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V.S.F.F.
435 v1/1
PROVA 435/ 8 Pgs.
EXAME NACIONAL VERA & PEDRO, CIA.
12. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 286/89, de 29 de Agosto)
Cursos Gerais e Cursos Tecnolgicos
Durao da prova: 120 minutos 1. FASE 2005 VERSO 1
PROVA ESCRITA DE MATEMTICA
VERSO 1
Na sua folha de respostas, indique claramente a
verso da prova.
A ausncia desta indicao implicar a anulao
de todo o GRUPO I.
A prova constituda por dois Grupos, I e II.
O Grupo I inclui sete questes de escolha mltipla. O Grupo II inclui cinco questes de resposta aberta,
algumas delas subdivididas em alneas, num total de dez.
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FORMULRIO
V.S.F.F.
435 v1/3
Grupo I
1. Indique o valor de k para o qual a funo
0 , 1
0 ,
0,)(
22
)(
2
x
xak
xaxsen
e
xf
x
contnua no ponto x = 0 :
A) 2
1 B) 4 C)
4
1 D) 1
2. Seja f uma funo cujo grfico o da figura abaixo indicada e g uma funo definida
por:
14 )(1)( xfxG
Ento o domnio de G o conjunto:
A) 4,2\ B) 3,0 C) 4,2 D) ,30,
3. Sabe-se que .25,2log ka Indique o valor de :
a
ka
k
aak aaa
a logloglog3log2
2
A)3,53125 B) 18,40625 C)-3,53125 D) -5,71875
As sete questes deste grupo so de escolha mltipla.
Para cada uma delas, so indicadas quatro alternativas, das quais s uma
est correcta.
Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente
alternativa que seleccionar para responder a cada questo.
Se apresentar mais do que uma resposta, a questo ser anulada, o mesmo
acontecendo se a letra transcrita for ilegvel.
No apresente clculos, nem justificaes.
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4. Uma equao da recta s, perpendicular
recta r e tangente no ponto de abcissa a ao
grfico da funo f :
(x,y) = (1,2) + k(3,2) , k
Ento f(a) igual a:
A) 3
2 B)
2
3 C)
3
2 D)
2
3
5. Seja g uma funo tal que g(b) < 0 e g(b) = 0, ento uma representao grfica
de g pode ser:
6. Trinta candidatos a um emprego vo ser entrevistados, um a um por ordem
aleatria. Entre os trinta candidatos h um par de namorados. Calcule a
probabilidade de o par de namorados no ser entrevistado por ordem consecutiva:
A) 29
27 B)
30
28 C)
30
29 D)
29
28
7. As solues da equao 0122 zsenz em so:
A)
2 e 21 cisZcisZ B)
cisZcisZ 21 e
2
C)
2
3 e
221 cisZcisZ D)
2
3 e
221 cisZcisZ
V.S.F.F.
435 v1/5
Grupo II
1. Seja o conjunto dos nmeos complexos; i designa a unideade imaginria.
1.1. Mostre que:
1.1.1. 4
3
532
823
ncis
i
in
.
1.1.2. )(2___
nisenZZ nn
n
.
1.2. Represente, em diagrama de Argand, o conjunto das imagens dos complexos z tais
que:
4arg 3 13
kzizzzzz , k
2. Suponha uma escola com 30 turmas, cada uma tendo 2 alunos que pertencem ao
Conselho Pedaggico (CP). Numa reunio esto 30 alunos pertencentes ao CP,
seleccionados aleatoriamente.
2.1. Calcule a probabilidade de uma dada turma estar representada.
2.2. Calcule a probabilidade de todas as turmas estarem representadas.
3. Seja f uma funo definida por x
xf1
log 3 . Mostre que:
)9ln(
1
2
)2()(lim
2
x
fxf
x
Nas questes deste grupo apresente o seu raciocnio de forma clara, indicando todos os clculos que tiver de efectuar e todas as justificaes necessrias.
Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, pretende-se sempre o valor exacto.
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4. Na figura so dados:
Uma circunferncia de centro O e raio 2;
Um dimetro DB;
Uma corda AC perpendicular a DB;
OC = ,
2,0
.
4.1. Prove que a rea do tringulo [ABC], em funo de , dada por:
22cos4)( senA
4.2. Determine os valores de , para os quais a rea mxima e calcule-a.
4.3. Calcule o valor de
2
)( lim
2
A .
5. Considere a funo real de varivel real f, tal que:
xxxf
cos
2cos)( 2
(Utilize valores exactos em todos os clculos que efectuar)
5.1. Prove que a funo f tem pelo menos um zero no intervalo
6
5,
3
2 .
5.2. Determine uma equao da recta tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 2
x .
5.3. Calcule x
xf
x 2
1)(lim
0
.
V.S.F.F.
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6. No passado sbado, numa cidade do interior do Brasil, fortes chuvas causaram enormes
prejuzos. Com incio s 14 horas a chuva caiu ininterruptamente durante 4 horas. Na
avenida principal da cidade, a altura da gua, medida que o tempo passava era dada
pelo seguinte modelo matemtico:
94
9)(
2
t
tth , t em horas e h(t) em metros.
Utilize a calculadora para investigar estas questes. Numa pequena composio com, no
mximo, 20 linhas explique as concluses a que chegou, justificando-as devidamente.
Inclua na sua resposta, os elementos recolhidos na sua calculadora: grficos e
coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas s decimas).
Ter a altura da gua ultrapassado os 500 mm?
Para entrar num dos cafs da avenida necessrio subir 3
degraus com 20 cm cada um. Ser que s 18 horas a porta
do caf podia ser aberta sem entrar gua?
Como interpreta os resultados : 02' e 01' hh ?
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EXAME NACIONAL VERA & PEDRO, CIA.
12. Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n. 286/89, de 29 de Agosto)
Cursos Gerais e Cursos Tecnolgicos
Durao da prova: 120 minutos 1. FASE
PROVA ESCRITA DE MATEMTICA
COTAES
Grupo I....................................................................................................... 63
Cada resposta certa.......................................................................... +9
Cada resposta errada................................................................................... -3
Cada questo no respondida ou anulada ................................................... 0
Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.
Grupo II ........................................................................................................137
1. ....................................................................................................... 21
1.1. ............................................................................... 6
1.2. ............................................................................... 6
1.3. ............................................................................... 9
2. ....................................................................................................... 22
2.1. ........................................................................................10
2.2. ........................................................................................12
3. ....................................................................................................... 10
4. ....................................................................................................... 34
4.1. ........................................................................................10
4.2. ........................................................................................12
4.3. ........................................................................................12
5. ................................................................................................................. 33
5.1. ........................................................................................10
5.2. ........................................................................................12
5.3. ........................................................................................12
6. .................................................................................................................. 16
TOTAL .................................................................................................. 200