Post on 12-Apr-2017
α
Hipotenusa
37 º
Ângulos
90 ° 180 ° 360º
Agudo Recto Raso Giro
Oposto
Adjacente
Exercício 1:
Calcula o valor de x , y e β .
5 βx
y
Completa:
sen β= cos β= tg β=
Exercício 2:
Qual o ângulo que uma escada de 4 m deve fazer com o chão para que o topo da escada fique a uma altura de 3,5 m?
Exercício 3:
Observa atentamente a figura e calcula a distância entre o poste eléctrico e a escola.
senα= opostohipotenusa
cos α= adjacentehipotenusa
tg α= opostoadjacente
tg α= senαcosα
1
A
80m 40º30º
Exercício 4:
Um avião levanta voo fazendo com a horizontal um ângulo de 10º. A que altura se encontra depois de ter percorrido 1 km?
1km
Exercício 5:
Calcula a área de cada um dos triângulos da figura.
1 1 1
22 2
Exercício 6:
Um candeeiro produz um cone de luz em que a amplitude do ângulo mede 110º. O candeeiro provoca no chão uma área iluminada em forma de círculo.
Qual é a área iluminada no chão se o candeeiro estiver a 3 metros de altura?
3m
Exercício 7:
Duas aldeias, A e B estão situadas nas margens de um lago. Para determinar a distância entre elas, tomou-se como referencia o edifício C que dista 10 km da aldeia B e mediram-se os ângulos internos do triângulo [ABC].
110º
40º 80º140º
2
1º Quadrante 2º Quadrante
B 10 km C
Qual a distância entre as duas aldeias?
Graus ---- Radianos
360º 2π 180º π
90º
π2 45º
π4
60º ? 30º ?
? 1 rad
Exercício 8:
Qual a amplitude, em radianos, de um arco de 10º? E de arco de 25º?
Ângulo num referencial:
y
70º
65º
45º
3
π4
3º Quadrante 4º Quadrante
α
β
β=−30 º=− π6
pertence ao 4º Quadrante
δ
π6
x
α=30 º= π6
Exercício 9:
Represente num referencial e indique a que quadrante pertence cada um dos ângulos seguintes:
a) 150º
b) −3 π
4rad
h)13π
c) -1,5 rad i) -20,3 rad
d) 120º j)
7 π6
e) -120º k) −11 π
6
f)−π
4 rad
Exercício 10:
1
1
Exercício 11:
sen π4= cos π
4= tg π
4=
sen π3= cos π
3= tg π
3=
pertence ao 1º Quadrante
δ=0 º
Não pertence a nenhum quadrante
4
π3
A
B
12 cm
A
B
2 2
Exercício 10:
1 1
Agora já podemos completar o quadro para as razões trigonométricas para os ângulos mais importantes:
0º30º ou
π6 45º ou
π4 60º ou
π3 90º ou
π2
cos α
sin α
Relação entre arcos e ângulos numa circunferência.
Comprimento da circunferência radianosem centímetros
2×10×π 2 π
12 α
Exercício 12:Determine o comprimento do arco AB se:
12.1 AB=5cm e θ=1rad
sen π6= cos π
6= tg π
6=
Oα ?
r =10cm
Or
θ
tg
5
α= 2 π×122×10×π
=1210
=1,2 rad
12.2 AB=11cm e θ=4,5 rad
Exercício 13:O comprimento do diâmetro das rodas de um carro é 100cm. Quanto avança o carro se um
dos raios da roda gira 42º?Quantas voltas completas deve dar a roda para que o carro avance 200 metros?
Exercício 14:
Calcule a área da parte colorida da figura seguinte, sabendo que:
OC=2cmCA=1 cmα=0,8 rad
Exercício 15:
Das seguintes afirmações, diga justificando, quais são falsas:
(A) Com duas casas decimais 20º = 0,34 rad.
(B) O ângulo de amplitude 1012º pertence ao 1º Quadrante.
(C) O ângulo de amplitude -3013º pertence ao 4º Quadrante.
(D) O ângulo de amplitude 3,1 π radianos pertence ao 3º Quadrante.
(E) O ângulo de amplitude 3,1 radianos pertence ao 3º quadrante.
(F) Um ângulo que mede 1,6 radianos tem uma amplitude superior à de um ângulo recto.
Ângulos complementares
B
A
B
C
α e β são complementares.
α +β=90 º ⇔ β=90 º−αTem-se que:
senα=bh ;
cos β=bh
6
a
bh
C A
Para o ângulo α , tem-se:
Fórmula fundamental da trigonometria
Fórmulas secundárias
e
Exercício 16:
16.1 Determine o cos α sabendo que α é um ângulo agudo e que:
a) senα=1
3
b) tg α=5
2
16.2 Determine o senα sabendo que α é um ângulo agudo e que:a) cos α=0,8
b) tg α=5√3
2Exercício 17:
Mostre que:
α
β
α e β são complementares.
α +β=90 º ⇔ β=90 º−αTem-se que:
senα=bh ;
cos β=bh
senα=cos (90º−α )=cos( π2−α )
cos α=sen (90º−α )=sen ( π2−α )
sen2 α+cos2 α=1
1+ 1tg2α
= 1sen2 α
tg2 α+1= 1cos2α
7
1-1
-1
0
17.1 (sen θ+cosθ )2=1+2 senθ cosθ
17.2(( senθ+cosθ )2+(cosθ−senθ )2
cos2 θ )=2+2 tg2 θ
17.3( 1cosθ
−tg θ)( 1senθ
+1)= 1tgθ
Exercício 18:
Determine α , sabendo que α é agudo e que:
18.1 sen2 α−1,5 sen α+0,5=0
18.2 cos2 α−0,1 cosα−0 ,06=0
Exercício 19:
Determine senα+3 cos2 α , sabendo que α é um ângulo agudo e que:
−1−5 tg α+6tg2 α=0
Circulo Trigonométrico
Portanto temos:
Recordar:
ax 2+bx+c=0
x=−b±√b2−4 ac2a
α
1
α
1
Cateto oposto =
cos α1
=cosα
Cateto adjacente =
cos α1
=cosα
8
α no 1º Quadrante α no 2º Quadrante
α no 3º Quadrante α no 4º Quadrante
Preenche a tabela:
Ângulo 0π2
π 3π2 2 π
π
π
Podemos concluir que:
Exercício 20:
αsenα
αα
cos α
senα
cos α
senα
αcos α
senα
α
senα
cos α
Conclusão:
Eixo cos
Eixo sen
−1≤senα≤1 −1≤cosα≤1
9
Representa no círculo trigonométrico:
a) Os ângulos α e β , tal que os seus senos é 0,3
b) Os ângulos θ e γ , tal que os seus co-senos é
13
Exercício 21:
Para cada figura, completa os espaços em branco:
a)
b)
c)
Tangente
α
√32
●A α=
senα=
A( √32
, ) pertence ao ___ Quadrante
tg α=
β
12
β=
sen β=
B( , ) pertence ao ___ Quadrante
tg β=●B
C
ρ ρ=
cos ρ=
C ( , ) pertence ao ___ Quadrante
tg ρ=● −√2
2
10
Para obter a tangente de um ângulo no círculo trigonométrico, prolonga-se o lado extremidade do ângulo até intersectar o eixo das tangentes. Essa medida é a tangente.
Preenche a tabela:
Ângulo 0π4
π2
3 π4
π 3 π2
2 π
tg
Tem-se então:sen cos tg
1ºQ ┼ ┼ ┼2ºQ ┼ 3ºQ ┼
4ºQ ┼
Exercício 22:
O ângulo α é um ângulo agudo.
α
1
tg α=oposto1 =oposto
Colocando o triângulo no interior do círculo trigonométrico
α
tg α
Eixo das tangentes
1
α
tg α
α tg α α
tg α
11
Diga justificando, quais das seguintes afirmações são falsas:
A. A tangente do ângulo α não pode ser maior do que 1.
B. O seno do ângulo α pode ser um número qualquer desde que seja positivo.
C. Conhecendo o co-seno do ângulo α pode-se determinar o seno do ângulo (90º-α ).
D. 0≤cosα≤1 .
Exercício 23:
Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
A. sen45 º−cos 45 º=0
B. tg 45 º>tg30 º
C. sen2 α=1−cos2α
D.tg α=cosα
senα
E.
1cos2α
=1+tg2 α
Exercício 24:
A partir dos valores exactos já conhecidos de sen π
3 , cos π
3 e da representação no círculo trigonométrico, determina os valores do seno e do co-seno de cada um dos seguintes ângulos:
a. 2 π3 b.
4 π3 c.
5π3 d.
−π3 e.
−2 π3
Exercício 25:
Representa se possível, no círculo trigonométrico:
a. Um ângulo α , do 2º Quadrante, cujo senα=2
5
b. Um ângulo β , do 3º Quadrante, cujo sen β=−0,4
c. Um ângulo γ , do 4º Quadrante, cujo cos γ=−2
5
d. Um ângulo δ , do 2º Quadrante, cujo cos δ=−2
5
e. Um ângulo ε , do 3º Quadrante, cujo senε=−6
5
Exercício 26:
F.sen60º=√3
2
G. cos60 º=sen30 º
H.tg30 º=√3
2
I. senα−cos (90 º−α )=0
12
A partir dos valores exactos já conhecidos de tg π
6 , tg π
3 e da representação no círculo trigonométrico, determina os valores do seno e do co-seno de cada um dos seguintes ângulos:
a. 5π6 b.
4 π3 c.
7 π6 d.
−π6 e.
−2 π3
Exercício 27:
Representa se possível, no círculo trigonométrico:
a. Um ângulo α , do 2º Quadrante, cujo tg α=−2
b. Um ângulo β , do 3º Quadrante, cujo tg β=−0,4
c. Um ângulo γ , do 4º Quadrante, cujo tg γ=−2
5
d. Um ângulo δ , do 2º Quadrante, cujo tg δ=−2
5
e. Um ângulo ε , do 3º Quadrante, cujo tg ε=6
5
Exercício 28:
Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
a)2 sen π
6−3cos 5 π
3−sen 4 π
3+tg 5 π
6
b)tg( 5 π
3 ). cos(−7 π3 )+sen( 4 π
3 )
c)sen( 4 π
3 )+cos( 5 π6 )+tg( 7 π
4 )
Exercício 29:
Calcule o valor da expressão √3 . senx−√2 .tgx , sabendo que tgx=−√2 e x∈2ºQ .
Exercício 30:
Observe a figura que representa um prisma triangular recto.
A B
CD
EF
5,3m
2,1m
3,2m
Determine:
E BC ; E A C e B F C .
13
Função Seno
Para ângulos muito pequenos, o seno está muito perto de zero.
À medida que o ângulo vai aumentando, o seno também aumenta, mas é sempre menor que 1.
No segundo quadrante, o ângulo continua a aumentar, mas o seno está a diminuir e a tomar os
mesmos valores que tomou no 1º Quadrante.
Continuando a utilizar o círculo trigonométrico entre π e
3 π2 o seno é negativo decrescente.
Entre
3 π2 e 2 π o seno é negativo crescente.
sin x
α
● ● ●
● ●
●
● ● ●
●
● ●
● ●
●
● ●
●
● ● ● ●
●
●
π2
π2
π
π2
π
3 π2
1
-1
x
14
15