étodos uméricos - UFSJ · Regressão Linear Múltipla Exemplo: Dados relacionando o peso, y, de...
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Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
AJUSTE DE FUNÇÕES(Continuação)
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Qualidade do Ajuste
1 – Coeficiente de determinação:
• Seja:
São apresentados dois parâmetros para aferir a qualidade do ajusteobtido pela regressão linear:
SQTot (soma de quadrados total)
SQRes (soma de quadrados residual)
Qualidade do Ajuste• A qualidade do ajuste do modelo pode ser avaliada da seguinte
forma:
• r2 é o coeficiente de determinação e satisfaz a:
Quanto mais próximo de 1 melhor o ajuste.
• Ou ainda:
O coeficiente de determinação é a proporção da variação total dosdados em torno da media .
Qualidade do Ajuste2 – Variancia residual:
• Variância residual
• : somatório dos desvios, n: número de pontos e p: númerode parâmetros estimados.
• No caso de regressão linear simples u = b0 + b1x, p = 2.
Qualidade do Ajuste
• Dispositivo para regressão linear simples:
Exemplo: Calcular a reta de quadrados mínimos da tabela:
Regressão Linear Múltipla• Um modelo mais completo que relaciona a variável resposta y com as
p variáveis explicativas xi é:
• i, i = 0, 1, ..., p são parâmetros a serem estimados e é uma variávelaleatória desconhecida que interfere na verdadeira relação linear.
1 – Equações Normais:
• O método dos mínimos quadrados pode ser utilizado para estimar osp+1 parâmetros i :
• Xij é a i-ésima observação da j-ésima variável explicativa.
Regressão Linear Múltipla• Vetor solução b(p+1) fornece os parâmetros para a equação de
quadrados mínimos
• Coeficiente de determinação
• Variância residual:
Regressão Linear MúltiplaExemplo: Produto interno bruto dos USA (x1 = total de empregos em milhões, x2 = população do ano em milhões):
i Xi1 Xi2 yi
1 60,3 108 234
2 61,1 109 259
3 60,2 110 258
4 61,2 112 285
5 63,2 112 329
6 63,6 113 347
7 65 115 365
8 63,8 116 363
9 66 117 396
10 67,9 119 419
11 68,2 120 443
12 66,5 122 445
13 68,7 123 483
14 69,6 125 503
15 69,3 128 518
16 70,6 130 555
U=-1,40740 x 103 + 1,34511 x 101 x1 + 7,8027 x2.
Regressão Linear Múltipla2 – Regressão Polinomial:
• Um caso particular da regressão linear múltipla é quando relaciona avariável resposta y com uma variável explicativa x, segundo omodelo:
• Para este caso particular o sistema da seção anterior simplifica-separa:
Regressão Linear MúltiplaExemplo:Determinar o polinômio de minimos quadrados de grau 3 paraaproximar a tabela:
i Xi Sqrt(Xi)
1 0,01 0,1
2 0,1 0,3162
3 0,2 0,4472
4 0,3 0,5477
5 0,4 0,6325
6 0,5 0,7071
7 0,6 0,7746
8 0,7 0,8367
9 0,8 0,8944
10 0,9 0,9487
11 1 1
U=1,01865 X3 -2,17822 X2 + 2,06854 X + 0,101126.
Regressão Linear MúltiplaExemplo: Dados relacionando o peso, y, de embriões de frangosdesidratados, em gramas, com a sua idade, x, em dias.
O diagrama de dispersão mostra que o ajustenão deve ser feito por um polinômio do grau 1e sim por um de grau mais elevado.
Regressão Linear Múltipla• Valores dos coeficiente de determinação r2 e da variância residual
2 para o modelo polinomial:
• Como esperado r2 aumenta quando o grau do polinômio dequadrados mínimos é aumentado.
• No entando, 2 apresenta o menor valor para o grau g = 4. Assimeste deve ser o grau escolhido para o ajuste polinomial.
Regressão Linear Múltipla2 – Malcondicionamento:
• Seja a equação de regressão normal u = b0 +b1x1+b2x2 + ... +bgxg:
• Parâmetros bi calculados via equações normais.
• A tabela a seguir mostra o coeficiente de determinação r2 e numerode condição espectral k2(XTX) (embriões de frango)
• A medida que o grau g do polinômio aumenta:
As equações normais e polinomiais possuem a matriz dos coeficientes malcondicionada.
Decomposições QR e SVD permitem determinar os parâmetros bi sem a formação da matriz malcondicionada.