Exercícios Complementares de Trigonometria e Funções Trigonométricas

1. Esboce o gráfico cartesiano de cada função e determine o domínio, a imagem, operíodo e a amplitude.

a) fx = sen2x

b) fx = 3sen x2

c) gx = 2 + sen2x

d) gx = −cos2x

e) fx = |cos2x|

2. Determine a medida x, do arco da primeira volta positiva (0° ≤ x < 360°), que possui amesma extremidade do arco de:

a) 1850° b) 1320° c) 1020°

3. Obtenha a medida x, do arco da primeira volta positiva (0 ≤ x < π), que possui amesma extremidade do arco de:

a) 18π5

rad b) 13π2

rad c) 21π4

rad

4. Calcular sen 150° e cos 150°.

5. Calcular sen 240° e cos 240°.

6. Calcular sen 330° e cos 330°.

7. Com o auxílio da tabela dos arcos notáveis:

30° 45° 60°

sen 12

2

2

3

2

cos3

2

2

212

Calcule:

a) sen 120° d) cos 7π6

rad g) sen 135° j) cos 5π4

rad

b) cos 120° e) sen 5π3

rad h) cos 135° k) sen 7π4

rad

c) sen 210° f) cos 5π3

rad i) sen 225° l) cos 7π4

rad

8. A função fx = cos x8

é periódica do período:

a) π4

b) 2π c) π d) 8π e) 16π

9. O período da função fx =senπx

2é:

1

a) π4

b) 2π c) π d) 2 e) 4

10. O conjunto imagem da função fx = 2 − 2sinx é o intervalo:

a) [-1, 1] b) [-2, 2] c) [0, 4] d) [1, 4] e) [2, 4]

11. O período e a imagem da função real f, definida por fx = 3 sen 2x, são,respectivamente:

a) π e [-3, 3] b) 4π e [-3, 3] c) 2π3

e [-2, 2]

d) 6π e [-2, 2] e) 2π e [-1, 1]

12. O período da função fx = 5cos4πx + π3 é:

a) p = 2π5

b) p = 12

c) p = π2

d) p = π3

e) p = 2

13. A igualdade sen πx = 0 é verdadeira se, e somente se, x é:

a) real

b) inteiro

c) complexo

d) racional

e) irracional

14. O maior valor que assume a função gx = |cosx − 1| no intervalo [0, π] é:

a) π b) π2

c) 0 d) 1 e) 2

15. O gráfico abaixo é o da função y = a sinbx. Os números a e b são, respectivamente:

1 2 3

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

a) 1 e 2 b) 2 e 1 c) 2 e -1 d) -1 e 2 e) -1 e -2

16. O gráfico abaixo representa a função:

2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

a) y = −2cosx b) y = cos π2

c) y = 2sinx

d) y = sin π2

e) y = 2sin2x

17. Se fx = a + b sen x tem como gráfico:

1 2 3 4 5 6 7

-1

0

1

2

3

x

y

Então:

a) a = −2 e b = 1

b) a = −1 e b = 2

c) a = 1 e b = −1

d) a = 1 e b = −2

e) a = 2 e b = −1

18. Sejam as funções fx = 2 sen x e gx =sen 2x. A respeito delas, pode-seafirmar que:

a) O período de fx é o dobro do período de gx.b) As funções fx e gx possuem os mesmos zeros.

c) O máximo de fx é igual ao máximo de gx.d) O máximo de gx é o dobro do máximo de fx.e) O período de gx é o dobro do período de fx.

19. Dado cosx = − 34

e π2

< x < π, calcule sen x, tg x, cotg x, sec x e cossec x.

20. Simplifique a expressão y =cot x + cossec x

sen x, supondo 0 < x < π

2.

3

21. Demonstre que 1 − cos2xcot2x + 1 = 1, para x ≠ kπ, é uma identidade.

Gabarito:

1. a) sen 2x

1 2 3

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

Dom = R; Im = [-1, 1]; Período = π; Amplitude =1

b) 3sin x2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Dom = R; Im = [-3, 3]; Período = 4π; Amplitude =3

c) 2 +sen 2x

1 2 3

-1

0

1

2

3

x

y

Dom = R; Im = [1, 3]; Período = π; Amplitude =1

4

d) −cos2x

1 2 3

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

Dom = R; Im = [-1, 1]; Período = π; Amplitude = 1

e) |cos2x|

0 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Dom = R; Im = [0, 1]; Período = π2

; Amplitude = 1

2. a) 50°; b) 240°; c) 300°

3. a) 8π5

rad; b) π2

rad; c) 5π4

rad

4. sen 150° = sen 30° = 12

e cos 150° = -cos 30° = −3

2

5. sen 240° = -sen 60° = −3

2e cos 240° = -cos 60° = − 1

2

6. sen 330° = -sen 30° = − 12

e cos 330° = cos 30° =3

2

7. a)3

2; b) − 1

2; c) − 1

2; d) −

3

2; e) ;

3

2f) 1

2;

g)2

2; h) −

2

2; i) −

2

2; j) −

2

2; k) −

2

2; l)

2

28. letra e)

9. letra d)

5

10. letra c)

11. letra a)

12. letra b)

13. letra b)

14. letra e)

15. letra d)

16. letra e)

17. letra d)

18. letra a)

19. Pela relação: sen2x + cos2x = 1, temos:

sen2x + − 342 = 1 ⇒ sen2x + 9

16= 1 ⇒ sen2x = 1 − 9

16⇒ sen2x = 7

16⇒ senx = ± 7

16=

Como π2

< x < π (2o quadrante), sen x > 0; logo, sen x =7

4.

tan x =sen x

cos x=

7

4

− 43

= −7

3

cot x =cos x

sen x=

− 34

7

4

= − 3

7= −

3 7

7

sec x = 1

cos x= 1

− 34

= − 43

cossec x = 1

sen x= 1

7

4

= 4

7=

4 7

7

20. y =cot x + cossec x

sen x=

cos x

sen x+ 1

sen x

sen x=

sen x+1

sen x

sen x=

cos x + 1

sen x

1

sen x=

cos x + 1

sen2x

pela identidade: sen2x + cos2x = 1, temos:cosx + 1

1 − cos2x=

cosx + 1

1 + cosx1 − cosx= 1

1 − cosx

21. 1 − cos2x cos2xsen2x

+ 1 = 1 − cos2x cos2x + sin2xsen2x

pela identidade: sen2x + cos2x = 1, temos:

sen2x 1sen2x

= 1

6