Prof. Luciano Ribeiro

AGOSTO/2010

1. Módulo de um número real• O módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número, se ele for positivo. • O módulo ou valor absoluto de um número real será o seu simétrico, se ele for negativo.

|x| = x, se x ≥ 0 -x, se x < 0

Veja alguns exemplos de como calcular módulo ou valor absoluto de números reais. • |+4| = 4

• |-3| = - (-3) = 3

• |10 – 6 | = |+4| = 4

• |-1 – 3| = |-4| = - (-4) = 4

• |-1| + |5| - |6| = -(-1) + 5 – 6 = 1 + 5 - 6 = 6 – 6 = 0

• - | -8| = -[-(-8)] = - 8

Veja alguns exemplos de como encontrar o módulo de valores desconhecidos.

• |x + 2| nesse caso teremos duas opções, pois não sabemos o valor da incógnita x. Assim, seguimos a definição: x + 2, se x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ -2 - (x + 2), se x + 2 < 0, ou seja, x < -2

• |2x – 10| 2x – 10, se 2x – 10 ≥ 0, ou seja, 2x ≥ 10 → x ≥ 5 -(2x – 10), se 2x – 10 < 0, ou seja, 2x < 10 → x < 5

• |x2 – 9| x 2 – 9, se x2 – 9 ≥ 0 x 2 – 9 ≥ 0 x 2 ≥ 9 x ≥ 3 ou x ≤ -3

- (x 2 – 9) , se x2 – 9 < 0 x2 – 9 < 0 x2 < 9 -3 < x < 3

2. Função ModularA função modular, ou função módulo, é a função definida como segue:

Da definição de módulo de x, temos que a função modular pode ser definida por duas sentenças :

O domínio de f é D( f ) = R e a sua imagem é Im( f ) = R+ . O seu gráfico é dado por:

Vamos considerar agora funções definidas por sentenças do tipo

1. g(x) = |f (x)|2. g(x) = f (| x|)ExemplosVamos construir os gráficos das seguintes funções.

3. Translação

gráfico de f(x)=|x|

1

1

2

gráfico de f(x)=|x|+2

1

1

y

x

gráfico de f(x)=|x|-2

Unindo os três gráficos, temos:

01

1

2

-2

f(x) = | x | + 2

f(x) = | x | - 2

f(x) = | x |

Conclusões:

1) Translação de um gráfico é o deslocamento deste, sobre o plano cartesiano;

2) Para a função f(x)= |x|, temos que sua raiz é 0, ou seja o início do gráfico será em y = 0;

3) Para a função f(x)= |x|+ K, temos que sua raiz é K, ou seja o início do gráfico será em y = K;

4) Para a função f(x)= |x|- K, temos que sua raiz é -K, ou seja o início do gráfico será em y = -K;

Vejamos outro tipo de translação;

1

1

2

gráfico de f(x)=|x -2|

1

1

-2

gráfico de f(x)=|x +2|

Unindo os três gráficos, temos:

0

1

1

-2 2

f(x) = | x - 2|f(x) = | x + 2| f(x) = | x |

Conclusões:

1) Para a função f(x)= |x+ K|, temos que sua raiz é -K, ou seja o início do gráfico será em x = -k;

2) Para a função f(x)= |x – K|, temos que sua raiz é K, ou seja o início do gráfico será em x = K;

Fim"só é vencido aquele que admite a si mesmo que está

derrotado”