desprezados. Estime a massa do “chip”, sabendo que vo= 3 m/s.

y

L

h

x

t

vo

u

Balanço de forças no chip => 0F

022

0

/L

atm dxbpLbpgm

2

0

2 /'

Ldxbp

gm

atmppp '

Para avaliar a pressão, desprezando efeitos de

atrito, aplicamos a equação de Bernoulli 22

22

2/LV

pu

p atm rr

precisamos estimar a velocidade

utilizando a equação da continuidade 0dAnVd

t SCVC

r r


33

0dAnVdt SCVC

r r

temos de vo x b = u b h => u= vo x / h

2

22

2

222

22

2

22

22

h

xv

h

LvuVppp oo

atmL rrrr

)/(´ /

r

2

02

2

2

22

418

2 /Lo dxb

L

x

h

Lv

gm

=> m = 0,293 kg

2

0

2 /'

Ldxbp

gm

h

LLxuL ovV

222

/)/(/

r

2

2

2

22

418 L

x

h

Lvo

bL

LL

h

Lv

gm o

r

2

3

2

22 2

3

4

28

2 )/(b

h

Lv

gb

h

Lv

gm oo

2

32

2

32

12

1

3

1

8

2rr

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