Est 25 2015 Notas de Aula

EST-25 - Estruturas Aeroespaciais II

1 – Plano da Disciplina

Curso de Engenharia AeronáuticaCurso de Engenharia Aeroespacial

- 2015 -

ITA – Instituto Tecnológico de Aeronáutica

1 - Plano da Disciplina

1 – Plano da DisciplinaEmenta:

• Introdução às estruturas aeroespaciais: componentes, materiais e idealização estrutural.

• Modelagem de componentes aeroespaciais pelo método dos elementos finitos.

• Teoria de torção de Saint-Venant. • Flexo-torção de vigas de paredes finas de seção aberta e fechada. • Restrição axial na flexo-torção de vigas de paredes finas. • Difusão em painéis. • Aplicações aeroespaciais. • Critérios de Falha de placas e painéis reforçados.

Bibliografia básica:

- Megson, T. H. G., Aircraft structures for engineering students, 4th ed., Elsevier, 2007

- Curtis, H., Fundamentals of aircraft structural analysis, New York, McGraw-Hill, 1997

- Bruhn, E. F., Analysis and design of flight vehiclestructures, Cincinnati, Tri-Offset, 1973

Avaliação:

1o Bimestre: 50% prova + 25% laboratório + 25% Trabalho(s)

2o Bimestre: 50% prova + 25% laboratório + 25% Trabalho(s)

Exame: Prova

Cap 2 1

2. Introdução

EST-25 - Estruturas Aeroespaciais – 2015

EST-25Notas de aula

Introdução

- Estrutura: parte responsável por receber e transmitir cargas.

- Análise estrutural: visa determinar esforços e deformações nas partes da estrutura.

- Dimensionamento: requer análise estrutural, utilizando-se de critérios de flexibilidade e segurança.

Cap 2 2

Etapas do Projeto Estrutural

Projeto

Cargas

Análise estrutural

Detalhamento

Projeto Final

Critérios Estruturais

O colapso de uma estrutura pode se dar por:

excessiva deflexão*;

escoamento do material*;

fratura repentina;

avanço progressivo de fratura (fadiga);

perda de estabilidade estática (flambagem);

perda de estabilidade dinâmica.

Cap 2 3

ANATOMIA DAS ESTRUTURAS AERONÁUTICAS

• FUSELAGENS

Cap 2 4

Estrutura do Bandeirante EMB-110K1 – EMBRAER

Cap 2 5

Fuselagem do EMB-110K1

Fuselagem do Boeing 747

Cap 2 6

Cap 2 7

Cone de cauda do A300

Cap 2 8

Fuselagem do A300

caverna

reforçador

revestimento

Cap 2 9

Cap 2 10

Cavernas de pressão

Cap 2 11

Cone de cauda típico

Avro Lancaster

• ASAS

Cap 2 12

Cap 2 13

Portas do A300

Estrutura do Bandeirante EMB-110K1 - EMBRAER

Cap 2 14

Cap 2 15

Cap 2 16

Cap 2 17

Anatomia da Estrutura de um Satélite

Eli de Souza Júnior, Dissertação de Mestrado, ITA, 2012.

m=85 kgareasta=600mm

Cap 2 18

Composição do painel sanduíche (Adaptado de Hexcel Corporation)

Cap 2 19

Vista explodida da estrutura

Vista explodida completa

Cap 2 20

Montagem dos equipamentos

Modelo MEF

Cap 2 21

Energia de deformação para modos laterais

• Conexões

Cap 2 22

Cap 2 23

Idealização Estrutural

Cap 2 24

Idealização Estrutural

Propriedades dos Materiais

Cap 2 25

Propriedades dos Materiais

Curvas para tração e compressão típicas para chapas de liga de alumínio 2024-T3, à temperatura ambiente

Cap 3 1

3. Alguns Elementos Finitospara modelagem estrutural

EST-25Notas de aula

1. Convergência

A convergência para a solução exata é garantida se as funções de forma:

a) possuem derivadas contínuas até ordem n-1(n é o grau da maior derivada do funcional)

b) contém deslocamentos de corpo rígidoc) contém estados de deformação constante

Elemento é dito CONFORME se estes 3 critérios forem atendidos.

Cap 3 2

Continuidade

A continuidade entre elementos é dita:

C0: u é contínuo entre elementosC1: u e u’ são contínuos entre elementos... Cn: u, u’,..., u(n) são contínuos entre elementos

Completude de polinômios

Em 2D: 1 x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

...............

... grau 0... grau 1

... grau 2... grau 3

... grau 4......

Em 1D: 1 x x2 x3 x4 ...

Cap 3 3

xaaxu 10 )(

Função de forma Matriz de Rigidez

2. Treliça

(local) nodais forças:

(global) nodais tosdeslocamen:

(local) nodais tosdeslocamen:

localsistema :

globalsistema :

scsscs

csccsc

scsscs

csccsc

EAKLocal:

Global:c=cos()s=sen()

3. Viga de Euler com rigidez apenas a flexão

x em tosdeslocamen de campo :)xw(

nodais tosdeslocamen dosvetor :

(local) nodais tosdeslocamen: ...

localsistema :),(

globalsistema :),(

Cap 3 4

Escrevendo w em função de deslocamentos nodais

423322133

4322122

x31)x(w

u)L(xd

u)0(xd

1 2 3 4

2210 xbxbxbb)x(w

Função de forma (sistema local)

EI4.)sim(

nós nos aplicadas forças :

esequivalent nodais forças :

nodais tosdeslocamen deVetor :

treliçade barra da derigidez Matriz:

Ou simplesmente:

Matricialmente, para Qy constante:

Cap 3 5

4. Viga de Euler com rigidez axial e flexão

tosdeslocamen de campos :)xu( e )xw(

nodais tosdeslocamen dosvetor :

(local) nodais tosdeslocamen: ...

localsistema :),(

globalsistema :),(

xbxbxbb)x(w

xaa)x(u

EI4sim

EI12EI12

Matricialmente, para Qx e Qy constantes:

Cap 3 6

Matriz de Transformação

100000

0sen000

000100

0000sen

)cos()(

)()cos(

)cos()(

)()cos(

STS tTSS

TKTK t

5. Estados Planos

Cap 3 7

5.1. Estado Plano de Tensão

Estado Plano de Tensão:x 0 ; y 0 ; xy 0 ; z= xz = yz = 0 x 0 ; y 0 ; xy 0 ; z 0 ; xz = yz = 0

Cap 3 8

x 0 ; y 0 ; xy 0 ; z 0 ; xz = yz = 0 x 0 ; y 0 ; xy 0 ; z = xz = yz = 0

5.2. Estado Plano de Deformação

Cap 3 9

5.3. Equações de Equilíbrio

by Forças de volume

yxxy Momento nulo no CG =>

Fx = 0 =>

Fy = 0 =>

Cap 3 10

5.4 Equações Constitutivas para MaterialIsotrópico e Homogêneo, Elástico Linear

xyxyxy

xxyy2yy

yyxx2xx

Estado Plano de tensões

)1(2000101

yyxxzz

Estado Plano de Deformações:

)()21)(1(

)1(000101

)21)(1(E

yyxxzz

2000101

Ou, invertendo:

Cap 3 11

:nodais tosDeslocamen

)y,x(:3 Nó

)y,x(:2 Nó

)y,x(:1 Nó

6. CST – Constant Strain Triangle

x,u(x,y)

y,v(x,y)

yCxCC)y,x(v

yCxCC)y,x(u

Temos: 6 graus de liberdade: q1, q2, ..., q6

2 funções a interpolar: u(x,y), v(x,y)

Logo, são necessárias 3 constantes para cada função:

Aproximações das deformações:

Tensões constantes

Cap 3 12

Recuperação de tensões no interior (EPT):

121231312323

xyxyxy

)()()()()()(

jiijjiij yyyxxx ;

triângulodoárea 2

carga nodal equivalente:

x,u(x,y)

y,v(x,y)

Cap 3 13

7. LST – Linear Strain Triangle

x,u(x,y)

y,v(x,y)

Temos: 12 graus de liberdade2 funções a interpolar: u(x,y) e v(x,y)

210987

yCxyCxCyCxCC)y,x(v

yCxyCxCyCxCC)y,x(u

yCC2xC2CCCx

yC2xCCy

yCxC2Cx

11610583xy

12119yy

seguem-se as deformações, lineares em x e y:

Cap 3 14

x,u(x,y)

y,v(x,y)

8. CST – Constant Strain Rectangle

Temos: 8 graus de liberdade2 funções a interpolar: u(x,y) e v(x,y)

xyCyCxCC)y,x(v

xyCyCxCC)y,x(u

yCCxCCx

8643xy

Deformações:

Tensões lineares emx e y, no EPT e EPD

Cap 3 15

9. Elemento Retangular de 8 nós

x,u(x,y)

y,v(x,y)

Temos: 16 graus de liberdade2 funções a interpolar: u(x,y) e v(x,y) 8GL/nó

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

Tensões: parabólicas em x e y, no EPT e EPD.

Deslocamentos u e v: lineares.

Cap 3 16

10. Elemento Tetraédrico Linear

x,u(x,y,z)

y,v(x,y,z)

z,w(x,y,z)

Temos: 12 graus de liberdade3 funções a interpolar: u(x,y,z) , v(x,y,z), w(x,y,z)

zCyCxCC)y,x(w

zCyCxCC)y,x(v

zCyCxCC)y,x(u

1211109

Exercício:

Mostre que o elemento tetraédrico de 4 nós e 12 graus de liberdade é um elemento de tensões constantes.

Cap 3 17

11. Elemento Tetraédrico Parabólico

x,u(x,y,z)

y,v(x,y.z)

z,w(x,y,z)

...)z,y,x(w

...)z,y,x(v

xyCxzCyzCzCyCxCzCyCxCC)z,y,x(u 10982

Exercício:

Mostre que o elemento tetraédrico de 10 nós e 30 graus de liberdade é um elemento de tensões lineares.

Cap 3 18

12. Elemento Hexaédrico de 8 nós

x,u(x,y,z)

y,v(x,y,z)

z,w(x,y,z)

...)z,y,x(w

...)z,y,x(v

xyzCxyCxzCyzCzCyCxCC)z,y,x(u 87654321

Cap 3 19

Exercício:

Desenhe um elemento sólido hexaédrico de 20 nós, com 3 graus de liberdade por nó. Determine quais os graus das funções de aproximação. Verifique quais os graus das tensões e deformações ao longo do elemento.

13. Família Lagrangiana

Cap 3 20

Cap 3 21

14. Família Serendipity

Cap 3 22

Cap 3 23

15. Elementos Isoparamétricos

Cap 3 24

Cap 3 25

16. Condensação estática-“Eliminação” de graus de liberdade internos- construção de “super-elementos”

bbabaC

bbabaaC

bbabaaba1

bbabaa

:fica condensadosistema o seja, Ou

:dorearranjan e equação, 1na dosubstituin e

:equação 2na seEliminando

fKKfqKKKK

Exercício:A matriz de rigidez de um elemento finito de treliça com seção linearmente variável é dada abaixo. O elemento tem 3 nós e 3 graus de liberdade. O material é isotrópico, elástico linear. Use a condensação estática para “eliminar” o grau de liberdade interno.

A 2A. . .u1,R1 u2,R2 u3,R3

284820

Resposta:

u14u10REA

Cap 3 26

17. Testes de Convergência - exemplo

Cap 3 27

- material homogêneo, isotrópico e elástico linear;- placa fina (menor vão/espessura >20);- pequenos deslocamentos (muito menores que espessura) e pequenas

rotações:

- tensões normais perpendiculares à superfície média são desprezíveis em relação às demais tensões normais (despreza-se variação da espessura: zz=0

- reta normal à superfície média permanece normal após a deformação (xz = yz = 0);

- A superfície média permanece sem deformação após a flexão (superfície neutra).

18.1. Hipóteses da Placa de Kirchhoff:

; 1yw1

18. Elemento de Placa

w = w(x,y)

18.2. Relação deformação x deslocamento

Cap 3 28

xyxyxy

G)()1(2

)1(2E1E1

xyxyyz

)1(2EG

18.3. Relação tensão x deformação (Lei de Hooke)

18.4. Tensão x Deslocamento

Cap 3 29

18.5. Esforços positivos que atuam na placa

MxyMyx

Notar que:Mx causa x

My causa y

Mxy causa xy

Myx causa yx

Qx causa xz

Qy causa yz

18.6. Equação de equilíbrio: interno = externo

Obs: esforços por unidade de comprimento

zdzMzdzM

Cap 3 30

18.7. Momento x Deslocamento

18.8. Equilíbrio Local

Cap 3 31

Equilíbrio na placa:

Das 3 equações acima:

18.9. Equação da superfície elástica

Escrevendo equação anterior em termos de deslocamentos w(x,y) :

)1(12EhD 2

ou, simplesmente:

Cap 3 32

18.10. Tensões máximas

Tensões Normais:

2ymín,máx

2xmín,máx

)2/hz(

hM6)2/hz(

Tensões Cisalhamento:

2xymín,máx

)2/hz(

Cap 3 33

18.11. Métodos de Solução

1) Analíticas (exatas): - Solução de Navier- Solução de Levy

2) Aproximadas: - Método das Diferenças Finitas- Método dos Elementos Finitos

18.12. Placa + Membrana

Cap 3 34

18.13. Elemento de Adini e Clough (1961)

12 graus de liberdade1

x yx2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

x4 x3y x2y2 xy3 y4

xxyyyy

yyxxxx

yCxCyCxCCzyx

xyCyCxCCzy

xyCxCyCCzx

yCyxCxCyCxyCxCyCCx

xyCxCyCxyCxCyCxCCy

xyCyxCyCxCxyCyxC

yCxCxyCyCxCCyxw

:Tensões

:sDeformaçõe

3322),(

322),(

:Rotações e tosDeslocamen

211874

1210862

119752

287542

254321

x2 xy y2

Cap 3 35

Elemento é Não-Conforme

Lado 1-4 :

x = ctew(x,y) é 3o grau em y

w(x,y) é único em 1-4

11 ,,,

Lado 1-4 :

x = ctey(x,y) é 3o grau em y

y não é único em 1-4

Continuidade dos Deslocamentos Continuidade das Rotações

18.14. Elemento de placa Femap 13.3 – NX/Nastran6.2.4 Plate Element

DescriptionA combined planar shell element. This element typically resists membrane (in-plane), shear, and bending forces. Some analysis programs also include transverse (through the thickness of the element) capabilities. ApplicationAny structure which is comprised of thin plates/shells. ShapePlanar, three-noded triangle, four-noded quadrilateral, six-noded triangle, eight-noded quadrilateral. Some shapes are notavailable for all analysis programs. Element Coordinate SystemRefer to the figure in Section 6.2, "Plane Elements". The material angle can be used to rotate the element X axis. PropertiesThickness (average, or varying at each corner), Nonstructural mass/area, Bending Stiffness parameter (Nastran only), Transverse shear/Membrane thickness (Nastran only), Bending, Shear and Membrane-Bending Coupling Materials (Nastran only), Fiber distances for stress recovery. Additional NotesMany analysis programs do not support tapered plate elements. For those that do, you can specify a different thickness for each corner of the plate. You can always specify a single thickness for all corners simply by entering the average thickness. Plate Offsets (Nastran, ANSYS, LS-DYNA Only) can be defined to offset the plate a particular distance from its nodes. Onlyone offset may be specified, and it will be in the plate's positive or negative normal direction. FormulationDYNA choice between 18 different element formulations. User selection is written to the SECTION_SHELL card. No MARC options are available for this element type. ABAQUS Plate options for Standard (S3, S4, STRI65, S8R), Reduced Integration (S3R, S4R, S8R5, S8R), or Thin shells(STRI35, S4R5, STRI65, S8R5) can be defined. In addition, you can select Flat Triangles to export STRI3 elements insteadof STRI35. The Warping option is only applicable to ABAQUS EXPLICIT, which causes S4RSW elements to be writteninstead of S4RS elements.

Cap 3 36

19. Femap/Nastran 10.3.1

Cap 4 1

4. Breve Noção de RequisitosEstruturais em Aeronaves

EST-25Notas de aula

IntroduçãoO trabalho de primeira importância para o projetista de estruturas de aviões é o de projetar uma estrutura com resistência e rigidez adequadas para as condições mais severas previstas no uso do avião, dando atenção aos seguintes pontos:

• minimização do peso;

• compatibilização das restrições aerodinâmicas com maximização do espaço interno;

• redução dos custos de produção;

• facilidade e baixo custo de manutenção;

• adequação na escolha dos materiais utilizados.

Cap 4 2

Metodologia

Dificuldades:• Impossível previsão de todas as cargas.

Solução:• Selecionar situações críticas para cada

elemento estrutural• Equipe especializada deve calcular cargas,

baseando-se em investigações e definições de órgãos especiais.

Algumas cargas

Cap 4 3

Tipos de cargas

Cargas em vôoManobrasRajadas“Buffet”

Cargas no PousoFator de carga vertical

RicocheteVôo de derivaPouso em uma rodaFrenagem

Cargas dos motoresTraçãoTorqueGiroscópicaVibraçãoPressões em dutos

Peso e Cargas de InérciaPeso próprioAceleraçãoRotaçãoDinâmicaVibração“Flutter”

Cargas na decolagemCatapultagemAborto

Cargas durante o taxiamentoPulosGiros

Cargas especiaisVôo de reboqueSuspensão (macaco)PressurizaçãoChoque de avesAcidentes

Tipos de cargas

Cargas críticas no L-1011

Cap 4 4

Regulamentos

Autoridades responsáveis pela homologação estabelecem:

Exigências de aeronavegabilidade.

Requisitos de segurança.

Regulamentos

Code of Federal Regulations – CFR: http://www.gpoaccess.gov/cfr/

14CFR25-- PART 25--AIRWORTHINESS STANDARDS:

TRANSPORT CATEGORY AIRPLANES

Cap 4 5

FAR 25 – Sumário 01

Subpart A--GeneralSubpart B--FlightGeneral

25.21 Proof of compliance.25.23 Load distribution limits.25.25 Weight limits.25.27 Center of gravity limits.25.29 Empty weight and corresponding center of gravity.25.31 Removable ballast.25.33 Propeller speed and pitch limits.

PerformanceControllability and ManeuverabilityTrimStabilityStallsGround and Water Handling CharacteristicsMiscellaneous Flight Requirements.

Subpart C--StructureGeneral

25.301 Loads.25.303 Factor of safety.25.305 Strength and deformation.25.307 Proof of structure.

Flight Loads25.321 General.

Flight Maneuver and Gust Conditions25.331 Symmetric maneuvering conditions.25.333 Flight maneuvering envelope.25.335 Design airspeeds.25.337 Limit maneuvering load factors.25.341 Gust and turbulence loads.25.343 Design fuel and oil loads.25.345 High lift devices.25.349 Rolling conditions.25.351 Yaw maneuver conditions

Cap 4 6

Supplementary Conditions25.361 Engine torque.25.363 Side load on engine and auxiliary power unit moun25.365 Pressurized compartment loads.25.367 Unsymmetrical loads due to engine failure.25.371 Gyroscopic loads.25.373 Speed control devices.

Control Surface and System Loads25.391 Control surface loads: General.25.393 Loads parallel to hinge line.

FAR 25 – Sumário 04Ground Loads

25.471 General.25.473 Landing load conditions and assumptions.25.477 Landing gear arrangement.25.479 Level landing conditions.25.481 Tail-down landing conditions.25.483 One-gear landing conditions.25.485 Side load conditions.25.487 Rebound landing condition.25.489 Ground handling conditions.25.491 Taxi, takeoff and landing roll.25.493 Braked roll conditions.25.495 Turning.25.497 Tail-wheel yawing.25.499 Nose-wheel yaw and steering.25.503 Pivoting.25.507 Reversed braking.25.509 Towing loads.25.511 Ground load: unsymmetrical loads on multiple-wheel units.25.519 Jacking and tie-down provisions.

Cap 4 7

Water Loads

Emergency Landing Conditions25.561 General.25.562 Emergency landing dynamic conditions.25.563 Structural ditching provisions.

Fatigue Evaluation25.571 Damage--tolerance and fatigue evaluation of structure.

Lightning Protection

FAR 25 – Sumário 06Subpart D--Design and Construction

General25.601 General.25.603 Materials.25.605 Fabrication methods.25.607 Fasteners.25.609 Protection of structure.25.611 Accessibility provisions.25.613 Material strength properties and material design values.25.619 Special factors.25.621 Casting factors.25.623 Bearing factors.25.625 Fitting factors.25.629 Aeroelastic stability requirements.25.631 Bird strike damage.

Cap 4 8

Control SurfacesControl SystemsLanding GearFloats and HullsPersonnel and Cargo AccommodationsEmergency ProvisionsVentilation and HeatingPressurization

25.841 Pressurized cabins.25.843 Tests for pressurized cabins.

Fire ProtectionMiscellaneous

FAR 25 – Sumário 08Subpart E--PowerplantSubpart F--EquipmentSubpart G—Operating Limitations and Information

25.1501 General.Operating Limitations

25.1503 Airspeed limitations: general.25.1505 Maximum operating limit speed.25.1507 Maneuvering speed.25.1511 Flap extended speed.25.1513 Minimum control speed.25.1515 Landing gear speeds.25.1516 Other speed limitations.25.1517 Rough air speed25.1519 Weight, center of gravity, and weight distribution.25.1521 Powerplant limitations.25.1522 Auxiliary power unit limitations.25.1523 Minimum flight crew.25.1525 Kinds of operation.

Cap 4 9

§ 25.301 - Loads.(a). Strength requirements are specified in terms of limit loads (the

maximum loads to be expected in service) and ultimate loads(limit loads multiplied by prescribed factors of safety). Unlessotherwise provided, prescribed loads are limit loads.

(b). Unless otherwise provided, the specified air, ground, and waterloads must be placed in equilibrium with inertia forces, considering each item of mass in the airplane. These loads mustbe distributed to conservatively approximate or closely representactual conditions. Methods used to determine load intensitiesand distribution must be validated by flight load measurementunless the methods used for determining those loadingconditions are shown to be reliable.

(c). If deflections under load would significantly change thedistribution of external or internal loads, this redistribution mustbe taken into account.

§ 25.303 - Factor of safety.

Unless otherwise specified, a factor of safety of 1.5 must be applied to the prescribed limit load which are consideredexternal loads on the structure. When a loading condition is prescribed in terms of ultimate loads, a factor of safetyneed not be applied unless otherwise specified.

Cap 4 10

§ 25.305 - Strength and deformation.(a). The structure must be able to support limit loads without any detrimental

permanent deformation. At any load up to limit loads, the deformationmay not interfere with safe operation.

(b). The structure must be able to support ultimate loads without failure for at least 3 seconds. However, when proof of strength is shown by dynamictests simulating actual load conditions, the 3-second limit does notapply. Static tests conducted to ultimate load must include the ultimatedeflections and ultimate deformation induced by the loading. Whenanalytical methods are used to show compliance with the ultimate loadstrength requirements, it must be shown that-

(1). The effects of deformation are not significant;(2). The deformations involved are fully accounted for in the analysis; or(3). The methods and assumptions used are sufficient to cover the effects of

these deformations.

§ 25.305 - Strength and deformation.(c). Where structural flexibility is such that any rate of load application likely

to occur in the operating conditions might produce transient stressesappreciably higher than those corresponding to static loads, the effectsof this rate of application must be considered.

(d). Reserved

(e). The airplane must be designed to withstand any vibration and buffetingthat might occur in any likely operating condition up to VD/MD, including stall and probable inadvertent excursions beyond theboundaries of the buffet onset envelope. This must be shown byanalysis, flight tests, or other tests found necessary by theAdministrator.

(f). Unless shown to be extremely improbable, the airplane must be designedto withstand any forced structural vibration resulting from any failure, malfunction or adverse condition in the flight control system. Thesemust be considered limit loads and must be investigated at airspeeds upto VC/MC.

Cap 4 11

§ 25.307 - Proof of structure.

(a). Compliance with the strength and deformation requirements of thissubpart must be shown for each critical loading condition. Structuralanalysis may be used only if the structure conforms to that for whichexperience has shown this method to be reliable. The Administratormay require ultimate load tests in cases where limit load tests may beinadequate.

(b). [Reserved](c). [Reserved](d). When static or dynamic tests are used to show compliance with the

requirements of § 25.305(b) for flight structures, appropriate material correction factors must be applied to the test results, unless thestructure, or part thereof, being tested has features such that a numberof elements contribute to the total strength of the structure and thefailure of one element results in the redistribution of the load throughalternate load paths.

§ 25.321 – Flight Loads

Sec. 25.321 General.

(a) Flight load factors represent the ratio of the aerodynamic force component (acting normal to the assumed longitudinal axis of the airplane) to the weight of the airplane. A positive load factor is one in which the aerodynamic force acts upward with respect to the airplane.

Cap 4 12

RequisitosOs seguintes requisitos básicos devem ser observados:

• a estrutura do avião deve resistir às cargas limites semapresentar deformação permanente prejudicial;

• a estrutura do avião deve resistir às cargas últimas semfalhas por pelo menos 3 segundos.

Margem de Segurança é um conceito amplamente utilizado na análise estrutural, sendo geralmente definida por:

F: carga admissível(falha estrutural: escoamento, flambagem,ruptura etc);

f: carga aplicada(limite ou última, conforme o caso.

Fatores que afetam as cargas

- posição do CG versus Posição do CA- peso total;- velocidade;- ângulo de ataque ou atitude durante manobras;- rajadas;- etc.

Cap 5 1

5. Torção de Barras

EST-25Notas de aula

Megson* - Cap .3 – – Torção de barras prismáticas

3.1. Solução pela função de tensão de Prandtl3.2. Solução pela função de empenamento3.3. Analogia da Membrana3.4. Torção de seção retangular fina

* Megson, T. H. G., Aircraft structures for engineering students,3th Ed., London, E. Arnold, 1999;

Cap 5 2

3.1. Função de Prandtl

3.1. Função de Prandtla. Equilíbrio

Equilíbrio num sólido:

Cap 5 3

Na ausência de forças de volume (X=Y=Z=0), eqs 1.5 ficam:

z em ctes : τ e τ yzxz

Define-se Função de Prandtl (x,y) tal que

Notar que satisfaz 3.1!

3.1. Função de Prandtlb. Equações Constitutivas –

Material elástico linear, homogêneo e isotrópico

Cap 5 4

3.1. Função de PrandtlUtilizando tensões já vistas, (1.42) e (1.46) ficam reduzidas a:

3.1. Função de Prandtlc. Equações de compatibilidade –

Pequenas deformações

Cap 5 5

Usando a função de Prandtl, e deformações nulas conhecidas, as expressões acima se reduzem a:

De (3.3), Laplaciano de é constante em x e y, ou seja:

3.1. Função de Prandtld. Equações de Equilíbrio na fronteira

l , m, n: co-senos diretores danormal à superfície

Cap 5 6

0n:Como

(1.7) reduzem-se a:

Substituindo (3.2) e (3.6) em (3.5):

Cap 5 7

Nas faces das extremidades da barra:

Substituindo em (1.7):

Verificar que as resultantes em x e y são nulas:

Equilíbrio: Text=Tint

Usando Função de Prandtl:

Cap 5 8

Integrando por partes, e sabendo que = 0 na fronteira:

3.1. Função de Prandtle. Ângulo de Rotação e Empenamento

Vimos que:

Ou seja, para pequenas deformações:

Barra roda (pequeno) em torno de O (centro x-y):

Cap 5 9

3.1. Função de PrandtlSubstituindo (3.9) em:

Obtém-se o empenamento:

Diferenciando as expressões acima em relação a y e x e subtraindo:

Usando função de Prandtl:

Ou, simplesmente:

Definindo rigidez GJ como relação entre torque T e taxa de rotação:

Obtém-se:

Cap 5 10

EXEMPLO 3.1: Obter J e distribuição de tensões na torção de barra prismática de seção transversal elíptica.

Solução:

a) Função de Prandtl

Equação da elipse:

fronteirana 02

Cap 5 11

b) Usando (3.11) para obter :

Ou seja:

c) Usando equilíbrio (3.8)

Obtém-se:

E também:

Cap 5 12

d) Usando (3.2) para obter tensões:

Obtém-se:

e) Usando (3.10) para obter empenamento:

Integrando as duas expressões, obtém-se:

Devemos ter w único:

Chegando-se a:

Pergunta: qual condição para a seção não empenar?

Cap 5 13

3.2. Função de Empenamento de St. Venant

Hipóteses: seção transversal mantém formato original da seção após torção

pequenas rotações

w é proporcional a taxa de rotação da seção

função de empenamento de St Venant

deve ser tal que:

3.2. Função de Empenamento de St. Venant

Analogamente ao procedimento usado na função de Prandtl, podemos obter:

Cap 5 14

3.3. Analogia da Membrana

Nas bordas,

é tangente

ao contorno

n=’=0 (superfície livre)

Cap 5 15

Analogia da Membrana

Analogia da Membrana:

tem a direção da tangente horizontal

|| é proporcional à máxima declividade da membrana

T é proporcional ao volume da membrana

Cap 5 16

a) Torção de Seção Retangular

Resultados da T. Elasticidade

a/b c1 c2

1,0 0,208 0,1411,2 0,219 0,1661,5 0,231 0,1962,0 0,246 0,2292,5 0,258 0,2493,0 0,267 0,2634,0 0,282 0,2815,0 0,291 0,29110,0 0,312 0,312100 0,333 0,333

Cap 5 17

Exercício Extra 1

Comparar quanto ao consumo de material e ângulo de giro:

T = 20 kN.m adm= 50 MPa

Seção 2

Seção 1

Solução

Seção 1

Seção 2

0012606340

6503202

2mÁream,R

TRADMmáx

3940206340

0174009330

65022460

m,Áream,A

e)A).(A.(,

TADMmáx

),)(,.(,

)A)(A(,

TL 2881409330093302229022290 333

Cap 5 18

Relação entre consumo de materiais:

Área1 / Área2 = 0,72

Relação entre ângulos de giro:

1 /2 = 1,36

---------------------//----------//--------------------

b) Tubos de parede fina

Cap 5 19

b.1) Perfis Abertos

membrana

Analogia da Membrana

Cap 5 20

Fórmulas

3ht31J

b.2) Perfis fechados unicelulares

Cap 5 21

Fluxo de Cisalhamento: q =.t = cte

Analogia da Membrana é constante ao longo da espessura

Do equilíbrio: Notar que:

Integrando:

Ou seja:

Assim:

Cap 5 22

Fórmulas

tdsA4J

Calcular T máximo em cada barra de latão (adm= 40 MPa) :

T1T2 T3

40mm x 40mm 25mm x 64mm40mm x 40mm

Exercício Extra 2

Cap 5 23

Barra 1a=0,04m ; b=0,04 => a/b =1

Da tabela: c1=0,208

Barra 2

a=0,064m ; b=0,025m => a/b =2,56

Da tabela (interpolando-se): c1=0,259

m.NTMPa),)(,(,

Tadmmáx 53240

0400402080 121

m.NTMPa),)(,(,

Tadmmáx 41440

025006402590 222

Solução

Barra 3Para um tubo de parede fina, com espessura t, a tensão de cisalhamento é dada por:

Assim, para a tensão admissível, tem-se:

23156103400340 me,,.,A

m.NT)e,)(,(

T 5553156100602

T3>T1 !!! Será?!?!---------------------//---------- --------------------

Cap 5 24

Dados dois perfis (aberto e fechado) abaixo, calcular as relações entre as tensões máximas e rotações. Calcular o número de rebites para fechar a seção aberta. Torque: T=300N.m.

Solução 1

aberto

Solução 2

fechado

t=4mmD

Exercício Extra 3

Para os rebites, considerar:adm =100MPa, = 8mm

T=300N.m

Cap 5 25

a) Seção aberta:

m/6,98m/rad72,110.7021,6.10.26

MPa17910.7021,6

004,0.300

m10.7021,6004,0).050,0..2(3

Seção fechada:

m/21,0m/rad10.67,310.1416,3.10.26

MPa775,4004,0.050,0..2

m10.1416,3

050,0..2)050,0..(4

Solução

b) A resultante da tensão de cisalhamento que surge quando fechamos a seção é dada pela tensão de cisalhamento multiplicada pela área em que ela atua:

Mas, numa seção de parede fina, fechada, vimos que:

Logo, reunindo as duas expressões acima, a força resultante é dada por:

Para n rebites, a força atuante em cada um deles será:

)t.L(AF

MPa78,4tD

TL2)t.L(AF

2rebite Dn

Cap 5 26

Por outro lado, a força de cada rebite não pode ser tal que surja nele uma tensão maior que a admissível. Assim:

Assim:

Para respeitar a tensão admissível dos rebites, utilizando-se o mínimo possível, serão utilizados 4 rebites.

Espaçamento = 33cm => VERIFICAR!!!

)4/.(Dn

TL2F 2

adm2rebite

836100100080

13008822 ,

)e(),.,.(

MPa96,410.147,3

052,0.300

MPa77,410.147,3

2/)048,0052,0(300

2/)RR(T

m10.147,32

)048,0052,0(

6externo

6ernointexterno

médio

ernoint4externo

Obs: usando fórmulas de torção de seção circular:

---------------------//----------//--------------------

Cap 5 27

3.4. Torção de seção retangular fina

Aproximações: 1) Tensões independem de y

De (3.11):

2) Tensões variam linearmente em x, e são constantes em y (Analogia da Membrana)

Integrando duas vezes:

:t/2)(xfronteira na 0 Com

Cap 5 28

Usando (3.2) para obter tensões:

Obtém-se:

Usando (3.13)

Obtém-se:

E também:

Cap 5 29

Usando (3.10) para obter empenamento:

Integrando a 1a equação acima, obtém-se (zx=0):

Devido à dupla simetria, w(x=0,y=0)=0 :

Cap 5 30

Resumo de Torção

)1(2EG

Resumo de Torção

Aberta

Fechada

Circular

JSeção

Trmáx

Ttmáx

qmáx A ;

Cap 5 31

Exercício Extra 4

MPa41 ; MPa55 Alaço

Alumínio

2.540 mm

Um eixo composto deverá receber um torque T. O módulo de .elasticidade transversal é 76 GPa para o aço e 27,5 GPa para o alumínio. Determinar o maior torque que pode ser aplicado, e o respectivo ângulo de rotação que ocorre na extremidade livre da barra, sem exceder as seguintes tensões admissíveis:

Exercício Extra 5

Determine o maior momento torçor que pode ser aplicado a uma barra de seção vazada mostrada a seguir, sabendo que a tensão de cisalhamento não pode exceder 2,5 MPa.

t=1,5mm (cte)

Cap 6 1

6. Flexão, cisalhamento e torção de vigas de parede fina

EST-25Notas de aula

Referência: MEGSON, T.H.G. – Aircraft Structures for Engineering Students, Butterworth, 3th ed, 1999. [CAP. 9]

Contents

Cap 6 2

Cap .9.1 – Flexão de Vigas de seção abertas e fechadas

Tensões normais independem de ser seçãoaberta ou fechada

• Hipóteses

Flexão puraSeção plana permanece planaMaterial homogêneo, isotrópico,

perfeitamente elástico, linearSeção transversal constante

Convenção de sinais

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 3

Deformação na flexão pura

Antes da carga Depois da carga

l z dz

(pequeno)

Linha Neutra

Cap. 9.1 - Flexão

Tensão na flexão pura

z zE E

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 4

Equilíbrio em z na flexão pura:

EE dA dA

Linha Neutra passa pelo centróide!

Cap. 9.1 - Flexão

Seção transversal após carga, com origem de x‐y no centróide:

x z y z

xsen y

Equilíbrio M M

M ydA M xdA

E Exsen y

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 5

Substituindo z em Mx, com:

Resulta em:

Matricialmente:

Analogamente, tem-se:

Cap. 9.1 - Flexão

Invertendo:

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 6

EST-34 – Teoria das Estruturas Aeronáuticas

Para seções simétricas:

MMy x flexão em dois planos simétricos

Posição da linha neutra

Basta fazer equação que passa pela origem

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 7

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 8

X Y σz(MPa)A -52 21,6 52,4

B 68 21,6 6,1

C 68 13,6 -5,9

D -52 13,6 40,4

E -16 -66,4 -93,2

F -8 -66,4 -96,2

Máx tensão de tração

Máx tensão de compressão

Cap. 9.1 - Flexão

Para a linha neutra, basta fazer:

0 0,386 1,496 0

0,258 14,5

Cap. 9.1 - Flexão

_____ /// _____ /// _____

Cap 6 9

Equações de equilíbrio

No plano y‐z: Elemento infinitesimal

Cap. 9.1 - Flexão

0 ( ) ( ) 02

y yy y y z y z y

y xzA x y z y z z x z

S SF S S w w

z zS M

M M w S Mz z

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 10

Das duas equações acima

,y xy y

S Mw S

Cap. 9.1 - Flexão

Analogamente no plano x z

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 11

3' 2 2

' 2 ''

11 ( ) 1

yC urva tura

P ara pequenas ro tações

Cap. 9.1 - Flexão

Deflexões na flexão:

D a figura

u sen v

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 12

2 : ( ! !)

1cos cos cos

D iferenciando as expressões acim a

vezes independe de z F lexão pura

d u d d usen sen sen

dz dz dz

d v d d v

dz dz dz

Cap. 9.1 - Flexão

c o s :

( c o s )

: ( '' , '' )

x x y x x

y y y x y

x x y x x

y y y x y

S u b s t i tu in d o s e n e e m

EM s e n I I

d u d vO b té m s e s e n d o u v

d z d zM E I u E I v

M E I u E I v

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 13

'' ( )

x x y x x

y y y x y

x y x x x

y y x y yx x y y x y

O u m a t r i c i a l m e n t e

M I I uE

M I I v

i n v e r t e n d o

I I Mu

I I Mv E I I I

F l e x ã o s i m é t r i c a I

M E I v

M E I u

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 14

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 15

Cap. 9.1 - Flexão

_____ /// _____ /// _____

Seção de parede fina: aproximação para flexão

Hipóteses:

- Espessura t é pequena face às outras dimensões

- Tensões são constantes ao longo da espessura

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 16

Ex 1: Calcular Ixx para a seção abaixo; para t<<b e t<<h

Cap. 9.1 - Flexão

_____ /// _____ //// _____

Cap 6 17

Ex 2: Seções retas inclinadas

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 18

Cap. 9.1 - Flexão

_____ /// _____ //// _____

Ex 3: Seções semicirculares

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 19

Cap. 9.1 - Flexão

_____ /// _____ //// _____

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 20

Cap. 9.1 - Flexão

Cap 6 21

Cap. 9.1 - Flexão

_____ /// _____ //// _____

Cap 6 22

Hipóteses:

‐Restrição axial desprezível‐Tensão normal à superfície desprezível (nula nas superfícies e pequena espessura)‐Tensões constantes ao longo da espessura‐Seção transversal constante ao longo de z‐Espessura t pequena

‐Estado plano de tensões:

xx yy xx

zz xz yz

Cap. 9.2 – Cisalhamento em seções abertas e fechadas; torção em seções fechadas *

* Torção de seção aberta na seção 9.6

: : ( ) :

hoop stress tensão saliente causada por pressão interna

s :(hoop stress, tensão volvente), causada por pressão interna

Cap. 9.2 - CisalhamentoEquilíbrio:

Cap 6 23

Cap. 9.2 - Cisalhamento

Fluxo de Cisalhamento q:

, t nz s

z s rvw

Cap. 9.2 - Cisalhamento

Deformações e Deslocamentos:

Cap 6 24

Seção 9.3 – Cisalhamento puro de seção aberta (com carga no CEC)

s em só z, em varia não q0z

q :0σPara

Cap. 9.3 – Cisalhamento puro

Cap 6 25

Cap 6 26

Cap 6 27

_____ /// _____ /// _____

Cap 6 28

Centro de Esforço Cortante em seções abertas

• Ponto no qual as cargas de cisalhamento não produzem rotação

• Se não houver restrições axiais: CEC coincide com o centro de rotação

• CEC está em eixos de simetria e antissimetria• Se a seção possui ponto de convergência, CEC está nesse ponto

• CEC é obtido através de Mint=Mext

Exemplo 9.5

Cap 6 29

Exemplo 9.5

1. CEC está no eixo x2. Arbitrar posição de Sy3. Obter q(s) causado por Sy (suposto no CEC)4. Impor Mext=Mint

Exemplo 9.5

Cap 6 30

Exemplo 9.5

_____ /// _____ /// _____

Obs: Flanges aumentam momento de inérciaMaiores Flanges -> q mais homogêneo na alma

9.4 – Cisalhamento em seções fechadas

Análogo ao que foi feito para seção aberta:

Vamos fazer:

qb: fluxo de cisalhamento com carga no CEC que surge quando a seção é “aberta” (quando se “corta” a seção).

qso: fluxo (constante) que surge quando se “fecha” a seção.

Cap 6 31

9.4 – Cisalhamento em seções fechadas

Seção aberta (cortada), com:

Sx e Sy no CEC+

Torque que gera qso

Seção fechada, com:

Sx e Sy em qualquer lugar

Seção 9.4 – Cisalhamento em seções fechadas

qso é obtido através do equilíbrio:

Mext(Sx,Sy)=Mint(q=qso+qb)

Cap 6 32

0y0xext SSM

dspqpdsqds)qq.(p

qds.pM

b0sb0s

A2Ad 2pds

AdAd 2pds2

dspqAq2

dspqpdsqM

b0sint

Assim:

Cap 6 33

Fazendo Mint=Mext:

dspqSS

qb0y0x

Quando , então:

A2 dspq

Seção 9.4.1 – Rotação e empenamento devido ao cisalhamento em seções fechadas

Obtém-se:

Cap 6 34

soObs: alternativa para cálculo de q :

Se carga no CEC 0 0

so bso

dz Gtq

dsq q Gtds qdsGtGt

Se carga está fora do CEC e conhecendo-se a posição do CEC, pode-se fazer:

Tsobtotal qqqq

TqT Carga no CEC (T=força x distânciaCEC)

Se Gt =cte:

Empenamento:

se origem de x-y coincide com Centro de Rotação da seção:

w0 = 0 sobre um eixo de simetria

AOs = área varrida por s a partir da origem s=0

Cap 6 35

Seção 9.4.2 – CEC em seções fechadas

Carga no CEC: não há rotação

b soso

q qds q

dsGtdsGt

ext int

a) Abrir seção e calcular q

b) Calcular

c)q=q +q

d) M =M

GtqdsGt

Roteiro para obter CEC em secao fechada:

Seção 9.4.2 – CEC em seções fechadas

Cap 6 36

Exemplo 9.6

Exemplo 9.6a) Seção “aberta” em 4

b) Cálculo de qb (seção “aberta”)

Cap 6 37

Exemplo 9.6

c) Cálculo de qso:

Exemplo 9.6

c) Obter q=qb+qs0

d) Mint = Mext

Cap 6 38

Exemplo 9.6

_____ /// _____ /// _____

Na verdade,

a3333.3a3

Seção 9.5 – Torção de seção fechada

Hipóteses: - Sem restrição axial

- Torção Pura

- 0zz s

Cap 6 39

As equações de equilíbrio ficam:

0 0 q é cte. em s

0 0 q é cte. em z

s z sq q

tz s z

q2dA2qpdsqT

intext

:Equilíbrio

Cap 6 40

(fluxo de cisalhamento)2

(tensão de cisalhamento)2

Ângulo de giro na presença de fluxo de cisalhamento

dz A Gt

A s s im :

N a to rç ã o p u ra , s e m re s t r iç ã o a x ia l:

S e o m a te r ia l fo r o m e s m o : G = c te

, c o m ( )

d T d s

d z G t

d T d s

d sd z

Cap 6 41

Exemplo extra

C alcu lan d o d e fo rm a ex ata

( ) ( )2 2 2 2

P ara t= 0 ,2 R : 0 , 4 0 0 (ap ro x .)

0 , 4 0 4 (ex ato )

P ara t= 0 ,0 2 R : 0 , 0 4 0 0 0 0 (ap ro x .)

0 , 0 4 0 0 0 4 (ex ato )

ext in t

J R tR

t tR R

Seção circular – Raio médio R, t constante, t<<RComparar J exato com aproximado (seção de parede fina)

Aproximado:

_____ /// _____ /// _____

Empenamento na torção

Vemos que, se origem de x-y coincide com CT (centro de torção)

e w =0 num eixo de simetria

Na torção pura: 2

obs: ( ) (não é função

ss os s

q A qw w ds ds

Gt A Gt

AT ds dsw w

Gt A GtA

de z, somente de s)

0 num eixo de simetriaow

Cap 6 42

Exemplo 9.7

simetria) de (eixo em

Cap 6 43

Exemplo 9.7

0 em s= 0 (e ix o d e s im e tria )

2 2(G = c te )

T rech o 0 -1 (0 )2

d s a b

AT d sw

G a b t a b

a a sA s

Exemplo 9.7

2 1 3 4

( 0 ) 0

( )2 8

A p a rtir d aq u i, u sa r s im etria :

T s a s Tw s

G a b t a b G a b t b

T b abw w sG a b t t

w w w w

Cap 6 44

Exemplo 9.7

ta=tbb>a

Exemplo 9.7

1 2 3 4

Comentários:

a) Se 0 Não há empenamento!

b) Exemplo numérico:

26 ( )

b aw w w w

G GPa Al

Cap 6 45

Exemplo 9.7

b) Exemplo numérico: (continuação)

2, 4.10 0,024

0,0577 3,3

500002

nos revestimentos: 50

nas longarinas: 50

w m mm

d radm mdz

T Nq mAq

t t MPat

qt t MPa

_____///_____///_____

Seção 9.6 – Torção de seções abertasDa teoria da elasticidade (torção de St. Venant), vemos

que, pela Analogia da Membrana:

Para seções retangulares com h>>t, a tensão máxima mantém-se aproximadamente:

máx máx

ht d TJ

varia linearmente em t e:

Cap 6 46

Seção 9.7 – Análise de seção aberta e fechada

Exemplo: seção de asa junto ao trem de pouso

Sob flexão: análise independe se seção é aberta ou fechada

Sob cisalhamento ou torção: análise depende se seção éaberta ou fechada

Exemplo 9.9

Cap 6 47

Exemplo 9.9a) centróide e propriedades de inércia:

Exemplo 9.9

b) Abrir a seção e calcular q=qso+qbDica: ponto O está num eixo de simetria

neste ponto, q=0fazendo origem de s=0, qb=0, logo qs0=0

Cap 6 48

Exemplo 9.9

Cap 6 49

Exemplo 9.9

_____///_____///_____

Cap 6 50

Seção 9.7.3 –Torção

- Porção fechada é dominante, devido a sua maior rigidez

- Deve-se verificar na seção aberta

-Hipótese: seção roda como um todo (supõe-

se existência de nervuras)

- Parte aberta:

- Parte fechada:

Exemplo 9.10

Cap 6 51

Exemplo 9.10

a) Calcular rigidez: J=Jfechada+Jaberta

(99,9%)

(0,1%)

Exemplo 9.10

b) Calcular rotação:

c) Calcular q:

Cap 6 52

Exemplo 9.10

d) Calcular tensão:

_____///_____///_____

Seção 9.8 – Idealização estrutural

Cap 6 53

Boom: áreas concentradas

- Trabalham só com esforço normal

- Concentram capacidade do revestimento adjacente de resistir

- Simulam reforçadores concentrados

Consequências:

- Liberam no revestimento e

entre booms é constante pois:

revestimento entre booms: 0

q0 cte.

- Booms: só

- Revestimento: só (cte. entre booms)

- Booms - contribuição de:

revestimento adjacente e/ou reforçadores

Resumindo:

Cap 6 54

Cálculo da Área equivalente do Boom

Caso A: Boom representando reforçador-BASTA “concentrar” área do reforçador-Offset: em geral é desprezado

Caso B: Boom representando revestimento e sua capacidade de resistir a σ

1 21 1 2 2

2 1 2 2 2

( )2 3

De (i) e (ii): 26

- supõe-se conhecido, proporcional às dist

real z idealizado z D

real idealizado D

F F bt B B i

b bM M bt bt B b ii

âncias à linha neutra

- LN conhecida

btB: (ii) e (i) De

Cap 6 55

Exemplo 9.11

Cap 6 56

Exemplo 9.11

2 2 2 8 41 2 3

3 32 2 2

3 3 22

Cálculo de :

2 200 2 150 2 100 1,825 10

3 400 2,5 3002 200 4 150 2 100

2 200 600 2 4,7802 600 2 175

600 1,5 4,7802 600 1,5 125 1

xx R R R

I B B B mm

I A A A

8 4,825 10 mm

_____///_____///_____

Cap 6 57

Seção 9.9 – Efeito da idealização

a) Flexão de vigas abertas ou fechadas

- Ixx, Iyy, Ixy são calculados como áreas concentradas, ou seja, somente eixos paralelos, e não se alteram pela idealização.

- Tensões normais nos booms são as mesmas que nos pontos dos booms

- CG calculado com booms é exato.

Exemplo 9.12

Cap 6 58

Exemplo 9.12

____///_____///_____

Cap 6 59

b) Cisalhamento de seções abertas e fechadas

2 20 0

s sx xx y xy y yy x xy

sxx yy xy xx yy xy

D r rr

S I S I S I S Iq txds tyds

I I I I I I

txds t xds B x

tyds t yds B y

Parcela do

revestimento quesuporta cisalhamento

Contribuição dos reforçadores e/ou

Cap 6 60

obs: das equações de equilíbrio:

vê-se que se num trecho de revestimento:

0 q=cte. em s!

Esforços em chapas com q=cte.

cos cos

Analogamente:

S q ds q ds

q dx q x x q x

S q y y q y

M qpds q pds q A

Cap 6 61

Esforços em chapas com q=cte.

AqpdsqpdsqM

Exemplo 9.13

Cap 6 62

Exemplo 9.13

Cap 6 63

Exemplo 9.13

_____///_____///_____

Problema Extra, sobre Exemplo 9.13

Pede-se:- Obtenha fluxo de cisalhamento da seção abaixo, sem idealizar- Compare e comente a solução encontrada com a solução do Ex. 9.13

(dica: idealize a seção abaixo!)

Áreas dos reforçadores:R1=R4 = 200,00 mm2

R2=R3 = 133,33 mm2

Cap 6 64

Exemplo 9.14

Roteiro:- idealizar a seção- abrir a seção- calcular qb- calcular qs0, fazendo Mint=Mext linha 3-6- q=qb+qs0

Obs: Não é necessário conhecer o CEC!

Cap 6 65

Exemplo 9.14

Cap 6 66

Exemplo 9.14

Obs: fazendo as contas com mais dígitos, obtém-se:q23 = -5,32 N.mm q67 = -5,32 N.mm q34 = -34,18 N.mm q78 = 12,72 N.mmq45 = -37,79 N.mm q81 = 17,05 N.mmq56 = -34,18 N.mm q12 = 12,72 N.mm

Cap 6 67

Problema Extra

Neste caso, temos que “corrigir” o fluxo q com um fluxo causado pelo acréscimo de um torque para levar a carga fora do CEC até o CEC.Então, a seção não roda mais:

C o m o 2 2

q qdd s

d z A G tqq

d s d sG t G t

Sq dsds

Gt A Gtq

dsA GtdsSGt

E se já tivermos Sy e q, e quisermos o CEC numa seção fechada?

_____///_____///_____

conhecidoA determinar

conhecidoSy

9.10 – Deflexão – Método da carga unitária

y y x xM

s sS seção

M M M Mdz

q qds dz

Cap 6 68

Exemplo 9.15

Cap 7 1

7. Análise estrutural de componentes de aeronaves

EST-25Notas de aula

Cap .10 – Megson – Tensões em componentes estruturais de aeronaves

Cap 7 2

10.1 Vigas Afiladas

Efeito do Afilamento: reforçadores absorvem parte da componente vertical da carga, aliviando o cisalhamento na alma.

10.1 Vigas Afiladas

Exemplo 10.1Pede-se: Fluxo de cisalhamento na alma da seção A-A.

Hipótese: Alma suporta tensão normal (não idealizada)

Cap 7 3

10.1 Vigas Afiladas

Solução

Roteiro:

• Obter tensões nas mesas (ou flanges), causadas pela flexão• Decompor componentes das forças nas mesas • Calcular cortante líquida atuante na alma Syw

• Obter fluxo de Cisalhamento na alma

OBS: Comparar distribuição de qalma com:

qmédio = Syw / 300 = 48,89 kN/mm

10.1 Vigas Afiladas

a) Tensões nas mesas (seção A-A)

Esforços externos: Mx = 20 × 1 = 20 kN.m ; Sy = −20 kN

Momento de inércia: Ixx = 2 × 400 × 1502 + 2 × 3003/12 = 22.5 × 106 mm4

Tensão nas mesas (flexão):

Pz1z1.A

Cap 7 4

10.1 Vigas Afiladas

Pz1=z1.A=53.33 kN

Pz1z1.A

Equilíbrio: Sy,ext = Sy,int

-20 = Syw - 2,67 + 2,67

Cortante a ser resistida pela alma:

Syw = -14,67 kN

Sy = -20kN

10.1 Vigas Afiladas

Fluxo de cisalhamento na alma, causado por Syw = -14,67 kN

Syw = -14,67 kN

d=150mm

mm/N 11,39)mm300(q

mm/N 78,53)mm150d(q

mm/N 11,39)0(q

yBds)sd(tI

SyBydst

yw12,s

Cap 7 5

10.1 Vigas Afiladas

-----////-----/////-----

Extra: idealizando a seção transversal:

mm/N89,48300

mm/N9,48q

SyBydst

yw12médio

12médio

yw12,s

:tesimplesmen Ou

21 mm500)12(

td400B

Syw = -14,67 kN

d=150mm

10.1 Vigas Afiladas

Exemplo 10.2 Pede-se para a seção z = 2 m:Tensão de Cisalhamento no revestimento e nas longarinasTensão normal nos booms

Supor seção já idealizada, isto é:Almas das longarinas suportam somente tensão de cisalhamentoBooms suportam apenas tensões normais

Cap 7 6

10.1 Vigas Afiladas

SoluçãoSolução analítica, com carga na seção z = 2 m:

Sy = 100 kNT = 100 kN . 0,4 m = 40 kN.m (e não 60 kN.m !)

Tarefa para entregar dia ___/___:

a) Refazer o problema analiticamente, com cargas corretasb) Analisar a viga por Elementos Finitos (Nastran, Abaqus etc)*c) Comparar respostas e comentar diferenças

* Atenção com a idealização! Adotar como estrutura original uma caixa com t = 2,0 mm para espessuras dos revestimentos e t=3mm para longarinas, sem reforçadores. Verificar que idealizando, obtem-se B1=900 mm2 e B2 = 1200 mm2.

-----////-----/////-----

10.2 FuselagensFuselagens estão sujeitas a esforços de Torção, Flexão e Cisalhamento

Hipóteses simplificadoras:- Resistência ao cisalhamento dos reforçadores é pequena- qrevestimento é quase constante em um painel de revestimento

Cap 7 7

10.2 Fuselagens

Exemplo 10.4Pede-se: tensões normais nos reforçadores

Seção já idealizada.Mx = 200 kN.m

Todos os reforçadores tem área de 100 mm2

O revestimento tem espessura de t = 0,8 mm

10.2 FuselagensTorque horário: positivo

Raio da fuselagem R = 381 mm

Espessura do revestimento td = 0.8 mm

Momento fletor Mx = 2.00E+08 N.mm

Esforço cortante Sy = 1.00E+05 N

Posição x de Sy xs = 150 mm

Torque aplicado Tz = 0 N.mm

Comprimento entre 2 booms Arco = 149.61835 mm

Área = R2 A = 456036.73 mm2

Ver: Exemplo-Megson10-5.xls

Cap 7 8

10.2 Fuselagens

Reforçador yr (mm) Areforçador (mm2) Br (mm2) Br*yr2 z (N/mm2)

1 381.0 100 216.7 3.15E+07 302.8

2 352.0 100 216.7 2.68E+07 279.8

3 269.5 100 216.6 1.57E+07 214.2

4 145.8 100 216.7 4.61E+06 115.95 0.0 100 0.0 0.00E+00 0.06 -145.8 100 216.7 4.61E+06 -115.9

7 -269.5 100 216.6 1.57E+07 -214.28 -352.0 100 216.7 2.68E+07 -279.89 -381.0 100 216.7 3.15E+07 -302.8

10 -352.0 100 216.7 2.68E+07 -279.811 -269.5 100 216.6 1.57E+07 -214.212 -145.8 100 216.7 4.61E+06 -115.913 0.0 100 0.0 0.00E+00 0.014 145.8 100 216.7 4.61E+06 115.915 269.5 100 216.6 1.57E+07 214.216 352.0 100 216.7 2.68E+07 279.8

Ixx = 2.52E+08 mm4

-----////-----/////-----

10.2 Fuselagens

Exemplo 10.5Pede-se: tensões de cisalhamento no revestimentoUsar Seção idealizada. Sy = 100 kN

150 mm

Cap 7 9

10.2 Fuselagens

Solução

Solução A : Cortante no CEC, abrindo em 1-2+

Torque T = 100 kN . 150 mm = -1.10-7 N.mm

mm/N45,16)381.(2

10.5,1

Torque T (anti-horário):

10.2 Fuselagens

Cisalhamento no CEC (Ixy=0):

13,16y10.595,845,16qqqq

: totalFluxo

mm/N13,16sqA2

1qAq2dspq0.S

:0) de tornoem , M (M q de Cálculo

y10.595,8yBI

:q de Cálculo

bb0s0sby

intexts0

y0s0sbs

Cap 7 10

10.2 Fuselagens

0.1532.7316-01

30.4363.0115-16

53.5986.1714-15

66.1298.7013-14

66.1298.7012-13

53.5986.1711-12

30.4363.0110-11

0.1732.759-10

-32.580.008-9

-62.84-30.267-8

-86.00-53.426-7

-98.53-65.955-6

-98.53-65.954-5

-86.00-53.423-4

-62.84-30.262-3

-32.580.001-2

qb+qs0+qTqbTrecho

Obs: notar valores diferentes do Megson!

10.2 Fuselagens

Solução B: Cortante no CEC, abrindo no “meio” do boom 1+

Torque T = 100 kN . 150 mm = -1.10-7 N.mm

mm/N45,16)381.(2

10.5,1

- Torque T (anti-horário):

Cap 7 11

10.2 Fuselagens

Cisalhamento no CEC (Ixy=0):

s00sby

intexts0

y0s0sbs

y10.595,845,16qqqq

: totalFluxo

(simetria) 0qAq2dspq0.S

:0) de tornoem , M (M q de Cálculo

2/B'B queNotar

y10.595,8yBI

:q de Cálculo

10.2 Fuselagens

Solução do Megson

Trecho qs (N/mm) q = qs + qT (N/mm2)

1-2 -16.40 -32.85 -26.28

2-3 -46.71 -63.15 -50.52

3-4 -69.91 -86.36 -69.08

4-5 -82.46 -98.91 -79.135-6 -82.46 -98.91 -79.136-7 -69.91 -86.36 -69.08

7-8 -46.71 -63.15 -50.528-9 -16.40 -32.85 -26.28

9-10 16.40 -0.04 -0.0410-11 46.71 30.26 24.2111-12 69.91 53.46 42.7712-13 82.46 66.02 52.8113-14 82.46 66.02 52.8114-15 69.91 53.46 42.7715-16 46.71 30.26 24.2116-1 16.40 -0.04 -0.04

-----////-----/////-----

Exemplo-Megson10-5.xls

Cap 7 12

10.3 Asas

Exemplo 10.6 - FlexãoPede-se: tensões normais nos boomsA seção já está idealizada.

Mx = 300 kN.m

10.3 Asas

SoluçãoSeção simétrica (olhe somente os booms!):

Ixy=0Ixx=809.106 mm4

-----/////-----/////-----

Cap 7 13

10.3 Asas

Exemplo 10.7 - TorçãoPede-se: Fluxos de cisalhamentoA seção já está idealizada.

10.3 Asas

Solução

:Sendo

Temos 3 incógnitas: q1, q2, q3

Precisamos de 3 equações:

Cap 7 14

10.3 Asas

mm/N2.4q

mm/N9.8q

mm/N1.7q

Montando e resolvendo o sistema 3x3:

As tensões são:

-----/////-----/////-----

10.3 Asas

Exemplo 10.8 - CisalhamentoPede-se: Fluxos de cisalhamentoA seção já está idealizada.

Sy = 86.8 kN

Cap 7 15

10.3 Asas

Solução

:Sendo

intext

Temos 3 incógnitas: qS0,1, qS0,2, qS0,3

Precisamos de 3 equações:

Em cada célula: qi = qb,i + qs0,i

10.3 Asas

a) Abrir cada célula e calcular qb:

Cap 7 16

10.3 Asas

b) Calcular rotação de cada célula, para qs,i = qb,i + qSO,i ,obtendo 2 equações de compatibilidade

c) Impor: Mext = Mint,obtendo 1 equação de equilíbrio

d) Resolver o sistema 3x3, obtendo qSO,i

e) Obter fluxos de cisalhamento em trecho: qs,i = qb,i + qSO,i

f) Obter rotação

-----/////-----/////-----

10.3 Asas

Exemplo 10.12 - DeslocamentosPede-se: Deflexão na ponta da viga

A seção já está idealizadaCarga no CEC.

Cap 7 17

10.3 Asas

Solução1) Método da Carga Unitária

M = Influência domomento fletor

DMF (Mx,0)

DEC (Sy,0)

DMT (Ty,0)

Sy = 44,5 kN

ESFORÇOS REAIS

DMF (Mx,1)

DEC (Sy,1)

DMT (Ty,1)

S1 = 1 kN

ESFORÇOS VIRTUAIS

S = Influência dofluxo de cisalhamento

10.3 Asas

Ixx = 4 x 650 x 1252 + 2 x 1300 x 1252 = 81.3 x 106 mm4

Inércia:

Esforços (carga no CEC):

Mx,0 = -44.5 x 103 (2000- z) Mx,1 = -(2000 - z)Sy,o = 44.5 x 103 N Sy,1 = l Tz,0 = 0 Tz,1 = 0

Reais Virtuais (para Sy,1 =1 no ponto da deflexão)

Deslocamentos:

21,1 mm 2,44 mm

[100%] 23,5mm[11%] 2,44[89%] 21,1 SM

Cap 7 18

10.3 Asas

2) Elementos Finitos

OBS 2: Atenção à área dos reforçadores originais, que geraram a idealização:

Ar,1 = 316,7 mm2

Ar,2 = 466,7 mm2

Ar,3 = 66,7 mm2

Tarefa para entregar dia ___/___:a) Obter o deslocamento da viga por Elementos Finitos (Nastran, Abaqus etc)b) Comparar respostas e comentar diferenças

OBS 1: Atenção à posição da carga Sy !

-----/////-----/////-----

10.4 Cavernas e Nervuras

Viga de alma fina (Viga de Kuhn)

Cap 7 19

Viga de alma fina (Viga de Kuhn)

Tração diagonal

Cap 7 20

10.4 Vigas de alma de parede fina

Exemplo 10.13 - Megson

Free body diagrams:Solução

Cap 7 21

Free body diagrams:

Cap 7 22

Cap 7 23

Cap 7 24

Solução com Nastran

-----/////-----/////-----

Cap 7 25

Exemplo EXTRAAlumínio (E = 68000 N/mm2, = 0,33)Espessura de 1,0 mm Reforçadores de 40 mm2

Carga de F=13 kN (Fx = 5 kN ; Fy= -12 kN)Determine: - os deslocamentos vertical e horizontal no ponto da aplicação da carga; - os fluxos de cisalhamento médios em cada um dos paineis e- comente sobre as aproximações e a estabilidade dos paineis.

mm 08,1022 totalvu

mm41,1.

hhPdzds

qqL tions

Parcela do momento fletor:

Parcela do cisalhamento

mm 10,0841,167,8vvvtotal s

Cap 7 26

Cap 7 27

Elementos Finitos: Análise Linear

Shear Stress xy

Total translation -= 10.27

Cap 7 28

Elementos Finitos:Análise de Estabilidade

-----/////-----/////-----

Eigenvalue: 0.1476

A estrutura perde estabilidade! É necessário rever os resultados e/ou reforçar a estrutura.

10.5 Aberturas

Exemplo 10.15 - Megson

Determinar: fluxos de cisalhamento nos revestimentos e almas das longarinasforças no booms

Assumir: seção já idealizada (booms só tensões normais, revestimento com q constante)

Cap 7 29

10.5 Aberturas

Soluçãoa) Equilíbrio da seção aberta

Longarinas comportam-se como vigas em flexão, sob forças cortantes T/b, resultando em

q = T/bh nas chapas

T/bT/b

TL/b TL/b

Longarinas comportam-se como vigas em flexão, sob forças cortantes

T/b, resultando em q = T/bh nas chapas

T/bT/b

TL/b TL/b

Cap 7 30

b) Longarinas em flexão

•Para o flange superior da barra esquerda:

( ) ( )

/ 2 2z

T z L h T L z

bBh bBh

•Resultante interna do reforçador superior em z=0:

•Resultante interna do reforçador inferior é oposta já que Fz=0

• Resultante de força axial: N= B z

•Chapas resistem ao cisalhamento (T/b)

•Reforçadores resistem à tensão normal zoriunda do momento fletor M = T/b.(z-L)

c) Equilíbrio do reforçador superior da longarina da esquerda

q= T/bh

-TL/bh

Diagrama de forças normais

Cap 7 31

•Baias laterais proporcionam apoios à baia aberta

d) Baia intermediária com abertura

e) Hipótese simplificadora no trecho vazado: momento reativo nas “vigas” oriundos das caixas vizinhas são idênticos.

T/bT/b

TL/2bTL/2b

T/bT/b

TL/2bTL/2b

Cap 7 32

f) Seção vazada

g) Equilíbrio do flange superior esquerdo (P em ambas extremidades)

q1 q1 200

Equivalência de momentos

h) Perturbação das baias vizinhas (causa: abertura)

Equilíbrio longitudinal do flange 1:

Compare com

T/2A=31,3

Equivalência de momentos

Cap 7 33

i) Flange 1

Análises similares podem ser feitas com demais flanges

j) Carregamento na nervura (estação 3000)

Notar que as equações de equilíbrio estão satisfeitas, i.e.:

Fx=0, Fy=0, Mz=0

Cap 7 34

k) Esforços internos na nervura

Concluímos que a nervura está num estado de cisalhamento puro

Seção transversal

-----/////-----/////-----

Cap 8 1

8. Restrição estrutural

EST-25Notas de aula

Cap .11 – Megson – Restrições Estruturais

Cap 8 2

11.1 Aspectos Gerais da restrição estrutural

• Seções de Paredes são sensíveis às restrições estruturais

• Seções abertas são mais sensíveis que as fechadas

• Restrição ao empenamento gera tensões normais

• Shear Lag – “Difusão em Painéis“

11.5 Restrição em vigas de seção aberta

Torção pura – sem restrição – seção I

Cap 8 3

Torção com restrição ao empenamentoT

Mesasuperior

Mesainferior

Torção com restrição – seção I

Mesasuperior

Mesainferior

Cap 8 4

Momento externo aplicado no engastamento (flexão da mesa):

udEIM FFF

Cortante externa aplicada no engastamento:

dMS FF

Hipóteses:

TTT J a)

A cortante na mesa superior é igual à inferior, com sinal contrário.Juntas, formam binário:

dhEIhST FF

O torque total é dado por:

dGJTTT

torção-flexo de constanteF

Cap 8 5

Para seção I

E assim:

htb 23

Torção com restrição – seção aberta qualquer

dGJTTT

Tensão normal devido à restrição axial:

Fluxo de cisalhamento devido à restrição axial:

Constante de flexo-torção:

tdsA2A2

A2A2A2

Cap 8 6

Exemplo Extra

Obter constante de flexo-torção de uma seção I através da formulação (integrais) acima.

-----////-----/////-----

htb 23

F Resposta:

Exemplo 11.2

Dica: ignorar a “analogia do arame” apresentada pelo Megson para obter constante de flexo-torção.

-----////-----/////-----

Cap 8 7

Tarefa para entregar dia 04/nov:

Com os seguintes dados numéricosE=69 000 MPa, G=26 000 MPat = 1 mm, d= 50 mm , h = 100 mmT = 1000 N.mm

a) obter rotações totais tensões normais e de cisalhamento junto ao apoio

com L= 1 m e L= 5 m.Comentar diferenças.

b) Fazer o problema com L = 1 m no Nastran e obter :a rotação total, as tensões normais e de cisalhamento junto ao apoio

Comentar e justificar eventuais diferenças com a solução analítica.

-----/////-----/////-----

Dicas de estudo do capítulo 11.5:P 11.10, P11.11, P 11.13, P11.14

Est 25 2015 Notas de Aula

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