Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Introdução

O método dos momentos é uma técnica numérica, analiticamentesimples e versátil, usada para solucionar equações integrais lineares.A idéia básica associada ao MOM é reduzir uma equação integral emuma equação matricial.

Suas soluções nos casos práticos são aproximadas, porém com elevadaprecisão para os propósitos da engenharia.

O MOM requer grande esforço computacional, levando-o a terlimitações que são a velocidade de simulação e a capacidade dearmazenamento de dados no computador. Assim a utilização dessatécnica numérica é “limitada” para geometrias complexas.

MOMSeja a equação:

Onde:• L é um operador qualquer (conhecido)• g é a fonte ou excitação (conhecida) • f é o campo ou resposta (função desconhecida).

L f g

A função desconhecida f é expandida em uma combinação linear deN funções, no domínio do operador L:

1 1 2 2

1

...N

n n n n

n

f f f f f

Onde• n são constantes desconhecidas• fn é conhecida como função de base (ou de expansão).

MOM

Substituindo a última equação na penúltima tem-se:

Onde, f e g são funções complexas.

1 1

N N

n n n n

n n

L f g L f g

MOM

Assumindo um produto escalar ajustável <f, g> a solução do problemaindicado pode ser determinada. Para isso definem-se funções de peso(ou de teste) da forma w1,w2,…,wm, no domínio de L, e faz-se oproduto escalar da última equação para cada wm, tem-se:

Tal equação transportada para a forma matricial gera:

1

, , 1,2,3,...,N

n m n m

n

w L f w g m N

mn n mI g

1 1 1

1

, ,

, ,

n

mn

m m n

w L f w L f

I

w L f w L f

1,

,

m

m

w g

g

w g

1

n

n

MOM

Se a matriz [Imn ] é não singular então [Imn]-1 existe, assim n é dadopor:

com o valor de n encontrado determina-se o valor de f.

A solução para f pode ser mais ou menos aproximada dependendo dasescolhas do tipo das funções de base e de peso, fn e wm,respectivamente.

Por um lado, para se ter soluções mais exatas pode-se assumir umnúmero maior de funções de base e de peso.

1

n mn mI g

1

n n n mn mf f f I g

MOM

• Uma das principais tarefas na solução pelo MOM é a escolha de fn ewm apropriadas.

• Um caso particular, conhecido como Método de Galerkin, é quandofn=wm.

• A função fn deve ser linearmente independente e escolhida de modoa aproximar a função de f relativamente bem quando for superposta.

• A função wm também deve ser linearmente independente e escolhidade maneira tal que os produtos escalar <wm, g> sejam relativamenteindependentes das propriedades de g.

• É vantajoso escolher funções de base e de peso que minimizem osesforços computacionais para o cálculo da integral e do produtoescalar respectivamente.

MOM

Outros fatores a serem considerados:

• Precisão da solução desejada

• Facilidade de avaliação dos elementos da matriz.

• Tamanho da matriz a ser invertida .

• Obtenção de uma matriz [Imn ] bem comportada.

MOM

De acordo com a equação:

têm-se N2 termos para avaliar. Cada termo exige duas ou maisintegrações, uma para o calculo de L(f) e uma no produto escalar.

Quando se utiliza a integração numérica uma grande capacidadecomputacional é requerida, ou seja, é exigido um grande tempo desimulação.

1 1 1

1

, ,

, ,

n

mn

m m n

w L f w L f

I

w L f w L f

MOM

Para diminuir o esforço computacional é possível utilizar um grupo defunções de peso que reduzem o número de integrais a seremresolvidas. Essas wm são conhecidas como funções de teste Delta deDirac e são definidas como:

Onde p é a posição de referência e pm é a posição onde a condição decontorno é forçada.

1 2, ,...m mw p p p p p p

1

, , 1,2,3,...,N

m n m n

n

p p g p p L f m N

,f g f g ds

1

1,2,3,...,N

m n m n

n

p p g ds p p L f ds m N

1

1,2,3,...,m m

N

n np p p pn

g L f m N

MOM

Deste modo observa-se que a única integral a ser calculada é L(fn).Tal simplificação possibilita algumas soluções que são impraticáveiscom o uso de outras funções de teste. Fisicamente o uso das funçõesdelta de Dirac são tidas como a relaxação das condições decontorno, que fazem com que sejam forçados pontos discretos nasuperfície da estrutura analisada.

MOM

Funções de Base

As funções de base que são utilizadas, na prática, nos problemasdeterminísticos numéricos dividem-se em duas classes. A primeiraclasse são as funções de subdomínio que são não nulas apenas sobre auma parte da superfície da estrutura analisada. A segunda classe sãoas funções de domínio-inteiro que existem ao longo de todo o domínioda função desconhecida.

MOM

Funções de Subdomínio

São as mais comuns entre as funções de expansão. Sua vantagemreside no fato de sua utilização ser possível sem o conhecimentoprévio da natureza das funções que devem representar. Ao contráriodas funções de domínio-inteiro.

A abordagem dessa classe envolve a subdivisão da estrutura em Nsegmentos não coincidentes. Para tornar mais claro o entendimento,os segmentos são colineares e de igual comprimento, embora essacondição não seja necessária.

As funções fn são definidas em conjunto com os limites de um oumais segmentos.

MOM

A função de base mais comum dessa classe e conceitualmente maissimples é ao pulso, definido como:

Uma vez que os coeficientes n associados a fn são determinados,então está função produz uma representação em escada da funçãodesconhecida.

11

0

n n

n

x x xf x

caso contrário

nf x

1 1f x 2 2f x 3 3f x

n n

n

f x

MOM

Outra função comum nesse grupo são as triangulares, definidas como:

O aumento das funções desubdomínio para além da funçãotriangular não se justifica, poisa melhora da precisão nãocompensa, tendo em vista oaumento da complexidadecomputacional. Contudo outrasfunções podem ser usadas emcasos específicos.

nf x

11

1

11

1

0

nn n

n n

nn n n

n n

x xx x x

x x

x xf x x x x

x x

caso contrário

MOM

Outra função comum nesse grupo são as Senoidais, definidas como:

1

1

1

1

1

1

sin

sin

sin

sin

0

n

n n

n n

n

n n n

n n

x xx x x

x x

x xf x x x x

x x

caso contrário

nf x

1 1f x 2 2f x

3 3f x

MOM

Também podem ser definidas funções truncadas:

1

1cos2

0

n nn n

n

x xx x x x

f x

caso contrário

nf x

1 1f x 2 2f x 3 3f x

MOM

Funções de Domínio-inteiro

São definidas não nulas ao longo de toda a estrutura considerada.Segmentações não são utilizadas nessa classe. Uma função comumdessa classe é a senoidal representada por:

A principal vantagem dessas funções está associada à problemas onde afunção desconhecida tem inicialmente um padrão.

A representação de uma função cosseno e/ou seno de domínio-inteiro ésemelhante à expansão da série de Fourier para funções arbitrárias.

Por meio dessas funções é difícil modelar funções desconhecidascomplicadas ou arbitrárias.

22

12cos

lx

l

l

xnxfn

MOM

Método do Ponto de Observação (Point Matching)

A transformação da integral na matriz é geralmente difícil emproblemas práticos. Assim desenvolveu-se uma maneira simples parase obter soluções aproximadas.

A função fn é escolhida para cada L(fn), onde seu valor possa serconvenientemente especificado, em forma fechada preferencialmenteou numericamente.

Têm-se uma equação com N partes desconhecidas, mas somente issonão é suficiente para que seja calculado o valor da constantedesconhecida n. Para se encontrar a resposta desse último problemaé necessário se obter N equações lineares independentes, o que podeser feito por avaliação em N pontos discretos e distintos. Esseprocedimento é denominado método dos pontos de observação (pointmatching method).

MOM - Aplicações

Eletrostática:

MOM - AplicaçõesConsidere um fio fino condutor de raio a e comprimento L (L>>a)localizado no espaço livre:

Estando o fio em um potencial Vo deseja-se determinar a densidadede cargas ao longo do fio e os valores do campo em qualquer ponto.

Da equação de Poisson tem-se:

L

L

R

dlV

00

04

MOM - Aplicações

Para um ponto fixo Yk no fio, tem-se:

Se y é pequeno, pode-se considerar a seguinte aproximação:

L

k

L

yy

dyyV

00

04

1

N

k

yk

yNyy

L

yf

yfyfyfdyyf

1

210

...

MOM - Aplicações

Com o fio dividido em n segmentos de comprimento , tem-se:

=L/N = y

L

k

L

yy

dyyV

00

04

1

Nk

N

kk yyyyyyV

...4

2

2

1

100

MOM - Aplicações

Sendo a densidade de carga desconhecida k e como a equaçãoanterior deve ser válida para todos os pontos sobre o fio, tem-se:

Funções de base: Pulso Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)A integral foi aproximada

NN

N

NN

N

N

N

N

yyyyyyV

yyyyyyV

yyyyyyV

...4

...4

...4

2

2

1

100

222

2

12

100

121

2

11

100

MOM - Aplicações

Ou seja:

MOM - Aplicações

Para os termos da diagonal principal, cuidado ! Singularidades !

Escrevendo de uma forma mais rigorosa,tem-se:

Para minimizar a

singulariadade uma opção é:

pontos de observação no

centro e fonte na superfície.

Proceder a avaliação da

integral de forma numérica ou

fechada.

MOM - Aplicações

Como o fio é condutor, a densidade de carga superficial aparecesomente na superfície. Pode-se considerar a seguinte solução:

>> a:

MOM - Aplicações

O campo pode ser calculador por:

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:

MOM - Aplicações

Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:

MOM - Aplicações

Sendo V0=1 V, L = 1m, a = 1 mm e N = 10, tem-se:

MOM - Aplicações

De forma mais rigorosa tem-se:

Função de base

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

Considerando outra geometria de condutor:

MOM - Aplicações

MOM - AplicaçõesEletrostática: Determine a capacitância de um capacitor de placasparalelas. Seja a = 1m, b = 1 m, d = 1m e r = 1.

Para determinar s a placa P1 foi dividida em n subáreas S1, S2, ...,Sn e a placa P2 em n subáreas Sn+1, Sn+2, ..., S2n.

20

Q

V

QC

dsq s

MOM - Aplicações

Assumindo que a densidade de carga é uniforme:

O potencial no centro de cada subárea,Vi, é:

i

i

S ij

n

j

j

S ij

j

S

n

j

Si

R

dS

R

dS

R

dSV

2

1 0

2

1 00

4

1

4

1

4

iS ij

ij

n

j

ijji

R

dSA

AV

0

2

1

4

1

MOM - Aplicações

Funções de base: Pulso Funções de Peso: Delta de Dirac (point matching)

n

j

jnjn

n

j

jnjn

n

j

njjn

n

j

jj

n

j

jj

AV

AV

AV

AV

AV

2

1

,22

2

1

,11

2

1

2

1

22

2

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

2,22,21,2

2,22221

2,11211

nnnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

MOM - Aplicações

Para determinar Aij as subáreas podem estar sobre a mesma placa ouplacas diferentes.

Assumindo:

Pode-se mostrar que:

222

0

)()()(

4

1 2

1

2

1

ijijijij

y

yy

x

xx ij

ij

zzyyxxR

R

dydxA

1212 yylxx

ji

R

l

R

SA

ijij

iij

0

2

0 44 ji

llAii

8814.021ln

00

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

MOM - Aplicações

N = 9 C= 26.51 pFN= 16 C=27.27 pFN=25 C=27.74 pF

Referencias Bibliográficas

SADIKU, M. N. O. Elemens of Eletromagnetics. 3rd ed. New York, USA:

Oxford University Press. 769p.

BALANIS, C. A. Advanced Engineering Electromagnetics. 1st ed. USA:

John Wiley &Sons, 981p.

HARRINGTON, R.F. Field Computation by Moment Methods. New

York: IEEE Press. 225p.