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8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg
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Captulo 4
Funes de duas variveis
4.1 Funes de varias variveis - Definio e exemplos
Definio 1: Chamamos de funo real com n variveis a uma funo do tipo
f : D R com D Rn = R R.
Ou seja, uma funo cujo domnio D (ou D(f)) um subconjunto de Rn e seu contra-
domnio R.
Exemplo:
1. f : R2
R, (x, y)
2x + 3y
D = R, uma funo real de duas variveis ( tambm uma funo linear).
2. f : R3 R, (x, y, z) x2 + 3y + z
D = R3, uma funo real de trs variveis ( tambm uma funo polinomial)
3. f : R3 {(0,0,0)} R, (x, y, z) 2xx2 + y2 + z2
D = R3{(0,0,0)} R3 uma funo real de trs variveis ( tambm uma funo
racional, isto , quociente de duas funes polinomiais).
Usamos, tambm, a notao ( mais resumida) para representar funes reais de n variveis;
y = f(x1, , xn)
Neste caso D(f) o conjunto D(f) = {(x1, , xn) Rn; f(x1, , xn) R}
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4.2 Domnio - Representao Grfica
Exemplo : Determine e represente geometricamente os domnios das funes
1. f(x, y) = 3x2 + 1
D(f) = R2
O x
y
Representao grfica
Figura 1
2. f(x, y) =3x2 1
x2 + y2 + 1
x2 + y2 + 1 = 0, no tem soluo, logo D(f) = R2.
Representao grfica: Figura 1
3. f(x, y) =3x2 + y
x2 + y2
x2 + y2 = 0. Como x2 0 e y2 0 entox2 + y2 = 0 x2 = 0 e y2 = 0 x = 0 e y = 0.Logo D(f) = R2
{(0,0)
}.
x
y
O
Representao grfica
4. f(x, y) =x3
x yD(f) = {(x, y) R2; x y = 0},ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz.
x
y
O
Representao grfica
y=x
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5. f(x, y) =2x + y
x2 yD(f) = {(x, y) R2; x2 > y}
x
y
O
Representao grfica
y=
x2
6. f(x, y) = ln
x yy 1
D(f) =
(x, y) R2; x yy 1 > 0
equivalente a x y > 0 e y 1 > 0ou x
y < 0 ou y
1 < 0.
x
y
O
Representao grfica
y=x
y = 1
7. f(x, y) = arcsec(x2 + y2)
D(f) = {(x, y) R2; x2+y2 1 ou x2+y2 1},ou melhor, como x2 + y2 1 no ocorre paranenhum (x, y) R2,D(f) = {(x, y) R2; x2 + y2 1}.
x
y
O
Representao grfica
8. f(x, y) = arccos
x2 +y2
4
D(f) = {(x, y) R2; 1 x2 + y2
4 1}, ou
melhor, como
1
x2 +
y2
4
para todo (x, y)
R
2
D(f) = {(x, y) R2; x2 + y2
4 1} x
y
Representao grfica
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4.3 Construo de grficos e curvas de nvel
Grfico
Definio: Dado uma funo f : D B seu grfico o conjunto {(a, f(a); a D}.No caso de funes reais de uma varivel temos:
f : D R; D R seu grfico uma curva do R2.
Para uma funo de duas variveis
f : D R, D R2
(x, y) f(x, y)O grfico da funo f uma superfcie de R3.
Exemplo: A esfera x2 + y2 + z2 = 1 uma superfcie de R3 que no grfico de funo
z = f(x, y).Da equao da esfera tem-se,
z =
1 x2 y2
Sejam as funes f(x, y) =
1 x2 y2 eg(x, y) = 1 x2 y2D(f) = D(g) = {(x, y) R2; x2 + y2 1}(O crculo x2 + y2 = 1 e seu interior)
O grfico de f a semi-esfera superior (z 0)e o grfico de g a semi-esfera inferior (z 0).
Curvas de nvel
Um recurso auxiliar para esboar grficos so as curvas de nvel da funo.
Definio: Dados uma funo z = f(x, y) e k R, a curva de nvel de f em z = k oconjunto {(x, y) R2; f(x, y) = k}. Ou seja, o conjunto dos elementos do domnio de
f que possuem imagens igual a k. tambm a interseco do grfico de f com o plano(paralelo a XOY ) de equao z = k
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Exemplo 1: Determine e esboce a curva de nvel de f(x, y) =y
xem z = 2.
A curva de nvel o conjunto dos pontos (x, y) R2que satisfazem a
2 =y
x y = 2x com x = 0. Ou seja, trata-se da reta
de equao y = 2x exceto o ponto (0,0) x
y
Representao grfica
Exemplo 2: Dada a funo
f(x, y) =x
y2 1determine e represente seu domnio e as suas curvas de nvel.
D(f) = {(x, y) R2; y = 1 e y = 1} (ou seja, todoo plano exceto as retas y = 1 e y = 1).
x
y
Representao grfica
Curvas de nvel
Seja a equao xy2 1 = k que equivalente a x = k(y
2 1) com y = 1 e y = 1.Para k = 0, temos a parbola x = k(y2 1) com exceo dos pontos (0, 1) e (0,1)Para k = 0 temos x = 0 com y = 1 e y = 1, ou seja, o eixo OY exceto os pontos
(0,1) e (0, 1).
x
y
Representao grfica
k 0
x
y
k < 0Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 44
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x
y
kk
k > 0
Representao grfica das curvas de nvel
Como todas as curvas de nvel so crculos com centros em (0,0) conclu-
mos que o grfico de f(x, y) uma superfcie de revoluo em torno de
OZ.
iii) Intersees com os planos coordenados.
XOY : J foi obtido, corresponde curva no nvel z = 0.
XOZ : Fazendo y = 0 na equao z = x2 + y2. obtm-se z = x2, equao de
uma parbola
Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = x2 + y2. obtm-se z = y2, a parbola
obtida em XOZ.
Conclumos que o grfico um parabolide de revoluo
II) Grfico de f
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Exemplo 1.2 f(x, y) = 1 y2
i) D(f) = R2
Representao grfica de D(f) : Figura 1
ii) Curvas de nvel
Seja a equao 1
y2 = k. Extraindo o valor de y temos y =
1
k
Logo, para k > 1 (isto , 1 k < 0 ) a curva de nvel correspondente o vazio. Para k = 1 temos y = 0 e x qualquer. Ento a curva de nvel o eixo OX.
Para k < 1, y assume os dois valores de () e x qualquer. Ento a curva denvel constituda das duas retas paralelas a OX, y = 1 k e y = 1 k.
x
y
1 k
1 k
Representao grfica das curvas de nvel
iii) Interseces com os eixos coordenados
XOY : z = 0 1 y2 = 0 y = 1. Ou seja, as duas retas y = 1 ey = 1.
XOZ : y = 0
1
02 = z
z = 1. Ou seja, a reta z = 1.
Y OZ : x = 0 1y2 = z. Neste caso, no plano Y OZ, temos uma parbola.
II) Grfico: Trata-se de uma superfcie cilndrica de geratrizes paralelas ao eixo OX
tal que a parbola do plano Y OZ de equao z = 1 y2 uma diretriz ( o queacontece com funes que independem de uma das variveis x ou y )
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x
y
k
k
k > 0
k > 0
kk
k < 0k < 0
Representao grfica das curvas de nvel
iii) Interseces com os planos coordenados
XOY : J foi obtido, corresponde curva no nvel z = 0.
XOZ : Fazendo y = 0 na equao z = y2 x2. obtm-se z = x2, equaode uma parbola
Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = y2 x2. obtm-se z = y2, equao deuma parbola
II) Grfico: Trata-se do parabolide hiperblico
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Exemplo 1. 4 f(x, y) = ln
x2
9+ y2
i) D(f) = {(x, y) R2; x2
9+ y2 > 0} =
R2
{(0,0)
}.
O x
y
Representao grfica
Figura 1
ii) Curvas de nvel
Seja a equao
ln
x2
9+ y2
x2
9+ y2 = ek
Como ek maior que zero para todo k, ento a curva de nvel em z = k a elipse
de equaox2
(3ek/2)2+
y2
(ek/2)2= 1
cujo semi-eixo no eixo OX sempre trs vezes maior que e o semi-eixo no eixo OY.
Representao grfica
(Ou seja, "quase"uma superfcie de revoluo)
iii) Interseces com os planos coordenados
XOY : Significa a curva de nvel em z = 0, ou seja a elipse de equao
x2
(3)2+ y2 = 1
Representao grfica: Veja figura anterior
XOZ: Fazendo
y= 0 na equao
z= ln
x2
9 +y2
= 1
obtm-se z = ln
x2
9
= 2ln |x| ln 9Representao grfica
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Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = ln
x2
9+ y2
= 1
obtm-se z = ln (y2) = 2ln |y|Representao grfica
II) Grfico
OBS: Dada a funo z = f(x1, , xn) a superfcie de nvel de f em z = k definida demodo anlogo s curvas de nvel para n = 2.
Exemplo : Determine e represente graficamente as superfcies de nvel da funo
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Seja a equao
x2 + y2 + z2 = k
Se k > 0 ento temosx2 + y2 + z2 = (
k)2
a equao de uma esfera de centro em (0,0,0) e raio
k.
Se k = 0 ento temos o ponto (0,0,0).
Para Se k < 0 a superfcie de nvel o vazio.
Representao grfica das superfcies de nvel
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4.3.1 Exerccios
[1] Determine o domnio de cada uma das funes abaixo e represente-o graficamente:
(1.1) f(x, y) =1
x2 1 +
y x2 (1.2) f(x, y) = y2 4 ln (x y)
(1.3) f(x, y) = ln (x2 y2) (1.4) f(x, y) = ln x2 + y2 1
x
(1.5) f(x, y) = arccos(x y) (1.6) f(x, y) = arcsec x2
4+ y2
[2] Determine o domnio; determine e trace as intersees do grfico com os planos coor-
denados; determine e trace as curvas de nvel; e esboce o grfico das funes:(2.1) f(x, y) = 16 x2 y2 (2.2) f(x, y) = 9x2 + 4y2
(2.3) f(x, y) = x2 (2.4) f(x, y) =1
1 + y2
(2.5) f(x, y) = 8 2x 4y (2.6) f(x, y) = 4x2 + 4y2
(2.7) f(x, y) = 4
x2 + y2
[3] Descreva as curvas/superfcies de nvel da cada funo:
(3.1) f(x, y) = e4x2y2
(3.2) F(x, y, z) = 2x + 3y + 6z(3.3) F(x, y, z) = x2 y2 + z2
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