Fundamentos de Análise de Sinais

Processos Aleatórios Estacionários

Conceitos Básicos

kx t t

- Conjunto de valores possíveis de um processo estacionário;

- t é o tempo em que se amostrou o a variável aleatória;

- k denota o número de ordem de um conjunto de N amostras visualizadas nos instantes de tempo t1,...,tN .

Conceitos Básicos

x k

y k

t E x t

t E y t

1 2 1 2

1 2 1 2

x x

y y

t t se t t

t t se t t

Considerando t1=t e t2=t+t têm-se:

,

,

,

xx k x k x

yy k y k y

xy k x k y

C t t E x t t x t t

C t t E y t t y t t

C t t E x t t y t t

Conceitos Básicos

x k

y k

t E x t

t E y t

1 2 1 2

1 2 1 2

x x

y y

t t se t t

t t se t t

Considerando Tau=0 têm-se:

2 2

2 2

,

,

,

xx k x x

yy k y y

xy k x k y xy

C t t E x t t t

C t t E y t t t

C t t E x t t y t t C t

Conceitos Básicos

Se somente os valores da média, da

variância e da covariância são invariantes

com o tempo os processos são ditos

fracamente estacionários.

Se todas as propriedades estatísticas são

invariantes com o tempo os processos são

ditos fortemente estacionários.

Funções de Correlação

,

,

,

xx k k

yy k k

xy k k

R t t E x t x t

R t t E y t y t

R t t E x t y t

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

, ,

, ,

, ,

xx

yy

xy

R t t x x p x x dx dx

R t t y y p y y dy dy

R t t x y p x y dx dy

2

2

xx xx x

yy yy y

xy xy x y

C R

C R

C R

Funções de Correlação

xx xx

yy yy

xy xy

R R

R R

R R

Função par

Ser uma função não negativa definida.

Funções Autocorrelações Especiais

Constante

Funções Autocorrelações Especiais

Harmônico

Funções Autocorrelações Especiais

Harmônico

0sin 2kx t X f t k 12p

0 1

0 2

sin 2

sin 2

k

k

x t X f t k x

x t X f t k x

1 2

22

0 00

2

0

sin 2 sin 22

cos 22

xx k k

xx

xx

R E x t x t E x x

XR f t f t d

XR f

Funções Autocorrelações Especiais

Ruído Branco

Funções Autocorrelações Especiais

Ruído com baixas freqüências

Funções Autocorrelações Especiais

Ruído de banda estreita

Funções Autocorrelações Especiais

Exponencial

Funções Autocorrelações Especiais

Harmônico* exponencial

Funções Autocorrelações Especiais

(Seno+Co-seno) * exponencial

Onda retangular

Funções Autocorrelações Especiais

O número de mudanças em

seg. é uma variável aleatória.k

cx t

c

22 2

1

1!

n

n

xxn

R c e c en

Soma de dois processos estacionários

Funções Autocorrelações Especiais

1 1, 2 2,

1 1,

2 2,

podem ser correlacionadas

k k k

k

k

y t a x t a x t

a x t

a x t

2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2yy x x x x x x x xR a R a a R R a R

Processos estatisticamente dependentes porém não correlacionados

Funções Autocorrelações Especiais

2cos1

sin

xy x

y

,p x y p x p y

Variável aleatória

x e y são estatisticamente dependentes

cos sin cos sin

1 1sin 2 sin 2 0

2 2

xyC E xy E x E y

E E E

E E

0, por que sin 0xE x E

Funções Coeficiente de Correlação

0 0xx xx xx xxR R C C

2 2

2 2

0

0

xx k x

yy k y

R E x t

R E y t

2 2 2xy x yC

2

2

0

0

xx x

yy y

C

C

1 1xyxy

x y

C

20 0xy xx yyR R R 2

0 0xy xx yyC C C

xyxy

x y

R

Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares

0y t ax t t n t

0

0 0

xy

xy xx

R E x t y t E x t ax t t n t

R aE x t x t t aR t

20max

0xy xy xx xR R aR a

0d ct

Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares

Se x(t) for uma onda com velocidade de propagação c tem-se:

Função Correlação em Sinais com Atraso - Radares

00

0

xy xxy

x y y

xy y x

R tt a

a t

2 2 2 2 2y x nE y t a

2 2 2 2

2 2 2

variância de devido a

1 variância de devido a

x xy y

n xy y

a y t x t

y t n t

yy xx nnR E x t y t aR R

Funções Densidade Espectrais

Via funções de correlação

Via transformada finita de Fourier

Via filtro passa-banda

Funções Densidade Espectrais

R d

2

2

2

i fxx xx

i fyy yy

i fxy xy

S f R e d

S f R e d

S f R e d

Condição para existência da função densidade espectral

2

2

2

i fxx xx

i fyy yy

i fxy xy

R S f e df

R S f e df

R S f e df

Transformada de Fourier direta

Transformada de Fourier inversa

Isto é sempre verdade para amostras finitas

Funções Densidade Espectrais

Propriedades de simetria

*

*

*

xx xx xx

yy yy yy

xy xy yx

S f S f S f

S f S f S f

S f S f S f

2

* 2

2

i fxy xy

i fxy xy

i fyx yx

S f R e d

S f R e d

S f R e d

u

d du

2

2

i fuxy xy

i fuyx yx

xy yx

S f R u e du

S f R u e du

S f S f

Prova

Funções Densidade Espectrais

0

0

cos 2 2 cos 2

cos 2 2 cos 2

xx xx xx

yy yy yy

S f R f d R f d

S f R f d R f d

Função auto densidade

0

0

2 cos 2

2 cos 2

xx xx

yy yy

R S f f df

R S f f df

2 0

2 0

xx xx

yy yy

G f S f f

G f S f f

Funções Densidade Espectrais

Função auto densidade

Funções Densidade Espectrais

0

0

0

0

4 cos 2

4 cos 2

2 cos 2

2 cos 2

xx xx

yy yy

xx xx

yy yy

G f R f d

G f R f d

R G f f df

R G f f df

Função auto densidade

Funções Densidade Espectrais

Função auto densidade

2 2

0

2 2

0

0

0

xx x xx

yy y yy

R E x t G f df

R E y t G f df

0

Funções Densidade Espectrais

Função densidade cruzada

2 0xy xyG f S f f

Co-espectro

Quad-espectro

xy

xy

C f

Q f

22 i fxy xy xy xyG f R e d C f jQ f

2 2

1tan

xy

xy xy xy

xyxy

xy

j f

xy xy

G f C f Q f

Q ff

C f

G G f e

Funções Densidade Espectrais

Função densidade cruzada

xy xy

xy xy

C f C f

Q f Q f

cos

sin

xy xy xy

xy xy xy

C f G f f

Q f G f f

1

2não muda

xy xy

xy

S f G f

f

Funções Densidade Espectrais

Função densidade cruzada

y(t) está em atraso em relação a x(t)

x(t) está em atraso em relação a y(t)

Funções Densidade Espectrais

Constante

Funções Densidade Espectrais

Harmônico

Funções Densidade Espectrais

Ruído Branco

Funções Densidade Espectrais

Ruído com baixas freqüências

Funções Densidade Espectrais

Ruído de banda estreita

Funções Densidade Espectrais

Exponencial

Funções Densidade Espectrais

Exponencial*co-seno

Funções Densidade Espectrais

Exponencial*co-seno + Exponencial*seno

Funções Densidade Espectrais

Ruído de Banda Estreita

0 00 2 2

0 outros valores de xx

a f B f f BG f

f

0

0

2

02

sincos 2 cos 2

f B

xx f B

BR a f df aB f

B

Funções Densidade Espectrais

Ruído de baixa frequências

0

0 outros valores de xx

a f BG f

f

sin 2

2xx

BR aB

B

0 2f B

0

0xx xxG f df aB R

Funções Densidade Espectrais

Ruído de Branco

0xxG f a f 2xxS f a f

0 2f B

0

0xx xxG f df R

2xxR a

Fisicamente Impossível

Funções Densidade Espectrais

Sinal harmônico

2

02xx

XG f f f

2

0 04xx

XS f f f f f

2

00

2xx xx

XG f df R

2

0cos 22xx

XR f

Funções Densidade Espectrais

Soma de dois processos

2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 22yy x x x x x xG f a G f a a C f a G f

2 21 1 1 1 2 1 2 2 2 2yy x x x x x xS f a S f a a C f a S f

2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2yy x x x x x x x xR a R a a R R a R

Funções Densidade Espectrais

Espectro Via Transformada de Fourier de Curta Duração

*

2*

2*

12 lim , ,

1 12 lim , , 2 lim ,

1 12 lim , , 2 lim ,

xy k kT

xx k k kT T

yy k k kT T

G f E X f T Y f TT

G f E X f T X f T E X f TT T

G f E Y f T Y f T E Y f TT T

*

2

0

2

0

1, , , ,

,

,

xy k k

T j ftk k

T j ftk k

S f T k X f T Y f TT

X f T x t e dt

Y f T y t e dt

Funções Densidade Espectrais

Espectro através de filtros

20 00

1ˆ , ,T

xxG f x f B t dtBT

Funções Densidade Espectrais

0 0 0ˆ ˆ ˆxy xy xyG f C f jQ f

Espectro através de filtros

Funções Densidade Espectrais

2

xy xx yyG f G f G f

Função Coerência

2 2

2 xy xy

xyxx yy xx yy

G f S f

G f G f S f S f

20 1xy

Funções Densidade Espectrais

Sistema com Atraso

0xy xxR aR

0

0

2

2

02

j fxy xx

j fxy xx

xy xx

xy

S f aS f e

G f aG f e

G f aG f

f f

2

2

2 2

xy xx

yy xx nn

xy xxxy

xx yy yy

a G f G f

G f a G f G f

G f G fa

G f G f G f

Funções Densidade Espectrais

Sistema com Atraso

00 2

0

00 2

0

ˆ ˆ2

ˆ2

ˆ ˆ2

ˆ2

xy xy

xy

xy xy

xy

f S f f df

f S f df

f G f f df

f G f df