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ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

Produto interno em espaços vetoriais

Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e

ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma melhor compreensão do que

seja uma base ortogonal e uma base ortonormal em um EV e, principalmente, nos darão

a noção de “medida” que nos leva a precisar conceitos como o de área, volume,

distância, etc.

Consideremos inicialmente o plano R2, munido de um referencial cartesiano

ortogonal (eixos perpendiculare0 e um ponto P(x,y). Vamos calcular a distância do

ponto P à origem O (0,0)

Observando a figura e utilizando o teorema de Pitágoras, temos que d =

. Podemos também, interpretar este resultado dizendo que o comprimento

(que passaremos a chamar de norma) do vetor (x,y) é:

Por outro lado, se tivéssemos dois vetores u = (x1,y1) e v =(x2, y2), podemos

definir um “produto” de u por v assim:

<u,v> = x1x2 + y1y2,

produto este chamado de produto escalar interno usual e que tem uma relação

importante com a norma de um vetor v = (x,y).

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Se, ao invés de trabalharmos no R2, estivéssemos trabalhando no R

3 (munidos de

um referencial cartesiano ortogonal), teríamos encontrado uma expressão similar para o

produto escalar:

E a mesma relação com a norma de um vetor v = (x,y,z)

Voltando ao caso do plano, se tivéssemos trabalhando com um referencial não

ortogonal (eixos não perpendiculares), e quiséssemos calcular a distância da origem até

um ponto P (cujas coordenadas em relação ao referencial fossem (x,y)), teríamos,

usando o Teorema de Pitágoras:

Obseve que, se usássemos o produto escalar =

neste caso não valeria a relação = , mas ela passaria a valer se usássemos a

seguinte regra para o produto:

Portanto, novamente a noção de distância poderia ser dada a partir de um

produto interno de vetores. Concluímos destes exemplos, que o processo usado para se

determinar “medidas” num espaço pode variar e, em cada caso, precisamos ser bem

claros sobre qual produto interno estamos trabalhando.

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Definição: Seja V um EV real. Um produto sobre V é uma função f: VxV R

que a cada par de vetores v1 e v2, associa um número real, denotado por <v1, v2>, e que

satisfaz as seguintes propriedades:

P1 u.v = v.u

P2 u. (v + w) = u.v + u. w

P3 (αu).v = α(u.v) para todo real α

P4 u.u ≥ 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0.

Exemplo:

1) No espaço vetorial V = R2, a função que associa a cada par de vetores

u = (x1, y1) e v= (x2, y2) o número real u.v = 3x1x2 + 4y1y2 é um produto interno.

2) O número u.v = 2x1x2 + y12y2

2 sendo u = (x1, y1) e v = (x2, y2) não define no R

2

um produto interno.

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Exercícios:

1) Em relação ao produto interno usual do R2, calcular u.v, sendo dados:

a) u = (-3,4) e v = (5,-2)

b) u = (6,-1) e v = (1/2, -4)

c) u = (2,30 e v =(0,0)

2) Para os mesmos vetores do exercício anterior, calcular u.v em relação ao

produto interno: u.v = 3x1x2 + 4y1y2.

3) Consideremos o R3 munido do produto interno usual. Sendo v1 = (1,2,-3), v2

=(3,-1,-1) e v3 = (2,-2,0) do R3, determinar o vetor u tal que u.v1 = 4, u.v2 = 6

e u.v3 = 2.

4) Seja V = {f: [0,1] R; f é contínua} o EV munido do produto interno:

Determinar h1. h2 e h1.h1, tais que h1, h2 ∈ V e h1(t) = t e h2(t) = t2.

Espaço Vetorial Euclidiano

Um EV real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno é um

EV euclidiano.

Módulo de um Vetor

Dado um vetor v de um EV euclidiano V, define-se módulo, normal ou

comprimento de v o número real não-negativo, indicado por |v|, definido por:

|v| =

Se u = (x1,y1,z1) ∈ R3 , tem-se:

|u| = =

Distância entre dois vetores

Chama-se de distância entre dois vetores (ou pontos) u e v o número real

representado por d(u,v) e definido por:

d(u,v) = |u-v|

Sendo u = (x1,y1,z1) , v = (x2,y2,z2)∈ R3 com produto interno usual, tem-se:

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d(u,v) = |x1 – x2, y1-y2, z1 – z2|

d(u,v) =

Observações:

1) Se |v| = 1 , isto é, v.v = 1, o vetor v é chamado vetor unitário, diz-se que V

está Normalizado.

2) Todo vetor não nulo v ∈ V pode ser normalizado, fazendo:

Observemos que:

E, portanto,

é unitário.

Exemplo: Considerando V = R3 com o produto interno v1.v2 = 3x1x2 + 2y1y2 +

z1z2, sendo v1= (x1, y1,z1) e v2= (x2, y2,z2). Dado o vetor v = (-2,1,2) ∈ R3, em

relação a esse produto interno, determine o vetor u, normalizando v:

Propriedades do Módulo de um Vetor

Seja V um EV euclidiano, tem-se:

I. │ v│≥ 0, ∀ v ∈ V e │v= 0, se, e somente se, v = 0.

II. │αv│= │α││v│, ∀v∈ V, ∀α∈ R

Demonstração:

| αv| = = = |α|. = |α|.|v|

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III. │u.v│≤│u││v│, ∀u,v∈ V

Se u ou v = 0 vale a igualdade:

|uv| = |u|.|v| = 0

Se nem u, nem v são nulos, para qualquer α R vale a desigualdade:

(u + αv).(u + αv) 0

Pelo axioma P4, Efetuando o produto interno, vem:

u.u + u.( αv) + (αv.u) + α2(v.v) 0

ou,

|v|2 α

2 + 2(u.v) α + |u|

2 0

Obtivemos assim, um trinômio do 2º grau em α (pois |v|2 ≠ 0), que deve ser

positivo para qualquer valor de α. Como o coeficiente de α2 é sempre positivo, o

discriminante deve ser negativo ou nulo.

(2u.v)2 – 4|v|

2 |u|

2 0

4(u.v)2 - 4|v|

2 |u|

2 0

(u.v)2 |v|

2 |u|

2

Considerando a raiz quadrada positiva de ambos os membros dessa

desigualdade, vem:

│u.v│≤│u││v│

Essa desigualdade é conhecida com o nome de Desigualdade de Schwarz ou

Inequação de Cauchy-Schwarz.

IV. │u+v│≤│u│+│v│,∀u,v ∈ V

Demonstração

|u+v| =

|u + v| =

|u+v|2 = |u|

2 +2(u.v) + |v|

2

Mas:

u.v ≤│u.v│≤│u││v│

logo,

|u+v|2

≤ |u|2 +2|u||v| + |v|

2

Ou:

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|u+v|2 ≤ (|u| + |v|)

2

Ou ainda,

│u+v│≤│u│+│v│

Ângulos de dois Vetores

Seja V um EV munido com um produto interno. O ângulo θ entre dois vetores

u, v ∈ V é tal que:

Exercícios:

1. Consideremos o R3 com o produto interno usual. Determinar a componente c do

vetor v = (6, -3,c) tal que |v| = 7.

2. Seja o produto interno usual no R3 e no R

4. Determinar o ângulo entre os seguintes

pares de vetores:

a) u = (2,1,-5) e v = (5,0,2)

b) u =(1,-1,2,3) e v = (2,0,1,-2)

5. Seja V um EV euclidiano e u, v ∈ V. Determinar o cosseno do ângulo entre os

vetores u e v, sabendo que |u| = 3, |v| = 7 e |u +v| = 4 .

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Vetores ortogonais

Seja v um EV euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v de V são ortogonais, e se

representa por u v, se, e somente se, u.v = 0.

Exemplo: Seja V = R3 um EV euclidiano em relação ao produto interno (x1, y1).(x2, y2)

= x1x2 +2y1y2. Em relação a este produto interno, os vetores u = (-3,2) e v = (4,3) são

ortogonais, pois:

u.v = -3.(4) +2.(2).(3) = 0

Observações:

1) O vetor 0 ∈ V é ortogonal a qualquer v ∈ V.

0.v = 0

2) Se u v, então α u v para todo α∈ R.

3) Se u1 v e u2 v, então (u1 + u2) v.

Conjunto Ortogonal de Vetores

Seja V um EV euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores {v1, v2, ...,vn} V

é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, vi. vj = 0 para i≠j.

Exemplo:

No R3, o conjunto {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} é ortogonal em relação ao produto

interno usual, pois:

(1,2,-3). (3,0,1) = 0

(1,2,-3) .(1,-5,-3) = 0

(3,0,1) . (1,-5,-3) = 0

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Teorema:

Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos A = {v1, v2,...,vn} é Linearmente

Independente (LI).

De fato:

Considerando a igualdade:

a1v1 + a2v2 + ...+ avn = 0

Multiplicando o produto interno de ambos os lados da igualdade, temos:

(a1v1 + a2v2 + ...+ avn) vi = 0vi

Ou,

a1(v1.vi) + ...ai(vi.vi) + ...+ a(vn.vi)= 0

Como A é ortogonal, vj . vi = 0 para j≠ i e vi.vi ≠ 0, pois vi ≠ 0. Então ai(vi.vi) = 0 implica

ai = o para i = 1, 2,3...n. Logo, A = {v1, v2,...,vn} é LI.

Base Ortogonal

Uma base {v1, v2,...,vn} de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois

ortogonais.

Assim, se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores não-nulos e dois a dois

ortogonais, constitui uma base ortogonal.

Poe exemplo, o conjunto do exemplo {(1,2,-3), (3,0,1), (1,-5,-3)} é uma base ortogonal

do R3.

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Base Ortonormal

Uma base B = {v1, v2,...,vn} de um EV euclidiano V é ortonormal se B é

ortogonal e todos seus vetores são unitários, isto é:

Exemplo:

Em relação ao produto interno usual, o conjunto:

1) B = {(1,0), (0,1)} é uma base ortonormal do R2 (é a base canônica).

2) B= {( , } é também uma base ortonormal do R2.

3) B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base ortonormal do R3 (é a base canônica).

4) B = {u1, u2, u3} sendo u1 = ( , ; u2 = ( , , u3= (0, , é

também uma base ortonormal do R3.

Como vimos, o processo que transforma V em chama-se normalização de v.

Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal,

normalizando cada vetor.

Exemplo:

A base B = {v1, v2,v3}sendo v1 = (1,1,1), v2 = (-2,1,1) e v3 – (0,-1,1) é ortogonal em

relação ao produto interno usual. Normalizando cada vetor, obtemos:

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Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

Para entendermos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt é necessário, termos

uma noção de projeção ortogonal.

Projeções ortogonais de vetores

Em muitas aplicações é importante “decompor” um vetor u na soma de dois

componentes, um paralelo a um vetor não-nulo especificado a e o outro perpendicular a

a. Se u e a são posicionados com seus pontos iniciais coincidindo com um ponto Q,

podemos decompor o vetor u, da seguinte forma: Baixamos uma perpendicular da ponto

de u para a reta ao longo de a e construímos o vetor w1 de ao pé desta perpendicular.

Em seguida tomamos a diferença

w2 = u – w1

Conforme indicado na figura, o vetor w1 é paralelo ao vetor a e w2 é perpendicular ao

vetor a e

w1 + w2 = w1 + (u – w1) = u

O vetor w1, chamdo projeção ortogonal de u sobre a, ou então componente vetorial

de u ao longo do vetor a, é denotado por proja u.

O vetor w2 é chamado componente vetorial de u ortogonal ao vetor a. Como

w2 = u – w1 , este vetor pode ser escrito com a notação:

w2 = u – proja u.

Teorema: Se u e a são vetores em R2 ou R

3 e se a≠ 0, então:

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Demonstração:

Sejam w1 = proja u e w2 = u – proja u. Como w1 é paralelo a a, deve ser um múltiplo

escalar de a, e portanto pode ser escrito na forma w1 = ka. Assim:

u = w1+ w2 = ka + w2

Tomando o produto escalar de a, com ambos os lados da equação anterior, temos:

u .a = ( ka + w2).a = k + w2.a

Mas w2.a = 0, pois w2 é perpendicular a a; portanto dá:

Como proja u = w1 = ka, obtemos:

Seja W um subespaço de dimensão finita de um espaço com produto interno V.

a) Se {v1, v2,...,vr} é uma base ortonormal de W e u é um vetor qualquer de V,

então:

projw u =

b) Se {v1, v2,...,vr} é uma base ortogonal de W e u é um vetor qualquer de V, então:

projw u =

Encontrando uma base ortogonal

Teorema: Cada espaço vetorial não-nulo de dimensão finita possui uma base

ortonormal.

Prova: Seja V um espaço vetorial não-nulo de dimensão finita com produto interno e

suponha que {u1, u2,...,un} é uma base de V. É suficiente mostrar que V tem uma base

ortogonal, pois os vetores da base ortogonal podem ser normalizados para produzir uma

base ortonormal de V. A seguinte sequencia de passos irá produzir uma base ortogonal

{v1,v2,...,vn} de V.

Passo 1: Seja v1 = u1.

Passo2: Conforme ilustrado, nós podemos obter um vetor v2 que é ortogonal a v1

tomando a componente de u2 que é ortogonal ao espaço W1 gerado por v1:

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v2 = u2 – projw1u2 = u2 -

Passo 3: Para construir um vetor v3 que é ortogonal a ambos v1 e v2, calculamos a

componte de u3 que é ortogonal ao espaço W2 gerado por v1 e v2.

v3 = u3 – projw2 u3 = u3 -

Passo 4: Para determinarmos um vetor v4 que é ortogonal a v1, v2 e v3, calculamos a

componente de u4 que é ortogonal ao espaço W3 gerado por v1, v2, e v3.

v4 = u4 – projw3 u4 = u4 - -

Continuando desta maneira, nós iremos obter, depois de n passos, um conjunto

ortogonal de vetores {v1, v2,...,vn}. Como V trem dimensão n e conjuntos ortogonais são

LI, o conjunto {v1, v2,...,vn} é uma base ortogonal de V.

A construção passo a passo acima para converter uma base arbitrária numa base

ortogonal é chamada processo de Gram-Schmidt.

Exemplo:

Considere o espaço vetorial R3 com o produto interno euclidiano. Aplique o processo de

Gram-Schmidt para transformar os vetores de base u1 = (1,1,1), u2 = (0,1,1), u3 =

(0,0,1) em uma base ortogonal {v1, v2,v3}; depois normalize os vetores da base

ortogonal para obter uma base ortonormal {q1, q2, q3}.

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Exercícios:

1. Suponha que R3 tem o produto interno euclidiano. Use o processo de Gram-

Schmidt para transformar a base {u1, u2,u3} em uma base ortonormal.

a) u1 = (1,1,1) u2 = (-1,1,0) e u3 = (1,2,1)

2. Seja V = R3 e o produto interno (x1, y1, z1).(x2, y2,z2) = 2x1x2 + 3y1y2 + z1z2.

Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (1,2,1)

e v = (1,1,1).

3. Construir, a partir do vetor v1 = (1,-2,1), uma base ortogonal do R3 relativamente

ao produto interno usual e obter, a partir dela, uma base ortonormal.

4. O conjunto B = {(1,-1), (2,b)} é uma base ortogonal do R2 em relação ao

produto interno: (x1, y1).(x2, y2) = 2x1x2 + y1y2. Calcular o valor de b e

determinar , a partir de B, uma base ortonormal.

5. Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal do

seguinte subespaço vetorial do R3: S = {(x,y,z) ∈R

3/ x + y- z = 0}

6. Mostre que se f = f(x) e g = g(x) duas funções contínuas em C[a,b] e defina

= é um produto interno em C[a,b].