ersidade Univ - ULisboa

Universidade de LisboaFa uldade de Ciên iasDepartamento de Matemáti a

Sobre expansões de Mal ev desemigrupos �nitosJoana Mendonça de Matos

Doutoramento em Matemáti aEspe ialidade: Álgebra, Lógi a e Fundamentos2012

Universidade de LisboaFa uldade de Ciên iasDepartamento de Matemáti a

Sobre expansões de Mal ev desemigrupos �nitosJoana Mendonça de MatosTese orientada pelo Professor DoutorMário J. J. Bran oe pela Professora DoutoraGra inda M. S. Gomes,espe ialmente elaborada para a obtenção do grau de doutor emMatemáti a (Espe ialidade: Álgebra, Lógi a e Fundamentos)2012

“Eu sou do tempo, vivo no tempo, mas não tenho tempo.”

António R. Fonseca

Agradecimentos

O meu primeiro agradecimento é com toda a certeza para os meusorientadores,

o Prof. Mário e a Prof. Gracinda, que muito me transmitiram dasua sabedoria,

cuidado, rigor e persistência. Um muito obrigada pelo apoioimensurável que me

prestaram.

Um agradecimento particular ao Prof. J.-E. Pin pela sugestão do tema.

Agradeço aos meus colegas do CAUL e do CELC pela injecção de ânimo cons-

tante e pela sua disponibilidade em ajudar-me sempre que necessitei.

Ao Adrian Dediu e ao Andreas Distler um muito obrigada pelo suporte técnico

com o GAP e o TEX.

Um obrigada muito especial aos meus queridos pais e ao Adrianpor terem sido

a rede indispensável sem a qual não teria conseguido chegar ao fim deste percurso.

Quero agradecer, por fim, à FCT pelo suporte através da bolsa de doutoramento

SFRH/BD/24359/2005 e ao CAUL pela possibilidade de desenvolver o meu tra-

balho dentro das actividades dos projectos PTDC/MAT/69514/2006, ISFL/1/143 e

PEST-OE/MAT/UI0143/2011, por todos os meios técnicos e científicos dispensa-

dos, pelo espaço de trabalho e pela oportunidade de poder participar em diversas

conferências ao longo deste período.

Resumo

A expansão de Malcev foi formalmente introduzida por Elstonem [17]. Dados

um semigrupoA-gerado(S, ϕ) e uma variedade de semigruposV (no sentido de

Birkhoff), podemos dizer, de uma forma simplificada, que a expansão de Malcev

deS determinada porV, que denotamos porVm©S, é o semigrupo que resulta de

A+ ao impormos as identidades satisfeitas porV aos seus subsemigrupos da forma

eϕ−1, com e ∈ E(S). Desta definição resulta naturalmente umV-morfismo de

Vm©S paraS que tornaVm©S o “maior” semigrupo na categoria dos semigrupos

A-gerados que admitem umV-morfismo paraS.

Nesta dissertação estudamos em particular a expansão de Malcev determinada

pela variedade trivialI e a expansão de Malcev determinada pela variedadeLZ

dos semigrupos zero à esquerda.

A definição formal da expansão de Malcev e as suas propriedades são apresen-

tadas no Capítulo 2, tendo como referência principal umas notas não publicadas

de Pin [47] e [44]. Adicionalmente, na Proposição 2.10, fornecemos um conjunto

de expansões de Malcev que gera o produto de MalcevVm©W deS-variedades,

sempre queV é localmente finita.

O Capítulo 3, embora não dependa directamente da noção de expansão de Mal-

cev, é dedicado à descrição dos produtos de MalcevIm©W deS-variedades, ondeI

é aS-variedade trivial eW é aS-variedadeDV dos semigruposS cujasD-classes

regulares são subsemigrupos deS emV, para uma certaS-variedadeV, ou é uma

S-variedade de semigrupos localmente grupos (Proposição 3.8 e Teorema 3.11).

Particularizamos, depois, para os casos deW ser umaS-variedade de semigrupos

unipotentes (Teorema 3.12), de grupos e de semigrupos completamente simples. A

primeira secção deste capítulo trata de propriedades dosI-morfismos (relacionais)

fundamentais para a demonstração de alguns resultados centrais neste trabalho.

No Capítulo 4 apresentamos duas abordagens à expansão de Malcev determi-

nada pela variedadeI. Dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito, comA fi-

nito, a primeira abordagem consiste na construção algorítmica de um semigrupo

que depende deS e que é, em geral, “maior” do queIm©S. Este semigrupo

é o semigrupo de transiçãoS(A ) de um certo autómatoA que construimos.

O Teorema 4.26 estabelece uma condição necessária e suficiente para queIm©S

sejaS(A ). A segunda abordagem é dada pela construção de duas congruên-

ciasθϕ e ρϕ emA+ para as quais existe uma cadeia de morfismosA-gerados da

formaIm©S ։ A+/ρϕ ։ A+/θϕ ։ S. Provamos, como consequência do Teo-

rema 4.48, que, seS for um semigrupo localmente grupo ou um semigrupo cujos

idempotentes formam um subsemigrupo, entãoIm©S = A+/ρϕ = A+/θϕ.

No último capítulo estudamos a expansão de Malcev determinada pela varie-

dadeLZ. Recordamos, na primeira secção, a sua relação com a expansão de Rho-

des e damos uma demonstração alternativa do resultado (Proposição 5.10) que diz

que, para qualquer variedadeV de bandas que contenha a variedadeSL dos semi-

reticulados, a expansãoLZm©FV(A) coincide com a expansão de Rhodes do semi-

grupo livreFV(A) emV. Na secção seguinte, tal como paraIm©S, apresentamos

um algoritmo para calcular a expansãoLZm©S de um semigrupoA-gerado(S, ϕ)

finito, comA finito. Também neste algoritmo construimos um autómatoB que

depende deS e cujo semigrupo de transiçãoS(B) é, de um modo geral, “maior”

do queLZm©S. O Teorema 5.33 dá-nos uma condição necessária e suficiente para

que se tenhaLZm©S ≃ S(B). Por fim, no Teorema 5.40, descrevemos algebrica-

menteLZm©S, quandoS é um semigrupo finito localmente grupo. Esta descrição

adapta-se naturalmente aRZm©S e pode ser estendida aRBm©S.

Implementações em GAP (Groups, Algorithms, Programming – aSystem for

Computational Discrete Algebra) [19] dos dois algoritmos referidos podem ser en-

contradas nos Anexos A e B.

Palavras chave:Semigrupo, Variedade,S-variedade,V-morfismo (relacional),

Produto de Malcev e Expansão de Malcev.

Abstract

The Malcev expansion was formally introduced by Elston in [17]. Intuitively, gi-

ven anA-generated semigroup(S, ϕ) and a Birkhoff variety of semigroupsV, the

Malcev expansion ofS by V, denoted byVm©S, is the semigroup obtained from

A+ by imposing the identities satisfied byV to the subsemigroups of the form

eϕ−1, with e ∈ E(S). From this definition we naturally obtain aV-morphism from

Vm©S ontoS for whichVm©S becomes the “largest” semigroup in the category of

theA-generated semigroups which admit aV-morphism ontoS.

In this dissertation, we give particular relevance to the study of the Malcev ex-

pansion by the trivial varietyI and to the Malcev expansion by the varietyLZ of

the left zero semigroups.

The formal definition of the Malcev expansion and its properties are given in

Chapter 2, based on some unpublished notes of Pin [47] and [44]. In addition, we

present a set of Malcev expansions which generates the Malcev productVm©W of

S-varieties, withV locally finite (Proposição 2.10).

Although Chapter 3 does not depend on the notion of Malcev expansion in a

direct way, it is devoted to the description of the Malcev product Im©W of S-

varieties, whereI is the trivialS-variety andW is theS-variety of the semigroups

S for which regularD-classes are subsemigroups ofS belonging toV, for some

S-varietyV, or is anS-variety of locally group semigroups (Proposição 3.8 and

Teorema 3.11). We adapt this description to the particular cases whenW is an

S-variety of unipotent semigroups (Teorema 3.12), of groupsand of completely

simple semigroups. The first section of this chapter shows several properties of the

I-(relational) morphisms that are important for the proofs of several main results in

this work.

In Chapter 4 we give two approaches to the Malcev expansion bythe varietyI.

Given a finiteA-generated semigroup(S, ϕ), with A finite, the first one consists

of an algorithmic construction of a semigroup which dependson S and is, in ge-

neral, “larger” thanIm©S. The new semigroup is the transition semigroupS(A )

of some automatonA that we construct. Teorema 4.26 establishes a sufficient and

necessary condition forIm©S to beS(A ). The second approach is given through

the definition of two congruencesθϕ andρϕ onA+ for which there exists a chain

of morphismsIm©S ։ A+/ρϕ ։ A+/θϕ ։ S preserving the set of generators

A. As a corollary of Teorema 4.48, we prove thatIm©S = A+/ρϕ = A+/θϕ,

wheneverS is a locally group semigroup or a semigroup whose idempotents form

a subsemigroup.

The last chapter is dedicated to the study of the Malcev expansion by the vari-

etyLZ. In the first section, we recall its relationship with the Rhodes expansion

and give an alternative proof of a result (Proposição 5.10) which states that, for

each variety of bandsV containing the varietySL of semilattices, the expansion

LZm©FV(A) is, up to isomorphism, the Rhodes expansion of the free semigroup

FV(A) for V. In the next section, likewise forIm©S, we present an algorithm

to compute the expansionLZm©S of a finiteA-generated semigroup(S, ϕ), with

A finite. Again, this algorithm consists on the construction of an automatonB,

depending onS, whose transition semigroupS(B) is, in general, “larger” than

LZm©S. A sufficient and necessary condition for havingLZm©S ≃ S(B) is gi-

ven in Teorema 5.33. To conclude, we describeLZm©S algebraically, whenS is

a finite locally group semigroup (Teorema 5.40). This description can be naturally

adapted toRZm©S and extended toRBm©S.

Possible implementations of these two algorithms in GAP (Groups, Algorithms,

Programming – a System for Computational Discrete Algebra)[19] can be found

in the annexes A and B.

Key words: Semigroup, Variety,S-variety, V-(relational) morphism, Malcev

Product and Malcev Expansion.

Conteúdo

Introdução 1

Notação 7

1 Fundamentos 9

1.1 Relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Relações de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 Variedades de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 S-variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Morfismos relacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7 Operações com variedades e comS-variedades . . . . . . . . . . 32

1.8 Expansões de semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9 Palavras, linguagens e autómatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 A expansão de Malcev 41

2.1 A expansão de Malcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 A expansão de Malcev nos produtos de Malcev . . . . . . . . . . 49

3 Alguns produtos de Malcev da forma Im©W 53

3.1 I-morfismos relacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2 O produto de MalcevIm©DV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3 O produto de MalcevIm©W, comW ⊆ LG . . . . . . . . . . . . 58

4 A expansão de Malcev determinada por I 65

4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Um algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Uma congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Semigrupos localmente grupos ou cujos idempotentes formam um

subsemigrupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 A expansão de Malcev determinada por LZ 107

5.1 A expansão de Rhodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2 Um algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3 Semigrupos localmente grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Questões em aberto 145

Anexo A - Algoritmo para calcular Im©S em GAP 147

Anexo B - Algoritmo para calcular LZm©S em GAP 155

Anexo C - O reticulado das variedades de bandas 163

Referências 170

Índice de notações 171

Índice remissivo 178

Introdução

Expansões de semigrupos e morfismos relacionais são ferramentas essenciais na

Teoria Global dos Semigrupos [7, 3]. Estes conceitos aparecem na literatura, pela

primeira vez, em meados dos anos setenta do século passado, pela mão de Tilson

[16], na demonstração do Lema Fundamental da Complexidade,provado inicial-

mente por Rhodes [51] em 1968, no seguimento do Teorema da Decomposição

Prima de Krohn-Rhodes [35]. Este teorema diz que qualquer semigrupoS finito

divide um produto em coroa em que os factores são, alternadamente, grupos fini-

tos e semigrupos aperiódicos finitos; chamamos complexidade (de grupo) deS ao

menor número de factores que são grupos numa destas decomposições deS.

Birget e Rhodes em [7, 9] estudam em detalhe a expansão utilizada por Tilson

em [16], conhecida por expansão de Rhodes, e formalizam o conceito de expansão

de um semigrupo. A ideia subjacente ao conceito de expansão consiste em cons-

truir um semigrupoS a partir de um semigrupoS dado, que preserve propriedades

deS que se pretendem estudar, que cumpra certos requisitos e do qualS seja ima-

gem homomorfa. Por exemplo, no estudo da complexidade de um semigrupo é

usual considerarem-se expansões aperiódicas, uma vez que estas preservam a com-

plexidade [57].

Os morfismos relacionais de semigrupos são, essencialmente, generalizações de

morfismos de semigrupos e, de algum modo, podemos dizer que a Teoria Global

dos Semigrupos consiste no estudo de certos morfismos relacionais de semigrupos.

Por exemplo, os morfismos relacionais aperiódicos desempenham um papel deter-

minante na Teoria da Complexidade de Krohn-Rhodes [34, 35, 32]. Diz-se que um

morfismo relacionalτ : S ⊖ // T é aperiódico se, para cada idempotentee deT ,

eτ−1 é vazio ou é um subsemigrupo aperiódico deS.

O estudo que efectuamos incide sobre a expansão de Malcev determinada por

uma variedade de semigruposV e sobre osC-morfismos relacionais, ondeC é uma

classe de semigrupos. Estes morfismos são as generalizaçõesdo conceito de mor-

fismo relacional aperiódico a classes de semigrupos arbitrárias.

Elston em [17] introduz a expansão de Malcev determinada poruma variedade

V de semigrupos e relaciona-a, para casos particulares, com outras expansões, por

ela apresentadas, construídas no contexto das categorias de Tilson [58]. Elston dá

particular atenção às expansões de Malcev determinadas poruma variedade de se-

migruposV localmente finita, atendendo ao Teorema de Brown [10]. Este teorema

garante-nos que, paraV localmente finita, a expansão de Malcev preserva a fini-

tude. De um modo informal, dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ), a expansão de

MalcevVm©S deS determinada por uma variedadeV é o semigrupo que resulta

deA+ por imposição das identidades deV aos seus subsemigrupos da formaeϕ−1,

come idempotente deS. Esta definição tornaVm©S o “maior” semigrupo que ad-

mite umV-morfismo paraS. Recordamos que um semigrupoA-gerado é um par

(S, ϕ), ondeA é um conjunto não vazio,S um semigrupo eϕ uma aplicação deA

paraS tal queAϕ geraS.

As expansões de Malcev e osC-morfismos relacionais estão intimamente rela-

cionados com o produto de Malcev de variedades [S-variedades] de semigrupos

[semigrupos finitos], sendo este uma importante operação noreticulado das varie-

dades [S-variedades] (ver, por exemplo, [2, 41]). Dadas variedades[S-variedades]

V e W de semigrupos, o produto de MalcevVm©W é a variedade [S-variedade]

dos semigrupos [semigrupos finitos] que admitem umV-morfismo relacional para

um semigrupo deW. É um facto que{Vm©S |S ∈ W} gera a variedadeVm©W.

O desenvolvimento da Teoria dos Autómatos Finitos nos anos cinquenta do sé-

culo passado com o Teorema de Kleene [33] trouxe, para além deuma abordagem

algébrica inerente à Teoria dos Semigrupos, uma abordagem sintáctica ao estudo

dos semigrupos finitos. Este teorema diz que uma linguagemL é racional se e só

se é reconhecida por um autómato finito se e só se o seu semigrupo sintáctico é

finito. A definição de pseudovariedade e a sua descrição por determinado tipo de

identidades, bem como a identificação do reticulado das pseudovariedades com o

reticulado de certas classes de linguagens, apresentadas por de Eilenberg e Schüt-

zenberger [15, 16, 46], dão o mote ao desenvolvimento da Teoria Sintáctica dos

Semigrupos, a qual tem aplicações na Teoria Algébrica dos Autómatos Finitos e

na Lógica. Com a descrição dasS-variedades em termos de pseudoidentidades

por Reiterman [50] nos anos oitenta do século passado, a introdução de métodos

profinitos trouxe à Teoria Sintáctica dos Semigrupos Finitos objectos que desempe-

nham numaS-variedade um papel semelhante ao dos semigrupos livres em relação

a uma variedade. Assim surge a Teoria dos Semigrupos Profinitos. Um resultado

de grande importância nesta teoria estabelece a existênciade uma correspondên-

cia biunívoca entre o reticulado dasS-variedades e o reticulado de determinadas

classes de semigrupos profinitos, as pro-variedades [52]. Deste modo, os méto-

dos profinitos têm-se revelado de grande utilidade na descrição e no estudo das

S-variedades, em particular, do produto de Malcev deS-variedades, como se cons-

tata, por exemplo, com os trabalhos de Almeida, Pin, Rhodes,Steinberg e Weil

[3, 4, 49, 52]. Rhodes e Steinberg em [52] definem a expansão deMalcev profi-

nita de um semigrupo profinito determinada por umaS-variedadeV, considerando

para talV-morfismos contínuos. Propriedades análogas às da expansãode Malcev

não profinita são obtidas.

No princípio dos anos noventa do século passado, McCammond introduz a Aná-

lise Geométrica e Topológica de Grafos no estudo do problemada palavra [42],

dando origem à Teoria Geométrica dos Semigrupos. Esta nova abordagem baseia-

se no estudo sistemático dos semigruposA-gerados, comA finito, através da aná-

lise da geometria e da topologia dos autómatos que lhes estãoassociados. Alguns

anos mais tarde, juntamente com Rhodes, McCammond apresenta uma primeira

versão de um trabalho em desenvolvimento sobre a expansão deMalcev deter-

minada pela variedade das bandas rectangulares [43], usando estas técnicas sobre

grafos. Esse trabalho surgiu recentemente [44], com a colaboração de um terceiro

autor, Steinberg. Neste artigo, os autores focam-se no estudo das expansões de

Malcev determinadas pela variedade dos semigrupos zero à esquerda, pela vari-

edade dos semigrupos zero à direita e pela variedade das bandas rectangulares,

usando o facto destas expansões serem estáveis para a expansão de Rhodes e a ex-

pansão de Karnofsky-Rhodes para as descrever a partir dos seus grafos de Cayley,

concluindo algumas propriedades.

As expansões de Malcev e osV-morfismos relacionais enquanto ferramentas

importantes na Teoria dos Semigrupos, com a possibilidade de serem utilizadas na

resolução de problemas de decidibilidade, complexidade e problema da palavra,

entre outros, tornam-se também, por si só, objecto de estudo.

Nesta dissertação, debruçamo-nos sobre o estudo de expansões de Malcev parti-

culares, nomeadamente, da determinada pela variedade trivial I e da determinada

pela variedadeLZ dos semigrupos zero à esquerda (a abordagem e as conclusões

que apresentamos sobre esta última expansão diferem das apresentadas por Mc-

Cammond, Rhodes e Steinberg em [44]). Salientamos que o estudo destas expan-

sões não se tem revelado fácil, mesmo quando consideramos a expansão de Malcev

determinada pela variedade dos semigrupos triviais, ao contrário do que à primeira

vista seria de esperar.

Esta dissertação encontra-se dividida em cinco capítulos.

No primeiro capítulo, apresentamos os conceitos e resultados bem conhecidos

da Teoria dos Semigrupos, da Álgebra Universal e da Teoria dos Autómatos e Lin-

guagens necessários para a boa compreensão dos capítulos seguintes.

No segundo capítulo, recordamos a definição de expansão de Malcev de um se-

migrupoA-gerado determinada por uma variedade de semigruposV. O formalismo

da definição que apresentamos inspira-se num texto de Pin de 2006 não publicado

[47]. Este formalismo é sugerido posteriormente em [44], mas de uma forma muito

resumida. Recordamos, também, as propriedades gerais da expansão de Malcev

determinada por uma variedade de semigrupos e a sua relação com os produtos de

Malcev de variedades de semigrupos. Adicionalmente, na Proposição 2.10, exibi-

mos um conjunto de expansões de Malcev que gera o produto de MalcevVm©W

deS-variedades, quandoV é localmente finita.

No terceiro capítulo, apresentamos algumas propriedades dosI-morfismos, onde

I denota aS-variedade dos semigrupos triviais, as quais desempenham um papel

fundamental para a demonstração de resultados principais deste trabalho. Descre-

vemos também os produtos de Malcev da formaIm©W, ondeW é umaS-variedade

de semigrupos localmente grupos ou, é aS-variedadeDV dos semigruposS cujas

D-classes regulares são subsemigrupos deS emV, para algumaS-variedadeV

(Proposição 3.8 e Teorema 3.11). Analisamos, depois, os casos particulares deW

ser umaS-variedade de semigrupos unipotentes (Teorema 3.12), de grupos e de

semigrupos completamente simples.

No quarto capítulo, duas abordagens à expansão de Malcev determinada pela

variedadeI são apresentadas. Dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito, comA

finito, a primeira abordagem consiste na apresentação de um algoritmo que produz

um semigrupo do qualIm©S é imagem homomorfa. Este semigrupo é o semigrupo

de transiçãoS(A ) de um certo autómatoA sobreA que construimos algoritmi-

camente e que depende de(S, ϕ). No Teorema 4.26 estabelecemos uma condição

necessária e suficiente para queIm©S sejaS(A ). A segunda abordagem consiste

na definição de duas congruênciasθϕ e ρϕ emA+ para as quais existe uma cadeia

de morfismosA-gerados da formaIm©S ։ A+/ρϕ ։ A+/θϕ ։ S. Como coro-

lário do Teorema 4.48, provamos queIm©S = A+/ρϕ = A+/θϕ, sempre queS for

um semigrupo localmente grupo ou um semigrupo cujos idempotentes formam um

subsemigrupo.

No quinto e último capítulo, dedicamo-nos ao estudo da expansão de Malcev

determinada pela variedadeLZ. Na primeira secção, recordamos a sua relação

com a expansão de Rhodes e damos uma demonstração alternativa do resultado

(Proposição 5.10) que diz que, para qualquer variedadeV de bandas que contenha

a variedadeSL dos semi-reticulados, a expansãoLZm©FV(A) é, a menos de iso-

morfismo, a expansão de Rhodes do semigrupo livreFV(A) emV. Na segunda

secção, tal como paraIm©S, apresentamos um algoritmo para calcular a expansão

LZm©S de um semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito, comA finito. Também este algo-

ritmo fornece um autómatoB sobreA que depende de(S, ϕ) e cujo semigrupo de

transiçãoS(B) admiteLZm©S como imagem homomorfa. Uma condição neces-

sária e suficiente para que se tenhaLZm©S ≃ S(B) será dada no Teorema 5.33.

Terminamos o capítulo com o Teorema 5.40 que descreve algebricamenteLZm©S,

quandoS é um semigrupo finito localmente grupo. Esta descrição adapta-se natu-

ralmente aRZm©S e pode ser estendida aRBm©S.

No final deste trabalho listamos uma série de questões em aberto relativamente

ao estudo efectuado e disponibilizamos, nos Anexos A e B, duas implementações

em GAP (Groups, Algorithms, Programming – a System for Computational Dis-

crete Algebra) [19] dos algoritmos referidos.

Esta dissertação foi escrita de acordo com a antiga ortografia.

Notação

N designa o conjunto dos números naturais

N0 designa o conjunto dos números naturais com o zero

Z designa o conjunto dos números inteiros

|A| designa o cardinal (ou ordem, no caso dos grupos) do conjuntoA

R designa o conjunto dos números reais

·∪ designa a união disjunta de conjuntos

+∞ símbolo de infinito positivo

−∞ símbolo de infinito negativo

1 representa a identidade de um semigrupo, caso exista

0 representa o zero de um semigrupo, caso exista

1 Fundamentos

Neste capítulo enunciamos os conceitos e resultados da Teoria dos Conjuntos [31],

da Teoria dos Semigrupos, da Álgebra Universal e da Teoria dos Autómatos essen-

ciais à compreensão do trabalho desenvolvido nos capítulosseguintes.

Para uma visão geral sobre a Teoria dos Semigrupos, referenciamos o livro de

Howie [30], o livro de Lallement [36] e o livro de Pin [46] e, para os conceitos de

Álgebra Universal, sugerimos o livro de Burris e Sankappanavar [11] e o livro de

Grätzer [24].

Na Secção 1.5 usamos o livro [1] e o artigo [2] de Almeida como principais re-

ferências e para alguns conceitos topológicos usados nestasecção sugerimos [12].

Na Secção 1.7 utilizamos [1], [2] e [28] e para a última secçãorecomendamos [29],

[37] e [46].

Para as restantes secções e para certas afirmações deste capítulo apresentamos a

sugestão de bibliografiain loco.

1.1 Relações entre conjuntos

SejamA eB conjuntos. Seθ for uma relação binária deA paraB, escrevemos

muitas vezesθ : A → B para representar este facto ea θ b para significar que

(a, b) ∈ θ. Sea for um elemento deA, denotamos poraθ ou [a]θ a classe dea

relativamente aθ, também chamada aθ-classe dea, ou seja,

aθ = [a]θ ={b ∈ B : (a, b) ∈ θ

SeX é um subconjunto deA, denotamos porXθ o seguinte subconjunto deB:⋃

1. Fundamentos

Dadas relações bináriasθ : A → B e η : B → C, definimos acomposição de

θ por η, que denotamos porθη ou, sempre que o texto exija maior clareza, com o

intuito de evitar ambiguidades, porθ ◦ η, como sendo a relação deA paraC:

θη = θ ◦ η ={(a, c) ∈ A× C | ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ θ e (b, c) ∈ η

O conjunto quociente de uma relação de equivalênciaθ : A → A será denotado

como habitualmente porA/θ = {aθ : a ∈ A}.

Uma relação de equivalênciaθ : A→ A saturaX ⊆ A seX =⋃x∈X xθ.

Uma relação de ordem parcial num conjuntoA é uma relação binária emA

reflexiva, anti-simétrica e transitiva, e será denotada por≤, como é usual. Uma

quase-ordemoupré-ordemnum conjuntoA é uma relação binária emA reflexiva e

transitiva. Uma ordem parcial≤ emA diz-se umaboa ordemse todo o subconjunto

não vazio deA tiver elemento mínimo. Usaremos a abreviaturac.p.o.[c.b.o.] para

conjunto parcialmente ordenado [conjunto bem ordenado].

Teorema 1.1(Teorema de Indução Transfinita). Seja(A,≤) um c.b.o.. Uma pro-

priedadeP de domínioA vale para todo oa ∈ A se, para cadaa ∈ A, sempre que

P vale para todo ox ∈ A tal quex < a (hipótese de indução) então vale paraa.

Uma aplicação parcialou transformação parcialde A em B é uma relação

bináriaθ : A → B tal que|aθ| ≤ 1, para todo oa ∈ A. Neste caso, dadoa ∈ A,

o único elementob ∈ B tal que(a, b) ∈ θ, a imagem dea por θ, se existir, é

representado poraθ ou (a)θ. A relaçãoθ é umaaplicaçãoou transformaçãose

|aθ| = 1, para todo oa ∈ A.

Uma relação bináriaθ : A → B diz-se injectiva se, sempre quea, b ∈ A e

aθ ∩ bθ 6= ∅, se tivera = b; ou, equivalentemente, se a relação inversaθ−1 é uma

aplicação parcial. Diz-se queθ é sobrejectivase para todo ob ∈ B, existea ∈ A

tal queb ∈ aθ, isto é,bθ−1 6= ∅. Escrevemosθ : A ։ B para indicar queθ é uma

relação binária sobrejectiva deA paraB.

1.2. Semigrupos

1.2 Semigrupos

Um semigrupoé um par(S,⊗) formado por um conjuntoS não vazio, dito o

suporteou ouniversodo semigrupo, e por uma operação binária⊗ sobreS asso-

ciativa, ou seja, uma aplicação⊗ : S × S → S que, para quaisquera, b, c ∈ S,

verificaa⊗ (b⊗ c) = (a⊗ b)⊗ c, ondea⊗ b denota a imagem de(a, b) por meio

de⊗. Não havendo perigo de ambiguidade, representamos um semigrupo (S,⊗)

apenas pelo seu suporte. Usaremos em geral a linguagem multiplicativa, represen-

tando assim a operação binária por·, ou simplesmente por nada. Um semigrupo

diz-sefinito se o seu suporte é um conjunto finito.

As noções de identidade e zero de um semigrupo que consideraremos são as

usuais. Chamamosmonóidea um semigrupo com identidade. Em geral, represen-

tamos a identidade de um monóideM por 1M ou, não havendo perigo de ambi-

guidade, simplesmente por1. O conjuntoT (X) de todas as aplicações sobre um

conjuntoX com a composição de aplicações como multiplicação é um monóide

com identidade idX . Também o conjuntoPT (X) de todas as aplicações parciais

sobreX com a composição é um monóide com identidade idX . Recordamos que

um grupoé um monóideG tal que, para qualquer elementog ∈ G, existeg′ ∈ G

tal quegg′ = g′g = 1.

Para um semigrupoS qualquer, denotamos porSI o monóide que tem como

suporte a união disjunta deS com um conjunto singular, digamos{1}, e cuja mul-

tiplicação estende a multiplicação emS e s · 1 = 1 · s = s, para qualquers ∈ SI.

Designamos porS1 o “menor” monóide que contémS, i.e., seS é um monóide

entãoS1 = S, caso contrárioS1 = SI.

Denotamos porS0 o “menor” semigrupo com zero que contémS, i.e., seS tem

zero entãoS0 = S, caso contrárioS0 é o semigrupo que possui como suporte a

união disjunta deS com um conjunto singular, digamos{0}, e cuja multiplicação

estende a multiplicação emS es · 0 = 0 · s = 0, para qualquers ∈ S0.

Um elementou de um semigrupoS diz-se umzero à esquerda[à direita] se

us = u [su = u], para qualquers ∈ S. Um semigrupoS diz-se umsemigrupo

zero à esquerda[à direita] se todos os seus elementos são zeros à esquerda [à

direita].

1. Fundamentos

Dado um semigrupoS, um elementoe ∈ S diz-se umidempotentesee2 = e.

Representamos porE(S) o conjunto de todos os elementos idempotentes deS.

Dizemos queS é umabandaseS = E(S). Um semigrupo diz-seunipotentese

possui um único idempotente, tal como é o caso de um grupo. Um semigrupoS

diz-setrivial se o seu suporte é formado apenas por um único elemento.

Num semigrupo finitoS, para todo o elementox, existe um único idempotente

deS que é potência dex, que denotamos porxω. Por isso, existen ∈ N tal que,

para todo ox ∈ S, xn é idempotente; podemos verω como sendo o mínimo destes

naturaisn. Isto permite-nos escrever, por exemplo,xω, xω+1 ex2ω−1.

SejamS um semigrupo eS ′ um subconjunto não vazio deS. Dizemos queS ′ é

um subsemigrupodeS se for fechado para a operação deS, i.e., sest ∈ S ′, para

quaisquers, t ∈ S ′; se além disso for grupo, diz-se queS ′ é umsubgrupodeS. Se

S é um monóide, então umsubmonóidedeS é um subsemigrupo deS que contém

a identidade deS.

Dado um semigrupoS, chamamossubsemigrupos locaisdeS aos subsemigru-

pos deS da formaeSe, para algume ∈ E(S). Observe-se que um subsemigrupo

eSe é de facto um monóide com identidadee.

Dados um semigrupoS e um subconjuntoX não vazio deS, o subsemigrupo

deS geradoporX, representado por〈X〉 é o menor (para a relação de inclusão)

subsemigrupo deS que contémX. SeS ′ for um subsemigrupo deS, diz-se que

S ′ é geradoporX, ou queX é umconjunto geradordeS ′, seS ′ = 〈X〉. De um

modo análogo, definimossubmonóide geradopor um determinado subconjunto.

Dizemos que um semigrupo élocalmente finitose todo o seu subsemigrupo fini-

tamente gerado é finito. Um semigrupo [monóide] diz-secíclico se for gerado por

um conjunto com um único elemento. Um semigrupo [monóide] diz-sefinitamente

geradose for gerado por um conjunto finito.

Proposição 1.2.SejaS um semigrupo tal que|S| ≤ n, para algumn ∈ N. Então

Sn = SE(S)S.

Um semigrupo finitoS diz-senilpotentese, para quaisquere ∈ E(S) e s ∈ S,

temose = es = se.

1.2. Semigrupos

Proposição 1.3.SejaS um semigrupo finito. As afirmações seguintes são equiva-

lentes:

(a) S é nilpotente;

(b) S tem um zero, que é o seu único idempotente;

(c) S tem um zero e existen ∈ N tal que, para todos osx1, x2, . . . , xn ∈ S, se tem

x1x2 · · ·xn = 0;

(d) Existen ∈ N tal que, para todos osx1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , yn ∈ S, se tem

x1x2 · · ·xn = y1y2 · · · yn.

Dadon ∈ N, um semigrupoS diz-sen-nilpotentese, para quaisquerx1, . . . , xn,

y1, . . . , yn ∈ S, se temx1 · · ·xn = y1 · · · yn.

Um elementos de um semigrupoS diz-seregularse existirx ∈ S tal quesxs =

s. Esta igualdade implica quesx, xs ∈ E(S). Denotamos por Reg(S) o conjunto

de todos os elementos regulares deS. Dizemos queS é regular se todos os seus

elementos são regulares. Um elementox ∈ S diz-seinversodes ∈ S sesxs = s

ex = xsx. Denotamos porV (s) o conjunto dos elementos inversos des. Todo o

elemento regular deS admite pelo menos um inverso. Dizemos queS é inversose

todo o elementos ∈ S tem exactamente um inverso, que representamos pors−1.

Prova-se que um semigrupo é inverso se e só se é regular e os seus idempotentes

comutarem.

Dados subconjuntosA eB de um semigrupoS, denotamos porAB o subcon-

junto {ab ∈ S | a ∈ A e b ∈ B} deS. SeA = {a}, escrevemos apenasaB. Do

mesmo modo, seB = {b}, escrevemosAb.

O produto directode uma família não vazia(Si)i∈I de semigrupos é o semigrupo

com suporte∏

i∈I Si e multiplicação dada por: dados(si)i∈I , (ti)i∈I ∈∏

i∈I Si,

(si)i∈I · (ti)i∈I = (siti)i∈I ,

ondesiti denota a multiplicação na componenteSi, para todo oi ∈ I . SeI é

um conjunto finito, dizemos que∏

i∈I Si é umproduto directo finitário. SeI = ∅

então∏

i∈I Si é um semigrupo trivial, isto é, com um único elemento.

1. Fundamentos

Dados semigruposS e T , uma aplicaçãoφ : S → T diz-se umhomomorfismo

de semigrupos, ou simplesmentemorfismo de semigrupos, sesφtφ = (st)φ, para

quaisquers, t ∈ S. SeS e T são monóides, dizemos que um morfismo de semi-

gruposφ : S → T é ummorfismo de monóidesseφ preserva a identidade, i.e., se

1φ = 1. É fácil ver que todo o morfismo de semigrupos entre grupos é ummor-

fismo de monóides. Todo o morfismo de semigruposφ : S → T estende-se de um

modo natural aS1 e T 1 do seguinte modo: denotando ainda porφ esta extensão,

para cadas ∈ S, sφ é a imagem des porφ : S → T e 1φ = 1. Um morfismo de

semigrupos, ou de monóides, é umisomorfismose é bijectivo. A aplicação inversa

de um isomorfismo é também um isomorfismo. Dizemos queS eT sãoisomorfos

se existe um isomorfismo entre eles, e escrevemosS ≃ T . Diz-se queT é imagem

homomorfadeS se existe um morfismo sobrejectivo deS paraT .

Observamos ainda que a composição de morfismos de semigrupos[monóides]

ainda é um morfismo de semigrupos [monóides].

Proposição 1.4.SejamS eT semigrupos eφ : S → T um morfismo de semigru-

pos. Então:

(a) See ∈ E(S) entãoeφ ∈ E(T );

(b) SeS ′ é um subsemigrupo deS entãoS ′φ é um subsemigrupo deT ;

(c) SeT ′ é um subsemigrupo deT tal queT ′φ−1 é não vazio, entãoT ′φ−1 é um

subsemigrupo de S.

(d) Ses ∈ S é regular entãosφ é regular emT ;

(e) SeS é inverso entãoSφ é inverso, tendo-se(sπ)−1 = s−1π, para todo os ∈ S.

Teorema 1.5(Teorema da representação de semigrupos). Todo o semigrupo é iso-

morfo a um subsemigrupo de algumT (X).

SejaS um semigrupo. Dizemos que um subconjunto não vazioI de S é um

ideal [ideal esquerdo, ideal direito] de S seS1IS1 ⊆ I [S1I ⊆ I, IS1 ⊆ I].

Diz-se que um idealI deS é minimalse, para qualquer idealJ deS, sempre que

J ⊆ I, se tiverJ = I. Um semigrupo não pode ter mais do que um ideal minimal,

uma vez que o produto de dois ideais é um ideal contido em cada um dos factores.

Um semigrupo finito tem sempre um ideal minimal. Dizemos queS é simples

1.2. Semigrupos

se tiver um único ideal, necessariamenteS. Os semigrupos simples finitos têm

uma boa representação à custa dos grupos, que é dada pelo Teorema de Rees, que

enunciamos a seguir.

DadosI eJ conjuntos não vazios,G um grupo eP = (pji)(j,i)∈J×I uma família

de elementos deG, osemigrupo de Rees, denotado porM (I, J, G, P ), é o conjunto

I×G×J munido da multiplicação: para quaisquer(i, g, j), (i′, g′, j′) ∈ I×G×J ,

(i, g, j) · (i′, g′, j′) = (i, gpji′g′, j′).

Teorema 1.6(Teorema de Rees). Um semigrupo finito é simples se e só se é iso-

morfo a um semigrupo de Rees.

Sejaθ uma relação binária emS. Dizemos queθ écompatível à esquerda[com-

patível à direita] com a multiplicação deS se, para quaisquerr, s, t ∈ S tais que

s θ t, temosrs θ rt [sr θ tr]. Dizemos queθ é umarelação de congruênciasobreS

seθ é uma relação de equivalência compatível à esquerda e à direita com a multipli-

cação deS. No conjuntoS/θ, em queθ é uma relação de congruência, definimos

de um modo natural uma estrutura de semigrupo: para quaisquer s, t ∈ S,

sθ · tθ = (st)θ.

Um exemplo importante de congruência é a congruência associada a um ideal.

SejamS um semigrupo eI um ideal deS. Definimos a congruência∼I emS,

denominada porcongruência de Rees associada aI, da seguinte forma:

s ∼I t se e só ses = t ou s, t ∈ I,

para quaisquers, t ∈ S. Dados ∈ S, é claro que[s]∼I= I ses ∈ I, ou caso

contrário[s]∼I= {s}. Usualmente denotamosS/∼I simplesmente porS/I. Ob-

servamos ainda queS/I é um semigrupo com zeroI. A S/I damos o nome de

semigrupo de Rees associado aI.

Dado uma relação bináriaR sobreS, acongruência geradaporR, que denota-

mos porR♯, é a menor (para a relação de inclusão) congruência sobreS que contém

R. Naturalmente, para cada relação de congruênciaθ deS, temos um morfismo de

semigruposS ։ S/θ sobrejectivo,s 7→ sθ, para qualquers ∈ S. Chamamos-lhe

1. Fundamentos

morfismo canónicoe denotamo-lo porθ♮.

Proposição 1.7.SejamS eT semigrupos eφ : S ։ T um morfismo sobrejectivo.

SejaR uma relação binária emS e sejaρ uma congruência emT que contenha{(xφ, yφ) | (x, y) ∈ R

}. Então existe um morfismo sobrejectivo deS/R♯ paraT/ρ

que a cadasR♯ ∈ S/R♯, coms ∈ S, faz corresponder(sφ)ρ ∈ T/ρ.

Dada uma aplicaçãoφ : S → T , designamos pornúcleo deφ a relação de

equivalência kerφ deS definida por:

(s, t) ∈ kerφ se e só sesφ = tφ,

para quaisquers, t ∈ S. Seφ é um morfismo de semigrupos então o núcleo deφ é

uma congruência deS.

Proposição 1.8.SejamS e T semigrupos,φ : S → T um morfismo eθ uma

congruência emS tal queθ ⊆ kerφ. Então existe um único morfismoψ : S/θ → T

tal que θ♮ψ = φ, que é sobrejectivo no caso deφ o ser. Mais ainda, seφ for

sobrejectivo eθ = kerφ, entãoψ é um isomorfismo.

Mais geralmente, temos o seguinte resultado.

Proposição 1.9.SejamS, T eU semigrupos,ϕ : S ։ U morfismo sobrejectivo

e φ : S → T morfismo tais quekerϕ ⊆ kerφ. Então existe um único morfismo

ψ : U → T tal queφ = ϕψ.

SejaA um conjunto não vazio. Denotamos porA+ o conjunto de todas as

sequências finitas e não vazias de elementos deA, i.e.

A+ ={(a1, a2, . . . , an) |n ∈ N e a1, a2, . . . , an ∈ A

ConsideramosA+ como semigrupo munido da operação de concatenação:

(a1, a2, . . . , an) · (b1, b2, . . . , bm) = (a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm),

para quaisquer(a1, a2, . . . , an), (b1, b2, . . . , bm) ∈ A+. Em certos contextos é usual

chamar ao conjuntoA alfabeto, letras aos elementos deA e aos elementos do

semigrupoA+ palavras, representando cada sequência(a1, a2, . . . , an) deA+ por

a1a2 . . . an.

1.2. Semigrupos

O semigrupoA+ juntamente com a aplicaçãoι : A → A+ definida poraι = a,

para todo oa ∈ A, satisfaz a seguinte propriedade, chamada depropriedade uni-

versal: para todo o semigrupoS e aplicaçãof : A → S, existe um e um só

morfismoϕ : A+ → S tal queaϕ = af , para todo oa ∈ A, ou seja, verifica-se a

comutatividade do diagrama seguinte:

~~|||||||

��???

A+ ϕ //_______ S

Como consequência desta propriedade temos o seguinte resultado.

Proposição 1.10.Sejamϕ : A+ → S um morfismo eη : T ։ S um morfismo

sobrejectivo. Então existe um morfismoψ : A+ → T tal queϕ = ψη.

Denotamos porA∗ o monóide(A+)1. Quando o conjuntoA é interpretado como

alfabeto, a identidade deA∗ é interpretada como sendo apalavra vaziae será habi-

tualmente representada porǫ. TambémA∗ satisfaz uma propriedade universal para

monóides, semelhante à deA+.

Dado um conjuntoA não vazio, chamamossemigrupoA-geradoa um semi-

grupoS munido de um morfismoϕ : A+ → S tal queAϕ geraS, i.e., ϕ é

sobrejectivo. Representamo-lo pelo par(S, ϕ) ou, simplesmente, porS.

Sejam(S, ϕ) e (T, ψ) semigruposA-gerados eπ : T → S um morfismo de

semigrupos. Dizemos queπ é ummorfismo que respeita geradoresou ummorfismo

de semigruposA-geradosseψπ = ϕ, ou seja o diagrama seguinte comuta:

~~~~|||||||| ϕ

Tπ // // S

Notamos queπ é, necessariamente, sobrejectivo e único nestas condições. Seπ for

injectivo, dizemos queS e T sãosemigruposA-gerados isomorfos. Se existirem

morfismos de semigruposA-gerados deS paraT e deT paraS, entãoS eT são

semigruposA-gerados isomorfos.

1. Fundamentos

Uma apresentação de semigrupoé um par formado por um alfabetoA e uma

relação bináriaR emA+, que denotamos por〈A|R 〉. Um semigrupoS diz-se

definido por uma apresentação de semigrupo〈A|R 〉 seS≃A+/R♯. Neste contexto

é habitual representar-se um elemento(u, v) deR por u = v. Por exemplo, a

apresentação〈A|R 〉, ondeA = {a, b} eR ={(aba, a), (bab, b), (a2, b2)

}, pode

ser representada por〈a, b | aba = a, bab = b, a2 = b2〉.

Quando um semigrupoS é definido por uma apresentação de semigrupo sobre

um alfabetoA, é recorrente identificar cada elemento deS por um seu representante

deA+. Nos capítulos que se seguem fazemos uso sistemático desta identificação.

SubstituindoA+ porA∗ obtemos as definições de apresentação de monóide e de

monóide definido por uma apresentação de monóide.

1.3 Relações de Green

As relações de Green foram introduzidas na Teoria dos Semigrupos por J. A. Green

[25] em 1951 e desde então desempenham um papel determinanteno estudo dos

semigrupos.

SejaS um semigrupo. EmS definimos as seguintes relações de equivalência:

sRt se e só sesS1 = tS1;

sL t se e só seS1s = S1t;

sJ t se e só seS1sS1 = S1tS1,

para quaisquers, t ∈ S. As relaçõesR e L são compatíveis com o produto à

esquerda e à direita, respectivamente. Por outro lado,R eL são permutáveis, i.e.,

RL = L R, e, portanto,D = RL = L R é ainda uma relação de equivalência

emS. Além disso, a relaçãoD é a menor relação de equivalência que contémR e

L , i.e., é o supremo deR comL para a relação de inclusão. Definimos ainda a

relaçãoH emS como sendo a intersecção deR eL .

Dado um semigrupoS, às relaçõesR, L , J , D e H chamamosrelações de

GreendeS. Atendendo às definições, verificam-se as seguintes inclusões:

1.3. Relações de Green

H = R ∩ L ⊆ R ∪ L ⊆ D ⊆ J .

SeK é uma das relações de Green, denotamos porKs a K -classe de um ele-

mentos ∈ S. Dizemos que um semigrupoS éK -trivial seK é a relação binária

identidade emS. UmaK -classe diz-seregular se todos os seus elementos forem

regulares emS.

Como cadaD-classeD é união deL -classes (todas com o mesmo cardinalα)

e é também união deR-classes (todas de cardinalβ) que se intersectam emH -

classes (todas com o mesmo cardinalγ), a imagem clássica de Clifford and Preston

[13] de uma caixa de ovos para representar umaD-classeD é frequentemente

utilizada. Nesta representação, cada linha refere-se a umaR-classe, cada coluna

refere-se a umaL -classe e cada célula representa umaH -classe. É usual colocar

um asterisco∗ para sinalizar asH -classes de idempotentes.

As H -classes de um semigrupo têm um papel determinante na sua estrutura. O

próximo resultado mostra-nos uma propriedade clássica.

Proposição 1.11.SejamS um semigrupo eH umaH -classe deS. As afirmações

seguintes são equivalentes:

(a) H possui um idempotente;

(b) Existema, b ∈ H tais queab ∈ H;

(c) H é um subgrupo deS;

(d) H é um subgrupo maximal deS.

A proposição seguinte caracteriza umaD-classe regular.

1. Fundamentos

Proposição 1.12.SejamS um semigrupo eD umaD-classe deS. As afirmações

que se seguem são equivalentes:

(a) D é regular;

(b) D possui um elemento regular;

(c) CadaR-classe contida emD tem um idempotente;

(d) CadaL -classe contida emD tem um idempotente.

No caso em queS é finito, estas condições são ainda equivalentes a

(e) Existems, t ∈ D tais quest ∈ D.

Em determinados semigrupos algumas relações de Green podemser coinciden-

tes. Por exemplo, nos grupos todas as relações de Green coincidem com a relação

binária universal e o seu estudo nada nos diz, mas tal não se passa num semigrupo

em geral.

Proposição 1.13.SeS é um semigrupo finito entãoD = J .

O ideal minimal de um semigrupo, se existir, é umaJ -classe regular.

É fácil ver que um semigrupoS é simples se e só seJ = S × S.

Proposição 1.14.São válidas as seguintes afirmações:

(a) Se umaD-classe regular de um semigrupo for um semigrupo, então é um se-

migrupo simples;

(b) Se umaJ -classe regular de um semigrupo for um semigrupo, então é um

semigrupo simples. Em particular, o ideal minimal de um semigrupo finito é

um semigrupo simples.

Dado um semigrupoS, definimos as seguintes quase-ordens:

s ≤R t se e só sesS1 ⊆ tS1;

s ≤L t se e só seS1s ⊆ S1t;

s ≤J t se e só seS1sS1 ⊆ S1tS1;

s ≤H t se e só ses ≤R t es ≤L t,

1.3. Relações de Green

para quaisquers, t ∈ S. A quase-ordem≤R é compatível com o produto à esquerda

e a quase-ordem≤L é compatível com o produto à direita. Também no conjunto

S/R podemos definir uma ordem parcial:

Rs ≤ Rt se e só ses ≤R t,

para quaisquers, t ∈ S. Analogamente se podem definir ordem parciais emS/L ,

S/H eS/J .

Proposição 1.15.SejaS um semigrupo e sejams, t ∈ S.

(a) Sef é um idempotente deS então

(a.1) s ≤R f se e só sefs = s;

(a.2) s ≤L f se e só sesf = s.

(b) SeS é finito, tem-se:

(b.1) Ses ≤R t e sJ t entãosRt;

(b.2) Ses ≤L t e sJ t entãosL t.

Proposição 1.16.SejamT eS semigrupos finitos e sejaπ : T ։ S um morfismo

sobrejectivo. SejaJ umaJ-classe deS. SeK é umaJ-classe≤J-minimal em{Js ∈ T/J | sπ ∈ J

}, entãoKπ = J . SeJ é regular entãoK também o é.

Corolário 1.17. SejamS eT semigrupos finitos eπ : T ։ S um morfismo sobre-

jectivo. Então, para cada subgrupoH deS, existe um subgrupoG deT tal que

Gπ = H.

Um semigrupoS diz-seaperiódicose, para todo os ∈ S, existe um natural

n ∈ N tal quesn = sn+1. A proposição que se segue caracteriza um semigrupo

finito aperiódico.

Proposição 1.18.SejaS um semigrupo finito. As afirmações seguintes são equi-

valentes:

(a) S é aperiódico;

(b) Existem ∈ N tal quesm = sm+1, para todo os ∈ S;

(c) Todos os subgrupos deS são triviais;

1. Fundamentos

(d) S éH -trivial.

Dizemos que um semigrupoS é localmente grupose todos os seus subsemigru-

pos locais são grupos.

Proposição 1.19.SejamS um semigrupo finito eI o seu ideal minimal. Então,

são equivalentes as afirmações que se seguem:

(a) S é localmente grupo;

(b) Para quaisquere, f ∈ E(S), tem-seeJ f ;

(c) E(S) ⊆ I;

(d) Reg(S) ⊆ I;

(e) Reg(S) = I.

1.4 Variedades de semigrupos

SejaC uma classe de semigrupos [monóides]. Denotamos por:

– H(C), a classe dos semigrupos [monóides] que são imagens homomorfas

[imagens homomorfas por meio de um morfismo de monóides] de semigru-

pos [monóides] deC;

– S(C), a classe dos subsemigrupos [submonóides] de semigrupos [monóides]

– P (C), a classe dos produtos directos de semigrupos [monóides] deC;

– Pf(C), a classe dos produtos directos finitários de semigrupos [monóides]

Dizemos que uma classeC não vazia de semigrupos [monóides] é umavariedade

(no sentido de Birkhoff) de semigrupos[monóides] seH(C) ⊆ C, S(C) ⊆ C e

P (C) ⊆ C. Notamos que toda a variedade contém a variedade formada pelos semi-

grupos triviais. Denotamos esta variedade porI. A classe de todos os semigrupos

é uma variedade de semigrupos; porém, a classe de todos os grupos não é uma

variedade de semigrupos nem de monóides.

1.4. Variedades de semigrupos

Os conceitos e resultados que se seguem vão ser definidos paravariedades de

semigrupos, mas com as devidas adaptações aplicam-se também a variedades de

monóides.

Dada uma classe de semigruposC, define-se avariedade de semigrupos gerada

por C como sendo a menor (para a relação de inclusão) variedade quecontémC,

que é a intersecção de todas as variedades de semigrupos que contêmC.

Teorema 1.20(Teorema de Tarski). Para qualquer classeC de semigrupos, a

classe de semigruposHSP (C) é a variedade gerada porC.

SejamC uma classe de semigrupos,A um alfabeto,S um semigrupo eι : A→ S

uma aplicação. Dizemos que o par(S, ι) satisfaz a propriedade universal paraC

sobreA se, para qualquer semigrupoT ∈ C e cada aplicaçãof : A → T , existe

um morfismoϕ : S → T tal queιϕ = f , ou seja, verifica-se a comutatividade do

seguinte diagrama:

Aι //

f ��???

ϕ��

Se para além disso,S for gerado porAι então dizemos que(S, ι), ou, no caso deι

estar subentendido, simplesmenteS, éobjecto livre paraC sobreA. Neste caso, a

aplicaçãof determina o morfismoϕ univocamente.

Se o semigrupo(S, ι) for objecto livre paraC sobreA e S ∈ C, dizemos que

(S, ι) é umobjecto livre emC sobreA.

Proposição 1.21.SejamC uma classe de semigrupos não vazia,A um alfabeto,

S um semigrupo eι : A → S uma aplicação. Se(S, ι) satisfaz a propriedade

universal paraC sobreA, então também a satisfaz para a variedade gerada porC

sobreA.

Pela propriedade universal, observa-se que um objecto livre emC sobreA, caso

exista, é único a menos de isomorfismo, sendo este isomorfismoum morfismo que

respeita geradores. Assim,A+ é osemigrupo livre sobreA eA∗ o monóide livre

sobreA.

1. Fundamentos

SejaA um alfabeto não vazio. Umaidentidade sobreA é um par ordenado

(u, v) ∈ A+ × A+, o qual neste contexto representamos normalmente poru = v.

Dizemos que um semigrupoS satisfaz a identidadeu = v (sobre o alfabetoA)

se, para todo o morfismoφ : A+ → S, se temuφ = vφ. Apesar dos pares

(u, 1) e (u, 0), comu ∈ A+, não serem identidades sobreA como acabámos de

definir, vamos, em certas situações, considerá-los identidades. Assim, dizemos

queS satisfaz a identidadeu = 1 [u = 0] se, para todo o morfismoφ : A+ → S,

uφ é identidade deS [uφ é zero deS], isto significa queS satisfaz as identidades

ux = xu = x [ux = xu = u], ondex é uma letra. Diz-se que um semigrupo

S satisfaz um conjuntoΣ de identidadesseS satisfaz todas as identidades deΣ.

Uma classeC de semigrupossatisfaz um conjunto de identidadesΣ se todos os

semigrupos deC satisfazemΣ. Denotamos por[Σ] a classe dos semigrupos que

satisfazemΣ. Por IdC(A) representamos o conjunto de todas as identidades sobreA

satisfeitas porC. É claro que[Σ] é uma variedade e que IdC(A) é uma congruência

emA+, a qual é completamente invariante, o que significa que se(u, v) ∈ IdC(A) e

φ : A+ → A+ é um morfismo, então(uφ, vφ) ∈ IdC(A). O semigrupoA+/IdC(A)

é um semigrupo livre paraC sobreA e denota-se usualmente porFC(A).

Teorema 1.22(Teorema das variedades de Birkhoff). SejaC uma classe de semi-

grupos e sejaX um conjunto infinito. As seguintes afirmações são equivalentes:

(a) C é uma variedade;

(b) C = [Σ], para algum alfabetoB e algum conjuntoΣ de identidades sobreB;

(c) C = [Σ], para algum conjuntoΣ de identidades sobreX.

Mais ainda, seC é uma variedade entãoC =[IdC(X)

Proposição 1.23.SejaC uma classe de semigrupos e sejamA eB alfabetos. Então

FC(A) é o semigrupo livre na variedade de semigrupos gerada porC sobreA.

Mais, seC = [Σ], ondeΣ é um conjunto de identidades sobreB, entãoIdC(A) é a

congruência emA+ gerada por:

{(uσ, vσ) | (u, v) ∈ Σ e σ : B+ → A+ é um morfismo

Este último resultado diz-nos que um semigrupoA-gerado de uma variedadeV

é imagem homomorfa deFV(A).

1.5.S-variedades

Teorema 1.24.SeV for uma variedade, entãoV é gerada por:

{FV(A) |A é alfabeto finito}.

Terminamos esta secção com alguns exemplos de variedades desemigrupos que

usaremos mais adiante:

Notação Descrição Equações

I semigrupos triviais x = y

SL semi-reticulados xy = yx, x2 = x

LZ semigrupos zero à esquerda xy = x

RZ semigrupos zero à direita yx = x

RB bandas rectangulares xyx = x

B bandas x2 = x

1.5 S-variedades

UmaS-variedade, ou ainda, umapseudovariedade de semigruposé uma classe

não vazia de semigrupos finitosC tal queH(C) ⊆ C, S(C) ⊆ C e Pf(C) ⊆ C.

Analogamente se define umaM-variedadeou pseudovariedade de monóides. A

variedade trivialI é umaS-variedade e será denotada porI quando considerada

como tal. A classeS de todos os semigrupos finitos, a classeNil dos semigrupos

nilpotentes finitos e a classeG de todos os grupos finitos são também exemplos

deS-variedades. A classeM de todos os monóides finitos e a classe de todos os

grupos finitos sãoM-variedades.

Dada umaS-variedadeV, a classe dos semigrupos finitosS cujasD-classes

regulares são subsemigrupos deS e estão emV é umaS-variedade que denotamos

porDV.

O que se segue vai ser enunciado para semigrupos, mas com as devidas altera-

ções é válido para monóides.

1. Fundamentos

Dada uma classeC de semigrupos finitos, existe a menorS-variedade que con-

témC, que é a intersecção de todas asS-variedades que contêmC. TalS-variedade

é chamada deS-variedade gerada porC.

Proposição 1.25.Dada uma classeC de semigrupos finitos, a classeHSPf(C) é

a S-variedade gerada porC.

Dado um conjuntoΣ de identidades, representamos por[[Σ]] a classe dos semi-

grupos finitos que satisfazemΣ. Assim, [[Σ]] = [Σ] ∩ S. É claro que[[Σ]] é uma

S-variedade. No entanto, nem toda aS-variedade é desta forma, sendoNil e G

exemplos clássicos desse facto [1].

Uma variedade de semigrupos diz-selocalmente finitase todo o seu semigrupo

finitamente gerado é finito. UmaS-variedadeV diz-selocalmente finitase a va-

riedade gerada porV o é. A variedadeI dos semigrupos triviais é o exemplo

mais simples de variedade localmente finita. Todas asS-variedades de bandas e

variedades de bandas são localmente finitas [20].

Proposição 1.26.SejamV umaS-variedade eV a variedade gerada porV. São

equivalentes as seguintes afirmações:

(a) V é localmente finita;

(b) Os semigrupos livres emV sobre alfabetos finitos são finitos;

(c) Os semigrupos livres emV sobre alfabetos finitos pertencem aV;

(d) Para cada alfabeto finitoA, existe um semigrupo livre emV sobreA.

A S-variedadeNiln dos semigrupos finitosn-nilpotentes também é exemplo de

umaS-variedade localmente finita. Em 1964, Golod e Shafarevich apresentaram

exemplos que provam queNil eG não são localmente finitas [22, 23].

Observação.Há duas consequências da Proposição 1.26 que importa salientar.

SejamV umaS-variedade eV a variedade gerada porV. Primeira, seV for lo-

calmente finita, claramenteV = V ∩S e, assim, qualquer conjunto de identidades

que definaV define tambémV, isto é, seV = [Σ] entãoV = [[Σ]]. Segunda, se

V = [[Σ]], para algum conjuntoΣ de identidades, eF[Σ](A) for finito para todo

1.5.S-variedades

o alfabetoA finito, entãoV = [Σ], F[Σ](A) = FV(A) e V é localmente finita.

Para deduzirmos esta primeira igualdade, basta ter presente o Teorema 1.24 e o

facto de queV ⊆ V ⊆ [Σ]. Observamos, porém, que nem toda aS-variedade da

forma [[Σ]], ondeΣ é um conjunto de identidades, é localmente finita. É o caso de

[[x2 = x3]], pois existe uma infinidade de palavras sobre um alfabeto de cardinal

dois que não têm factores que sejam potências cúbicas (ver secção 2.2 de [39]).

Vamos agora estender o Teorema de Birkhoff a classes de semigrupos finitos.

Como referência para a parte desta secção que se segue, sugerimos [1, 2, 4, 45].

Dizemos que(S, ρ), ou simplesmenteS, é umsemigrupo topológicose S é um

semigrupo eρ é uma topologia emS relativamente à qual, quando considerada a

topologia produto emS×S, a multiplicação emS é uma aplicação contínua. Todo

o semigrupo finito munido da métrica discreta é um semigrupo topológico. Se nada

for dito em contrário, os semigrupos finitos serão considerados com esta topologia.

SejaA um alfabeto. Um semigrupoS separaduas palavrasu ev deA+ se existe

um morfismoϕ : A+ → S tal queuϕ 6= vϕ. ConsiderandoA finito, definimos

r(u, v) = min{|S| : S semigrupo finito que separau e v

ed(u, v) = 2−r(u,v)

com as convenções usuais demin ∅ = +∞ e 2−∞ = 0. Está assim definida uma

aplicaçãod : A+ × A+ → R. Por uma questão de coerência com a notação da

literatura já existente, optamos por escrever à esquerda asaplicaçõesd(u, v) em

vez de(u, v)d.

Proposição 1.27.A aplicaçãod é uma ultramétrica emA+, isto é, para quaisquer

u, v, w ∈ A+,

(a) d(u, v) ≥ 0;

(b) d(u, v) = d(v, u);

(c) d(u, w) ≤ max{d(u, v), d(v, w)

(d) d(u, v) = 0 se e só seu = v.

1. Fundamentos

Além disso,d(ux, vy) ≤ max{d(u, v), d(x, y)}, para quaisqueru, v, x, y ∈ A+.

A Proposição 1.27 permite concluir que a concatenação emA+ é uma aplicação

uniformemente contínua deA+ × A+ emA+.

Representamos porA+ o completado topológico deA+ parad. Assim, toda a

aplicaçãoA→ S pode ser estendida a um morfismo contínuoA+ → S.

Vamos agora estender a noção de identidade. SejaA um alfabeto finito. Uma

pseudoidentidadesobreA é um par(u, v) ∈ A+ × A+, o qual representamos por

u = v. Dizemos que um semigrupo finitoS satisfaz a pseudoidentidadeu = v

se, para cada morfismoϕ : A+ → S contínuo, se temuϕ = vϕ. Dizemos que

S satisfazu = 1 [u = 0], ondeu ∈ A+, se, para cada morfismoϕ : A+ → S

contínuo,uϕ é identidade deS [uϕ é zero deS]. UmaS-variedadeV satisfaz uma

pseudoidentidadesobreA se cada semigrupoS deV a satisfaz.

A notação[[Σ]] definida anteriormente, ondeΣ é um conjunto de identidades,

pode ser estendida ao caso em queΣ é um conjunto de pseudoidentidades, cada

uma das quais sobre um alfabeto finito. Dado um conjuntoΣ de pseudoidentidades,

denotamos por[[Σ]] a classe de todos os semigrupos finitos que satisfazem todas as

pseudoidentidades deΣ, a qual chamamosclasse dos semigrupos finitos definida

por Σ.

Teorema 1.28(Teorema de Reiterman [50]). Uma classe de semigrupos finitos é

umaS-variedade se e só se pode ser definida por um conjunto de pseudoidentida-

É um facto que cada elemento deA+ é o limite de uma sucessão de Cauchy de

elementos deA+. A proposição seguinte mostra-nos um exemplo clássico.

Proposição 1.29.Para cadax ∈ A+, a sucessão(xn!)n≥0 é de Cauchy e converge

para um elemento idempotente deA+.

Representamos o limite da sucessão(xn!)n≥0 porxω. Dado um semigrupo finito

S e um morfismo contínuoϕ : A+ → S, a sucessão((xϕ)n!

)n≥0

converge então

para(xω)ϕ. ComoS é finito, esta sucessão a partir de certa ordem é constante e

igual ao idempotente que é potência dexϕ. Logo (xω)ϕ = (xϕ)ω. Deste modo,

1.6. Morfismos relacionais

podemos interpretarxω no semigrupoS como sendo a potência dex idempotente,

o que é consistente com a definição desω emS da secção 1.2. Assim, podemos

escreverx2ω = (xω)2 = xω, xω+1 = xωx = xxω, etc..

Na tabela seguinte apresentamos uma lista deS-variedades que usaremos neste

trabalho.

Notação Descrição Pseudoidentidades

I semigrupos triviais x = y

LZ semigrupos zero à esquerda xy = x

RZ semigrupos zero à direita yx = x

SL semi-reticulados xy = yx, x2 = x

B bandas x2 = x

IE semigrupos unipotentes xω = yω

Niln semigruposn-nilpotentes x1 . . . xn = 0

Nil semigrupos nilpotentes xω = 0

G grupos xω = yω, xω+1 = x

A semigrupos aperiódicos xω = xω+1

CS1 semigrupos simples xω+1 = x, (xyx)ω = xω

LG semigrupos localmente grupos (xωyxω)ω = xω

Gcom grupos comutativos xω = yω, xω+1 = x, xy = yx

Ecom semigrupos cujos idempotentes comutam xωyω = yωxω

1.6 Morfismos relacionais

Os morfismos relacionais têm-se revelado ferramentas importantes na teoria dos

semigrupos finitos. O conceito de morfismo relacional foi introduzido por Tilson

em [16]. Estamos interessados numa classe especial de morfismos relacionais, os

1 Como no caso finito, os semigrupos completamente simples coincidem com os semigrupossimples, optámos por usarCS para denotar aS-variedade dos semigrupos simples.

1. Fundamentos

(V,W)-morfismos relacionais. Para mais detalhes sobre estes morfismos relacio-

nais recomendamos [46].

Um morfismo relacional de semigruposentre dois semigruposS e T é uma re-

lação bináriaτ deS paraT que satisfaz:

1) sτ 6= ∅, para todo os ∈ S;

2) (s1τ)(s2τ) ⊆ (s1s2)τ , para quaisquers1, s2 ∈ S.

SeS e T são monóides, a relação bináriaτ diz-se ummorfismo relacional de

monóidesse satisfizer1), 2) e ainda a condição:

3) 1 ∈ 1τ .

Adoptamos a notação de Delgado [14] para morfismo relacional. Isto é, escre-

vemosτ : S ⊖ // T , sempre queτ for um morfismo relacional deS paraT , e

τ : S ⊖ // // T seτ for um morfismo relacional sobrejectivo. O morfismo relacional

τ pode ser estendido naturalmente aS1 eT 1; denotando ainda porτ essa extensão,

para cadas ∈ S, sτ é o subconjunto deT dado porτ : S ⊖ // T e1τ = 1.

Notamos que os morfismos relacionais deS paraT de semigrupos [monóides]

são precisamente os subsemigrupos [submonóides] deS × T cuja projecção para

S é sobrejectiva. Denotando porα eβ as projecções paraS eT , respectivamente,

de um morfismo relacionalτ ⊆ S × T de S em T , tem-seτ = α−1β. A esta

factorização chamamosfactorização canónica deτ .

O que se segue vai ser enunciado para semigrupos, mas é naturalmente ajustável

ao caso dos monóides.

Proposição 1.30.Sejaτ : S ⊖ // T um morfismo relacional de semigrupos e seja

τ = α−1β a sua factorização canónica. Então,

(a) τ é injectivo se e só seβ é injectiva;

(b) τ é sobrejectivo se e só seβ é sobrejectiva.

Seτ : S ⊖ // // T é um morfismo relacional sobrejectivo entãoτ−1 : T ⊖ // // S

é um morfismo relacional sobrejectivo. Dadosτ1 : S ⊖ // T e τ2 : T ⊖ // U

morfismos relacionais, a composiçãoτ1τ2 : S ⊖ // U é também um morfismo

relacional.

1.6. Morfismos relacionais

Algumas propriedades dos morfismos de semigrupos podem ser generalizados

para morfismos relacionais.

Proposição 1.31.Sejaτ : S ⊖ // // T um morfismo relacional de semigrupos sobre-

jectivo.

(a) SeS ′ é um subsemigrupo deS entãoS ′τ é um subsemigrupo de T.

(b) SeT ′ é um subsemigrupo deT entãoT ′τ−1 é um subsemigrupo de S.

Proposição 1.32.SejaK uma das relações de GreenH , R, L ouJ . SejamS

e T semigrupos finitos eπ : T ⊖ // // S um morfismo relacional sobrejectivo. São

equivalentes as afirmações seguintes: para quaisquers, t, e, f ∈ T ,

(a) ses ∈Reg(T ) e existemx ∈ sπ ey ∈ tπ tais quex ≤K y, entãos ≤K t;

(b) ses ∈Reg(T ) esπ ∩ tπ 6= ∅, entãos ≤K t;

(c) ses, t ∈Reg(T ) esπ ∩ tπ 6= ∅, entãosK t;

(d) see, f ∈ E(T ) e eπ ∩ fπ 6= ∅, entãoeK f ;

(e) ses, t ∈Reg(T ) e existemx ∈ sπ e y ∈ tπ tais quexK y, entãosK t.

Demonstração.Vamos mostrar o resultado paraK = J . As demonstrações para

as outras relações de Green são análogas.

É claro que temos(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d). Provemos(d) ⇒ (a).

Suponhamos ques ∈ Reg(T ) e existemx ∈ sπ e y ∈ tπ tais quex ≤J y.

Sejame ∈ E(T ) tal queeRs e u1, u2 ∈ S1 tais quex = u1yu2. Considerando a

extensão naturalT 1 ⊖ // // S1 deπ, existemr1 ∈ u1π−1 er2 ∈ u2π

−1. Sejams′ ∈ S

tal quee = ss′ e z ∈ s′π. Temosxz ∈ (r1tr2s′)π ∩ eπ e, consequentemente,

obtemos(xz)ω ∈ (r1tr2s′)ωπ ∩ eπ. Pela alínea(d), vem (r1tr2s

′)ωJ e. Logo

e ≤J t e, portanto,s ≤J t.

Portanto(a) ⇔ (b) ⇔ (c) ⇔ (d).

É imediato que(a) ⇒ (e) ⇒ (c).

Definimos agora uma classe de morfismos relacionais determinante no desen-

volvimento dos capítulos que se seguem.

SejamV eW duas classes não vazias de semigrupos. Um morfismo relacional

de semigruposγ : T ⊖ // S diz-se um(V,W)-morfismo relacionalse, para cada

1. Fundamentos

subsemigrupoS ′ de S em W, se temS ′γ−1 = ∅ ou S ′γ−1 ∈ V. Quandoγ é

um morfismo, dizemos queγ é um(V,W)-morfismo. QuandoW = I, dizemos

simplesmente queγ é umV-morfismo relacionale, neste caso, a definição traduz-

se em: para cada idempotentee ∈ S, eγ−1 = ∅ ou eγ−1 ∈ V. Seγ : T ⊖ // // S

for um (V,W)-morfismo relacional sobrejectivo, a condiçãoS ′γ−1 = ∅ nunca é

satisfeita.

Exemplo. SejaU1 o semigrupo com dois elementos formado por um zero e uma

identidade. Dado um semigrupoS sem zero, a relação bináriaτ : S0 → S × U1

definida porsτ = (s, 1), para todo os ∈ S, e 0τ = S × {0}, é umI-morfismo

relacional sobrejectivo.

A composição de(V,W)-morfismos relacionais não é de um modo geral um

(V,W)-morfismo relacional; porém, a composição de(V,V)-morfismos relacio-

nais ainda é um(V,V)-morfismo relacional.

Proposição 1.33.SejaV uma variedade ou pseudovariedade de semigrupos. Seja

τ : S ⊖ // // T um morfismo relacional sobrejectivo e sejaτ = α−1β a sua fac-

torização canónica. Entãoτ é um(V,V)-morfismo relacional se e só seβ é um

(V,V)-morfismo.

Um morfismo relacional diz-seaperiódicose é um(A,A)-morfismo relacional.

Proposição 1.34( [32]). Sejaτ : S ⊖ // // T um morfismo relacional sobrejectivo

de semigrupos finitos. As seguintes condições são equivalentes:

(a) τ é aperiódico;

(b) Para cada idempotentee ∈ T , o semigrupoeτ−1 é aperiódico;

(c) A restrição deτ a cada subgrupo deS é injectiva;

(d) A restrição deτ a cadaH -classe regular deS é injectiva.

1.7 Operações com variedades e com

S-variedades

Várias são as operações comS-variedades [M-variedades] ou com variedades de

semigrupos [monóides]. Vamos apresentar algumas dessas operações nesta secção

1.8. Expansões de semigrupos

para o caso dos semigrupos, mas valem também para monóides.

Embora a intersecção de variedades de semigrupos [S-variedades] seja uma va-

riedade de semigrupos [S-variedade], a união de variedades de semigrupos [S-

variedades] em geral não é uma variedade de semigrupos [S-variedade]. Dadas va-

riedades de semigrupos [S-variedades]V eW, osupremo deV eW, que se denota

por V ∨ W, é a menor (para a relação de inclusão) variedade de semigrupos [S-

variedade] que contémV eW. Por exemplo,LZ ∩RZ = I e LZ ∨RZ = RB.

Outra operação em que estamos interessados, e que vamos agora definir, é o

produto de Malcev.

SejamV e W variedades de semigrupos [S-variedades]. Oproduto de Malcev

deV por W, que denotamos porVm©W, é a classe dos semigrupos [semigrupos

finitos] T para os quais existeS ∈ W e umV-morfismo relacional de semigrupos

f : T ⊖ // // S sobrejectivo. Sabe-se queVm©W é a variedade de semigrupos [S-

variedade] gerada pela classe dos semigrupos [semigrupos finitos]T para os quais

existe umV-morfismo de semigruposf : T ։ S sobrejectivo, para algumS ∈ W.

É óbvio queB = Im©B = Bm©B. Prova-se também [43] queB = RBm©SL.

SeW for uma variedade de monóides [M-variedade], define-se analogamente

Vm©W substituindo a palavra “semigrupo(s)” por “monóide(s)”, obtendo-se assim

uma variedade de monóides [M-variedade].

Contrariamente às operações∨ e∩, o produto de Malcev não é associativo [43];

todavia, verifica-se sempreUm©(Vm©W) ⊆ (Um©V)m©W.

Temos sempre tambémV,W ⊆ Vm©W e seU ⊆ V, entãoUm©W ⊆ Vm©W.

1.8 Expansões de semigrupos

Assumimos serem conhecidos os conceitos e resultados básicos de categorias e

functores. Para mais detalhes recomendamos [40] e [5].

1. Fundamentos

Dada umacategoriaC , denotamos por ObjC e MorC , a classe dosobjectosde

C e a classe dassetas2 deC , respectivamente. A classe de todos os semigrupos e

a classe de todos os morfismos de semigrupos com a composição usual, em con-

junto, formam uma categoria, à qual damos o nome decategoria dos semigrupose

denotamos porSmg. Dado um conjuntoA não vazio, a classe dos semigrupos que

sãoA-gerados juntamente com a classe dos morfismos de semigruposA-gerados

constitui uma categoria, a qual notamos porSmgA.

Apresentamos agora um conceito fundamental no desenrolar deste trabalho; o

de expansão de semigrupos, que foi formalizado por Birget e Rhodes em [9].

De um modo informal, uma expansão consiste numa maneira sistemática de

escrever semigruposS como imagens homomorfas de outros semigruposS ′ que

possuem certas propriedades e de tal modo que, sempre que possível, algumas

propriedades importantes deS sejam preservadas porS ′.

Formalmente, umaexpansãona categoriaSmg define-se como sendo um par

(F, η), ondeF é um functor de uma categoriaS ′ para uma categoriaS deSmg

que tenhaS ′ como subcategoria eη é uma transformação natural deF para o

functor inclusão, tal que cada morfismoηS : (S)F ։ S, comS ∈ ObjS ′, é

sobrejectivo.

Um exemplo trivial de expansão é o daexpansão livreque descrevemos de se-

guida.

Exemplo. Dado um semigrupoS, consideramosS+ o semigrupo livre sobre o

conjuntoS. Sejaη+S : S+ → S a aplicação que a cada(s1, s2, . . . , sn) ∈ S+ faz

corresponder o produtos1s2 · · · sn no semigrupoS. É claro queη+S é um morfismo

sobrejectivo. Sejam agoraS e T semigrupos eϕ : S → T um morfismo. Fica

então definido um morfismoϕ+ : S+ → T+ por:

(s1, s2, . . . , sn)ϕ+ = (s1ϕ, s2ϕ, . . . , snϕ),

para cada(s1, s2, . . . , sn) ∈ S+. É fácil verificar que( )+ origina uma expansão

de semigrupos. Observamos que apesar de o semigrupoS+ ter uma multiplicação

2 É frequente usar-se a designação de morfismo em vez de seta, designação que não adoptamospara evitar ambiguidades.

1.8. Expansões de semigrupos

fácil de manejar, o morfismoη+S não preserva propriedades essenciais deS, como,

por exemplo, a finitude.

Analogamente, dado um alfabetoA, uma expansão na categoriaSmgA é um

functorF de uma categoriaS ′ para uma subcategoriaS deSmgA, que tenhaS ′

como subcategoria, conjuntamente com uma transformação natural η deF para

o functor inclusão, tal que cada morfismoηS : F (S) ։ S, comS ∈ ObjS ′, é

sobrejectivo. Isto significa que, para cada par de semigruposA-gerados(T, ψ) e

(S, ϕ) emS ′ e cada morfismo de semigruposA-geradosπ de(T, ψ) para(S, ϕ),

tem-se(π)F ◦ ηS = ηT ◦ π, ou seja, o seguinte diagrama comuta:

(T )F(π)F // //

��

(ψ)FggggOOOOOOOOOOOOO

(ϕ)F77 77ooooooooooooo

wwwwnnnnnnnn

'' ''PPPP

Tπ // // S

Dizemos que uma expansão(F, η) de S ′ em S preserva a finitudese (S)F

é finito, sempre queS ∈ ObjS ′ o for. Um semigrupo [semigrupoA-gerado]

S de S ′ diz-seestávelpara a expansão(F, η) se (S)F ≃ S como semigrupos

[semigruposA-gerados]. A expansão(F, η) diz-seestávelse, para todo oS ∈ S ′,

se tem((S)F

)F ≃ (S)F como semigrupos [semigruposA-gerados].

Destacamos um resultado de estabilidade para certas expansões em categorias

de semigruposA-gerados, cuja demonstração vem naturalmente das propriedades

de expansão.

Proposição 1.35(Lema 4.18 de [44]). SejaS uma subcategoria deSmgA e sejam

(F, η) e (G, µ) expansões deS emS . Se(F, η) é estável e, para cadaS ∈ S ,

existe um morfismo de semigruposA-gerados de(S)F para (S)G, então

(S)F ≃((S)F

)G ≃

Se(S)F ≃((S)F

)G ou (S)F ≃

)F , então existe um morfismo de semi-

gruposA-gerados de(S)F para (S)G.

1. Fundamentos

1.9 Palavras, linguagens e autómatos

SejaA um alfabeto. Dada uma palavrau ∈ A∗, chamamosconteúdode u, e

representamos porc(u), ao conjunto das letras que ocorrem emu:{c(ǫ) = ∅

c(a1a2 . . . an) = {a1, a2, . . . , an} (a1, a2, . . . , an ∈ A)

Chama-secomprimentode u ∈ A∗, e denota-se por|u|, ao comprimento deu

enquanto sequência:{

|ǫ| = 0

|a1a2 . . . an| = n (a1, a2, . . . , an ∈ A)

Denotamos porr(u) o reverso deu ∈ A∗, isto é:{r(ǫ) = ǫ

r(a1a2 . . . an) = anan−1 . . . a1 (a1, a2, . . . , an ∈ A)

Sejamu, v ∈ A∗. Dizemos quev é prefixo [sufixo] de u se existex ∈ A∗ tal

queu = vx [u = xv]. A palavrav diz-se umfactor deu se existemx, y ∈ A∗

tais queu = xvy. Dizemos que um factorv de u é um factor próprio de u se

v 6= u. Denotamos o conjunto dos prefixos, o conjunto dos sufixos e o conjunto

dos factores deu por Pref(u), Suf(u) e Fact(u), respectivamente.

Sejau = a1a2 . . . an ∈ A+, comn ∈ N, ai ∈ A e i ∈ {1, . . . , n}. Denotamos a

letra inicial deu por i(u) e aletra finalpor t(u):

i(u) = a1 e t(u) = an.

O maior prefixo próprio deu será denotado porp(u):{

p(u) = ǫ sen = 1

p(u) = a1a2 . . . an−1 sen ≥ 2

e o maior sufixo próprio pors(u):{

s(u) = ǫ sen = 1

s(u) = a2 . . . an sen ≥ 2

Convencionamos quei(ǫ) = t(ǫ) = p(ǫ) = s(ǫ) = ǫ.

1.9. Palavras, linguagens e autómatos

Um autómatoé um quíntuplo ordenadoA = (Q,A,E, I, F ), ondeQ é um

conjunto não vazio,A é um alfabeto finito,E ⊆ Q×A×Q eI, F ⊆ Q. Chamamos

estadosaos elementos deQ e transiçõesaos deE. Os elementos deI designam-se

por estados iniciaise os deF por estados finais. SeQ é um conjunto finito então

dizemos queA é umautómato finito.

Todo o autómato pode ser representado por um grafo dirigido eetiquetado, com

indicação dos estados iniciais por uma seta de entrada e dos estados finais por uma

seta de saída, tal como o exemplo seguinte ilustra.

Exemplo. O grafo dirigido que se segue

representa o autómatoA = (Q,A,E, I, F ) sobre o alfabetoA = {a, b, c}, onde:

– Q = {1, 2, 3, 4};

– E ={(1, a, 1), (1, a, 2), (2, b, 1), (2, b, 2), (2, b, 4), (2, c, 3), (3, a, 4), (3, b, 4)

– I = {1, 2};

– F = {2, 4}.

Dado um autómatoA = (Q,A,E, I, F ), podemos considerar apenas o terno

(Q,A,E) como um grafo dirigido etiquetado, a que chamamosgrafo associado ao

autómatoA .

Um caminhoP emA é uma sequência de transições consecutivas

(q0, a1, q1)(q1, a2, q2) . . . (qn−1, an, qn).

Chamamos aq0 origem, aqn extremidade, an comprimentoe aa1a2 . . . an etiqueta

do caminhoP e dizemos queP é umcaminho deq0 paraqn de etiquetaa1a2 . . . an.

Toda a transição(p, a, q) ∈ E é um caminho de comprimento 1. Convencionamos

que, para todo oq ∈ Q, o terno(q, ǫ, q) é um caminho cuja etiqueta é a palavra

vazia e o comprimento é zero.

1. Fundamentos

Chama-selinguagemsobre o alfabetoA a um conjunto de palavras não vazias

sobreA. Uma linguagemL ⊆ A+ diz-sereconhecida pelo autómatoA se, para

cada palavrau ∈ L, existe um caminho emA de etiquetau, com origem num

estado inicial e com extremidade num estado final. DenotamosporL(A ) o con-

junto de todas as palavras deA+ que são etiquetas de algum caminho emA com

origem num estado inicial e extremidade num estado final, e dizemos queL(A ) é

a linguagem reconhecida porA .

Dizemos queq ∈ Q é acessívelse existe um caminho com origem num estado

inicial e extremidadeq. O autómatoA diz-seacessívelse todos os seus estados

são acessíveis.

Um autómatoA = (Q,A,E, I, F ) diz-sedeterministase satisfaz as duas con-

dições seguintes:

1) A tem um único estado inicial;

2) Para todo op ∈ Q e todo oa ∈ A, existe no máximo uma transição da forma

(p, a, q).

Neste caso, é usual representar o conjunto de estados iniciais I = {i} pelo seu

único elementoi.

SejaA =(Q,A,E, i, F

)um autómato determinista. Consideramos o conjunto

P ={(p, a) ∈ Q×A | ∃ q ∈ Q : (p, a, q) ∈ E

Podemos considerar a aplicaçãoδ : P → Q que a cada(p, a) ∈ P faz corresponder

o únicoq ∈ Q tal que(p, a, q) ∈ E. A aplicaçãoδ é denominada porfunção tran-

sição. Deste modo, o autómatoA pode ser definido pelo quíntuplo(Q,A, δ, i, F ).

Observemos que a função transição pode prolongar-se a palavras deA∗ da seguinte

forma: para quaisquerq ∈ Q, a ∈ A eu ∈ A∗,

{(q, ǫ)δ = q

(q, ua)δ =((q, u)δ, a

)δ , se (q, u)δ e

((q, u)δ, a

)δ estiverem definidos.

Dizemos que um autómatoA = (Q,A,E, I, F ) é completose para todo o

p ∈ Q e a ∈ A, existeq ∈ Q tal que(p, a, q) ∈ E. Num autómato determinista e

1.9. Palavras, linguagens e autómatos

completo, a função transição encontra-se definida emQ× A.

Prova-se que a partir de um autómatoA qualquer se pode construir um autómato

determinista, completo e acessívelB tal queL(A ) = L(B).

SejamA1 = (Q1, A, δ1, F1) e A2 = (Q2, A, δ2, F2) autómatos deterministas,

completos e acessíveis. Uma aplicaçãoφ : Q1 → Q2 diz-se ummorfismodeA1

paraA2, e escrevemosφ : A1 → A2, seF2φ−1 = F1 e, para quaisquerq ∈ Q1 e

a ∈ A, se tem(qφ, a)δ2 =((q, a)δ1

)φ. Seφ for uma bijecção, dizemos queA1 e

A2 sãoisomorfos, e escrevemosA1 ≃ A2 com esse significado.

SejaA = (Q,A,E, I, F ) um autómato. A cada palavrau ∈ A∗ associamos

uma relação bináriau sobreQ definida da forma que se segue:

u ={(p, q) ∈ Q×Q : existe um caminho dep paraq de etiquetau

Dadosu, v ∈ A∗, prova-se facilmente queuv = u v. Damos o nome demonóide

de transiçãoe semigrupo de transiçãodo autómatoA aos conjuntos

M(A ) = {u : u ∈ A∗} e S(A ) = {u : u ∈ A+},

respectivamente, munidos da composição de relações. Note-se queM(A ) possui

identidadeǫ. Observamos que estes semigrupos não dependem dos estados ini-

ciais nem dos estados finais deA . Note-se também que seu = a1a2 . . . an, com

a1, a2, . . . , an ∈ A, entãou = a1 a2 · · · an, pelo queM(A ) eS(A ) sãoA-gerados.

SeA for determinista entãoM(A ) eS(A ) são, respectivamente, submonóide e

subsemigrupo dePT (Q); se, além disso,A for completo entãoM(A ) e S(A )

são, respectivamente, submonóide e subsemigrupo deT (Q). Deixemos claro que

nestes casosu (u ∈ A∗) é a aplicação (parcial) sobreQ que a cadaq ∈ Q faz

corresponder, quando existe,(q, u)δ.

O grafo de Cayley (à direita)Γ de um semigrupoA-gerado(S, ϕ) é o grafo

associado ao autómato completo, determinista e acessívelA = (SI, A, δ, I, ∅) 3,

ondeI é a identidade deSI e (s, a)δ = s(aϕ), para quaisquers ∈ SI e a ∈ A.

Chamamos a atenção para o facto da definição de grafo de Cayleynão depender

3 Muitos autores consideramS1 em vez deSI.

1. Fundamentos

dos estados iniciais nem dos estados finais. Nesta dissertação, referir-nos-emos,

com frequência, a este autómato como sendo oautómato de CayleydeS.

A proposição que se segue é de demonstração simples.

Proposição 1.36.SejaA = (Q,A, δ, i, F ) um autómato finito, determinista, com-

pleto e acessível sobre um alfabetoA. Então |S(A )| = |Q \ {i}| se e só se

A ′ = (Q,A, δ, i, ∅) é, a menos de isomorfismo, o autómato de Cayley deS(A ).

Uma linguagemL ⊆ A+ diz-sereconhecida por um semigrupoS se existir um

morfismoϕ : A+ → S tal queL = (Lϕ)ϕ−1; neste caso, diz-se também queL é

reconhecida pelo morfismoϕ.

A cada linguagemL ⊆ A+ podemos associar uma congruência∼L em A+

definida do seguinte modo: para quaisquerx, y ∈ A+,

x ∼L y se e só se∀u, v ∈ A∗, (uxv ∈ L⇔ uyv ∈ L).

A esta congruência damos o nome decongruência sintáctica deL e ao semigrupo

S(L) = A+/ ∼L chamamossemigrupo sintáctico deL.

Proposição 1.37.SejaL ⊆ A+. São equivalentes as seguintes condições:

(a) L é reconhecida por um autómato finito;

(b) L é reconhecida por um semigrupo finito;

(c) S(L) é finito.

Diz-se que uma linguagemL ⊆ A+ é reconhecívelse satisfizer qualquer uma

das condições da Proposição 1.37.

Embora não seja necessário para o trabalho que aqui desenvolvemos, enuncia-

mos um importante resultado de Kleene [15, 33] sobre estas linguagens. Grosso

modo, uma linguagemL deA+ diz-seracional se se puder obter a partir das le-

tras (como linguagens deA+) pela aplicação de um número finito de vezes das

operações de união, produto e passagem ao subsemigrupo gerado deA+.

Teorema 1.38(Teorema de Kleene). Uma linguagem deA+ é reconhecível se e só

se é racional.

As definições e resultados sobre linguagens deA+ podem ser estendidos natu-

ralmente a linguagens deA∗.

2 A expansão de Malcev

A expansão de Malcev de um semigrupo determinada por uma variedade de semi-

grupos foi formalmente introduzida por Elston em [17]. De grosso modo, dados

um semigrupoA-gerado(S, ϕ) e uma variedade de semigruposV, a expansão de

Malcev deS determinada porV consiste em impor as identidades satisfeitas porV

a todos os subsemigrupos deA+ da formaeϕ−1, come ∈ E(S).

Este capítulo é dedicado à definição formal da expansão de Malcev determinada

por uma variedade e às suas propriedades. Na Secção 2.2 damosparticular atenção

à relação entre a expansão de Malcev e os produtos de Malcev. Os resultados

que aqui se encontram, com a excepção da Proposição 2.10, sãojá bastante bem

conhecidos [17, 43, 47].

Vamos apresentar os conceitos e propriedades para semigrupos e variedades de

semigrupos [S-variedades], mas são perfeitamente ajustáveis ao caso dosmonóides

e das variedades de monóides [M-variedades].

2.1 A expansão de Malcev

A definição formal da expansão de Malcev que apresentamos agora é inspirada

num texto de Pin de 2006 não publicado [47]. McCammondet al. apresentam-na

também mais tarde em [44] de uma forma sucinta.

As definições e os resultados que se seguem serão formulados para semigru-

pos, identidades de semigrupos e variedades de semigrupos,mas são adaptáveis de

modo natural a monóides, identidades de monóides e variedades de monóides.

Dados alfabetosA eB e um semigrupoA-gerado(S, ϕ), dizemos que um mor-

fismoσ : B+ → A+ é trivializado por (S, ϕ), ou simplesmente porS, se existe

2. A expansão de Malcev

e ∈ E(S) tal que(uσ)ϕ = e, para todo ou ∈ B+, i.e., B+σ ⊆ eϕ−1. Esta

condição é equivalente a exigir apenas que(bσ)ϕ = e, para todo ob ∈ B.

SejamA um alfabeto e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado. SejaΣ um conjunto de

identidades sobre um alfabetoB. Denotamos porΣm©S o semigrupoA+/R♯S, onde

RS = {uσ = vσ | u = v é uma identidade deΣ eσ : B+ → A+ é um

morfismo trivializado porS}.

Pela definição de morfismo trivializado, para cadauσ = vσ emRS, verificamos ter

(uσ)ϕ = (vσ)ϕ ∈ E(S), pelo queRS ⊆ kerϕ. Logo, pela Proposição 1.8, existe

um único morfismoπS : Σm©S ։ S sobrejectivo tal que(R♯S)♮ ◦ πS = ϕ, tendo-se

a comutatividade do seguinte diagrama:

(R♯S)

��

�� 222

Σm©SπS // //_______ S

A πS damos o nome demorfismo canónico deΣm©S paraS.

Denotaremos a partir de agora o morfismo(R♯)♮ : A+։ Σm©S por ( )Σm©S.

Proposição 2.1.O morfismoπS : Σm©S ։ S é um[Σ]-morfismo.

Demonstração.Sejae ∈ E(S). Vejamos queeπ−1S satisfaz as identidades deΣ.

Sejau = v uma identidade deΣ e sejaα : B+ → eπ−1S um morfismo. Pela

Proposição 1.10 e poreπ−1S ⊆ Σm©S, existe um morfismoσ : B+ → A+ tal que o

diagrama

��777

σ //_________ A+

( )Σm©S

��

�� 222

Σm©SπS // // S

2.1. A expansão de Malcev

comuta. Comou = v é uma identidade deΣ sobreB, é fácil verificar queuσ = vσ

é uma identidade sobreA satisfeita por[Σ]. Mais ainda, o morfismoσ é trivializado

porS, pois ((B+)σ

)ϕ = (B+)απS ⊆ (eπ−1

S )πS = {e}.

Logo uσ = vσ pertence aRS, pelo que(uσ)Σm©S = (vσ)Σm©S, isto éuα = vα.

Deste modo, concluímos queeπ−1S satisfaz todas as identidades deΣ e portanto é

um semigrupo de[Σ].

O resultado que se segue mostra-nos que, para um semigrupoA-gerado(S, ϕ)

fixado, o semigrupoΣm©S desempenha o papel de objecto inicial na subcategoria

deSmgA formada pelos semigruposA-geradosT que admitem um[Σ]-morfismo de

T paraS que respeita geradores. A esta propriedade damos o nome depropriedade

universal deΣm©S.

Proposição 2.2.Sejam(T, ψ) um semigrupoA-gerado ef : T ։ S um mor-

fismo de semigruposA-gerados que seja um[Σ]-morfismo. Então existe um único

morfismo sobrejectivoγ : Σm©S ։ T tal que o diagrama seguinte comuta:

( )Σm©S

��

ψ�� ϕ

��

&& &&NNNN

Σm©Sπ // //

77 77nnnnnnn

Mais ainda, o morfismoγ é um[Σ]-morfismo.

Demonstração.Sejauσ = vσ emR, ondeu = v é uma identidade deΣ sobreB

eσ : B+ → A+ é um morfismo trivializado porS. Sejae = (uσ)ϕ, o qual é um

idempotente deS. Comof é um morfismo de semigruposA-gerados, temos

{e} =((B+)σ

((B+)σ

)ψf = (B+)σψf,

pelo que(B+)σψ ⊆ (e)f−1. Como por hipótesef é um [Σ]-morfismo, tem-se

(e)f−1 ∈ [Σ], donde(e)f−1 satisfaz a identidadeu = v. Logo (uσ)ψ = (vσ)ψ.

Deste modo concluímos queR ⊆ kerψ. Logo existe um único morfismo sobrejec-

tivo γ : Σm©S ։ T tal queψ = ( )Σm©S ◦ γ. Sendo assim, para todo ou ∈ A+,

temos((u)Σm©S

)γf = (u)ψf = uϕ =

((u)Σm©S

)πS e, logo, o diagrama comuta.

Finalmente, provamos queγ é um[Σ]-morfismo. Sejau ∈ A+ tal queuψ é um

idempotente deT . Entãouϕ = (uψ)f ∈ E(S) e

((uψ)γ−1

)πS = (uψ)(γ−1γf) = (uψ)f = uϕ.

Como, pela Proposição 2.1,πS é um[Σ]-morfismo, temos(uψ)γ−1 ∈ [Σ]. Logoγ

é um[Σ]-morfismo.

Corolário 2.3. SejamΣ e Σ′ dois conjuntos de identidades tais que[Σ] = [Σ′].

EntãoΣm©S = Σ′m©S.

Demonstração.SejamπS e π′S os morfismos canónicos deΣm©S paraS e de

Σ′m©S paraS, respectivamente, que, pela Proposição 2.1, são[Σ]-morfismos. Logo,

pela propriedade universal deΣm©S e pela deΣ′m©S, existem, respectivamente,

morfismosγ : Σm©S ։ Σ′m©S e γ′ : Σ′m©S ։ Σm©S sobrejectivos tais que

( )Σm©S ◦ γ = ( )Σ′m©S e ( )Σ′m©S ◦ γ′ = ( )Σm©S. Portanto,Σm©S = Σ′m©S.

Dada uma variedadeV de semigrupos, este último corolário permite-nos definir

Vm©S como sendoΣm©S, para qualquer conjuntoΣ de identidades que verifique

V = [Σ]. Ao semigrupoVm©S damos o nome deexpansão de Malcev deS deter-

minada pela variedadeV.

Vejamos agora que a correspondência que a cada semigrupoA-geradoS faz

corresponder o semigrupoVm©S é functorial e que, juntamente com a família dos

V-morfismos associados(πS : Vm©S ։ S

)S semigrupoA-gerado

, é uma expansão. A

esta expansão chamamosexpansão de Malcev determinada pela variedadeV.

Proposição 2.4.Sejam(S, ϕ) e (T, ψ) semigruposA-gerados. Seα : T ։ S é

um morfismo de semigruposA-gerados então existe um morfismo de semigrupos

A-geradosVm©α : Vm©T ։ Vm©S tal que o seguinte diagrama comuta:

Vm©TVm©α // //

��

( )Vm©TPPPPP

ggggPPPPP( )Vm©Sooooo

77 77ooooo

wwwwnnnnnn

nnnnnn

nnn ϕ

'' ''PPPPP

PPPPPP

Tα // // S

Demonstração.SejaΣ um conjunto de identidades sobre um alfabetoB tal que

V = [Σ].

Sejaσ : B+ → A+ um morfismo trivializado porT . Então(B+σ)ψ = {e},

ondee ∈ E(T ). Consequentemente,(B+σ)ϕ = (B+σ)ψα = {eα} e eα ∈ E(S).

Entãoσ é também trivializado porS. LogoRT ⊆ RS, por isso fica bem definido

um morfismoVm©α de Vm©T paraVm©S, que a cada(u)Vm©T faz corresponder

(u)Vm©S, comu ∈ A+, tendo-se( )Vm©T ◦ Vm©α = ( )Vm©S. LogoVm©α é um de

semigruposA-gerados e, para todo ou ∈ A+, temos

((u)Vm©T

)(Vm©α) ◦ πS =

((u)Vm©S

)πS = uϕ = uψα =

((u)Vm©T

)πT ◦ α,

ou seja(Vm©α) ◦ πS = πT ◦ α.

Proposição 2.5.Seja(S, ϕ) um semigrupoA-gerado. Então as expansõesIm©S,

LZm©S e RBm©S são definidas, respectivamente, pelas seguintes apresentações

de semigrupo:

(a)⟨A | {u = v | uϕ = vϕ = (u2)ϕ}

(b)⟨A | {uv = u | uϕ = vϕ = (u2)ϕ}

(c)⟨A | {uvu = u | uϕ = vϕ = (u2)ϕ}

Demonstração.Vamos fazer a demonstração paraIm©S. O raciocínio para os ou-

tros dois casos é análogo.

Uma vez queI = [x = y], comx e y letras, a expansãoIm©S é definida pela

apresentação de semigrupo〈A |RS〉, onde

RS = {xσ = yσ | σ : {x, y}+ → A+ morfismo trivializado porS}.

LogoRS ={u = v | u, v ∈ A+, uϕ = vϕ ∈ E(S)

Notamos que, da definição deRS e da Proposição 2.5(a), dadosu, v ∈ A+,

temos(u)Im©S = (v)Im©S se e só se pudermos chegar av a partir deu num número

finito de passos, cada um dos quais consiste na substituição de um factorw cuja

imagem porϕ seja idempotente por uma palavra deA+ que tenha a mesma imagem

quew por ϕ. Formalmente,(u)Im©S = (v)Im©S se e só se existe uma sequência

u = x0u0y0 , x0v0y0 = x1u1y1, x1v1y1 = x2u2y2, . . . , xn−1vn−1yn−1 = xnunyn,

xnvnyn = v, ondex0, y0, x1, y1 . . . , xn, yn ∈ A∗, u0, v0, u1, v1 . . . , un, vn ∈ A+ e

u0ϕ = v0ϕ = u20ϕ, u1ϕ = v1ϕ = u21ϕ, . . . , unϕ = vnϕ = u2nϕ.

A partir da manipulação directa de resultados sobre congruências, podemos fazer

uma primeira observação sobre a expansão de Malcev.

Proposição 2.6.SejaV = [Σ] uma variedade de semigrupos. Sejam(S, ϕ) e

(T, ψ) semigruposA-gerados eη : T ։ Vm©S um morfismo sobrejectivo tal que

ψη = ( )Vm©S. SejaRS = {(uψ, vψ) | (u, v) ∈ RS}. Então

Vm©S ≃ T/R♯

Demonstração.ComoRS ⊆ kerη, pela Proposição 1.8 existe um morfismoα de

T/R♯

S paraVm©S tal queψ ◦ (R♯

S)♮ ◦ α = ( )Vm©S, donde concluímos queα é um

morfismo de semigruposA-gerados.

Por outro lado, a Proposição 1.7 aplicada ao morfismoψ garante-nos a existência

de um morfismoβ de semigruposA-gerados deVm©S paraT/R♯

LogoVm©S ≃ T/R♯

Nos casos deI = [x = y],LZ = [xy = x] eRB = [xyx = x], a relação binária

RS da proposição anterior define-se, respectivamente, por{(uψ, vψ) | uϕ = vϕ ∈ E(S)

{((uv)ψ, uψ

)| uϕ = vϕ ∈ E(S)

e{((uvu)ψ, uψ

)| uϕ = vϕ ∈ E(S)

De um modo geral, a expansão de Malcev de um semigrupoS é diferente deS.

A proposição que se segue ilustra isso de forma muito simples.

Proposição 2.7.Dado um semigrupoA-gerado(G,ϕ) finito, ondeG é um grupo,

temosIm©G ≃ G se e só seG é trivial.

Demonstração.SeG é trivial então é claro queIm©G ≃ G.

Suponhamos queG não é trivial. Sejag ∈ G tal queg 6= 1. Então existe

u ∈ A+ sem nenhum factor com imagem idempotente emG tal queuϕ = g. Se

a ordem deg é k, temosuϕ = (uk+1)ϕ; no entanto(u)Im©G 6= (uk+1)Im©G. Logo

πG : Im©G։ G não é injectiva e, portanto,Im©G eG não são isomorfos enquanto

semigruposA-gerados.

De facto, a expansão de Malcev de um semigrupoS pode ser muito maior e mais

complexa do queS, como podemos constatar com o exemplo que se segue.

Exemplo. SejaA = {a, b, c, d} e sejaG = 〈g〉 o grupo cíclico de ordem3. Seja

ϕ : A+։ GI o morfismo tal queaϕ = bϕ = g e cϕ = dϕ = I. Considere-se o

c.p.o dasJ -classes deGI :

Então o c.p.o dasJ -classes deIm©GI é o seguinte:

ba∗c

cbbccaac baabb2a2

cbabaccababccb2b2cca2a2caca cac acb cbc bca bcb

acac caca acbc cacb cbca bcac bcbc cbcbacac cbaccabccb2cca2c

cbcbccbcaccacbccacac

∗a3 , a4 , a5

Para qualquer variedadeV e qualquer alfabetoA, pela Proposição 1.23, é claro

que a expansão de Malcev do semigrupo trivial determinada por V éFV(A) (este

resultado é estendido mais adiante na Proposição 2.11). Assim, seV não for local-

mente finita, a expansão de Malcev do semigrupo trivial determinada porV não é

necessariamente finita, mesmo se o alfabetoA for finito. No caso deV ser local-

mente finita, podemos afirmar o seguinte.

Proposição 2.8.Se(S, ϕ) é um semigrupoA-gerado finito, comA alfabeto finito,

eV é uma variedade localmente finita, entãoVm©S é um semigrupo finito.

2.2. A expansão de Malcev nos produtos de Malcev

Este resultado é consequência imediata de um importante teorema provado por

Brown em 1971, que enunciamos de seguida. Demonstrações deste teorema podem

ser encontradas em [10, 38, 53, 56].

Teorema 2.9(Teorema de Brown). Sejaπ um morfismo sobrejectivo de um semi-

grupoT para um semigrupo localmente finitoS tal queeπ−1 é um subsemigrupo

deT localmente finito, para cadae ∈ E(S). EntãoT é localmente finito.

Podemos, assim, concluir que a expansão de Malcev preserva afinitude se e só

se é determinada por uma variedade localmente finita.

2.2 A expansão de Malcev nos produtos de

Malcev

SejamV e W variedades de semigrupos. Recordamos queVm©W é a classe dos

semigruposT para os quais existeS ∈ W e umV-morfismo relacional sobrejectivo

deT paraS. Deste modo, após definida a expansão de Malcev, observa-se que se

S ∈ W é um semigrupoA-gerado, entãoVm©S ∈ Vm©W. Mais ainda, tomando

S ∈ W como semigrupoS-gerado, é fácil verificar que, pela propriedade universal

da expansão de Malcev,Vm©W é a variedade gerada por{Vm©S |S ∈ W}.

Proposição 2.10.SejamV eW S-variedades tais queV é localmente finita. Seja

V a variedade gerada porV. EntãoVm©W é aS-variedade gerada pelas expan-

sões de MalcevVm©S, comS ∈ W.

Demonstração.SejaS ∈ W. Sejaϕ : A+։ S um morfismo sobrejectivo,

para um certo alfabeto finitoA. ConsideramosVm©S a expansão de Malcev de

S determinada porV. SejaπS : Vm©S ։ S o morfismo canónico associado a

Vm©S. ComoS é finito eV é localmente finita, pela Proposição 2.8 sabemos que

Vm©S é um semigrupo finito. Em particular, os semigruposeπ−1S , come ∈ E(S),

são finitos. Atendendo à Proposição 1.26, concluímos queeπ−1S ∈ V, para cada

e ∈ E(S). Logo πS é umV-morfismo sobrejectivo e portantoVm©S pertence a

Vm©W.

Reciprocamente, sejaf : T ։ S umV-morfismo sobrejectivo, ondeT eS são

semigrupos finitos, comS ∈ W. SendoT finito, consideremosψ : A+։ T

um morfismo sobrejectivo, para um certo alfabeto finitoA. Tomemos o semigrupo

A-gerado(S, ψf). ComoV ⊆ V, o morfismof é umV-morfismo. Logo, pela Pro-

posição 2.2, o semigrupoT é imagem homomorfa do semigrupoVm©S. Portanto

T pertence àS-variedade gerada pelos semigruposVm©S, comS ∈ W.

SeS é uma banda então o morfismo canónico deIm©S paraS é um isomorfismo.

Logo, seW é uma variedade ou umaS-variedade de bandas, temosIm©W = W.

Em particular, temosIm©I = I eIm©B = B.

A proposição que se segue mostra que os semigrupos livres emVm©W se obtêm

dos semigrupos livres deW por aplicação da expansão de Malcev determinada por

V. Em [44] encontra-se uma demonstração muito resumida destapropriedade, pelo

que decidimos apresentá-la aqui na íntegra.

Proposição 2.11.SejamV eW variedades de semigrupos eA um alfabeto. Então

FVm©W(A) = Vm©FW(A).

Demonstração.É claro queVm©FW(A) ∈ Vm©W. Tome-se umV-morfismo so-

brejectivoα : T ։ S, comS ∈ W, ef : A+ → T um morfismo. Queremos pro-

var a existência de um morfismoφ : Vm©FW(A) → T tal quef = ( )Vm©FW(A) ◦ φ.

Podemos supor quef é sobrejectivo; senão considerar-se-ia, para o lugar deT ,

o subsemigrupoT ′ de T gerado porA+f , e, paraα, o morfismoα′ : T ′։ S ′

definido portα′ = tα, ondeS ′ = T ′α.

Pela Proposição 2.2, existe um morfismo sobrejectivoγ : Vm©S ։ T tal que o

diagrama seguinte comuta:

Vm©Sγ

wwwwoooooo

oooooo

��

( )Vm©S -- --

f // //

fα11 11

'' ''OOOOO

OOOOOO

2.2. A expansão de Malcev nos produtos de Malcev

Por outro lado, pela propriedade universal deFW(A), existe um morfismo sobre-

jectivoϕ : FW(A) ։ S tal queιϕ = fα, ondeι é o morfismo canónico deA+ para

FW(A). Pela Proposição 2.4, existe um morfismoVm©ϕ : Vm©FW(A) ։ Vm©S

sobrejectivo tal que o diagrama

Vm©FW(A)Vm©ϕ // //

πFW(A)

��

( )Vm©S

f // //

��

( )Vm©FW(A)======

^^^^======

�� 555

FW(A)ϕ // // S

comuta, ondeπFW(A) : Vm©FW(A) ։ FW(A) eπS : Vm©S ։ S são os morfismos

canónicos associados às expansões de Malcev consideradas.Podemos então tomar

φ = (Vm©ϕ)◦γ. Atendendo à Proposição 1.21, a demonstração fica concluída.

A definição de expansão de Malcev pode ser estendida a semigrupos profini-

tos e pro-variedades, obtendo-se propriedades análogas àsque apresentámos na

Secção 2.1. Rhodes e Steinberg apresentam um resultado semelhante ao da Propo-

sição 2.11, para o caso em que se consideramS-variedades, produto de Malcev de

S-variedades e semigrupos profinitos livres. Não é nossa intenção explorar o caso

profinito neste trabalho. Para mais detalhes sobre a expansão de Malcev profinita e

a sua relação com o produto de Malcev de pseudovariedades, sugerimos [52, 49].

3 Alguns produtos de Malcev da

forma Im©W

Neste capítulo, damos principal relevo a alguns produtos deMalcev da forma

Im©W, ondeW é aS-variedadeDV dos semigruposS cujasD-classes regula-

res são subsemigrupos deS emV, para umaS-variedadeVarbitrária, ou é uma

S-variedade de semigrupos localmente grupos.

Como referimos na Secção 1.7, osI-morfismos (relacionais) estão intrinseca-

mente relacionados com o produto de MalcevIm©W. Na primeira secção, va-

mos estabelecer propriedades destes morfismos (relacionais) que são determinantes

para o desenvolvimento das secções e capítulos que se seguem.

Na segunda secção, provamos (Proposição 3.8) queIm©DV = DV, para uma

S-variedadeV arbitrária, e na última secção caracterizamos (Teorema 3.11), de um

modo geral, o produto de Malcev da formaIm©W, para umaS-variedadeW tal

queW ⊆ LG, particularizando depois para o caso dos semigrupos unipotentes,

dos grupos e dos semigrupos simples.

Este capítulo não depende directamente da definição de expansão de Malcev,

mas simplesmente do conceito de produto de Malcev e suas propriedades. Recor-

damos que o produto de MalcevIm©W é a classe dos semigrupos finitos que ad-

mitem umI-morfismo relacional sobrejectivo para algum semigrupo deW; mais,

é aS-variedade gerada pelos semigrupos finitosT para os quais existeS ∈ W e

um I-morfismoT ։ S sobrejectivo.

3. Alguns produtos de Malcev da formaIm©W

3.1 I-morfismos relacionais

Para o que se segue, tenhamos presente a noção deI-morfismo relacional definida

na Secção 1.6.

Uma primeira observação que podemos fazer sobre osI-morfismos relacionais

consiste no facto bem conhecido da classe dosI-morfismos relacionais ser fechada

para a composição de relações.

Proposição 3.1.SejamS, T e U semigrupos ef1 : S ⊖ // T e f2 : T ⊖ // U

I-morfismos relacionais. Sef1 e f2 sãoI-morfismos relacionais entãof1f2 é um

I-morfismo relacional.

Demonstração.Suponhamos quef1 e f2 sãoI-morfismos relacionais. Sejae ∈ U

tal quee2 = e e para o qual existems, t ∈ S tais quee ∈ (s)f1f2 ∩ (t)f1f2. Sejam

x ∈ (s)f1 e y ∈ (t)f1 tais quee ∈ (x)f2 ∩ (y)f2. Como, por hipótese,f2 é um

I-morfismo relacional, obtemosx = y ∈ E(T ). Entãox ∈ (s)f1 ∩ (t)f1 e, logo,

por f1 ser umI-morfismo relacional, vems = t. Portanto,f1f2 é umI-morfismo

relacional.

Na proposição anterior, se substituirmos a expressão “I-morfismo(s) relacio-

nal(ais)” simplesmente por “I-morfismo(s)”, o resultado mantém-se verdadeiro.

Para além disso, se exigirmos quef1 ef2 sejamI-morfismos sobrejectivos, o recí-

proco também é válido.

Da Proposição 3.1 concluímos que a expansão de Malcev determinada porI é

estável.

Corolário 3.2. Para todo o semigrupoA-gerado(S, ϕ), tem-se

Im©(Im©S) = Im©S.

Demonstração.Consideremos os morfismo canónicosπS eπIm©S associados às ex-

pansõesIm©S eIm©(Im©S), respectivamente. ComoπS eπIm©S sãoI-morfismos,

da Proposição 3.1 aplicada aI-morfismos resulta que o morfismo de semigrupos

A-geradosπIm©S ◦ πS : Im©(Im©S) ։ S ainda é umI-morfismo. Sendo assim,

3.1.I-morfismos relacionais

pela propriedade universal da expansãoIm©S, existe um morfismo de semigrupos

A-gerados deIm©S paraIm©(Im©S).

LogoIm©(Im©S) = Im©S.

Proposição 3.3.SejaK uma das relações de GreenH , R, L ouJ . SejamS e

T semigrupos finitos eπ : T ⊖ // // S umI-morfismo relacional sobrejectivo. Então,

para quaisquers, t ∈ T , sempre ques é regular e existemx ∈ sπ ey ∈ tπ tais que

x ≤K y, temoss ≤K t.

Demonstração.Vamos provar o resultado paraK = J . As demonstrações para

as outras relações de Green são análogas.

Sejams, t ∈ T tais ques é regular e suponhamos que existemx ∈ sπ e y ∈ tπ

tais quex ≤J y. Logo existeme ∈ E(T ) e u1, u2 ∈ S1 tais ques R e e

x = u1yu2. Sejas′ ∈ T tal quee = ss′ e, considerando a extensão natural

T 1 ⊖ // // S1 deπ, tomemosr1 ∈ u1π−1 e r2 ∈ u2π

−1. Fixemosz ∈ s′π. Então

xz ∈ eπ ∩ (r1tr2s′)π, pelo que(xz)ω ∈ eπ ∩ (r1tr2s

′)ωπ, ou seja,e, (r1tr2s′)ω ∈

(xz)ωπ−1. Porπ ser umI-morfismo relacional, veme = (r1tr2s′)ω ≤J t. Logo

s ≤J t.

Observamos que a Proposição 3.3 nos diz que osI-morfismos relacionais sobre-

jectivos satisfazem a condição da alínea(a) da Proposição 1.32.

Com uma demonstração análoga, é fácil verificar que, quando nos restringimos a

I-morfismos sobrejectivos, o resultado da Proposição 3.3 é extensível a semigrupos

de cardinalidade arbitrária.

O próximo resultado encontra-se demonstrado paraI-morfismos nas notas não

publicadas de Pin [47].

Proposição 3.4.SejamS e T semigrupos finitos eπ : T ⊖ // S um I-morfismo

relacional. Entãoπ é injectivo emReg(T ).

Demonstração.Sejams, t ∈ Reg(T ) tais quesπ ∩ tπ 6= ∅. EntãosH t, pela

Proposição 3.3. O facto deπ ser umI-morfismo relacional implica queπ satis-

faz a condição da alínea(b) da Proposição 1.34 e, consequentemente, também a

condição da alínea(d) da mesma proposição. Portantos = t.

No resultado anterior, a condição de um morfismo relacional de semigrupos fini-

tos ser injectivo nos regulares é apenas necessária para serum I-morfismo relacio-

nal. Apresentamos de seguida um exemplo de um morfismo de semigrupos finitos

injectivo nos regulares que não é umI-morfismo.

Exemplo. SejaA = {a, b} um alfabeto. SejaS o semigrupo finito com apresen-

tação de semigrupo〈a, b | ab = ba = a2b, b = b2, a2 = a3〉 e com o seguinte c.p.o

dasJ -classes:

TemosFSL(A) = 〈a, b | ab = ba, b = b2, a = a2〉, cujo c.p.o dasJ -classes é:

Existe um morfismo sobrejectivoφ : S ։ FSL(A) tal queaφ = a e bφ = b, que é

injectivo nos regulares mas não é umI-morfismo, poisaφ = a2φ.

Dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ), sea ∈ A for tal queaϕ não é idempotente,

então(a)Im©S não é regular, emboraaϕ o possa ser (por exemplo, seS for um

grupo não trivial); assim, o morfismo canónico deIm©S paraS pode não separar

elementos regulares de elementos não regulares e, portanto, o mesmo se pode dizer

dosI-morfismos.

Da Proposição 3.3 podemos obter mais dois corolários, com osquais finalizamos

esta secção.

3.2. O produto de MalcevIm©DV

Proposição 3.5.SejamS e T semigrupos finitos eπ : T ։ S um I-morfismo

sobrejectivo. Então, para cadaJ-classeJ regular deS, existe uma e uma só

J-classeK regular deT tal queKπ ⊆ J , tendo-seKπ = J .

Demonstração.SejaJ umaJ-classe regular deS. Então, pela Proposição 1.16,

existe umaJ-classeK regular deT tal queKπ = J . Atendendo às Proposi-

ções 3.3 e 1.32, se existisse umaJ-classe regularK ′ deT tal queK ′π ⊆ J , então

teríamos necessariamenteK = K ′.

Proposição 3.6.SejamS eT semigrupos finitos,J umaJ-classe regular deS e

π : T ։ S umI-morfismo sobrejectivo. SejaK a únicaJ-classe regular deT tal

queKπ ⊆ J . EntãoK é um subsemigrupo deT se e só seJ é um subsemigrupo

Demonstração.A Proposição 3.5 diz-nos queKπ = J . Logo, seK for um subse-

migrupo deT entãoJ é um subsemigrupo deS.

Para provarmos o recíproco, suponhamos queJ é subsemigrupo deS. Sejam

s, t ∈ K e mostremos quest ∈ K. Ora,sπ, tπ ∈ Kπ = J e, sendo assim, obtemos

(st)π = sπtπ ∈ J . LogosπJ(st)π e, comos é regular, pela Proposição 3.3 vem

s ≤J st. Masst ≤J s. LogosJst e, portanto,st ∈ K.

3.2 O produto de Malcev Im©DV

Dada umaS-variedadeV, vamos provar queIm©DV é a classe dos semigrupos

finitosS cujasD-classes regulares são subsemigrupos deS e estão emV.

Proposição 3.7.SejamS e T semigrupos finitos eπ : T ։ S um I-morfismo

sobrejectivo. SeS ∈ DS, então cadaJ-classeK regular deT é um subsemigrupo

deT isomorfo aKπ.

Demonstração.É consequência das Proposição 3.5 e 3.6 e do facto dosI-morfismos

serem injectivos no conjunto dos elementos regulares.

Proposição 3.8.SejaV umaS-variedade. EntãoIm©DV = DV.

Demonstração.TemosDV ⊆ Im©DV, como foi mencionado na Secção 1.7.

A inclusãoIm©DV ⊆ DV resulta do facto deIm©DV ser gerada pela classe dos

semigrupos finitosT para os quais existe umI-morfismo sobrejectivo deT para

algum semigrupoS deDV e da aplicação da Proposição 3.7.

Observemos que embora tenhamos provado queIm©DV = DV, dadoS ∈ DV,

de um modo geral não se temIm©S ≃ S. Por exemplo, todo o grupo finito não

trivial está emDS e, no entanto,Im©G e G não são isomorfos, como vimos na

Proposição 2.7.

3.3 O produto de Malcev Im©W, com W ⊆ LG

SejamA um alfabeto infinito numerável eW umaS-variedade. Seja

ΣW = {u ∈ A+ | a identidade de semigrupou2 = u é satisfeita porW}.

Observamos que podemos terΣW = ∅, por exemplo se tomarmosW = G.

Denotamos porΣW = 0 o conjunto de identidades{u = 0 | u ∈ ΣW}.

Proposição 3.9.Para qualquerS-variedadeW, temos

Nil ∩ [[ΣW = 0]] ⊆ Im©W.

Além disso,Im©W satisfaz as pseudoidentidadesu2 = u satisfeitas porW, com

u ∈ B+, ondeB é um alfabeto finito.

Demonstração.Observe-se que, porNil =⋃n∈N Niln, tem-se

Nil ∩ [[ΣW = 0]] =⋃

(Niln ∩ [[ΣW = 0]]

No parágrafo que se segue, dever-se-á ter em conta a Proposição 1.26 e a obser-

vação em destaque que se lhe segue.

Dadon ∈ N, sejaWn = Niln ∩ [[ΣW = 0]]. Provemos queWn ⊆ Im©W.

SeB é um alfabeto finito entãoFNiln(B) é finito, poisNiln é localmente finita;

comoWn ⊆ Niln, tem-se queFWn(B) é imagem homomorfa deFNiln(B) e, con-

sequentemente, também é finito. LogoFWn(B) ∈ Wn, para todo o alfabeto finito

3.3. O produto de MalcevIm©W, comW ⊆ LG

B, atendendo à segunda parte da observação em destaque mencionada. Como cada

semigrupoS deWn é imagem homomorfa deFWn(B), para qualquer alfabetoB

finito tal que|B| ≥ |S|, basta, então, provar queFWn(B) ∈ Im©W, para todo o

alfabeto finitoB ⊆ A de cardinal maior do quen.

SejaB ⊆ A tal que|B| > n. Vejamos primeiro que

Niln ∩ [[ΣW = 0]] = Niln ∩ [[ΣBW

= 0]],

ondeΣBW

= 0 denota o conjunto{u = 0 | u ∈ ΣW ∩B+}.

É claro queNiln ∩ [[ΣW = 0]] ⊆ Niln ∩ [[ΣBW

= 0]].

Reciprocamente, sejaS ∈ Niln ∩ [[ΣBW

= 0]]. Sejamu ∈ ΣW eϕ : A+ → S

um morfismo. Se|u| ≥ n então, comoS ∈ Niln, temosuϕ = 0. Suponhamos

agora que|u| < n. Sejac(u) = {a1, . . . , am}, comai ∈ A, i ∈ {1, . . . , m}, letras

distintas entre si. Como|B| > n, existemb1, . . . , bm ∈ B, letras distintas entre si.

Deste modo, comoB ⊆ A, existem morfismosα : A+ → A+ e β : A+ → A+

tais queaiα = bi e biβ = ai, para todo oi ∈ {1, . . . , m}. Ora, seu ∈ ΣW

então a identidadeu2 = u é satisfeita porW. Logo a identidadeu2α = uα

também é satisfeita porW. Comouα ∈ B+, vemuα ∈ ΣW ∩ B+. Logo, por

S ∈ [[ΣBW

= 0]], obtemos(uα)βϕ = 0, pelo queuϕ = 0. PortantoS ∈ [[ΣW = 0]].

LogoNiln ∩ [[ΣBW

= 0]] ⊆ Niln ∩ [[ΣW = 0]].

Sendo assim, o semigrupoFWn(B) é, a menos de isomorfismo, o conjunto

N ={u ∈ B+ | |u| < n e nenhum factor deu pertence aΣW

}∪ {0},

com a multiplicação definida por: para todos osu, v ∈ N \ {0},

u · v =

{uv seuv ∈ N \ {0}

0 caso contrário

u · 0 = 0 · u = 0 · 0 = 0

Para cadau ∈ N\{0}, temosu /∈ ΣW; logo a identidadeu2 = u não é satisfeita

porW, pelo que existem um semigrupoSu emW e um morfismoϕu : B+ → Su

tal queu2ϕu 6= uϕu.

Considere-se o semigrupoS = Πu∈N\{0}Su, o qual pertence aW. Tome-se o

morfismoϕ : B+ → S definido porxϕ = (xϕu)u∈N\{0}, para cadax ∈ B+.

Consideremos o morfismo canónicoσ : B+։ N (notemos que seWn não for

trivial, entãoA ∩ ΣW = ∅, pelo quebσ = b, para todo ob ∈ B). Sejaτ = σ−1ϕ.

}}}}{{{{{{{{

⊖ // S

Vejamos queτ é umI-morfismo relacional. Sejame ∈ E(S) e s ∈ eτ−1. Existe

u ∈ B+ tal queuσ = s e uϕ = e. Entãou2ϕ = uϕ, pelo queu /∈ N \{0},

dondes = uσ = 0. Assimeτ−1 ⊆ {0}. Logo τ é umI-morfismo relacional e,

consequentemente, pela definição de produto de Malcev, obtemosN ∈ Im©W.

PortantoWn ⊆ Im©W.

Por fim, dado um alfabeto finitoB, provemos queIm©W satisfaz as pseudoi-

dentidadesu2 = u satisfeitas porW, comu ∈ B+. Relembramos queB+ é o

completado topológico para a métricad definida na Secção 1.5.

Sejau ∈ B+ tal queu2 = u é satisfeita porW. Dado um semigrupoT para

o qual existeS ∈ W e umI-morfismoπ : T ։ S sobrejectivo, tomemos um

morfismoϕ : B+ → T contínuo. PorS eT serem semigrupos finitos, o morfismo

ϕπ é contínuo. Logo, comoS ∈ W, temosu2ϕπ = uϕπ, pelo queuϕπ ∈ E(S).

Uma vez queπ é umI-morfismo, concluímos queu2ϕ = uϕ e, portanto,T satisfaz

a pseudoidentidadeu2 = u.

Em [49], usando métodos profinitos e propriedades de certos morfismos relacio-

nais, Pin e Weil caracterizam o produto de Malcev de duas quaisquerS-variedades

de semigrupos [semigrupos ordenados] e apresentam também adescrição de um

conjunto de pseudoidentidades que o definem.

A partir de agora vamos considerarS-variedades de semigrupos localmente gru-

Proposição 3.10.Tem-seIm©LG = LG.

Demonstração.Como referimos na Secção 1.7, a inclusãoLG ⊆ Im©LG verifica-

se. Reciprocamente, sejaT um semigrupo finito para o qual existeS ∈ LG e um

I-morfismoπ : T ։ S sobrejectivo. SendoK o ideal minimal deT , sabemos que

K é umaJ -classe regular deT e queKπ é o ideal minimal deS e, por isso, uma

J -classe regular deS. Uma vez que, pela Proposição 1.19,E(S) ⊆ Kπ, obtemos

E(T ) ⊆ K, pela Proposição 3.5. Logo, atendendo novamente à Proposição 1.19,

concluímos queT ∈ LG.

EntãoIm©LG ⊆ LG e, portanto,Im©LG = LG.

Tal como observámos no final da secção anterior, emboraIm©LG = LG, não

se verificaIm©S ≃ S, para todo oS ∈ LG. O caso de um grupo finito não trivial

serve também para exemplificar este facto.

Teorema 3.11.Para qualquerS-variedadeW tal queW ⊆ LG, temos

Im©W = W ∨ (Nil ∩ [[ΣW = 0]]).

Demonstração.SejaW umaS-variedade tal queW ⊆ LG.

SejaT um semigrupo finito para o qual existe umI-morfismoπ : T ։ S

sobrejectivo, ondeS ∈ W. Pela Proposição 3.10, tambémT ∈ LG. SejaK o

ideal minimal deT e consideremos o morfismo canónicoα : T ։ T/K. Então

T/K ∈ Nil e como, pela Proposição 3.4,π é injectivo emK, a aplicação deT em

S × (T/K), que a cadat ∈ T faz corresponder(tπ, tα), é um morfismo injectivo.

Porπ ser umI-morfismo, é claro que seS satisfaz uma identidadeu2 = u sobre

A, entãoT também a satisfaz. LogoT/K ∈ Nil ∩ [[ΣW = 0]].

PortantoT ∈ W ∨ (Nil ∩ [[ΣW = 0]]).

Podemos concluir, então, queIm©W ⊆ W ∨ (Nil ∩ [[ΣW = 0]]).

A outra inclusão obtém-se do facto deW ⊆ Im©W e da Proposição 3.9.

SeW for umaS-variedade contida emLG, entãoW ⊆ DW. Logo, das Pro-

posiões 3.8 e 3.10 deduzimos queIm©W ⊆ LG∩DW. Esta inclusão diz-nos que

os semigrupos deIm©W pertencem aLG e que os seus ideais minimais pertencem

Teorema 3.12.SejamS um semigrupo finito eW umaS-variedade de semigrupos

unipotentes não trivial. As afirmações seguintes são equivalentes:

(a) S ∈ Im©W;

(b) S ∈ W ∨(Nil ∩ [[ΣW = 0]]

(c) S é tal que:

(i) S tem um único idempotente;

(ii) O ideal minimal deS pertence aW;

(iii) S satisfaz as identidadesu2 = u sobreA satisfeitas porW.

(d) O ideal minimalI deS pertence aW eS/I pertence aNil ∩ [[ΣW = 0]].

Demonstração.Pelo Teorema 3.11, temos(a) equivalente a(b).

É uma questão de rotina verificar que a classe dos semigrupos finitos que satis-

fazem(c) é umaS-variedade; chamemos-lheV.

É claro que tanto os semigrupos deW como os semigrupos deNil∩ [[ΣW = 0]]

satisfazem(i), (ii) e (iii), logoW ∨(Nil ∩ [[ΣW = 0]]

)⊆ V. Assim,(b) implica

Suponhamos agora queS satisfaz(c) e provemos queS satisfaz as condições de

SejaI o ideal minimal deS. Por (ii), I ∈ W e, por(i), S/I é nilpotente.

O facto deS verificar (iii) implica queS/I também verifica(iii). EntãoS/I

satisfaz as identidadesu = 0, comu ∈ ΣW, ou sejaS/I ∈ [[ΣW = 0]]. Logo

S/I ∈ Nil ∩ [[ΣW = 0]].

Por fim, suponhamos(d) e provemos(b). EntãoI tem um único idempotente,

digamose, e, consequentemente é um grupo com identidadee. Deste modo, a

aplicaçãoS → I×(S/I), que a cadas ∈ S faz corresponder(se, [s]∼I), é injectiva,

pelo queS ∈ W ∨(Nil ∩ [[ΣW = 0]]

No caso em queW é umaS-variedade de grupos,ΣW é o conjunto das palavras

u ∈ A+ tais que a identidadeu = 1 é satisfeita porW. É claro que umaS-

variedadeW de grupos satisfaz uma identidade da formau = 1, comu ∈ A+, se

e só seW satisfaz uma identidade da formaxk = 1, ondex ∈ A ek ∈ N.

SejaΠ um conjunto não vazio de números naturais primos. Dizemos que um

grupoG finito é umΠ-grupo se os factores primos da ordem de cada elemento

deG estão emΠ. Isto é equivalente, pelos teoremas de Sylow [54], aos factores

primos da ordem deG pertencerem aΠ. A classe dosΠ-grupos forma umaS-

variedade e é denotada porGΠ. SeΠ é o conjunto de todos os números naturais

primos entãoG = GΠ. Sep for um número primo,Gp denotaG{p}.

Podemos agora tirar conclusões, algumas delas já conhecidas [26, 27, 28].

Corolário 3.13. SeW for umaS-variedade de semigrupos localmente grupos que

contenhaGcom ∩Gp, para algum número primop, entãoIm©W = W ∨Nil.

Demonstração.Recordamos queGcom é aS-variedade dos grupos finitos comu-

tativos.

SeW for uma forS-variedade de semigrupos localmente grupos que contenha

Gcom ∩Gp, para algum número primop, então os grupos cíclicos de ordempn,

com n ∈ N, pertencem aW. Por isso,W não satisfaz nenhuma identidade da

formau = 1, comu ∈ A+. Logo, o conjuntoΣW é vazio e, consequentemente,

vem[[ΣW = 0]] = S. Portanto, pelo Teorema 3.11, temosIm©W = W ∨Nil.

SejaGnil aS-variedade dos grupos nilpotentes finitos e sejaGsol aS-variedade

dos grupos finitos solúveis. Como não vamos desenvolver maisteoria sobre estas

classes particulares de grupos, optamos por não definir estes grupos, mas indica-

mos [54] como bibliografia específica. Visto queGcom ⊆ Gnil ⊆ Gsol, o

Corolário 3.13 também se aplica aGnil e aGsol.

SeΠ é um conjunto não vazio de números naturais primos, entãoGp ⊆ GΠ,

para algum número primop, pelo que o Corolário 3.13 é ainda válido paraGΠ.

Destacamos a seguir o caso deGΠ = G.

Corolário 3.14. TemosIm©G = G ∨Nil = IE.

Demonstração.A primeira igualdade resulta, como já dissemos, do Corolário 3.13.

Claramente,G ∨Nil ⊆ IE, ondeIE, recorde-se, é aS-variedade dos semigrupos

finitos unipotentes.

SejaS ∈ IE. EntãoS é um semigrupo unipotente, pelo que o seu ideal minimal

é um grupo. LogoS verifica a condição(c) do Teorema 3.12 aplicado aW = G,

donde concluímos queS pertence aIm©G.

Portanto,Im©G = G ∨Nil = IE.

Consideremos aS-variedadeCS dos semigrupos simples. Pelo Corolário 3.13,

temos tambémIm©CS = CS ∨Nil.

Proposição 3.15.SejaW umaS-variedade contida emCS. EntãoIm©W é gerada

pela classe dos semigrupos finitosT para os quais existe umI-morfismo deT para

o seu ideal minimalK, tendo-seK ∈ W.

Demonstração.SejaT ∈ Im©W. Tomemosπ : T ։ S um I-morfismo sobre-

jectivo, ondeT é um semigrupo finito eS ∈ W. SendoK o ideal minimal de

T , entãoKπ é o ideal minimal deS. LogoKπ = S, uma vez queW ⊆ CS.

Pela injectividade deπ nos regulares, concluímos queK ≃ S. PortantoK ∈ W e

existe umI-morfismo sobrejectivo deT paraK.

O recíproco é imediato atendendo à definição de produto de Malcev.

QuandoW = CS, a última proposição admite o seguinte corolário.

Corolário 3.16. AS-variedadeIm©CS é gerada pela classe dos semigrupos finitos

T para os quais existe umI-morfismo sobrejectivo deT para o seu ideal minimal.

determinada por I

Este capítulo é dedicado particularmente à expansão de Malcev determinada pela

variedadeI. As definições, as notações e os resultados da Secção 1.9 serão neces-

sários aqui.

Iniciamos este capítulo com uma secção preliminar onde enunciamos conceitos

e resultados sobre combinatória nas palavras fundamentaispara a Secção 4.2 e,

mais tarde, para as Secções 5.2 e 5.3.

Um algoritmo para calcular a expansão de Malcev de um semigrupo finito de-

terminada porI será apresentado na Secção 4.2. Dado um semigrupoA-gerado

(S, ϕ) finito, comA finito, construimos um autómato finito, completo, determi-

nista e acessívelA I(S) sobreA cujo semigrupo de transiçãoS(A I(S)

)admite

Im©S como imagem homomorfa. De um modo geral,S(A I(S)

)é “maior” do que

Im©S. O Teorema 4.26 estabelece uma condição necessária e suficiente para que

Im©S eS(A I(S)

)sejam isomorfos.

Na Secção 4.3, dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ) e uma linguagemL deA+,

definimos duas congruênciasθϕ(L) e ρϕ(L) sobreA+ que determinam expansões

de semigruposA-gerados que se comportam, em certos aspectos, como a expansão

de Malcev determinada porI. Em particular, quandoL = E(S)ϕ−1, estas con-

gruências contêm a congruência associada à definição deIm©S, tendo-se a sequên-

cia de morfismos de semigruposA-geradosIm©S ։ A+/ρϕ(L) ։ A+/θϕ(L). Na

Secção 4.4, como corolário do Teorema 4.48, mostramos que, se S for um semi-

grupo finito localmente grupo ou um semigrupo finito para o qual os idempotentes

formam um subsemigrupo, as expansões encontradas na Secção4.3 coincidem com

Im©S, quando consideramosL = E(S)ϕ−1. Vamos ver também que a descrição

4. A expansão de Malcev determinada porI

deIm©S pode ser simplificada quandoS é um semigrupo finito localmente grupo

ou um semigrupo finito para o qual os idempotentes formam um ideal.

4.1 Preliminares

Os conceitos e resultados sobre combinatória nas palavras que enunciamos de se-

guida são cruciais na Secção 4.2 e nas Secções 5.2 e 5.3 do capítulo seguinte.

SejamA um alfabeto finito,S um semigrupo finito eϕ : A+։ S um morfismo

sobrejectivo.

Sejak um número natural. Dizemos que uma palavraw ∈ A+ é k-potência

para ϕ sew = w1w2 . . . wk, comwi ∈ A+ e w1ϕ = w2ϕ = · · · = wkϕ. A

w1, w2, · · · , wk damos o nome decomponentes dew (relativamente à factorização

w = w1w2 . . . wk). Se adicionarmos a condição|w1| = |w2| = · · · = |wk|, dizemos

quew é umak-potência uniforme paraϕ .

O morfismoϕ diz-seuniformemente repetitivose, para cadak ∈ N, existeℓ ∈ N

tal que cada palavraw ∈ A+, com|w| = ℓ, contém um factork-potência uniforme

paraϕ .

Teorema 4.1(Teorema 4.2.2 de [39]). SejamA um alfabeto finito eS um semi-

grupo finito. Então todo o morfismo sobrejectivoϕ : A+։ S é uniformemente

repetitivo.

Corolário 4.2 (Exercício 4.2.2 de [39]). Sejaϕ : A+։ S um morfismo sobrejec-

tivo, ondeA é um alfabeto finito eS um semigrupo finito. Então, para cadak ∈ N,

toda a palavra suficientemente comprida contém um factork-potência uniforme

paraϕ cujas componentes têm o mesmo idempotente deS como imagem porϕ.

Demonstração.Sejan ∈ N tal quesn ∈ E(S), para todo os ∈ S.

Sejak ∈ N. Pelo Teorema 4.1, existeℓ ∈ N tal que toda a palavraw ∈ A+, com

|w| = ℓ, admite um factorkn-potência uniforme paraϕ. Ou seja, dadow ∈ A+,

com |w| = ℓ, existe um factoru dew tal que

u = u1u2 . . . unun+1un+2 . . . u2n . . . u(k−1)nu(k−1)n+1 . . . u(k−1)n+n−1ukn,

4.2. Um algoritmo

com ui ∈ A+, i ∈ {1, . . . , kn}, u1ϕ = u2ϕ = · · · = unϕ = · · · = uknϕ e

|u1| = |u2| = · · · = |un| = · · · = |ukn|.

Tomemosw1 = u1u2 . . . un,

w2 = un+1un+2 . . . u2n,...

wk = u(k−1)n+1u(k−1)n+2 . . . ukn.

Entãow1ϕ = w2ϕ = · · · = wkϕ = (u1ϕ)n ∈ E(S) , |w1| = |w2| = · · · = |wk| e

u = w1w2 . . . wk. Logou é umak-potência uniforme paraϕ cuja imagem das suas

componentes porϕ é o mesmo idempotente deS.

4.2 Um algoritmo

Recordamos ser necessário ter presente as definições, as notações e os resultados

da Secção 1.9, tais como, por exemplo, a definição de autómatofinito, completo,

determinista e acessível e as notações de maior prefixo próprio p(u), de maior

sufixo próprios(u), de letra iniciali(u), e de letra finalt(u) de uma palavrau ∈ A+.

Dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito, comA finito, vamos determinar

de forma algorítmica um semigrupo que contenha um conjunto de representan-

tes da congruência associada à definição deIm©S e do qualIm©S seja imagem

homomorfa. Para tal, consideramos uma ordem total emA, depois ordenamos

as palavras deA∗ pelo comprimento e, dentro de cada comprimento, ordenamo-

las lexicograficamente. O semigrupo a determinar será o semigrupo de transição

de um autómato finito, completo, determinista e acessível sobreA. Os estados

desse autómato serão palavras deA∗ que incluem a palavra vaziaǫ. A ideia sub-

jacente consiste em que, para cada caminho com estado inicial ǫ, estado finalq e

etiquetau ∈ A+, se tenhaq menor ou igual queu (para a ordem fixada emA∗) e

(q)Im©S = (u)Im©S. A escolha dos estados e das transições desse autómato basear-

se-á na análise das palavras deA∗ seguindo a ordem estabelecida e será feita da

seguinte maneira:

1) escolhe-se a palavra vazia;

2) escolhem-se as letrasa cuja imagem porϕ não seja idempotente e as tran-

siçõesǫa−→ a. Para cada letraa tal queaϕ seja idempotente, escolhe-se a

menor letrab tal quebϕ = aϕ e escolhe-se a transiçãoǫa−→ b;

3) dada uma palavrau tal que|u| ≥ 2 e tal quep(u) já tenha sido escolhida,

3.1) seuϕ for idempotente, escolhe-se a menor palavrav tal quevϕ = uϕ

e escolhe-se a transiçãop(u)t(u)−−→ v;

3.2) seuϕ não for idempotente, prosseguimos do seguinte modo:

3.2.1) ses(u) já tiver sido escolhida, escolhe-se tambému e escolhe-se a

transiçãop(u)t(u)−−→ u;

3.2.2) caso contrário, consideram-se os caminhosǫs(u)−−→ p e ǫ

i(u)p−−→ q e

escolhe-se a transiçãop(u)t(u)−−→ q.

O algoritmo será dividido em duas partes. A primeira parte doalgoritmo con-

sistirá na construção do autómato finitoA I que acabámos de descrever e na se-

gunda parte mostrar-se-á que a expansão de Malcev determinada pela variedade

trivial é, de um modo geral, um quociente próprio do semigrupo de transição

S(A I) e apresentar-se-á uma condição necessária e suficiente paraque se tenha

Im©S ≃ S(A I).

Parte I

Seja(A,≤) um alfabeto finito totalmente ordenado. Consideramos emA∗ aordem

shortlex≤sl : dadosu, v ∈ A∗,

u ≤sl v ⇐⇒

|u| ≤ |v|

|u| = |v| =⇒

u = wau′ ev = wbv′, ondew ∈ A∗,

a, b ∈ A, coma < b, eu′, v′ ∈ A∗

Então,A∗ com esta ordem também é um conjunto bem ordenado, sendo esta ordem

compatível com o produto à direita e à esquerda.

4.2. Um algoritmo

SejamS um semigrupo finito eϕ : A+։ S um morfismo sobrejectivo. Defini-

mosQ =⋃n∈N0

Qn, onde

Q0 = {ǫ}

Q1 = Q0 ∪{x ∈ A : xϕ ∈ E(S) e ∀a ∈ A (a <sl x⇒ aϕ 6= xϕ)

∪{x ∈ A : xϕ /∈ E(S)

e, para cadan ∈ N,

Qn+1 = Qn ∪{q ∈ A+ : p(q) ∈ Qn, qϕ ∈ E(S) e

∀q′ ∈ Qn ∪QnA(ǫ 6= q′ <sl q ⇒ q′ϕ 6= qϕ

∪{q ∈ A+ : p(q) ∈ Qn\{ǫ}, qϕ /∈ E(S) e s(q) ∈ Qn

DefinimosE =⋃n∈N0

En, onde

E0 = ∅

E1 = E0 ∪{(ǫ, x, y) : x ∈ A, y ∈ Q1\{ǫ} e xϕ = yϕ ∈ E(S)

∪{(ǫ, x, x) : x ∈ A e xϕ /∈ E(S)

En+1 = En ∪ E(1)n+1 ∪ E

(2)n+1 ∪ E

(3)n+1,

E(1)n+1 =

{(q, x, qx) : q ∈ Qn, x ∈ A, qx ∈ Qn+1

E(2)n+1 =

{(q, x, q′) : q ∈ Qn, x ∈ A, q′ ∈ Qn+1\{ǫ}, q

′ <sl qx e

q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S)}

E(3)n+1 =

{(q, x, q′) : q ∈ Qn\{ǫ}, x ∈ A, q′ ∈ Qn+1\{ǫ}, (qx)ϕ /∈ E(S),

existep ∈ Qn\{ǫ} tal quep <sl s(qx), existem(ǫ, a1, p1),

(p1, a2, p2), . . . , (pk−1, ak, p) emEn tais quea1a2 . . . ak = s(qx)

e existem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) ∈ En tais

queb1b2 . . . br = i(qx)p}.

Observemos que, para cadan ∈ N0, temos

Qn ⊆ Qn+1 e Qn+1 ⊆ Qn ∪QnA

En ⊆ En+1 e En+1 ⊆ Qn ×A×Qn+1

logo,E ⊆ Q×A×Q. Além disso, para todo o(q, x, q′) ∈ E, tem-seq′ 6= ǫ.

SejaA I(S) =(Q,A,E, ǫ, ∅

). Com o objectivo de mostrar que o autómato

A I(S) é finito, completo, determinista e acessível, vamos provar uma série de

propriedades relativas aos conjuntosQ eE.

Lema 4.3. Para todo on ∈ N0 e para todo oq ∈ Q,

(a) seq ∈ Qn então|q| ≤ n;

(b) se|q| = n entãoq ∈ Qn.

Demonstração.A alínea(a) é imediata por um raciocínio simples de indução.

Provemos então(b), também por indução.

Sejaq ∈ Q.

Se|q| = 0 entãoq = ǫ e, logo,q ∈ Q0.

Se |q| = 1 entãoq ∈ A. Seqϕ /∈ E(S) entãoq ∈ Q1, por definição. Se

qϕ ∈ E(S) então, por construção,q está emQ1, poisq ∈ Q.

Suponhamos agora que|q| = n + 1, comn ≥ 1, e que a condição(b) é válida

para todos os elementos deQ de comprimenton.

Como|q| ≥ 2 eQ =⋃m∈N0

Qm, existek ∈ N tal queq ∈ Qk+1\Qk. Logop(q)

pertence aQk. Como|p(q)| = n, a hipótese de indução garante quep(q) ∈ Qn.

Logo, seqϕ ∈ E(S), temos necessariamentek ≤ n, pelo queq ∈ Qn+1, por

Qk+1 ⊆ Qn+1. Se qϕ /∈ E(S) entãos(q) ∈ Qk e, por |s(q)| = n, obtemos

s(q) ∈ Qn, por hipótese de indução. Logo, por construção, também neste caso

obtemosq ∈ Qn+1.

Corolário 4.4. Dadosq ∈ Q en ∈ N0, temos

(a) q ∈ Qn se e só se|q| ≤ n;

(b) q ∈ Qn+1\Qn se e só se|q| = n+ 1;

(c) sep(q) ∈ Qn entãoq ∈ Qn+1;

4.2. Um algoritmo

(d) sen ≥ 1 entãoQn+1 ⊆ Qn ∪ (Qn\Qn−1)A.

Lema 4.5. Para todo on ∈ N0, seq ∈ Qn entãoPref(q) ⊆ Qn.

Demonstração.Seq ∈ Q0 entãoq = ǫ e, logo, Pref(q) = {ǫ} ⊆ Q0.

Sen ∈ N0 entãoQn+1 ⊆ Qn ∪QnA, pelo que podemos concluir o resultado por

um simples processo de indução.

Lema 4.6. Sejamp ∈ A∗ e q = a1a2 . . . an ∈ A+, comai ∈ A, para cada

i ∈ {1, . . . , n}. Sepq ∈ Q então

(p, a1, pa1), (pa1, a2, pa1a2), . . . , (pa1a2 . . . an−1, an, pq) ∈ E.

Demonstração.Por indução no comprimento deq, o resultado é imediato, tendo

em conta o Lema 4.5.

Lema 4.7. Se(q, x, q′) ∈ E entãoq′ ≤sl qx.

Demonstração.ComoE =⋃n∈NEn, a demonstração será efectudada por indu-

ção.

Se(q, x, q′) ∈ E1 então, por definição, temosq = ǫ e q′ ≤sl x = qx.

Sejan ∈ N e suponhamos que o resultado é verdadeiro para todas as transições

emEn e que(q, x, q′) ∈ En+1.

Se(q, x, q′) ∈ En então, por hipótese de indução, obtemosq′ ≤sl qx.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)n+1 ∪ E

(2)n+1 então, por definição, temosq′ ≤sl qx.

Suponhamos que(q, x, q′) ∈ E(3)n+1. Então existep ∈ Qn\{ǫ} tal quep <sl s(qx)

e existem(ǫ, b1, p1), . . . , (pr−1, br, q′) ∈ En tais queb1 . . . br = i(qx)p. Logo, por

hipótese de indução e pelo facto da ordemshortlexser compatível com o produto,

q′ ≤sl pr−1br ≤sl pr−2br−1br ≤sl · · · ≤sl b1 . . . br = i(qx)p <sl i(qx)s(qx) = qx.

Corolário 4.8. Se(q0, a1, q1), (q1, a2, q2), . . . , (qn−1, an, qn) ∈ E então

qn ≤sl q0a1a2 . . . an.

Lema 4.9. Para todo o(q, x, q′) ∈ E, se|q| = n então(q, x, q′) ∈ En+1\En.

Demonstração.Seja(q, x, q′) ∈ E tal que|q| = n. Então(q, x, q′) ∈ Em, para

algumm ∈ N. Provemos o resultado por indução emN.

Pelo Lema 4.7, temosq′ ≤sl qx. Logo |q′| ≤ |qx|. Temos tambémq′ 6= ǫ.

Sem = 1 entãon = 0 e (q, x, q′) ∈ E1\E0.

Suponhamos quem > 1 e, como hipótese de indução, admitamos que, para todo

o (p, y, p′) ∈ Em−1 tal que|p| ≤ n, se tem(p, y, p′) ∈ E|p|+1\E|p|.

Suponhamos quen = 0. Entãoq = ǫ; logo,(q, x, q′) ∈ Em−1 ∪ E(1)m ∪ E

(2)m .

Se(q, x, q′) ∈ Em−1 então, por hipótese de indução, vem(q, x, q′) ∈ E1\E0.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)m entãoq′ = qx = x, pelo que(q, x, q′) ∈ E1\E0.

Se(q, x, q′) ∈ E(2)m entãoǫ 6= q′ <sl qx = x e q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S). Logo

q′ ∈ A; donde, pelo Corolário 4.4, vemq′ ∈ Q1. Portanto(q, x, q′) ∈ E1\E0.

Suponhamos agora quen ≥ 1. Pelo Corolário 4.4, sabemos queq ∈ Qn\Qn−1.

ComoEn ⊆ Qn−1 × A×Qn, deduzimos que(q, x, q′) /∈ En.

Se(q, x, q′) ∈ Em−1 então(q, x, q′) ∈ En+1\En, por hipótese de indução.

Admitamos que(q, x, q′) ∈ E(1)m ∪ E(2)

m ∪ E(3)m .

Ora, |q′| ≤ |qx| = n + 1, pelo queq′ ∈ Qn+1, atendendo ao Corolário 4.4.

Assim, se(q, x, q′) ∈ E(1)m ∪ E

(2)m então(q, x, q′) ∈ E

(1)n+1 ∪ E

(2)n+1.

Suponhamos que(q, x, q′) ∈ E(3)m . Então(qx)ϕ /∈ E(S), existep ∈ Qm−1 tal

queǫ 6= p <sl s(qx), existem(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pn−1, an, p) emEm−1 tais

quea1a2 . . . an = s(qx) e existem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) emEm−1

tais queb1b2 . . . br = i(qx)p. Pelo Corolário 4.8, vem

q′ ≤sl b1b2 . . . br = i(qx)p,

qi ≤sl b1b2 . . . bi ≤sl b1 . . . br = i(qx)p,

p ≤sl a1 . . . an

pj ≤sl a1 . . . aj ,

onde i ∈ {1, . . . , r − 1} e j ∈ {1, . . . , n − 1}. Logo |pj| < n e |qi| ≤ n.

Assim, novamente por hipótese de indução, obtemos(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . ,

(pn−1, an, p), (ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) ∈ En e, como|p| ≤ |q| = n,

pelo Corolário 4.4, temosp ∈ Qn. Logo(q, x, q′) ∈ E(3)n+1.

4.2. Um algoritmo

Lema 4.10.Seja(q, x, q′) ∈ E. Então,qx ∈ Q se e só seqx = q′.

Demonstração.Sejan ∈ N0 tal que(q, x, q′) ∈ En+1. Entãoq ∈ Qn e x ∈ A.

Supondo queqx ∈ Q, provemos o resultado por indução emN0.

Se(q, x, q′) ∈ E1 entãoq = ǫ, q′ ∈ Q1 e qx = x. Pelo Corolário 4.4,x ∈ Q1.

Logo, atendendo às definições deE1 eQ1, obtemosq′ = x = qx.

Suponhamos, agora, quen ≥ 1 e admitamos, como hipótese de indução, que,

para todo o(p, y, p′) ∈ En tal quepy ∈ Q, se tempy = p′.

Se(q, x, q′) ∈ En então, por hipótese de indução, temosq′ = qx.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)n+1 entãoq′ = qx, pela definição deE(1)

Se(q, x, q′) ∈ E(2)n+1 entãoq′ <sl qx eq′ϕ = (qx)ϕ e, por conseguinte, atendendo

à definição deQ|qx|, concluímos o absurdoqx /∈ Q. Portanto(q, x, q′) /∈ E(2)n+1.

Suponhamos, também com vista a um absurdo, que(q, x, q′) ∈ E(3)n+1. Então,

por definição, sabemos que(qx)ϕ /∈ E(S), existep ∈ Qn\{ǫ} tal quep <sl s(qx)

e existem(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pk−1, ak, p) ∈ En coma1a2 . . . ak = s(qx).

Comoqx ∈ Q, pela definição deQ|qx|, temoss(qx) ∈ Q. Pelo Lema 4.5, sabe-

mos que Pref(s(qx)

)⊆ Q. Logo, por hipótese de indução, obtemosp1 = a1 e,

sucessivamente,p2 = a1a2, . . . , p = a1 . . . ak = s(qx), o que é absurdo. Portanto

(q, x, q′) /∈ E(3)n+1.

O recíproco é óbvio.

Lema 4.11.Sejae ∈ E(S) e sejam = min≤sl(eϕ−1). EntãoFact(m) ⊆ Q.

Demonstração.Por indução no conjunto Fact(m) com a ordem≤sl.

Temosǫ ∈ Q0.

Sejax ∈ Fact(m) ∩ A. Tomamosm = m′xm′′, comm′, m′′ ∈ A∗. Sexϕ

não é idempotente, entãox ∈ Q1. Suponhamos quexϕ ∈ E(S). Sex /∈ Q1,

então existea ∈ A tal quea <sl x e aϕ = xϕ. Logom′am′′ <sl m′xm′′ = m e

(m′am′′)ϕ = (m′xm′′)ϕ = mϕ = e, uma contradição. Portantox ∈ Q1.

Sejaw ∈ Fact(m) tal que|w| ≥ 2 e suponhamos, como hipótese de indução,

que Fact(m) ∩ {u ∈ A∗ | u <sl w} ⊆ Q.

Tomamosm = m′wm′′, comm′, m′′ ∈ A∗, ew = qx, comq ∈ A+ e x ∈ A.

Comoq ∈ Fact(m) ∩ {u ∈ A∗ | u <sl w}, por hipótese de indução, temosq ∈ Q.

Sejan = |q| − 1. Então|q| = n + 1 e q ∈ Qn+1\Qn, pelo Corolário 4.4.

Admitamos que(qx)ϕ ∈ E(S). Se existeq′ ∈ (Qn+1 ∪ Qn+1A)\{ǫ} tal que

q′ <sl qx e q′ϕ = (qx)ϕ, entãoe = mϕ = (m′qxm′′)ϕ = (m′q′m′′)ϕ, tendo-se

m′q′m′′ <sl m′qxm′′ = m em′qm′′ ∈ A+, novamente uma contradição. Logo

w = qx ∈ Qn+2.

Suponhamos que(qx)ϕ /∈ E(S). Comos(qx) <sl qx = w e s(qx) ∈ Fact(m),

da hipótese de indução vems(qx) ∈ Q. De |s(qx)| = n + 1, temoss(qx) ∈ Qn+1,

pelo Lema 4.3. Logow = qx ∈ Qn+2.

Portanto Fact(m) ⊆ Q.

Lema 4.12.Sejaq ∈ A+ tal queqϕ ∈ E(S). Então

q ∈ Q se e só se q = min≤sl(qϕ)ϕ−1.

Demonstração.Suponhamos queq ∈ Q. Sejam = min≤sl(qϕ)ϕ−1. Temos então

mϕ = qϕ em ≤sl q.

Seq ∈ A entãoq ∈ Q1 \Q0, m ∈ A e, para todo oa ∈ A, sea <sl q então

aϕ 6= qϕ. Logom = q.

Suponhamos que|q| ≥ 2. Sejan = |q| − 1. Pelo Lema 4.11, sabemos que

m ∈ Q. Por|q| = n+1 eq ∈ Q, o Corolário 4.4 garante queq ∈ Qn+1\Qn. Como

|m| ≤ |q| = n+1, temos do mesmo modom ∈ Qn+1. Logom ∈ Qn ∪QnA, uma

vez queQn+1 ⊆ Qn ∪QnA. Comoqϕ ∈ E(S) e q ∈ Qn+1\Qn, temos

∀q′ ∈ Qn ∪QnA (ǫ 6= q′ <sl q ⇒ q′ϕ 6= qϕ).

Dem ∈ Qn∪QnA, ǫ 6= m ≤sl q e mϕ = qϕ, podemos assim deduzir quem ≮sl q,

pelo quem = q.

O recíproco é consequência imediata do Lema 4.11.

Lema 4.13.Sejamq ∈ Q, q′ ∈ A+ ex ∈ A tais que(qx)ϕ ∈ E(S). Então,

(q, x, q′) ∈ E se e só se q′ = min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1.

Demonstração.Se(q, x, q′) ∈ E entãoq′ ∈ Q.

Se qx ∈ Q então, pelo Lema 4.10, temosq′ = qx e, pelo Lema 4.12, vem

qx = min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1.

Seqx /∈ Q então, comoq′ϕ = (qx)ϕ, obtemosq′ = min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1, pelo

Lema 4.12.

4.2. Um algoritmo

Portanto, se(q, x, q′) ∈ E entãoq′ = min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1.

Reciprocamente, suponhamos queq′ = min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1. Entãoq′ ≤sl qx e,

atendendo ao Lema 4.12, temosq′ ∈ Q. Portanto(q, x, q′) ∈ E|q|+1 ⊆ E.

Lema 4.14.Para todo oq ∈ Q, tem-seFact(q) ⊆ Q.

Demonstração.Para cadau ∈ A∗, temos Fact(u) =⋃v∈ Pref(u)Suf(v). Assim,

atendendo ao Lema 4.5, concluímos o resultado se provarmos que, para todo o

q ∈ Q, Suf(q) ⊆ Q. Façamo-lo por indução no comprimento deq.

Se|q| ≤ 1, é óbvio que Suf(q) ⊆ Q.

Sejaq ∈ Q tal que |q| ≥ 2 e suponhamos, como hipótese de indução, que

Suf(p) ⊆ Q, para qualquerp ∈ Q tal que|p| < |q|.

Pelo Corolário 4.4, temosq ∈ Q|q| \Q|q|−1. Deste modo, da definição deQ|q|

resulta, por um lado, que seqϕ /∈ E(S), entãos(q) ∈ Q|q|−1, pelo que, por hipótese

de indução, Suf(q) = {q} ∪ Suf(s(q)

)⊆ Q; por outro lado, seqϕ ∈ E(S), então

Suf(q) ⊆ Q, pelo Lema 4.12 e pelo Lema 4.11 conjuntamente.

Portanto Suf(q) ⊆ Q, para qualquerq ∈ Q.

Proposição 4.15.O conjuntoQ é finito.

Demonstração.Suponhamos com vista a um absurdo queQ não é finito. Então

pelo Corolário 4.2, existe umq ∈ Q que admite um factoru = u1u2 ∈ A+

2-potência uniforme paraϕ, ondeu1, u2 ∈ A+ e u1ϕ = u2ϕ ∈ E(S). Pelo

Lema 4.14, temosu1, u ∈ Q. Entãou1 <sl u e uϕ = u1ϕ ∈ E(S), o que é uma

contradição pelo Lema 4.12. PortantoQ é finito.

Proposição 4.16.O autómatoA I(S) é completo e determinista.

Demonstração.Sejamq ∈ Q e x ∈ A. Queremos mostrar que existe um único

q′ ∈ Q tal que(q, x, q′) ∈ E. Provemos o resultado por indução transfinita emQA,

considerando a ordem≤sl.

Suponhamos queq ∈ Q0. Entãoq = ǫ.

Sexϕ ∈ E(S) e y = min≤sl(xϕ)ϕ−1 ∈ A, então, pelo Lema 4.13, existe uma

única transição deA I(S) com origemǫ e etiquetax.

Sexϕ /∈ E(S) então, por definição,(ǫ, x, x) ∈ E1 ⊆ E. Sejaq′ ∈ Q tal que

(ǫ, x, q′) ∈ E. Pelo Lema 4.9, temos(ǫ, x, q′) ∈ E1. Logo, comoxϕ /∈ E(S),

temos necessariamenteq′ = x.

Suponhamos agora que, para todo op ∈ Q ey ∈ A tal quepy <sl qx, existe em

A I(S) uma única transição de origemp e etiquetay. Suponhamos que|qx| ≥ 2

e sejan = |q| − 1. Pelo Corolário 4.4, sabemos queq ∈ Qn+1 \Qn. Temos

|qx| = n + 2.

Seqx ∈ Q, pelo Corolário 4.4 vemqx ∈ Qn+2. Sendo assim, por definição,

(q, x, qx) ∈ E(1)n+2 ⊆ E. Sejaq′ ∈ Q tal que(q, x, q′) ∈ E. Então, do Lema 4.10

resulta queq′ = qx.

Suponhamos agora queqx /∈ Q.

Se(qx)ϕ ∈ E(S) então, pelo Lema 4.13, existe uma única transição deA I(S)

com origemq e etiquetax.

Se (qx)ϕ /∈ E(S) entãoqx /∈ Qn+2 e, como|qx| ≥ 2, tambéms(qx) /∈ Q.

Além disso, |s(qx)| = |q| = n + 1. Escrevamoss(qx) = a1 . . . an+1, com

a1, . . . , an+1 ∈ A. Por hipótese de indução, existe um e um sóp1 ∈ Q tal que

(ǫ, a1, p1) ∈ E. Pelo Lema 4.7, temosp1 ≤sl ǫa1 = a1 e, por isso,p1a2 ≤sl

a1a2 <sl qx. Logo, por hipótese de indução, existe um e um sóp2 ∈ Q tal que

(p1, a2, p2) ∈ E. Novamente pelo Lema 4.7, obtemosp2 ≤sl p1a2 ≤sl a1a2

e, consequentemente,p2a3 ≤sl a1a2a3 <sl qx. Aplicando sucessiva e conjunta-

mente a hipótese de indução e o Lema 4.7, vamos obterp3, . . . , pn+1 ∈ Q tais que

(p2, a3, p3), . . . , (pn, an+1, pn+1) ∈ E, compk+1 ≤sl pkak+1 ≤sl a1a2 . . . akak+1,

para todo ok ∈ {2, . . . , n}. Logo pk ≤sl a1a2 . . . ak, parak ∈ {1, . . . , n+ 1}.

Em particular, temos|pn| ≤ n e |pn+1| ≤ n + 1. Portanto, pelo Corolário 4.4,

pn ∈ Qn \{ǫ} e pn+1 ∈ Qn+1\{ǫ}. Mais ainda,pn+1 <sl s(qx), pois caso con-

trário teríamoss(qx) = pn+1 ∈ Q. Observemos também que, pelo Lema 4.9 e

pelo facto deEi ⊆ Ei+1 (i ∈ N), vem (ǫ, a1, p1), . . . , (pn, an+1, pn+1) ∈ En+1.

Pelo Lema 4.14, temosa1 . . . an = s(q) ∈ Q, donde, pelo Lema 4.6, tem-se

p1 = a1, p2 = a1a2, . . . , pn = a1 . . . an. Tomamos agorai(qx)pn+1 = b1 . . . br,

com b1, . . . , br ∈ A. Note-se quei(qx)pn+1 <sl i(qx)s(qx) = qx. Por hipótese

de indução, existe um e um sóq1 ∈ Q tal que(ǫ, b1, q1) ∈ E. Pelo Lema 4.7,

temosq1 ≤sl ǫb1 = b1 <sl qx, pelo queq1b2 ≤sl b1b2 <sl qx. Logo, por hipótese

4.2. Um algoritmo

de indução, existe um e um sóq2 ∈ Q tal que(q1, b2, q2) ∈ E. Novamente, pelo

Lema 4.7, vemq2 ≤sl q1b2 ≤sl b1b2 <sl qx. Aplicando sucessiva e conjuntamente a

hipótese de indução e o Lema 4.7, vamos obter elementosq3, . . . , qr ∈ Q tais que

(q2, b3, q3), . . . , (qr−1, br, qr) ∈ E e

q1 ≤sl b1

q2 ≤sl q1b2 ≤sl b1b2...

qr−1 ≤sl qr−2br−1 ≤sl b1b2 . . . br−1

Então|q1| ≤ |b1|, |q2| ≤ |b1b2|, . . . , |qr−1| ≤ |b1 . . . br−1| < |b1 . . . br| ≤ n + 2.

Logo, pelo Lema 4.9 e pelo facto deEi ⊆ Ei+1 (i ∈ N0), vem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2),

. . . , (qr−1, br, qr) ∈ En+2. Concluímos que(q, x, qr) ∈ E(3)n+3 ⊆ E, atendendo

à definição deE(3)n+3. Observemos que, pondop0 = q0 = ǫ, por hipótese de

indução, para todo ok ∈ {0, . . . , n}, pk+1 é o único elemento deQ que sa-

tisfaz (pk, ak+1, pk+1) ∈ E e, do mesmo modo, para todo oj ∈ {0, . . . , r − 1},

qj+1 ∈ Q é o único elemento deQ que satisfaz(qj, bj+1, qj+1) ∈ E. Logo, aten-

dendo à definição deE(3)n+3 e ao Lema 4.9,qr é o único elemento deQ tal que

(q, x, qr) ∈ E.

Atendendo a este último resultado, podemos considerar a função transição

δ : Q× A∗ → Q, (q, u) 7→ (q, u)δ,

associada ao autómatoA I(S).

Proposição 4.17.Para quaisquerq ∈ Q eu ∈ A∗, temos

(a) (q, u)δ ≤sl qu;

(b) (q, u)δ = qu se e só sequ ∈ Q. Em particular, temos

(ǫ, u)δ = u se e só se u ∈ Q.

Demonstração.A alínea(a) é o Corolário 4.8, agora noutra notação.

A implicação directa da alínea(b) é imediata e o recíproco é consequência do

Lema 4.6.

Notemos que, pela Proposição 4.17, o autómatoA I(S) é acessível.

Proposição 4.18.Para quaisquerq ∈ Q e u ∈ A+, tem-se((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Em particular,((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ.

Demonstração.Consideremos, primeiro, o caso em queq ∈ Q eu ∈ A+ são tais

quequ ∈ A. Entãoq = ǫ eu ∈ A.

Seuϕ /∈ E(S) entãou ∈ Q1; logo, pela Proposição 4.17, temos(ǫ, u)δ = u,

pelo que((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ.

Seuϕ ∈ E(S) então, pelo Lema 4.13, temos(ǫ, u)δ = min≤sl(uϕ)ϕ−1; por-

tanto,((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ.

Continuemos agora a demonstração por indução. Sejamq ∈ Q e u ∈ A+ tais

que|qu| ≥ 2 e suponhamos, como hipótese de indução, que((p, v)δ

)ϕ = (pv)ϕ,

para quaisquerp ∈ Q ev ∈ A+ tais quepv <sl qu.

Observamos que(q, u)δ =(q′, t(u)

)δ, ondeq′ =

(q, p(u)

)δ. Sep(u) = ǫ então

u = t(u) ∈ A e, logo,q 6= ǫ. Nesse caso, temos

q′ =(q, p(u)

)δ = q e q′ϕ = qϕ =

(q p(u)

Sep(u) 6= ǫ, a hipótese de indução assegura que

q′ϕ =((q, p(u)

)δ)ϕ =

(q p(u)

Logo, verifica-se sempre(qu)ϕ =(q p(u)t(u)

(q′t(u)

Se(qu) ∈ Q então, pela Proposição 4.17, temos((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Suponhamos agora que(qu) /∈ Q.

Se(qu)ϕ ∈ E(S), sejam = min≤sl

((qu)ϕ

)ϕ−1. Pelo Lema 4.13, temos

(q, u)δ =(q′, t(u)

)δ = min≤sl

((q′t(u)

)ϕ)ϕ−1 = m,

pelo que((q, u)δ

)ϕ = mϕ = (qu)ϕ.

Se(qu)ϕ /∈ E(S) e q′t(u) ∈ Q então, pela Proposição 4.17, vem

((q, u)δ

((q′, t(u)

)δ)ϕ =

(q′t(u)

)ϕ = (qu)ϕ.

Se(qu)ϕ /∈ E(S) e q′t(u) /∈ Q então, pela Proposição 4.17, temos

(q′, t(u)

)δ <sl q

′t(u) ≤sl q p(u)t(u) = qu.

4.2. Um algoritmo

Note-se queq′ =(q, p(u)

)δ 6= ǫ. Pelo Lema 4.14,i(q′), s(q′) ∈ Q. Uma vez que,

pelo Lema 4.9,(q′, t(u),

(q′, t(u)

)δ)∈ E

(3)|q′|+1, temos

(q′, t(u)

(ǫ, i

(q′t(u)

)(ǫ, s

(q′t(u)

e(ǫ, s

(q′t(u)

))δ <sl s

(q′t(u)

). Ora,

(ǫ, s

(q′t(u)

))δ =

(ǫ, s(q′)t(u)

=((ǫ, s(q′)

)δ, t(u)

=(s(q′), t(u)

)δ (pela Proposição 4.17)

Então(q′, t(u)

(ǫ, i(q′)

(s(q′), t(u)

)δ)δ =

(i(q′),

(s(q′), t(u)

)δ)δ, onde a

última igualdade é dada pela Proposição 4.17, e(s(q′), t(u)

)δ <sl s(q′)t(u). Sendo

assim,

i(q′)(s(q′), t(u)

)δ <sl i(q′)s(q′)t(u) = q′t(u) ≤sl qu e s(q′)t(u) <sl q

′t(u) ≤sl qu.

Por hipótese de indução, obtemos((q′, t(u)

)δ)ϕ =

((i(q′),

(s(q′), t(u)

)δ)δ

i(q′)(s(q′), t(u)

)δ)ϕ

=(i(q′)s(q′)t(u)

=(q′t(u)

Logo((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Proposição 4.19.Seq ∈ Q eu ∈ A∗ são tais quequ ∈ A+ e(qu)ϕ ∈ E(S), então

(q, u)δ = min≤sl

((qu)ϕ

)ϕ−1.

Demonstração.Sejamq ∈ Q eu ∈ A∗ tais quequ ∈ A+ e (qu)ϕ ∈ E(S).

Seu = ǫ então(q, u)δ = q = min≤sl

((qu)ϕ

)ϕ−1, pelo Lema 4.12.

Seu ∈ A+ então(q, u)δ =(q, p(u)t(u)

((q, p(u)

)δ, t(u)

)δ. Pela Proposi-

ção 4.18, temos

((q, p(u)

)δt(u)

((q, p(u)

)δ)ϕ(t(u)

=(qp(u)

)ϕ(t(u)

= (qu)ϕ ∈ E(S).

Logo, o Lema 4.13 assegura que((q, p(u)

)δ, t(u)

)δ = min≤sl

((qu)ϕ

)ϕ−1.

Os resultados anteriores permitem caracterizar a acção direita deA sobreQ do

modo seguinte: dadox ∈ A,

(ǫ, x)δ =

x se xϕ /∈ E(S)

min≤sl(xϕ)ϕ−1 se xϕ ∈ E(S)

x se x ∈ Q

min≤sl(xϕ)ϕ−1 se xϕ ∈ E(S)

e, paraq ∈ Q\{ǫ},

(q, x)δ =

qx se qx ∈ Q

min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1 se (qx)ϕ ∈ E(S)

(i(q),

(s(q), x

)δ)δ se qx /∈ Q e (qx)ϕ /∈ E(S)

Notamos que, pelo Lema 4.12, para cadae ∈ E(S), existe um únicoq ∈ Q\{ǫ}

tal queqϕ = e, ou seja,|Q ∩ eϕ−1| = 1.

Seja agoraq ∈ Q\{ǫ} e tomemosx ∈ A. Entãoi(q), s(q) ∈ Q, pelo Lema 4.14.

Seqx ∈ Q então, também pelo Lema 4.14, temoss(q)x = s(qx) ∈ Q e, pela

Proposição 4.17,(q, x)δ = qx e(

i(q),(s(q), x

)δ)δ =

(i(q), s(q)x

)δ = i(q)s(q)x = qx.

Logo (q, x)δ =(

i(q),(s(q), x

)δ)δ.

Suponhamos que(qx)ϕ ∈ E(S). Pela Proposição 4.18, obtemos

4.2. Um algoritmo

((i(q),

(s(q), x

)δ)δ)ϕ =

(s(q), x

)δ)ϕ

=(i(q)

s(q), x)δ)ϕ

=(i(q)

)ϕ(s(q)x

= (qx)ϕ ∈ E(S).

Então a Proposição 4.19 permite-nos deduzir que

(q, x)δ = min≤sl

((qx)ϕ

)ϕ−1 =

(i(q),

(s(q), x

)δ)δ.

Podemos agora concluir que, para quaisquerq ∈ Q\ {ǫ} e x ∈ A, temos a

igualdade seguinte:

(q, x)δ =(

i(q),(s(q), x

)δ)δ.

Parte II

SejaS(A I(S)

)o semigrupo de transição do autómatoA I(S). PorA I(S) ser

finito, tambémS(A I(S)

)é finito.

Exemplo. SejaS o semigrupo gerado por{a, b, c}, sujeito às relações:

a2 = a3 = a2b = ba = ac = cba,

b = b2 = bc,

a = ca,

c = c2.

É fácil verificar que este semigrupo é finito. O autómatoA I(S) é o seguinte, onde∗ assinala os estados que emS são idempotentes:

ab ca∗cb

b, c ab

a, b, c

a, c ba

a b, c

Neste caso,Im©S ≃ S(A I(S)

)e o grafo associado ao autómatoA I(S) é o

grafo de Cayley deIm©S.

Este exemplo levanta naturalmente a questão de o semigrupo de transição de

A I(S) ser, a menos de isomorfismo, sempre a expansão de Malcev deS determi-

nada pela variedadeI. Veremos que a resposta é negativa. No entanto, termina-

remos esta secção apresentando uma condição necessária e suficiente para que se

tenhaS(A I(S)

)≃ Im©S.

Proposição 4.20.Para todo ou ∈ A+, tem-se(u)Im©S =((ǫ, u)δ

)Im©S

Demonstração.Sejau ∈ A+.

Consideramos, primeiro, o caso em que|u| = 1. Seuϕ ∈ E(S) então, pela

Proposição 4.18, temos((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ ∈ E(S). Logo, por definição deIm©S,

obtemos(u)Im©S =((ǫ, u)δ

)Im©S

. Seuϕ /∈ E(S) entãou ∈ Q1, donde, pela

Proposição 4.17, sabemos que(ǫ, u)δ = u. Portanto(u)Im©S =((ǫ, u)δ

)Im©S

Suponhamos agora que|u| ≥ 2 e admitamos, como hipótese de indução, que,

para todas as palavrasv ∈ A+, sev <sl u então(v)Im©S =((ǫ, v)δ

)Im©S

. Observe-

se que, pela Proposição 4.18, temos((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ.

Seu ∈ Q, atendendo à Proposição 4.17 sabemos que(ǫ, u)δ = u; logo(u)Im©S =((ǫ, u)δ

)Im©S

Suponhamos queu /∈ Q. Novamente pela Proposição 4.17, temos(ǫ, u)δ <sl u.

4.2. Um algoritmo

Se((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ ∈ E(S) então(u)Im©S =

((ǫ, u)δ

)Im©S

, pela definição de

Im©S.

Seuϕ /∈ E(S) então

(ǫ, u)δ =((ǫ, p(u)

)δ, t(u)

(ǫ,(ǫ, p(u)

)δt(u)

e, por hipótese de indução, temos((ǫ, p(u)

)δ)Im©S

=(p(u)

)Im©S

Se(ǫ, p(u)

)δt(u) ∈ Q então, pela Proposição 4.17, tem-se

(ǫ,(ǫ, p(u)

)δt(u)

(ǫ, p(u)

)δt(u).

Logo ((ǫ, u)δ

)Im©S

((ǫ,(ǫ, p(u)

)δt(u)

=((ǫ, p(u)

)δt(u)

)Im©S

=(p(u)t(u)

)Im©S

= (u)Im©S.

Se(ǫ, p(u)

)δt(u) /∈ Q, sejav =

(ǫ, p(u)

)δt(u). Entãos(v) /∈ Q, pela definição

deQ. Sendo assim, pela Proposição 4.17, temos(ǫ, v)δ <sl v ≤sl p(u)t(u) = u e(ǫ, s(v)

)δ <sl s(v). Logo i(v)

(ǫ, s(v)

)δ <sl i(v)s(v) = v ≤sl u e, por definição de

E, temos((ǫ, p(u)

)δ, t(u)

(ǫ, i(v)

(ǫ, s(v)

)δ)δ. Deste modo, por hipótese de

indução, concluímos que

((ǫ, u)δ

)Im©S

(((ǫ, p(u)

)δ, t(u)

((ǫ, i(v)

(ǫ, s(v)

)δ)δ

i(v)(ǫ, s(v)

)δ)Im©S

=(i(v)s(v)

)Im©S

= (v)Im©S

=((ǫ, p(u)

)δt(u)

)Im©S

=(p(u)t(u)

)Im©S

= (u)Im©S.

Proposição 4.21.Existe um morfismo sobrejectivoγ deS(A I(S)

)paraIm©S tal

que o diagrama seguinte comuta:

( )Im©S

"" ""EEE

yyyytttttttttt

S(A I(S)

) γ // //_______ Im©S

Demonstração.Sejamu, v ∈ A+ tais queu = v. Então(ǫ, u)δ = (ǫ, v)δ. Logo,

pela Proposição 4.20, vem(u)Im©S = (v)Im©S.

O próximo exemplo mostra-nos que de um modo geralIm©S 6≃ S(A I(S)

Exemplo. SejaS =⟨a, b | a2 = b = b2

⟩, o qual tem o seguinte grafo de Cayley,

onde∗ denota os estados que são idempotentes deS:

O autómatoA I(S) que se obtém é o seguinte, onde∗ indica os estados que são

idempotentes deS:

4.2. Um algoritmo

Ora, no semigrupo de transiçãoS(A I(S)

)tem-seab 6= ba; no entanto, como

emS temosa2 = b ∈ E(S), obtemosab = a3 = ba emIm©S. Logo o mor-

fismoγ : S(A I(S)

)։ Im©S da Proposição 4.21 não é injectivo e, portanto,

|S(A I(S)

)| > |Im©S|, uma vez queS

(A I(S)

)e Im©S são finitos eγ sobrejec-

Relembramos queIm©S é definida pela apresentação de semigrupo〈A |RS〉,

ondeRS ={u = v | u, v ∈ A+ euϕ = vϕ ∈ E(S)

}. O enunciado seguinte, que

é uma consequência das Proposições 2.6 e 4.21, diz-nos queIm©S pode ser cal-

culado a partir do semigrupo finitoS(A I(S)

)(que por sua vez também pode ser

calculado) tomando um quociente por uma congruência definida de forma similar

aR♯S.

Corolário 4.22. TemosIm©S ≃ S(A I(S)

)/θ, ondeθ é a congruência gerada por

{(u, v) | u, v ∈ A+ euϕ = vϕ ∈ E(S)

Coloca-se agora a questão de saber em que condições a expansão de Malcev

Im©S coincide, a menos de isomorfismo, com o semigrupo de transiçãoS(A I(S)

Lema 4.23.Seq, q′ ∈ Q\{ǫ} são tais queq 6= q′ entãoq 6= q′.

Demonstração.Sejamq, q′ ∈ Q\{ǫ} tais queq 6= q′.

Então, pela Proposição 4.17, temos(ǫ, q)δ = q 6= q′ = (ǫ, q′)δ. Logoq 6= q′.

Existe, então, uma aplicação injectiva deQ \ {ǫ} em S(A I(S)

)que a cada

q ∈ Q\{ǫ} faz corresponderq.

Proposição 4.24.Para todo ox ∈ A, tem-sex = (ǫ, x)δ.

Demonstração.Sejax ∈ A. Por indução emQ, provemos que, para todo oq ∈ Q,

(q, x)δ =(q, (ǫ, x)δ

Pela Proposição 4.17, temos(ǫ, (ǫ, x)δ

)δ = (ǫ, x)δ.

Sejaq ∈ Q e suponhamos, como hipótese de indução, que(p, x)δ =(p, (ǫ, x)δ

sempre quep ∈ Q ep <sl q.

Pelo que foi observado anteriormente, sabemos que(q, x)δ =(

i(q),(s(q), x

)δ)δ

e, uma vez que(ǫ, x)δ ∈ A, também(q, (ǫ, x)δ

(i(q),

(s(q), (ǫ, x)δ

)δ)δ.

Comos(q) ∈ Q e s(q) <sl q, obtemos(s(q), x

(s(q), (ǫ, x)δ

)δ, por hipótese

de indução. Logo(q, x)δ =(q, (ǫ, x)δ

Esta proposição permite concluir queS(A I(S)

⟨(ǫ, x)δ | x ∈ A

⟩. Recor-

damos que, dadox ∈ A, temos(ǫ, x)δ = x no caso dexϕ /∈ E(S) e, no caso de

xϕ ∈ E(S), temos(ǫ, x)δ = min≤sl(xϕ)ϕ−1.

Proposição 4.25.Se|Q\{ǫ}| = |S(A I(S)

)| então:

(a) S(A I(S)

{q : q ∈ Q\{ǫ}

(b) Para todo ou ∈ A+, tem-seu = (ǫ, u)δ;

(c) Existe umI-morfismoη de S(A I(S)

)para S tal que o seguinte diagrama

comuta:

�� ???

yyyytttttttttt

S(A I(S)

) η // //_______ S

Demonstração.A alínea(a) obtém-se da nossa hipótese e do Lema 4.23.

Seja agorau ∈ A+. Pela alínea(a), sejaq ∈ Q\{ǫ} tal queu = q. Então

(ǫ, u)δ = (ǫ, q)δ = q, pela Proposição 4.17. Logo(ǫ, u)δ = q = u.

Provemos, por fim, a alínea(c). Consideremos o morfismoγ da Proposição 4.21

e o morfismo canónicoπS deIm©S emS. Tomemosη = γπS : S(A I(A)

)։ S.

É claro queη faz comutar o diagrama. Vejamos queη é umI-morfismo.

Sejamu, v ∈ A+ tais queuϕ = vϕ ∈ E(S). Então, pela Proposição 4.19, temos

(ǫ, u)δ = (ǫ, v)δ. Logo, por(b), obtemosu = v. Portantoη é umI-morfismo.

Teorema 4.26.SejamA um alfabeto finito e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado finito.

Então,Im©S ≃ S(A I(S)

)se e só se|Q\{ǫ}| = |S

(A I(S)

Demonstração.Suponhamos queIm©S ≃ S(A I(S)

). Então o morfismoγ da

Proposição 4.21 é um isomorfismo. Sejaf : S(A I(S)

)→ Q\{ǫ} a aplicação tal

queuf = (ǫ, u)δ, para cadau ∈ A+. Esta aplicação é sobrejectiva, uma vez que,

pela Proposição 4.17, temos(ǫ, q)δ = q, para todo oq ∈ Q. Sejamu, v ∈ A+ tais

que(ǫ, u)δ = (ǫ, v)δ. Então, pela Proposição 4.20, vem(u)Im©S = (v)Im©S. Logo

u = v, pela injectividade deγ. Concluímos assim quef também é injectiva.

4.2. Um algoritmo

Portanto|Q\{ǫ}| = |S(A I(S)

O recíproco resulta das Proposições 4.21 e 4.25 e da propriedade universal da

expansão de Malcev.

O processo de, a partir do semigrupoA-gerado(S, ϕ), comA finito, obter o

autómatoA I(S) e, depois, o semigrupo de transiçãoS(A I(S)

)e o quociente

S(A I(S)

)/θ do Corolário 4.22 dá-nos assim um algoritmo para calcularIm©S. A

toma deǫ como estado inicial deA I(S), neste trabalho é uma questão meramente

técnica, servindo apenas para salientar que o algoritmo inicia com a palavra vazia.

Para o efeito, poderia ter sido tomado simplesmente o grafo(Q,A,E) associado a

A I(S).

O algoritmo que apresentámos é implementável na linguagem de programação

GAP (Groups, Algorithms, Programming – a System for Computational Discrete

Algebra), [19]. A página que se segue é referente à descriçãoformal do algoritmo;

a sua implementação em GAP pode ser consultada no Anexo A.

input : Q = {ǫ}, A e (S, ϕ)

output: Im©S

for q ∈ Q ex ∈ A do

considerar a concatenaçãoqx;

if (qx)ϕ ∈ E(S) then

if ∃q′ ∈ Q\{ǫ} tal queq′ <sl qx e q′ϕ = (qx)ϕ thendefinir (q, x)δ = q′

elseadicionarqx aQ e definir(q, x)δ = qx

if |qx| = 1 thenadicionarqx aQ e definir(q, x)δ = qx

if s(qx) /∈ Q then

definir (q, x)δ =(ǫ, i(qx)

(ǫ, s(qx)

)δ)δ

considerar o autómatoA I(S) = (Q,A, δ, ǫ, ∅);

considerarS(A I(S)

if∣∣S(A I(S)

)∣∣ = |Q| − 1 thenreturn S

(A I(S)

considerarθ = {(u, v) | u, v ∈ A+ euϕ = vϕ ∈ E(S)}♯;

return S(A I(S)

Algoritmo 1: Algoritmo para calcularIm©S

4.3. Uma congruência

4.3 Uma congruência

SejamA um alfabeto e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado.

SejaL uma linguagem sobreA tal queL ⊆ A+. Dizemos que uma palavrau

deA+ éL-reduzidaseu evitarL, ou seja, se Fact(u) ∩ L = ∅. Representamos o

conjunto das palavrasL-reduzidas por Red(L). Representamos também o conjunto

A+ \ Red(L) por NRed(L). Observemos que se tem Red(L) = A+ \ A∗LA∗ e

NRed(L) = A∗LA∗.

DefinimosZ(L) como sendo o menor dos subconjuntosX deA+ que satisfazem

o seguinte:

1) L ⊆ X;

2) para quaisqueru, w ∈ A∗ ev ∈ A+,(uv, vw ∈ X ⇒ uvw ∈ X

DefinimosWϕ(L) como sendo o menor dos subconjuntosX deA+ que verifi-

cam as condições seguintes:

1) L ⊆ X;

2) para quaisqueru, w ∈ A∗ ev ∈ A+,(uv, vw ∈ X ⇒ uvw ∈ X

3) para quaisquerx, y ∈ X tais quexϕ = yϕ e para quaisqueru, v ∈ A∗,

uxv ∈ X ⇒ uyv ∈ X.

Notamos que tantoZ(L) comoWϕ(L) existem, uma vez queA+ satisfaz as condi-

ções1), 2) e3) e a intersecção de uma qualquer família não vazia de subconjuntos

deA+ que satisfaçam1) e2) [1), 2) e3)] ainda satisfaz1) e2) [1), 2) e3)].

Observemos que a condição3) é equivalente a kerϕ ∩ (X ×X) ⊆∼X , em que

∼X é a congruência sintáctica deX definida na Secção 1.9. Torna-se evidente que

Wϕ(L) ⊆ NRed(L) e tem-se claramenteZ(L) ⊆Wϕ(L).

A uma sequência(u1, u2, . . . , un) de palavras deA∗, onden ∈ N, chamamos

factorização. Seu = u1u2 . . . un, dizemos que(u1, u2, . . . , un) é umafactorização

deu. Ao número naturaln chamamoscomprimentoda factorização.

No que segue daremos uma atenção especial às factorizações de comprimento

ímpar(u0, x1, u1, . . . , xn, un), onden ∈ N0.

Consideramos a seguinte condição relativa às factorizações da forma(u0, x, u1),

ondeu0, u1, x ∈ A∗:

(C) x ∈ Wϕ(L) e, para quaisquery ∈ Suf(u0) e z ∈ Pref(u1),

yxz ∈ Wϕ(L) ⇒ y = z = ǫ.

Para cadai ∈ N, consideramos também a condição seguinte relativa a todas as

factorizações de comprimento ímpar(u0, x1, u1, . . . , xn, un):

(Ci) Sen ≥ i então a factorização(u0x1u1 . . . xi−1ui−1, xi, uixi+1ui+1 . . . xnun)

satisfaz(C).

Então, por definição, temos que(u0, x1, u1, . . . , xn, un) satisfaz(Cn+1), (Cn+2), . . .

e as factorizações de comprimento um satisfazem(Ci), para todo oi ∈ N.

Lema 4.27.Temos:

(a) Dadas palavrasu, w ∈ A∗ e uma factorização(v0, x, v1), se a factorização

(uv0, x, v1w) satisfizer(C) então a factorização(v0, x, v1) também satisfaz

(b) Sejam(u0, x, u1) e (v0, y, v1) factorizações de uma mesma palavra que satis-

fazem(C). Seu0, v0 ∈ Red(L)∪{ǫ} ouu1, v1 ∈ Red(L)∪{ǫ}, entãou0 = v0,

x = y eu1 = v1.

(c) Sejau = (u0, x1, u1, x2, u2) uma factorização. Seu e (u1, x2, u2) satisfizerem

(C1) entãou satisfaz(C2).

Dualmente, seu satisfizer(C2) e (u0, x1, u1) satisfizer(C1), entãou satisfaz

Demonstração.A alínea(a) é imediata.

Provemos(b). Suponhamos queu0, v0 ∈ Red(L)∪{ǫ}. Com vista a um absurdo,

admitamos queu0 é diferente dev0. Então uma destas palavras é prefixo próprio

da outra. Sem perda de generalidade, assumamos quev0 é prefixo próprio deu0.

Temosu0 6= ǫ, poisv0 é prefixo próprio deu0, e, uma vez queu0 ∈ Red(L)

e y ∈ Wϕ(L) ⊆ NRed(L), a palavray não é factor deu0. Sejamy′, y′′ ∈ A+

tais queu0 = v0y′ e y = y′y′′. Entãoxu1 = y′′v1. Como(u0, x, u1) satisfaz

(C) e y ∈ Wϕ(L), necessariamentex = y′′v′1 e v1 = v′1u1, para algumv′1 ∈ A+.

Temos agoray′y′′ = y ∈ Wϕ(L), y′′v′1 = x ∈ Wϕ(L) e y′′ ∈ A+, pelo que

y′y′′v′1 ∈ Wϕ(L), o que contradiz o facto de(v0, y, v1) satisfazer(C). Portanto

u0 = v0.

Entãoxu1 = yv1 e, como(u0, x, u1) e (v0, y, v1) satisfazem(C), vemx = y,

pelo que obtemos tambému1 = v1.

A parte restante prova-se de forma dual.

Provemos a alínea(c). Suponhamos queu = (u0, x1, u1, x2, u2) e (u1, x2, u2)

satisfazem(C1). Entãox1, x2 ∈ Wϕ(L).

Sejamy ∈ Suf(u0x1u1) e z ∈ Pref(u2) tais queyx2z ∈ Wϕ(L). Deduz-se das

hipóteses que a palavrax1 não pode ser factor da palavray.

Suponhamos quex1 = x′1x′′1 ey = x′′1u1, para certosx′1, x

′′1 ∈ A+. Uma vez que

x′1x′′1 = x1 ∈ Wϕ(L) ex′′1u1x2z = yx2z ∈ Wϕ(L), obtemosx1u1x2z ∈ Wϕ(L), o

que é absurdo, poisu satisfaz(C1).

Logoy ∈ Suf(u1). Como(u1, x2, u2) satisfaz(C), concluímos quey = z = ǫ.

Portantou satisfaz(C2).

De forma análoga se prova o segundo parágrafo de(c).

Dizemos que uma factorização da forma(u0, x1, u1, . . . , xn, un), onden ∈ N0,

é L-especialseu0, u1, . . . , un ∈ Red(L) ∪ {ǫ} e satisfizer(C1), (C2), . . . , (Cn).

Todas as factorizações de comprimento1 da forma(u), com u ∈ Red(L), são

L-especiais.

Proposição 4.28.Toda a palavra deA+ admite uma única factorizaçãoL-especial.

Demonstração.Comecemos por provar a existência de uma factorizaçãoL-especial

para cada palavrau ∈ A+.

Seu ∈ Red(L) então(u) é factorizaçãoL-especial deu.

Suponhamos queu ∈ NRed(L) e provemos a existência por indução no compri-

mento deu.

Se|u| = 1 entãou ∈ L e, logo,(ǫ, u, ǫ) é uma factorizaçãoL-especial deu.

Suponhamos que|u| > 1 e admitamos, como hipótese de indução, que toda a

palavrav ∈ A+ tal que|v| < |u| admite uma factorizaçãoL-especial.

Consideremos o caso em queu admite um sufixo emWϕ(L). Sejau′ ∈ A+ o

maior sufixo deu emWϕ(L). Temosu = xu′, para um certox ∈ A∗.

Seu = u′ então(ǫ, u, ǫ) é uma factorizaçãoL-especial.

Suponhamos queu′ é um sufixo próprio deu, isto éx 6= ǫ. Sex ∈ Red(L) então

(x, u′, ǫ) satisfaz(C1), pela condição deu′ ser o maior sufixo deu emWϕ(L). Logo

(x, u′, ǫ) é uma factorizaçãoL-especial deu. Sex ∈ NRed(L) então, por hipótese

de indução,x admite uma factorizaçãoL-especial(v0, x1, v1, . . . , xn, vn). Como

u′ é o maior sufixo deu emWϕ(L), a factorização(x, u′, ǫ) satisfaz(C1). Logo,

para cadai ∈ {1, . . . , n} a factorização(v0x1v1 . . . vi−1, xi, vi . . . xnvn, u′, ǫ) satis-

faz (C2). Por hipótese, sabemos que(v0x1v1 . . . vi−1, xi, vi . . . xnvn) satisfaz(C1).

Logo, pela alínea(c) do Lema 4.27, temos que(v0x1v1 . . . vi−1, xi, vi . . . xnvn, u′, ǫ)

satisfaz(C1). Portanto(v0, x1, v1, . . . , xn, vn, u′, ǫ) satisfaz(C1), . . . , (Cn+1), pelo

que é uma factorizaçãoL-especial deu.

Seu não admite nenhum sufixo emWϕ(L), então todos os factores deu em

Wϕ(L) são factores deu′, ondeu = u′a, comu′ ∈ A+ e a ∈ A. Por hipótese de

indução, existe uma factorizaçãoL-especial(v0, x1, v1, . . . , xn, vn) deu′. Então,

por u não admitir sufixos emWϕ(L), necessariamente(v0, x1, v1, . . . , xn, vna) é

uma factorizaçãoL-especial deu.

Portanto, toda a palavrau ∈ A+ admite uma factorizaçãoL-especial.

A unicidade é consequência imediata das alíneas(a) e (b) do Lema 4.27.

Se definirmos condições(C ′) e (C ′i), ondei ∈ N, de forma análoga às con-

dições(C) e (Ci) relativas às factorizações de comprimento ímpar, substituindo

o conjuntoWϕ(L) pelo conjuntoZ(L), obtemos analogamente uma definição de

factorizaçãoL-especial paraZ(L) e os correspondentes aos Lema 4.27 e a Propo-

sição 4.28 também são válidos.

Dizemos que duas factorizações(u0, x1, u1, . . . , xn, un) e(v0, y1, v1, . . . , ym, vm)

sãoϕ-equivalentessen = m, u0 = v0, u1 = v1, . . . , un = vn e x1ϕ = y1ϕ, . . . ,

xnϕ = ynϕ.

Lema 4.29. Sejamu = (u0, x1, u1, . . . , xn, un) e v = (u0, y1, u1, . . . , yn, un) fac-

torizaçõesϕ-equivalentes, onden ∈ N0. Seu satisfaz(C1), . . . , (Cn) e y1, . . . , ynsão elementos deWϕ(L), entãov também satisfaz(C1), . . . , (Cn).

Demonstração.Suponhamos queu satisfaz(C1), . . . , (Cn) ey1, . . . , yn ∈ Wϕ(L).

Sejai ∈ {1, . . . , n}.

Sejamz ∈ Suf(u0y1u1 . . . yi−1ui−1) ew ∈ Pref(uiyi+1 . . . ynun) tais quezyiw

está emWϕ(L). Admitamos que, para algumj ∈ {1, . . . , i − 1}, existeu′j em

Suf(uj) tal quez = u′jyj+1uj+1 . . . yi−1ui−1.

Consideramos, primeiro, o caso em que existeℓ ∈ {i, . . . , n} para o qual existe

u′ℓ ∈ Pref(uℓ) tal quew = uiyi+1ui+1 . . . yℓ−1uℓ−1yℓu′ℓ. Temos assim

zyiw = u′jyj+1uj+1 . . . yi−1ui−1yiuiyi+1ui+1 . . . yℓ−1uℓ−1yℓu′ℓ.

Uma vez quezyiw, xj+1, . . . , xℓ, yj+1, . . . , yℓ ∈ Wϕ(L) eu ev sãoϕ-equivalentes,

pela condição3) da definição deWϕ(L), temosz′xiw′ emWϕ(L), onde se tem

z′ = u′jxj+1uj+1 . . . xi−1ui−1 e w′ = uixi+1ui+1 . . . xℓ−1uℓ−1xℓu′ℓ. O facto deu

satisfazer(Ci) implica quej = i− 1, ℓ = i, z = u′j = ǫ ew = u′ℓ = ǫ.

Consideremos agora o caso em que existeℓ ∈ {i+ 1, . . . , n} e existemy′ℓ ∈ A+

e y′′ℓ ∈ A∗ tais queyℓ = y′ℓy′′ℓ ew = uiyi+1ui+1 . . . yℓ−1uℓ−1y

′ℓ. Assim, obtemos

zyiuiyi+1ui+1 . . . yℓ−1uℓ−1y′ℓ = zyiw ∈ Wϕ(L), y′ℓy

′′ℓ ∈ Wϕ(L) e y′ℓ ∈ A+. Logo

zyiwy′′ℓ = zyiuiyi+1ui+1 . . . yℓ−1uℓ−1yℓ ∈ Wϕ(L), pela condição2) da definição de

Wϕ(L). Tal como no caso anterior, isto implica queℓ = i, o que é absurdo. Logo

este caso não pode ocorrer.

De modo semelhante se prova que também não existej ∈ {1, . . . , i− 1} para o

qual existemy′j ∈ A∗ ey′′j ∈ A+ tais queyj = y′jy′′j ez = y′′jujyj+1uj+1 . . . yi−1ui−1.

Portantov satisfaz(Ci).

Vamos agora considerar emA+ a relação bináriaθϕ(L) definida do seguinte

modo: para quaisqueru, v ∈ A+,

u θϕ(L) v se e só se as factorizaçõesL-especiais deu e dev sãoϕ-equivalentes.

Proposição 4.30.A relação bináriaθϕ(L) é uma congruência emA+, a qual é

gerada por

{(u, v) ∈ Wϕ(L)×Wϕ(L) | uϕ = vϕ}(=

(Wϕ(L)×Wϕ(L)

)∩ kerϕ

Demonstração.Para simplificar a escrita, denotamosθϕ(L) simplesmente porθ.

É facilmente verificável queθ é uma relação de equivalência. Para mostrar que é

compatível com o produto, basta ver que seuθv e a ∈ A, entãoauθav e uaθva.

Sejamu, v ∈ A+ e a ∈ A tais queuθv. Mostramos apenas queauθav, uma vez

que a prova de queuaθva é dual desta.

Sejaf = (u0, x1, u1, . . . , xn, un) a factorizaçãoL-especial deau, comn perten-

cente aN0.

Seu ∈ Red(L), comouθv, temosu = v; logo,au = av.

Suponhamos queu ∈ NRed(L). Entãon ≥ 1, pois, caso contrário, teríamos

au ∈ Red(L), dondeu ∈ Red(L). Vamos considerar dois casos.

Caso 1:u0 = au′0, ondeu′0 ∈ A∗.

Então(u′0, x1, u1, . . . , xn, un) é a factorizaçãoL-especial deu, pela alínea(a)

do Lema 4.27. Comouθv, a factorizaçãoL-especial dev é (u′0, y1, u1, . . . , yn, un),

para certosy1, . . . , yn ∈ Wϕ(L) tais quex1ϕ = y1ϕ, . . . , xnϕ = ynϕ. Deste modo,

atendendo ao Lema 4.29, concluímos que(u0, y1, u1, . . . , yn, un) é a factorização

L-especial deav, que éϕ-equivalente af .

Caso 2:u0 = ǫ.

Entãox1 = ax′1, comx′1 ∈ A∗.

Admitamos quex′1u1 ∈ Red(L) ∪ {ǫ}. Entãon ≥ 2, uma vez que para

n = 1 teríamosu = x′1u1 ∈ Red(L). Além disso,(x′1u1, x2, u2, . . . , xn, un) é

uma factorizaçãoL-especial deu. Logo (x′1u1, y2, u2, . . . , yn, un) é a factoriza-

çãoL-especial dev, ondey2, . . . , yn ∈ Wϕ(L) e x2ϕ = y2ϕ, . . . , xnϕ = ynϕ.

Mais uma vez pelo Lema 4.29, concluímos que a factorizaçãoL-especial deav é

(ǫ, x1, u1, y2, u2, . . . , yn, un), a qual éϕ-equivalente af .

Agora consideremos o caso em quex′1u1 ∈ NRed(L).

Seja(w0, z1, w1, . . . , zk, wk) a factorizaçãoL-especial dex′1u1. Necessariamente

k ≥ 1. Vejamos queu1 ∈ Suf(wk). Comou1 ∈ Red(L)∪{ǫ}, temoszk /∈ Fact(u1).

Suponhamos quezk = z′kz′′k eu1 = z′′kwk, para certosz′k ∈ A+ e z′′k ∈ A∗. Assim,

aw0z1w1 . . . zk−1wk−1z′k = ax′1 = x1 ∈ Wϕ(L), z′kz

′′k = zk ∈ Wϕ(L) e z′k ∈ A+,

pelo quex1z′′k ∈ Wϕ(L). Comoz′′k ∈ Pref(u1) e f satisfaz(C1), temosz′′k = ǫ e,

logo,u1 = wk. Portantou1 ∈ Suf(wk). Tomemoswk = w′ku1, ondew′

k ∈ A∗. Por

(a) e (c) do Lema 4.27, a factorização(w0, z1, w1, . . . , zk, wk, x2, u2, . . . , xn, un)

deu éL-especial. Logo(w0, r1, w1, . . . , rk, wk, y2, u2, . . . , yn, un) é a factorização

L-especial dev, para certosr1, r2, . . . , rk, y2, . . . , yn ∈ Wϕ(L), tendo-se

z1ϕ = r1ϕ, . . . , zkϕ = rkϕ, x2ϕ = y2ϕ, . . . , xnϕ = ynϕ.

Tomemos os elementosy′1 = w0r1w1 . . . rk−1wk−1rkw′k e y1 = ay′1. Uma vez

que se temaw0z1w1 . . . zk−1wk−1zkw′k = ax′1 = x1 ∈ Wϕ(L), da condição3)

da definição deWϕ(L) obtemosy1 = aw0r1w1 . . . rk−1wk−1rkw′k ∈ Wϕ(L). O

Lema 4.29 permite agora concluir que a factorização(ǫ, y1, u1, y2, u2, . . . , yn, un)

deav, que éϕ-equivalente af , éL-especial.

Portantoθ é uma congruência emA+.

Resta mostrar queθ é a congruência emA+ gerada pelo conjuntoX, sendo

X = {(u, v) ∈ Wϕ(L)×Wϕ(L) | uϕ = vϕ}.

Se(u, v) ∈ X então(ǫ, u, ǫ) e (ǫ, v, ǫ) são factorizaçõesL-especiais deu e dev,

respectivamente, as quais sãoϕ-equivalentes. Logo(u, v) ∈ θ. Portanto,X ⊆ θ.

Sejaρ uma congruência emA+ tal queX ⊆ ρ. Seja(u, v) ∈ θ. Consideremos

as factorizaçõesL-especiais deu e dev, respectivamente,(u0, x1, u1, . . . , xn, un)

e (u0, y1, u1, . . . , yn, un). Como estas factorizações sãoϕ-equivalentes, os pares

(x1, y1), . . . , (xn, yn) estão emX; donde(u, v) ∈ ρ. Portantoθ ⊆ ρ.

Logoθ é a congruência emA+ gerada porX.

Note-se que, como cada elementou deWϕ(L) tem (ǫ, u, ǫ) como factorização

L-especial, o seguinte resultado é verdadeiro.

Proposição 4.31.O morfismo canónicoθϕ(L)♮ associado aθϕ(L) reconheceWϕ(L).

Ou equivalentemente,θϕ(L) saturaWϕ(L).

Notamos também a semelhança entre as expressões da relação binária geradora

deθϕ(L) dada na Proposição 4.30 e da relação binária que define a expansãoIm©S,

respectivamente:

{(u, v) ∈ Wϕ(L)×Wϕ(L) | uϕ = vϕ}

{(u, v) ∈ E(S)ϕ−1 × E(S)ϕ−1 | uϕ = vϕ}.

Proposição 4.32.Existe um morfismof : A+/θϕ(L) ։ S sobrejectivo tal que

θϕ(L)♮ ◦ f = ϕ, f é injectivo em

(Wϕ(L)

)θϕ(L)

♮ e seL for reconhecida porϕ,

então(Lθϕ(L)

♮)ff−1 = Lθϕ(L)

Demonstração.Comoθϕ(L) ⊆ kerϕ, existe um morfismof : A+/θϕ(L) ։ S

sobrejectivo tal que o diagrama seguinte comuta:

θϕ(L)♮

yyyytttttttttt

�� @@@

A+/θϕ(L)f // //_______ S

Dadosu, v ∈ Wϕ(L), os ternos(ǫ, u, ǫ) e (ǫ, v, ǫ) são factorizaçõesL-especiais,

pelo que seuϕ = vϕ, entãou θϕ(L) v, ou seja(u)θϕ(L)♮ = (v)θϕ(L)♮. Logof é

injectivo em(Wϕ(L)

)θϕ(L)

SeL for reconhecida porϕ, entãoLϕϕ−1 = L e, comoθϕ(L)♮ ◦ f = ϕ, também(Lθϕ(L)

♮)ff−1 = Lθϕ(L)

Se a linguagemL for da forma NRed(K), isto é,A∗KA∗, para certoK ⊆ A+,

então NRed(L) = NRed(K) = L e, consequentemente, temosWϕ(L) = L, uma

vez queL ⊆ Wϕ(L) ⊆ NRed(L). Neste caso,θϕ(L) pode ser descrita do seguinte

modo: para quaisqueru, v ∈ A+,

u θϕ(L) v se e só seu = v ou (u, v ∈ L euϕ = vϕ).

SeK ⊆ L entãoWϕ(K) ⊆ Wϕ(L), pelo que, atendendo aos conjuntos geradores

deθϕ(K) eθϕ(L) dados pela Proposição 4.30, obtemosθϕ(K) ⊆ θϕ(L).

Tomemos agora um semigrupoT e morfismosψ : A+։ T e α : T ։ S

sobrejectivos tais que o diagrama seguinte comuta:

~~~~|||||||| ϕ

T α // // S

É claro queWψ(L) ⊆Wϕ(L) eθψ(L) ⊆ θϕ(L).

SejaK ⊆ A+ tal queK ⊆ L. Então NRed(K) ⊆ NRed(L) e verifica-se que

Wψ(K) ⊆Wψ(L) ⊆Wϕ(L) eθψ(K) ⊆ θϕ(L).

É claro queWϕ

(Wϕ(L)

)= Wϕ(L).

Podemos concluir agora o seguinte resultado.

Proposição 4.33.FixadoL ⊆ A+, a correspondência que associa a cada semi-

grupoA-gerado(S, ϕ) o semigrupoA-gerado(A+/θϕ(L), θϕ(L)

e o morfismo

f : A+/θϕ(L) ։ S tal queθϕ(L)♮ ◦ f = ϕ define uma expansão na categoria dos

semigruposA-gerados.

Proposição 4.34.TemosWθϕ(L)♮(L) = Wϕ(L) e θθϕ(L)♮(L) = θϕ(L).

Demonstração.Pelo que observámos anteriormente, é claroWθϕ(L)♮(L) ⊆Wϕ(L).

Para provarmos o recíproco, basta ver queWθϕ(L)♮(L) satisfaz a condição3) da

definição deWϕ(L).

Sejamu, v, x, y ∈ A∗ tais queuxv, x, y ∈ Wθϕ(L)♮(L) e xϕ = yϕ. Então

x, y ∈ Wϕ(L), pelo quexθϕ(L)y, o que significa que(x)θϕ(L)♮ = (y)θϕ(L)♮. Por

definição deWθϕ(L)♮(L), temosuyv ∈ Wθϕ(L)♮(L). LogoWϕ(L) ⊆Wθϕ(L)♮(L).

PortantoWθϕ(L)♮(L) =Wϕ(L).

Atendendo à Proposição 4.30 e ao facto de termosWθϕ(L)♮(L) = Wϕ(L) e(Wϕ(L) × Wϕ(L)

)∩ θϕ(L) =

(Wϕ(L) × Wϕ(L)

)∩ kerϕ, podemos concluir

queθθϕ(L)♮(L) = θϕ(L).

Concentremo-nos, a partir de agora, no caso em queL = E(S)ϕ−1. Para este

caso utilizaremos, para simplificar, as notaçõesWϕ e θϕ sem menção aE(S)ϕ−1

sempre que não advier daí nenhuma ambiguidade. Definimos

Red(ϕ) = Red(E(S)ϕ−1

)e NRed(ϕ) = NRed

(E(S)ϕ−1

Vamos representarA+/θϕ por S e θ♮ϕ por ϕ .

Proposição 4.35.Para qualqueru ∈ A+, seuϕ ∈ Reg(S) então existev ∈ Wϕ tal

queuϕ = vϕ. Equivalentemente, Reg(S) ⊆ (Wϕ)ϕ.

Demonstração.Sejau ∈ A+ tal queuϕ ∈ Reg(S). Sejax ∈ A+ tal que

uϕ = (uxu)ϕ. Então, como(ux)ϕ, (xu)ϕ ∈ E(S), temosux, xu ∈ Wϕ e, conse-

quentemente, por definição, obtemosuxu ∈ Wϕ.

Proposição 4.36.Existe um morfismof : S ։ S sobrejectivo tal queϕf = ϕ e f

é injectivo em(Wϕ)ϕ. Consequentemente,f é umI-morfismo.

Demonstração.A existência de um morfismof : S ։ S sobrejectivo tal que

ϕf = ϕ e tal quef é injectivo em(Wϕ)ϕ é garantida pela Proposição 4.32. Este

facto implica quef é umI-morfismo.

Da Proposição 4.36 concluímos que existe um morfismoγ : Im©S ։ S so-

brejectivo tal que( )Im©S ◦ γ = ϕ (esta conclusão resulta também do facto da

congruência que defineIm©S estar contida emθϕ, uma vez que é gerada pelo con-

junto {(u, v) ∈ E(S)ϕ−1 × E(S)ϕ−1 | uϕ = vϕ} e θϕ é gerada pelo conjunto

{(u, v) ∈ Wϕ×Wϕ | uϕ = vϕ}). Em particular, seA eS forem finitos, a Proposi-

ção 2.8 diz-nos queIm©S é finito, pelo que semigrupoS também o é. Logo,Wϕ é

reconhecível.

Proposição 4.37.A correspondência( ) que associa a cada semigrupoA-gerado

(S, ϕ) o semigrupo(S, ϕ) e o morfismof : S ։ S sobrejectivo tal queϕf = ϕ

define uma expansão nas categorias seguintes:

– SmgA;

– subcategoria deSmgA obtida desta impondo que os morfismos de semigrupos

A-geradosα : (T, ψ) → (S, ϕ) satisfaçamE(T ) = E(S)α−1;

– subcategoria deSmgA obtida desta impondo que os morfismos de semigrupos

A-geradosα : (T, ψ) → (S, ϕ) sejamI-morfismos.

Demonstração.Sejam(T, ψ) e (S, ϕ) semigruposA-gerados eα : T ։ S um

morfismo sobrejectivo tal que o diagrama seguinte comuta:

~~~~|||||||| ϕ

Tα // // S

Temos entãoE(S)ψ−1 ⊆ E(S)ϕ−1. Pelo que observámos anteriormente, podemos

daqui concluir queWψ ⊆ Wϕ e θψ ⊆ θϕ. Então existe um morfismoβ : T ։ S

sobrejectivo tal queψβ = ϕ.

Sejamf : S ։ S eg : T ։ T os morfismos dados pela Proposição 4.36. Temos

a situação:

Tβ // //

��

ffffMMMMMMMMMMMMM

88 88qqqqqqqqqqqqq

xxxxppppppppppppp

&& &&NNNN

Tα // // S

Para concluir que este diagrama é comutativo, resta ver quegα = βf . Ora, tem-se

ψgα = ψα = ϕ = ϕf = ψβf . Comoψ é sobrejectivo, vemgα = βf .

Suponhamos queE(T ) = E(S)α−1. Comof eg sãoI-morfismos,

E(T ) = E(T )g−1 = E(S)α−1g−1 = E(S)(gα)−1

= E(S)(βf)−1 = E(S)f−1β−1 = E(S)β−1.

Por fim, consideramos o caso deα ser umI-morfismo. Porg ser umI-morfismo,

gα também o é, tendo em conta a Proposição 3.1. Comogα = βf , concluímos que

β também é umI-morfismo.

Proposição 4.38.TemosWϕ =Wϕ e θϕ = θϕ. ConsequentementeS = S.

Demonstração.Vejamos queE(S)ϕ−1 = E(S)ϕ−1. Sejaf : S ։ S o morfismo

da Proposição 4.36. Porf ser umI-morfismo, vemE(S) = E(S)f−1. Logo

E(S)ϕ−1 = E(S)(ϕf)−1 = E(S)f−1ϕ−1 = E(S)ϕ−1.

Pela Proposição 4.34 concluímos, então,Wϕ =Wϕ e θϕ = θϕ.

A Proposição 4.38 diz-nos que a expansão( ) é estável, tal como vimos no Co-

rolário 3.2 para a expansão de Malcev determinada porI.

Proposição 4.39.Suponhamos queA eS são finitos. Parau, v ∈ A+, seu ∈ Wϕ

e (v)Im©SJ (u)Im©S, entãov ∈ Wϕ. Isto equivale a dizer que a relação de Green

J satura{(u)Im©S | u ∈ Wϕ} emIm©S.

Demonstração.Pela Proposição 2.8, sabemos queIm©S é um semigrupo finito.

Logo, J = D = L R em Im©S. Vamos provar que se(u)Im©SL (v)Im©S e

u ∈ Wϕ, entãov ∈ Wϕ.

Se (u)Im©S = (v)Im©S então, pelo que observámos anteriormente,uθϕ = vθϕ;

logo, pela definição deθϕ, vemv ∈ Wϕ.

Suponhamos, agora, que(u)Im©S 6= (v)Im©S. Tomemos, então,x, y ∈ A+ tais

que (u)Im©S = (xv)Im©S e (v)Im©S = (yu)Im©S. Sejan ∈ N tal que, para cada

s ∈ Im©S, se tenhasn idempotente. Temos(v)Im©S = (yu)Im©S = (yxv)Im©S, pelo

que(v)Im©S =((yx)nv

)Im©S

. Logo uθϕ = (xv)θϕ e vθϕ =((yx)nv

)θϕ. Como

u ∈ Wϕ e θϕ saturaWϕ, tambémxv ∈ Wϕ. Sendo assim, pela condição2) da

definição deWϕ, obtemos(yx)nv ∈ Wϕ. Logo, pela definição deθϕ, concluímos

quev ∈ Wϕ.

De modo análogo, concluímos queR satura{(u)Im©S | u ∈ Wϕ}.

PortantoJ satura{(u)Im©S | u ∈ Wϕ}.

Proposição 4.40.Temos{u ∈ A+ | (u)Im©S ∈ Reg(Im©S)

{u ∈ A+ | uθϕ ∈ Reg(S)

={u ∈ Wϕ | uϕ ∈ Reg(S)

Demonstração.A existência de um morfismoγ : Im©S ։ S permite-nos ter

{u ∈ A+ | (u)Im©S ∈ Reg(Im©S)

{u ∈ A+ | uθϕ ∈ Reg(S)

Sejau ∈ A+ tal queuθϕ ∈ Reg(S). A Proposição 4.35 aplicada ao morfismoϕ

em vez deϕ e a Proposição 4.38 garantem a existência dev ∈ Wϕ tal queuϕ = vϕ.

Comoϕ reconheceWϕ, temosu ∈ Wϕ.

Logo{u ∈ A+ | uθϕ ∈ Reg(S)

{u ∈ Wϕ | uϕ ∈ Reg(S)

Reciprocamente, sejau ∈ Wϕ tal queuϕ ∈ Reg(S). Então existev ∈ A+

tal queuϕ = (uvu)ϕ. Temosuv, vu ∈ E(S)ϕ−1, dondeuvu ∈ Wϕ. Assim,

por u ∈ Wϕ, uϕ = (uvu)ϕ e pela Proposição 4.30, vemuθϕ = (uvu)θϕ. Logo

uθϕ ∈ Reg(S).

Voltemos a tomar uma linguagemL deA+ arbitrária e consideremos o conjunto

{(u, v) ∈ Z(L)× Z(L) | uϕ = vϕ}.

Sejaρϕ(L) a congruência emA+ gerada por este conjunto. Temosρϕ(L) ⊆ θϕ(L),

pelo que existe um morfismoh : A+/ρϕ(L) ։ A+/θϕ(L) sobrejectivo de semi-

gruposA-gerados.

Sejaf ′ = hf : A+/ρϕ(L) ։ S, ondef : A+/θϕ(L) ։ S é o morfismo

da Proposição 4.32. Entãoρϕ(L)♮ ◦ f ′ = ϕ e, tal como nessa proposição,f ′ é

injectivo em(Z(L)

)ρϕ(L)

♮ e, seL for reconhecida porϕ, então verifica-se também((L)ρϕ(L)

♮)f ′f ′−1 = (L)ρϕ(L)

Assim, tal como paraWϕ(L) e θϕ(L), a correspondência que associa a cada

semigrupoA-gerado(S, ϕ) o semigrupoA-gerado(A+/ρϕ(L), ρϕ(L)

e o mor-

fismo f ′ : A+/ρϕ(L) ։ S tal queρϕ(L)♮ ◦ f ′ = ϕ define uma expansão na

categoria dos semigruposA-gerados.

SeL = E(S)ϕ−1, denotamosZ(L) simplesmente porZϕ, ρϕ(L) por ρϕ,

A+/ρϕ por S e ρ♮ϕ por ϕ.

Do mesmo modo que no caso deS, concluímos que Reg(S) ⊆ (Zϕ)ϕ, a apli-

caçãof ′ : S ։ S é umI-morfismo e existe um morfismoγ′ : Im©S ։ S

sobrejectivo tal que( )Im©S ◦ γ′ = ϕ, tendo-seS finito eZϕ reconhecível, seA eS

forem finitos. Obtemos então o seguinte diagrama comutativo:

()Im©S

��

~~~~~~~~~~~~~

��

Sh // //

%% %%LLLL

γ′77 77pppppppppppppγ

πS // // S

Realçamos o facto de termos os morfismos sobrejectivos

Im©Sγ′

−−−−−→ Sh

−−−−−→ Sf

−−−−−→ S

tais queγ′hf = πS. Portanto, podemos dizer, de grosso modo, queS aproxima-se

mais deIm©S do queS.

É fácil verificar queρϕ = ρϕ, donde se deduz queS = S.

Temos também a seguinte cadeia de inclusões:{u ∈ A+ | (u)Im©S ∈ Reg(Im©S)

{u ∈ A+ | uρϕ ∈ Reg(S)

⊆{u ∈ A+ | uϕ ∈ Reg(S)

O exemplo que se segue prova que, de um modo geral, tem-seS 6= Im©S.

Exemplo. Consideremos o grafo de Cayley do semigrupoS com a seguinte apre-

sentação de semigrupo

S = 〈a, b | a2 = a3, (ab)2 = ab, (ba)2 = ba, b2 = b3, a2b = ba2, b2a = ab2〉.

ab2 ∗a2b2 a2b

onde∗ assinala os estados que são idempotentes emS.

EmS, temosa2b = aba2 ea2b não é idempotente. Comoa2, ab, ba ∈ E(S), por

definição deZϕ, temosa2b, aba2 ∈ Zϕ. Logoa2b = aba2 emS. Mas, emIm©S, as

palavrasa2b eaba2 representam elementos diferentes.

PortantoS 6= Im©S, e consequentemente,S 6= Im©S.

4.4 Semigrupos localmente grupos ou cujos

idempotentes formam um subsemigrupo

Nesta secção, vamos apresentar duas classes particulares de semigruposS para

as quais se verificaIm©S = S, nomeadamente a classe dos semigrupos finitos

cujos idempotentes formam um subsemigrupo e aS-variedadeLG dos semigrupos

finitos localmente grupos.

4.4. Semigrupos localmente grupos ou cujos idempotentes formam umsubsemigrupo

Denotamos porEideal a classe dos semigrupos finitos cujos idempotentes for-

mam um ideal. É trivial verificar queEideal é umaS-variedade.

O seguinte facto sobre semigrupos finitos cujos idempotentes formam um sub-

semigrupo é bem conhecido, ver por exemplo [48]. Apresentamos no entanto uma

sua demonstração.

Lema 4.41. SejaT um semigrupo finito cujos idempotentes formam um subsemi-

grupo. Então os elementos regulares deT também formam um subsemigrupo.

Demonstração.Sejams, t ∈ Reg(T ). Então existeme, f ∈ E(T ) tais quesL e

e tRf . Sejamx, y ∈ T tais quee = xs e f = ty. Comos = se e t = ft,

temosst = seft e ef = xsty, pelo questJ ef . Como, por hipótese,ef ∈ E(T ),

concluímos quest ∈ Reg(t).

Em particular, seT ∈ Eideal então Reg(T ) = E(T ).

O resultado seguinte foi provado por Ash [6] para semigruposcujos idempoten-

tes comutam e, mais tarde, generalizado por Birget, Margolis e Rhodes [8] para

semigrupos cujos elementos regulares formam um subsemigrupo.

Lema 4.42. SejaT um semigrupo tal que Reg(T ) forma um subsemigrupo deT .

Sejamr, s, t ∈ T . Sers, st ∈ Reg(T ) entãorst ∈ Reg(T ).

Demonstração.Suponhamos quers, st ∈ Reg(T ). Sejax ∈ T tal quers = rsxrs.

EntãorsRrsxr, pelo quersxr é regular. Logorst = rsxrst ∈ Reg(T ).

Para o que se segue, fixamos um alfabetoA e um semigrupoA-gerado(S, ϕ)

finitos.

Como consequência da Proposição 2.1 e do Lema 4.41, temos o resultado se-

guinte.

Proposição 4.43.Se os idempotentes deS formarem um subsemigrupo, então

E(Im©S) é um subsemigrupo deIm©S e, consequentemente,Reg(Im©S) também

Proposição 4.44.SeS ∈ LG entãoReg(Im©S) é um subsemigrupo deIm©S.

Demonstração.Pela Proposição 3.10, sabemos queIm©S ∈ LG, o que equivale a

dizer queE(Im©S) estão contidos no ideal minimal deIm©S. Logo, Reg(Im©S) é

o ideal minimal deIm©S e, portanto, é um subsemigrupo.

Proposição 4.45.Se Reg(Im©S) for um subsemigrupo deIm©S, então

Wϕ ={u ∈ A+ | (u)Im©S ∈ Reg(Im©S)

Demonstração.Atendendo à Proposição 4.40, resta mostrar queWϕ ⊆ X, onde

X ={u ∈ A+ | (u)Im©S ∈ Reg(Im©S)

Por definição deIm©S, temosE(S)ϕ−1 ⊆ X.

Sejamu, w ∈ A∗ e v ∈ A+ tais queuv, vw ∈ X. Seu = ǫ ouw = ǫ, então

uvw ∈ X. Seu, w ∈ A+, pelo Lema 4.42 concluímos queuvw ∈ X.

Sejamu, v, x, y ∈ A∗ tais queuxv, x, y ∈ X e xϕ = yϕ. Pelas Propo-

sições 2.1 e 3.4, temos(x)Im©S = (y)Im©S. Logo (uyv)Im©S = (uxv)Im©S ∈

Reg(Im©S), pelo queuyv ∈ X.

PortantoWϕ ⊆ X.

Atendendo às Proposições 4.43 e 4.44, obtemos o seguinte corolário da Propo-

sição 4.45.

Corolário 4.46. SeE(S) for um subsemigrupo deS ou seS ∈ LG, então

Wϕ ={u ∈ A+ | (u)Im©S ∈ Reg(Im©S)

Corolário 4.47. SeS ∈ Eideal entãoWϕ = E(S)ϕ−1.

Demonstração.Suponhamos queE(S) é um ideal deS. Pela Proposição 2.1, é

fácil ver queE(Im©S) é um ideal deIm©S. Logo Reg(Im©S) = E(Im©S). Então,

do Corolário 4.46 e da definição deWϕ deduzimos queWϕ = E(S)ϕ−1.

Finalmente podemos provar o resultado que se segue.

Teorema 4.48.Seja(S, ϕ) um semigrupoA-gerado finito, ondeA é um alfabeto

finito. Se Reg(Im©S) for um subsemigrupo deIm©S, entãoIm©S = S = S.

4.4. Semigrupos localmente grupos ou cujos idempotentes formam umsubsemigrupo

Demonstração.Sendoθ a congruência emA+ que defineIm©S, temosθ ⊆ θϕ.

Se Reg(Im©S) for um subsemigrupo deIm©S, das Proposições 3.4 e 4.45 é

imediato concluir queθϕ ⊆ θ.

Logoθ = θϕ e, portanto,Im©S = S. Como existe uma sequência de semigrupos

A-geradosIm©S ։ S ։ S, concluímos também queIm©S = S.

Corolário 4.49. Seja(S, ϕ) um semigrupoA-gerado finito, comA finito. SeE(S)

for um subsemigrupo deS ou seS ∈ LG, entãoIm©S = S = S.

A expansãoIm©S descreve-se de forma simples quandoS ∈ LG ∪ Eideal,

como vamos ver agora.

Suponhamos queS ∈ LG∪Eideal. Então, pela Proposição 3.10 e atendendo à

demonstração do Corolário 4.47, tambémIm©S ∈ LG∪Eideal. Seu ∈ NRed(ϕ)

entãou = u′xu′′, ondeu′, u′′ ∈ A∗ ex ∈ A+ é tal quexϕ ∈ E(S); logo (x)Im©S é

idempotente e, consequentemente,(u)Im©S é regular. Então, pela Proposição 4.46,

temosWϕ = NRed(ϕ). Logo, dadosu, v ∈ A+,

u θϕ v se e só seu = v ou(u, v ∈ NRed(ϕ) e uϕ = vϕ

SejaI o ideal minimal deS no caso deS ∈ LG eE(S) no caso deS ∈ Eideal.

Então o morfismof : S ։ S tal queϕf = ϕ, dado pela Proposição 4.32,

estabelece um isomorfismo entre(Wϕ)ϕ e I. Observemos que seu ∈ Red(ϕ),

entãouϕ = {u}. Logo S, que éIm©S, é, a menos de isomorfismo, Red(ϕ) ∪ I

munido da multiplicação definida por: dadosu, v ∈ Red(ϕ) es, t ∈ I, tem-se

u · v =

{uv , seuv ∈ Red(ϕ)

(uv)ϕ , caso contrário

u · s = (uϕ)s

s · u = s(uϕ)

s · t = st (emI)

Terminamos este capítulo, tecendo uma breve observação sobre uma expansão

de semigrupos que Birget, Margolis e Rhodes constróiem em [8] e que, em certos

aspectos, se aproxima das expansões tratadas na Secção 4.3.

Dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ), ondeA = S eϕ : A+։ S é definido por

sϕ = s, sejaσϕ a congruência emA+ gerada pelo conjunto

X = {(u, v) ∈ Reg(S)ϕ−1 × Reg(S)ϕ−1 | uϕ = vϕ}.

Salientemos a semelhança deX com os conjuntos geradores deθϕ, ρϕ e da con-

gruência associada à definição deIm©S. Temos sempre a seguinte relação entre o

conjuntoRS, gerador da congruência associada à definição deIm©S, eX

RS = {(u, v) ∈ E(S)ϕ−1 ×E(S)ϕ−1 | uϕ = vϕ} ⊆ X.

Mais ainda, existe umI-morfismof ′′ : A+/σϕ ։ S tal queσ♮ϕ ◦ f′′ = ϕ e quef ′′

preserva elementos regulares, isto é, verifica a condição

∀t ∈ A+/σϕ(t ∈ Reg(A+/σϕ) ⇔ tf ′′ ∈ Reg(S)

). (*)

Os autores provam que a correspondência que a cada(S, ϕ) associa(A+/σϕ, σ♮ϕ),

juntamente com o morfismof ′′, constitui uma expansão de semigrupos. Ora, pela

propriedade universal deIm©S, existe um morfismo de semigruposA-gerados

Im©S ։ A+/σϕ, mas, de um modo geral,Im©S 6= A+/σϕ, uma vez que o mor-

fismo canónicoIm©S ։ S pode não verificar a propriedade (*). É o caso, por

exemplo, de um semigrupoS que é grupo não trivial (ver Proposições 2.7 e 3.4).

determinada por LZ

Este capítulo é dedicado ao estudo da expansão de Malcev determinada pela vari-

edadeLZ dos semigrupos zero à esquerda.

Na primeira secção, recordamos a expansão de Rhodes (à direita) e a sua relação

com a expansão de Malcev determinada porLZ. Adicionalmente, apresentamos

uma demonstração alternativa do resultado que diz que, paraqualquer variedade

V de bandas que contenha a variedadeSL dos semi-reticulados, a expansão de

Rhodes do semigrupo livreFV(A) emV é, a menos de isomorfismo, a expansão de

MalcevLZm©FV(A) (Proposição 5.10).

Na secção seguinte, apresentamos um algoritmo para calcular a expansão de

Malcev de um semigrupo finitoS determinada porLZ. Dado um alfabetoA

finito e um semigrupoA-gerado finito(S, ϕ), construimos um autómato finito,

completo, determinista e acessívelA LZ(S) sobreA para o qualLZm©S é ima-

gem homomorfa do seu semigrupo de transiçãoS(A LZ(S)

). De um modo geral,

S(A LZ(S)

)é “maior” do queLZm©S. Vamos estabelecer uma condição necessá-

ria e suficiente para queLZm©S eS(A LZ(S)

)sejam isomorfos (Teorema 5.33).

A estrutura deste algoritmo e os resultados que lhe são subjacentes encontram-se

organizados de modo semelhante ao que foi feito para o algoritmo da Secção 4.2.

Na terceira e última secção, descrevemos algebricamenteLZm©S, quandoS é

um semigrupo finito localmente grupo (Teorema 5.40), e mostramos também como

esta descrição pode ser adaptada e estendida, naturalmente, aRZm©S e aRBm©S.

5. A expansão de Malcev determinada porLZ

5.1 A expansão de Rhodes

A expansão de Rhodes foi apresentada por J. Rhodes em 1969, como ferramenta,

na demonstração do Lema Fundamental da Complexidade [51] e reformulada por

Tilson na demonstração do Teorema do Ideal nos capítulosXI eXII de [16].

A definição e as propriedades da expansão de Rhodes que apresentamos de se-

guida podem ser encontradas em maior detalhe em [7].

SejaS um semigrupo qualquer.

É habitual representar-se uma sequência(x1, x2, . . . , xn) de elementos deS em

quex1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xn por (x1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xn), podendo aqui

substituir-se≥R por>R entrexi exi+1 sempre quexi >R xi+1. Consideramos o

conjunto dasR-cadeias finitas deS

{(x1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xn) |n ∈ N e x1, x2, . . . , xn ∈ S

com uma multiplicação definida por:

(x1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xn)⊗ (y1 ≥R y2 ≥R · · · ≥R ym) =

= (x1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xn ≥R xny1 ≥R xny2 ≥R · · · ≥R xnym),

comn,m ∈ N e x1, x2, . . . , xn, y1, y2, . . . , ym ∈ S. Obtemos então um semigrupo

(SR,⊗).

definimos, de um modo recursivo, uma operação unáriaρ, do seguinte

ρ (x1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xk >R xk+1 ≥R · · · ≥R xn) =

=(ρ (x1 ≥R x2 ≥R · · · ≥R xk) >R ρ (xk+1 ≥R · · · ≥R xn)

ρ (x1 R x2 R · · ·R xn) = xn,

comn ∈ N e x1, x2, . . . xn ∈ S. A operaçãoρ está bem definida e não depende

dek, [7]. É claro que, para qualquers ∈ SR

, existemy1, y2, . . . , ym ∈ S tais que

ρ(s) = (y1 >R y2 >R · · · >R ym).

Proposição 5.1.Para todas asR-cadeiass, t ∈ SR

, temos

5.1. A expansão de Rhodes

ρ(ρ(s)

)= ρ(s) e ρ

(ρ(s)⊗ ρ(t)

)= ρ(s⊗ t).

Consideremos agora

SR ={(x1 >R x2 >R · · · >R xn) |n ∈ N e x1, x2, . . . , xn ∈ S

Pela Proposição 5.1,SR é um semigrupo com a multiplicação definida por: para

quaisquers, t ∈ SR,s · t = ρ (s⊗ t).

Observamos que(x1 >R x2 >R · · · >R xn) ∈ E(SR

)se e só sexn ∈ E(S).

SejaηS : SR։ S o morfismo sobrejectivo definido por:

(x1 >R x2 >R · · · >R xn)ηS = xn.

Seψ : T → S for um morfismo de semigrupos, entãoψR : TR → SR é o

morfismo definido por:

(x1 >R x2 >R · · · >R xn) ψR = ρ (x1ψ ≥R x2ψ ≥R · · · ≥R xnψ).

A correspondência, que a cada semigrupoS faz corresponderSR e a cada mor-

fismoψ de semigrupos faz corresponderψR , juntamente com a família de morfis-

mos(ηS : SR

։ S)S semigrupo

formam uma expansão na categoria dos semigrupos,

tendo-se, para cada semigrupoS,

SR =⟨(s) ∈ SR | s ∈ S

Chamamos a esta expansãoexpansão de Rhodes (à direita)e aηS morfismo canó-

nico associado aSR . Ao semigrupoSR damos o nome deexpansão de Rhodes (à

direita) deS.

SejamA um alfabeto e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado. Aexpansão de Rhodes

(à direita) subjugada aos geradores deS é o subsemigrupoSRA deSR gerado pelo

conjunto {(aϕ) ∈ SR | a ∈ A

Denotamos por( )R

A o morfismoA+։ SR tal que(a)

A = (aϕ), para todo oa ∈ A.

Seψ : T ։ S for um morfismo de semigruposA-gerados, então(TRA

)ψR = SR

pelo queψR induz um morfismo de semigruposA-geradosψRA : TR

A ։ SRA .

A restrição deηS : SR։ S a SR

A , que denotamos também porηS é sobrejectiva,

tendo-se(aϕ)ηS = aϕ, para todo oa ∈ A. Obtemos, deste modo, uma expansão na

categoriaSmgA, chamadaexpansão de Rhodes (à direita) subjugada aos geradores.

O morfismoηS : SRA ։ S, dito o morfismo canónico associado aSR

A , é umLZ-

morfismo.

Analisamos, agora, a relação entre a expansão de Rhodes subjugada aos gerado-

res com a expansão de Malcev determinada porLZ. PorηS ser umLZ-morfismo,

a Proposição 2.2 garante a existência de um morfismo sobrejectivo γ deLZm©S

paraSRA tal que( )LZm©S ◦ γ = ( )

Uma das propriedades observadas por Tilson [16, 7] consisteno facto da expan-

são de Rhodes subjugada aos geradores ser estável. Vejamos que a expansão de

Malcev determinada porLZ também o é (ver, por exemplo, [44]).

Lema 5.2. SejamS e T semigrupos e sejaπ : T ⊖ // S um morfismo relacional

de semigrupos. Então,π é um(LZ,LZ)-morfismo relacional se e só se for um

LZ-morfismo relacional.

Demonstração.A implicação directa é imediata.

Reciprocamente, suponhamos queπ é umLZ-morfismo relacional. SejaS ′ um

subsemigrupo deS em LZ. Suponhamos que existems, t ∈ T para os quais

existemx ∈ sπ e y ∈ tπ tais quex, y ∈ S ′. Entãoxy = x ∈ E(S), porS ′ ∈ LZ.

Sendo assim,xy = x ∈ (st)π ∩ sπ. Como, por hipótese,π é umLZ-morfismo,

temosst, s ∈ xπ−1 ∈ LZ. Logo,st = sst = s.

Proposição 5.3.Sejam A um alfabeto e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado. Então

LZm©(LZm©S) = LZm©S.

Demonstração.SejamπS eπLZm©S os morfismo canónicos associados aLZm©S e

LZm©(LZm©S), respectivamente. ComoπLZm©S é umLZ-morfismo, o morfismo

πLZm©S também é um(LZ,LZ)-morfismo, atendendo ao Lema 5.2. Deste modo,

a composiçãoπLZm©S ◦ πS é ainda umLZ-morfismo. Pela Proposição 2.2, sabe-

mos, então, que existe um morfismoγ : LZm©S ։ LZm©(LZm©S) que respeita

geradores. Logo o resultado enunciado é verdadeiro.

SeS é a banda livre sobre um conjunto de geradores de cardinal dois, é fácil

verificar queSRA ≃ S ≃ LZm©S. De um modo geral, estas expansões não são

isomorfas, como demonstra o exemplo que se segue.

Exemplo. Consideremos o semigrupo de Brandt

B2 =⟨a, b | aba = a, bab = b, a2 = b2 = 0

cujo c.p.o dasJ -classes é

SendoA = {a, b}, por manipulação directa da definição, obtemos os seguintes

c.p.o.’s dasJ -classes deLZm©B2 e de(B2)R

Torna-se assim claro queLZm©B2 6≃ (B2)R

A . Notemos quea2 e b2 representam

emB2 o zero enquanto que emLZm©B2 e em(B2)R

A representam zeros à esquerda

distintos. Mais ainda, as expansõesLZm©B2 e (B2)R

A são definidas, respectiva-

mente, pelas seguintes apresentações de semigrupo:⟨a, b | a3 = a2 = a2b, b3 = b2 = b2a, (ab)2 = ab, (ba)2 = ba

e⟨a, b | aba = a, bab = b, a3 = a2 = a2b, b3 = b2 = b2a

É sobejamente conhecido que a expansão de Rhodes subjugada aos geradores

preserva a regularidade [7]. Este último exemplo é demonstrativo de que tal não

acontece com a expansão de Malcev determinada porLZ.

A próxima proposição diz-nos que a expansão de Malcev determinada porLZ

de um semigrupoA-gerado é estável para a expansão de Rhodes subjugada aos

∗aba

ba bab

c.p.o deLZm©B2

∗aba

ba bab

c.p.o de(B2)R

geradores. Este resultado pode ser encontrado em [44], ondeos autores também

observam a estabilidade desta expansão de Malcev relativamente a outras expan-

sões.

Proposição 5.4.SejamA um alfabeto e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado. Então

(LZm©S)R

A ≃ LZm©S.

Demonstração.SejaηLZm©S : (LZm©S)R

A ։ LZm©S o morfismo canónico as-

sociado à expansão de Rhodes subjugada aos geradores deLZm©S, que sabemos

ser umLZ-morfismo. Pela Proposição 2.2, existe então um morfismo sobrejectivo

γ : LZm©(LZm©S) ։ (LZm©S)R

A que respeita geradores. Atendendo à Proposi-

ção 5.3, podemos concluir que(LZm©S)R

A ≃ LZm©S.

No entanto, a expansão de Rhodes subjugada aos geradores de um semigrupo

A-gerado não é estável para a expansão de Malcev determinada porLZ.

Exemplo. Considerando o semigrupo de BrandtB2 definido no exemplo anterior,

o c.p.o. dasJ -classes deLZm©(B2)R

A é o seguinte:

∗aba

ba bab

Tem-se, então,LZm©B2 = LZm©(B2)R

A 6≃ (B2)R

Para o semigrupoB2 podemos concluir queLZm©(B2)R

A = LZm©B2. De facto

esta propriedade é válida para qualquer semigrupoA-gerado.

LZm©SRA = LZm©S.

Demonstração.SejamπSRA

: LZm©SRA ։ SR

A o morfismo canónico associado a

LZm©SRA e ηS : SR

A ։ S o morfismo canónico associado aSRA . Pelo Lema 5.2,

concluímos que a composiçãoπSRA◦ ηS é umLZ-morfismo. Logo, pela Proposi-

ção 2.2, existe um morfismoγ : LZm©S ։ LZm©SRA que respeita geradores. Por

outro lado, pelas propriedades functoriais da expansão de Malcev determinada por

LZ e pela Proposição 5.3, existe um morfismoLZm©ηS : LZm©SRA ։ LZm©S

que respeita geradores. Concluímos, portanto, queLZm©SRA = LZm©S.

Podemos resumir as Proposições 5.4 e 5.5 no seguinte resultado.

LZm©SRA = LZm©S ≃ (LZm©S)

Por fim, consideremos o reticulado das variedades de bandas,LB, o qual foi

largamente estudado [18, 21, 55]. Apresentamo-lo no Anexo C. Notamos que,

pelo facto das variedades de bandas serem localmente finitas, a aplicação

V 7−→ V ∩ S

define um isomorfismo de reticulados entre o reticulado das variedades de bandas

e o reticulado dasS-variedades de bandas [60]. SejaLB0 o subreticulado deLB

obtido deLB retirando as variedadesI, LZ, RZ eRB. Observamos que, seV é

uma variedade de bandas,V ∈ LB0 se e só seSL ⊆ V.

Consideremos o seguinte lema bastante bem conhecido cuja demonstração pode

ser encontrada em [21].

Lema 5.7.SejaA um alfabeto e sejamu, v, w ∈ A+. Sec(w) ⊆ c(u) = c(v) então

a identidadeuwv = uv é satisfeita porB.

Corolário 5.8. Sejaθ uma congruência emA+ tal queA+/θ é uma banda e sejam

u, v, w ∈ A+. Sec(w) ⊆ c(u) = c(v) então(uwv)θ = (uv)θ.

Do Lema 5.7 e do facto de uma identidadeu = v ser satisfeita porSL se e só se

c(u) = c(v), obtemos o corolário que se segue.

Corolário 5.9. SejaV ∈ LB0 e sejaι : A+։ FV(A) o morfismo canónico

associado à definição de objecto livre. Para quaisquer palavrasu, v emA+, temos

uιR (uv)ι se e só sec(u) = c(uv).

Proposição 5.10.SejamA um alfabeto eV uma variedade de bandas emLB0.

Então (FV(A))R

A≃ LZm©FV(A) = FLZm©V(A).

Demonstração.Pela Proposição 2.11, temosFLZm©V(A) = LZm©FV(A).

Seja agoraι : A+։ FV(A) o morfismo canónico associado à definição de

objecto livre e sejaιR : A+։

(FV(A))R

Ao morfismo que estende a aplicação

que a cadaa ∈ A faz corresponder a sequência(aι) ∈ (FV(A))R

A. Consideremos

o morfismo canónicoη = ηFV(A) : (FV(A))R

A։ FV(A) associado à expansão

de Rhodes (à direita) subjugada aos geradores de(FV(A)

A. Sendoη um LZ-

morfismo, pela Proposição 2.2, existe um morfismoγ : LZm©FV(A) ։(FV(A)

que respeita geradores.

LZm©FV(A)

uuuullllll

llllll

πFV (A)

��

( )LZm©FV (A) // //

ιR // //

ι 00 00

(FV(A))R

)) ))RRRRR

RRRRRR

Vamos provar queγ é injectiva.

Sejamu, v ∈ A+ tais queuιR = vιR . Queremos ver que

(u)LZm©FV(A) = (v)LZm©FV(A).

Podemos escreveru ev do seguinte modo:

u = a0u0a1u1 . . . anun, comn ∈ N0, a0, a1, . . . , an letras distintas,

u0, u1, . . . , un ∈ A∗ e c(u0) ⊆ {a0},

c(u1) ⊆ {a0, a1}, . . . , c(un) ⊆ {a0, . . . , an}

v = b0v0b1v1 . . . bmvm, comm ∈ N0, b0, b1, . . . , bm letras distintas,

v0, v1, . . . , vm ∈ A∗ e c(v0) ⊆ {b0},

c(v1) ⊆ {b0, b1}, . . . , c(vm) ⊆ {b0, . . . , bm}

Assim, pelo Corolário 5.9, obtemos

uιR =((a0u0)ι >R (a0u0a1u1)ι >R · · · >R (a0u0 . . . an−1un−1)ι >R uι

vιR =((b0v0)ι >R (b0v0b1v1)ι >R · · · >R (b0v0 . . . bm−1vm−1)ι >R vι

ComouιR = vιR , resultam = n, a0 = b0 e, de um modo recursivo, também

a1 = b1, . . . , an = bn. Para cadai ∈ {0, . . . , n− 1}, sejam

wi+1 = a0u0 . . . aiuiai+1ui+1 e w′i+1 = a0v0 . . . aiviai+1vi+1.

Temoswi+1 = wiai+1ui+1,w′i+1 = w′

iai+1vi+1 e c(wi) = c(w′i). PorLZm©FV(A)

ser uma banda, temos

(wjwi)LZm©FV(A) = (wi)LZm©FV(A) e (w′jw

′i)LZm©FV(A) = (w′

i)LZm©FV(A),

para todos osi, j ∈ {0, . . . , n} tais quej < i. De uιR = vιR , vem também

wiι = w′iι, qualquer que sejai ∈ {0, . . . , n}.

PorπFV(A) ser umLZ-morfismo, sabemos que(uv)LZm©FV(A) = (u)LZm©FV(A).

Deste modo, vem

(u)LZm©FV (A) = (wn−1anunv)LZm©FV(A)

= (wn−1anvnw′n)LZm©FV(A) ( Corolário 5.8)

= (wn−1w′n−1anvnw

′n)LZm©FV(A) (πFV(A) é umLZ-morfismo)

= (wn−1w′nw

′n)LZm©FV(A)

= (wn−2an−1un−1w′n)LZm©FV(A) (LZm©FV(A) é uma banda)

= (wn−2an−1vn−1w′n)LZm©FV(A) ( Corolário 5.8)

= (wn−2w′n−2an−1vn−1w

′n)LZm©FV (A) (πFV (A) é umLZ-morfismo)

= (wn−2w′n−1w

′n)LZm©FV(A)

= (wn−3an−2un−2w′n)LZm©FV(A) (LZm©FV(A) é uma banda)

= (a0u0w′n)LZm©FV(A)

= (a0v0w′n)LZm©FV(A) ( Corolário 5.8)

= (w′n)LZm©FV(A) = (v)LZm©FV (A) (LZm©FV(S) é uma banda)

5.2. Um algoritmo

A demonstração da segunda parte da Proposição 5.10 que apresentamos é origi-

nal deste trabalho e depende apenas das propriedades das bandas e da manipulação

directa da definição de expansão de Malcev determinada porLZ. Este resultado

pode também ser obtido da conjugação do Teorema 5.1.4 de [55]com a Secção 2.2

de [59].

Conclusões duais às desta secção podem ser obtidas se considerarmos a expan-

são de Rhodes (à esquerda) subjugada aos geradores e a expansão de Malcev de-

terminada pela variedadeRZ.

Recentemente, McCammond, Rhodes e Steinberg em [44] caracterizam as ex-

pansões de Malcev determinadas porLZ, RZ eRB no contexto da Teoria Geo-

métrica dos Semigrupos, usando o facto destas serem estáveis para as expansões

de Rhodes e de Karnofsky-Rhodes. Os autores abrem, assim, umnovo caminho a

explorar na compreensão e no estudo das expansões de Malcev.

5.2 Um algoritmo

Tal como foi referido na introdução deste capítulo, esta secção assemelha-se na

sua organização à Secção 4.2. Temos aqui, também, como objectivo construir um

algoritmo que nos permita calcular a expansão de Malcev determinada pela vari-

edadeLZ de um semigrupo finito. Vamos apresentá-lo dividido em duas partes.

A primeira parte do algoritmo consiste na construção de um autómato finitoA LZ ,

em que o conjunto dos estadosQ e o conjunto das transiçõesE serão recursiva-

mente definidos. Na segunda parte, mostramos que a expansão de Malcev de um

semigrupo finito determinada pela variedade dos semigruposzero à esquerda é, de

um modo geral, um quociente próprio do semigrupo de transição S(A LZ). Termi-

namos esta secção com uma condição necessária e suficiente para queLZm©S e

S(A LZ) sejam isomorfos.

Nesta secção, tenhamos presente as definições, as notações eos resultados da

Secção 1.9.

Antes de iniciarmos a apresentação formal do algoritmo de que trata esta secção,

descrevemos a ideia que lhe está subjacente.

Dado um semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito, comA finito, construimos um se-

migrupo que contenha um conjunto de representantes da congruência associada à

definição deLZm©S e do qualLZm©S seja imagem homomorfa. O semigrupo a

obter será o semigrupo de transição de um autómato finito, completo, determinista

e acessível sobreA. Os estados desse autómato serão palavras deA∗ que incluem a

palavra vaziaǫ. A ideia subjacente consiste em, para cada caminho com estado ini-

cial ǫ, estado finalq e etiquetau ∈ A+, se tenha|q| ≤ |u| e (q)LZm©S = (u)LZm©S.

Observamos que, dadou ∈ A∗, o conjunto Pref(u) fica totalmente ordenado pelo

comprimento das palavras, pelo que, nesta secção, quando nos referimos ao mí-

nimo de um subconjunto de Pref(u) teremos em mente aquela ordem.

A escolha dos estados e das transições do autómato basear-se-á na análise das

palavras deA∗ seguindo o seu comprimento e será feita da seguinte maneira:

1) escolhe-se a palavra vazia;

2) escolhem-se as letras deA e, para cadaa ∈ A, escolhe-se a transiçãoǫa−→ a;

3) dada uma palavrau tal que|u| ≥ 2 e tal quep(u) já tenha sido escolhida,

3.1) seuϕ for idempotente, escolhe-sev = min(Pref(u) ∩ (uϕ)ϕ−1

escolhe-se a transiçãop(u)t(u)−−→ v;

3.2) seuϕ não for idempotente, prosseguimos do seguinte modo:

3.2.1) ses(u) já tiver sido escolhida, escolhe-se tambému e escolhe-se a

transiçãop(u)t(u)−−→ u;

3.2.2) caso contrário, consideram-se os caminhosǫs(u)−−→ p e ǫ

i(u)p−−→ q e

escolhe-se a transiçãop(u)t(u)−−→ q.

Parte I

SejaA um alfabeto finito e seja(S, ϕ) um semigrupoA-gerado finito.

DefinimosQ =⋃n∈N0

Qn, onde

Q0 = {ǫ}

Q1 = Q0 ∪ A

5.2. Um algoritmo

Qn+1 = Qn ∪{q ∈ A+ : p(q) ∈ Qn, qϕ ∈ E(S) e

∀q′ ∈(Qn\{ǫ}

)∩ Pref

), q′ϕ 6= qϕ

∪{q ∈ A+ : p(q) ∈ Qn\{ǫ}, qϕ /∈ E(S) es(q) ∈ Qn

Definimos tambémE =⋃n∈N0

En, onde

E0 = ∅

E1 = E0 ∪{(ǫ, x, x) : x ∈ A

En+1 = En ∪ E(1)n+1 ∪ E

(2)n+1 ∪ E

(3)n+1,

E(1)n+1 =

{(q, x, qx) : q ∈ Qn, x ∈ A, qx ∈ Qn+1

E(2)n+1 =

{(q, x, q′) : q ∈ Qn, x ∈ A, q′ ∈

(Qn\{ǫ}

)∩ Pref(q) e

q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S)}

E(3)n+1 =

{(q, x, q′) : q ∈ Qn, x ∈ A, q′ ∈ Qn\{ǫ}, (qx)ϕ /∈ E(S),

existep ∈ Qn\{ǫ} tal que|p| < |s(qx)|, existem(ǫ, a1, p1),

(p1, a2, p2), . . . , (pk−1, ak, p) emEn tais quea1a2 . . . ak = s(qx)

e existem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) emEn

tais queb1b2 . . . br = i(qx)p}

Notamos que

Qn ⊆ Qn+1 e Qn+1 ⊆ Qn ∪QnA

En ⊆ En+1 e En+1 ⊆ Qn × A×Qn+1

pelo queE ⊆ Q× A×Q. Mais, se(q, x, q′) ∈ E entãoq′ 6= ǫ.

SejaA LZ(S) = (Q,A,E, ǫ, ∅). Vamos provar que o autómatoA LZ(S) é fi-

nito, completo, determinista e acessível, concluindo várias propriedades sobre os

conjuntosQ eE.

Lema 5.11.Para todo on ∈ N0 e para todo oq ∈ Q,

(a) seq ∈ Qn então|q| ≤ n;

(b) se|q| = n entãoq ∈ Qn.

Demonstração.A propriedade da alínea(a) sai facilmente por indução emN0.

Vamos provar a alínea(b) também por indução.

Sejaq ∈ Q.

Se|q| = 0 entãoq = ǫ e, logo,q ∈ Q0.

Se|q| = 1 entãoq ∈ A e, logo,q ∈ Q1.

Suponhamos agora que|q| = n + 1, comn ≥ 1, e que o resultado vale para

todos os elementos deQ de comprimenton.

ComoQ =⋃m∈N0

Qm, existek ∈ N tal queq ∈ Qk+1\Qk. Logop(q) pertence

aQk. Como|p(q)| = n, da hipótese de indução vemp(q) ∈ Qn. Pela alínea(a),

temos quen ≤ k, pelo queQn ⊆ Qk. Então, seqϕ ∈ E(S), obtemosq ∈ Qn+1.

Seqϕ /∈ E(S) entãos(q) ∈ Qk e |s(q)| = n; donde, por hipótese de indução,

concluímos ques(q) ∈ Qn. Logoq ∈ Qn+1.

Corolário 5.12. Dadosq ∈ Q en ∈ N0, temos

(a) q ∈ Qn se e só se|q| ≤ n;

(b) q ∈ Qn+1\Qn se e só se|q| = n+ 1;

(c) sep(q) ∈ Qn entãoq ∈ Qn+1;

(d) sen ≥ 1 entãoQn+1 ⊆ Qn ∪ (Qn\Qn−1)A.

Lema 5.13.Para todo on ∈ N0, seq ∈ Qn entãoPref(q) ⊆ Qn.

Demonstração.Seq ∈ Q0 entãoq = ǫ; logo, Pref(q) = {ǫ} ⊆ Q0.

Sen ∈ N0 entãoQn+1 ⊆ Qn ∪QnA, pelo que podemos concluir o resultado por

uma simples indução.

Tendo provado o Lema 5.13, nas definições deQn+1 eE(2)n+1 pode-se omitir a

exigência deq′ ∈ Qn.

5.2. Um algoritmo

Lema 5.14. Sejamp ∈ A∗ e q = a1a2 . . . an ∈ A+, comai ∈ A, para cada

i ∈ {1, . . . , n}. Sepq ∈ Q então

(p, a1, pa1), (pa1, a2, pa1a2), . . . , (pa1a2 . . . an−1, an, pq) ∈ E.

Demonstração.Utilizando o Lema 5.13, é imediata por indução no comprimento

Lema 5.15.Dadosq, q′ ∈ Q ex ∈ A,

(a) se(q, x, q′) ∈ E então|q′| ≤ |qx|;

(b) se(q, x, q′) ∈ E e |q′| = |qx|, entãoq′ = qx.

Demonstração.ComoE =⋃n∈NEn, a demonstração de(a) será por indução.

Se(q, x, q′) ∈ E1 então, por definição, temosq = ǫ e q′ = x. Logo |q′| ≤ |qx|.

Sejamn ∈ N e (q, x, q′) ∈ En+1. Suponhamos, como hipótese de indução, que

se(p, y, p′) ∈ En então|p′| ≤ |py|.

Se(q, x, q′) ∈ En então|q′| ≤ |qx|, por hipótese de indução.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)n+1 ∪ E

(2)n+1 então, por definição,|q′| ≤ |qx|.

Se(q, x, q′) ∈ E(3)n+1 então existep ∈ Qn \{ǫ} tal que|p| < |s(qx)| e existem

(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) emEn tais queb1b2 . . . br = i(qx)p. Logo,

por hipótese de indução, vem

|q′| ≤ |qr−1br| ≤ · · · ≤ |b1 . . . br| = |i(qx)p| < |i(qx)s(qx)| = |qx|.

Provemos(b). Se(q, x, q′) ∈ E(2)n+1, para algumn ∈ N, entãoq′ ∈ Pref(q), pelo

que|q′| < |qx|. Se(q, x, q′) ∈ E(3)n+1, para algumn ∈ N, então existep ∈ Qn\{ǫ}

tal que|p| < |s(qx)| e existem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) ∈ En tais

queb1b2 . . . br = i(qx)p, de onde se conclui, por(a), que

|q′| ≤ |b1b2 . . . br| = |i(qx)p| < |i(qx)s(qx)| = |qx|.

Assim, se(q, x, q′) ∈ E e |q′| = |qx|, então(q, x, q′) ∈ E1 ou (q, x, q′) ∈ E(1)n+1,

para algumn ∈ N; em ambos os casos,q′ = qx.

Corolário 5.16. Se(q0, a1, q1), (q1, a2, q2), . . . , (qn−1, an, qn) ∈ E, então

(a) |qn| ≤ |q0a1a2 . . . an|;

(b) no caso de|qn| = |q0a1a2 . . . an|, temosq1 = q0a1, q2 = q1a2 = q0a1a2, . . . ,

qn = qn−1an = · · · = q0a1 . . . an.

Lema 5.17.Para todo o(q, x, q′) ∈ E, se|q| = n então(q, x, q′) ∈ En+1\En.

Demonstração.Seja(q, x, q′) ∈ E tal que|q| = n, onden ∈ N0. Então existe

m ∈ N tal que(q, x, q′) ∈ Em. Provemos o resultado por indução emN.

Notemos que, pelo Lema 5.15, temos|q′| ≤ |qx|. Sabemos também queq′ 6= ǫ.

Sem = 1 então(q, x, q′) ∈ E1\E0.

Suponhamos quem > 1 e admitamos, como hipótese de indução, que, para todo

o (p, y, p′) ∈ Em−1, se tem(p, y, p′) ∈ E|p|+1\E|p|.

Sen = 0 entãoq = ǫ, donde(q, x, q′) ∈ Em−1 ∪ E(1)m . Por hipótese de indução

e pelo Lema 5.15, concluímos facilmente que(q, x, q′) ∈ E1\E0.

Consideremos, agora, o caso em quen ≥ 1. Pelo Corolário 5.12, obtemos

q ∈ Qn\Qn−1. Logo(q, x, q′) /∈ En, poisEn ⊆ Qn−1 × A×Qn.

Se (q, x, q′) ∈ Em−1 então, por hipótese de indução, vem(q, x, q′) ∈ En+1.

Logo (q, x, q′) ∈ En+1\En.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)m entãoq′ = qx, pelo que|q′| = |qx| = n + 1. Pelo Corolá-

rio 5.12, temosqx ∈ Qn+1. Logo(q, x, q′) ∈ E(1)n+1.

Se(q, x, q′) ∈ E(2)m entãoq′ ∈

(Qm−1\{ǫ}

)∩ Pref(q) e q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S).

Logo |q′| ≤ n. Atendendo novamente ao Corolário 5.12, obtemosq′ ∈ Qn. Logo

(q, x, q′) ∈ E(2)n+1.

Se (q, x, q′) ∈ E(3)m , então(qx)ϕ /∈ E(S), existep ∈ Qm−1 \ {ǫ} tal que

|p| < |s(qx)|, existem(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pn−1, an, p) emEm−1 tais que

a1a2 . . . an = s(qx) e existem(ǫ, b1, q1), (q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) emEm−1 tais

queb1b2 . . . br = i(qx)p. Pelo Corolário 5.16, temos

|q′| ≤ |b1b2 . . . br| = |i(qx)p| < |i(qx)s(qx)| = |qx| = n+ 1,

|qi| ≤ |b1 . . . bi| < n, para todo oi ∈ {1, . . . , r − 1}, e |pj | ≤ |a1 . . . aj | < n, para

todo oj ∈ {1, . . . , n − 1}. Por hipótese de indução e pelo facto deEℓ ⊆ Eℓ+1,

para todo oℓ ∈ N, obtemos(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pn−1, an, p), (ǫ, b1, q1),

(q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, q′) emEn. Como|q′|, |p| ≤ |q| = n, temosq′, p ∈ Qn,

pelo Corolário 5.12. Logo(q, x, q′) ∈ E(3)n+1.

Portanto, em todos os casos temos(q, x, q′) ∈ En+1\En.

5.2. Um algoritmo

Lema 5.18.Seja(q, x, q′) ∈ E. As afirmações seguintes são equivalentes:

(a) qx ∈ Q;

(b) qx = q′;

(c) |qx| = |q′|.

Demonstração.A equivalência(b) ⇔ (c) é nos dada pela alínea(b) de Lema 5.15.

Provemos então que(a) ⇔ (b).

Sejan ∈ N0 tal que(q, x, q′) ∈ En+1. Entãoq ∈ Qn ex ∈ A. Suponhamos que

qx ∈ Q e provemos queqx = q′ por indução emN0.

Observemos que, pelo Corolário 5.12, temos|q| ≤ n e, pelo mesmo corolário,

qx ∈ Qn+1.

Se(q, x, q′) ∈ E1 entãoq = ǫ e q′ = x = qx.

Suponhamos quen ≥ 1 e, como hipótese de indução, admitamos que, para todo

o (p, y, p′) ∈ En tal quepy ∈ Q, se tempy = p′.

Se(q, x, q′) ∈ En então, por hipótese de indução, temosqx = q′.

Consideremos, agora, o caso em que(q, x, q′) /∈ En. O Lema 5.17 implica que

|q| ≥ n e, por conseguinte,|q| = n. Entãoqx /∈ Qn, pelo Corolário 5.12.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)n+1 entãoq′ = qx, por definição deE(1)

Se(q, x, q′) ∈ E(2)n+1 entãoq′ ∈

(Qn \{ǫ}

)∩ Pref(q) e q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S);

dondeqx /∈ Qn+1, por definição deQn+1, obtendo-se assim uma contradição.

Se(q, x, q′) pertencesse aE(3)n+1 então(qx)ϕ /∈ E(S), existiriap ∈ Qn\{ǫ} tal que

|p| < |s(qx)| e existiriam(ǫ, a1, p1), (p1, a2, p2), . . . , (pn−1, an, p) emEn tais que

a1a2 . . . an = s(qx). Uma vez queqx ∈ Qn+1, por definição, teríamoss(qx) ∈ Qn

e, consequentemente, Pref(s(qx)

)⊆ Q, pelo Lema 5.13. Logo, por hipótese de

indução,a1 = p1 e, sucessivamente,p2 = a1a2, . . . , p = a1 . . . an = s(qx), o que

iria contrariar o facto de|p| < |s(qx)|.

Portanto, seqx ∈ Q entãoqx = q′.

O recíproco é óbvio.

Lema 5.19.Para todo oq ∈ A∗, temosq ∈ Q se e só se

∀q′ ∈ Fact(q) ∩ E(S)ϕ−1, {q′} = Pref(q′) ∩ (q′ϕ)ϕ−1. (**)

Demonstração.Sejaq ∈ Q. Então existem ∈ N0 tal queq ∈ Qm. A implicação

directa será provada por indução.

Seq ∈ Q0 ∪Q1, o resultado sai trivialmente.

Sejan ≥ 1. Suponhamos queq ∈ Qn+1 e, como hipótese de indução, admitamos

que todo op ∈ Qn satisfaz (**).

Seq ∈ Qn entãoq satisfaz (**), por hipótese de indução.

Suponhamos queq ∈ Qn+1\Qn. Entãop(q) ∈ Qn. Sejaq′ ∈ Fact(q)∩E(S)ϕ−1.

Seq′ ∈ Fact(p(q)

)então{q′} = Pref(q′) ∩ (q′ϕ)ϕ−1, por hipótese de indução.

Consideremos agora o caso em queq′ /∈ Fact(p(q)

). Entãoq′ ∈ Suf(q). Tome-

mosq = wq′, comw ∈ A∗. Sejau ∈ Pref(q′) ∩ (q′ϕ)ϕ−1. Temoswu ∈ Pref(q) e

qϕ = (wq′)ϕ = (wu)ϕ.

Seqϕ ∈ E(S) então, pelo Lema 5.13 e pela definição deQn+1\Qn, deduzimos

queq′ = u.

Seqϕ /∈ E(S), pela definição deQn+1, sabemos ques(q) ∈ Qn. Logo, como

q′ϕ ∈ E(S), temosq′ ∈ Suf(s(q)

)e, portanto, da hipótese de indução concluímos

que{q′} = Pref(q′) ∩ (q′ϕ)ϕ−1.

Reciprocamente, sejaq ∈ A∗ tal queq satisfaz (**). Queremos mostrar que

q ∈ Q. Provemo-lo por indução no comprimento deq.

Se|q| = 0 entãoq = ǫ ∈ Q0.

Se|q| = 1 entãoq ∈ A; logo,q ∈ Q1.

Suponhamos agora que|q| = n, comn > 1, e admitamos, como hipótese de

indução, que todo op ∈ A∗ tal que|p| < n que satisfaça (**), pertence aQ.

Entãop(q) ∈ A+ e |p(q)| = n − 1 < n e p(q) satisfaz (**), pois todo o factor

dep(q) é factor deq. Logo, por hipótese de indução,p(q) ∈ Q. Mais, atendendo

ao Corolário 5.12, temosp(q) ∈ Qn−1. Vejamos queq ∈ Qn.

Suponhamos queqϕ ∈ E(S). Sejaq′ ∈ Qn−1\{ǫ} ∩ Pref(p(q)

). Porq satisfa-

zer (**), vem{q} = Pref(q) ∩ (qϕ)ϕ−1. Logoq′ϕ 6= qϕ e, portanto,q ∈ Qn.

Suponhamos queqϕ /∈ E(S). Tomemoss(q). Então|s(q)| = n−1 < n e, como

todo o factor des(q) é factor deq, temos ques(q) satisfaz (**). Logo, por hipótese

de indução, vems(q) ∈ Q. Pelo Corolário 5.12, temos mesmos(q) ∈ Qn−1. Logo

q ∈ Qn.

Corolário 5.20. Seq ∈ Q é tal queqϕ ∈ E(S) então{q} = Pref(q) ∩ (qϕ)ϕ−1.

5.2. Um algoritmo

Lema 5.21.Sejamq ∈ Q, q′ ∈ A+ ex ∈ A tais que(qx)ϕ ∈ E(S). Então,

(q, x, q′) ∈ E se e só se q′ = min(Pref(qx) ∩

((qx)ϕ

)ϕ−1

Demonstração.Seja(q, x, q′) ∈ E tal que(qx)ϕ ∈ E(S). Existe entãom ∈ N tal

que(q, x, q′) ∈ Em. Provemos queq′ = min(Pref(qx)∩

((qx)ϕ

)ϕ−1

)por indução

Se(q, x, q′) ∈ E1 entãoq = ǫ e q′ = x, pelo que o resultado é óbvio.

Sejan ≥ 1. Suponhamos que(q, x, q′) ∈ En+1 e, como hipótese de indução,

quep′ = min(Pref(py) ∩

((py)ϕ

)ϕ−1

), para todo o(p, y, p′) ∈ En que verifica

(py)ϕ ∈ E(S). Sabemos queq ∈ Qn, pelo que, atendendo ao Corolário 5.12,

temos|q| ≤ n. Mais, como(qx)ϕ ∈ E(S), necessariamente(q, x, q′) /∈ E(3)n+1.

Se (q, x, q′) ∈ En entãoq′ = min(Pref(qx) ∩

((qx)ϕ

)ϕ−1

), por hipótese de

indução.

Se(q, x, q′) ∈ E(1)n+1 entãoq′ = qx e logoq′ = min

(Pref(qx) ∩

((qx)ϕ

)ϕ−1

pelo Corolário 5.20.

Se (q, x, q′) ∈ E(2)n+1 entãoq′ ∈ Qn \{ǫ} ∩ Pref(q) e q′ϕ = (qx)ϕ ∈ E(S).

Claramente,q′ ∈ Pref(qx)∩((qx)ϕ

)ϕ−1, |q′| < |qx| e, pelo Corolário 5.20, temos

{q′} = Pref(q′) ∩ (q′ϕ)ϕ−1. Uma vez que os prefixos deq′ são prefixos deq,

concluímos queq′ = min(Pref(qx) ∩

((qx)ϕ

)ϕ−1

Reciprocamente, suponhamos queq′ = min(Pref(qx) ∩

((qx)ϕ

)ϕ−1

). Como

q ∈ Q, existen ∈ N0 tal queq ∈ Qn. Pelo Corolário 5.12, sabemos que|q| ≤ n.

Se n = 0, i.e., q = ǫ, temos necessariamente, por hipótese,q′ = x; logo,

(q, x, q′) ∈ E1.

Suponhamos quen ≥ 1 e queq 6= ǫ.

Seqx ∈ Q entãoqx ∈ Qn+1, pelo Corolário 5.12. Logo(q, x, q′) ∈ E(1)n+1.

Seqx /∈ Q entãoqx /∈ Qn+1. Por definição deQn+1, existep ∈ Qn\{ǫ}∩Pref(q)

tal quepϕ = (qx)ϕ ∈ E(S). Entãop ∈ Pref(qx) ∩((qx)ϕ

)ϕ−1, tendo-se, por

hipótese,|q′| ≤ |p|. Sendo assim,q′ ∈ Pref(p) ∩ (pϕ)ϕ−1. Pelo Corolário 5.20,

concluímos queq′ = p. Logo(q, x, q′) ∈ E(2)n+1.

Lema 5.22.Para todo oq ∈ Q, tem-seFact(q) ⊆ Q.

Demonstração.É uma consequência imediata do Lema 5.19.

Proposição 5.23.O conjuntoQ é finito.

Demonstração.Suponhamos com vista a um absurdo queQ não é finito. Então

pelo Corolário 4.2, existeq ∈ Q que admite um factoru = u1u2 2-potência uni-

forme paraϕ, ondeu1, u2 ∈ A+ e u1ϕ = u2ϕ ∈ E(S). Pelo Lema 5.22, temos

u1, u ∈ Q. Então|u1| < |u|, u1 ∈ Pref(u) e uϕ = u1ϕ ∈ E(S), o que pelo

Corolário 5.20 é uma contradição. PortantoQ é finito.

Proposição 5.24.O autómatoA LZ(S) é completo e determinista.

Demonstração.Sejamq ∈ Q e x ∈ A. Provamos o resultado por indução no

comprimento deqx.

Suponhamos que|qx| = 1. Entãoq = ǫ ex ∈ A, pelo que(ǫ, x, x) ∈ E1. Seja

q′ ∈ Q tal que(ǫ, x, q′) ∈ E. Pelo Lema 5.17, sabemos que(ǫ, x, q′) ∈ E1. Logo

q′ = x.

Admitamos agora que|qx| ≥ 2 e, como hipótese de indução, que para todos os

p ∈ Q e y ∈ A tais que|py| < |qx|, existe emA LZ(S) uma única transição de

origemp e etiquetay. Sejan ∈ N0 tal queq ∈ Qn+1\Qn. Pelo Corolário 5.12,

temos|q| = n+ 1.

Se qx ∈ Q então, pelo Corolário 5.12, vemqx ∈ Qn+2. Sendo assim, por

definição, temos(q, x, qx) ∈ E(1)n+2 ⊆ E. O Lema 5.18 garante que(q, x, qx) é a

única transição com origemq e etiquetax.

Seqx /∈ Q e (qx)ϕ ∈ E(S) então, pelo Lema 5.21, existe uma única transição

deA LZ(S) com origemq e etiquetax.

Suponhamos queqx /∈ Q e (qx)ϕ /∈ E(S). Entãoqx /∈ Qn+2, pelo que

s(qx) /∈ Qn+1. Como |s(qx)| = |q| = n + 1, escrevamoss(qx) = a1 . . . an+1,

com a1, . . . , an+1 ∈ A. Por hipótese de indução, existe um e um sóp1 ∈ Q tal

que(ǫ, a1, p1) ∈ E. Pelo Lema 5.15, temos|p1| ≤ |ǫa1| = |a1| < |qx|. Logo,

por hipótese de indução, existe um e um sóp2 ∈ Q tal que(p1, a2, p2) ∈ E.

Novamente pelo Lema 5.15, obtemos|p2| ≤ |p1a2| ≤ |a1a2| < |qx|. Apli-

cando sucessiva e conjuntamente a hipótese de indução e o Lema 5.15, obtemos

p3, . . . , pn+1 ∈ Q tais que(p2, a3, p3), . . . , (pn, an+1, pn+1) ∈ E, com |pk+1| ≤

|pkak+1| para todo ok ∈ {2, . . . , n}. Logo |pk| ≤ |a1a2 . . . ak|, para todo o

k ∈ {1, . . . , n + 1}. Em particular,|pn| ≤ n e |pn+1| ≤ n + 1 = |s(qx)|.

5.2. Um algoritmo

Logo, pelo Corolário 5.12, vempn ∈ Qn \ {ǫ} e pn+1 ∈ Qn+1 \ {ǫ}. Mais

ainda,|pn+1| < |s(qx)|, pois caso contrário teríamoss(qx) = pn+1 ∈ Q. Ob-

servamos também que, pelo Lema 5.17 e pelo facto deEi ⊆ Ei+1 (i ∈ N0),

vem(ǫ, a1, p1), . . . , (pn, an+1, pn+1) ∈ En+1. Tome-sei(qx)pn+1 = b1 . . . br, com

b1, . . . , br ∈ A. Note-se que|i(qx)pn+1| < |i(qx)s(qx)| = |qx|. Por hipótese de

indução, existe um e um sóq1 ∈ Q tal que(ǫ, b1, q1) ∈ E. Pelo Lema 5.15, temos

|q1| ≤ |ǫb1| = |b1| < |qx|, pelo que|q1b2| ≤ |b1b2| < |qx|. Logo, por hipótese

de indução, existe um e um sóq2 ∈ Q tal que(q1, b2, q2) ∈ E. Novamente pelo

Lema 5.15, vem|q2| ≤ |q1b2| ≤ |b1b2| < |qx|. Aplicando sucessiva e conjunta-

mente a hipótese de indução e o Lema 5.15, vamos obter elementosq3, . . . , qr ∈ Q

tais que(q2, b3, q3), . . . , (qr−1, br, qr) ∈ E e

|q1| ≤ |b1|

|q2| ≤ |q1b2| ≤ |b1b2|...

|qr−1| ≤ |qr−2br−1| ≤ |b1b2 . . . br−1| = |pn+1| < |s(qx)| = |q| = n + 1

|qr| ≤ |qr−1br| ≤ |b1b2 . . . br| < |qx| = n + 2

Logo, pelo Lema 5.17 e pelo facto deEi ⊆ Ei+1 (i ∈ N0), vem (ǫ, b1, q1),

(q1, b2, q2), . . . , (qr−1, br, qr) ∈ En+1. Atendendo à definição deE(3)n+2, concluí-

mos que(q, x, qr) ∈ E(3)n+2 ⊆ E. Observemos que, pondop0 = ǫ, por hipótese de

indução, para todo ok ∈ {0, . . . , n}, pk+1 é o único elemento deQ que satisfaz

(pk, ak+1, pk+1) ∈ E. Do mesmo modo, para todo oj ∈ {0, . . . , r − 1}, qj+1 é o

único elemento deQ que satisfaz(qj , bj+1, qj+1) ∈ E. Logo, atendendo à definição

deE(3)n+2 e ao Lema 5.17,qr é o único elemento deQ tal que(q, x, qr) ∈ E.

Sejaδ a função transição deA LZ(S).

Do Corolário 5.16 e do Lema 5.14 podemos afirmar o seguinte.

Proposição 5.25.Para quaisquerq ∈ Q eu ∈ A∗, temos

(a) |(q, u)δ| ≤ |qu|;

(b) (q, u)δ = qu se e só se|(q, u)δ| = |qu| se e só sequ ∈ Q. Em particular,

(ǫ, u)δ = u se e só se|(ǫ, u)δ| = |u| se e só seu ∈ Q.

Desta última proposição resulta que o autómatoA LZ(S) é acessível.

Proposição 5.26.Para quaisquerq ∈ Q e u ∈ A+, tem-se((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Em particular,((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ.

Demonstração.Sejamq ∈ Q eu ∈ A+.

Seq = ǫ e u ∈ A então, por definição, temosqu ∈ Q1. Assim, pela Proposi-

ção 5.25, vem(q, u)δ = qu, pelo que((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Suponhamos agora que|qu| ≥ 2 e admitamos, como hipótese de indução, que((p, v)δ

)ϕ = (pv)ϕ, para quaisquerp ∈ Q ev ∈ A+ tais que|pv| < |qu|.

Note-se que(q, u)δ =(q′, t(u)

)δ, ondeq′ =

(q, p(u)

)δ. Sep(u) = ǫ então

u = t(u) ∈ A; logo q 6= ǫ. Nesse caso, temosq′ =(q, p(u)

)δ = q, pelo que

q′ϕ =(q p(u)

)ϕ. Sep(u) 6= ǫ, a hipótese de indução assegura que

q′ϕ =((q, p(u)

)δ)ϕ =

(q p(u)

Logo, verifica-se sempre(qu)ϕ =(q p(u)t(u)

(q′t(u)

Se(qu) ∈ Q então, pela Proposição 5.25, obtemos((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Se(qu) /∈ Q e (qu)ϕ ∈ E(S) então, pelo Lema 5.21, temos

(q′, t(u)

)δ ∈ Pref

(q′t(u)

)∩((q′t(u)

)ϕ)ϕ−1.

Logo((q, u)δ

((q′, t(u)

)δ)ϕ =

(q′t(u)

)ϕ = (qu)ϕ.

Se(qu) /∈ Q, (qu)ϕ /∈ E(S) e q′t(u) ∈ Q então, pela Proposição 5.25, vem

((q, u)δ

((q′, t(u)

)δ)ϕ =

(q′t(u)

)ϕ = (qu)ϕ.

Se(qu) /∈ Q, (qu)ϕ /∈ E(S) e q′t(u) /∈ Q então, pela Proposição 5.25, temos

|(q′, t(u)

)δ| < |q′t(u)| ≤ |qp(u)t(u)| = |qu|.

Comou ∈ A+, temos|qp(u)| ≥ 1 e, logo,q′ =(q, p(u)

)δ 6= ǫ. Ora, por definição

deE(3)|q′|+1, temos

(q′, t(u)

(ǫ, i(q′)

(ǫ, s(q′)t(u)

)δ)δ

=((ǫ, i(q′)

)δ,(ǫ, s(q′)t(u)

)δ)δ

5.2. Um algoritmo

((ǫ, i(q′)

)δ,((ǫ, s(q′)

)δ, t(u)

i(q′),(s(q′), t(u)

)δ)δ

(Lema 5.22 e Proposição 5.25

e |(s(q′), t(u)

)δ| < |s(q′)t(u)|, poisq′t(u) /∈ Q e s

(q′t(u)

)= s(q′)t(u). Então

|i(q′)(s(q′), t(u)

)δ| < |i(q′)s(q′)t(u)| = |q′t(u)| ≤ |qu|.

Por hipótese de indução, obtemos((q′, t(u)

)δ)ϕ =

((i(q′),

(s(q′), t(u)

)δ)δ

i(q′)(s(q′), t(u)

)δ)ϕ

=(i(q′)s(q′)t(u)

=(q′t(u)

Logo((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ.

Proposição 5.27.Seq ∈ Q eu ∈ A∗ são tais quequ ∈ A+ e(qu)ϕ ∈ E(S), então

(q, u)δ = min(

Pref((q, p(u)

)δ t(u)

)∩((qu)ϕ

)ϕ−1

Demonstração.Sejamq ∈ Q eu ∈ A∗ tais quequ ∈ A+ e (qu)ϕ ∈ E(S).

Seu = ǫ então, pelo Corolário 5.20, vem

q = min(Pref(q) ∩ (qϕ)ϕ−1

)= min

((q, p(u)

)δ t(u)

)∩((qu)ϕ

)ϕ−1

Seu ∈ A+ então(q, u)δ =(q, p(u)t(u)

((q, p(u)

)δ, t(u)

)δ. Pela Proposi-

ção 5.26, temos((q, p(u)

)δt(u)

((q, u)δ

)ϕ = (qu)ϕ ∈ E(S). O Lema 5.21

permite-nos concluir que

(q, u)δ = min(

Pref((q, p(u)

)δt(u)

)∩((qu)ϕ

)ϕ−1

Pela Proposição 5.25 e por(ǫ, u)δ =((ǫ, p(u)

)δ, t(u)

)δ, seu ∈ A+ é tal que

u /∈ Q, então(ǫ, p(u)

)δt(u) /∈ Q ou p(u) /∈ Q.

Baseando-nos nos resultados anteriores, caracterizemos aacção direita deA so-

breQ do modo seguinte: dadox ∈ A,

(ǫ, x)δ = x

e, paraq ∈ Q\{ǫ},

(q, x)δ =

qx se qx ∈ Q

Pref(qx) ∩((qx)ϕ

)ϕ−1

)se (qx)ϕ ∈ E(S)

(i(q),

(s(q), x

)δ)δ se qx /∈ Q e (qx)ϕ /∈ E(S)

Parte II

SejaS(A LZ(S)

)o semigrupo de transição do autómatoA LZ(S). PorA LZ(S)

ser finito, tambémS(A LZ(S)

)é finito.

Exemplo. Consideremos novamente o semigrupo de Brandt

B2 =⟨a, b | aba = a, bab = b, a2 = b2 = 0

Aplicando o algoritmo, obtemos o autómatoA LZ(B2), onde∗ indica os estados

que emB2 são idempotentes:

∗ab2

∗ba2

∗aba2

∗bab2

5.2. Um algoritmo

Este exemplo suscita a questão de o semigrupo de transição deA LZ(S) ser, a

menos de isomorfismo, a expansão de Malcev deS determinada pela variedade

LZ. A resposta a esta questão é negativa, como veremos num exemplo mais à

frente. No entanto, o teorema principal desta secção, que será apresentado no final,

anuncia uma condição necessária e suficiente para queS(A LZ(S)

)eIm©S sejam

isomorfos.

)LZm©S

Demonstração.Sejau ∈ A+.

)LZm©S

Suponhamos que|u| ≥ 2 e, como hipótese de indução, que, para todas as pala-

)LZm©S

. Observe-se que, pela

Proposição 5.26, temos

((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ e

((ǫ, p(u)

)δ t(u)

(p(u)t(u)

)ϕ = uϕ.

Seu ∈ Q então, atendendo à Proposição 5.25, sabemos que(ǫ, u)δ = u. Logo

)LZm©S

Seu /∈ Q e uϕ ∈ E(S), então(ǫ, u)δ ∈ Pref((ǫ, p(u)

)δ t(u)

), pela Proposi-

hipótese de indução, deduzimos que

((ǫ, u)δ

)LZm©S

=((ǫ, u)δ

(ǫ, p(u)

)δ t(u)

)LZm©S

=((ǫ, p(u)

)δ t(u)

)LZm©S

=(p(u)t(u)

)LZm©S

= (u)LZm©S

Suponhamos queu /∈ Q euϕ /∈ E(S). Temos((ǫ, p(u)

)δ)LZm©S

=(p(u)

)LZm©S

por hipótese de indução.

Se(ǫ, p(u)

)δt(u) ∈ Q então, pela Proposição 5.25, tem-se

(ǫ, u)δ =((ǫ, p(u)

)δ, t(u)

(ǫ, p(u)

)δt(u)

e logo ((ǫ, u)δ

)LZm©S

=((ǫ, p(u)

)δt(u)

)LZm©S

=(p(u)t(u)

)LZm©S

= (u)LZm©S

Se(ǫ, p(u)

)δt(u) /∈ Q, sejav =

(ǫ, p(u)

)δt(u). Entãos(v) /∈ Q, pela definição

deQ. Sendo assim, pela Proposição 5.25 e pelo Lema 5.15, temos

|(ǫ, v)δ| < |v| ≤ |p(u)t(u)| = |u| e∣∣(ǫ, s(v)

)δ∣∣ < |s(v)|.

Logo |i(v)(ǫ, s(v)

)δ| < |i(v)s(v)| = |v| ≤ |u| e, por definição deE, temos((

ǫ, p(u))δ, t(u)

(ǫ, i(v)

(ǫ, s(v)

)δ)δ. Deste modo, por hipótese de indução,

deduzimos que

((ǫ, u)δ

)LZm©S

(((ǫ, p(u)

)δ, t(u)

LZm©S

((ǫ, i(v)

(ǫ, s(v)

)δ)δ

LZm©S

i(v)(ǫ, s(v)

)δ)LZm©S

=(i(v)s(v)

)LZm©S

= (v)LZm©S

=((ǫ, p(u)

)δt(u)

)LZm©S

=(p(u)t(u)

)LZm©S

= (u)LZm©S.

Proposição 5.29.Existe um morfismo sobrejectivoγ deS(A LZ(S)

)paraLZm©S

tal que o diagrama seguinte comuta:

( )LZm©S

## ##HHH

yyyyrrrrrrrrrr

S(A LZ(S)

Demonstração.Sejamu, v ∈ A+ tais queu = v. Então(ǫ, u)δ = (ǫ, v)δ. Logo,

5.2. Um algoritmo

Exemplo. SejaS =⟨a, b | ab = a, a3 = b = b2

⟩. Então o autómatoA LZ(S) é o

que está representado a seguir, onde∗ assinala os estados que emS são idempo-

tentes:

ǫa ∗b

ba∗a3

ba2bab

a4 ∗a2ba

∗aba2

abab ba2bbaba

a5 a2ba2∗ababa babab

No semigrupo de transiçãoS(A LZ(S)

)tem-sebab = (ǫ, bab)δ 6= (ǫ, ba)δ = ba;

bab = ba3ab = baa3b = baa3 = ba3a = ba.

LogoS(A LZ(S)

ondeR ={uv = u | u, v ∈ A+ euϕ = vϕ ∈ E(S)

}. O enunciado seguinte, que

culado a partir do semigrupo finitoS(A LZ(S)

)(que pode também ser calculado)

tomando um quociente por uma congruência definida de forma similar aR♯.

)/θ, ondeθ é a congruência gerada

por{(u v, u) | u, v ∈ A+ euϕ = vϕ ∈ E(S)

grupo de transiçãoS(A LZ(S)

Lema 5.31.Seq, q′ ∈ Q\{ǫ} são tais queq 6= q′, entãoq 6= q′.

Demonstração.Sejamq, q′ ∈ Q\{ǫ} tais queq 6= q′.

Então, pela Proposição 5.25, temos(ǫ, q)δ = q 6= q′ = (ǫ, q′)δ. Logoq 6= q′.

Existe então uma aplicação injectiva deQ \ {ǫ} em S(A LZ(S)

)que a cada

q ∈ Q\{ǫ} faz corresponderq.

Observemos ainda que, para todo ox ∈ A, como (ǫ, x)δ = x, verifica-se

(ǫ, x)δ = x. Sendo assim, podemos concluir queS(A LZ(S)

⟨(ǫ, x)δ | x ∈ A

Proposição 5.32.Se|Q\{ǫ}| = |S(A LZ(S)

)| então:

(a) S(A LZ(S)

{q : q ∈ Q\{ǫ}

(b) para todo ou ∈ A+, tem-seu = (ǫ, u)δ;

e se, além disso,(ǫ, qq′)δ = q, sempre queq, q′ ∈ Q \ {ǫ} e qϕ = q′ϕ ∈ E(S),

então

(c) existe umLZ-morfismoη deS(A LZ(S)

)paraS tal que o seguinte diagrama

comuta:

�� ???

yyyyrrrrrrrrrr

S(A LZ(S)

) η // //_______ S

Demonstração.A alínea(a) obtém-se da hipótese e do Lema 5.31.

Seja agorau ∈ A+. Pela alínea(a), sejaq ∈ Q\{ǫ} tal queu = q. Então

(ǫ, u)δ = (ǫ, q)δ = q, pela Proposição 5.25. Logo(ǫ, u)δ = q = u.

Provemos a alínea(c). Consideremos o morfismoγ da Proposição 5.29 e o

Sejamu, v ∈ A+ tais queuϕ = vϕ ∈ E(S). Então, pela Proposição 5.26, temos((ǫ, u)δ

)ϕ = uϕ = vϕ =

((ǫ, v)δ

)ϕ. Por hipótese,

(ǫ, (ǫ, u)δ(ǫ, v)δ

)δ = (ǫ, u)δ.

Sendo assim, por(b), obtemos

u v = (ǫ, u)δ(ǫ, v)δ =(ǫ, (ǫ, u)δ(ǫ, v)δ

)δ = (ǫ, u)δ = u.

Portantoη = γπS é umLZ-morfismo.

5.2. Um algoritmo

Teorema 5.33.Sejam(S, ϕ) um semigrupoA-gerado finito, comA também finito.

)se e só se

|Q\{ǫ}| = |S(A LZ(S)

∀q, q′ ∈ Q\{ǫ}(q′ϕ = qϕ ∈ E(S) ⇒ (ǫ, qq′)δ = q

Demonstração.A implicação directa resulta das Proposições 5.29 e 5.32 e das

propriedades da expansão de Malcev.

). Então o morfismo

γ da Proposição 5.29 é um isomorfismo.

Sejaf : S(A LZ(S)

)→ Q\{ǫ} a aplicação tal queuf = (ǫ, u)δ, para cada

u ∈ A+. Pela Proposição 5.25, esta aplicação é sobrejectiva. Sejam u, v ∈ A+

u = v, pela injectividade deγ. Concluímos assim quef também é injectiva.

Portanto|Q\{ǫ}| = |S(A LZ(S)

Sejamq, q′ ∈ Q\{ǫ} tais queqϕ = q′ϕ ∈ E(S). Então, pela definição de

Logo, porγ ser um isomorfismo, obtemosqq′ = q, pelo que

(ǫ, qq′)δ = (ǫ, q)δ = q.

Atendendo à Proposição 2.6 e ao facto de existir um morfismo desemigrupos

V é uma variedade de semigrupos arbitrária, é pertinente a questão de qual dos se-

migruposS(A I(S)

)cujo o

c.p.o dasJ -classes é o seguinte:

tendo-se, neste caso,S(A I(B2)

Todavia, a resposta a essa questão encontra-se em aberto.

Fechamos a secção com uma descrição formal do algoritmo parao cálculo de

na linguagem de programação GAP (Groups, Algorithms, Programming – a Sys-

tem for Computational Discrete Algebra), [19], encontra-se no Anexo B.

5.2. Um algoritmo

input : Q = {ǫ}, A e (S, ϕ)

output: LZm©S

for q ∈ Q ex ∈ A do

considerar a concatenaçãoqx;

if |qx| = 1 thenadicionarqx aQ e definir(q, x)δ = qx

if (qx)ϕ ∈ E(S) then

if ∃q′ ∈ Pref(q)\{ǫ, q} tal queq′ϕ = (qx)ϕ thendefinir (q, x)δ = q′

if s(qx) /∈ Q then

definir (q, x)δ =(ǫ, i(qx)

(ǫ, s(qx)

)δ)δ

considerar o autómatoA LZ(S) = (Q,A, δ, ǫ, ∅);

considerarS(A LZ(S)

if∣∣S

(A LZ(S)

)∣∣ = |Q| − 1 e

∀q, q′ ∈ Q\{ǫ}(qϕ = q′ϕ ∈ E(S) ⇒ (ǫ, qq′)δ = q

return S(A LZ(S)

considerarθ = {(u v, v) | u, v ∈ A+ euϕ = vϕ ∈ E(S)}♯;

return S(A LZ(S)

5.3 Semigrupos localmente grupos

Nesta secção apresentamos uma caracterização algébrica daexpansão de Malcev

determinada porLZ de um semigrupoA-gerado(S, ϕ), comA finito eS ∈ LG.

Atendendo ao facto dos idempotentes desta expansão com a mesma imagem por

ϕ estaremL -relacionados e ao facto de que, seS for localmente grupo, então

que depende de um dado subconjuntoM deA+ finito que determina o número

de S “expandido” do seguinte modo: substitui-se cadaR-classeR de I por n

cópias deR, sendon o número de elementos deM com imagem porϕ emR. O

consideradas.

Terminamos a secção apresentando, de forma sumária, uma adaptação desta

SejamA um alfabeto e(S, ϕ) um semigrupoA-gerado. Para cadau ∈ NRed(ϕ),

sejap(u) o prefixo deu em NRed(ϕ) de menor comprimento. Consideremos o

seguinte subconjunto de NRed(ϕ):

M = {p(u) | u ∈ NRed(ϕ)}.

EntãoM é finito (logo, é uma linguagem racional), pois caso contrário, pelo Coro-

lário 4.2 existiriau ∈ M ∩ A∗((E(S)

)ϕ−1

)((E(S)

)ϕ−1

)A∗, o que seria um ab-

surdo. Tem-seM = A∗((E(S)

)ϕ−1

)\A∗

((E(S)

)ϕ−1

)A+ e, para todo om ∈M ,

tem-sem = p(m). Além disso, seu, v ∈ NRed(ϕ) são tais queu ∈ Pref(v), então

p(u) = p(v).

Para o que se segue, vamos admitir queA é finito eS ∈ LG. Definimos em

Red(ϕ) ·∪(⋃

({m} ×Rmϕ

5.3. Semigrupos localmente grupos

a seguinte operação binária· : parau, v ∈ Red(ϕ),m,n ∈M , s ∈ Rmϕ e t ∈ Rnϕ,

u · v =

{uv , se uv ∈ Red(ϕ)(p(uv), (uv)ϕ

), se uv ∈ NRed(ϕ)

u · (m, s) =(p(um), (uϕ)s

(m, s) · u =(m, s(uϕ)

(m, s) · (n, t) = (m, st)

Pelas Proposições 1.15 e 1.19, em conjunto, podemos afirmar que esta operação

está bem definida. Para facilitar a escrita, ponhamos

T = Red(ϕ) ·∪(⋃

({m} ×Rmϕ

Através de um exercício simples de rotina, prova-se queT com a operação acima

definida é um semigrupo.

Sejaψ : A+ → T a aplicação definida por: para cadau ∈ A+,

{u , se u ∈ Red(ϕ)(p(u), uϕ

), se u ∈ NRed(ϕ)

Proposição 5.34.A aplicaçãoψ é um morfismo de semigrupos sobrejectivo.

Demonstração.Sejau ∈ T . Seu ∈ Red(ϕ) entãouψ = u, por definição.

Suponhamos queu /∈ Red(ϕ). Entãou é da forma(m, s), para certosm ∈ M

e s ∈ Rmϕ. Sejaw ∈ A+ tal quewϕ = s e sejan ∈ N tal que(mϕ)n ∈ E(S).

Então, comoS é um semigrupo finito localmente grupo, temossRmϕR (mϕ)n,

dondes = (mϕ)ns. Tome-semnw ∈ A+. Comom ∈ Pref(mnw) ∩ NRed(ϕ) e

mnw ∈ NRed(ϕ), temosp(mnw) = p(m) = m. Logo

(mnw)ψ =(p(mnw), (mnw)ϕ

(p(m), (mϕ)ns

)= (m, s) = u.

Portantoψ é uma aplicação sobrejectiva.

Através da análise de cada caso, provamos facilmente que esta aplicação é um

morfismo de semigrupos.

Deste modo(T, ψ) é um semigrupoA-gerado.

Salientamos que seu, v ∈ A+ são tais queuψ = vψ, entãou ∈ Red(ϕ) se e

só sev ∈ Red(ϕ), euϕ = vϕ. Fica provada, assim, a existência de um (e um só)

morfismoφ : T ։ S que faz comutar o diagrama seguinte:

~~~~||||||||

Tφ // //_______ S

Proposição 5.35.O morfismoφ : T ։ S é umLZ-morfismo.

Demonstração.Sejae ∈ E(S) e sejamu, v ∈ A+ tais queuϕ = vϕ = e. Então

u, uv ∈ NRed(ϕ) eu ∈ Pref(uv), pelo quep(uv) = p(u). Sendo assim, podemos

concluir queuψ · vψ = (uv)ψ =(p(uv), (uv)ϕ

(p(u), uϕ

)= uψ.

Seφ é umLZ-morfismo, pela Proposição 2.2, sabemos que existe um morfismo

( )LZm©S

��

ψ�� ϕ

��

&& &&NNNN

LZm©SπS // //

66 66nnn

já conhecidas dosLZ-morfismos [53, 32].

Lema 5.36. SejamU e V semigrupos finitos tais queU ∈ LG e π : V ։ U

umLZ-morfismo relacional [RZ-morfismo relacional,RB-morfismo relacional]

sobrejectivo. EntãoV ∈ LG.

Demonstração.Atendendo à Proposição 1.19, basta ver queeJ f , para quaisquer

e, f ∈ E(V ).

Sejame, f ∈ E(V ). Então existemx, y ∈ E(U) tais quex ∈ eπ e y ∈ fπ.

ComoU ∈ LG, pela Proposição 1.19, temosxJ y. Sejama, b, c, d ∈ U tais que

x = ayb e y = cxd. Comoπ é sobrejectivo, existema′, b′, c′, d′ ∈ V tais que

a ∈ a′π, b ∈ b′π, c ∈ c′π ed ∈ d′π. Assim,x ∈ eπ ∩ (a′fb′)π ey ∈ fπ ∩ (c′ed′)π.

Uma vez que, por hipótese,π é umLZ-morfismo relacional, obtemose = ea′fb′

ef = fc′ed′. LogoeJ f .

Os outros casos provam-se analogamente.

dade de um semigrupo ser localmente grupo e concluimos, então, o seguinte.

Demonstração.Resulta do facto deLZ ser uma variedade localmente finita, da

Proposição 2.8 e do Lema 5.36 aplicado aπS.

Lema 5.38.SejamU eV semigrupos e sejaπ : V ։ U um morfismo sobrejectivo

de semigrupos. Seπ é umLZ-morfismo [RZ-morfismo,RB-morfismo] então

π é injectivo nos subsemigrupos inversos e nasR-classes regulares [L -classes

regulares, nos subsemigrupos inversos] deV .

Demonstração.Provamos apenas para o caso deπ ser umLZ-morfismo. Os ou-

tros casos provam-se dualmente.

SejaV ′ um subsemigrupo inverso deV e sejams, t ∈ V ′ tais quesπ = tπ.

Tome-ses−1 e t−1 os inversos des e t em V ′, respectivamente. EntãoV ′π é

um subsemigrupo inverso deU e (sπ)−1 = s−1π e (tπ)−1 = t−1π. Como, por

hipótese,sπ = tπ, vems−1π = t−1π. Temos também

(t−1s)π = (s−1s)π e (st−1)π = (tt−1)π.

Como(s−1s)π e(tt−1)π são idempotentes eπ é umLZ-morfismo, deduzimos que

st−1s = ss−1st−1s = ss−1s = s e t−1st−1 = t−1tt−1st−1 = t−1tt−1 = t−1. Logo

s−1 = t−1 e, portanto,s = t.

Sejam agoras, t ∈ T tais ques, t ∈ Reg(V ), sR t e sπ = tπ. Então existem

s′ ∈ V (s) e t′ ∈ V (t) tais quess′ = tt′. Como(s′t)π = (s′s)π ∈ E(U) eπ é um

LZ-morfismo, vems′t = s′ss′t = s′s. Logos = ss′s = ss′t = tt′t = t.

classes regulares.

Teorema 5.40.Seja(S, ϕ) um semigrupoA-gerado, comA finito, tal queS ∈ LG.

Então

({m} ×Rmϕ

Sejamu, v ∈ A+ tais queuψ = vψ. Então, como foi observado,u ∈ Red(ϕ) se

e só sev ∈ Red(ϕ).

Seu, v ∈ NRed(ϕ) então, pela definição deψ, temosp(u) = p(v) euϕ = vϕ.

)LZm©S

=(p(v)

)LZm©S

R (v)LZm©S.

é um morfismo injectivo.

Corolário 5.41. Para quaisqueru, v ∈ NRed(ϕ), temos

Em particular, sem,n ∈M , então

O Teorema 5.40 permite-nos assim tirar conclusões sobre o c.p.o dasJ -classes

formamJ -classes singulares eJ resulta do ideal minimalI de S substituindo

cadaR-classeR de I por x cópias deR, sendox o número de elementos deM

descreve esta situação.

R3...R3

R1...R1

Red(ϕ)

c.p.o deLZm©S

J−classes nãoregulares

c.p.o deS

Dualmente podemos caracterizar a expansão de Malcev determinada porRZ de

um semigrupoA-gerado(S, ϕ), comA finito eS ∈ LG.

Para cada palavrau ∈ NRed(ϕ), definimos pors(u) o sufixo deu em NRed(ϕ)

de menor comprimento. Tomamos o conjuntoN ={

s(u) | u ∈ NRed(ϕ)}

. Então

(Lnϕ × {n}

onde a multiplicação é definida por: parau, v ∈ Red(ϕ), n,m ∈ N , s ∈ Lnϕ e

t ∈ Lmϕ,

v · u =

{vu , se vu ∈ Red(ϕ)((vu)ϕ, s(vu)

), se vu ∈ NRed(ϕ)

v · (s,m) =((vϕ)s,m

(s, n) · v =(s(vϕ), s(nv)

(s, n) · (t,m) = (st,m)

e o morfismo sobrejectivo deA+ para Red(ϕ) ·∪(⋃

(Lnϕ × {n}

))é definido

por: para cadau ∈ A+,

u 7−→

{u , se u ∈ Red(ϕ)(uϕ, s(u)

tuindo cadaL -classeL deI por y cópias deL, ondey é o número de elementos

deN com imagem porϕ contida emL.

sentamos nesta secção e, a Proposição 5.38, obtemos o seguinte resultado:

(m,n)∈M×N{m} × (Rmϕ ∩ Lnϕ)× {n}),

onde a multiplicação é definida por: parau, v ∈ Red(ϕ), (m,n), (m′, n′) ∈M×N ,

s ∈ Rmϕ ∩ Lnϕ em′ ∈ Rm′ϕ ∩ Ln′ϕ,

u · v =

{uv , se vu ∈ Red(ϕ)(p(uv), (uv)ϕ, s(uv)

), se vu ∈ NRed(ϕ)

u · (m, s, n) =(p(um), (uϕ)s, n

(s, n) · u =(m, s(uϕ), s(nu)

(m, s, n) · (m′, s′, n′) = (m, ss′, n′)

e o morfismo deA+ para Red(ϕ) ·∪(⋃

(m,n)∈M×N{m} × (Rmϕ ∩ Lnϕ) × {n})

sobrejectivo define-se do seguinte modo: para cadau ∈ A+,

u 7−→

{u , se u ∈ Red(ϕ)(p(u), uϕ, s(u)

Questões em aberto

Apresentamos uma lista de problemas em aberto referentes aos vários assuntos

tratados neste trabalho ou motivados por eles.

Secção 4.2

– Estudar a eficiência do algoritmo. Acreditamos que, baseado na estrutura

deste algoritmo, podemos encontrar um mais eficiente.

– Melhorar a implementação do algoritmo em GAP.

Secções 4.3 e 4.4

– Zϕ(L) = Wϕ(L)? ρϕ(L) = θϕ(L)?

– Descrever a congruênciaρϕ(L).

– Quais os semigrupos(S, ϕ) para os quaisS = S?

– Se substituirmos a condição2) da definição deWϕ(L) eZϕ(L) por:

∀u, v, w ∈ A∗(uv, vw ∈ X ⇔ uvw ∈ X),

obtemos resultados e conclusões semelhantes aos obtidos nas Secções 4.3 e 4.4?

Secção 5.2

– Estudar a eficiência do algoritmo.

– Melhorar a implementação do algoritmo em GAP.

Secção 5.3

semigrupos finitosS localmente grupos?

Questões de âmbito mais geral

– Os algoritmos apresentados neste trabalho são generalizáveis para o cálculo

das expansões de Malcev determinadas por outras variedadesde semigrupos

localmente finitas?

– Estudar no contexto da Teoria Geométrica dos Semigrupos osautómatos ob-

tidos pelos algoritmos das Secções 4.2 e 5.2.

– Estender as definições e resultados da Secção 4.3 aos semigrupos profinitos.

Anexo A - Algoritmo para

O código que se segue consiste numa implementação em GAP (Groups, Algo-

rithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra) [19] do

algoritmo apresentado na Secção 4.2 para calcular a expansão de Malcev de um

semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito (A alfabeto finito) determinada pela variedadeI.

Tenhamos presente o Corolário 4.22 e o Teorema 4.26.

O GAP trabalha com semigrupos, enquanto semigrupos de transformações (Te-

basta introduzir no bloco intitulado por INPUT o alfabetoA e as transformações

geradoras deS, adaptando os restantes comandos deste bloco do código ao alfabeto

escolhido, como o exemplo abaixo ilustra.

Depois de fazer correr o algoritmo, o GAP devolve a mensagem ImS=S1, se

)e F/R é a ex-

de cardinal igual ao deA e R um conjunto de relações sobreB. Em ambas as

LoadPackage("Monoid");

#INPUT

#Alphabet A

A:=["a","b"];

#S semigroup of transformations over A

a:=Transformation([2,3,4,3]);

Anexo A

b:=Transformation([3,4,3,4]);

S:= Semigroup(a,b);

gens:=[a,b];

#FIRST PART

Q:=[1];

T:=List([1..Length(A)],i->[]);

w1:=[""];

i:=Position(A,"a");

z:="";

for x in w1 do

for y in A do

z:=Concatenation(x,y);

z1:=List([1..Length(z)],i->[z[i]]);

z1:=JoinStringsWithSeparator(z1,"*");

if z="a"then

Add(w1,z);

Add(Q,Length(Q)+1);

Add(T[i],Length(Q));

if IsIdempotent(EvalString(z1)) then

flag:=0;

for q in w1 do

q1:=List([1..Length(q)],i->[q[i]]);

q1:=JoinStringsWithSeparator(q1,"*");

if q<> then

if EvalString(q1)=EvalString(z1) then

Add(T[Position(A,y)],Position(w1,q));

flag:=1;

Anexo A

if flag=0 then

Add(w1,z);

Add(Q,Length(Q)+1);

Add(T[Position(A,y)],Length(Q));

if Length(z)=1 then

Add(w1,z);

Add(Q,Length(Q)+1);

z2:=z[2..Length(z)];

st:=1;

for i in [1..Length(z2)] do

j:=Position(A,[z2[i]]);

if IsBound(T[j][st]) then

st:=T[j][st];

Error("this should not happen 1!");

q2:=w1[st];

if q2=z2 then

Add(w1,z);

Add(Q, Length(Q)+1);

q3:=Concatenation([z[1]],q2);

ts:=1;

Anexo A

for i in [1..Length(q3)] do

j:=Position(A,[q3[i]]);

if IsBound(T[j][ts]) then

ts:=T[j][ts];

Add(T[Position(A,y)],ts);

m:=Automaton("det",Length(Q),Length(A),T,[1],[]);

#SECOND PART

S1:=Semigroup(List([1..Length(A)],i->Transformation(T[i])));

s:=GeneratorsOfSemigroup(S1);

if Length(Q)-1=Length(Elements(S1)) then

Print("ImS=S1\n",S1,"\n");

DrawAutomaton(m);

f:=SemigroupHomomorphismByImagesOfGens(S1,S,gens);

F:=FreeSemigroup(Length(A));

x:=GeneratorsOfSemigroup(F);

W:=[[x[1]]];

Q1:=[[s[1]]];

R:=[];

for i in [2..Length(A)] do

Anexo A

for w in W do

flag:=0;

if (s[Position(x,w[1])]=s[i]) or

or (Image(f,s[Position(x,w[1])])=Image(f,s[i])

and IsIdempotent(Image(f,s[i])))then

Add(R,[w[1],x[i]]);

flag:=1;

break;

if flag=0 then

Add(W,[x[i]]);

Add(Q1,[s[i]]);

for w in W do

for y in x do

z:=Concatenation(w,[y]);

z1:=Product(z);

z0:=List([1..Length(z)],i->s[Position(x,z[i])]);

z2:=Product(z0);

flag:=0;

for q in Q1 do

q1:=List([1..Length(q)],i->x[Position(s,q[i])]);

q1:=Product(q1);

q2:=Product(q);

if (z2=q2) or (Image(f,q2)=Image(f,z2) and

IsIdempotent(Image(f,z2))) then

Add(R,[z1,q1]);

flag:=1;

break;

Anexo A

if flag=0 then

Add(W,z);

Add(Q1,z0);

Print("ImS=F/R\n",«fp semigroup on the generators [ s1, s2 ] and

relations R>","\n");

T1:=List([2..Length(A)],i->[]);

T1:=Concatenation([[2]],T1);

r:=GeneratorsOfSemigroup(F/R);

Q2:=[r[1]];

for i in [2..Length(A)] do

flag:=0;

for q in Q2 do

if q=r[i] then

Add(T[i],Position(r,q));

flag:=1;

break;

if flag=0 then

Add(Q2,r[i]);

Add(T1[i],Position(Q2,r[i])+1);

for q in Q2 do

Anexo A

for y in r do

z:=q*y;

flag:=0;

for p in Q2 do

if z=p then

Add(T1[Position(r,y)],Position(Q2,p)+1);

flag:=1;

break;

if flag=0 then

Add(Q2,z);

Add(T1[Position(r,y)],Position(Q2,z)+1);

n:=Automaton("det",Size(F/R)+1,Length(A),T1,[1],[]);

DrawAutomaton(n);

Anexo B - Algoritmo para

O código que se segue consiste numa implementação em GAP (Groups, Algo-

rithms, Programming - a System for Computational Discrete Algebra) [19] do

algoritmo apresentado na Secção 5.2 para calcular a expansão de Malcev de um

semigrupoA-gerado(S, ϕ) finito (A alfabeto finito) determinada pela variedade

LZ. Tenhamos presente o Corolário 5.30 e o Teorema 5.33.

O GAP trabalha com semigrupos, enquanto semigrupos de transformações (Te-

basta introduzir no bloco intitulado por INPUT o alfabetoA e as transformações

geradoras deS, adaptando os restantes comandos deste bloco do código ao alfabeto

escolhido, como o exemplo abaixo ilustra.

Depois de fazer correr o algoritmo, o GAP devolve a mensagem LZmS=S1, se

alfabetoB de cardinal igual ao deA e R um conjunto de relações sobreB. Em

LoadPackage("Monoid");

LoadPackage("Automata");

myEval:=function(v)

local x;

x:=List([1..Length(v)], i->[v[i]]);

x:=JoinStringsWithSeparator(x,"*");

Anexo B

return EvalString(x);

checkLZC:=function(U)

local x, x1, y, y1, z, z1;

for x in U do

x1:=List([1..Length(x)],i->

Transformation(T[Position(A,[x[i]])]));

x1:=JoinStringsWithSeparator(x1,"*");

if IsIdempotent(EvalString(x1)) then

U1:=Filtered(U,i->myEval(i)= EvalString(x1));

for y in U1 do

z1:=List([1..Length(z)],

i->Transformation(T[Position(A,z[i])]));

if not(EvalString(z1)=EvalString(x1)) then

return false;

return true;

#INPUT

#A Alphabet

A:=["a","b"];

#S semigroup of transformations over A

a:=Transformation([2,3,4,3]);

b:=Transformation([3,4,3,4]);

S:= Semigroup(a,b);

gens:=[a,b];

#FIRST PART

Q:=[1];

T:=List([1..Length(A)],i->[]);

Anexo B

w1:=[""];

i:=Position(A,"a");

z:="";

for x in w1 do

for y in A do

P:=List([1..Length(x)],i->x[1..i]);

z1:=List([1..Length(z)],i->[z[i]]);

if z="a"then

Add(w1,z);

Add(Q,Length(Q)+1);

Add(T[i],Length(Q));

if IsIdempotent(EvalString(z1)) then

flag:=0;

for q in P do

q1:=List([1..Length(q)],i->[q[i]]);

q1:=JoinStringsWithSeparator(q1,"*");

if EvalString(q1)=EvalString(z1) then

Add(T[Position(A,y)],Position(w1,q));

flag:=1;

if flag=0 then

Add(w1,z);

Add(Q,Length(Q)+1);

if Length(z)=1 then

Anexo B

Add(w1,z);

Add(Q,Length(Q)+1);

z2:=z[2..Length(z)];

st:=1;

for i in [1..Length(z2)] do

j:=Position(A,[z2[i]]);

if IsBound(T[j][st]) then

st:=T[j][st];

q2:=w1[st];

if q2=z2 then

Add(w1,z);

Add(Q, Length(Q)+1);

q3:=Concatenation([z[1]],q2);

ts:=1;

for i in [1..Length(q3)] do

j:=Position(A,[q3[i]]);

if IsBound(T[j][ts]) then

ts:=T[j][ts];

Anexo B

Add(T[Position(A,y)],ts);

m:=Automaton("det",Length(Q),Length(A),T,[1],[]);

#SECOND PART

S1:=Semigroup(List([1..Length(A)],i->Transformation(T[i])));

s:=GeneratorsOfSemigroup(S1);

w2:=Filtered(w1,i->not(IsEmpty(i)));

if Length(Q)-1=Length(Elements(S1)) and checkLZC(w2) then

Print("LZmS=S1\n",S1,"\n");

DrawAutomaton(m);

f:=SemigroupHomomorphismByImagesOfGens(S1,S,gens);

F:=FreeSemigroup(Length(A));

x:=GeneratorsOfSemigroup(F);

W:=List([1..Length(A)],i->[x[i]]);

Q1:=List([1..Length(A)],i->[s[i]]);

R:=[];

for w in W do

for y in x do

z:=Concatenation(w,[y]);

z1:=Product(z);

z0:=List([1..Length(z)],i->s[Position(x,z[i])]);

z2:=Product(z0);

flag:=0;

for q in Q1 do

Anexo B

q1:=List([1..Length(q)],i->x[Position(s,q[i])]);

q1:=Product(q1);

q2:=Product(q);

if (z2=q2) then

Add(R,[z1,q1]);

flag:=1;

break;

if (Image(f,q2)=Image(f,z2)

and IsIdempotent(Image(f,z2))) then

r1:=Product([z1,q1]);

r2:=Product([q1,z1]);

Add(R,[r1,z1]);

Add(R,[r2,q1]);

flag:=1;

break;

if flag=0 then

Add(W,z);

Add(Q1,z0);

Print("LZmS=F/R \n",«fp semigroup on the generators [s1,s2]

and relations R>","\n");

T1:=List([1..Length(A)],i->[i+1]);

r:=GeneratorsOfSemigroup(F/R);

Q2:=List([1..Length(A)],i->r[i]);

Anexo B

for q in Q2 do

for y in r do

z:=q*y;

flag:=0;

for p in Q2 do

if z=p then

Add(T1[Position(r,y)],Position(Q2,p)+1);

flag:=1;

break;

if flag=0 then

Add(Q2,z);

Add(T1[Position(r,y)],Position(Q2,z)+1);

n:=Automaton("det",Size(F/R)+1,Length(A),T1,[1],[]);

DrawAutomaton(n);

Anexo C - O reticulado das

variedades de bandas

A figura que se segue retrata o reticuladoLB das variedades de bandas.

V(r(R2) = r(Q2)

)V(R2 = Q2)

V(axya = ayxa)V(ax = axa) V(xa = axa)

V(r(R2) = r(S2)

)V(R2 = S2)

V(axya = axaya)V(R3 = Q3) V(r(R3) = r(Q3)

V(R3dR2 = Q3dS2) V(r(R2)dR3 = S2dr(Q3)

V(R3dr(R3) = Q3dr(Q3)

)V(R3 = S3) V

(r(R3) = r(S3)

Anexo C

ondeV(P = Q) denota a variedade de bandas que satisfaz a identidadeP = Q,

sendoP eQ palavras sobre o alfabetoA = {a, d, x, y, x1, x2, . . . } definidas recur-

sivamente do seguinte modo:

R2 = R2(x1x2x3) = x3x2x1,

R3 = R3(x1x2x3) = x1x2x3,

Q2 = Q2(x1x2x3) = x2x3x1,

Q3 = Q3(x1x2x3) = x1x2x3x1x3,

S2 = S2(x1x2x3) = x3x1x2x1,

S3 = S3(x1x2x3) = x1x2x3x1x3x2x3,

e paran ≥ 4,

Rn = Rn(x1, . . . , xn) = Rn−1xn, sen é par

Rn = Rn(x1, . . . , xn) = xnRn−1, sen é ímpar

Qn = Qn(x1, . . . , xn) = Qn−1xnRn, sen é par

Qn = Qn(x1, . . . , xn) = RnxnQn−1, sen é ímpar

Sn = Sn(x1, . . . , xn) = Sn−1xnRn, sen é par

Sn = Sn(x1, . . . , xn) = RnxnSn−1, sen é ímpar.

Para mais detalhes sobre o reticulado das variedades de bandas consultar [18, 55,

Referências

[1] J. Almeida. Finite Semigroups and Universal Algebra. World Scientific,

Singapore, 1994.

[2] J. Almeida.Finite semigroups: an introduction to a unified theory of pseudo-

varieties. Em G. M. S. Gomes, J.-E. Pin e P. V. Silva (editores),Semigroups,

Algorithms, Automata and Languages, págs. 3 – 64. World Scientific, Singa-

pore, 2002.

[3] J. Almeida e B. Steinberg.Syntactic and global semigroup theory, a synthesis

approach. Em J.-C. Birget, S. Margolis, J. Meakin e M. Sapir (editores),

Algorithmic Problems in Groups and Semigroups, págs. 1 – 23. Birkhauser,

[4] J. Almeida e P. Weil.Relatively free profinite monoids: an introduction and

examples. Em J. Fountain (editor),Semigroups, formal languages and groups,

págs. 73 – 117. Kluwer, 1995.

[5] M. A. Arbib e E. G. Manes.Arrows, Structures, and Functors: The Catego-

rical Imperative. Academic Press, New York, 1975.

[6] C. J. Ash. Finite semigroups with commuting idempotents. J. Austr. Math.

Soc. (Series A),43: 81 – 90, 1987.

[7] J.-C. Birget. Iteration of expansions – unambiguous semigroups. J. Pure

Appl. Algebra,34: 1 – 55, 1984.

[8] J.-C. Birget, S. Margolis e J. Rhodes.Semigroups whose idempotents form a

subsemigroup. Bull. of the Austr. Math. Soc.,41: 161 – 184, 1990.

Referências

[9] J.-C. Birget e J. Rhodes.Almost finite expansions of arbitrary semigroups. J.

Pure Appl. Algebra,32: 239 – 287, 1984.

[10] T. C. Brown. An interesting combinatorial method in the theory of locally

finite semigroups. Pacific J. Math,36: 285 – 289, 1971.

[11] S. Burris e H. P. Sankappanavar.A Course in Universal Algebra. No 78 em

Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1981.

[12] G. L. Cain. Introduction to general topology. Addison-Wesley, Reading,

Massachusets, USA, 1994.

[13] A. H. Clifford e G. B. Preston.The algebraic theory of semigroups, Vol.1.

No 7 em Mathematical Surveys. Providence, Rhode Island, 1961.

[14] M. Delgado. Abelian pointlikes of a monoid. Semigroup Forum,56: 339 –

361, 1998.

[15] S. Eilenberg.Automata, Languages, and Machines, Vol. A. Pure and applied

mathematics. Academic Press, 1974.

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Índice de notações

aθb (a, b) pertence à relação bináriaθ, 9

θ : A→ B relação bináriaθ deA paraB, 9, 10

aθ ou [a]θ ou (a)θ classe dea relativamente à relação bináriaθ, 9, 10

Xθ união das classes dos elementos deX relativamente à rela-

ção bináriaθ, 9

◦ operação de composição,10

A/θ conjunto quociente da relação de equivalênciaθ, 10

≤ relação de ordem parcial,10

c.p.o. conjunto parcialmente ordenado,10

c.b.o. conjunto bem ordenado,10

θ−1 relação inversa da relação bináriaθ, 10

θ : A։ B relação bináriaθ deA paraB sobrejectiva,10

(S,⊗) semigrupo de suporteS e operação binária⊗, 11

a⊗ b imagem de(a, b) pela operação binária⊗, 11

· operação de multiplicação de um semigrupo,11

A+ semigrupo livre sobreA, 16, 23

a1a2 . . . an sequência(a1, a2, . . . , an) deA+, 16

1M ou1 identidade do monóideM , 11

SI monóide com identidadeI e suporteS ·∪{I}, 11

S1 o “menor” monóide que contémS, 11

A∗ monóide livre sobreA, 17,23

ǫ palavra vazia,17

T (X) conjunto das transformações sobreX, 11

PT (X) conjunto das transformações parciais sobreX, 11

idX identidade dePT (X), 11

S0 o “menor” semigrupo com zero que contémS, 11

E(S) conjunto dos elementos idempotentes deS, 12

xω potência idempotente dex ∈ S, comS semigrupo finito, ou

limite da sucessão(xn!)n≥0, 12, 28

Reg(S) conjunto dos elementos regulares deS, 13

V (s) conjunto dos inversos do elementos, 13

s−1 inverso des num semigrupo inverso,13

〈X〉 semigrupo [monóide] gerado porX, 12

AB conjunto dos produtos dos elementos deA com os deB,

ondeA eB são subconjuntos de um semigrupo,13

aB conjunto dos produtos dea com os elementos deB, onde

{a} eB são subconjuntos de um semigrupo,13

Ab conjunto dos produtos dos elementos deA comb, ondeA e

{b} são subconjuntos de um semigrupo,13∏i∈I Si produto directo da família de semigrupos(Si)1∈I , 13

S ≃ T semigrupos [monóides] isomorfos,14

M (I, J, G, P ) semigrupo de Rees,15

R♯ relação de congruência gerada porR, 15

θ♮ morfismo canónico associado à congruênciaθ, 16

kerφ núcleo da aplicaçãoφ, 16

∼I congruência de Rees associada ao idealI, 15

S/I semigrupo de Rees associado ao idealI, 15

R relação de GreenR, 18

L relação de GreenL , 18

J relação de GreenJ , 18

D relação de GreenD , 18

H relação de GreenH , 18

Ks a classe des relativamente à relação de GreenK , 19

≤R quase-ordem associada aR, 20, 21

≤L quase-ordem associada aL , 20

≤H quase-ordem associada aH , 20

≤J quase-ordem associada aJ , 20

H(C) imagens homomorfas da classeC de semigrupos [monói-

des],22

S(C) subsemigrupos da classeC de semigrupos [monóides],22

P (C) produtos directos de famílias de semigrupos da classeC de

semigrupos [monóides],22

Pf(C) produtos directos finitários de famílias de semigrupos da

classeC de semigrupos [monóides],22

I variedade dos semigrupos triviais,22, 25

(S, ϕ) semigrupoA-gerado, comϕ : A+։ S morfismo sobrejec-

tivo, 17

u = v identidade sobre um alfabetoA, 24

u = 1 identidadeu = 1 em(A+)1, comu ∈ A+, ou pseudoidenti-

dadeu = 1 em(A+)1, comu ∈ A+, 24, 28

u = 0 identidadeu = 0 em(A+)0, comu ∈ A+, ou pseudoidenti-

dadeu = 0 em(A+)0, comu ∈ A+, 24, 28

[Σ] classe dos semigrupos que satisfazem o conjuntoΣ de iden-

tidades,24

IdC(A) conjunto das identidades sobreA satisfeitas por uma classe

C de semigrupos,24

[[Σ]] classe dos semigrupos finitos definida por um conjuntoΣ

de pseudoidentidades ,26, 28

SL variedade dos semi-reticulados,25

LZ variedade dos semigrupos zero à esquerda,25

RZ variedade dos semigrupos zero à direita,25

RB variedade das bandas rectangulares,25

B variedade das bandas,25

FC(A) semigrupo livre paraC sobreA, 24

S S-variedade dos semigrupos finitos,25

M M-variedade de todos os monóides finitos,25

G S-variedade dos grupos finitos,25, 29

Niln S-variedade dos semigruposn-nilpotentes,26, 29

Nil S-variedade dos semigrupos nilpotentes,29, 29

r raio para a distânciad, 27

d ultramétrica sobreA+, 27

A+ completado deA+ parad, 28

[[Σ]] classe dos semigrupos finitos que satisfazem todas as iden-

tidades deΣ, 28

I S-variedade dos semigrupos triviais,25, 29

LZ S-variedade dos semigrupos zero à esquerda,29

RZ S-variedade dos semigrupos zero à direita,29

SL S-variedade dos semi-reticulados,29

B S-variedade das bandas,29

IE S-variedade dos semigrupos unipotentes finitos,29

A S-variedade dos semigrupos aperiódicos finitos,29

CS S-variedade dos semigrupos simples,29

LG S-variedade dos semigrupos finitos que são localmente gru-

pos,29

Gcom S-variedade dos grupos comutativos finitos,29

Ecom S-variedade dos semigrupos cujos idempotentes comutam,

DV S-variedade dos semigrupos finitosS cujasD-classes regu-

lares são subsemigrupos deS e estão emV, 25

〈A|R〉 apresentação de semigrupo,18

S ⊖ // T morfismo relacional deS paraT , 30

S ⊖ // // T morfismo relacional deS paraT sobrejectivo,30

U1 semi-reticulado com dois elementos formado por um zero e

uma identidade,32

V ∨W supremo das variedades [S-variedades]V eW, 33

ObjC classe dos objectos da categoriaC , 34

MorC classe das setas da categoriaC , 34

Smg categoria dos semigrupos,34

SmgA categoria dos semigruposA-gerados,34

( )+ expansão livre,34

∼L congruência sintáctica,40

c(u) conteúdo da palavrau, 36

|u| comprimento da palavrau, 36

r(u) reverso da palavrau, 36

Pref(u) conjunto dos prefixos da palavrau, 36

Suf(u) conjunto dos sufixos da palavrau, 36

Fact(u) conjunto dos factores da palavrau, 36

i(u) primeira letra da palavrau, 36

t(u) última letra da palavrau, 36

p(u) maior prefixo próprio da palavrau, 36

s(u) maior sufixo próprio da palavrau, 36

(Q,A,E, I, F ) autómato de estadosQ, alfabetoA, transiçõesE, estados

iniciais I e estados finaisF , 37

(Q,A,E) grafo associado ao autómato(Q,A,E, I, F ), 37

L(A ) linguagem reconhecida pelo autómatoA , 38

δ função transição,38

(Q,A, δ, i, F ) autómato determinista de estadosQ, alfabetoA, função

transiçãoδ, estado iniciali e estados finaisF , 38

A1 ≃ A2 autómatos isomorfos,39

M(A ) monóide de transição do autómatoA , 39

S(A ) semigrupo de transição do autómatoA , 39

S(L) semigrupo sintáctico deL, 40

identidadesΣ, 42

RS conjunto das identidades da definição da expansão de Mal-

cev,42

πS morfismo canónico associado à expansão de Malcev,42

V, 44, 44

ΣW conjunto das palavrasu tais queu2 = u é satisfeita porW ,

GΠ S-variedade dosΠ-grupos,63

Gnil S-variedade dos grupos nilpotentes finitos,63

Gsol S-variedade dos grupos solúveis,63

≤sl ordem shortlex,68

Red(L) conjunto das palavrasL-reduzidas,89

NRed(L) conjunto das palavras que não sãoL-reduzidas,89

Z(L) linguagem particular deA+ construída a partir deL ⊆ A+,

Wϕ(L) linguagem particular deA+ construída a partir deL ⊆ A+,

θϕ(L) congruência emA+ associada aWϕ(L), 93

Eideal S-variedade dos semigrupos cujos idempotentes formam

um ideal,103

ρϕ(L) congruência emA+ associada aZ(L), 100

Wϕ representaWϕ

(E(S)ϕ−1

θϕ representaθϕ(E(S)ϕ−1

Red(ϕ) representa Red(E(S)ϕ−1

NRed(ϕ) representa NRed(E(S)ϕ−1

S representaA+/θϕ, 97

ϕ representaθ♮ϕ, 97

ρϕ representaρϕ(E(S)ϕ−1

), 101

S representaA+/ρϕ, 101

ϕ representaρ♮ϕ, 101

SR expansão de Rhodes (à direita) deS, 109

ηS morfismo canónico associado à expansão de Rhodes (à di-

reita) deS, 109, 110

SRA expansão de Rhodes (à direita) subjugada aos geradores de

S, 109

A morfismo deA+ para a expansão de Rhodes (à direita) sub-

jugada aos geradores,109

B2 semigrupo de Brandt,111

p(u) o prefixo deu em NRed(ϕ) de menor comprimento, quando

u ∈ NRed(ϕ), 138

s(u) o sufixo deu em NRed(ϕ) de menor comprimento, quando

u ∈ NRed(ϕ), 143

Índice remissivo

(V,W)-morfismo, 32

(V,W)-morfismo relacional, 31

Π-grupo, 62

M-variedade, 25

M-variedade dos monóides finitos, 25

S-variedade, 25

S-variedade dosΠ-grupos, 63

S-variedade dos grupos finitos, 25

S-variedade dos grupos nilpotentes, 63

S-variedade dos grupos solúveis, 63

S-variedade dos semigruposn-nilpotentes,

S-variedade dos semigrupos finitos, 25

S-variedade dos semigrupos nilpoten-

tes finitos, 25

S-variedade gerada, 26

S-variedade localmente finita, 26

V-morfismo relacional, 32

K -classe regular, 19

k-potência para um morfismo, 66

componentes, 66

k-potência uniforme para um morfismo,

alfabeto, 16

aplicação, 10

aplicação parcial, 10

imagem de um elemento, 10

apresentação de semigrupo, 18

autómato, 37

estado, 37

transição, 37

autómato acessível, 38

autómato completo, 38

autómato de Cayley, 40

autómato determinista, 38

autómato finito, 37

autómatos isomorfos, 39

banda, 12

boa ordem, 10

caminho, 37

comprimento, 37

extremidade, 37

origem, 37

etiqueta, 37

categoria, 34

Índice remissivo

objectos, 34

setas, 34

categoria dos semigrupos, 34

categoria dos semigruposA-gerados,

classe de semigrupos finitos que satis-

faz um conjunto de pseudoi-

dentidades, 28

classe de semigrupos que satisfaz um

conjunto de identidades, 24

composição de relações, 10

congruência completamente invariante,

congruência de Rees, 15

congruência sintáctica, 40

conjunto quociente, 10

elemento inverso, 13

elemento regular, 13

estado acessível, 38

estado final, 37

estado inicial, 37

expansão, 34

preserva a finitude, 35

expansão de Malcev de um semigrupo

determinada por uma variedade,

expansão de Malcev determinada por

uma variedade, 44

expansão de Rhodes (à direita), 109

expansão de Rhodes (à direita) de um

semigrupo, 109

expansão de Rhodes (à direita) subju-

gada aos geradores, 110

expansão de Rhodes (à direita) sub-

jugada aos geradores de um

semigrupo, 109

expansão estável, 35

expansão livre, 34

factor, 36

factor próprio, 36

factorização, 89

comprimento, 89

factorizaçãoϕ-equivalente, 92

factorizaçãoL-especial, 91

factorização canónica de um morfismo

relacional, 30

função transição, 38

grafo associado a um autómato, 37

grafo de Cayley, 39

grafo de Cayley à direita, 39

grupo, 11

homomorfismo de semigrupos, 14

ideal, 14

ideal direito, 14

ideal esquerdo, 14

ideal minimal, 14

idempotente, 12

identidade, 24

imagem homomorfa, 14

isomorfismo, 14

letras, 16

Índice remissivo

linguagem, 38

linguagem racional, 40

linguagem reconhecível, 40

linguagem reconhecida por um autó-

mato, 38

linguagem reconhecida por um mor-

fismo, 40

linguagem reconhecida por um semi-

grupo, 40

monóide, 11

monóide de transição, 39

monóide gerado, 12

monóide livre sobre A, 23

morfismo

extensão natural, 14

morfismo canónico associado à expan-

são de Malcev, 42

morfismo canónico associado aSR,

morfismo canónico associado aSRA ,

morfismo canónico associado a uma

congruência, 16

morfismo de autómatos, 39

morfismo de monóides, 14

morfismo de semigrupos, 14

morfismo de semigruposA-gerados,

morfismo que respeita geradores, 17

morfismo relacional aperiódico, 32

morfismo relacional de monóides, 30

morfismo relacional de semigrupos, 30

morfismo trivializado, 41

morfismo uniformemente repetitivo, 66

núcleo de uma aplicação, 16

objecto livre numa classe, 23

objecto livre para uma classe, 23

ordem shortlex, 68

palavra, 16

L-reduzida, 89

comprimento, 36

conteúdo, 36

evita linguagem, 89

factorização, 89

letra final, 36

letra inicial, 36

reverso, 36

palavra vazia, 17

pré-ordem, 10

prefixo, 36

pro-variedade de semigrupos

satisfaz uma pseudoidentidade, 28

produto de Malcev, 33

produto directo, 13

produto directo finitário, 13

propriedade universal da expansão de

Malcev, 43

propriedade universal deA+, 17

propriedade universal do objecto li-

vre, 23

pseudoidentidade, 28

pseudovariedade de monóides, 25

pseudovariedade de semigrupos, 25

Índice remissivo

quase-ordem, 10

relação

classe, 9

relação binária, 9

relação compatível com o produto à

direita, 15

relação compatível com o produto à

esquerda, 15

relação de congruência, 15

relação de congruência gerada, 15

relação de equivalência

satura um conjunto, 10

relação injectiva, 10

relação sobrejectiva, 10

relações de Green, 18

semigrupo, 11

definido por uma apresentação de

semigrupo, 18

separa duas palavras, 27

satisfazer um conjunto de identi-

dades, 24

satisfazer uma identidade, 24

semigrupoK -trivial, 19

semigrupoA-gerado, 17

semigrupon-nilpotente, 13

semigrupo aperiódico, 21

semigrupo cíclico, 12

semigrupo de Brandt, 111

semigrupo de Rees, 15

semigrupo de transição, 39

semigrupo estável para uma expansão,

semigrupo finitamente gerado, 12

semigrupo finito, 11

semigrupo gerado, 12

conjunto gerador, 12

semigrupo inverso, 13

semigrupo livre sobreA, 23

semigrupo localmente finito, 12

semigrupo localmente grupo, 22

semigrupo nilpotente, 12

semigrupo profinito

satisfazer uma pseudoidentidade,

semigrupo regular, 13

semigrupo simples, 14

semigrupo sintáctico, 40

semigrupo topológico, 27

semigrupo trivial, 12

semigrupo unipotente, 12

semigrupo zero à direita, 11

semigrupo zero à esquerda, 11

semigruposA-gerados isomorfos, 17

semigrupos isomorfos, 14

subgrupo, 12

submonóide, 12

subsemigrupo, 12

subsemigrupo local, 12

sufixo, 36

suporte de um semigrupo, 11

supremo de variedades, 33

Índice remissivo

Teorema da representação de semigru-

pos, 14

Teorema das variedades de Birkhoff,

Teorema de Brown, 49

Teorema de Indução Transfinita, 10

Teorema de Kleene, 40

teorema de Rees, 15

Teorema de Reiterman, 28

Teorema de Tarski, 23

transformação, 10

transformação parcial, 10

imagem de um elemento, 10

universo de um semigrupo, 11

variedade das bandas, 25

variedade das bandas rectangulares, 25

variedade de monóides, 22

variedade de semigrupos, 22

variedade dos semi-reticulados, 25

variedade dos semigrupos zero à di-

reita, 25

variedade dos semigrupos zero à es-

querda, 25

variedade gerada, 23

variedade localmente finita, 26

variedade trivial, 22, 25

zero à direita, 11

zero à esquerda, 11

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