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2
10ª edição | São Paulo – 2013
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
GELSON IEZZI OSVALDO DOLCECARLOS MURAKAMI
Logaritmos
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
001-004-Manual-FME2.indd 1 24/07/13 09:30
© Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami, 2013
Copyright desta edição:
SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2013
Rua Henrique Schaumann, 270 — Pinheiros
05413-010 — São Paulo — SP
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Todos os direitos reservados.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Índice para catálogo sistemático:1. Matemática : Ensino Médio 510.7
Gerente editorial: Lauri Cericato
Editor: José Luiz Carvalho da Cruz
Editores-assistentes: Fernando Manenti Santos/Juracy Vespucci/Guilherme Reghin Gaspar
Auxiliares de serviços editoriais: Daniella Haidar Pacifico/Rafael Rabaçallo Ramos/Margarete Aparecida de Lima/
Vanderlei Aparecido Orso
Digitação e cotejo de originais: Guilherme Reghin Gaspar/Elillyane Kaori Kamimura
Pesquisa iconográfica: Cristina Akisino (coord.)/Enio Rodrigo Lopes
Revisão: Pedro Cunha Jr. e Lilian Semenichin (coords.)/Renata Palermo/Rhennan Santos/
Felipe Toledo/Simone Garcia/Tatiana Malheiro/Fernanda Guerriero
Propostas de textos e atividades: Rosineide de Melo e Norberto Lourenço Nogueira Júnior
Gerente de arte: Nair de Medeiros Barbosa
Supervisor de arte: Antonio Roberto Bressan
Projeto gráfico: Carlos Magno
Capa: Homem de Melo & Tróia Design
Imagem de capa: Vetta/Getty Images
Diagramação: TPG
Assessoria de arte: Maria Paulo Santo Siqueira
Encarregada de produção e arte: Grace Alves
Iezzi, Gelson
Fundamentos de matemática elementar, 2 : logaritmos / Gelson Iezzi,
Osvaldo Dolce, Carlos Murakami. — 10. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
ISBN 978-85-357-1682-5 (aluno)
ISBN 978-85-357-1683-2 (professor)
1. Matemática (Ensino médio) 2. Matemática (Ensino médio) — Problemas
e exercícios etc. 3. Matemática (Vestibular) — Testes I. Dolce, Osvaldo.
II. Murakami, Carlos. III. Título. IV. Título: Logaritmos.
12-12851 CDD-510.7
001-004-Manual-FME2.indd 2 23/07/13 16:13
729. .0 .00
Rua Henrique Schaumann, 270 Ð Cerqueira CŽsar Ð S‹o Paulo/SP Ð 05413-909
210185
Coordenadora de editoração eletrônica: Silvia Regina E. Almeida
Produção gráfica: Robson Cacau Alves
Impressão e acabamento:
Complemento para o Professor — Fundamentos de Matemática Elementar — vol. 2
Este livro é o Complemento para o Professor do volume 2, Logaritmos, da coleção Fundamentos de Matemática Elementar.
Cada volume desta coleção tem um complemento para o pro-fessor, com o objetivo de apresentar a solução dos exercícios mais complicados do livro e sugerir sua passagem aos alunos.
É nossa intenção aperfeiçoar continuamente os Complementos. Estamos abertos a sugestões e críticas, que nos devem ser encami-nhadas através da Editora.
Agradecemos aos professores David Mauro Degenszajn e Erileide de Souza a colaboração na redação das soluções que são apresen-tadas neste Complemento.
Os Autores.
Apresentação
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Sumário
CAPÍTULO I — Potências e raízes ............................................................. 1
CAPÍTULO II — Função exponencial ......................................................... 7
CAPÍTULO III — Logaritmos ..................................................................... 41
CAPÍTULO IV — Função logarítmica .......................................................... 54
CAPÍTULO V — Equações exponenciais e logarítmicas .............................. 58
CAPÍTULO VI — Inequações exponenciais e logarítmicas .......................... 114
CAPÍTULO VII — Logaritmos decimais ....................................................... 148
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1
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
CAPÍTULO I — Potências e raízes
3. A (1)2n (1)2n (1)3 (1)2n (1)n (1)n
1 1 (1) + (1)n (1)n 2
7. (a b)2 a2 + 2ab b2 a2 b2 ⇔ a b 0
a b 0 ⇒ a 0 ou b 0
8. (22 31 51 72)x M3 ⇒ x 23 2 33 1 53 1 73 2
21 32 52 71 3 150
9. Examinando os valores de 14n, com n *, vemos que:
se n é ímpar, 14n tem como algarismo das unidades o 4
se n é par, 14n tem como algarismo das unidades o 6.
Assim, 1414 termina em 6; portanto 1414 é par e daí 141414 termina em 6.
12. x 1 y 1
(xy) 1
1x
1y
1xy
x y
15. f) (a1 b1) (a b)1 a ba b
1
a b a1 b1
g) (a2 b2)(a1 b1)1 b2 a2
a2 b2 b a
ab
1
(b a)(b a)
a2 b2 ab
b a
a bab
16. d) an 4 a3 an
a4 an an 4 an 4
a3 n an 4 1
1a
a 1
a
18. a) x4 (x2)2 x2 x2, ∀ x (V)
b) x10 (x5)2 x5 x5, ∀ x (F)
c) x6 (x3)2 x3 x3, ∀ x
(V)
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2
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
d) (x 1)2 x 1 x 1, ∀ x e x 1 (V)
e) (x 3)2 x 3 3 x, ∀ x e x 3 (V)
20. a) (x 2)2 x 2
x 2, se x 2
0, se x 2
x 2, se x 2
b) (2x 3)2 2x 3
2x 3, se x 3
2
0, se x 3
2
3 2x, se x 3
2
c) (x 3)2 x 3
x 3, se x 3
0, se x 3
3 x, se x 3
d) (2x 1)2 2x 1
2x 1, se x 1
2
0, se x 1
2
2x 1, se x 1
2
30. b) ( 20 - 45 + 3 125 ) : 2 5 1
2
20
5
45
5 3
125
5
2 3 15
2
7
k) (1 2)4 [(1 2)2] 2 (3 2 2)2 17 12 2
32. a) 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1) 1
b) 7 24 7 24 (7 24) (7 24) 5
c) 5 2 6 5 2 6 (5 2 6)(5 2 6) 1
d) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2(2 2) (2 2 2 )(2 2 2 )
(4 2 2)(4 (2 2)) 2(2 2)(2 2) 2
33. a) a b a b a2 b (a b)(a b)(a2 b)
(a2 b)2 a2 b
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3
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
b) (2 xy x y y x ) : xy 2 xy
xy
x2y
xy
xy2
xy 2 x y
c) aa
b 2 ab b
b
a ab
a3
b 2 ab
b3
a ab
a4b
b 2 (ab)2
b3ab
a a2 2|ab| b2 (a b)2
d) p p2 1 p p2 1 p2 ( p2 1)2 p2 p2 1 1
e) x x2 y33 x x2 y33
3
x2 (x2 y3) y
36. o) 1
(2 3 ) 5
1
(2 3 ) 5
(2 + 3 5)
(2 3 ) 5
(2 3) 5
7 4 3 5
(2 + 3 5 )(2 4 3 )
(2 4 3 )(2 4 3 )
4 3 3 5 2 15
22
p) 5
(2 5 ) 2
5
(2 5 ) 2 (2 5 ) 2
(2 5 ) 2
10 5 5 5 2
9 4 5 2
(10 5 5 5 2 )(7 4 5 )
(7 4 5 )(7 4 5 )
30 5 5 35 2 20 10
31
q) 3
( 3 2 ) 1
3( 3 2 1)
[( 3 2 ) 1][( 3 2 ) 1]
3 3 3 2 3
5 2 6 1
(3 3 3 2 3)(4 2 6 )
(4 2 6 )(4 2 6 )
6 3 2 3 6
4
r)
39 1
33 1
(33 )2 1
33 1
(33 1)(3
3 1)
(33 1)
3
3 1
37.
34 1
32 1
(3
2 )2 13
2 1
(32 1)(3
2 1)
(32 1)
1 3
2
38. a) 2 3
2 3
2 3
2 3
(2 3) (2 3 )
(2 3 )(2 + 3 ) 4
b) Notemos inicialmente que
( 2 3 2 3 )2 6 ⇒ 2 3 2 3 6
e
( 2 3 2 3 )2 2 ⇒ 2 3 2 3 2 .
Vamos agora fazer a simplificação pedida:
2 3
2 2 3
2 3
2 2 3
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4
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
(2 3)( 2 2 3 )
( 2 2 3 )( 2 2 3 )
(2 3)( 2 2 3 )
( 2 2 3 )( 2 2 3 )
2 2 6 2 2 3 3 2 3
3
2 2 6 2 2 3 3 2 3
3
2 6 2( 2 3 2 3 ) 3( 2 3 2 3 )
3
2 6 2 6 3 2
3 2
c) 48 27 125
12 108 180
7 3 5 5
8 3 6 5
(7 3 5 5 )
(8 3 6 5 )
(8 3 6 5 )
(8 3 6 5 )
9 15
6
d) 3 2 2
17 12 2
3 2 2
17 12 2
(3 2 2)(17 12 2)
(17 12 2)(17 12 2)
(3 2 2)(17 12 2)(17 12 2)(17 12 2)
3 2 2 3 2 2 (1 2)2 (1 2)2
Notamos que 1 2 0, temos: (1 2)2 |1 2| 2 1.
Daí, o valor da expressão é: 1 2 ( 2 1) 2.
39. x x2 1
x x2 1
x x2 1
x x2 1
(x x2 1 )2 (x x2 1 )2
(x x2 1 )(x x2 1 )
4x x2 1
40. x 1
2
a
b
b
a
1
2
a2 b2
ab
a b
2 ab (A)
1 x2 1 a b
2 ab
2
(a b)2
4ab (B)
2a 1 x2
x 1 x2
(2a 1 x2 )(x 1 x2 )
(x 1 x2 )(x 1 x2 )
2a(1 x2) 2ax 1 x2
(A) e (B)
2a (a b)2
4ab 2a
(a b)
2 ab (a b)2
4ab
(a b)2
2b
a2 b2
2b a b
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5
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
41. Fazendo X = 3
9(32 1) e Y = 1
32
34 e lembrando as
identidades:
a3 b3 (a b)(a2 ab b2)
a3 b3 (a b)(a2 ab b2)
temos:
X3 9(32 1)
9(32 1)(3
4 32 1)
34 3
2 1
9 [(32 )3 13]
34 3
2 1
9
34 3 2 1
e Y3 (1
32
34 )(1 3 2 )
1 32
3
13 ( 3 2 )3
1 3 2
3
27
1 33
2 334 2
9
1 3
2 34
então, X3 Y3 e daí X Y.
42. 3
7 2 10
3 7 2 10
7 2 10 7 2 10 7 2 10
( 2 5 )2
2 5 (A)
4
8 4 3
4 8 4 3
8 4 3 8 4 3 8 4 3 ( 6 2 )2
6 2 (B)
1
11 2 30
11 2 30
11 2 30 11 2 30 11 2 30 ( 6 5 )2
6 5 (C)
(A) (B) 2 5 6 2 6 5 (C)
43. x 2 2 2 2 ... ⇒ x2 2 2 2 2 2 ... ⇒
⇒ x2 2 x ⇒ x2 x 2 0 ⇒ x 1 3
2 ⇒ x 2 (pois x 0)
44. 12
7 3
5
8 3 7
12(8 3 7 ) 5( 7 3)
( 7 3)(8 3 7 )
81 41 7
(3 7 )
(3 7 )
(3 7 ) 22 21 7
49. f) 27
23 27
23
16
34 16
34
(32 32)(23 23) 9 1
9 8
1
8 70
g) 125
23 16
12 343
13
12
52 22 7
12
6
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6
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
50. 0,064
13
0,062514
64
1 000
13
625
10 000
14
4
10
5
10
20
100 0,2
53. a) a2n1 a1n1n3 n2
1
a2
n1 a
1
n1
1n3
n2 1
an3n2
1 n2
1n3
a
b) a56 b
12 a
12 b13
a1 b23 a
56 b
12 a
12 b1
13
a1 b23
12
a16 b
12
c) (a23 2
13)(a3
a 32a2
34 ) (a
23 2
13)(a
43 2
13 a
23 2
23)
a2 213 a
43 a
23 2
23 2
13 a
43 2
23 a
23 2 a2 2
d)
b a
a b
a12 a
12 b
12
1
a
12 b
12
b12
1
b a
a b
a12
a12 b
12
b
12
a12 b
12
b a
a b
a (ab)12 (ab)
12 b
a12
2
b12
2 1
e) 1
2
a
b
12
1
2
b
a
12
2
1 b
12
2a12
a
12
2b12
2
1
b a
2(a b)12
2
1 2(a b)
12
b a
2
1
(a b)2
(b a)2
a b
|a b|
f) [(a ab b)( a b )1 3 ab]
12 a
32 b
32
1
a12 b
12
3a12 b
12
12
a32 b
32 3ab
12 3a
12b
a12 b
12
12
Lembrando que (x y)3 x3 y3 3x2y 3xy2, temos que a
expressão pedida se reduz a:
a12 b
12
3
a12 b
12
12
a12 b
12 a b
54. 1
4a 8
a 1
14
a 8a 1
2(4a 1)
a 4a 1
(4a 1 8
a 4a 1 8
a )
(4a 1 8
a )(4a 1 8
a )
2(4a 1)
a 4a 1
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
2(4 a 1)
a 4 a 1
2(4 a 1)
a 4 a 1
(24 a 2)( a 1
4 a ) (24 a 1)( a 1 4 a )
( a 1 4 a )( a 1 4 a )
4
a a 1
56. 2n 4 2 2n
2 2n 3
2n 24 2 2n
2 2n 23
2n(24 2)
2 2n 23
7
8
57. (2n 2n 1)(3n 3n 1) 2n 2n
2 3n
3n
3
2n(2 1)
2
3n(3 1)
6 6n
58. (cosh x)2 (senh x)2 ex ex
2
2
ex ex
2
2
(ex ex)2 (ex ex)2
4
e2x 2 ex ex e2x (e2x 2 ex ex e2x)
4
2 e0 2 e0
4 1
CAPÍTULO II — Função exponencial
59. A expressão 1
2
y
é decrescente com y. Seu menor valor é o que se
obtém para o máximo valor de y 4x x2. O valor de x que acarreta
o máximo de y é x b
2a
4
2 2 e ymáx 4 2 22 4.
Portanto, o menor valor de 1
2
4x x2
é: 1
2
4
1
16.
60. a) x y 3x
3127
219
113
0 11 32 93 27
– 1
1
1
y
y = 3x
x
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) x y
1
3
x
2 9
1 3
0 1
11
3
21
9
y 5 x1
3
3
1
121
y
x
c) x y 4x
21
16
11
4
0 1
1 4
2 16
y
y = 4x
1
– 1 1 x
d) x y 10x
21
100
11
10
0 1
1 10
2 100
y = 10x
1
– 1 1
y
x
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9
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) x y 10x
2 100
1 10
0 1
11
10
21
100
y = 10 – x
y
– 1 1
1
x
f)
x y 1
e
x
2 7,39
1 2,72
0 1
1 0,36
2 0,14
y
1
– 1 x1
y = x1
e
62. a) x 1 x f(x) 21 x
3 21
4
2 11
2
1 0 1
0 1 2
1 2 4
f(x) = 21 – x
y
2
1
– 1 1 2 3 x
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10
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) x
x 1
2f(x) 3
x 1 2
5 21
9
3 11
3
1 0 1
1 1 3
3 2 9
y
2
1
– 1 1 x
f(x) = 3
x + 1
2
c) x |x| f(x) 2|x|
1 1 2
1 1 2
0 0 1
2 2 4
2 2 4
x
3
2
1
– 1 1
y
f(x) = 2|x|
d) x 2x 1 f(x)
1
2
2x 1
3
22 4
1 1 2
1
20 1
0 11
2
– 1 1
y
2
1
x
f(x) = 12
2x + 1
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11
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) x |x| f(x)
1
2
|x|
1 11
2
1 11
2
0 0 1
2 21
4
2 21
4
– 1
2
1
y
f(x) = | x |1
2
1 x
63. x x2 f(x) ex2
1 1 2,72
2 2 7,39
2 2 7,39
0 0 1
– 1
y
1
1
f(x) = ex2
x
64. x x2 f(x) ex2
1 1 0,36
1 1 0,36
0 0 1
2 4 0,018
2 4 0,018
– 1
f(x) = e – x2
y
1
1 x
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12
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
66. a) x 2x f(x) 2x 3
21
4
11
4
11
2
5
2
0 1 2
1 2 1
2 4 1
– 3
– 2
– 1
– 1
1
1 x
y y = 2x
f(x) = 2x – 3
b)
x1
3
x
f(x) 1
3
x
1
2 9 10
1 3 4
0 1 2
11
3
4
3
21
9
10
9
f(x) = x1
3+ 1
y
2
1
– 1x
c) x 3x f(x) 2 3x
0 1 1
1 3 1
11
3
5
3
21
9
17
9
2 9 7
f(x) = 2 – 3x
– 1
– 1
y2
1
1 x
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13
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
d) x
1
2
x
f(x) 3 1
2
x
0 1 2
11
2
5
2
1 2 1
2 4 1
– 1 1 x
1
2
3
y
67. a) x 2x 2x f(x) 2x 2x
21
44
17
4
11
22
5
2
0 1 1 2
1 21
2
5
2
2 41
4
17
4
f(x) = 2x + 2 – x
2
– 1– 2 1 2 x
y
001-156-Manual-FME2.indd 13 23/07/13 16:15
14
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) x 2x 2x 2x 2x
21
44
15
4
11
22
3
2
0 1 1 0
1 21
2
3
2
2 41
4
15
4
– 1
1
1
–
f(x) = 2x – 2 – x
x
3
2
3
2
y
69. a) x 3x f(x)
1
2 3x
0 11
2
11
3
1
6
21
9
1
18
1 33
2
2 99
2
3
2
– 1
1
1 x
1
2f(x) = · 3x
y
b) x 2x 3 22x 3 f(x) 0,1 22x 3
1
22
1
40,025
1 11
20,05
3
20 1 0,1
2 1 2 0,2
5
22 4 0,4
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15
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
y
3
1
1 2 3 x
f(x) = 0,1 · 22x – 3
c)
x 2x 1 32x 1 f(x) 1
5 32x 1
1
22
1
90,02
0 11
30,07
1
20 1 0,2
1 1 3 0,6
3
22 9 1,8
y
2
1
– 1 1 2 x
1
5f(x) = · 32x – 1
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16
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
d) x
x 1
22
x 1 2 3 2
x 1 2
5 21
40,75
3 11
21,5
1 0 1 3
1 1 2 6
3 2 4 12
f(x) = 3 · 2
x + 1
2
y
6
3
1
– 5 – 3 – 1 1 3 x
71. e) (3
2 )x 8 ⇔ 2x3 23 ⇔ x 9, S {9}
f) (4
3 )x 3
9 ⇔ 3x4 3
23 ⇔ x
8
3, S
8
3
j) (5
4 )x 1
8 ⇔ 2
2x5 2
32 ⇔ x
15
4, S
15
4
k) 100x 0,001 ⇔ 102x 103 ⇔ x 3
2, S
3
2
l) 8x 0,25 ⇔ 23x 22 ⇔ x 2
3, S
2
3
m) 125x 0,04 ⇔ 53x 52 ⇔ x 2
3, S
2
3
n) 2
3
x
2,25 ⇔ 2
3
x
225
100 ⇔
2
3
x
2
3
2
⇔ x 2, S {2}
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17
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
72. i) 53x 1
1
25
2x 3
⇔ 53x 1 54x 6 ⇔ x 5
7, S
5
7
j) ( 2 )3x 1 (316 )2x 1 ⇔ 2
3x2
12 2
8x3
43 ⇔ x
5
7, S
5
7
k) 82x 1 34x 1 ⇔ 26x 3 2
2x 23 ⇔ x
11
16, S
11
16
l) 4x2 1 8x ⇔ 22x2 2 23x ⇔ x 2 ou x 1
2, S 2,
1
2
m) 27x2 1 95x ⇔ 33x2 3 310x ⇔ x 3 ou x 1
3, S 3,
1
3
n) 8x2 x 4x 1 ⇔ 23x2 3x 22x 2 ⇔ x 2 ou x 1
3,
S 2, 1
3
73. 4x2 4x 412 ⇔ 22x2 8x 224 ⇔ (x 6 ou x 2), S {6, 2}
74. 100 10x x1 0005 ⇔ 102 x 10
15x ⇔ x2 2x 15 0 ⇔
⇔ (x 5 ou x 3), S {5, 3}
76. a) (2x)x 4 32 ⇔ 2x2 4x 25 ⇔ (x 5 ou x 1), S {5, 1}
b) (9x 1)x 1 3x2 x 4 ⇔ (32x 2)x 1 3x2 x 4 ⇔ x2 x 6 0 ⇔
⇔ (x 3 ou x 2), S {2, 3}
c) 23x 1 42x 3 83 x ⇔ 23x 1 24x 6 29 3x ⇔ x 2
5, S
2
5
d) (32x 7)3 : 9x 1 (33x 1)4 ⇔ 34x 23 312x 4 ⇔
⇔ x 19
8, S
19
8
e) 23x 2 : 82x 7 4x 1 ⇔ 23x 23 22x 2 ⇔ x 5, S {5}
f) 3x 2 9x
2435x 1
812x
273 4x ⇔
33x 2
325x 5
38x
39 12x ⇔ 322x 3 320x 9 ⇔
⇔ x 1
7, S
1
7
g) x 4
23x 8 2x 5 ⇔ 23x 8x 4 2x 5 ⇔ x2 4x 12 0 ⇔
⇔ (x 6 ou x 2), S {2, 6}
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18
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
h) 83x 3
32x : 4x 1 ⇔ 29x 25x3 : 22x 2 ⇔ 29x 2
x 63 ⇔
⇔ x 3
14, S
3
14
i) x 1 3
23x 1 3x 7
8x 3 0 ⇔ 3x 3
23x 1 3x 7
23x 9 ⇔
⇔ 2
3x 13x 3 2
3x 93x 7 ⇔ x
5
3 não serve, pois x e x 2. S
j) 8x 1 x 1
42x 3 6
25x 3 ⇔ 23x 3
2 24x 6x 1 2
5x 36 ⇔
⇔ 3x 3
2
4x 6
x 1
5x 3
6 ⇔ 4x2 16x 48 0 ⇔
⇔ (x 6 ou x 2)
x 6 não serve, pois x . S {2}
77. (43 x)2 x 1 ⇔ (26 2x)2 x 20 ⇔ (6 2x)(2 x) 0 ⇔
⇔ (x 3 ou x 2), S = {2, 3}
79. a) 3x 1 3x 3x 1 3x 2 306 ⇔ 3x 1(1 3 9 27) 306 ⇔
⇔ 3x 1 32 ⇔ x 3, S {3}
b) 5x 2 5x 5x 1 505 ⇔ 5x 2(1 25 125) 505 ⇔
⇔ 5x 2 51 ⇔ x 3, S {3}
c) 23x 23x 1 23x 2 23x 3 240 ⇔ 23x(1 2 4 8) 240 ⇔
⇔ 23x 24 ⇔ x 4
3, S
4
3
d) 54x 1 54x 54x 1 54x 2 480 ⇔ 54x 1(1 5 25 125) 480 ⇔
⇔ 54x 1 5 ⇔ x 1
2, S
1
2
e) 3 2x 5 2x 1 5 2x 3 2x 5 2 ⇔ 2x(3 10 40 32) 2 ⇔
⇔ 2x 2 ⇔ x 1, S {1}
f) 2 4x 2 5 4x 1 3 22x 1 4x 20 ⇔
⇔ 22x 5 5 22x 2 3 22x 1 22x 20 ⇔
⇔ 22x(32 20 6 1) 20 ⇔ 22x 22 ⇔ x 1, S {1}
81. a) 4x 2x 2 0 ⇔ 22x 2x 2 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 y 2 0 ⇔ (y 2 ou y 1).
y 1 não convém, pois 2x 0.
De y 2 vem: 2x 2 ⇔ x 1.
S {1}
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19
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
b) 9x 3x 90 ⇔ 32x 3x 90 0
Fazendo 3x y, temos:
y2 y 90 0 ⇔ (y 10 ou y 9).
y 10 não convém, pois 2x 0.
De y 9 vem: 3x 32 ⇔ x 2.
S {2}
c) 4x 20 2x 64 0 ⇔ 22x 20 2x 64 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 20y 64 0 ⇔ (y 16 ou y 4).
De y 16 vem: 2x 24 ⇔ x 4; de y 4 vem: 2x 2 ⇔ x 2.
S {2, 4}
d) 4x 4 5 2x ⇔ 22x 4 5 2x 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 5y 4 0 ⇔ (y 4 ou y 1).
De y 4 vem: 2x 22 ⇔ x 2; de y 1 vem: 2x 20 ⇔ x 0.
S {0, 2}
e) 9x 3x 1 4 ⇔ 32x 3 3x 4 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 3y 4 0 ⇔ (y 4 ou y 1).
y 4 não convém, pois 2x 0.
De y 1 vem: 2x 20.
S {0}
f) 52x 5x 6 0
Fazendo 5x y, temos y2 y 6 0 ⇔ y .
S
g) 22x 2x 1 80 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 2y 80 0 ⇔ (y 10 ou y 8).
y 10 não convém.
De y 8 vem: 2x 23 ⇔ y 3.
S {3}
h) 102x 1 11 10x 1 1 0
Fazendo 10x y, temos:
y2
10
11y
10 1 0 ⇔ (y 10 ou y 1).
De y 10 vem: 10x 10 ⇔ x 1; de y 1 vem: 10x 100 ⇔ x 0.
S {0, 1}
i) 4x 1 43 x 257
Fazendo 4x y, temos:
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20
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
4y 64
4 257 0 ⇔ 4y2 64 257y 0 ⇔ y 64 ou y
1
4.
De y 64 vem: 4x 43 ⇔ x 3; de y
1
4 vem: 4x 41 ⇔ x 1.
S {1, 3}.
j) 5 22x 42x 1
2 8 0 ⇔ 5 22x 44x 1
8 0
Fazendo y 22x, temos:
5y y2
2 8 0 ⇔ y2 10y 16 0 ⇔ (y 8 ou y 2).
De y 8 vem: 22x 23 ⇔ x
3
2; de y 2 vem: 22x 2 ⇔ x
1
2.
S
1
2,
3
2
82. 25 x 124 5 x 125 ⇔ 52 x 124 5 x 125 0
Fazendo 5 x y, vem: y2 124y 125 0 ⇔ (y 125 ou y 1).
y 1 não convém.
De y 125 vem: 5 x 53 ⇔ x 3 ⇔ x 9. S {9}.
83. 4x2 2 3 2x2 3 160 ⇔ 22x2 4 3 2x2 3 160 0
Fazendo 2x2 y, temos:
16y2 24y 160 0 ⇔ y 4 ou y
5
2. y
5
2 não convém.
De y 4 vem: 2x2 22 ⇔ x2 2 ⇔ (x 2 ou x 2 ).
O produto é 2 2 2.
84. a) 3x 15
3x 1 3x 3
23
3x 2 ⇔ 3x
15
3x
3
3x
33
23
3x
32
Seja 3x t. Temos:
t
45
t
t
27
207
t ⇒ t2 243 ⇒ t 9 3
Desprezando a raiz negativa, pois t 3x 0, ∀x , temos t 9 3,
isto é, 3x 9 3 ⇔ 3x 352 ⇒ x
5
2. S
5
2
b) 2x 1 2x 2 3
2x 1
30
2x ⇔ 2x 2
2x
22
3
2x
2
30
2x
Fazendo 2x t, temos:
2t
t
4
6
t
30
t ⇒ t2 16 ⇒ t 4 (não convém) ou t 4,
isto é, 2x 4 ⇒ x 2. S = {2}
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21
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) 162x 3 162x 1 28x 12 26x 5 ⇔
⇔ 28x 12 28x 4 28x 12 26x 5 0 ⇔
⇔ 26x 5 28x 4 ⇔ x
1
2, S
1
2
85. Seja x
1
x t ⇒ x
1
x
2
t2 ⇒ x2 1
x2 t2 2
Então, temos:
3x2
1
x2
81
3x
1
x
⇔ 3t2 2 81
3t ⇔ 3t2 2 34 t ⇒ t2 t 6 0 ⇒
⇒ (t 3 ou t 2).
1ª possibilidade: t 3 ⇒ x 1
x 3 ⇒ x2 3x 1 0 ⇒
⇒ x 3 5
2
2ª possibilidade: t 2 ⇒ x 1
x 2 ⇒ x2 2x 1 0 ⇒ x 1
S 3 5
2,
3 5
2, 1
86. 2x
1
2x k ⇔ 22x k 2x 1 0
Pondo 2x y, temos y2 ky 1 0.
Examinando D k2 4, notamos que D 0, ∀k .
Então essa equação tem, para todo k, duas raízes reais e de sinais
contrários, pois seu produto é 1.
Conclusão: para qualquer k, a equação dada só admite uma única solução
y 2x k k2 4
2 0.
87.
3x 3x
3x 3x 2 ⇔ 3x 3x
2 3x 2 3x ⇔
⇔ 3x(1 2) 3x (1 2) ⇔ 32x 3 ⇔ x 1
2, S
1
2
88. 4x 3x
1
2 3x
1
2 22x 1 ⇔ 22x 22x 1 3x
1
2 3x
1
2 ⇔
⇔ 22x
3
2 3x
1
3 3 ⇔
22x
3x
2
3
4
3 ⇔
⇔ 4
3
x
43
33 ⇔
4
3
x
4
3
3
2 ⇔ x
3
2, S
3
2
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22
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
89. 3x 1
5
3x 1 4 31 3x ⇔ 3x 1 5 3x 1 4 31 3x 0 ⇔
⇔ 3x
3
5
3 3x 4 3
33x 0
Pondo y 3x, temos:
y
3
5
3y
12
y3 0 ⇔ y4 5y2 36 0.
Fazendo y2 t, temos: t2 5t 36 0 ⇔ (t 9 ou t 4).
t 4 não convém. De t 9 vem: y2 9 ⇒ y 3, pois y 3 não convém.
De y 3 vem: 3x 3 ⇔ x 1.
S {1}
90. 8x 3 4x 3 2x 1 8 0 ⇔ 23x 3 22x 3 2x 2 8 0
Fazendo 2x y, vem:
y3 3y2 6y 8 0. Lembrando da identidade:
a3 b3 (a b)(a2 ab b2), temos:
(y 2)(y2 2y 4) 3y(y 2) 0 ⇒ (y 2) (y2 5y 4) 0 donde:
y 2 0 ⇒ y 2, não convém pois y 2x 0, ∀x .
ou
y2 5y 4 0 ⇒ (y 1 ou y 4) ⇔ (2x 1 ou 2x 4) ⇔ (x 0 ou x 2)
S = {0, 2}
92. a) x2 3x 1. Para x 0, temos 02 1 (falso); x 0 não é solução;
para x 1, temos 11 1 (verdadeiro); x 1 é solução. Supondo
0 x 1, temos: x2 3x x0 ⇔ x 2
3.
S 1,
2
3
b) x2x 5 1. x 0 não é solução, pois 05 1 (falso); x 1 é
solução, pois 17 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
x2x 5 x0 ⇔ x 5
2 não convém.
S {1}
c) xx2 2 1. x 0 não é solução, pois 02 1 (falso); x 1 é
solução, pois 11 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
xx2 2 x0 ⇔ x 2 .
S 1, 2
d) xx2 7x 12 1. x 0 não é solução, pois 012 1 (falso); x 1 é
solução, pois 16 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
xx2 7x 12 x0 ⇔ (x 4 ou x 3).
S {1, 3, 4}
001-156-Manual-FME2.indd 22 23/07/13 16:15
23
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) xx2 3x 4 1. x 0 não é solução, pois 04 1 (falso); x 1 é
solução, pois 16 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
xx2 3x 4 x0 ⇔ (x 4 ou x 1), mas x 1 não convém.
S {1, 4}
93. a) xx x. x 0 não é solução, pois 00 0 (falso); x 1 é solução, pois
11 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos: xx x1 ⇔ x 1.
S {1}
b) xx 1 x. x 0 é solução, pois 01 0 (verdadeiro); x 1 é
solução, pois 12 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
xx 1 x ⇔ x 1 1 ⇔ x 0.
S {0, 1}. Como U
⇒ S {1}.
c) x4 2x x. x 0 é solução, pois 04 0 (verdadeiro); x 1 é
solução, pois 12 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
x4 2x x ⇔ x 3
2. S 0, 1,
3
2. Como U
⇒ S 1,
3
2.
d) x2x2 5x 3 x. x 0 é solução, pois 03 0 (verdadeiro); x 1
é solução, pois 10 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
x2x2 5x 3 x ⇔ 2x2 5x 2 0 ⇔ x 2 ou x 1
2.
S 0, 1, 2,
1
2. Como U
⇒ S 1, 2,
1
2.
e) xx2 2x 7 x. x 0 não é solução, pois 07 0 (falso); x 1
é solução, pois 18 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
xx2 2x 7 x ⇔ x2 2x 8 0 ⇔ (x 4 ou x 2).
S {1, 4}
94. (x2 x 1)(2x2 3x 2) 1. x 0 é solução, pois 12 1 (verdadeiro);
x 1 é solução, pois 13 1 (verdadeiro).
Supondo 0 x2 x 1 1 ⇔
x2 x 1 0 (é satisfeita para ∀x )
e
x2 x 0 ⇔ x 0 e x 1
temos:
(x2 x 1)(2x2 3x 2) 1 ⇔ (x2 x 1)(2x2 3x 2) (x2 x 1)0 ⇔
⇔ 2x2 3x 2 0 ⇔ x 1
2 ou x 2 . S
1
2, 0, 1, 2
95. xx3 8 1. x 0 não é solução, pois 08 1 (falso); x 1 é
solução, pois 17 1 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos:
xx3 8 x0 ⇔ x3 8 0 ⇔ x 2.
S {1, 2}
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24
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
96. x 2x
221
4
211
2
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
x x2
22 4
21 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
– 2 – 1
1
2
4
y
1 2 3 4 x
São duas soluções.
97. x2x 2 (x2 1 x)xx 1 x3 5 0. x 5 0 não é solução, pois 00 5 0 (falso); x 5 1
é solução, pois 1 2 2 1 1 5 0 (verdadeiro). Supondo 0 x 1, temos
(xx)2 2 (x2 1 x)xx 1 x3 5 0; fazendo xx 5 y, temos:
y2 2 (x2 1 x)y 1 x3 5 0 ⇔ (y 5 x2 ou y 5 x).
De y 5 x2 vem xx 5 x2 ⇔ x 5 2; de y 5 x vem xx 5 x ⇔ x 5 1.
S 5 {1, 2}
99. a) 4x 1 2 ? 14x 5 3 ? 49x ⇔ 4x
49x 1
2 ? 14x
49x 5
3 ? 49x
49x ⇔
⇔ 2
7
2x
1 2 ? 2
7
x
2 3 5 0
Fazendo
2
7
x
5 y, temos:
y2 1 2y 2 3 5 0 ⇔ (y 5 23 ou y 5 1).
y 5 23 não serve.
De y 5 1 vem:
2
7
x
5 1 ⇔ 2
7
x
5 2
7
0
⇔ x 5 0.
S 5 {0}
b) 22x 1 2 2 6x 2 2 ? 32x 1 2 5 0 ⇔ 4 ? 22x 2 2x ? 3x 2 18 ? 32x 5 0 ⇔
⇔ 4 ? 22x
2x ? 3x 2 2x ? 3x
2x ? 3x 2 18 ? 32x
2x ? 3x 5 0 ⇔ 4 ? 3
2
2x
2 18 ? 3
2
x
2 1 5 0.
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25
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo 3
2
x
y, vem:
4
y 18y 1 0 ⇔ 18y2 y 4 0 ⇔
⇔ y 1
2 ou y
4
9.
y 1
2 não convém.
De y 4
9 vem
3
2
x
4
9 ⇔ x 2.
S {2}
100. a) 4x 16y ⇔ 22x 16y 0
2x 1 4y ⇔ 2 2x 4y 0
Fazendo 2x z, vem:
z2 16y 0 (1)
2z 4y 0 ⇔ z 2y (2)
De (2) em (1) vem 4y2 16y 0 ⇔ (y 0 ou y 4).
Para y 0, temos z 0; portanto, 2x 0 impossível.
Para y 4, temos z 8; portanto, 2x 23 ⇔ x 3.
S {(3, 4)}
b) 22(x2 y) 100 52(y x2)
x y 5 ⇔
22(x2 y) 22 52(x2 y) 2
y 5 x ⇔
⇔ 22x2 2y 2 52x2 2y 2 (1)
y 5 x (2)
De (2) em (1) vem 22x2 2x 12 52x2 2x 12.
Fazendo 2x2 2x 12 z, vem:
2z 5z ⇔ 2z 5z 1 ⇔ 10z 1 ⇔ z 0.
Sendo assim: 2x2 2x 12 0 ⇔ (x 3 ou x 2).
Para x 3 temos y 8; para x 2, temos y 3.
S {(2, 3), (3, 8)}
c) 2x 2y 24 (1)
x y 8 ⇔ x 8 y (2)
De (2) em (1) vem:
28 y 2y 24 ⇔ 28 22y 24 2y 0.
Fazendo 2y z, vem:
z2 24z 256 0 ⇔ (z 32 ou z 8).
z 32 não convém.
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26
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
De z 8 vem 2y 23 ⇔ y 3.
Para y 3 ⇒ x 5.
S {(5, 3)}
d) 3x 2(y2) 77
3
x2 2
y2
2 7
Fazendo 3x a e 2(y2) b, temos:
a b 77 ⇔ a 77 b (1)
a b 7 ⇔ ( a )2 (7 b )2 ⇔ a b 49 14 b (2)
De (1) em (2) vem 77 b b 49 14 b ⇔ b 4 (3).
De (3) em (1) vem a 81. Como 3x a ⇔ 3x 34 ⇔ x 4.
Como 2(y2) b ⇔ 2(y2) 4 ⇔ y 2 .
S {(4, 2 ), (4, 2 )}
101. 3x y 1
2x 2y 2 ⇔
x y 0 (1)
x 2y 1 (2)
De (2) (1) vem y 1 e x 1, então x y 2.
102. 2x 3y 108 ⇔ 2x 3y 22 33 ⇔ (x 2 e y 3)
4x 2y 128 ⇔ 22x y 27 ⇔ 2x y 7 (que aceita a solução (2, 3))
O produto é 2 3 6.
103. xy2 15y 56 1
y x 5 ⇔ y 5 x
x 0 não é solução, pois 0y2 15y 56 1 (falso).
x 1 é solução, pois 1y2 15y 56 1 (verdadeiro).
Como y 5 x ⇒ y 6 ⇒ (1, 6). Supondo 0 x 1, temos:
xy2 15y 56 x0 ⇔ y2 15y 56 0 ⇔ (y 8 ou y 7).
Para y 8, temos x 3 ⇒ (3, 8).
Para y 7, temos x 2 ⇒ (2, 7).
S {(1, 6), (3, 8), (2, 7)}
104. a) xx y yx y (1)
x2y 1 ⇔ y x2 (2)
x 0 não é solução, pois 0y yy e y 0, pois x2 y 1.
x 1 é solução, pois 12 y 1 ⇒ y 1 e 12 10 (verdadeiro).
De (2) em (1) vem:
xx x2 (x2)x x2
⇔ x x2 2x 2x2 ⇔
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27
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇔ x 1
x2 2x
2
x2 ⇔ x 3
13.
Como y x2 ⇒ y 3
13
2
⇔ y 323.
S (1, 1) 3
13, 3
23
b) xy yx (1)
x3 y2 ⇔ y x
3
2 (2)
De (2) em (1) vem xx
23 x
3x2.
x 0 é solução, pois 00 00 (verdadeiro); então, x 0 e y 0
satisfazem.
x 1 é solução, pois 11 132 (verdadeiro); então, x 1 e y 1
satisfazem.
Supondo 0 x 1, temos:
x32
3x
2 ⇔ x 2x
12
3 0 ⇔ x 0 ou x 9
4.
Como y x3 ⇒ y 9
4
3
⇒ y 27
8.
S (0, 0), (1, 1),
9
4, 27
8. Como U
⇒ S (1, 1),
9
4, 27
8.
105. xy yx ⇔ x y
xy
xm yn ⇔ x ynm (2)
⇒ yxy y
nm ⇒ mx ny (1)
x 1 é solução, pois 1y y1 ⇒ y 1; então, 1m 1n (verdade)
(1, 1) é solução. De (2) em (1) vem:
m ynm ny ⇔ y
n
m
mn m
.
Como x ynm ⇒ x
n
m
mn m
nm
⇔ x n
m
nn m
.
S (1, 1), n
m
nn m,
n
m
nn m
107. a) 32x (2m 3) 3x (m 3) 0
Fazendo y 3x, temos y2 (2m 3)y (m 3) = 0. Como
y 0, f(y) = y2 (2m 3)y (m 3) deve admitir pelo menos
uma raiz real e positiva.
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28
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
1) as duas raízes são positivas:y1 y2 0 ⇒ 0, S 0 e a f(0) 0 0 ⇒ 4m2 8m 3 0 ⇒
⇒ m 2 7
2 ou m
2 7
2 I
S 0 ⇒ 2m 3 0 ⇒ m 3
2 II
a f(0) 0 ⇒ m 3 0 ⇒ m 3 III
S1 I II III m | m 2 7
22) somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2 ⇒
y1 0 y2 ⇒ a f(0) 0 ⇒ m 3,
S2 {m | m 3}
y1 0 e y2 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒
m 3
2 e m 3 , S
3
S S1 S2 S3 m | m 3 ou m 2 7
2b) 22x 1 (2m 3) 2x 1 (7 2m) 0 Fazendo 2x y, temos: 2y2 (2m 3) 2y (7 2m) 0. Como y 0, temos:
1) as duas raízes são positivas: y1 y2 0 ⇒ 0, S 0 e a f(0) 0
0 ⇒ 4m2 8m 5 0 ⇒ m 1
2 ou m
5
2 I
S 0 ⇒ 2(2m 3)
2 0 ⇒ m
3
2 II
a f(0) 0 ⇒ 2(7 2m) 0 ⇒ m 7
2 III
S1 I II III m | 5
2 m
7
2
2) somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2 ⇒
y1 0 y2 ⇒ a f(0) 0 ⇒ 14 4m 0 ⇒
⇒ m 7
2, S2 m | m
7
2
y1 0 e y2 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒ (2m 3 0 e
7 2m 0) ⇒ m 3
2 e m
7
2, S
3
7
2
S S1 S2 S3 m | m 5
2
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29
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) m 9x (2m 1) 3x (m 1) 0 Fazendo y 3x, temos: my2 (2m 1) y (m 1) 0. Como y 0, temos:
1) as duas raízes são positivas: y1 y2 0 ⇒ 0, S 0 e a f(0) 0
0 ⇒ (2m 1)2 4m2 4m 0 ⇒ m 1
8 I
S 0 ⇒ 2m 1
m 0 ⇒ m
1
2 ou m 0 II
a f(0) 0 ⇒ m(m 1) 0 ⇒ (m 1 ou m 0) IIIS1 I II III {m | m 1}
2) somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2 ⇒
y1 0 y2 ⇒ a f(0) 0 ⇒ m(m 1) 0 ⇒
⇒ 0 m 1, S2 {m | 0 m 1}y1 0 e y2 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒
⇒ 2m 1
m 0 e m 1 0 ⇒ m
1
2 ou
m 0) e (m 1), S3 {1}
S S1 S2 S3 {m | m 0}108. m(2x 1)2 2x(2x 1) 1 0
Fazendo 2x y, temos: m(y 1)2 y(y 1) 1 0 ⇒
⇒ (m 1)y2 (2m 1)y (m 1) 0, mas y 0, então:As duas raízes são positivas:
y1 y2 0 ⇒ 0, S 0 e a f(0) 0
0 ⇒ (2m 1)2 4(m 1)(m 1) 0 ⇒ m 5
4 I
S 0 ⇒ 2m 1
m 1 0 ⇒ m
1
2 ou m 1 II
a f(0) 0 ⇒ m2 1 0 ⇒ (m 1 ou m 1) III
S1 I II III m | m 1 ou 1 m 5
4
Somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2 ⇒
y1 0 y2 ⇒ a f(0) 0 ⇒ m2 1 0 ⇒
⇒ 1 m 1, S2 {m | 1 m 1}
y1 0 e y2 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒
⇒ m 1
2 ou m 1 e (m 1), S3 {1}
Notemos que, para m 1, a equação proposta se reduz a:2x 2 0, que apresenta uma raiz real (x 1). Assim,
S S1 S2 S3 m | m 5
4.
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30
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
109. 2x 2 x m ⇔ 22x m 2x 1 0
Fazendo 2x y, temos: y2 my 1 0, mas y 2x 0, então:
As duas raízes são positivas:
y1 y2 0 ⇒ 0 e S 0 e a f(0) 0
0 ⇒ m2 4 0 ⇒ (m 2 ou m 2) I
S 0 ⇒ m 0 II
a f(0) 0 ⇒ 1 0 (V)
S1 I II {m | m 2}
Somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2 ⇒ y1 0 y2 ⇒ a f(0) 1 0 (F), S2
y1 0 e y2 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒
⇒ m 0 e f(0) 1 0, S3
S S1 S2 S3 {m | m 2}
110. ax ax
ax ax m ⇔ (m 1)a2x m 1 0
Fazendo y ax, temos (m 1)y2 (m 1) 0.
As duas raízes são positivas:
0 ⇒ 4(m 1)(m 1) 0 ⇒ 4m2 4 0 ⇒
⇒ (m 1 ou 1) I
S 0 ⇒ 0 0 (F); m que satisfaz II
a f(0) 0 ⇒ (m 1)(m 1) 0 ⇒ m2 1 0 ⇒
⇒ ( 1 m 1) III
Tendo em vista I , II , III , segue que S1 .
Somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2 ⇒ y1 0 y2 ⇒ a f(0) 0 ⇒ m2 1 0
S2 {m | m 1 ou m 1}
y1 0 e y2 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒
⇒ (0 0 (F) e m 1 0) ⇒
⇒ S3
S S1 S2 S3 {m | m 1 ou m 1}
111. a2x (m 1)ax (m 1) 0
Fazendo ax y, temos:
y2 (m 1)y (m 1) 0
As duas raízes são positivas:
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
D 0 ⇒ m2 2m 5 0 ⇔ ∀m I
S 0 ⇒ m 1 0 ⇒ m 1 II
a f(0) 0 ⇒ m 1 0 ⇒ m 1 III
S1 I II III
{m | m 1}
Somente uma raiz é positiva:
y1 0 y2
y1 0 y2 ⇒ a f(0) 0 ⇒ m 1 0 ⇒ m 1
S2 {m | m 1}
y1 0 e y 0 ⇒ (S 0 e f(0) 0) ⇒
⇒ (m 1 e m 1)
S3 {1}
S S1 S2 S3
119. a) 8 2x 32 ⇔ 23 2x 25 ⇔ 3 x 5
S {x | 3 x 5}
b) 0,0001 (0,1)x 0,01 ⇔ 104 10x 102 ⇔ 2 x 4
S {x | 2 x 4}
c) 1
27 3x 81 ⇔ 33 3x 34 ⇔ 3 x 4
S {x | 3 x 4}
d) 1
8 4x 32 ⇔ 23 22x 25 ⇔
3
2 x
5
2
S x | 3
2 x
5
2
e) 8
27
4
9
x
3
2 ⇔
2
3
3
2
3
2x
2
3
1
⇔ 1
2 x
3
2
S x | 1
2 x
3
2
f) 0,1 100x 1 000 ⇔ 101 102x 103 ⇔ 1
2 x
3
2
S x | 1
2 x
3
2
g) 4 8x 32 ⇔ 22 23 x 25 ⇔ 2 3 x 5
se x 0 ⇒ x x, então: 2 3x 5 ⇔ 2
3 x
5
3 ou
se x 0 ⇒ x x, então: 2 3x 5 ⇔ 5
3 x
2
3 .
S x | 5
3 x
2
3 ou
2
3 x
5
3
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32
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
h) 25 1252x 1 125 ⇔ 52 56x 3 53
⇔ 5
6 x 1
S x | 5
6 x 1
i) (0,3)x 5 (0,09)2x 3 (0,3)x 6 ⇔
(0,3)x 5 (0,3)4x 6 (0,3)x 6 ⇔
(x 5 4x 6 e 4x 6 x 6) ⇔ x 11
3 e x 0
S
j) 1 7x2 4x 3 343 ⇔ 70 7x2 4x 3 73 ⇔ 0 x2 4x 3 3 ⇔
⇔ (x2 4x 3 0 e x2 4x 3 3)
S {x | 0 x 1 ou 3 x 4}
k) 3x2 3 3x2 5x 6 9 ⇔ 3x2 3 3x2 5x 6 32 ⇔
⇔ (x2 5x 6 x2 3 e x2 5x 6 2) ⇔ x 9
5 e 1 x 4
S x | 1 x 9
5
121. a) (2x 1)2x 3 128 ⇔ 22x2 3x 2x 3 27 ⇔ 2x2 x 10 0 ⇔
⇔ 2 x 5
2
S x | 2 x 5
2
b) (27x 2)x 1 (9x 1)x 3 ⇔ (33x 6)x 1 (32x 2)x 3 ⇔ x2 x 0 ⇔
⇔ (x 1 ou x 0)
S {x x 1 ou x 0}
c) 2
3 3x 2
4
9
2x 1
8
27
x 3
⇔ 2
3 3x 2
2
3
4x 2
2
3
3x 9
⇔
⇔ x 9
4
S x | x 9
4
d) 253 4x : 1252 x 53x 1 ⇔ 55x 53x 1 ⇔ x 1
8
S x | x 1
8
e) 0,043x 2 251 4x
0,0083 x 1254 3x 1 ⇔ (5 2)3x 2 (52)1 4x
(5 3)3 x (53)4 3x 1 ⇔
⇔ 514x 2
56x 3 1 ⇔
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33
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇔ 58x 5 50 ⇔ x
5
8
S x | x 5
8
f) 22x 3x 1 : 32
1x 1 4 ⇔ 2
2x 3x 1
: 2
5x 1 22 ⇔
⇔
2x 3
x 1
5
x 1 2 0 ⇔
6x 4
(x 1)(x 1) 0 ⇔
⇔ x 1 ou 2
3 x 1
S x | x 1 ou 2
3 x 1
g) (0,1) 1
x 1 (0,01) 1
x 3 (0,001) 1
x 2 ⇔ (0,1) 1
x 1 (0,1) 2
x 3 (0,1) 3
x 2 ⇔
⇔ 1
x 1
2
x 3
3
x 2 ⇔
x 1
(x 1)(x 3) (x 2) 0 ⇔
⇔ (3 x 2 ou 1 x 1)
S {x | 3 x 2 ou 1 x 1}
h) 3
2
1x 1
: 3
2
1x 2
27
8
1x 3
1x
⇔
3
2
1x 1
1x 2
3
2
3x2 3x
⇔
⇔ 1
x 1
1
x 2
3
x2 3x ⇔
6x 6
(x2 3x)(x 1) (x 2) 0
S {x | x 3 ou 2 x 1 ou 0 x 1}
123. a) 2x 1 2x 2x 1 2x 2 2x 3 240 ⇔
⇔ 2x 1
2 1 2 4 8 240 ⇔ 2x 25 ⇔ x 5
S {x | x 5}
b) 3x 5 3x 4 3x 3 3x 2 540 ⇔
⇔ 3x(243 81 27 9) 540 ⇔ 3x 3 ⇔ x 1
S {x x 1}
c) 4x 1 22x 1 4x 22x 1 4x 1 144 ⇔
⇔ 22x 4 2 1 1
2
1
4 144 ⇔ 22x 26 ⇔ x 3
S {x | x 3}
d) 32x 1 9x 32x 1 9x 1 42 ⇔
⇔ 32x 3 1 1
3
1
9 42 ⇔ 32x 33 ⇔ x
3
2
S x | x 3
2
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
e) 3 22x 5 9 22x 3 5 4x 1 7 22x 1 3 4x 60 ⇔
⇔ 22x(3 25 9 23 5 4 7 2 3) 60 ⇔
⇔ 22x
22 ⇔ x 1
S {x | x 1}
f) 3(x2) 5 3(x2 1)
2 3(x2 2) 4 3(x2 3) 3(x2 4) 63 ⇔
⇔ 3(x2) (1 5 3 2 32 4 33 34) 63 ⇔ 3(x2) 7 63 ⇔
⇔ 3(x2) 9 ⇔ x2 2 0 ⇔ ( 2 x 2)
S {x | 2 x 2 }
125. a) 4x 6 2x 8 0 ⇔ 22x 6 2x 8 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 6y 8 0 ⇔ 2 y 4 ⇔ 2 2x 4 ⇔ 1 x 2.
S {x | 1 x 2}
b) 9x 4 3x 1 27 0 ⇔ 32x 12 3x 27 0
Fazendo 3x y, temos:
y2 12y 27 0 ⇒ (y 3 ou y 9) ⇔
⇔ (3x 3 ou 3x 9) ⇔ (x 1 ou x 2).
S {x | x 1 ou x 2}
c) 52x 1 26 5x 5 0 ⇔ 5 52x 26 5x 5 0
Fazendo 5x y, temos:
5y2 26y 5 0 ⇔ 1
5 y 5 ⇒ 51 5x 5 ⇒ 1 x 1.
S {x | 1 x 1}
d) 22x 2x 1 8 0 ⇔ 22x 2 2x 8 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 2y 8 0 ⇔ 2 y 4 ⇒ 2 2x 22 ⇔ x 2, pois
2x 2, ∀x .
S {x | x 2}
e) 32x 3x 1 3x 3 ⇔ 32x 3 3x 3x 3 0
Fazendo 3x y, temos:
y2 3y y 3 0 ⇔ (y 1 ou y 3) ⇒ (3x 1 ou 3x 3) ⇔
⇔ (x 0 ou x 1)
S {x | x 0 ou x 1}
f) 2x(2x 1) 2 ⇔ 22x 2x 2 0
Fazendo 2x y, temos:
y2 y 2 0 ⇔ 2 y 1 ⇒ 2 2x 20 ⇔ x 0, pois
2x 2, ∀x
S {x | x 0}
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35
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
g) 25x 6 5x 5 0 ⇔ 52x 6 5x
5 0
Fazendo 5x y, temos:
y2 6y 5 0 ⇔ (y 5 ou y 1) ⇒ (5x 5 ou 5x 1),
5x 5 impossível e 5x
1, ∀x .
S
h) 3x(3x 6) 3(2 3x 1 3) ⇔ 32x 4 3x 9 0
Fazendo 3x y, temos:
y2 4y 9 0; ∀y y2 4y 9 0.
S ∅
i) 2x 3 2x 6 ⇔ 8 22x 6 2x 1 0
Fazendo 2x y, temos:
8y2 6y 1 0 ⇒ 1
4 y
1
2 ⇒ 22
2x 21 ⇔ 2 x 1.
S {x | 2 x 1}
j) 3(3x 1) 1 3x ⇔ 3 32x 4 3x 1 0
Fazendo 3x y, temos:
3y2 4y 1 0 ⇒ y 1
3 ou y 1 ⇒ 3x
1
3 ou 3x 1 ⇔
⇔ (x 1 ou x 0).
S {x | x 1 ou x 0}.
k) 4x 32 2x 2 2x 1
1 ⇔ 8 22x 4 2x 2 2x 1 0
Fazendo 2x y, temos:
8y2 6y 1 0 ⇒ y 1
4 ou y
1
2 ⇒ 2x 22 ou 2x 21 ⇔
⇔ (x 2 ou x 1).
S {x | x 2 ou x 1}
l) e2x ex 1 ex e 0 ⇔ e2x (e 1)ex e 0
Fazendo ex y, temos:
y2 (e 1)y e 0 ⇒ 1 y e ⇒ e0 ex e ⇔ 0 x 1.
S {x | 0 x 1}
126. 22x 2 0,75 2x 2 1 ⇔ 4 22x 3 2x 1 0
Fazendo 2x y, temos:
4y2 3y 1 0 ⇒ 1
4 y 1 ⇒
1
4 2x 1 ⇒ x 0, pois
2x 1
4 ∀x .
S {x | x 0}
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36
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
127. 2x 5 3x 3x 2 2x 2 2x ⇔ 2x (25 22 1) 3x (1 32) 0 ⇔
⇔ 2
3
x
2
3
3
⇔ x 3
S {x | x 3}
128. ex 1
1 x2 0
Como ex 1 0 ∀x , devemos ter: 1 x2 0 ⇒
⇒ (x 1 ou x 1)
S {x | x 1 ou x 1}
130. a) x5x 2 1
1º caso: x 0 ⇒ 02 1 (não se define)
x 1 ⇒ 13 1 (falso) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x5x 2 x0 ⇔ x 2
5 II
I II ⇒ x 1
S2 {x | x 1}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x5x 2 x0 ⇔ 5x 2
0 ⇒ x 2
5 IV
III IV ⇒ 0 x 2
5
S3 x | 0 x 2
5
S S1 S2 S3 x | 0 x 2
5 ou x 1
b) x4x 3 1
1º caso: x 0 ⇒ 03 1 (não se define)
x 1 ⇒ 11 1 (falso) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x4x 3 x0 ⇔ x 3
4 II
I II ⇒ S2 ∅
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x4x 3 x0 ⇔ x 3
4 IV
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37
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
III IV ⇒ 3
4 x 1
S3 x |
3
4 x 1
S S1 S2 S3 x | 3
4 x 1
c) x2x2 x 1 1
1º caso: x 0 ⇒ 01 1 (não se define)
x 1 ⇒ 12 1 (falso) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x2x2 x 1 x0 ⇔ 1 x
1
2 II
I II ⇒ S2 ∅
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x2x2 x 1 x0 ⇔ x
1 ou x 1
2 IV
II IV ⇒ S3
x | 1
2 x 1
S S1 S2 S3 x | 1
2 x 1
d) x2x2 5x 3 1
1º caso: x 0 ⇒ 03 1 (não se define)
x 1 ⇒ 16 1 (falso) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x2x2 5x 3 x0 ⇔ x 1
2 ou x 3 II
I II ⇒ S2 {x | x 3}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x2x2 5x 3 x0 ⇔1
2 x 3 IV
III IV ⇒ S3 {x | 0 x 1}
S S1 S2 S3 {x | 0 x 1 ou x 3}
e) x3x2 7x 2 1
1º caso: x 0 ⇒ 02 1 (verdadeiro)
x 1 ⇒ 12 1 (verdadeiro) ⇒ S1 {0, 1}
2º caso: Se x 1 I , temos:
x3x2 7x 2 x0 ⇔ 1
3 x 2 II
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38
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
I II ⇒ S2 {x | 1 x 2}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x3x2 7x 2 x0 ⇔ x 1
3 ou x 2 IV
III IV ⇒ S3 x | 0 x
1
3
S S1 S2 S3 x |0 x 1
3 ou 1 x 2
f) x4x2 11x 6 1
1º caso: x 0 ⇒ 06 1 (falso)
x 1 ⇒ 11 1 (verdadeiro) ⇒ S1 {1}
2º caso: Se x 1 I , temos:
x4x2 11x 6 x0 ⇔ x 3
4 ou x 2 II
I II ⇒ S2 {x x 2}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x4x2 11x 6 x0 ⇔ 3
4 x 2 IV
III IV ⇒ S3 x |
3
4 x 1
S S1 S2 S3 x | 3
4 x 1 ou x 2
131. x3x2 4x 4 1
1º caso: x 0 ⇒ 04 1 (F)
x 1 ⇒ 15 1 (F) ⇒ S1 ∅
2º caso: x 1, ou seja, x 1 ou x 1 I
Temos:
x3x2 4x 4 1 ⇔ 3x2 4x 4 0 ⇔ x
2
3 ou x 2 II
I II ⇒ S2 {x | x 1 ou x 2}
3º caso: 0 x 1, ou seja, 1 x 1 e x 0 III
Temos:
x3x2 4x 4 1 ⇔ 3x2 4x 4 0 ⇔
2
3 x 2 IV
III IV ⇒ S3 x |
2
3 x 1 e x 0
S S1 S2 S3 x | x 1 ou 2
3 x 1 e x 0 ou x 2
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
132. a) x2x 4 x
1º caso: x 0 ⇒ 04 0 (F)
x 1 ⇒ 16 1 (F) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x2x 4 x1 ⇔ x
3
2 II
I II ⇒ S2 ∅
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x2x 4 x1 ⇔ x 3
2 IV
III IV ⇒ S3
{x
| 0 x 1}
S S1 S2 S3 {x
| 0 x 1}
b) x4x 1 x
1º caso: x 0 ⇒ 01 0 (F)
x 1 ⇒ 13 1 (V) ⇒ S1 {1}
2º caso: Se x 1 I , temos:
x4x 1 x1 ⇔ x 1
2 II
I II ⇒ S2 {x
| x 1}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x4x 1 x1 ⇔ x 1
2 IV
III IV ⇒ S3 x
| 0 x
1
2
S S1 S2 S3 x
| 0 x 1
2 ou x 1
c) x4x2 17x 5 x
1º caso: x 0 ⇒ 05 0 (F)
x 1 ⇒ 18 1 (F) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x4x2 17x 5 x1 ⇔ 1
4 x 4 II
I II ⇒ S2 {x
| 1 x 4}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
4x2 17x 4 0 ⇔ x 1
4 ou x 4 IV
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40
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
III IV ⇒ S3
x
| 0 x 1
4
S S1 S2 S3 x
| 0 x 1
4 ou 1 x 4
d) x5x2 11x 3 x
1º caso: x 0 ⇒ 03 0 (F)
x 1 ⇒ 13 1 (F) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x5x2 11x 3 x1 ⇔ x 1
5 ou x 2 II
I II ⇒ S2 {x
| x 2}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
5x2 11x 2 0 ⇔
1
5 x 2 IV
III IV ⇒ S3
x
| 1
5 x 1
S S1 S2 S3 x
| 1
5 x 1 ou x 2
e) xx2 5x 7 x
1º caso: x 0 ⇒ 07 0 (V)
x 1 ⇒ 13 1 (V) ⇒ S1 {0,1}
2º caso: Se x 1 I , temos:
xx2 5x 7 x1 ⇔ 2 x 3 II
I II ⇒ S2 {x
| 2 x 3}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x2 5x 6 0 ⇔ (x 2 ou x 3) IV
III IV ⇒ S3 {x
| 0 x 1}
S S1 S2 S3 {x
| 0 x 1 ou 2 x 3}
133. a) x(x2) x2x
1º caso: x 0 ⇒ 00 00 (F)
x 1 ⇒ 11 11 (F) ⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
xx2 x2x ⇔ x2 2x 0 ⇔ (x 0 ou x 2) II
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41
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
I II ⇒ S2 {x
| x 2}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
xx2 x2x ⇔ 0 x 2 IV
III IV ⇒ S3
{x
| 0 x 1}
S S1 S2 S3 {x
| 0 x 1 ou x 2}
b) x2 xx2 7x 8
1º caso: x 0 ⇒ 02 08 (F)x 1 ⇒ 12 12 (F)
⇒ S1 ∅
2º caso: Se x 1 I , temos:
x2 xx2 7x 8 ⇔ x2 7x 6 0 ⇔ (x 1 ou x 6) II
I II ⇒ S2 {x
| x 6}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x2 xx2 7x 8 ⇔ 1 x 6 IV
III IV ⇒ S3 ∅
S S1 S2 S3 {x
| x 6}
c) xx2 x 2 x4
1º caso: x 0 ⇒ 02 04 (F)x 1 ⇒ 1 1 (V)
⇒ S1 {1}
2º caso: Se x 1 I , temos:
xx2 x 2 x4 ⇔ (x 2 ou x 3) II
I II ⇒ S2 {x
| x 3}
3º caso: Se 0 x 1 III , temos:
x2 x 6 0 ⇔ (2 x 3) IV
III IV ⇒ S3
{x
| 0 x 1}
S S1 S2 S3 {x
| 0 x 1 ou x 3}
CAPÍTULO III — Logaritmos
135. a) log4 16 x ⇔ 4x 16 ⇔ 4x 42 ⇔ x 2
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42
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) log3
1
9 x ⇔ 3x
1
9 ⇔ 3x 32
⇔ x 2
c) log81
3 x ⇔ 81x 3 ⇔ 34x 3 ⇔ x 1
4
d) log12
8 x ⇔ 1
2
x
8 ⇔ 2x 23 ⇔ x 3
e) log7
1
7 x ⇔ 7x
1
7 ⇔ 7x
71 ⇔ x 1
f) log27
81 x ⇔ 27x 81 ⇔ 33x 34 ⇔ x 4
3
g) log125
25 x ⇔ 125x 25 ⇔ 53x 52 ⇔ x 2
3
h) log14
32 x ⇔ 1
4
x
32 ⇔ 22x 25 ⇔ x 5
2
i) log9
1
27 x ⇔ 9x
1
27 ⇔ 32x 33 ⇔ x
3
2
j) log0,25
8 x ⇔ (0,25)x 8 ⇔ 1
4
x
8 ⇔ x 3
2
k) log25
0,008 x ⇔ 25x 0,008 ⇔ 52x 53 ⇔ x 3
2
l) log0,01
0,001 x ⇔ (0,01)x 0,001 ⇔ 102x 103 ⇔ x 3
2
136. log10
M1
M2
R1 R
2 8 6 2 ⇒
M1
M2
102 100
137. a) log2
2 x ⇔ 2x 2
12 ⇔ x
1
2
b) log7
3 49 x ⇔ ( 73 )x 72 ⇔ x 6
c) log100
103
x ⇔ 100x 103
⇔ 102x 1013 ⇔ x
1
6
d) log8 32 x ⇔ ( 8)x 32 ⇔ 2
3x2
2
52 ⇔ x
5
3
e) log5
3 54
x ⇔ ( 53 )x 5
4 ⇔ 5
x3 5
14 ⇔ x
3
4
f) log27
93
x ⇔ ( 27)x 93
⇔ 33x2 3
23 ⇔ x
4
9
g) log13
27 x ⇔ 1
3
x
27 ⇔ 3
x2 3
32 ⇔ x 3
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43
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
h) log4
3
1
8 x ⇔ ( 4
3 )x 1
8 ⇔ 2
2x3 2
32
⇔ x 9
4
i) log3
4
3
33 x ⇔ ( 3
4 )x
3
33 ⇔ 3
x4 3
23 ⇔ x
8
3
138. log35
325
9 x ⇔
3
5
x
325
9
3
5
23
⇔ x 2
3
V 2
3
139. a) log100 0,001 x ⇔ 100x 0,001 ⇔ 102x
103 ⇔ x
3
2
log1,5
4
9 y ⇔ (1,5)y
4
9 ⇔
3
2
y
3
2
2
⇔ y 2
log1,25
0,64 z ⇔ (1,25)z 0,64 ⇔ 5
4
z
16
25
5
4
2
⇔ z 2
S x y z 3
2 2 2
3
2
b) log8
2 x ⇔ 8x 2 ⇔ 23x 212 ⇔ x
1
6
log2 8 y ⇔ ( 2)y 8 ⇔ 2
y
2
23 ⇔
y 6
log2 8
z ⇔ ( 2)z 8 ⇔ 2
z2
2
32 ⇔ z 3
S x y z 1
6 6 3
19
6
c) log9
3 1
27 x ⇔ ( 9
3)x
1
27 ⇔ 3
2x3 2
32 ⇔ x
9
4
log 0,53 8
y ⇔ ( 0,5
3)y 8 ⇔ 2
y
3 232 ⇔ y
9
2
log100
3 0,16
z ⇔ ( 1003
)z 0,16
⇔ 102z3
10
16 ⇔ z
1
4
S x y z 9
4
9
2
1
4 2
140. log4 (log3 9) log4
2 1
2
log2 (log81 3) log2
1
4 2
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44
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
log0,8
(log16
32) log0,8
5
4 x ⇔
4
5
x
5
4 ⇔ x 1
S 1
2 2 1
5
2
141. a) antilog3 4
x ⇔ log
3 x 4 ⇔ x 34
81
b) antilog16
1
2 x ⇔ log
16x
1
2 ⇔ x 16
12 4
c) antilog3 (2) x ⇔ log
3x 2 ⇔ x 32
1
9
d) antilog12
(4) x ⇔ log12
x 4 ⇔ x 1
2
4
16
142. 2log3(x 4) 8 23 ⇔ log
3 (x 4)
3 ⇔ x 4 33
⇔ x 23
144. a) 3log32 2
b) 5log2 3 (22)log
2 3 (2log
2 3)2
32
9
c) 5log25
2 2512
log25 2 (25log
252)
12
2
12
2
d) 8log4 5 4
32
log4
5 (4log
4 5)
32
5
32
5 5
e) 21 log2 5
21 2log2 5
2 5 10
f) 32 log3 6 32 3log
3 6 32 (3log
3 6)1 32 61
3
2
g) 81 log2 3 81 8log
2 3 81 (2log
2 3)3 8 33
216
h) 92 log3 2 92 9 log
3 2
92 (3log3 2)2
92 ( 2)2
81
2
145. a) antilog2 (log
2 3) x ⇔ log
2 x log
2 3 ⇔ x 3
b) antilog3 (log
3 5) x ⇔ log
3 x log
3 5 ⇔ x 5
146. A 5log25
2 ( 25)log
25 2 (25log
25 2)
12
212
A3 212
3
232 2 2
147. 4log2 A
(22)log2 A
(2log
2 A)2 A2
então
A2 2A 2 0 ⇒ A 1 3
mas A 0, então A 1 3.
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45
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
148. log9
3 x 0,75 ⇔ x ( 93
)0,75 323
34
312
x2 1 3 1 2
149. log16
x 2
3 ⇔ x (16)
23
(24)23
283
log14
x log14
283 y ⇔
1
4
y
283 ⇔ 22y
283 ⇔ y
4
3
150. loga x 4 ⇔ a4 x (1)
loga3
x 8 ⇔ a
3
8
x ⇔ a8 38x (2)
Substituindo (1) em (2), vem:
x2 38x ⇒ (x 0 ou x 38)
Como x 0 não convém, x 38 6 561.
151. log2 3
144 x ⇔ (2 3)x 144 ⇔ 2x 3x2
24 32 ⇔ x 4
152. logx 2 1 ⇔ x1 2
212 ⇔ x 2
12
2
2
154. a) log5
5a
bc log
5 (5a) log
5 (bc) 1 log
5 a log
5 b
log
5 c
b) log3
ab2
c log
3 (ab2) log
3 c log
3 a 2 log
3 b
log
3 c
c) log2 a2 b
c3 log
2 (a2 b ) log
2 c 3
2 log2 a
1
2 log
2 b
1
3 log
2 c
d) log3
ab3
c a23 log3 (ab3) log
3 (c a23
)
log3
a 3 log3
b log3
c 2
3 log
3 a
1
3 log
3 a 3 log
3 b log
3 c
e) log ab3
c2 1
2 log
ab3
c2 1
2 log (ab3)
1
2 log c2
1
2 log a
3
2 log b log c
001-156-Manual-FME2.indd 45 23/07/13 16:16
46
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
f) log 3a
b2 c
1
3 log
a
b2 c
1
3 log a
1
3 log (b2 c )
1
3 log a
2
3 log b
1
6 log c
g) log2 4a ab
b a2b3
1
2 log
2 4a ab
b a2b3
1
2 log
2 (4a ab)
1
2 log
2(b a2b
3)
1
2 log
2 4
1
2 log
2 a
1
2 log
2ab
1
2 log
2 b
1
2 log
2 a2b3
1 1
2 log
2 a
1
4 log
2 a
1
4 log
2 b
1
2 log
2 b
2
6 log
2 a
1
6 log
2 b 1
5
12 log
2 a
5
12 log
2 b
h) log 3 a4 ab
b2 bc3
2
2
3 log
a4 ab
b2 bc3
2
3 log (a4 ab)
2
3 log (b2 bc
3 )
2
3 log a4
2
3 log ab
2
3 log
b2
2
3 log bc
3
8
3 log a
2
6 log a
2
6 log
b
4
3 log b
2
9 log b
2
9 log c
3 log a 11
9 log
b
2
9 log c
155. log m log
bc
d2
log (bc) log d2 log b log c 2 log d
156. log x log a
bc log a
log (bc)
1
2 log a log b log c
157. a) log2
2a
(a b)(a b) log
2 (2a) log
2 [(a b)(a b)]
1 log2 a log
2 (a b) log
2 (a b)
b) log3
a2 ab
(a b)35 log
3 (a2 bc )
log
3 (a b)35
log3 a2 log
3 bc 3
5 log
3 (a b)
2 log3 a
1
2 log
3 b
1
2 log
3 c
3
5 log
3 (a b)
001-156-Manual-FME2.indd 46 23/07/13 16:16
47
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) log c 3a(a b)2
b log c log 3
a(a b)2
b
log c 1
3 log
a(a b)2
b
log c 1
3 log [a(a b)2]
1
3 log b
log c 1
3 log a
2
3 log (a b)
1
6 log b
d) log a(a b)2
5
a2 b2 log a(a b)25
log a2 b2
1
5 log (a(a b)2)
1
2 log (a2 b2)
1
5 log a
2
5 log (a b)
1
2 log (a2 b2)
159. a) log2 a
log
2 b log
2 c log
2 (ab)
log
2 c
log2 ab
c, então E
ab
c.
b) 2 log a log b 3 log c log
a2
log b log c3
log a2
log
(bc3) log
a2
bc3 , então E a2
bc3 .
c) 2 log3 a 3 log
3 b 2 log
3 c
log3
32 log
3 a
log
3 b3
log
3 c2
log3
(32 b3) log
3 (ac2) log
3 9b3
ac2 , então E 9b3
ac2 .
d) 1
2 log a 2 log b
1
3 log c
log a log b2 log c
3
log a log (b2 c
3) log
a
b2 c3 ,
então E
a
b2 c3 .
e) 1
3 log a
1
2 log c
3
2 log b
log a 3
log c log b3
log a 3
log cb3 log
3a
b3c,
001-156-Manual-FME2.indd 47 23/07/13 16:16
48
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
então E a3
b3c.
f) 2 1
3 log
2 a
1
6 log
2 b log
2 c
log2 4 log
2 a3
log2 b6
log2
c
log2 (4 a
3b
6) log
2 c log
2 4 a
3b
c, então E
4 a3
b
c.
g) 1
4 (log a
3 log b
2 log c)
1
4 (log a
log b3
log c2)
1
4 [log a
log (b3
c2)]
1
4 log
a
b3 c2 log 4
a
b3 c2
,
então E 4a
b3 c2
.
160. a) 1 log2 (a
b) log
2 (a
b)
log2 2 log
2 (a
b) log
2 (a
b) log
2 2(a b)
a b,
então E 2(a b)
a b.
b) 2 log (a b) 3 log a log (a
b)
log (a b)2 log a3 log (a
b)
log (a b)2
a3(a b), então E
(a b)2
a3(a b).
c) 1
2 log (a
b) log
a log (a
b)
log a b log a log (a b) log a a b
a b,
então E a a b
a b.
d) 1
2 log (a2
b2)
1
3 log
(a
b) log
(a
b)
log a2 b2 log a b3
log (a b)
log (a b) a2 b2
a b3
, então E (a b) a2 b2
a b3
.
e) 3 log (a b) 2 log (a b) 4 log b
5
log (a b)35 log (a b)
25 log b
45
log (a b)
35 b
45
(a b)25
log (a b)3
5 b4
5
(a b)25 log 5
(a b)3 b4
(a
b)2
001-156-Manual-FME2.indd 48 23/07/13 16:16
49
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
161. log x log b log c2 log a3
log bc2
a3 ,
então, x bc2
a3 .
162. a) log 6 log (2 3) log 2
log 3 a b
b) log 4 log 22 2 log 2
2a
c) log 12 log (4 3) log 4
log 3 2a b
d) log 2
1
2 log 2
a
2.
e) log 0,5 log 1
2 log 21 log 2 a
f) log 20 log (2 10) log 2 log 10 a 1
g) log 5 log 10
2 log
10 log 2 1 a
h) log 15 log 3 10
2 log 3 log 10 log 2 b 1 a
163. pH log 1
H log
1
10 8 log 108
8
164. log 125
25 log
53
25 3 log 5
1
5 log 2
3 log 10
2
1
5 log 2 3
3 log 2
1
5 log 2
3 16
5 log 2 3
16
5 (0,3010) 3 0,9632 2,0368
165. log 20 log 40 log 800 log (2 10) log (4 10) log (8 100)
log (2 22 23 10 10 100) log (26 104) 6 log 2 4
5,806
166. Fazendo loga 16 x, vem:
ax 16 ⇒ log2 ax log
2 16 ⇒ x log
2 a 4 (1)
Fazendo loga 4 y, vem:
ay 4 ⇒ log2 ay log
2 4 ⇒ y log
2 a 2 (2)
Dividindo (1) por (2), vem:
x
y
4
2 2.
167. log 1
a log
1
b log a log b p
168. log2 (a2 b2) log
2 [(a b)(a b)] log
2 (a b) log
2 (a b)
log2 8 log
2 (a b) 3 m
001-156-Manual-FME2.indd 49 23/07/13 16:16
50
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
169. log9 x log
9 y
1
2 ⇒ log
9 (xy)
1
2 ⇒ xy
9
12
3
170. loga x2 y3
1
3 log
a (x2y)
1
3 log
a x2
1
3 log
a y
2
3 log
a x
1
3 log
a y
2n
3
6n
3
8n
3
171. logm 64
2,7 log
m 60 log
m 64 log
m 2,7 log
m 60
logm 26 log
m
33
10 logm
(2 3 10)
6 logm 2 3 log
m 3 log
m 10 log
m 2 log
m 3 log
m 10
6a 3b a b 5a 4b
172. colog2
1
32 x ⇒ log
2
1
32 x
⇒ 2x
1
32 ⇒ x 5
logy 256 4 ⇒ y4
256 28 ⇒
y 22
4, então x y 9.
173. log 220 20 log 2 20 0,3010300 6,0206
174. 2n
104 ⇒ log 2n
log 104 ⇒
n log 2
4 ⇒
⇒ n
4
log 2
40
3 ⇒ n 14
176. log6 5
log20 5
log20
6
log20
20
4
log20
(2 3)
log20 20 log20 4
log20
2 log20
3
1 2a
a b
177. logab
a 4 ⇒ loga (ab)
1
4 ⇒ 1 log
a b
1
4 ⇒ log
ab
3
4
logab
a
3
b
loga a
3
b
loga (ab)
1
3 log
a a
1
2 log
a b 4
1
3
1
2
3
4 4
17
6
178. log12
27 a ⇒ 3 log12
3 a ⇒ log12
3 a
3 ⇒ log
3 12
3
a
⇒ 2 log3 2 log
3 3
3
a ⇒ log
3 2
3 a
2a
log6 16 4 log
6 2
4 log3 2
log3 6
4 log 3 2
log3 2 1
4 (3 a)
a 3
179. log0,04
125 log52 53 x ⇔ 52x
53 ⇔
x 3
2
001-156-Manual-FME2.indd 50 23/07/13 16:16
51
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
180. log8 m
log2 m
log2
8
k
3
181. log9 20
log 20
log 9
log
2 log
10
2 log 3
a 1
2b
182. log3 5 log
25 27 log
3 5
log 3
27
log 3
25 log
3 5
3
2 log3 5
3
2
183. log12
b2 log
b b2
logb
1
a
2
log b
a
2
m
184. log3 2 log
4 3 log
5 4 log
6 5 log
7 6 log
8 7 log
9 8 log
10 9
log 2
log 3
log 3
log 4
log 4
log 5
log 5
log 6
log 6
log 7
log 7
log 8
log 8
log 9 log 9
log 2
185. logb a 1
2 log
b a
1
2 log
b 1
b
1
2
186. log35
28 log14 28
log14 35
log14
142
7
log14 (7 5)
2 log14 7
log14 7 log14 5
2 a
a b
187. A log 5
log 3
log 27
log 4
log 2
log 25
(log 5) (3 log 3) 1
2 log 2
(log 3) (2 log 2) (2 log 5)
3
8
188. A (aloga b) logb c logc d (blogb c) logc d clogc d d
189. Fazendo x alog (log a)
log a , vem:
log x log alog (log a)
log a log
(log a)
log a
log a log (log a),
então x log a.
190. Sejam x e y dois números positivos e diferentes de 1 e seja a a base
do sistema de logaritmos. Temos:
loga x
loga y logy
x para todo a com 0 a e 1.
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52
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
191. (logac
b)(1 log
a c) (log
ac b)(log
a ac)
logac b
logac
a log
a b
192. a b c ⇒ logc a log
c (b c) ⇒ log
c a log
c b log
c c ⇒
⇒ 1
loga c
1
logb c
1
193. Escrevendo os logaritmos em base a temos:
loga c logb c
(logab
c)2
loga c logb c
logab
c logab
c
loga c
loga c
loga b
loga c
loga (ab)
loga
c
loga (ab)
(loga
(ab))2
loga b
(1 loga b)2
loga b
, que é o que queríamos demonstrar.
194. loga d logb d logb d logc d logc d loga d
1
logd a
1
logd b
1
logd b
1
logd c
1
logd c
1
logd a
logd
c logd a logd
b
logd a log
d b log
d c
log
d (abc)
logd a log
d b log
d c
loga
d logb d logc
d
logabc
d
195. alog b
alog blog a
log a
alog
a b log a
(alog
a b)log a
blog a
196. loga b(log
c d) (log
c d)(log
a b) (log
a b)(log
c d) logc
d(loga b)
197. 1
1 x
1
1 y
1
1 z
1
1 logc (ab)
1
1 logb (ac)
1
1 loga (bc)
1
logc c log
c (ab)
1
logb b log
b (ac)
1
loga a log
a (bc)
1
logc (abc)
1
logb (abc)
1
loga (abc)
logabc
a logabc
b log
abc c
logabc
(abc) 1
198. loga d
logc d
loga d logb d
logb d logc d ⇔ log
a c
loga d logb d
logb d logc d ⇔
⇔ loga c log
b d log
a c log
c d log
a d log
b d ⇔
⇔ loga c log
b d log
b d log
a c log
c d log
a d ⇔
⇔ (logb d)(1 log
a c) 2 log
a d ⇔
logb d
loga d (1 log
a c) 2 ⇔
⇔ (logb a)(log
a ac) 2 ⇔ log
a ac 2 log
a b ⇔ ac b2
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53
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
199. logq aa
logq bb
logq ab
logq ba
a logq a b log
q b b log
q a a log
q b
(a b)(logq a log
q b) (a b) log
q (ab) p log
q q p
200. De fato,
loga b
c loga b
c 1
logc (a b)
1
logc (a b)
log
c (a b) log
c (a b)
logc (a b) log
c (a b)
log
c [(a b) (a b)]
logc (a b) log
c (a b)
log
c (a2 b2)
logc (a b) log
c (a b)
Pitágoras
log
c c2
logc (a b) log
c (a b)
2
logc (a b) log
c (a b)
2 log
a b c log
a b c, que é o que
queríamos demonstrar.
201. De acordo com o exercício 195, sabemos que xlog y
ylog x, para
quaisquer x 0, e y 0. Temos, então:
a
b
log c
b
c
log a
c
a
log b
alog c
blog c blog a
clog a clog b
alog b 1,
pois alog c
clog a, blog a
alog b e clog b
blog c.
202. x 10
1
1 log z ⇔ log x 1
1 log z
(1)
y 10
1
1 log x ⇔ log y 1
1 log x
(2)
Substituindo (1) em (2), vem:
log y 1
log z
log z ⇔ log z
1
1 log y
⇔ z 10
1
1 log y .
203. De ab ba
bc cb resulta:
ab
cb
bc
ba ⇒
a
c
b bc a ⇒
ab
c
b
bb c a ⇒
⇒ b log ab
c (b c a) log b ⇒ log
ab
c
(b c a) log b
b (I).
Analogamente, de ab ba ac ca resulta:
log ab
c
(a c b) log a
b (II).
Comparando (I) e (II), resulta:
(b c a) log b
b
(a c b) log a
a
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54
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
e daí vem a tese:a(b c a)
log a
b(a c b)log b
.
204. Notemos que cada parcela do 1º membro é da forma1
logx 2p 1 logx 2
p
1p(p 1)
1
(logx 2)2, em que p varia de 2 até n.
Temos, usando a sugestão dada:1
logx 2 logx 4
12 1
1
(logx 2)2 1
12
1
(logx 2)2
1logx 4 logx 8
1
3 2
1(logx 2)2
12
13
1
(logx 2)2
1logx 8 logx 16
1
4 3
1(logx 2)2
13
14
1
(logx 2)2
etc.
1logx 2
n 1 logx 2n
1n (n 1)
1
(logx 2)2
1n 1
1n
1
(logx 2)2
Somando essas igualdades membro a membro, temos:
1logx 2
logx 4
1
logx 4 logx 8
1
logx 8 logx 16
… 1
logx 2n 1 logx 2
n
1 12
12
13
13
14
… 1
n 1
1n
1
(logx 2)2
1 1n
1
(logx 2)2
CAPÍTULO IV — Função logarítmica
206. Permutando as variáveis x ey , então y loge x, em que x +
*.
207. f(e3) loge
1e3
loge e3 3.
208. A função f é definida pela lei f(x2) log2 x2.
Se f(x2) 2, então log2 x2
2 ⇒ x2
4 ⇒ x
2.
209. O domínio de cada uma das funções dadas é x 0 (pois para que o logaritmo seja real devemos ter logaritmando positivo). Assim, em cada uma das funções propostas, basta construir uma tabela de
valores de x e y f(x), atribuindo valores convenientes de x e tais que x 0.
001-156-Manual-FME2.indd 54 23/07/13 16:16
55
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
210. a) Basta construir a tabela de valores de x e y, lembrando que o
domínio de y log2 x é: x 0 ⇔ x 0.
b) Construímos inicialmente o gráfico de y log2 x; x 0.
Como queremos o gráfico de y log2 x , basta “rebater” a parte
do gráfico y log2 x em que y 0. Vejamos:
y = |log2 x|
x
y
y = log2 x
y
1
– 1
1 2 x
“rebatendo”
Notemos que “rebater a parte do gráfico em que y 0” equivale
a fazer uma nova construção simétrica à anterior em relação ao
eixo das abscissas.
c) Construímos inicialmente o gráfico da função g(x) log2 x (item
a) e a partir dele “rebatemos” a parte do gráfico em que y 0,
obtendo o gráfico de y log2 x .
211. Análogo ao item a do exercício anterior.
212. a) Como o domínio dessa função é: x 1 0 ⇔ x 1, devemos
construir a tabela atribuindo valores convenientes para x e tais que
x 1.
b) O domínio da função é: 2x 1 0 ⇔ x 1
2. A partir dessa
condição, construímos a tabela.
c) Notemos que f(x) log2 x2 2 log
2 x2. O gráfico de f é obtido
diretamente do gráfico g(x) log2
x, notando que, se, por
exemplo, o ponto (4, 2) pertence ao gráfico de g, então o ponto
(4, 4) pertence ao gráfico de f (isto é, a ordenada de cada ponto
do gráfico de g fica multiplicada por 2).
d) Notemos que f(x) log2 x log
2x
1
2 1
2 log
2 x. Procede-se de
forma análoga ao anterior.
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56
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
213. a) Construímos inicialmente o gráfico de g(x) log2 x.
Para obtermos o gráfico de f(x) 2 g(x), deslocamos cada
ponto do gráfico da função g duas unidades “para cima”.
Por exemplo, se (2, 1) pertence ao gráfico de g, então (2, 3)
pertence ao gráfico de f.
b) Análogo ao anterior.
214. A função f está definida por
f(x) 0 se 1 x 1
loga x se x 1 ou x 1 (com a 1)
O gráfico de loga x, com a 1, é semelhante ao exercício 210.
O gráfico de loga x é tal que as ordenadas de seus pontos são as
raízes quadradas das ordenadas dos pontos do anterior.
215. Construímos inicialmente o gráfico de g(x) log2 x 2, notando
que o domínio dessa função é: x 2 0 ⇔ x 2.
Para obtermos o gráfico de f(x) g(x), basta “rebater” a parte em
que y 0 do gráfico de g(x).
216. Vamos construir o gráfico das duas funções num mesmo plano
cartesiano.
P Q
y
x
f(x) = ex
Assim, há 2 pontos comuns (P e Q) aos gráficos das funções dadas.
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
218. a) Devemos ter: 1 2x 0 ⇒ x 1
2, D x | x
1
2.
b) Devemos ter: (4x 3)2 0 ⇒ x 3
4, D
3
4.
c) Devemos ter: x 1
1 x 0. Fazendo o quadro-quociente, temos:
f(x) = x + 1
g(x) = 1 – x
g(x)f(x)
–
–
– –
+ +
+ +
+
– 1 1x
d) Devemos ter: x2 x 12 0 ⇒ x 4 ou x 3,
D {x | x 4 ou x 3}.
219. Devemos ter: x2 6x 9 0 ⇒ (x 3)2 0 ⇒ x 3,
D {x | x 3}.
220. Como queremos que o domínio da função f seja , devemos ter:
x2 Kx K 0, ∀x ⇔ a 1 0 e D 0, isto é:
K2 4 1 K 0 ⇒ K2 4K 0 ⇒ 0 K 4.
222. a) Devemos ter: x 2 0
e
0 3 x 1
⇒ x 2 (I)
e
x 3 e x 2 (II)
Fazendo a interseção, vem:
(I)
(II)
(I) > (II)– 2 2 3
x
b) Devemos ter: x2 x 2 0
e
0 x 1
⇒
x 2 ou x 1 (I)
e
0 x 1 (II)
Fazendo a interseção, vem:
D {x | 1 x 1}.
D {x | 2 x 3 e
x 2}.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
(I)
(II)
(I) > (II)
– 2
0
1x
c) Devemos ter: 3 2x x2 0e0 2x 3 1
⇒ 1 x 3 (I)e32
x 2 (II)
Fazendo a interseção, vem:
(I)
(II)
(I) > (II)
– 1 3x
x
x
3
2
3
2
2
2 3
CAPÍTULO V — Equações exponenciais e logarítmicas
224. a) 5x 4 ⇒ x log5 4, S {log5 4}
b) 3x 12
⇒ x log3 12
, S log3 12
c) 7 x 2 ⇒ log7 2 ⇒ x ⇒ x (log7 2)2, S {(log7 2)2}
d) 3(x2) 5 ⇒ log3 5 x2 ⇒ x log3 5
S log3 5 ; log3 5
e) 54x 3 0,5 ⇔ 54x
53 0,5 ⇔ (54)x 62,5 ⇒
⇒ x log625 62,5, S log625 62,5
f) 32x 1 2 ⇔ 32x 31 2 ⇔ (32)x 23
⇒
⇒ x log9 23
, S log9 23
D {x | x 1}.
D {x | 32
x 3 ex 2}.
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
g) 72 3x 5 ⇔ 72
73x 5 ⇔ (73)x
49
5 ⇒
⇒ x log
343
49
5, S log
343
49
5
225. Aplicando o logaritmo decimal a ambos os membros, vem:
log ax log b ⇔ x log a log b ⇒ x
log b
log a
S
log b
log a
227. Devemos ter: A(t) A(0)
2.
Daí,
A(0)
2 A(0) e3t ⇔
1
(et)3
1
2 ⇔ et
32 ⇔
⇔ t loge
32 n
32 .
228. A quantidade inicial de rádium é:
M(0) C e0 C.
Do enunciado, após 1 600 a quantidade de rádium é
C
2, isto é,
C
2 C eK 1 600 ⇒ K n 2
1
1 600
Após 100 anos, a quantidade de rádium é:
M(100) C e100 n 2
1
1 600 C en 2
1
1 600100
C 21
1 600
100
C 2
1
16
Assim, a quantidade perdida em 100 anos é dada pela diferença.
M(0) M(100) C C 2
1
16 C 1 2
1
16 , isto é, 1 2
1
16
da quantidade inicial.
230. a) 2x 3x 2 ⇒ 2x 3x 32 ⇒ 2x
3x 32 ⇒ 2
3
x
9 ⇒ x log2
3 9
S log2
3 9
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60
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) 72x 1 33x 4 ⇒ 72x
7 33x 34 ⇒
(72)x
(33)x 567 ⇒
⇒ 49
27
x
567 ⇒ x log49
27 567
S log49
27 567
c) 5x 1 34 2x ⇒ 5x
5
34
32x ⇒ 5x 9x 405 ⇒
⇒ 45x 405 ⇒ x log45
405
S {log45
405}
231. a) 3x 2x 2x 1 ⇒ 3x 2x 2x 2 ⇒ 3x 2x(1 2) ⇒
⇒ 3
2
x
3 ⇒ x log3
2 3
S log3
2 3
b) 5x 5x 1 3x 3x 1 3x 2 ⇒
⇒ 5x 5x 5 3x 3x 3 3x 32 ⇒
⇒ 5x(1 5) 3x(1 3 9) ⇒ 5
3
x
13
6 ⇒ x log5
3 13
6
S log5
3 13
6
c) 2x 1 2x 3x 2 3x ⇒ 2x 2 2x 3x 32 3x ⇒
⇒ 2x(2 1) 3x(9 1) ⇒ 2
3
x
8 ⇒ x log2
3 8
S log2
3 8
232. 23x 2 32x 1 8 ⇒ 23x 22 32x 31 8 ⇒
⇒ 8x 9x 6 ⇒ 72x 6 ⇒ x log72
6
S {log72
6}
233. a) (2x)2 5 2x 6 0. Seja 2x t. Temos:
t2 5t 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3) ⇔ (2x 2 ou 2x 3) ⇒
⇒ (x 1 ou x log2
3).
S {1, log2
3}
b) (2x)2 6 2x 5 0. Seja 2x t. Temos:
t2 6t 5 0 ⇒ (t 1 ou t 5) ⇒ (2x 1 ou 2x 5) ⇒
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ (x 0 ou x log2
5).
S {0, log2
5}
c) (3x)2 3x 3 4 0. Seja 3x t, vem:
t2 3t 4 0 ⇒ (t 4 ou t 1).
Como 3x 0 para todo x , vem que 3x 4 ⇒ x log3
4.
S {log3
4}
d) 32x 3 3x 3 2 0. Seja 3x t. Temos: 3 t2 3t 2 0.
Como essa equação não tem raízes reais, resulta que não existe
x que a satisfaz. Logo, S .
e) (2x)2 4 2x 24 15 0. Fazendo 2x t, vem:
4t2 16t 15 0 ⇒ t 5
2 ou t
3
2 ⇔
⇔ 2x 5
2 ou 2x
3
2 ⇒ x log
2
5
2 ou x log
2 3
2.
S log2
5
2, log
2 3
2
f) 3x 1 18
3x 29 ⇒ 3x 3 18
3x 29
Seja 3x t. Temos:
3t 18
t 29 ⇔ 3t2 29t 18 0 ⇒ t
2
3 ou t 9 ⇔
⇔ 3x 2
3 ou 3x 9 ⇒ x log
3
2
3 ou x 2 .
S log3
2
3, 2
234. Como 9x 0, ∀x , podemos dividir ambos os membros por 9x.
Temos:
4x
9x
6x
9x
9x
9x ⇒
2
3
x
2
2
3
x
1.
Fazendo 2
3
x
t, temos:
t2 t 1 0 ⇒ t 1 5
2 ou t
1 5
2.
Desprezando a raiz negativa (pois 2
3
x
0, ∀x ), temos:
2
3
x
1 5
2 ⇒ x log2
3
1 5
2.
S log2
3
1 5
2
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62
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
235. Dividindo ambos os membros por 49x, temos:
4
49
x
2
14
49
x
3 ⇒
2
7
x 2
2
2
7
x
3.
Seja 2
7
x
t. Temos:
t2 2t 3 ⇒ (t 1 ou t 3), donde
2
7
x
3 ⇒ x log2
7
3.
S log2
7
3
236. Fazendo a2x t, vem:
t2 t 1 ⇒ t 1 5
2 (não convém) ou t
1 5
2.
Daí, a2x 1 5
2. Aplicando logaritmo de base a a ambos os
membros, vem: 2x loga
1 5
2 ⇒ x
1
2 log
a
1 5
2.
S 1
2 log
a1 5
2
237. (64x)2 (64y)2 40
64x 64y 12
Fazendo 64x a e 64y b, temos: a2 b2 40
ab 12 ⇒ a
12
b
Substituindo na 1ª equação, temos:
b4 40b2 144 0 ⇒ b 6 ou b 2.
Lembrando que b deve ser estritamente positivo, temos 2 possi-
bilidades:
(I) (b 6 e a 2) ⇒ (64y 6 e 64x 2) ⇒ y log64
6 e x 1
6
(II) (b 2 e a 6) ⇒ (64y 2 e 64x 6) ⇒ y 1
6 e x log
64 6
Assim, S 1
6, log
64 6 ;
log
64 6,
1
6
238. a) log4
(3x 2) log4
(2x 5) ⇒ 3x 2 2x 5 0
Resolvendo 3x 2 2x 5, vem x 3, que convém, pois
3 3 2 0.
S {3}.
b) Devemos ter: 5x 6 3x 5 0.
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63
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
De 5x 6 3x 5 segue que x
1
2 .
x
1
2 não é solução, pois 5
1
2 6 0. Daí, S .
c) Devemos ter: 5x2 14x 1 4x2 4x 20 0.
De 5x2 14x 1 4x2 4x 20 ⇒ x2 10x 21 0 ⇒
⇒ (x 7 ou x 3).
x 7 é solução, pois 5 72 14 7 1 148 0.
x 3 é solução, pois 5 32 14 3 1 4 0.
S {3, 7}
d) Devemos ter: 3x2 4x 17 2x2 5x 3 0.
3x2 4x 17 2x2 5x 3 ⇔ x2 x 20 0 ⇒
⇒ (x 4 ou x 5).
x 4 é solução, pois 3 42 4 4 17 15 0.
x 5 é solução, pois 3 (5)2 4 (5) 17 78 0.
S {5, 4}
e) Devemos ter: 4x2 13x 2 2x 5 0.
4x2 13x 2 2x 5 ⇔ 4x2 11x 3 0 ⇒
x 3 ou x
1
4
x 3 não é solução, pois 4 (3)2 13 (3) 2 1 0.
x
1
4 é solução, pois 4
1
4
2
13 1
4 2
11
2 0.
S 1
4
f) Devemos ter: 5x2 3x 11 3x2 2x 8 0.
5x2 3x 11 3x2 2x 8 ⇔ 2x2 x 3 0 ⇒
⇒ x 1 ou x
3
2.
x 1 não é solução, pois 5 (1)2 3 (1) 11 3 0.
x
3
2 não é solução, pois 5
3
2
2
3 3
2 11
17
4 0.
Daí, S .
239. a) log5
(4x 3) 1 ⇒ 51 4x 3 ⇒ x 2
S {2}
b) log1
2
(3 5x) 0 ⇒ 1
2
0
3 5x ⇒ x
2
5
S 2
5
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) log 2 (3x2 7x 3) 0 ⇒ ( 2 )0 3x2 7x 3 ⇒
⇒ x 2 ou x 1
3
S 2,
1
3
d) log4
(2x2 5x 4) 2 ⇒ 42 2x2 5x 4 ⇔
⇔ 2x2 5x 12 0 ⇒ x 4 ou x 3
2
S 4,
3
2
e) log1
3
(2x2 9x 4) 2 ⇒ 1
3
2
2x2 9x 4 ⇔
⇔ 2x2 9x 5 0 ⇒ x 1
2 ou x 5
S
1
2, 5
f) log3 (x 1)2 2 ⇒ 32 (x 1)2 ⇒ (x 1 3 ou x 1 3) ⇔
⇔ (x 2 ou x 4)
S {2, 4}
g) log4 (x2 4x 3)
1
2 ⇒ 4
1
2 x2 4x 3 ⇔ x2 4x 1 0 ⇒
⇒ (x 2 3 ou x 2 3 )
S {2 3 , 2 3 }
240. Temos: log3 x y (1).
Do enunciado: log3 (x 16) y 2 (2).
De (1) vem que 3y x e de (2) vem que:
3y 2 x 16 ⇒ 3y 32 x 16 ⇒ 9x x 16 ⇒ x 2.
241. Notemos inicialmente que:
log1
8
1
32 y ⇒
1
8
y
1
32 ⇒ y
5
3.
Então, podemos escrever:
log1
2
x 5
3
5
3 ⇔ log1
2
x 1 ⇒ x 1
2.
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
242. a) log3 (log
2 x) 1 ⇒ 31 log
2 x ⇒ 23 x ⇒ x 8
b) log1
2
[log3(log
4 x)] 0 ⇒
1
2
0
log
3 (log
4 x) ⇒ 31 log
4 x ⇒
⇒ x 43 64
S {64}
c) log1
4
{log3
[log2 (3x 1)]} 0 ⇒
1
4
0
log
3 [log
2 (3x 1)] ⇒
⇒ 31 log2 (3x 1) ⇒ 8 3x 1 ⇔ x 3
S {3}
d) log2 [1 log
3 (1 log
4 x)] 0 ⇒ 20 1 log
3 (1 log
4 x) ⇒
⇒ 30 1 log4 x ⇒ 40 x ⇔ x 1
S {1}
e) log 2 {2 log3
[1 log4
(x 3)]} 2 ⇒
⇒ ( 2 )2 2 log3 [1 log
4 (x 3)] ⇒ log
3 [1 log
4 (x 3)] 1 ⇒
⇒ 31 1 log4 (x 3) ⇒ 42 x 3 ⇒ x 13
S {13}
f) log3 [1 2 log
2 (3 log
4 x2)] 1 ⇒ 31 1 2 log
2 (3 log
4 x2) ⇒
⇒ 1 log2 (3 log
4 x2) ⇒ 21 3 log
4 x2 ⇔ log
4 x2 1 ⇒
⇒ 41 x2 ⇒ x 2
S {2, 2}
g) log2
{2 3 log3 [1 4 log
4 (5x 1)]} 3 ⇒
⇒ 23 2 3 log3 [1 4 log
4 (5x 1)] ⇒
⇒ 2 log3 [1 4 log
4 (5x 1)] ⇒ 32 1 4 log
4 (5x 1) ⇒
⇒ 2 log4 (5x 1) ⇒ 42 5x 1 ⇒ x 3
S {3}
243. log3 [log
2 (3x2 5x 2)] log
3 2 ⇒ log
2 (3x2 5x 2) 2 ⇒
⇒ 22 3x2 5x 2 ⇔ 3x2 5x 2 0 ⇒
x
1
3 ou x 2 ,
que satisfazem a condição de existência.
S 1
3, 2
244. a) xlogx (x 3) 7 ⇒ logx 7 log
x (x 3) ⇒ 7 x 3 0; x 0 e x 1.
Daí, x 4, que satisfaz as condições de existência.
S {4}
b) xlogx (x 5)2 9 ⇒ logx 9 log
x (x 5)2 ⇒
⇒ 9 (x 5)2 0, x 1 e x 0.
De 9 (x 5)2, segue que x 2 ou x 8.
S {2, 8}
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) xlogx (x 3)2 16 ⇒ logx 16 log
x (x 3)2 ⇒ 16 (x 3)2 0,
x 0 e x 1. De 16 (x 3)2, segue que x 1 (não convém)
ou x 7 (não convém).
Daí, S .
d) Notemos que log3
27 y ⇒ 3y 3
3
2 ⇒ y 3
2.
Então, podemos reescrever a equação na forma:
x
1
3 logx (x
2 2) 2 3
2 ⇒ xlogx (x
2 2) 33 ⇒
⇒ logx 33 log
x (x2 2) ⇒ x2 2 33, x 0 e x 1.
De x2 2 27 vem que x 5. Desprezando a raiz negativa,
segue que x 5.
S {5}
245. Da 2ª equação, temos:
log2 y x ⇒ (log
2 y)2 x para x 0 e y 0 (1).
Substituindo esse valor de x na 1ª equação, temos:
2 [(log2 y)2]y
1
[(log2 y)2]y
1.
Fazendo (log2 y)2y t, vem:
2t 1
t 1 ⇔ 2t2 t 1 0 ⇒ t 1 ou t
1
2.
Como t 0, segue que:
t 1 ⇔ (log2 y)2y 1 ⇔
2y 0 log
2 y 1 ⇒ y 2.
Em (1) temos:
x (log2 y)2 (log
2 2)2 1.
S {(1, 2)}
246. a) log42 x 2 log
4 x 3 0 ⇔ (log
4 x)2 2 log
4 x 3 0
Fazendo log4 x t, vem:
t2 2t 3 0 ⇒ (t 1 ou t 3) ⇔
⇔ (log4 x 1 ou log
4 x 3) ⇒ (41 x ou 43 x) ⇒
⇒ x 1
4 ou x 64 , que satisfazem a condição de existência.
S
1
4, 64
b) 6 log22 x 7 log
2 x 2 0 ⇔ 6 (log
2 x)2 7 log
2 x 2 0
Fazendo log2 x t, vem:
6t2 7t 2 0 ⇒ t
1
2 ou t
2
3 ⇔
⇔ log
2 x
1
2 ou log
2 x
2
3 ⇒ x 2
1
2 ou x 2
2
3 , isto é,
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
x 2 ou x 34 .
Como x 0, vem:
S 2 , 34
c) log x(log x 1) 6
Fazendo log x t, vem:
t(t 1) 6 ⇔ t2 t 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3) ⇔
⇔ (log x 2 ou log x 3) ⇒ (x 102 ou x 103), que são
raízes da equação proposta, pois x 0.
S
1
100, 1 000
d) log2 x (2 log
2 x 3) 2
Fazendo log2 x t, temos:
t(2t 3) 2 ⇔ 2t2 3t 2 0 ⇒ t
1
2 ou t 2 ⇔
⇔
log
2 x
1
2 ou log
2 x 2 ⇒
x
1
2 ou x 4 , que satisfazem
a condição x 0.
S
1
2, 4
e) 2 log42 x 2 5 log
4 x ⇔ 2 (log
4 x)2 2 5 log
4 x
Fazendo log4 x t, vem:
2t2 2 5t ⇒ t
1
2 ou t 2 ⇔ log
4 x
1
2 ou log
4 x 2 ⇒
⇒ (x 2 ou x 16), que satisfazem a condição x 0.
S {2, 16}
f) log3 x 4 log x ⇔ (log x)3 4 log x
Fazendo log x t, vem:
t3 4t ⇔ t(t2 4) 0 ⇒ (t 0 ou t 2 ou t 2) ⇔
⇔ (log x 0 ou log x 2 ou log x 2) ⇒
⇒ x 1 ou x
1
100 ou x 100 , que satisfazem a condição x 0.
S
1
100, 1,100
247. x3
2x3 2 ⇔ 3
1
x 3
1
x
1
2 2
Fazendo 1
x 2y, temos:
32y 32y
1
2 2 ⇔ (3y)2 3y 2 0.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Fazendo 3y t, vem:
t2 t 2 0 ⇒ (t 1 ou t 2).
Como 3y 0, ∀y , segue que t 1 não convém. Daí, 3y 2 ⇒
⇒ log3 2 y.
Logo, 1
x 2 log
3 2 ⇔
1
x log
3 22 ⇔ x
1
log3 4
.
Transformando o logaritmo para a base 10, vem:
x 1
log 4
log 3
log 3
log 4, não convém pois x *.
S
248. a) Fazendo log x t, temos:
1
5 t
2
1 t 1 ⇔ t2 5t 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3) ⇒
⇒ (log x 2 ou log x 3) ⇒ (x 100 ou x 1 000), que
satisfazem a condição x 0.
S {100, 1 000}
b) Fazendo log2 x t, vem:
3 t
t
2 t
3 t
5
2 ⇔ t2 11t 18 0 ⇒ (t 2 ou t 9) ⇒
⇒ (log2 x 2 ou log
2 x 9) ⇒ (x 4 ou x 29 512), que
satisfazem a condição x 0.
S {4, 512}
c) Fazendo log3 x t, vem:
t
1 t
t 2
t 3
5
4 ⇔ 3t2 4t 7 0 ⇒
⇒ t 1 ou t
7
3 ⇒
log
3 x 1 ou log
3 x
7
3 ⇒
⇒ x 3 ou x 3
7
3 , que satisfazem a condição x 0.
S 3, 3
7
3 d) Fazendo log x t, temos:
1 t
2 t
1 t
2 t 2 ⇔ t2 3t 4 0 ⇒ (t 1 ou t 4) ⇒
⇒ (log x 1 ou log x 4) ⇒ (x 101 ou x 104), que
satisfazem a condição x 0.
S {101, 104}
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) Fazendo log2 x t, segue que:
1 t
2 t
2 t
3 t
4 t
5 t
5 t
6 t ⇔
⇔
1
t2 5t 6
1
30 11t t2 ⇔ t 4.
Então, log2 x 4 ⇒ x 16.
Como x 0, x 16 é solução.
S {16}
250. a) Devemos ter:
0 x 1 (I) e 3x2 13x 15 x2 (II).
De (II) temos que x 5 ou x
3
2, que são soluções, pois satisfazem (I).
S
3
2, 5
b) Devemos ter:
0 x 1 (I) e 4 3x x2 (II).
De (II) temos que x 1 ou x 4, que não satisfazem (I).
S
c) Devemos ter:
0 x 2 1 ⇔ 2 x 3 (I) e 2x2 11x 16 (x 2)2 (II).
De (II) temos que x2 7x 12 0 ⇒ x 4 ou x 3. Somente
x 4 satisfaz (I). Então, S {4}.
d) Devemos ter:
0 x 1 (I) e ( x )4 2x2 5x 6 (II).
De (II) temos que x 2 ou x 3, que não satisfazem (I).
Assim, S .
e) Devemos ter:
0 x 1 1 ⇔ 1 x 2 (I) e x3 x2 x 3 (x 1)3 (II).
De (II) temos que:
x2 x 1 0 ⇒ x
1 5
2 ou x
1 5
2 .
Somente x
1 5
2 é solução, pois satisfaz (I).
S 1 5
2
f) Devemos ter:
0 x 2 1 ⇔ 2 x 1 (I) e x3 7x2 8x 11 (x 2)3 (II).
De (II) temos que x2 4x 3 0 ⇒ (x 1 ou x 3), que são
soluções pois satisfazem (I).
S {1, 3}
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
g) Devemos ter:
0 2 x 1 ⇔ 2 x 1 (I) e 2x3 x2 18x 8 (2 x)3 (II).
De (II) temos que:
3x3 7x2 6x 0 ⇔ x(3x2 7x 6) 0 ⇒
⇒ x 0 ou x 3 ou x
2
3.
x 3 não é solução, pois não satisfaz (I).
S 0, 2
3
251. Devemos ter:
0 x 1 1 ⇔ 1 x 0 (I) e x2 x 6 (x 1)3 (II).
De (II) temos que x3 2x2 2x 5 0. As possíveis raízes
racionais dessa equação pertencem ao conjunto {1, 1, 5, 5}.
x 1 é raiz da equação, pois 13 2 12 2 1 5 0 (V).
Logo, o polinômio x3 2x2 2x 5 é divisível por x 1. Efetuando
a divisão, podemos escrever:
x3 2x2 2x 5 (x 1)(x2 3x 5)
Como x2 3x 5 0 não admite raízes reais, segue que a única
solução real de (II) é x 1, que satisfaz (I).
S {1}
253. a) Devemos ter:
0 x 1 (I) e 4x 3 2x 1 0 (II).
De (II) temos que x 2.
x 2 é solução, pois satisfaz (I) e (II), pois 4 2 3 0.
S {2}
b) Devemos ter:
0 x 1 (I) e 5x 2 3x 4 0 (II).
Resolvendo (II), temos que x 1, que não é solução, pois não satisfaz (I).
S
c) Devemos ter:
0 x 1 1 ⇔ 1 x 0 (I) e 3x 14 2 x 0 (II).
Resolvendo (II), temos que x 3 que não é solução, pois não
satisfaz (I).
S
d) Devemos ter:
0 x 5 1 ⇔ 5 x 4 (I) e 3x2 5x 8 2x2 3x 0 (II).
Resolvendo (II), temos que x 2 ou x 4.
x 2 satisfaz (II), pois 3 (2)2 5(2) 8 14 0 e satisfaz (I).
Logo, x 2 é solução.
x 4 satisfaz (II), pois 3 42 5 4 8 20 0 e satisfaz (I).
Logo, x 4 é solução.
S { 2, 4}
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) Devemos ter:
0 2x 4 1 ⇔
⇔ 2 x 5
2 (I) e 5x2 15x 7 x2 3x 2 0 (II).
Resolvendo (II), temos que x 1
2 ou x
5
2.
x 1
2 não é solução, pois não satisfaz (I).
x 5
2 não é solução, pois não satisfaz (I).
Daí, S .
f) Devemos ter:
0 x 2 1 ⇔
⇔ 2 x 1 (I) e 3x2 8x 2 2x2 5x 2 0 (II).
Resolvendo (II), temos que x 1 ou x 4.
x 1 não é solução, pois não satisfaz (I).
x 4 satisfaz (II), pois 3 42 8 4 2 14 0 e satisfaz (I).
Assim, x 4 é solução.
S {4}
254. a) Fazendo logx (5x 6) t, vem:
t2 3t 2 0 ⇒ (t 1 ou t 2), isto é,
(1) logx (5x 6) 1 ⇒
0 x 1 (I)
e
5x 6 x (II)
De (II), x 3
2, que é solução, pois satisfaz (I).
(2) logx (5x 6) 2 ⇒
0 x 1 (I)
5x 6 x2 (II)
De (II), segue que x 2 ou x 3, que são soluções, pois satisfazem (I).
Assim, de (1) e (2), temos que:
S 3
2, 2, 3
b) Fazendo logx (x 1) t, temos:
t2 2 t ⇒ t 1 ou t 2, isto é,
(1) logx (x 1) 1 ⇒
0 x 1 (I)
e
x 1 x1 0 (II)
Resolvendo (II), temos que x 1 5
2 ou x
1 5
2.
x 1 5
2 não é solução, pois não satisfaz (I).
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
x 1 5
2 é solução, pois satisfaz (I).
(2) logx (x 1) 2 ⇒
0 x 1 (I)
e
x 1 x2 (II)
Resolvendo (II), temos que: x 1 5
2 ou x
1 5
2.
Somente x 1 5
2 é solução, pois deve satisfazer (I).
Assim, de (1) e (2) segue que:
S 1 5
2,
1 5
2
c) Fazendo log3x 2
(4 x) t, vem:
2t2 5t 2 0 ⇒ t 2 ou t 1
2, isto é:
(1) log3x 2
(4 x) 2 ⇒ 0 3x 2 1 ⇔
2
3 x 1 (I)
e
4 x (3x 2)2 (II)
Resolvendo (II), temos que:
9x2 11x 0 ⇒ x 0 ou x 11
9 .
x 0 não é solução, pois não satisfaz (I).
x 11
9 é solução, pois satisfaz (I).
(2) log3x 2
(4 x) 1
2 ⇒
0 3x 2 1 ⇔ 2
3 x 1 (I)
e
4 x (3x 2)12 (II)
Resolvendo a equação irracional em (II), vem que
x 2, que é solução, pois satisfaz (I).
De (1) e (2) vem:
S 11
9, 2
256. A condição de existência dos logaritmos é x 1
3 (I).
Para x 1
3, temos:
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
log x 1
3 log
x
1
3 log
24
9 ⇒ log x
1
3x
1
3 log
24
9 ⇔
⇔ log x2
1
9 log
24
9 ⇒ x2
1
9
24
9 ⇔ x2
25
9 ⇒
⇒ x
5
3 ou x
5
3.
Como somente x 5
3 satisfaz (I), vem que: S
5
3.
257. Notemos que as condições 2x 0 e 1 2x 0 são satisfeitas para
∀x . Temos:
log 2x log (1 2x) log 6 ⇒ log [2x (1 2x)] log 6 ⇒ 2x (1 2x) 6.
Fazendo 2x t, vem: t(1 t) 6 ⇒ t 3 ou t 2.
Como t 0, vem que 2x 2 ⇒ x 1.
S {1}
258. Notemos inicialmente que 1 2x 0, ∀x .
Temos:
x log (1 2x) x log 5 log 6 ⇒
⇒ x log (1 2x) x log 10
2 log 6 ⇒
⇒ x log (1 2x) x [log 10 log 2] log 6 ⇒
⇒ x log (1 2x) x x log 2 log 6 ⇔ log (1 2x) log 6 log 2x ⇒
log (1 2x) log 6
2x ⇒ 1 2x
6
2x.
Fazendo 2x t, vem:
1 t 6
t ⇒ (t 3 ou t 2).
Como 2x 0, segue que 2x 2 ⇒ x 1.
S {1}
259. a) A condição de existência dos logaritmos é x 3 (I).
Para x 3, temos:
log2 (x 3) log
2 (x 3) 4 ⇒ log
2 [(x 3)(x 3)] 4 ⇒
⇒ x2 9 24 ⇒ x2 25 ⇒ x 5 ou x 5.
Somente x 5 é solução, pois deve satisfazer (I).
S {5}
b) A condição de existência dos logaritmos é x 2 (I).
Para x 2, temos:
log2 (x 1) log
2 (x 2) 2 ⇒ log
2 [(x 1) (x 2)] 2 ⇒
⇒ (x 1)(x 2) 22 ⇔ x2 x 6 0 ⇒ x 2 ou x 3.
Somente x 3 é solução, pois deve satisfazer (I).
S {3}
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) A condição de existência dos logaritmos é x 21 (I).
Para x 21, temos:
log x log (x 21) 2 ⇒ log [x (x 21)] 2 ⇒
⇒ x (x 21) 102 ⇔ x2 21x 100 0 ⇒ x 4 ou x 25.
Como somente x 25 satisfaz (I), S {25}.
d) A condição de existência dos logaritmos é x 1 (I).
Para x 1, temos:
log2 (5x 2) [log
2 x log
2 (x 1)] 2 ⇒
⇒ log2 (5x 2) log
2 [x (x 1)] 2 ⇒ log
2
5x 2
x(x 1) 2 ⇒
⇒ 5x 2
x(x 1) 22 ⇒ 4x2 9x 2 0 ⇒ x
1
4 ou x 2.
Somente x 2 é solução, pois deve satisfazer (I).
S {2}.
e) A condição de existência dos logaritmos é x 2 (I).
Para x 2, temos:
log3 (5x 4) [log
3 x log
3 (x 2)] 1 ⇒
⇒ log3 (5x 4) log
3 [x (x 2)] 1 ⇒ log
3
5x 4
x(x 2) 1 ⇒
⇒ 5x 4
x(x 2) 31 ⇒ 3x2 11x 4 0 ⇒ x
1
3 ou x 4.
Somente x 4 é solução, pois deve satisfazer (I).
S {4}.
f) A condição de existência dos logaritmos é x 2
3 e x
3
2 (I).
Para x 2
3 e x
3
2, temos:
log12
(3x 2)2 log12
(2x 3)2 4 ⇒ log12
(3x 2)2
(2x 3)2 4 ⇒
⇒ 3x 2
2x 3
2
1
2
4
⇒ 3x 2
2x 3
2 24 ⇒
3x 2
2x 3 4 ⇒
⇒
3x 2
2x 3 4 ⇒ x 14
5ou
3x 2
2x 3 4 ⇒ x 10
11
0s dois valores encontrados são soluções, pois satisfazem (I).
S 14
5,
10
11
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
g) A condição de existência dos logaritmos é x 2 e x 3 (I).
Para x 2 e x 3, temos:
log36
(x 2)2 log36
(x 3)2 1 ⇒ log36
[(x 2)2 (x 3)2] 1 ⇒
⇒ (x 2)2 (x 3)2 36 ⇒ (x2 x 6) 6
x2 x 6 6 ⇒ x 3 ou x 4
x2 x 6 6 ⇒ x 0 ou x 1
Esses quatro valores são soluções, pois satisfazem (I).
S { 3, 0, 1, 4}
260. A condição de existência dos logaritmos é x 0.
(0,4)log2 x 1 (6,25)2 log x3 ⇒
4
10
log2 x 1
25
4
2 3 log x ⇒
⇒ 2
5
log2 x 1
5
2
2
2 3 log x
⇒ 5
2
log2 x 1
5
2
4 6 log x ⇒
⇒ log2 x 1 4 6 log x ⇒ log2 x 6 log x 5 0.
Fazendo log x t, vem:
t2 6t 5 0 ⇒ (t 1 ou t 5) ⇒ (log x 1 ou log x 5) ⇒
⇒ (x 101 ou x 105).
S {10, 105}
261. Notemos que 9x 1 7 0 e 3x 1 1 0 são satisfeitas para todo x
real. Temos:
log2 (9x 1 7) log
2 (3x 1 1) 2 ⇒ log
2
9x 1 7
3x 1 1 2 ⇒
⇒ 9x 1 7
3x 1 1 22 ⇒ 9x 1 4 3x 1 3 0 ⇒
⇒ 9x
9 4
3x
3 3 0.
Fazendo 3x t, vem:
t2
9
4t
3 3 0 ⇒ t2 12t 27 0 ⇒ (t 3 ou t 9) ⇒
⇒ (3x 3 ou 3x 9) ⇒ (x 1 ou x 2).
S {1, 2}
262. a) A condição de existência dos logaritmos é x 15
4 (I).
Temos:
log3 (2x)
log3 (4x 15)
2 ⇒ log3 2x 2 log3 (4x 15) ⇒
⇒ log3 2x log3 (4x 15)2 ⇒ 2x (4x 15)2 ⇒
⇒ 16x2 122x 225 0 ⇒ x 9
2 ou x 25
8.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Como x
25
8 não satisfaz (I) e x
9
2 satisfaz, a única solução é x
9
2.
S 9
2
b) log2 (35 x3)
log2 (5 x)
3 ⇒ log2 (35 x3) 3 log2 (5 x) ⇒
⇒ log2 (35 x3) log
2 (5 x)3 ⇒ 35 x3 (5 x)3 ⇒
⇒ x2 5x 6 0 ⇒ x 2 ou x 3.
Verificando x 2: 35 23 0 e 5 2 0.
Verificando x 3: 35 33 0 e 5 3 0.
S {2, 3}
c) log ( x 1 1)
log x 403 3 ⇒ log ( x 1 1) 3 log x 40
3 ⇒
⇒ log ( x 1 1) log ( x 403 )3 ⇒ x 1 1 x 40 ⇒
⇒ x 1 x 41 ⇒ x2 83x 1 680 0 ⇒ (x 48 ou x 35)
(x 35 não convém, pois 35 1 35 41).
Verificando x 48: 48 1 1 0 e 48 403
0.
S {48}
263. A condição de existência dos logaritmos é x 16 (I).1
2 log
3 (x 16) log
3 ( x 4) 1 ⇒ log
3 (x 16)
12 log
3 ( x 4) 1 ⇒
⇒ log3 (x 16)
12
x 4 1 ⇒
x 16
x 4 31 ⇒ 3 x 12 x 16.
Resolvendo essa equação irracional, temos x 25 ou x 16.
x 25 é solução dessa equação irracional, pois:
3 25 12 25 16 (V), mas não satisfaz (I).
x 16 é solução da equação irracional, pois:
3 16 12 16 16 (V), mas não satisfaz (I).
Daí, S {25}.
264. A condição de existência dos logaritmos é 2x 2 3 0, pois
4x 15 2x 27 0 para todo x (I).
Temos:
log3 (4x 15 2x 27) 2 log
3 (2x 2 3) ⇒
⇒ log3 (4x 15 2x 27) log
3 (2x 2 3)2 ⇒
⇒ 4x 15 2x 27 (2x 2)2 6 2x 2 9 ⇒
⇒ 4x 15 2x 27 22x 24 6 2x 22 9.
Fazendo 2x t, vem:
t2 15t 27 16t2 24t 9 ⇒ 15t2 39t 18 0 ⇒
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ t
2
5 (não convém, pois t 0) ou t 3.
Daí, 2x 3 ⇒ x log2 3, que satisfaz (I), pois:
2log2
3 2 3 2log2 3 22 3 3 4 3 0.
S {log2 3}
266. a) A condição de existência dos logaritmos é x 3 (I).
Temos:
log2 (x 4) log
2 (x 3) log
2 18 ⇒
⇒ log2 [(x 4)(x 3)] log
2 18 ⇒
⇒ (x 4)(x 3) 18 ⇒ x2 x 30 0 ⇒ x 5 ou x 6.
Somente x 5 satisfaz (I).
S {5}
b) A condição de existência dos logaritmos é x 1 (I).
Temos:
log5 (1 x) log
5 (2 x) log
5 (8 2x) ⇒
⇒ log5 [(1 x)(2 x)] log
5 (8 2x) ⇒
⇒ (1 x)(2 x) 8 2x ⇒ x2 x 6 0 ⇒ x 2 ou x 3.
Somente x 2 é solução, pois satisfaz (I).
S {2}
c) A condição de existência dos logaritmos é x 5 (I).
Temos:
log12
(x 1) log12
(x 5) log12
(2x 3) ⇒
⇒ log12
[(x 1)(x 5)] log12
(2x 3) ⇒
⇒ (x 1)(x 5) 2x 3 ⇒ x2 6x 2 0 ⇒
⇒ x 3 11 ou x 3 11.
Somente x 3 11 satisfaz (I).
S {3 11}
d) A condição de existência dos logaritmos é x 1 17
4 (I).
Temos:
log (2x 1) log (4x 3) log (2x2 x 2) ⇒
⇒ log [(2x 1)(4x 3)] log (2x2 x 2) ⇒
⇒ (2x 1)(4x 3) 2x2 x 2 ⇒ 6x2 x 1 0 ⇒
⇒ x 1
3 ou x
1
2, que não satisfazem (I).
S
e) A condição de existência dos logaritmos é 1
2 x
4
3 (I).
Temos:
log2 (4 3x) log
2 (2x 1) log
2 (3 x) log
2 (x 1) ⇒
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78
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒ log2
4 3x
2x 1 log
2
3 x
x 1 ⇒
4 3x
2x 1
3 x
x 1 ⇒
⇒ x2 6x 7 0 ⇒ x 7 ou x 1.
Somente x 1 satisfaz (I).
S {1}
f) A condição de existência dos logaritmos é x 1
3 (I).
Temos:
log13
(x2 13x) colog13
(x 3) log13
(3x 1) ⇒
⇒ log13
(x2 13x) log13
(x 3) log13
(3x 1) ⇒
⇒ log13
x2 13x
x 3 log
13
(3x 1) ⇒ x2 13x
x 3 3x 1 ⇒
⇒ 2x2 5x 3 0 ⇒ x 1
2 ou x 3.
Somente x 3 satisfaz (I).
S {3}
g) A condição de existência dos logaritmos é x 1 3 (I).
Temos:
log (2x2 4x 4) colog (x 1) log 4 ⇒
⇒ log (2x2 4x 4) log (x 1) log 4 ⇒
⇒ log 2x2 4x 4
x 1 log 4 ⇒
2x2 4x 4
x 1 4 ⇒
⇒ 2x2 8 0 ⇒ x 2 ou x 2.
Somente x 2 satisfaz (I).
S {2}
267. Fazendo log x y, vem:
2 log y log (7 2y) log 5 ⇒ log y2 log 7 2y
5 ⇒
⇒ y2
7 2y
5 ⇒ 5y2
2y 7 0 ⇒ y 7
5 ou y 1.
Daí, log x 7
5 ou log x 1.
Notemos que, se x 7
5 no primeiro membro, teremos:
log (log x) log 7
5 !
Então, log x 1 ⇒ x 10.
S {10}
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79
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
268. A condição de existência dos logaritmos é x 5
7 (I).
Temos:
log 7x 5 1
2 log (2x 7) 1 log
9
2 ⇒
⇒ log 7x 5 log (2x 7)12 log 10 log
9
2 ⇒
⇒ log [ 7x 5 2x 7 ] log 10 9
2 ⇒
⇒ (7x 5)(2x 7) 45 ⇒ 14x2 59x 1 990 0 ⇒
⇒ x 199
14 ou x 10.
Somente x 10 satisfaz (I).
S {10}
269. a) Temos:
log x log x ⇒ log x
1
2 log x
Fazendo log x t, vem:
t 1
2 t ⇒
1
4 t2 t ⇒ (t 0 ou t 4) ⇒
⇒ (log x 0 ou log x 4) ⇒ (x 100 ou x 104).
Verificando x 1: log 1 log 1. (V)
Verificando x 104: log 104 104 . (V)
S {1, 104}
b) log1 x 2 log x1 ⇒ (log x)1 2 log x
Fazendo log x t, vem:
t1 2 t ⇒ t2 2t 1 0 ⇒ (t 1)2 0 ⇒ t 1.
Então, log x 1 ⇒ x 101 10.
x 10 é solução, pois x 0.
S {10}
c) A condição de existência dos logaritmos é x 0.
Temos:
log8 x3 5
12
log8
x ⇒ 3 log
8 x 5
12
log8
x.
Fazendo log8
x t, vem:
3t 5 12
t ⇒ t
4
3 ou t 3 ⇒
⇒ log8 x
4
3 ou log
8 x 3 ⇒ x 8
43 ou x 83 ,
x 1
16 ou x 512, que satisfazem a condição de existência.
S 1
16, 512
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80
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
270. log3 (3x 1) log
3 (3x 1 3) 6 ⇒
⇒ log3 (3x 1) log
3 (3x 3 3) 6 ⇒
⇒ log3 (3x 1) · log
3 [3 · (3x 1)] 6 ⇒
⇒ log3 (3x 1) [log
3 3 log
3 (3x 1)] 6
Fazendo log3 (3x 1) t, vem:
t [1 t] 6 ⇒ t2 t 6 0 ⇒ (t 3 ou t 2).
Daí,
log3 (3x 1) 3 ⇒ 3x 1 33 ⇒ 3x
28
27 ⇒ x log
3 28
27ou
(3x 1) 2 ⇒ 3x 1 9 ⇒ 3x 10 ⇒ x log3 10.
Os valores encontrados garantem a existência dos logaritmos acima
e são, portanto, soluções.
S log3 28
27, log
3 10
271. a) A condição de existência dos logaritmos é x > 0. Temos:
log2 x3 20 log x 1 0 ⇔ (log x3)2 20 log x
1
2 1 0 ⇒
⇒ (3 log x)2 20 1
2 log x 1 0.
Fazendo log x t, vem:
(3 t)2 10t 1 0 ⇒ t 1
9 ou t 1. Daí,
log x 1
9 ⇒ x 10
1
9 910
ou
log x 1 ⇒ x 10.
Os dois valores encontrados satisfazem a condição de existência.
S {910, 10}.
b) A condição de existência dos logaritmos é 0 x 1. Temos:
log x 5 5 1,25 log2
x 5 ⇒ log
x 5 log
x 5 1,25 (log
x 5 )2 ⇒
⇒ logx 5 log
x 5
1
2 1,25 logx 5
1
2 2
⇒
⇒ logx 5 1
2 log
x 5 1,25 1
2 log
x 5
2
Fazendo logx 5 t, vem:
t 1
2 t 1,25 1
2 t
2
⇒ t2 6t 5 0 ⇒ (t 5 ou t 1) ⇒
⇒ (logx 5 5 ou log
x 5 1) ⇒ (x5 5 ou x1 5) ⇒
⇒ (x 55 ou x 5), que satisfazem a condição de existência.
S 55 , 5
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81
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) A condição de existência dos logaritmos é x > 0 (I). Temos:
log8
8
x2
log82 x
3 ⇒ log
8 8 log
8 x2
(log8 x)2
3 ⇒ 1 2 log
8 x
(log8 x)2
3.
Fazendo log8 x t, vem:
1 2t
t2 3 ⇒ 3t2 2t 1 0 ⇒ t 1 ou t
1
3 , isto é,
log8 x 1 ou log
8 x
1
3 ⇒ x 81 ou x 8
1
3 ⇔
⇔ x 1
8 ou x 2, que satisfazem (I).
S 1
8, 2
272. Escrevendo log 5 como log 10
2 , temos:
log 5 log 10
2 log 10 log 2 1 log 2.
A equação proposta é, então, x2 x (1 log 2) log 2 0. Temos:
(1 log 2)2 4 log 2 (1 log 2)2.
Daí,
x (1 log 2) (1 log 2)2
2
(log 2 1) (1 log 2)
2,
donde x' log 2 e x'' 1.
S {log 2, 1}
274. a) Devemos ter x 0 e y 0.
Aplicando a propriedade dos logaritmos na 2a equação, temos:
log2 x log
2 y log
2 8 ⇒ log
2 (x y) log
2 8 ⇒ xy 8.
Então o sistema fica: x y 6
xy 8, cujas soluções são
(x 4 e y 2) ou (x 2 e y 4).
S {(4, 2); (2,4)}
b) Devemos ter x 0 e y 0.
Da 1a equação temos:
4x y 8 ⇒ 22x 2y 23 ⇒ 2x 2y 3.
Da 2a equação, aplicando a propriedade dos logaritmos, vem:
log2 x log
2 y 2 ⇒ log
2
x
y 2 ⇒
x
y 22 ⇒ x 4y.
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82
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Então o sistema proposto fica reduzido a 2x 2y 3
x 4y cuja solução é x 2 e y
1
2.
S 2, 1
2
c) Devemos ter: x 0 e y 0.
Aplicando a propriedade dos logaritmos na 2.a equação, temos:
log x log y 2 ⇒ log (x y) 2 ⇒ x y 102 100.
Então, o sistema proposto fica reduzido a x2 y2 425
xy 100
cujas soluções são (x 20 e y 5) ou (x 5 e y 20).
S {(20, 5); (5, 20)}
d) Devemos ter: x 0 e y 0.
Aplicando as propriedades dos logaritmos na 2.a equação, vem:
2 log x log y 2 log 2 log 3 ⇒ log x2 log y log 22 log 3 ⇒
⇒ log x2
y log (22 3) ⇒
x2
y 12 ⇒ x2 12y.
Assim, o sistema proposto fica reduzido a 2x2 y 75
x2 12y
cujas soluções são (x 6 e y 3) ou (x 6 e y 3).
(Note que x 6 não convém.)
S {(6, 3)}
e) Devemos ter: x 0 e y 0. Da 1.a equação vem:
2 x y 512 ⇒ 2 x y 29 ⇒ x y 9.
Da 2.a equação, aplicando as propriedades dos logaritmos, vem:
log xy 1 log 2 ⇒ log xy log 10 log 2 ⇒
⇒ log xy log (10 2) ⇒ xy 20.
Assim, o sistema proposto fica reduzido a x y 9
xy 20, cujas
soluções são (x 25 e y 16) ou (x 16 e y 25).
S {(25, 16); (16, 25)}
275. Devemos ter x y 0, x y 0, x 0 e y 0 (I).
Da 1.a equação segue que:
2log 1
2
(x y) 5log5
(x y) ⇒ 1
2
1 log 1
2
(x y)
5log5
(x y) ⇒
⇒ 1
2
log 1
2
(x y) 1
5log5
(x y) ⇒ (x y)1 x y ⇒ x2 y2 1.
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83
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Da 2.a equação vem:
log2 x log
2 y
1
2 ⇒ log
2 (x y)
1
2 ⇒ xy 2
1
2 2
Assim, o sistema proposto fica reduzido a x2 y2 1
xy 2
cuja única solução é x 2 e y 1, pois deve satisfazer (I).
S {( 2 , 1)}.
277. a) Devemos ter x 0 e y 0.
Fazendo log x a e log y b, vem: 3a 2b 0
4a 3b 17
que resolvido fornece a 2 e b 3, isto é,
(log x 2 e log y 3) ⇒ (x 102 e y 103).
S {(100, 1 000)}
b) Devemos ter x 0 e y 0.
Fazendo log2 x a e log
2 y b, vem
2a 3b 27
5a 2b 1
que resolvido dá a 3 e b 7. Então:
(log2 x 3 e log
2 y 7) ⇒ (x 23 8 e y 27 128).
S {(8, 128)}
278. Devemos ter x 0 e y 0.
Aplicando propriedades na 1.a equação, temos:
log2 (xy) log
2
x
y 3 ⇒ (log
2 x log
2 y) (log
2 x log
2 y) 3 ⇒
⇒ (log2 x)2 (log
2 y)2 3.
Então, o sistema proposto fica reduzido a (log
2 x)2 (log
2 y)2 3
(log2 x)2 (log
2 y)2 5
Somando membro a membro as equações acima, vem:
(log2 x)2 1 ⇒ (log
2 x 1 ou log
2 x 1) ⇒ x 21
1
2 ou x 2 .
• Se x 1
2, na 1.a equação, segue que:
(log2 y)2 4 ⇒ (log
2 y 2 ou log
2 y 2) ⇒ y
1
4 ou y 4 .
• Se x 2, na 1.a equação, temos novamente y 1
4 ou y 4.
S 1
2,
1
4;
1
2, 4 ; 2,
1
4; (2; 4)
001-156-Manual-FME2.indd 83 23/07/13 16:16
84
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
280. a) Aplicando logaritmo de base 3 a ambos os membros, temos:
9 xlog3 x x3 ⇒ log3 (9 xlog3 x) log
3 x3 ⇒
⇒ log3 9 log
3 xlog3 x 3 log
3 x ⇒ 2 (log
3 x) (log
3 x) 3 log
3 x.
Fazendo log3 x t, vem:
2 t2 3t ⇒ (t 1 ou t 2) ⇒ (log3 x 1 ou log
3 x 2) ⇒
⇒ (x 3 ou x 9), que satisfazem a condição x 0.
S {3, 9}
b) Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, temos:
xlog x 100 x ⇒ log (xlog x) log (100 x) ⇒
⇒ (log x) (log x) log 100 log x.
Fazendo log x t, vem:
t t 2 t ⇒ t2 t 2 0 ⇒ (t 1 ou t 2) ⇒
⇒ (log x 1 ou log x 2) ⇒ x 1
10 ou x 100 , que
satisfazem a condição x 0.
S 1
10, 100
c) A condição de existência do logaritmo é 0 x 1.
Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros, temos:
16logx 2 8x ⇒ logx (16logx 2) log
x (8 x) ⇒
⇒ (logx 2) (log
x 16) log
x 8 log
x x ⇒ (log
x 2) (log
x 24) log
x 23 1 ⇒
⇒ (logx 2) 4 log
x 2 3 log
x 2 1.
Fazendo logx 2 t, temos:
t 4t 3t 1 ⇒ t 1
4 ou t 1 ⇒ log
x 2
1
4 ou log
x 2 1 ⇒
⇒ x
1
4 2 ou x 2 ⇒ (x 161 ou x 2).
S 2, 1
16
d) A condição de existência do logaritmo é: 0 x 1.
Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros, temos:
9log x3 27x ⇒ log
x (9log x
3) logx (27x) ⇒
⇒ (logx 3) (log
x 9) log
x 27 log
x x ⇒
⇒ (logx 3) (2 log
x 3) 3 log
x 3 2.
Fazendo logx 3 t, vem:
2t2 3t 2 ⇒ t 1
2 ou t 2 ⇒
⇒ logx 3
1
2 ou log
x 3 2 ⇒ x
1
81 ou x 3 .
S 1
81, 3
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85
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) A condição de existência do logaritmo é: 0 x 1. Temos:
32 logx 3 xlogx 3x ⇒ 3logx 32
3x
Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros, vem:
3logx 9 3x ⇒ logx (3logx 9) log
x (3x) ⇒
⇒ (logx 9) (log
x 3) log
x 3 log
x x ⇒ 2 log
x 3 log
x 3 log
x 3 1.
Fazendo logx 3 t, vem:
2t2 t 1 0 ⇒ t 1
2 ou t 1 ⇒
⇒ logx 3
1
2 ou log
x 3 1 ⇒ x
1
9 ou x 3 .
S 1
9, 3
281. A condição de existência dos logaritmos é 0 x 1 e x 3 (I).
Notemos inicialmente logx x
1
2. Então, a equação proposta pode
ser escrita como:
2logx (x2 6x 9) 3
2 1
2 1 ⇒ 2logx (x 3)
2
1 ⇒ logx (x 3)2 0 ⇒
⇒ (x 3)2 x0 ⇒ (x 3)2 1 ⇒ (x 3 1 ou x 3 1) ⇒
⇒ (x 2 ou x 4), que satisfazem (I).
S {2, 4}
282. a) A condição de existência dos logaritmos é x 0 (I). Temos:
log (xlog x) 1 ⇒ (log x) (log x) 1 ⇒ (log x)2 1 ⇒
⇒ (log x 1 ou log x 1) ⇒ x 1
10 ou x 10 , que satisfazem (I).
S 1
10, 10
b) A condição de existência dos logaritmos é 0 x 1 (I). Temos:
xlog x 1 100 ⇒ logx 100 log x 1.
Escrevendo logx 100 na base 10, temos:
log 100
log x log x 1 ⇒
2
log x log x 1.
Fazendo log x t, vem:
2
t t 1 ⇒ t2 t 2 0 ⇒ (t 1 ou t 2) ⇒
⇒ (log x 1 ou log x 2) ⇒ x 1
10 ou x 100 , que satisfazem (I).
S 1
10, 100
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86
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) Temos:
xlog x 10 ⇒ xlog x 100 ⇒ logx 100 log x ⇒
⇒ logx 100
1
2 log x.
Escrevendo logx 100 em base 10, vem:
log 100
log x
1
2 log x ⇒
2
log x
log x
2 ⇒ (log x)2 4 ⇒
⇒ (log x 2 ou log x 2) ⇒ x 1
100 ou x 100 .
Verificando x 1
100 , temos:
1
100
log 1
100 1
100
1 10.
Verificando x 100, temos:
100log 100 1001 10.
S 1
100, 100
283. a) A condição de existência do logaritmo é: 0 x 1. Temos:
x3 log2 x 2
3 log x 100
310 ⇒ x3 log2 x
2
3 log x 10
7
3 ⇒
⇒ logx 10
7
3 3 log2 x 2
3 log x ⇒
7
3 log
x 10 3 log2 x
2
3 log x.
Escrevendo logx 10 em base 10, vem:
7
3
log 10
log x 3 log2 x
2
3 log x ⇒
7
3 log x 3 log2 x
2
3 log x.
Fazendo log x t, vem:
7
3t 3t2
2t
3 ⇒ 9t3 2t2 7 0 ⇒ 7t3 2t3 2t2 7 0.
Fatorando por agrupamento, vem:
7(t 1) (t2 t 1) 2t2(t 1) 0 ⇔
⇔ (t 1)(7t2 7t 7 2t2) 0 ⇒ (t 1)(9t2 7t 7) 0,
donde t 1 0 ou 9t2 7t 7 0 ⇒ t 1.
Daí, log x 1 ⇒ x 10, que é solução, pois satisfaz (I).
S {10}
b) Notemos inicialmente que: log2 2
4 y ⇒ (2 2 )y 4 ⇒ y 4
3.
Então:
0
(t ∉ )
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87
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
xlog33 x log
3 x3 3
3 4
3 8 ⇒ x(log3 x)
3 3 log3 x 34 ⇒
⇒ logx 34 (log
3 x)3 3 log
3 x ⇒ 4 log
x 3 (log
3 x)3 3 log
3 x
Escrevendo logx 3 em base 3, vem:
4 log3 3
log3 x
(log3 x)3 3 log
3 x.
Fazendo log3 x t, vem:
4 1
t t3 3t ⇒ t4 3t2 4 0 ⇒ (t 2 ou t 2) ⇒
⇒ (log3 x 2 ou log
3 x 2) ⇒ x
1
9 ou x 9 .
S 1
9, 9
c) Devemos ter: 0 x 1.
xlog2 x 3 log x 1 1 000 ⇒ logx 1 000 log2 x 3 log x 1.
Escrevendo logx 1 000 em base 10, temos:
log 1 000
log x log2 x 3 log x 1 ⇒ 3
log x (log x)2 3 log x 1.
Fazendo log x t, temos:
3
t t2 3t 1 ⇒ t3 3t2 t 3 0 ⇒ t2 (t 3) (t 3) 0 ⇒
⇒ (t 3)(t2 1) 0 ⇒ (t 3 0 ou t2 1 0) ⇒ t 3.
Daí, log x 3 ⇒ x 1 000.
S {1 000}
284. logx (2 xx 2 1) 2x 4 ⇒ 2 xx 2 1 x2x 4 ⇒
⇒ 2 x x 2 1 x2 (x 2).
Fazendo xx 2 t, vem:
2 t 1 t2 ⇒ t2 2t 1 0 ⇒ (t 1)2 0 ⇒
⇒ t 1, isto é, xx 2 1.
Como 0 x 1, temos: x x 2 1 ⇒ x 2 0 ⇒ x 2.
S {2}
285. Devemos ter: 0 x 1.
3 logx
x4x 6 1
2 2x ⇒ log
x
x4x 6 1
2 2x 3 ⇒
⇒ x4x 6 1
2 x2x 3 ⇒
x2 (2x 3) 1
2 x2x 3
Fazendo x 2x 3 t, vem:
(t ∉ )
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88
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
t2 1
2 t ⇒ t2 2t 1 0 ⇒ (t 1)2 0 ⇒
⇒ t 1 ⇒ x2x 3 1.
Como 0 x 1, temos:
x2x 3 1 ⇒ 2x 3 0 ⇒ x 3
2.
S 3
2
286. a) Devemos ter: x 0 e y 0.
Aplicando a propriedade dos logaritmos à 2.a equação, temos:
log2 x log
2 y 2 ⇒ log
2
x
y 2 ⇒
x
y 22 ⇒ x 4y.
Então, o sistema proposto fica reduzido a x y 16
x 4y
donde y 2 (não convém) ou y 2 e x 8.
S {(8, 2)}
b) Devemos ter 0 x 1 e y 0.
Da 2.a equação temos:
xlog2 y 64 ⇒ log x 64 log
2 y (I).
Da 1.a equação vem y 32
x (II).
Substituindo (II) em (I), vem:
logx 64 log
2
32
x ⇒ log
x 64 log
2 32 log
2 x.
Passando logx 64 para a base 2, vem:
log
2 64
log2 x
5 log2 x.
Fazendo log2 x t, vem:
6
t 5 t ⇒ t2 5t 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3) ⇒
⇒ (log2 x 2 ou log
2 x 3) ⇒ (x 4 ou x 8).
Se x 4, de (II), segue que y 8.
Se x 8, de (II), segue que y 4.
S {(4, 8); (8, 4)}
c) Devemos ter: 0 x 1 e y 0.
Da 1.a equação temos:
log5 x 3log3 y 7 ⇒ log
5 x y 7.
Da 2.a equação temos:
xy 512 ⇒ logx 512 y.
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89
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Então, o sistema proposto fica reduzido a log
5 x 1 y 5 7 (I)
y 5 logx 512 (II)
Substituindo (II) em (I), vem:
log5 x 1 log
x 512 5 7 ⇒ log
5 x 1 12 log
x 5 5 7.
Escrevendo logx 5 em base 5, vem:
log5 x 1 12 ? log
5 5
log5 x
5 7.
Fazendo log5 x 5 t, vem:
t 1 12
t 5 7 ⇒ t2 2 7t 1 12 5 0 ⇒ t 5 3 ou t 5 4, isto é,
t 5 3 ⇔ log5 x 5 3 ⇒ x 5 53. Em (II): y 5 log
53 512 ⇒ y 5 4.
t 5 4 ⇔ log5 x 5 4 ⇒ x 5 54. Em (II): y 5 log
54 512 ⇒ y 5 3.
S 5 {(125, 4); (625, 3)}
288. a) A condição de existência dos logaritmos é x 6 (I).
Escrevendo log 13
(x 2 6) em base 3 e aplicando propriedades
dos logaritmos, vem:
log3 (x 1 2) 2 log 1
3
(x 2 6) 5 log3 (2x 2 5) ⇒
⇒ log3 (x 1 2) 2
log3 (x 2 6)
log3 1
3
5 log3 (2x 2 5) ⇒
⇒ log3 (x 1 2) 1 log
3 (x 2 6) 5 log
3 (2x 2 5) ⇒
⇒ log3 [(x 1 2) (x 2 6)] 5 log
3 (2x 2 5) ⇒ (x 1 2) (x 2 6) 5 2x 2 5 ⇒
⇒ x2 2 6x 2 7 5 0 ⇒ (x 5 21 ou x 5 7).
Apenas x 5 7 satisfaz (I).
S 5 {7}
b) A condição de existência dos logaritmos é 1 x 5 (I).
Aplicando propriedades e escrevendo os logaritmos em base 2, vem:
log2 (x 1 2) 1 log 1
2
(5 2 x) 1 colog 12
(x 2 1) 5 log2 (8 2 x) ⇒
⇒ log2 (x 1 2) 1
log2 (5 2 x)
log2 1
2
2 log
2 (x 2 1)
log2 1
2
5 log2 (8 2 x) ⇒
⇒ log2 (x 1 2) 2 log
2 (5 2 x) 1 log
2 (x 2 1) 5 log
2 (8 2 x) ⇒
⇒ log2 (x 1 2)(x 2 1)
5 2 x 5 log2 (8 2 x) ⇒ (x 1 2)(x 2 1)
5 2 x 5 8 2 x ⇒
⇒ x 5 3, que é solução, pois satisfaz (I).
S 5 {3}
c) A condição de existência dos logaritmos é x 4 (I).
Aplicando propriedades e escrevendo os logaritmos em base 3, vem:
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90
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
log3 (x2 2x 2) log 1
3
(2x 1) log3 (x 4) ⇒
⇒ log3 (x2 2x 2)
log3 (2x 1)
log3 1
3
log3 (x 4) ⇒
⇒ log3 (x2 2x 2) log
3 (2x 1) log
3 (x 4) ⇒
⇒ log3
x2 2x 2
2x 1 log
3 (x 4) ⇒
⇒ x2 2x 2
2x 1 x 4 ⇒ x2 5x 6 0 ⇒ x 1 ou x 6.
Apenas x 6 satisfaz (I).
S {6}
290. a) Devemos ter x 0.
Escrevendo log9 x em base 3, vem:
log32 x 5 log
9 x 1 0 ⇒ (log
3 x)2 5
log3 x
log3 9
1 0 ⇒
⇒ (log3 x)2
5
2 log
3 x 1 0.
Fazendo log3 x t, temos:
t2 5
2 t 1 0 ⇒ t
1
2 ou t 2 ⇒
⇒ log3 x
1
2 ou log
3 x 2 ⇒ (x 3 ou x 9).
S { 3 , 9}
b) Devemos ter x 0.
Aplicando propriedades dos logaritmos e passando-os para a
base 2, vem:
log22 x log
8 x8 1 ⇒ (log
2 x)2 8 log
8 x 1 ⇒
⇒ (log2 x)2 8
log2 x
log2 8
1 ⇒ (log2 x)2
8
3 log
2 x 1.
Fazendo log2 x t, vem:
t2 8
3 t 1 0 ⇒ t
1
3 ou t 3 ⇒
⇒ log2 x
1
3 ou log
2 x 3 ⇒ x 2
1
3 ou x 8 .
S 1
32
, 8
c) Devemos ter x 0.
Aplicando propriedades dos logaritmos e escrevendo-os em base
3, vem:
log32 x 2 log
9 x2 ⇒ (log
3 x)2 2 2 log
9 x ⇒
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91
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ (log3 x)2 2 2
log3 x
log3 9
⇒ (log3 x)2 2 2
log3 x
2.
Fazendo log3 x t, vem:
t2 2 t ⇒ (t 1 ou t 2) ⇒ (log3 x 1 ou log
3 x 2) ⇒
⇒ x 1
3 ou x 9 .
S 1
3, 9
291. a) Aplicando propriedades dos logaritmos e passando-os para a
base 2, podemos escrever:
log2 x4 4 log
4
2
x 2 ⇒ 4 log
2 x 4 log
4 2
x
1
2 2 ⇒
⇒ 4 log2 x 2 log
4
2
x 2 ⇒ 4 log
2 x 2 (log
4 2 log
4 x) 2 ⇒
⇒ 4 log2 x 2
1
2 log
4 x 2 ⇒
⇒ 4 log2 x 1 2
log2 x
log2 4
2 ⇒
⇒ 4 log2 x 1 log
2 x 2
Fazendo log2 x t, vem: 4t 1 t 2 ⇒ 4t 1 t ⇒
⇒ t2 2t 1 0 ⇒ (t 1)2 0 ⇒ t 1 ⇒ log2 x 1 ⇒ x 2,
que de fato é solução, por verificação.
S {2}
b) Escrevendo log4 x em base 2, vem:
1 log2 x 4 log
4 x 2 4 ⇒
⇒ 1 log2 x
4 log
2 x
log2 4
2 4 ⇒
⇒ 1 log2 x 2 log
2 x 2 4.
Fazendo log2 x t, vem:
1 t 2t 2 4 ⇒ (t 99 ou t 3).
Verificando t 99: 100 196 4 (F).
Verificando t 3: 4 4 4 (V).
Assim, t 3 ⇔ log2 x 3 ⇒ x 8, que é de fato solução, pois:
1 log2 8 4 log
4 8 2 4 4 4 (V)!
S {8}
292. 1 log
2 (x 4)
log2 ( x 3 x 3)
1 ⇒
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92
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒ 1 log2 (x 4) log
2 ( x 3 x 3 ) ⇒
⇒ log2 2 log
2 (x 4) log
2 ( x 3 x 3 ).
Aplicando a propriedade dos logaritmos e escrevendo-os em base 2, vem:
log2 [2 (x 4)]
log2 ( x 3 x 3 )
log2 2
⇒
⇒ log2 (2x 8) 2 log
2 ( x 3 x 3 ) ⇒
⇒ log2 (2x 8) log
2 ( x 3 x 3 )2 ⇒
⇒ 2x 8 ( x 3 x 3 )2 ⇒ (x 5 ou x 5).
Como x 5 não convém, a única solução é x 5.
S {5}
293. a) Devemos ter y 0 e x y.
Da 1.a equação, vem:
log 12
(y x) log2 1
y 2 ⇒
log2 (y x)
log2 1
2
log2
1
y 2 ⇒
⇒ log2 (y x) log
2
1
y 2 ⇒ log
2
1
y
y x 2 ⇒
⇒
1
y
y x 22 ⇒ x
y2 4
y (I).
Substituindo esse valor de x na 2.a equação, vem y2 4
y
2
y 2 25.
Fazendo y 2 t, segue que:
(t 4)2
t t 25 ⇒ 2t2 33t 16 0 ⇒ t 16 ou t 1
2 ⇒
⇒ y2 16 ou y2 1
2 y 4 ou y
2
2.
Em (I), temos que:
y 4 ⇒ x 42 4
4 3 e y
2
2 ⇒
⇒ x
2
2
2
4
2
2
7 2
2
S (3, 4); 7 2
2 , 2
2
b) Devemos ter y 2 e x2 2y2 10y 7 0 (I).
Da 1.a equação, vem:
log9 ( x2 1) log3 (y 2) 0 ⇒
log3 (x2 1)
log3 9
log3 (y 2) ⇒
y 0
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93
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ log3 (x2 1) 2 log
3 (y 2) ⇒ log
3 (x2 1) log
3 (y 2)2 ⇒
⇒ x2 1 (y 2)2 ⇒ x2 y2 4y 3 (II).
De 2.a equação vem:
log2 (x2 2y2 10y 7) 2 ⇒ x2 2y2 10y 7 22.
Por (II): (y2 4y 3) 2y2 10y 7 4 0 ⇒ y2 6y 8 0 ⇒
⇒ y 2, que não convém, pois não satisfaz (I), ou y 4.
Substituindo y 4 em (II), temos:
x2 42 4 4 3 ⇒ x 3 ou x 3 .
S {( 3 ,4); ( 3 ,4)}
c) Devemos ter x y 0 e x y 0 (I).
Da 1.a equação temos que:
log9 (x2 2) log
81 (y2 9) 2 ⇒ log
9 (x2 2)
log9 (y2 9)
log9 81
2 ⇒
⇒ log9 (x2 2)
1
2 log
9 (y2 9) 2 ⇒
⇒ log9 (x2 2) (y2 9)
1
2 2 ⇒ (x2 2) (y2 9)
1
2 81 (II).
Da 2.a equação temos que:
2 log4 (x y) log
2 (x y ) ⇒ 2
log2 (x y)
log2 4
log2 (x y) ⇒
⇒ x y x y ⇒ y 0.
Substituindo y 0 em (II), vem:
(x2 2) 9
1
2 81 ⇒ x 5 ou x 5.
x 5 e y 0 não satisfazem (I).
x 5 e y 0 satisfazem (I).
S {(5, 0)}
d) Da 1.a equação vem:
log3 (log
2 x) log 1
3
log 1
2
y 1 ⇒
⇒ log3 (log
2 x)
log3 log 1
2
y
log3 1
3
1 ⇒
⇒ log3 (log
2 x) log
3 log 1
2
y 1 ⇒ log3 log
2 x
log 1
2
y 1 ⇒
⇒ log2 x
log 1
2
y 3 ⇒ log
2 x 3 log 1
2
y (I).
Da 2.a equação, aplicando logaritmo de base 2 a ambos os mem-
bros, vem:
xy2 4 ⇒ log2 (x y2) log
2 4 ⇒ log
2 x log
2 y2 2 ⇒
⇒ log2 x 2 log
2 y 2.
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94
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Por (I), podemos escrever:
3 log 1
2
y 2 log2 y 2 ⇒ 3 log
2 y
log2 1
2
2 log2 y 2 ⇒
⇒ 3 log2 y 2 log
2 y 2 ⇒ log
2 y 2 ⇒ y
1
4.
Substituindo y 1
4 em (I) segue que:
log2 x 3 log 1
2
1
4 ⇒ log
2 x 6 ⇒ x 26 64.
S 64, 1
4
e) Devemos ter: x 0 e y 0.
Escrevendo os logaritmos das duas equações em base 2, vem:
log
2 x log
4 y a
log4 x log
8 y b
log2 x
log2 y
log2 4
a
log2 x
log2 4
log
2 y
log2 8
b
⇔
⇔
log2 x
1
2 log
2 y a (I)
1
2 log
2 x
1
3 log
2 y b
Somando à 2.a equação a 1.a multiplicada por 1
2 , vem:
1
4
1
3 log
2 y
a
2 b ⇒
1
12 log
2 y
a 2b
2 ⇒
⇒ log2 y 6a 12b ⇒ y 26a 12b.
Substituindo y 26a 12b em (I), segue que:
log2 x
1
2 log
2 26a 12b a ⇒ log
2 x
1
2 (6a 12b) a ⇒
⇒ log2 x 4a 6b ⇒ x 24a 6b.
S {(24a 6b, 26a 12b)}
295. Escrevendo log16
(x 3) em base 4, vem:
log4 (x 3) log
16 (x 3) 1 ⇒ log
4 (x 3)
log4 (x 3)
log4 16
1.
Fazendo log4 (x 3) t, vem:
t t
2 1 ⇒ t 2, isto é, log
4 (x 3) 2 ⇒ x 3 42 ⇒ x 19,
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95
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
que é solução, pois satisfaz a condição x 3.
S {19}
296. A equação x2 x (logb a) 2 log
a b 0 tem duas raízes reais e
iguais se, e somente se, D 0, isto é,
(log b a)2 4 2 log
a b 0 ⇒ (log
b a)2 8 log
a b 0.
Lembrando que loga b
1
logb a
, temos: (logb a)2 8
1
logb a
0.
Fazendo logb a t, vem:
t2 8
t 0 ⇒ t 2, isto é, log
b a 2 ⇒ a b2.
297. A condição de existência dessa equação é: 0 x 1.
Notemos inicialmente que:
log x x2 y ⇒ ( x )
y x2 ⇒ y 4 e log
x 2
1
log2 x
.
Então, temos:
log2 x log x x
2 logx 2 ⇒ log
2 x 4
1
log2 x
.
Fazendo log2 x t, temos:
t 4 1
t ⇒ t2 4t 1 0 ⇒ t 2 5 ou t 2 5,
isto é, log2 x 2 5 ou log
2 x 2 5 ⇒ x 22 5 ou x 22 5.
S {22 5, 22 5}
298. Como sabemos, loga2 x
1
logX a2
1
2 logX a
.
Escrevendo logx 2
a em base x, vem:
logx 2
a log
x a
logX x2
logx a
2.
Então, temos:
loga2 x log
x 2 a 1 ⇒
1
2 logx a
log
x a
2 1.
Fazendo logx a t, temos:
1
2t
t
2 1 ⇒ t2 2t 1 0 ⇒ (t 1)2 0 ⇒ t 1 ⇒
⇒ logx a 1 ⇒ x a.
299. A condição de existência dessa equação é 0 x 1 (I).
Expressando log(x 1)
x em base x, temos:
logx (x 1) log
(x 1) x ⇒ log
x (x 1)
logx x
logx (x 1)
⇒
⇒ logx (x 1)
1
logx (x 1)
⇒
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96
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒ (logx (x 1))2 1 ⇒ log
x (x 1) 1 ou log
x (x 1) 1.
Se logx (x 1) 1 ⇒ x1 x 1 ⇒ x
1 5
2, que não
convém, pois não satisfaz (I), ou x 1 5
2 (satisfaz (I)).
Se logx (x 1) 1 ⇒ x 1 x ⇒ 0 1, absurdo!
S 1 5
2
300. a) Devemos ter: 0 x 1.
log2 x log
x 2 ⇒ log
2 x
log2 2
log2 x
⇒ (log2 x)2 1 ⇒
⇒ (log2 x 1 ou log
2 x 1) ⇒ x
1
2 ou x 2 .
S 1
2, 2
b) Devemos ter: 0 x 1.
log3 x 1 log
x 9 ⇒ log
3 x 1
log3 9
log3 x
.
Fazendo log3 x t, vem:
t 1 2
t ⇒ t2 t 2 0 ⇒ (t 1 ou t 2) ⇒
⇒ (log3 x 1 ou log
3 x 2) ⇒ x
1
3 ou x 9 .
S 1
3, 9
c) Devemos ter: 0 x 1.
log2 x 8 log
x2 2 3 ⇒ log2 x 8
log2 2
log2 x2 3 ⇒
⇒ log2 x
8
2 log2 x
3.
Fazendo log2 x t, vem:
t 8
2t 3 ⇒ 2t2 6t 8 0 ⇒ (t 4 ou t 1) ⇒
⇒ (log2 x 4 ou log
2 x 1) ⇒ x 16 ou x
1
2.
S 1
2, 16
001-156-Manual-FME2.indd 96 23/07/13 16:16
97
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
d) Devemos ter: 0 x 1.
log x 2 4 2 log4 x 9 0 ⇒
log2 2
log2 x
8 log
2 x
log2 4
9 0 ⇒
⇒ 1
log2 x
1
2
4 log2 x 9 0 ⇒
1
1
2 log
2 x
4 log2 x 9 0.
Fazendo log2 x t, vem:
2
t 4t 9 0 ⇒ 4t2 9t 2 0 ⇒ t
1
4 ou t 2 ⇒
⇒ log2 x
1
4 ou log
2 x 2 ⇒ x
142
ou x 1
4.
S 1
42
, 1
4
301. a) Notemos inicialmente que:
log 5 5 5 y ⇒ ( 5 )y 5 5 ⇒ 5
y
2 5
3
2 ⇒ y 3.
Então: log 5 x logx 5 5 log 5 5 5 6 ⇒
⇒ log 5 x logx 5 5 3 6 ⇒
⇒ log 5 x log 5 5 5
log 5 x 3 6 .
Fazendo log 5 x t, vem:
t 3
t 3 6 ⇒ t2 t 2 0 ⇒ (t 1 ou t 2).
t 1 não é solução da equação irracional, pois
1 3
1 3 6 . (F)
t 2 é solução da equação irracional, pois
(2) 33
2 6 . (V)
Assim, t 2 ⇒ log 5 x 2 ⇒ x ( 5 )2
1
5.
S 1
5
b) Escrevendo logx 27 em base 3, vem:
1 logx 27 log
3 x 1 0 ⇒
log3 27
log3 x
1 log3 x 1 0.
Fazendo log3 x t e lembrando que log
3 27
3
2 , vem:
1 3
2t t 1 0 ⇒ t2
3
2 t 1 0 ⇒ t 2 ou t
1
2.
t 2 é solução da equação irracional, pois:
1 3
2(2) (2) 1 0. (V)
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98
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
t 1
2 não é solução da equação irracional, pois:
1 3
2 1
2
1
2 1 0. (F)
Daí, t 2 ⇒ log3 x 2 ⇒ x
1
9.
S 1
9
302. Devemos ter 0 x 10 e x 1 (I).
1 2 logx 2 log
4 (10 x)
2
log4 x
⇒
⇒ 1 2 log
4 2
log4 x
log4 (10 x)
2
log4 x
.
Fazendo log4 x a e log
4 (10 x) b (II), temos:
1 2
1
2
a b
2
a ⇒ a b 2 ⇒ a 2 b (III).
De (II) segue que: 4a x
4b 10 x
Utilizando (III) na 1ª. equação, vem:
42 b x ⇔ 42
4b x ⇒
16
10 x x ⇒ x2 10x 16 0 ⇒
⇒ (x 2 ou x 8), que são soluções, pois satisfazem (I).
S {2, 8}
303. a) Devemos ter 0 x 1 e 0 y 1.
Como logy x
1
logx y
, temos na 1ª. equação:
logy x log
x y
5
2 ⇒
1
logx y
logx y
5
2 (I).
Aplicando logaritmo de base x à 2ª. equação, vem:
xy 8 ⇒ logx (x y) log
x 8 ⇒ 1 log
x y log
x 8 ⇒
⇒ logx y log
x 8 1 (II).
Substituindo (II) em (I), temos: 1
logx 8 1
logx 8 1
5
2.
Fazendo logx 8 t, vem:
1
t 1 t 1
5
2 ⇒ 2t2 9t 9 0 ⇒ t 3 ou t
3
2.
Se t 3, logx 8 3 ⇒ x3 8 ⇒ x 2.
Em (II): log2 y log
2 8 1 ⇒ log
2 y 2 ⇒ y 4.
Se t 3
2, log
x 8
3
2 ⇒ x 4.
001-156-Manual-FME2.indd 98 23/07/13 16:16
99
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Em (II): log4 y log
4 8 1 ⇒ log
4 y
1
2 ⇒ y 2.
S {(2, 4); (4, 2)}
b) Devemos ter: 0 x 1 e 0 y 1.
Expressando os logaritmos da 1ª. equação em base x, vem:
3 logy2 x log 1
x
y 10 ⇒ 3 2 log
x x
logx y2
logx y
logx 1
x
10 ⇒
⇒ 3 2
2 logx y
logx y 10 ⇒
1
logx y
logx y
10
3 (I).
Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros da 2ª. equa-
ção, temos:
xy 81 ⇒ logx (xy) log
x 81 ⇒ 1 log
x y log
x 81 ⇒
⇒ logx y log
x 81 1 (II).
Substituindo (II) em (I), vem:
1
logx 81 1
logx 81 1
10
3.
Fazendo logx 81 t, temos:
1
t 1 t 1
10
3 ⇒ 3t2 16t 16 0 ⇒ t 4 ou t
4
3.
1ª. possibilidade: t 4
Temos: logx 81 4 ⇒ x4 81 ⇒ x 3 (não convém) ou x 3.
Se x 3, em (II), temos: log3 y log
3 81 1 ⇒ y 33 27.
2a. possibilidade: t 4
3
Temos: logx 81
4
3 ⇒ x 27. Se x 27, em (II) temos:
log27
y log27
81 1 ⇒ log27
y 1
3 ⇒ y 3.
S {(3, 27), (27, 3)}
304. Devemos ter 4 x 0
x 3 0⇒ 3 x 4.
Expressando os logaritmos em base 2, temos:
log6 (x 3)
log2 (x 3)
log2 6
; log0,25
(4 x) log
2 (4 x)
log2 0,25
1
2 log
2 (4 x).
Então, voltando à equação, temos:
1
log6 (x 3)
2 log
0,25 (4 x)
log2 (x 3)
1 ⇒
⇒ log
2 6
log2 (x 3)
2 1
2 log
2 (4 x)
log2 (x 3)
1 ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 99 23/07/13 16:16
100
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒ log
2 6 log
2 (4 x)
log2 (x 3)
1 (*) ⇒ log2
6
4 x log
2 (x 3) ⇒
⇒ 6
4 x x 3 ⇒ x2
x 6 0 ⇒ (x 2 ou x 3).
Notemos, porém, que x 2 não convém, pois x 2 anula o
denominador de (*).
Logo, a única solução da equação é x 3.
S {3}
306. a) logx 3 log x
3
3 log x
81
3 0 ⇒ 1
log3 x
1
log3 x
3
1
log3 x
81
0 ⇒
⇒ 1
log3 x
1
log3 x 1
1
log3 x 4
0.
Fazendo log3 x t, vem:
1
t
1
t 1
1
t 4 0 ⇒ t2 4 0 ⇒ (t 2 ou t 2) ⇒
⇒ (log3 x 2 ou log
3 x 2) ⇒ x 9 ou x
1
9 .
S 9, 1
9
b) log3x
3
x log
3 27x2 5 ⇒
log3 3
x log
3 3x
log3 27x2 5 ⇒
⇒ 1 log
3 x
1 log3 x
(3 2 log3 x) 5
Fazendo log3 x t, vem:
1 t
1 t (3 2t) 5 ⇒ (1 t) (3 2t)(1 t) 5 (1 t) ⇒
⇒ 2t2 t 1 0 ⇒ t 1 ou t 1
2 ⇒
⇒ log3 x 1 ou log
3 x
1
2 ⇒ x 3 ou x
1
3
3
3.
S 3, 3
3
c) Expressando os logaritmos em base 2, vem:
logx 8
log2 8
log2 x
3
log2 x
; log2x
8 log
2 8
log2 2x
3
1 log2 x
;
log4x
8 log
2 8
log2 4x
3
2 log2 x
.
001-156-Manual-FME2.indd 100 23/07/13 16:16
101
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Temos:
1
logx 8
1
log2x
8
1
log4x
8 2 ⇒
⇒ 1
3
log2 x
1
3
1 log2 x
1
3
2 log2 x
2
Fazendo log2 x t, vem:
t
3
1 t
3
2 t
3 2 ⇒ t 1 ⇒ log
2 x 1 ⇒ x 2, que
é, de fato, solução.
S {2}
d) Notemos que x 1 é solução particular da equação.
Expressando os logaritmos em base x, vem:
log x
2
x2 14 log16x
x3 40 log4x
x 0 ⇒
⇒ 2 log x
2
x 42 log16x
x 20 log4x
x 0 ⇒
⇒ 2 log
x x
logx x
2
42 log
x x
logx (16x)
20 log
x x
logx 4x
0 ⇒
⇒ 2
1 logx 2
42
logx 24 1
20
logx 22 1
0 ⇒
⇒ 2
1 logx 2
42
4 logx 2 1
20
2 log2 x 1
0.
Fazendo logx 2 t, vem:
2
1 t
42
4t 1
20
2t 1 0 ⇒
1
1 t
10
2t 1
21
4t 1 ⇒ 2t2 3t 2 0 ⇒
⇒ t 1
2 ou t 2 , isto é,
logx 2
1
2 ⇒ x 2 ⇒ x 4 ou
logx 2 2 ⇒
1
x2 2 ⇒ x
1
2.
Como x 1
2 não convém, x
1
2.
S 1, 4, 1
2
001-156-Manual-FME2.indd 101 23/07/13 16:16
102
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
307. Como log 11 x
10 1
log 1
1 x
, podemos escrever:
1
log 1
1 x
log (x2 3x 2) 2 1
log 1
1 x
log (x 3) ⇒
⇒ log (x2 3x 2)
log 1
1 x
log (x 3)
log 1
1 x
2 ⇒
⇒
log x2 3x 2
x 3
log 1
1 x
2 ⇒ log x2 3x 2
x 3 2 log
1
1 x ⇒
⇒ log x2 3x 2
x 3 log
1
1 x
2
⇒ log x2 3x 2
x 3 log (1 x) ⇒
⇒ x2 3x 2
x 3 1 x ⇒ x 5.
S {5}
308. Lembrando que aloga b b, temos:
xlog22 x
2 log2 (2x) 2 (x 2)2
log(x 2)2 4
1
2 3 ⇒
⇒ x(2 log2 x)2 [log
2 2 log
2 x] 2 4
1
2 3 ⇒
⇒ x(2 log2 x)2 log
2 x 3 1
Notando que x 1 é solução particular dessa equação exponencial,
para x 1 temos:
(2 log2 x)2 log
2 x 3 0.
Fazendo log2 x t, vem:
4t2 t 3 0 ⇒ t 3
4 ou t 1, isto é,
log2 x
3
4 ou log
2 x 1 ⇒ x 2
3
4 ou x 2.
S 1, 2
3
4 , 2
309. a) loga (ax) log
x (ax) log
a2 1
a ⇒ log
a (ax)
loga (ax)
loga x
1
2 ⇒
⇒ (loga x 1)
(1 loga x)
loga x
1
2
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103
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo loga x t, vem:
(t 1) (1 t)
t
1
2 ⇒ 2t2 5t 2 0 ⇒ t
1
2 ou t 2 ⇒
⇒ loga x
1
2 ou log
a x 2 ⇒ x a
1
2 ou x a2 .
S a
1
2 , a2
b) 2 logx a log
ax a 3 log
a2x a 0 ⇒
⇒ 2 logx a
logx a
logx (ax)
3 log
x a
logx (a2 x)
0 ⇒
⇒ 2 logx a
logx a
1 logx a
3 log
x a
1 2 logx a
0
Fazendo logx a t, vem:
2t t
1 t
3t
1 2t 0 ⇒ 4t3 11t2 6t 0 ⇒
⇒ t(4t2 11t 6) 0.
1ª. possibilidade: t 0, isto é, logx a 0 ⇒ a 1, o que é
impossível por hipótese.
2ª. possibilidade: 4t2 11t 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3
4). Daí,
t 2, logx a 2 ⇒ x2 a ⇒ x a
1
2
ou t 3
4, log
x a
3
4 ⇒ x
3
4 a ⇒ x a
4
3
S a
1
2 , a
4
3
c) Como loga x
1
logx a
, podemos escrever:
logx (ax)
1
logx a
1 logx a ⇒
⇒ (logx a 1)
1
logx a
1 logx a
1
2 ⇒
⇒ (logx a 1)
1
logx a
1 1
2 log
x a.
Fazendo logx a t, vem:
(t 1) 1
t 1
t
2 ⇒
t 1
t
2 t
2 ⇒
⇒ t2 2 0 ⇒ (t 2 ou t 2 ). Se t 2 , log
x a 2 ⇒ a x 2 ⇒ x a
1
2.
ou
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104
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Se t 2 , logx a 2 ⇒ a x 2 ⇒ x a
1
2.
S a
1
2, a
1
2
d) Expressando os logaritmos em base x, 0 x 1, vem:
loga2 x
a log
x a
logx (a2 x )
log
x a
logx a2 log
x x
log
x a
2logx a
1
2
log2x
a log
x a
logx (2x)
log
x a
1 logx 2
; a 0 e 0 x 1
2 (*).
logax
a log
x a
logx (ax)
log
x a
1 logx a
log 1a
2x log
x (2x)
logx 1
a
log
x 2 1
logx a
.
Fazendo logx a m e log
x 2 n, a equação pode ser reescrita
como:
m
2m 1
2m
1 n
m
1 m
n 1
m 0 ⇒
1 n
2m 1
2
n 1
m 1 0 ⇒
⇒ (n 1) 1
2m 1
2
1
m 1 0
1ª. possibilidade: n 1 0 ⇒ n 1 ⇒ logx 2 1 ⇒ x
1
2,
não convém, pois não satisfaz (*).
2ª. possibilidade: 1
2m 1
2
1
m 1 0 ⇒ m
1
2 ⇒
⇒ logx a
1
2 ⇒ x
1
2 a ⇒ x a2.
S {a2}
310. Expressando os logaritmos em base 2, temos:
log
2 x
log22 a
2 log
a x
log 1
b
a log 3
a x log
a x ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 104 23/07/13 16:16
105
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ log
2 x
log22 a
2
log2 x
log2 a
log2 a
log2 1
b
log
2 x
log2 3
a
log2 x
log2 a
⇒
⇒ log
2 x
(log2 a)2
2 log
2 x log
2 b
(log2 a)2
3 (log
2 x)2
(log2 a)2
⇒
⇒ log2 x 2 log
2 x log
2 b 3(log
2 x)2
Fazendo log2 x t, vem:
t 2t log2 b 3t2 ⇒ 3t2 t 2t log
2 b 0 ⇒
⇒ t(3t 1 2 log2 b) 0 ⇒ t 0 ou 3t 1 2 log
2 b 0.
1ª. possibilidade: t 0
t 0 ⇒ log2 x 0 ⇒ x 1
2ª. possibilidade: 3t 1 2 log2 b 0 ⇒ t
1 2 log2 b
3. Daí,
log2 x
1 2 log2 b
3 ⇒ 3 log
2 x 1 2 log
2 b ⇒
⇒ 3 log2 x log
2 2 log
2 b2 ⇒ log
2 x3 log
2 (2 b2) ⇒ x3 2b2 ⇒
⇒ x 32b2 .
S {1, 32b2 }
311. Devemos ter: x 0.
Expressando os logaritmos em base 2, vem:
log2 x log
3 x log
4 x 1 ⇒ log
2 x
log2 x
log2 3
log
2 x
log2 4
1.
Fazendo log2 x t, temos:
t t
log2 3
t
2 1 ⇒ t 1
1
log2 3
1
2 1 ⇒
⇒ t 2 log
2 3 2 log
2 3
2 log2 3
1 ⇒
⇒ t (2 log2 3 2 log
2 3) 2 log
2 3 ⇒
⇒ t (log2 32 log
2 4 log
2 3) log
2 32 ⇒ t [log
2 (32 4 3)] log
2 9 ⇒
⇒ t log
2 9
log2 108
log108
9.
Então,
log2 x log
108 9 ⇒ x 2log
108 9.
S {2log108
9}
312. 10loga (x2 3x 5) 3loga 10 ⇒ log
10 3loga 10 log
a (x2 3x 5) ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 105 23/07/13 16:16
106
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒ loga 10 log
10 3 log
a (x2 3x 5) ⇒
⇒ log10
3 log
a (x2 3x 5)
loga 10
⇒ log10
3 log10
(x2 3x 5) ⇒
⇒ x2 3x 5 3 ⇒ (x 1 ou x 2).
S {1, 2}
313. Escrevendo os logaritmos em base 10, temos:
1 log (a x)
log (x b)
2 log(a b)
4
log(a b)
(x b) ⇒ 1
log (a x)
log (x b)
2 log
4
log (a b)
log (x b)
log (a b)
⇒ log (x b) log (a x)
log (x b)
2 log (a b) log 4
log (a b)
log (x b)
log (a b)
⇒ log [(x b) (a x)]
log (x b)
log (a b)2
4log (x b)
x (1 b)
log [(x b)(a x)] log (a b)2
4 ⇒
⇒ (x b)(a x) (a b)2
4 ⇒
⇒ 4x2 4x (a b) (a2 6ab b2) 0, cujo discriminante é:
D [4(a b)]2 4 4 (a2 6ab b2)
D 64ab
Logo,
x 4a 4b 8 ab
8, donde x
a b
2 ab ou x
a b
2 ab.
S a b
2 ab ;
a b
2 ab
314. a) Expressando os logaritmos da 2ª. equação em base 2, vem:
log y2 2 log
xy 4 ⇒
log2 2
log2 y2
log
2 4
log2 (xy)
⇒
⇒ 1
2 log2 y
2
log2 x log
2 y
⇒ 4 log2 y log
2 x log
2 y ⇒
⇒ 3 log2 y log
2 x log
2 y3 log
2 x ⇒ x y3 (I).
Substituindo (I) na 1ª. equação, vem:
x2 4y3 96 ⇒ x2 4 x 96 0 ⇒ x 12 ou x 8.
Se x 12, em (I), vem: y3 12 ⇒ y 312.
Se x 8, em (I), vem: y3 8 ⇒ y 2.
S {(12, 312); (8, 2)}
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107
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
b) Da 2ª. equação vem:
log4 y log
y (y 3x) 1 ⇒
1
logy 4
logy (y 3x) 1 ⇒
⇒ logy (y 3x) log
y 4 ⇒ y 3x 4 (I).
Aplicando logaritmo de base y a ambos os membros da 1a.
equação, vem:
y xlogy x x5
2 ⇒ logy (y xlogy x) log
y x
5
2 ⇒
⇒ 1 (logy x) (log
y x)
5
2 (log
y x).
Fazendo logy x t, vem:
1 t2 5t
2 ⇒ t
1
2 ou t 2 , isto é,
logy x
1
2 ou log
y x 2 ⇒ x y ou x y2 (II).
Substituindo (II) em (I), temos:
1º. caso: x y e y 3x 4 ⇒ y 3 y 4 ⇒ y 1 (não
convém, pois y é base do sistema de logaritmo) ou y 16.
Se y 16, x 16 4.
2º. caso: x y2 e y 3x 4 ⇒ y 3y2 4 ⇒ 3y2 y 4 0,
que não apresenta raízes reais.
S {(4, 16)}
c) Escrevendo os logaritmos da 1ª. equação em base y (0 y 1),
vem:
x log2 y log 1
x
2 y y (1 logx 2) ⇒
⇒ x log
y y
logy 2
log
y 2
logy
1
x
y3
2 1 log
y 2
logy x
⇒
⇒ x
logy x
y3
2 (log
y x log
y 2)
logy x
(I).
Escrevendo os logaritmos da 2ª. equação em base 2, vem:
logy3 2 log
2 x 1 ⇒
log2 2
log2 y3
log2 x
log2 2
1 ⇒
⇒ 1
3 log2 y
log
2 x
1
2
1 ⇒ 2
3
log2 x
log2 y
1 ⇒
⇒ 2
3 log
y x 1 ⇒ log
y x
3
2 (II).
Substituindo (II) em (I) e notando que, por (II), x y3
2 , vem:
001-156-Manual-FME2.indd 107 23/07/13 16:16
108
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
x
logy x
y3
2 log
y x log
y2
logy x
⇒
⇒ x
3
2
x
3
2 log
y 2
3
2
x 0
1 3
2 log
y 2 ⇒
⇒ logy 2
5
2 ⇒ y
5
2 2 ⇒ y 22
5.
De (II), x y3
2 22
5
3
2
23
5.
S 23
5, 22
5
315. Da 2ª. equação vem:
x2 y2 2 ⇒ log2 (x2 y2) log
2 2 ⇒ log
2 [(x y)(x y)] 1 ⇒
⇒ log2 (x y) log
2 (x y) 1 ⇒ log
2 (x y) 1 log
2 (x y).
Substituindo essa expressão na 1ª. equação, vem:
log2 (x y) log
3 (x y) 1 ⇒ 1 log
2 (x y) log
3 (x y) 1 ⇒
⇒ log2 (x y) log
3 (x y) ⇒ log
2 (x y) log
3 (x y)1.
Transformando para a base 2, vem:
log2 (x y) log
3
1
x y ⇒ log
2 (x y)
log2
1
x y
log2 3
⇒
⇒ log2 (x y)
log2 (x y)
log2 3
⇒ log2 (x y) log
2 3 log
2 (x y) ⇒
⇒ log2 (x y) log
2 3 log
2 (x y) 0 ⇒ log
2 (x y) [log
2 3 1] 0 ⇒
⇒ log2 (x y) 0 ou log
2 3 1 0 (F)!
Então: log2 (x y) 0 ⇒ x y 1 (I)
Como x2 y2 (x y)(x y), vem:
2 (x y) 1 ⇒ x y 2 (II)
De (I) e (II) vem que x 3
2 e y
1
2 .
S 3
2, 1
2
316. Escrevendo cada um dos logaritmos das três equações em base 2, vem:
log2 x log
4 y log
4 z 2
log3 y log
9 z log
9 x 2
log4 z log
16 x log
16 y 2
log2 x
log2 y
log2 4
log
2 z
log2 4
2
log2 y
log2 3
log
2 z
log2 9
log
2 x
log2 9
2
log2 z
log2 4
log
2 x
log2 16
log
2 y
log2 16
2
⇔⇔
001-156-Manual-FME2.indd 108 23/07/13 16:16
109
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
log2 x
log2 y
2
log2 z
2 2
log2 y
log2 3
log
2 z
2 log2 3
log
2 x
2 log2 3
2
log2 z
2
log2 x
4
log2 y
4 2
⇔
Fazendo log2 x a, log
2 y b e log
2 z c, vem:
Resolvendo o sistema acima por Cramer, temos:
D
2 1 1
1 2 1
1 1 2
4; a D
A
D
4 1 1
4 log2 3 2 1
8 1 2
4 ⇒
⇒ a 4 log
2 81
4
log2 16 log
2 81
4
log2
16
81
4
log2
2
3
4
4 log
2
2
3.
Analogamente,
b 12 log
2 3 12
4
12(log2 3 1)
4 3(log
2 3 log
2 2)
3 log2
3
2 log
2
27
8;
c 20 4 log
2 3
4
4(5 log2 3)
4 log
2 32 log
2 3 log
2
32
3.
Dessa forma, temos:
log2 x a ⇒ log
2 x log
2
2
3 ⇒ x
2
3
log2 y b ⇒ log
2 y log
2
27
8 ⇒ y
27
8
log2 z c ⇒ log
2 z log
2
32
3 ⇒ z
32
3.
S 2
3,
27
8,
32
3
a b
2
c
2 2
b
log2 3
c
2 log2 3
a
2 log2 3
2
c
2
a
4
b
4 2
⇔
2a b c 4
a 2b c 4 log2 3
a b 2c 8
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110
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
317. Aplicando logaritmo de base a (0 a 1) a ambos os membros da
1ª. equação, vem:
ax by ab ⇒ loga (ax by) log
a (ab) ⇒ x y log
a b 1 log
a b ⇒
⇒ x 1 (1 y) loga b (I).
Transformando para a base a os logaritmos da 2ª. equação, temos:
2 loga x log 1
b
y loga b ⇒ 2 log
a x
loga y
loga 1
b
loga b
loga a
⇒
⇒ loga x2
loga y
loga b
loga b
1
2
⇒ loga x2 2 log
a y ⇒
⇒ loga x2 log
a y2 ⇒ x2 y2 ⇒ x
1
y ou x
1
y.
Voltando a (I), temos:
1º. caso: x 1
y, isto é,
x 1 (1 y) loga b ⇒
1
y 1 (1 y) log
a b ⇒
1 y
y (1 y) log
a b
(1 y) 1
y log
a b 0 ⇒ y 1 ou y
1
loga b
logb a
Se y 1, x 1
y 1.
Se y logb a, x
1
logb a
loga b.
2º. caso: x 1
y não ocorre, pois, para garantir a existência dos
logaritmos do sistema devemos ter x 0 e y 0.
S [(1, 1); (loga b, log
b a)]
318. Da 1ª. equação temos:
log12
x (log2 x log
2 y) log
2 x ⇒ log
12 x log
2 (xy) log
2 x ⇒
⇒ log12
x log
2 x
log2 (xy)
, xy 1.
Por outro lado, escrevendo log12
x em base 2, temos:
log12
x log
2 x
log2 (xy)
⇒ log
2 x
log2 12
log
2 x
log2 (xy)
⇒
⇒ log2 x
1
log2 12
1
log2 (xy)
0 ⇒ log2 x 0 ou log
2 12 log
2 (xy) ⇒
⇒ x 1 (não convém)
ou
log2 12 log
2 (xy) ⇒ xy 12 (I).
Da 2ª. equação temos que:
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111
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
log2 x log
3 (x y) 3 log
3 x ⇒ log
2 x
log3 x3
log3 (x y)
logx y
x3.
Passando para a base 2, vem:
log2 x
log2 x3
log2 (x y)
⇒ log2 x
3 log2 x
log2 (x y)
por (I)
⇒ log2 x
3 log2 x
log2 x
12
x
x 1
log2 x
12
x 3 ⇒ x
12
x 8 ⇒
⇒ x2 8x 12 0 ⇒ x 2 ou x 6.
Se x 2, por (I), vem que y 6.
Se x 6, por (I), vem com y 2.
S {(2, 6); (6, 2)}
319. a) Notemos que x y 1 é solução particular desse sistema.
Para 0 x 1 e 0 y 1, aplicando logaritmo decimal a ambos
os membros da 1ª. e da 2ª. equações, vem:
xx y y12
yx y x3
log (xx y) log y12
log (yx y) log x3⇒
(x y) log x 12 log y
(x y) log y 3 log x⇒
Dividindo membro a membro, temos que:
log x
log y 4
log y
log x ⇒ (log x)2 4 (log y)2 ⇒
⇒ (log x 2 log y ou log x 2 log y) ⇔
⇔ (log x log y2 ou log x log y2) ⇒ x y2 ou x 1
y2.
1º. caso: Se x y2, substituindo na 1ª. equação (original), vem:
(y2)y2 y y12 ⇒ 2y2 2y 12 0 ⇒ y 3 (não convém)
ou y 2, donde x 22 4.
2º. caso: Se x 1
y2, vem, na 1ª. equação:
1
y2
1
y2 y
y12 ⇒ (y2)1
y2 y y12 ⇒
2
y2 2y 12 ⇒
⇒ 1
y2 y 12 ⇒ y3 6y2 1 0, que não apresenta raiz
real positiva.
S {(1, 1); (4, 2)}
b) Notemos que x y 1 é solução particular desse sistema.
Para 0 x 1 e 0 y 1, aplicando logaritmo de base x a
ambos os membros da 1ª. e da 2ª. equações, vem:
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112
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
xx y y3
yx y x6y3
logx (xx y) log
x y3
logx (yx y) log
x (x6y3)
⇒
⇒
⇒ x y 3 log
x y
(x y) logx y 6 3 log
x y
Dividindo membro a membro, vem:
1
logx y
3 log
x y
6 3 logx y
. Fazendo logx y t, vem:
1
t
3t
6 3t ⇒ t2 t 2 0 ⇒ t 1 ou t 2.
1ª. possibilidade: t 1
Temos: logx y 1 ⇒ y
1
x. Substituindo esse valor de y na 1ª.
equação, temos:
xx y y3 ⇒ xx
1
x
x3 ⇒ x2 3x 1 0
x 3 5
2 0 (não convém) e x
3 5
2 0 (não convém)
2ª. possibilidade: t 2
Temos: logx y 2 ⇒ y x2. Na 1ª. equação temos:
xx y y3 ⇒ xx x2 x6 ⇒ x2 x 6 0,
que, desprezando a raiz negativa, fornece x 2 e y 4.
S {(1, 1); (2, 4)}
c) x y 1 não é solução desse sistema. Para 0 x 1 e
0 y 1, aplicando logaritmo de base x a ambos os membros
da 1ª. equação, temos:
xy yx ⇒ logx (xy) log
x (yx) ⇒ y x log
x y (I).
Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros da 2ª.
equação, vem:
2x 3y ⇒ log2 (2x) log
2 (3y) ⇒ x y log
2 3.
Vamos chamar log2 3 a; daí x y a (II).
Substituindo (I) em (II), vem:
x x logx y a
x 0 log
x y a 1 ⇒ log
x y
1
a ⇒ y x
1
a (III).
Em (II) temos:
x y a ⇒ x x1
a a ⇒ xa 1
a a ⇒ x a
a
a 1 ,
que, substituído em (III), fornece:
y a
a
a 1 1
a ⇒ y a
1
a 1 .
S a
a
a 1 , a
1
a 1 , em que a log2 3
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113
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
320. a) Aplicando logaritmo decimal a ambos os membro da 2ª. equação, vem:
xlog y ylog x y ⇒ xlog y
ylog x y2 ⇒ log (xlog y ylog x) log y2 ⇒
⇒ log xlog y log ylog x 2 log y ⇒
⇒ (log y) (log x) (log x) (log y) 2 log y ⇒
⇒ 2 log x log y 2 log y 0 ⇒ 2 log y (log x 1) 0 ⇒
⇒ log y 0 ou log x 1.
1ª. possibilidade: Se log y 0 ⇒ y 1. Na 1ª. equação teremos:
x0 1log x 200, o que é absurdo!
2ª. possibilidade: log x 1 ⇒ x 10. Na 1ª. equação teremos:
10log y y log 10 200 ⇒ 10 log y 200 y ⇒ log10
( 200 y) log10
y ⇒
⇒ 200 y y ⇒ y 100.
S {(10, 100)}
b) Da 2ª. equação vem:
x(log x log y)y 1 024 ⇒ log x log y 1 024
x
y .
Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros dessa
última expressão, vem:
log2 [log x log y] log
2 1 024
x
y ⇒ log2 (log x) log
2 (log y)
x
y log
2 210 ⇒
⇒ log2 (log x) log
2 (log y)
10x
y.
Fazendo log x a e log y b (x 10a e y 10b), temos:
log2 a log
2 b 10
10a
10b ⇒ log
2 (ab) 10a 1 b (I).
Em termos das novas variáveis, a 1ª. equação pode ser escrita como:
xlog y ylog x 200 ⇒ (10a)b (10b)a 200 ⇒
⇒ 10ab 10ab 200 ⇒ 2 10ab 200 ⇒
⇒ 10ab 100 ⇒ ab 2 (II).
Substituindo (II) em (I), vem:
log2 (ab) 10a 1 b ⇒ log
2 2 10a 1 b ⇒ 10a 1 b 1 ⇒
⇒ a 1 b 0 ⇒ a b 1 (III)
De (II) e (III) temos: ab 2
a b 1, que resolvido fornece
(a 1 e b 2 ) ou (a 2 e b 1).
1ª. possibilidade: a 1 e b 2, isto é, log x 1 e log y 2 ⇒
⇒ x 10 e y 100.
2ª. possibilidade: a 2 e b 1, isto é, log x 2 e log y 1 ⇒
⇒ x 1
100 e y
1
10 (não convém, pois x deve ser natural, já que
é índice de raiz).
S {(10, 100)}
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114
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) Da 2ª. equação vem: log xy 1 ⇒ xy 10 ⇒ xy 100 (I). Fazendo log x a e log y b (x 10a e y 10b) e tendo em vista
(I), o sistema pode ser reescrito da forma:
(10a)b (10b)a 20 10a
10b 100 ⇒ 2 10ab 20
10a b 100 ⇒
⇒ ab 1 a b 2
, que resolvido fornece a 1 e b 1 isto é,
log x 1 e log y 1 ⇒ x 10 e y 10. S {(10, 10)}
CAPÍTULO VI — Inequações exponenciais e logarítmicas
322. a) 4x 7 ⇒ log4 4x log4 7 ⇒ x log4 4 log4 7 ⇒ x log4 7
S {x | x log4 7}
b) 13
x
5 ⇒ log13
13
x
log13
5 ⇒ x log13
13
log13
5 ⇒ x log13
5
S x | x log13
5
c) 23x 2 9 ⇒ 23x 22 9 ⇒ 8x
94
⇒ log8 8x log8
94
⇒
⇒ x log8 94
S x | x log8 94
d) 54x 1 3 ⇒ 54x
5 3 ⇒ 625x 15 ⇒ log625 625x log625 15 ⇒
⇒ x log625 625 log625 15 ⇒ x log625 15
S {x | x log625 15}
e) 32 3x 14
⇒ 32
33x 14
⇒ 27x 36 ⇒ log27 27x log27 36 ⇒
⇒ x log27 27 log27 36 ⇒ x log27 36
S {x | x log27 36}
f) 3 x 4 ⇒ log3 3x log3 4 ⇒ x log3 4 ⇒ x log2
3 4 S {x | x log2
3 4}
g) 2(x2) 5 ⇒ log2 2x2 log2 5 ⇒ x2
log2 2 log2 5 ⇒
⇒ x2 log2 5 ⇒ x2 log2 5 0 ⇒ log2 5 x log2 5
S x | log2 5 x log2 5
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115
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
324. a) 2x 3x 1 ⇒ 2x 3x
3 ⇒
2x
3x
1
3 ⇒
2
3
x
1
3 ⇒
⇒ log23
2
3
x
log23
1
3 ⇒ x log2
3
2
3 log2
3
1
3 ⇒ x log2
3
1
3
b) 23x 1 1
3
2x 3
⇒ 23x
2
1
3
2x
1
3
3 ⇒
(23)x
1
3
2
x
2
1
27
8x
1
9
x 54 ⇒ 72x 54 ⇒ log72 72x log72 54 ⇒ x log72 54
S {x | x log72 54}
c) 1
5
2x 3
24x 3 ⇒ 1
5
2x
1
5
3
24x
23 ⇒
1
25
x
16x
1
23 1
5
3 ⇒
⇒ 1
400
x
125
8 ⇒ 400x
8
125 ⇒ log400 400x log400
8
125 ⇒
⇒ x log400 8
125
S x | x log400 8
125
d) 2x 2 32x 1 ⇒ 2x
22 32x
3 ⇒
2x
9x
4
3 ⇒
2
9
x
4
3 ⇒
⇒ log29
2
9
x
log29
4
3 ⇒ x log
29
4
3
S x | x log29
4
3
325. a) 5x 3x 3x 1 ⇒ 5x 3x 3x 3 ⇒ 5x 3x (1 3) ⇒
⇒ 5x
3x 4 ⇒ 5
3
x
4 ⇒ log53
5
3
x
log53
4 ⇒ x log53
4
S x | x log53
4
b) 3x 3x 1 2x 2x 1 ⇒ 3x 3x 3 2x
2x
2 ⇒
⇒ 3x (1 3 ) 2x
1 1
2 ⇒
3x
2x
1
24
⇒ 3
2
x
1
8 ⇒
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116
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒ log32
3
2
x
log32
1
8 ⇒ x log3
2
1
8
S x | x log32
1
8
c) 2x 2x 1 2x 2 3x 1 3x ⇒ 2x 2x 2 2x 22 3x 3 3x ⇒
⇒ 2x (1 2 4) 3x (3 1) ⇒ 2x
3x 2
7 ⇒
2
3
x
2
7 ⇒
⇒ log23
2
3
x
log23
2
7 ⇒ x log2
3
2
7
S x | x < log23
2
7
d) 3x 3x 1 3x 2 2x 2 2x ⇒ 3x 3x 3 3x 32 2x
22 2x ⇒
⇒ 3x (1 3 9) 2x 1
4 1 ⇒
3x
2x
3
413
⇒ 3
2
x
3
52.
Como 3
2
x
> 0, ∀x , a desigualdade acima nunca é satisfeita.
S
e) 2x 2x 1 2x 3 5x 2 5x 1 ⇒
⇒ 2x 2x 2 2x 23 5x 52 5x
5 ⇒
⇒ 2x (1 2 8) 5x 25 1
5 ⇒ (5) 2x
124
5 5x.
Multiplicando a desigualdade acima por (1), vem:
5 2x 124
5 5x ⇒
2x
5x 124
25 ⇒
2
5
x
> 124
25.
Como 2
5
x
0, ∀x , a desigualdade acima é sempre satisfeita.
S
326. a) 23x 1 52x 3 6 ⇒ 23x 2 52x
53 6 ⇒
⇒ 8x 25x 375 ⇒ 200x 375 ⇒ log200 200x log200 375 ⇒
⇒ x log200 375
S {x | x log200 375}
b) 32x 1 25 4x 5 ⇒ 32x
3
25
24x 5 ⇒ 9x
16x 15
32 ⇒
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117
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ 9
16
x
15
32 ⇒ log
916
9
16
x
log916
15
32 ⇒ x log
916
15
32
S 5 x I x < log916
15
32
327. a) 9x 2 5 ? 3x 1 6 0 ⇒ (3x)2 2 5 ? 3x 1 6 0.
Fazendo 3x 5 t, temos:
t2 2 5t 1 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3) ⇒ (3x 2 ou 3x 3 ) ⇒
⇒ (log3 3x log3 2 ou x 1) ⇒ (x log3 2 ou x 1).
S 5 {x | x log3 2 ou x 1 }
b) 4x 2 2x 1 2 1 3 0 ⇒ (22)x 2 2x ? 22 1 3 0.
Fazendo 2x 5 t, vem:
t2 2 4t 1 3 0 ⇒ 1 t 3 ⇒ 1 2x 3 ⇒
⇒ log2 1 log2 2x log2 3 ⇒ 0 x log2 3.
S 5 {x | 0 x log2 3}
c) 25x 2 5x 2 6 0 ⇒ (5x)2 2 5x 2 6 > 0.
Fazendo 5x 5 t, temos:
t2 2 t 2 6 > 0 ⇒ t < 22 ou t > 3.
Se t < 22, vem: 5x < 22 nunca é satisfeita.
Se t >3, vem: 5x > 3 ⇒ log5 5x > log5 3 ⇒ x > log5 3.
S 5 {x | x log5 3}
d) 4x 1
12 2 2x 2 3 < 0 ⇒ 4x ? 4
12 2 2x 2 3 < 0.
Fazendo 2x 5 t, vem:
t2 ? 2 2 t 2 3 < 0 ⇒ 21 < t < 3
2 ⇒ 21 < 2x <
3
2.
Como 2x > 21, ∀x , temos:
2x < 3
2 ⇒ log2 2
x < log2 3
2 ⇒ x < log2
3
2 .
S 5 x | x < log2 3
2
e) 25x 1 5x 1 1 1 4 < 0 ⇒ (5x)2 1 5x ? 5 1 4 < 0.
Fazendo 5x 1 t, vem:
t2 1 5t 1 4 < 0 ⇒ 24 < t < 21, isto é, 24 < 5x < 21.
Como a 2ª. parte da inequação simultânea nunca é satisfeita,
pois 5x 0, ∀x , não há solução.
S 5
f) 2 ? 9x 1 3x 1 2 1 4 0 ⇒ 2 ? (32)x 1 3x ? 32 1 4 0.
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118
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Fazendo 3x t, vem:
2t2 9t 4 0 ⇒ t 4 ou t 1
2 ⇒
⇒ 3x 4 ou 3x 1
2.
A 1ª. desigualdade nunca é satisfeita e a 2ª. desigualdade é
satisfeita ∀x .
S
328. 9x 6x 4x 0 ⇒ 9x 6x 4x.
Como 4x 0, ∀x , podemos dividir membro a membro por 4x:
9x 6x
4x 4x
4x ⇒ 9
4
x
6
4
x
1 ⇒ 3
2
2x
3
2
x
1.
Fazendo 3
2
x
t, temos:
t2 t 1 0 ⇒ t 1 5
2 ou t
1 5
2 ⇒
⇒ 3
2
x
1 5
2 (absurdo!) ou
3
2
x
1 5
2 ⇒
⇒ log32
3
2
x
log32
1 5
2 ⇒ x log3
2
1 5
2.
S x | x log32
1 5
2
329. Como 25x 0, ∀x , podemos dividir ambos os membros por 25x:
4x 6 10x 8 25x 0 ⇒ 4x 6 10x 8 25x
25x 0 ⇒
⇒ 4
25
x
6 10
25
x
8 0 ⇒ 2
5
2x
6 2
5
x
8 0.
Fazendo 2
5
x
t, temos:
t2 6t 8 0 ⇒ 2 t 4 ⇒
⇒ 2 2
5
x
4 ⇒ log25
2 log25
2
5
x
log25
4 ⇒
⇒ log25
4 x log25
2.
S x | log25
4 x log25
2
330. 4x 1 8 6x 9x
12 0 ⇒ 4x
4 8 6x 9x 9
12 0.
Como 9x 0, ∀x , podemos dividir os membros por 9x:
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119
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
4x
4 8 6x 9x 3
9x 0 ⇒ 4
4
9
x
8 6
9
x
3 0 ⇒
⇒ 4 2
3
2x
8 2
3
x
3 0.
Fazendo 2
3
x
t, temos:
4t2 8t 3 0 ⇒ t 1
2 ou t
3
2 ⇒
⇒ 2
3
x
1
2 ou
2
3
x
3
2 ⇒
⇒ log23
2
3
x
log23
1
2 ou log
23
2
3
x
log23
3
2 ⇒
⇒ x log23
1
2 ou x 1 .
S x | x 1 ou x log23
1
2
331. a) log3 (5x 2) log3 4 ⇒ 0 5x 2 4 ⇒ 2
5 x
6
5.
S x | 2
5 x
6
5
b) log0,3 (4x 3) log0,3 5 ⇒ 4x 3 5 ⇒ 4x 8 ⇒ x 2.
S {x | x 2}
c) log12
(3x 1) log12
(2x 3) ⇒ 0 3x 1 2x 3 ⇒ 1
3 x 4.
S x | 1
3 x 4
d) log2 (2x2 5x) log2 3 ⇒ 0 2x2 5x 3 ⇔
⇔ (2x2 5x 0 e 2x2 5x 3) ⇒
⇒ x 0 ou x 5
2 (I) e
1
2 x 3 (II)
Determinando (I) (II), temos:
S x | 1
2 x 0 ou
5
2 x 3
e) log12
(x2 1) log12
(3x 9) ⇒ 0 x2 1 3x 9 ⇔
⇔ (x2 1 3x 9 e 0 x2 1) ⇒
⇒ (2 x 5 (I) e x 1 ou x 1 (II))
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120
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Determinando (I) (II), temos:
S {x | 2 x 1 ou 1 x 5} f) log
110
(x2 1) log110
(2x 5) ⇒ x2 1 2x 5 0 ⇒
⇒ (x2 1 2x 5 e 2x 5 0) ⇒ x 5
2.
S x | x 5
2
g) log (x2 x 2) log (x 4) ⇒ 0 x2 x 2 x 4 ⇔
⇔ (x2 x 2 0 e x2 x 2 x 4) ⇒
⇒ (x 1 ou x 2) e (x2 2x 2 0)
Como a 2ª. desigualdade não é nunca satisfeita, pois ∀x ,
tem-se x2 2x 2 0, segue que não há solução.
s
332. a) log5 (x2 x) log0,2
1
6 ⇒ log5 (x
2 x) log15
1
6 ⇒
⇒ log5 (x2 x) log5
1
6 ⇒ log5 (x
2 x) log5 1
6
1
⇒
⇒ x2 x 6 ⇒ x2 x 6 0 ⇒ (x 2 ou x 3).
S {x | x 2 ou x 3}
b) log12
x2 x 3
4 2 log2 5 ⇒
⇒ log12
x2 x 3
4 log2 4 log2 5 ⇒
⇒ log12
(x2 x 3
4 log2
4
5 ⇒ log
12
x2 x 3
4 log
12
4
5
1
⇒
⇒ 0 x2 x 3
4
5
4 ⇒
⇒ x2 x 3
4 0 e x2 x
3
4
5
4 ⇒
⇒ x 1
2 ou x
3
2 (I) e 1 x 2 (II)
Determinando (I) (II), temos:
S x | 1 x 1
2 ou
3
2 x 2
333. log x colog (x 1 ) log 12 ⇒ log x log (x 1 ) log 12
Lembrando que as propriedades operatórias só podem ser aplicadas
se estabelecermos a condição de existência dos logaritmos, temos:
x 0 e x 1 0 ⇒ x 0 (I). Então:
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121
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
log x log (x 1 ) log 12 ⇒ log [ x (x 1)] log 12 ⇒ x2 x 12 ⇒
⇒ (x 4 ou x 3) (II).
Fazendo (I) (II), temos:
S {x | x 3}
334. a) Para mudarmos de base precisamos garantir a existência dos
logaritmos, isto é, 2 x 0 e x 1 0 ⇒ 1 x 2 (I).
Assim, temos:
log2 (2 x) log 1
2
(x 1) ⇒ log2 (2 x) log2 (x 1)1 ⇒
⇒ 2 x 1
x 1 ⇒ (2 x)(x 1) 1 (esta passagem é
garantida por (I)) ⇒
⇒ x2 x 1 0 ⇒ x 1 5
2 ou x
1 5
2 (II).
De (I) e (II) vem:
S x | 1 x 1 5
2 ou
1 5
2 x 2
b) 1º caso: log2 x 0 ⇒ x 1 (I)
Temos:
1
log2 x
1
log2 x 2 ⇒ 1
log2 x
log2 x 2 ⇒ log2 x log2 x 2 ⇒
⇒ x x 2 ⇒ x2 x 2 0 ⇒ (x 1 ou x 2) (II).
De (I) (II) temos: x 2.
2º. caso: log2 x 0 ⇒ 0 x 1 (I)
Temos:
1
log2 x
1
log2 x 2 ⇒ 1
log2 x
log2 x 2 ⇒ log2 x log2 x 2 ⇒
⇒ x2 x 2 0 ⇒ 1 x 2 (II).
De (I) (II) resulta 0 x 1.
Juntando os dois casos, temos: S {x | x 2 ou 0 x 1}.
335. a) log2 (3x 5) 3 ⇒ 3x 5 23 ⇒ 3x 5 8 ⇒ x 1.
S {x | x 1}
b) log13
(4x 3) 2 ⇒ 0 4x 3 1
3
2
⇒ 3
4 x
7
9.
S x | 3
4 x
7
9
c) log2 (x2 x 2) 2 ⇒ 0 x2 x 2 4 ⇒
x2 x 2 0ex2 x 6 0
⇒
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122
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒
x 2 ou x 1 (I)e3 x 2 (II)
Fazendo (I) (II), vem:
S {x | 3 x 2 ou 1 x 2}
d) log12
(2x2 6x 3) 1 ⇒ 2x2 6x 3 1
2
1
⇒ 2x2 6x 5
2 0 ⇒
⇒ x 1
2 ou x
5
2.
S x | x 1
2 ou x
5
2
e) log12
(x2 4x 5) 4 ⇒ 0 x2 4x 5 1
2
4
⇒
⇒
x2 4x 5 0ex2 4x 21 0
⇒
x 5 ou x 1 (I)e7 x 3 (II)
Fazendo (I) (II), vem:
S {x | 7 x 5 ou 1 x 3}
f) log58
2x2 x 3
8 1 ⇒ 0 2x2 x
3
8
5
8 ⇒
⇒
2x2 x 3
8 0
e
2x2 x 1 0
⇒
x 1
4 ou x
3
4 (I)
e
1
2 x 1 (II)
Fazendo (I) (II), vem:
S x | 1
2 x
1
4 ou
3
4 x 1
g) log (x2 3x 3) 0 ⇒ x2 3x 3 1 ⇒ x2 3x 2 0 ⇒
⇒ x 2 ou x 1.
S {x | x 2 ou x 1}
h) log0,3 (x2 4x 1 ) 0 ⇒ 0 x2 4x 1 0,30 ⇒
⇒
x2 4x 1 0ex2 4x 0
⇒ x 2 3 ou x 2 3 (I)e0 x 4 (II)
Fazendo (I) (II) vem:
S {x | 0 x 2 3 ou 2 3 x 4}
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
336. loga (2x 3) 0 0 a 1
0 2x 3 a0 ⇒ 0 2x 3 1 ⇒
⇒ 3
2 x 2.
S x | 3
2 x 2
337. a) 2 log2 (3x 1) 4 ⇒ 22 3x 1 24 ⇒ 4 3x 1 16 ⇒
⇒ 1 x 5.
S {x | 1 x 5}
b) 2 log2 (3 2x) 3 ⇒ 4 3 2x 8 ⇒ 5
2 x
1
2.
S x | 5
2 x
1
2
c) 1
2 log
12
(2x) 1 ⇒ 1
2 2x
1
2 ⇔
⇔ 1
2 2x
1
2 ⇒
1
4 x
1
2 2.
S x | 1
4 x
1
8
d) 0 log3 (x2 4x 3) 1 ⇒ 1 x2 4x 3 3 ⇒
⇒
x2 4x 2 0ex2 4x 0
⇒
x 2 2 ou x 2 2 (I)e0 x 4 (II)
Fazendo (I) (II), vem;
S {x | 0 x 2 2 ou 2 2 x 4}
338. Temos: 1 log10 (x 1) 2 ⇒ 10 x 1 100 ⇒ 11 x 101.
S {x | 11 x 101}
339. a) |log2 x| 1 ⇒ (log2 x 1 ou log2 x 1 ⇒
⇒ 0 x 1
2 ou x 2 .
S x | 0 x 1
2 ou x 2
b) |log3 (x 3)| 2 ⇒ (log3 (x 3) 2 ou log3 (x 3) 2) ⇒
⇒ 0 x 3 1
9 ou x 3 9) ⇒ ( 3 x
28
9 ou x 12 .
S x | 3 x 28
9 ou x 12
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124
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) |log x| 1 ⇒ 1 log x 1 ⇒ 101 x 10 ⇒ 1
10 x 10.
S x | 1
10 x 10
d) |2 log2 x| 3 ⇒ (2 log2 x 3 ou 2 log2 x 3) ⇒
⇒ (log2 x 5 ou log2 x 1) ⇒ (0 x 25 ou x 2).
S x | 0 x 1
32 ou x 2
e) |log3 (x2 1)| 1 ⇒ 1 log3 (x
2 1) 1 ⇒ 31 x2 1 3 ⇒
⇒
x2 1 1
3e
x2 1 3
⇒
x 2
3 ou x
2
3 (I)
e
2 x 2 (II)
Fazendo (I) (II), vem:
S x | 2 x 2
3 ou
2
3 x 2
340. a) Fazendo log3 x t, vem:
3 log23 x 5 log3 x 2 0 ⇒ 3t2 5t 2 0 ⇒ 2 t
1
3 ⇒
⇒ 2 log3 x 1
3 ⇒ 32 x 3
13 ⇒
1
9 x 3
3.
S x | 1
9 x 3
3
b) Fazendo log12
x t, vem:
log12
2 x 3 log12
x 4 0 ⇒ t2 3t 4 0 ⇒ (t 1 ou t 4)
(log12
x 1 ou log12
x 4) ⇒ x 1
2
1
ou 0 x 1
2
4
⇒
⇒ x 2 ou 0 x 1
16.
S x | 0 x 1
16 ou x 2
c) log22 x 4.
Fazendo log2 x t, vem:
t2 4 0 ⇒ 2 t 2 ⇒ 2 log2 x 2 ⇒ 1
4 x 4.
S x | 1
4 x 4
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125
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
d) 1 log2 x 3 ⇒ log2 x 1 e log2 x 3
Fazendo log x t, temos:
t2 1
e
t2 3
⇒ t 1 ou t 1 (I)
e
3 t 3 (II)
De (I) e (II) vem:
( 3 t 1 ou 1 t 3 ) ⇒ ⇒ ( 3 log x 1 ou 1 log x 3 ) ⇒
⇒ (10 3 x 101 ou 10 x 10 3 ).
S x | 1
10 3 x
1
10 ou 10 x 10 3
e) Fazendo log2 x t, temos:
log4 x 5 log2 x 4 0 ⇒ t2 5t 4 0 ⇒ 1 t 4, isto é,
1 log2 x 4.
Se fizermos log x v, teremos:
1 v2 4 ⇒ v2 1
e
v2 4
⇒ v 1 ou v 1
e
2 v 2
⇒
⇒ (2 v 1 ou 1 v 2) ⇒
⇒ (2 log x 1 ou 1 log x 2) ⇒
⇒ (102 x 101 ou 10 x 102).
S {x | 102 x 101 ou 10 x 102}
f) Fazendo log2 x t, vem:
1
t
1
t 1 1 ⇒
t2 t 1
t2 t 0.
Fazendo o quadro-quociente, temos:
(t 0 ou t 1) ⇒ (log2 x 0 ou log2 x 1) ⇒
⇒ (0 x 1 ou x 2).
S {x | 0 x 1 ou x 2}
341. Fazendo loge x t, temos:
2 (loge x)2 loge x 6 ⇒ 2t2 t 6 0 ⇒ t
3
2 ou t 2 ⇒
⇒ loge x 3
2 ou loge x 2 ⇒ 0 x e
32 ou x e2 .
S x | 0 x e32 ou x e2
342. a) Como logx 2 1
log2 x, temos:
log2 x 6 logx 2 1 0 ⇒ log2 x 6 1
log2 x 1 0.
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126
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Fazendo log2 x t, vem:
t 6
t 1 0 ⇒
t2 t 6
t 0.
Fazendo o quadro-quociente, temos:
(3 t 0 ou t 2) ⇒ (3 log2 x 0 ou log2 x 2) ⇒
⇒ 1
8 x 1 ou x 4 .
S x | 1
8 x 1 ou x 4
b) log2 x logx 8 2 0 ⇒ log2 x log2 8
log2 x 2 0.
Fazendo log2 x t, vem:
t 3
t 2 0 ⇒
t2 2t 3
t 0.
Fazendo o quadro-quociente, temos:
(1 t 0 ou t 3) ⇒ (1 log2 x 0 ou log2 x 3) ⇒
⇒ 1
2 x 1 ou x 8 .
S x | 1
2 x 1 ou x 8
c) Como sabemos, log12
x5
4
log2 x5
4
log2 1
2
log2 x5
4
[log2 x5 log2 4] 2 5 log2 x.
Então, a desigualdade proposta é equivalente a:
(log2 x)4 (2 5 log2 x)
2 20 log2 x 148 0.
Fazendo log2 x t, vem:
t4 (2 5t)2 20t 148 0 ⇒ t4 25t2 144 0.
Fazendo t2 v, temos:
v2 25v 144 0 ⇒ 9 v 16 ⇒ 9 t2 16 ⇒
⇒ (4 t 3 ou 3 t 4) ⇒ (4 log2 x 3 ou
3 log2 x 4) ⇒
⇒ 1
16 x
1
8 ou 8 x 16 .
S x | 1
16 x
1
8 ou 8 x 16
343. Como logx e 1
loge x, podemos escrever:
1
loge x
1
1
loge x 1
1.
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127
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo loge x t, vem:
1
t
1
1
t 1
1 ⇒ 2t2 2t 1
t t2 0.
Fazendo o quadro-quociente, temos:
0 t 1 ⇒ 0 loge x 1 ⇒ 1 x e.
S {x | 1 x e}
344. A condição de existência dos logaritmos é 1 8(log14
x)2 0 e x 0.
Fazendo log14
x t, vem:
1 8t2 0 ⇒ 1
2 2 t
1
2 2 ⇒
1
2 2 log
14
x 1
2 2 ⇒
⇒ 1
2
1
2 x 1
2
1
2 e x 0 ⇒ 1
2
1
2 x 1
2
1
2 (I).
Voltando à desigualdade proposta, temos:
1 1 8(log14
x)2 3 log14
x ⇒ 1 1 8t2 3t ⇒
⇒ 1 3t 1 8t2 ⇒ 0 (1 3t)2 1 8t2.
Como (1 3t)2 0, ∀t , temos apenas:
(1 3t)2 1 8t2 ⇒ 17t2 6t 0 ⇒
⇒ 0 t 6
17 ⇒ 0 log
14
x 6
17 ⇒
1
2
12
17 x 1 (II).
A solução da inequação é dada pela interseção de (I) e (II):
(I)
1
2
1
2 1
2
1
2–
(II)
1
(I) > (II)
1
2
12
17
S x | 1
2
12
17 x 1
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128
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
345. Escrevendo os logaritmos em base 2, temos:
logx2
8 logx4
8 log2 x
4
log2 x2 4
⇒ log2 8
log2 x
2
log2 8
log2 x
4
4 log2 x
2 log2 x 4.
Fazendo log2 x t, temos:
3
t 1
3
t 2
4t
2t 4 ⇒
2t2 8t 9
t2 3t 2 0.
Fazendo o quadro-quociente, obtemos:
(t 1 ou t 2) ⇒ (log2 x 1 ou log2 x 2) ⇒ (0 x 2 ou x 4).
S {x | 0 x 2 ou x 4}
346. Fazendo loga x t, temos:
1 log2
a x
1 loga x 1 ⇒
1 t2
1 t 1 ⇒
t2 t
1 t 0.
Fazendo o quadro-quociente, obtemos: 1 t 0 ou t 1, isto é:
1 loga x 0 0 a 1
1 x 1
a
ou
loga x 1 0 a 1
0 x a.
S x | 1 x 1
a ou 0 x a
348. a) A condição de existência dos logaritmos é x 1
2 (I).
Temos:
log3 (3x 4) log3 (2x 1) 1 ⇒ log3 3x 4
2x 1 1 ⇒
⇒ 3x 4
2x 1 3
x 12
3x 4 3(2x 1) ⇒ x 7
3 (II).
A solução da inequação é dada por (I) (II):
S x | 1
2 x
7
3
b) A condição de existência dos logaritmos é x 0 (I).
Temos:
log2 x log2 (x 1) log2 (2x 6) ⇒ log2 [x (x 1)] log2 (2x 6) ⇒
⇒ x2 x 2x 6 ⇒ x2 x 6 0 ⇒ 2 x 3 (II).
De (I) (II) vem: 0 x 3.
S {x | 0 x 3}
c) A condição de existência dos logaritmos é 2
3 x
1
2 (I).
001-156-Manual-FME2.indd 128 23/07/13 16:16
129
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Temos:
log2 (3x 2) log2 (1 2x) 2 ⇒ log2 3x 2
1 2x 2 ⇒
⇒ 3x 2
1 2x 4
1 2x 0 3x 2 4 8x ⇒ x
2
11 (II).
De (I) (II) segue que: 2
11 x
1
2.
S x | 2
11 x
1
2
d) A condição de existência dos logaritmos é x 1
2 (I).
Temos:
log (2x 1) log (x 2) log 3 ⇒ log 2x 1
x 2 log 3 ⇒
⇒ 2x 1
x 2 3
x 2 0 2x 1 3x 6 ⇒ x 7 (II).
De (I) (II) temos: x 1
2.
S x | x 1
2
e) A condição de existência dos logaritmos é x 2 (I).
Temos: log3 (x2 x 6) log3 (x 1) log3 4 ⇒
⇒ log3 x2 x 6
x 1 log3 4 ⇒
⇒ x2 x 6
x 1 4
(I) x2 x 6 4x 4 ⇒ x2 3x 10 0 ⇒
⇒ x 2 ou x 5 (II).
(I) (II): x 5.
S {x | x 5}
f) A condição de existência dos logaritmos é x 1 (I).
Temos:
log12
(x 1) log12
(3x 2 ) 2 ⇒ log12
[(x 1)(3x 2 )] 2 ⇒
⇒ (x 1)(3x 2) 4 ⇒ 3x2 5x 2 0 ⇒
⇒ 1
3 x 2 (II)
De (I) (II) temos 1 x 2.
S {x | 1 x 2}
349. A condição de existência dos logaritmos é x 0 (I).
Temos:
log10 x log10 (x 3) 1 ⇒ log10 [x (x 3)] 1 ⇒ x2 3x 10 ⇒
⇒ x2 3x 10 0 ⇒ 5 x 2 (II).
001-156-Manual-FME2.indd 129 23/07/13 16:16
130
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
De (I) (II) vem: 0 x 2.
S {x | 0 x 2}
350. a) A condição de existência dos logaritmos é x 1
6 (I).
Temos:
log2 6x 1 log2 x 1 log4 3 ⇒
⇒ log2 [ 6x 1 x 1 ] log2 3
log2 4 ⇒
⇒ log2 6x2 7x 1 1
2 log2 3 ⇒
⇒ 2 log2 6x2 7x 1 log2 3 ⇒
⇒ log2 ( 6x2 7x 1)2 log2 3 ⇒ 6x2
7x 1 3 ⇒
⇒ 6x2 7x 2 0 ⇒ x
7 97
12 ou x
7 97
12 (II).
De (I) (II) temos: x 7 97
12.
S x | x 7 97
12
b) A condição de existência dos logaritmos é x 1 (I).
Como log4 (8x)
log2 (8x)
log2 4
1
2 log2 (8x) log2 (8x)
12 log2
8x ,
podemos escrever:
log4 (8x) log2 x 1 log2 x 1 log2 3 ⇒
⇒ log2 8x log2 3 log2 x 1 log2 x 1 ⇒
⇒ log2 8x log2 (3 x 1
x 1 ) ⇒
⇒ log2 8x log2 (3
x 1 ) ⇒
⇒ 8x 9(x2 1) ⇒ 9x2 8x 9 0 ⇒
⇒ x 4 97
9 ou x
4 97
9 (II).
Fazendo (I) (II), obtemos: x 4 97
9.
S x | x 4 97
9
351. A condição de existência dos logaritmos é:2x2 x 1 0 (é satisfeita para ∀x )
e
2x 1 0 ⇒ x
1
2 (I)
Como log4 (2x2 x 1) log2 (2x2 x 1)
log2 4
1
2 log2 (2x2 x 1)
log2 (2x2 x 1)12 log2 2x2 x 1 , podemos escrever:
log4 (2x2 x 1) log2 (2x 1) 1 ⇒
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131
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ log2 2x2 x 1 log2 (2x 1) 1 ⇒
⇒ log2 2x2 x 1
2x 1 1 ⇒ 0
2x2 x 1
2x 1 2
(I)
⇒ 2x2 x 1 2(2x 1) ⇒ 2x2 x 1 [2(2x 1)]2 ⇒
⇒ 14x2 17x 3 0 ⇒ x 3
14 ou x 1 (II).
Fazendo (I) (II), temos: x 1.
S {x | x 1}
353. a) log13 (log2 x) 0 ⇒ log2 x
1
3
0
⇒ log2 x 1 ⇒ x 2.
S {x | x 2}
b) log12 (log1
3 x) 0 ⇒ 0 log1
3 x 1 ⇒
1
3 x 1.
S x | 1
3 x 1
c) log2 log12 x 1 ⇒ log1
2 x 2 ⇒ 0 x
1
4.
S x | 0 x 1
4
d) log2 [log3 (log5 x)] 0 ⇒ log3 (log5 x) 1 ⇒ log5 x 3 ⇒ x 125.
S {x | x 125}
e) log12 log3 log1
2 x 0 ⇒ log3 log1
2 x 1 ⇒ log1
2 x 3 ⇒
⇒ 0 x 1
8.
S x | 0 x 1
8
f) log2 [log12 (log3 x)] 1 ⇒ log1
2 (log3 x) 2 ⇒ 0 log3 x
1
2
2
⇒
⇒ 0 log3 x 1
4 ⇒ 1 x 3
4.
S x | 1 x 34
354. log13 log1
3 x 0 ⇒ 0 log1
3 x 1 ⇒
1
3 x 1.
S x | 1
3 x 1
001-156-Manual-FME2.indd 131 23/07/13 16:16
132
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
355. Temos:
loga (loga x) 0 a 1
0 loga x 1 a 1
1 x a.
S {x | 1 x a}
356. Temos:
loga (log1a x) 0
0 a 1 log1
a x 1
11a
x 1
a.
S x | x 1
a
357. Temos:
loga log1a (loga x) 0
a 1 log1
a (loga x) 1
10 1a
0 loga x 1
a ⇒
a 1 1 x a
1a.
S x | 1 x aa
358. Temos:
log1a [loga (loga x)] 0
11a
0 loga (loga x) 1 0 a 1
⇒ a loga x 1 0 a 1
a x aa.
S {x | a x aa}
359. a) log2 {1 log3 [log2 (x2 3x 2)]} 0 ⇒
⇒ 1 log3 [log2 (x2 3x 2)] 1 ⇒ log3 [log2 (x
2 3x 2)] 0 ⇒
⇒ log2 (x2 3x 2) 1 ⇒ x2 3x 2 2 ⇒
⇒ x2 3x 0 ⇒ x 0 ou x 3.
S {x | x 0 ou x 3}
b) log13 [log4 (x
2 5)] 0 ⇒ 0 log4 (x2 5) 1 ⇒ 1 x2 5 4 ⇒
⇒
x2 5 1
e
x2 5 4
⇒ x 6 ou x 6 (I)
e
3 x 3 (II)
Fazendo (I) (II), vem:
S {x | 3 x 6 ou 6 x 3}
c) log2 log13
1
x 1 0 ⇒ 0 log1
3
1
x 1 1 ⇒
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133
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ 1
3
1
x 1 1 ⇒
1
x 1
1
3e
1
x 1 1
⇒
4 x
x 1 0 (I)
e
2 x
x 1 0 (II)
Fazendo o quadro-quociente para (I), decorre 1 x 4, e para (II)
decorre x 1 ou x 2.
Fazendo a interseção desse intervalos, vem:
S {x | 2 x 4}
d) log12 log8
x2 2x
x 3 0 ⇒ log8
x2 2x
x 3 1 ⇒
x2 2x
x 3 8 ⇒
⇒ x2 10x 24
x 3 0.
Fazendo o quadro-quociente, temos:
S {x | 3 x 4 ou x 6}
360. a) Devemos ter: log2 x 0 ⇒ x 1.
D {x | x 1}
b) Devemos ter: log12 x 0 ⇒ 0 x 1.
D {x | 0 x 1}
c) Devemos ter: log2 log12 x 0 ⇒ log1
2 x 1 ⇒ 0 x
1
2.
D x | 0 x 1
2
d) Neste caso, precisamos garantir somente a existência do
logaritmo, isto é, log2 x 0 ⇒ x 1.
D {x | x 1}
e) Devemos ter: log3 x2 2x 7
x 1 0 ⇒
x2 2x 7
x 1 1 ⇒
⇒ x2 x 6
x 1 0.
Fazendo o quadro-quociente, temos:
D {x | 3 x 1 ou x 2}
f) Devemos ter: log12
x
x2 1 0 ⇒ 0
x
x2 1 1 ⇒
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134
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
⇒
x
x2 1 0
e
x
x2 1 1
⇒
x
x2 1 0 (I)
e
x2 x 1
x2 1 0 (II)
Fazendo o quadro-quociente para (I) e (II), obtemos:
(I)
(II)
(I) > (II)0 151 –
2
51 +
2
x
–1
D x | 1 5
2 x 0 ou x
1 5
2
361. Devemos ter: log12 (x 1) 0 ⇒ 0 x 1 1 ⇒ 1 x 2.
D {x | 1 x 2}
362. A desigualdade 3 2x
1 xloga 1 é equivalente à desigualdade
0 loga 3 2x
1 x 1.
1º caso: 0 a 1
0 loga 3 2x
1 x 1 ⇒ a
3 2x
1 x 1 ⇒
3 2x
1 x a (I)
e
3 2x
1 x 1 (II)
⇒
(2 a)x 3 a
1 x 0 (I)
e
x 2
1 x 0 (II)
Para resolver (I), notemos que, como 0 a 1, 2 a 0 e,
portanto, a função f (x) (2 a)x 3 a é decrescente. Então,
fazendo o quadro-quociente, temos:
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135
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
f(x) = (– 2 + a)x + 3 – a
g(x) = 1 – x
g(x)f(x)
–
––
–
+ +
+
+ +
1x
a – 3a – 2
f(x) = – x + 2
g(x) = 1 – x
g(x)f(x)
–
––
–
+ +
+
+ +
1 2x
(I) > (II)
(II)
(I)
a – 3a – 2
1 2x
Fazendo o quadro-quociente para (II), obtemos:
Fazendo (I) (II), vem:
2º caso: a 1 e 2 a 0, isto é, 1 a 2
Temos:
0 loga 3 2x
1 x 1 ⇒ 1
3 2x
1 x a ⇒
⇒
3 2x
1 x 1
e
3 2x
1 x a
⇒
x 2
1 x 0 (I)
e
(2 a)x 3 a
1 x 0 (II)
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136
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Utilizando o quadro-quociente anterior para (I) e (II) (notemos que a
função f (x) (2 a)x 3 a neste caso também é decrescente),
temos:
(I): x 1 ou x 2 e (II): 1 x a 3
a 2.
Fazendo (I) (II), temos:
(Notemos que para 1 a 2, a 3
a 2 2.)
3º caso: a 1 e 2 a 0, isto é, a 2
Temos:
0 loga 3 2x
1 x 1 ⇒ 1
3 2x
1 x 2 ⇒
⇒
3 2x
1 x 1
e
3 2x
1 x 2
⇒
x 2
1 x 0 (I)
e
1
1 x 0 (II)
Temos:
(I) > (II)
(II)
(I)
a – 3a – 2
1 2x
x(I) > (II)
(II)
(I)
1 2
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137
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
f(x) = (– 2 + a)x + 3 – a
g(x) = 1 – x
g(x)f(x)
+
–+
+
– +
+
– –
1x
(II)
a – 3a – 2
a – 3a – 2
1 2x
(I)
(II)
(I) > (II)
4º caso: a 1 e 2 a 0, isto é, a 2
Temos:
0 loga 3 2x
1 x 1 ⇒ 1
3 2x
1 x a ⇒
⇒
3 2x
1 x 1
e
3 2x
1 x a
⇒
x 2
1 x 0 (I)
e
(2 a)x 3 a
1 x 0 (II)
Para resolvermos (II), notemos que, como a 2, a função
f (x) (2 a)x 3 a é crescente. Fazendo o quadro-quociente,
temos:
(Notemos também que para a 2, a 3
a 2 1.)
Fazendo, então, (I) (II), temos:
Agrupando os 4 casos, temos:
0 a 1 ⇒ S x | a 3
a 2 x 2
1 a 2 ⇒ S x | 2 x a 3
a 2
a 2 ⇒ S {x | x 2};
a 2 ⇒ S x | x a 3
a 2 ou x 2
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138
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
363. a) 1
2
log 13
(4x2 9x 5) 2 ⇒
1
2
log 13
(4x2 9x 5)
1
2
1 ⇒
log1 3 (4x2 9x 5) 1 ⇒ 4x2 9x 5 3 ⇒ 4x2 9x 2 0 ⇒
⇒ x 1
4 ou x 2
S x | x 1
4 ou x 2
b) 3log 1
2
(x2 6x)
1
81 ⇒ 3
log 12
(x2 6x) 34 ⇒ log1
2 (x2 6x) 4 ⇒
⇒ x2 6x 16 ⇒ x2 6x 16 0 ⇒ x 8 ou x 2
S {x | x 8 ou x 2}
c) 1
2
log3 log 12
x 1x
1 ⇒ log3 log12
x 1
x 0 ⇒
⇒ log12
x 1
x 1 ⇒
⇒ 0 x 1
x
1
2 ⇒
x 1
x 0
e
x 1
x
1
2
⇒
x2 1
x 0
e2x2 x 2
2x 0
Fazendo o quadro-quociente, vem:
⇒
1 x 0 ou x 1 (I)
x 1 17
4 ou 0 x
1 17
4 (II).
Fazendo (I) (II), vem:
S x | 1 x 1 17
4 ou 1 x
1 17
4
d) (1,25)1 log22x (0,64)2 log 2
x ⇒
5
4
1 log22 x
4
5
2 (2 log 2 x)
⇒
⇒ 5
4
1 log22 x
4
5
4 2 log 2 x ⇒
4
5
1 1 log22 x
4
5
4 2 log 2 x ⇒
⇒ 4
5
log22
x 1
4
5
4 2 log 2 x ⇒ log2
2 x 1 4 2 log2
x
Como log2
x log2 x
log2 2
log2 x
1
2
2 log2 x, podemos escrever:
(log2 x)2 1 4 4 log2 x.
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139
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo log2 x t, vem:
t2 1 4 4t ⇒ t2 4t 5 0 ⇒ (t 1 ou t 5), isto é,
log2 x 1 ⇒ 0 x 1
2 ou (log2 x 5 ⇒ x 32)
S x | 0 x 1
2 ou x 32
364. 1º caso: 0 x 1 (I)
x2 log22 x log x2
x1 ⇒ 2 log22 x log2 x
2 1 ⇒
⇒ 2 (log2 x)2 2 log2 x 1.
Fazendo log2 x t, vem:
2 t2 2t 1 ⇒ t2 2t 3 0 ⇒ (t 3 ou t 1) ⇒
⇒ (log2 x 3 ou log2 x 1) ⇒ 0 x 1
8 ou x 2 (II).
A solução do 1º caso é dada por (I) (II), isto é: 0 x 1
8.
2º caso: x 1 (I)
x2 log22 x log2 x2
x1 ⇒ 2 log22 x log2 x
2 1 ⇒
⇒ 2 (log2 x)2 2 log2 x 1 0.
Fazendo log2 x t, vem:
2 t2 2t 1 0 ⇒ t2 2t 3 0 ⇒ 3 t 1, isto é,
3 log2 x 1 ⇒ 1
8 x 2 (II).
A solução do 2º caso é dada por (I) (II), isto é: 1 x 2.
S x | 0 x 1
8 ou 1 x 2
366. a) Devemos ter D 0, isto é:
4 4 log2 a 0 ⇒ log2 a 1 ⇒ a 1
2.
b) Devemos ter D 0, isto é:
36 4 3 log a 0 ⇒ log a 3 ⇒ 0 a 103.
c) Devemos ter D 0, isto é:
(log3 a)2 4 1 4 0 ⇒ (log3 a)2
16 0.
Fazendo log3 a t, vem:
t2 16 0 ⇒ (t 4 ou t 4), isto é,
(log3 a 4 ou log3 a 4) ⇒ 0 a 1
81 ou a 81.
d) Devemos ter D 0, isto é:
(log2 a)2 4 1 log2 a 0 ⇒ (log2 a)2
4 log2 a 0.
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140
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Fazendo log2 a t, vem:
t2 4t 0 ⇒ (t 0 ou t 4), isto é,
(log2 a 0 ou log
2 a 4) ⇒ 0 a 1 ou a 16.
367. Devemos ter 0, isto é,
(2)2 4 1 (log10
m) 0 ⇒ 4 4 log10
m 0 ⇒ log10
m 1 ⇒
⇒ 0 m 1
10.
368. A equação admitirá raízes de sinais contrários se o produto das
raízes for negativo, isto é, P c
a 0.
Temos, então:log
10 N
1 0 ⇒ log
10 N 0 ⇒ 0 N 1.
369. Devemos ter 0, isto é,
[(loge t 3)]2 4 1 (log
e t) 0 ⇒ (log
e t)2 10 log
e t 9 0.
Fazendo loge t y, vem:
y2 10y 9 0 ⇒ y 9 ou y 1, isto é,
loge t 9 ou log
e t 1 ⇒ 0 t e9 ou t
1
e.
370. Devemos ter P c
a 0, isto é,
log (2a2 9a 10)
3 0 ⇒ log (2a2 9a 10) 0 ⇒
0 2a2 9a 10 1 ⇒
2a2 9a 10 0
2a2 9a 9 0
⇒
⇒ a 2 ou a
5
2 (I)
3
2 a 3 (II)
Devemos ter 3
2 a 2 ou
5
2 a 3 para satisfazer (I) e (II).
371. a) 1º caso: Se log2(1 x) 0, isto é, 1 x 1 ⇒ x 0 (I).
Temos:
(4 x2) log2 (1 x) 0
(I) 4 x2 0 ⇒ x 2 ou x 2 (II).
Fazendo (I) (II), temos x 2.
2º caso: Se log2 (1 x) 0, isto é, 0 1 x 1 ⇒ 0 x 1 (I).
Temos:
(4 x2) log2 (1 x) 0
(I) 4 x2 0 ⇒ 2 x 2 (II).
Fazendo (I) (II), temos 0 x 1.
001-156-Manual-FME2.indd 140 23/07/13 16:16
141
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Assim, agrupando as 2 possibilidades, vem:
S {x | x 2 ou 0 x 1}
b) 1º caso: Se log12(3x 4) 0 ⇒ 0 3x 4 1 ⇒
4
3 x
5
3 (I)
Temos:
(5x2 x 6) log12 (3x 4) 0
(I) 5x2 x 6 0 ⇒
⇒ x 6
5 ou x 1 (II).
Fazendo (I) (II), temos: 4
3 x
5
3.
2º caso: log12 (3x 4) 0 ⇒ 3x 4 1 ⇒ x
5
3 (I).
Temos:
(5x2 x 6) log12 (3x 4) 0
(I) 5x2 x 6 0 ⇒
⇒ 6
5 x 1 (II).
Fazendo (I) (II), temos: (I) (II) .
Assim, temos soluções apenas no 1º caso.
S x | 4
3 x
5
3
372. A condição de existência dos logaritmos é x 0.
Fazendo log x t(x 10t), vem:
x1
log x log x 1 ⇒ (10t)1t t 1 ⇒ t
1
10 ⇒ log x
1
10 ⇒
⇒ 0 x 101
10.
S x | 0 x 1010
374. a) A condição de existência do logaritmo é
x 2 e x 0 e x 1 e x 1 (I).
1º caso: x2 1, isto é, x 1 ou x 1 (II).
Temos:
logx2 (x 2) 1 ⇒ x 2 x2 ⇒ x2 x 2 0 ⇒
⇒ x 1 ou x 2 (II).
A solução é dada por (I) (II) (III): 2 x 1 ou x 2.
2º caso: 0 x2 1, isto é, 1 x 1 e x 0 (IV).
Temos:
logx2 (x 2) 1 ⇒ x 2 x2 ⇒ x2 x 2 0 ⇒ 1 x 2 (V).
A solução, neste caso, é dada por (I) (IV) (V): 1 x 1 e
x 0.
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142
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Considerando as duas possibilidades, temos:
S {x | 2 x 1 ou x 2 ou (1 x 1 e x 0)}, que é equivalente a S {x | (2 x 1 e x 0 e x 1)
ou x 2}.
b) A condição de existência do logaritmo é x 3
2 e x 1 e
x 0 (I).
1º caso: Se 2x 3 1, isto é, x 1 (II).
Temos: log2x 3 x2 1 ⇒ x2 2x 3 ⇒ x2 2x 3 0 ⇒
⇒ 1 x 3 (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III):
S1 {x | x 0 e 1 x 3}. 2º caso: Se 0 2x 3 1, isto é,
3
2 x 1 (IV).
Temos: log2x 3 x2 1 ⇒ x2 2x 3 ⇒ x2 2x 3 0 ⇒
⇒ x 1 ou x 3 (V).
A solução S2 neste caso é dada por S2 (I) (IV) (V).
S x | 3
2 x 1
A solução da inequação proposta é:
S S1 S2 x | 3
2 x 3 e x 0 e x 1
c) A condição de existência do logaritmo é (x 1 e x 0 e x 1)
ou x 4 (I).
1º caso: Se x2 1, isto é, x 1 ou x 1 (II), temos:
logx2 (x2 5x 4) 1 ⇒ x2 5x 4 x2 ⇒ x 4
5 (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III):
S1 {x | x 4} 2º caso: Se x2 1, isto é, 1 x 1 e x 0 (IV), temos:
logx2 (x2 5x 4) 1 ⇒ x2 5x 4 x2 ⇒ x
4
5 (V).
A solução S2 neste caso é dada por (I) (IV) (V), isto é,
S2 x | 1 x 4
5 e x 0 .
A solução da inequação proposta é: S S1 S2, isto é,
S x | 1 x 4
5 e x 0 ou x 4 .
d) A condição de existência do logaritmo é 0 x 6
5 e x 1 (I).
1º caso: Se x 1 (II), então:
logx 4x 5
6 5x 1 ⇒
4x 5
6 5x x1 ⇒ 2x2 5x 3 0 ⇒
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143
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ 3 x 1
2 (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III), isto é, S1 . 2º caso: Se 0 x 1 (IV), então:
logx 4x 5
6 5x 1 ⇒
4x 5
6 5x x1 ⇒ 2x2 5x 3 0 ⇒
⇒ x 3 ou x 1
2 (V).
A solução S2 neste caso é dada por (I) (IV) (V), isto é:
S2 x | 1
2 x 1 .
A solução da inequação proposta é: S S1 S2 S2
x | 1
2 x 1 .
e) A condição de existência do logaritmo é 0 3x2 1 1. Como ∀x , 3x2 1 0, devemos ter: 3x2 1 1 ⇒ x 0 (I). Notemos que, para ∀x *, vem 3x2 1 1. Assim, há um único caso a considerar:
log3x2 1 2 1
2 ⇒ 2 (3x2 1)
12, isto é, 2 3x2 1 ⇒
⇒ 4 3x2 1 ⇒ x 1 ou x 1 (II). A solução da inequação proposta é: S (I) (II), isto é: S {x | x 1 ou x 1}.
f) A condição de existência do
x 3
x 1 0
e
0 x 1
(x 3 ou x 1)
e
0 x 1
⇒ x 1 (I).⇒
logaritmo é
Como x 1, temos:
logx x 3
x 1 1 ⇒
x 3
x 1 x ⇒ 1 x 3 (II).
A solução S neste caso é dada por: (I) (II), isto é, S {x | 1 x 3}. g) A condição de existência do logaritmo é (6 x 1 e x 5)
ou x 2 (I). 1º caso: Se x 6 1, isto é, x 5 (II), temos: logx 6 (x
2 x 2) 1 ⇒ x2 x 2 x 6 ⇒ x 2 ou x 4 (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III): S {x | 5 x 2 ou x 4}. 2º caso: Se 0 x 6 1, isto é, 6 x 5 (IV), temos: logx 6 (x
2 x 2) 1 ⇒ x2 x 2 x 6 ⇒ 2 x 4 (V). A solução S2 neste caso é dada por: (I) (IV) (V), isto é, S2 . A solução da inequação proposta é S S1 S2 S1, isto é: S {x | 5 x 2 ou x 4}
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
h) A condição de existência do logaritmo é x 25
2 e x
3
2 e
x 5 e x 23
2 (I).
1º caso: Se 2x 1 5
2 1 ⇒ x 2
3
2 (II), temos:
log 2x 1 52
x 2 5
2x 2 3
2
0 ⇒ x 2 5
2x 2 3
2
1 ⇒ 23x2 1 2x 1 16
(2x 2 3)2 0 ⇒
x 32
23x2 1 2x 1 16 0 x
32
22 x 8
3 (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III), isto é:
S1 5 x | 23
2 x
8
3 e x
3
2 .
2º caso: Se 0 2x 1 5
2 1 ⇒ 2
5
2 x 2
3
2 (IV), temos:
log 2x 1 52
x 2 5
2x 2 3
2 0 ⇒
x 2 5
2x 2 3
2
1 ⇒
⇒ 23x2 1 2x 1 16
(2x 2 3)2 0 ⇒
⇒ 23x2 1 2x 1 16 0 ⇒ x 22 ou x 8
3 (V).
A solução S2 neste caso é dada por: (I) (IV) (V), isto é:
S2 5 x | 25
2 x 22 .
A solução S da inequação proposta é S 5 S1 S2, isto é:
S 5 x | 23
2 x
8
2 e x
3
2 ou 2
5
2 x 22 .
i) A condição de existência do logaritmo é
x
3 0
e
0 2x2 2 7x 1 6 1
x 0
e
x 3
2 ou x 2 e x
5
2 e x 1 ⇒
⇒
⇒ 0 x 3
2 e x 1 ou x 2 e x
5
2.
1º caso: Se 2x2 2 7x 1 6 1 ⇒ 2x2 2 7x 1 6 1 ⇒ x 1 ou
x 5
2 (II), temos: log 2x2 2 7x 1 6
x
3 0 ⇒
x
3 1 ⇒ x 3 (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III), isto é:
S1 5 {x | x 3}.
2º caso: Se 0 2x2 2 7x 1 6 1 ⇒ 1 x 5
2 (IV), temos:
log 2x2 2 7x 1 6 x
3 0 ⇒
x
3 1 ⇒ x 3 (V).
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
A solução S2 neste caso é dada por (I) (IV) (V):
S2 x | 1 x 3
2 ou 2 x
5
2 .
A solução da inequação proposta é S S1 S2, isto é:
S x | 1 x 3
2 ou 2 x
5
2 ou x 3 .
375. A condição de existência do logaritmo é 1
2 x 1 (I).
1º caso: Se x 1 (II), temos:
logx (2x 1) 2 ⇒ 2x 1 x2 ⇒ x2 2x 1 0 ⇒
⇒ x2 2x 1 0 ⇒ (x 1)2 0, que é satisfeita ∀x (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I) (II) (III), isto é:
S1 {x | x 1}.
2º caso: Se 0 x 1 (IV), temos:
logx (2x 1) 2 ⇒ 2x 1 x2 ⇒ x2 2x 1 0 ⇒
⇒ x2 2x 1 0 ⇒ x 1
2 (V).
A solução S2 neste caso é dada por (I) (IV) (V), isto é, S2 .
A solução da inequação proposta é S S1 S2 S1 {x x 1}.
376. A condição de existência da equação é: a2b 0
0 a 1 (I)
0 b 1Temos:
loga (a2b) logb a
5 ⇒ 2 loga b 5 logb a.
Como logb a 1
loga b, temos: 2 loga b
5
loga b.
Fazendo loga b t, vem:
2 t 5
t ⇒
t2 2t 5
t 0.
Como para ∀t , temos t2 2t 5 0, devemos ter t 0, isto é,
loga b 0.
1º caso: a 1 ⇒ loga b 0 ⇒ b 1 (II).
De (I) (II) resulta que a 1 e b 1.
2º caso: 0 a 1 ⇒ loga b 0 ⇒ 0 b 1 (III).
De (I) (II) resulta que 0 a 1 e 0 b 1.
Assim há 2 possibilidades a 1 e b 1
ou
0 a 1 e 0 b 1
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
377. Como log12 (3x 4) log2(3x 4), a inequação proposta equivale a:
log2 (x 1) [log2 (3x 4)] 0 ⇒ log2 (x 1) log2 (3x 4) 0.
Vamos obter graficamente a solução. Para isso, precisamos construir
os gráficos de f (x) log2 (x 1) e g(x) log2 (3x 4).
Temos:
y
2
1
– 1
1 2 3 4 5 x
f(x) = log2 (x – 1)
g(x) = log2 (3x – 4)
3
4
3
5
Notemos que 3
2, 1 é o ponto de interseção das duas curvas,
pois corresponde à solução da equação: log2 (x 1) log2 (3x 4).
O que desejamos encontrar são os valores de x tais que f (x) g(x) 0.
Notemos que para 5
3 x 2 temos g(x) 0 e f (x) 0, de modo que
f (x) g(x) 0.
S x | 5
3 x 2
378. Aplicando logaritmo de base a(a 1) a ambos os membros da
desigualdade, vem:
xloga x 1 a2x a 1
loga (xloga x 1) loga (a
2x) ⇒
⇒ (loga x 1) loga x 2 loga x.
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo loga x t, vem:
(t 1)t 2 t ⇒ t2 2 0 ⇒ t 2 ou t 2 , isto é,
loga x 2 ou loga x 2 a 1
0 x a 2 ou x a 2 .
S x | 0 x a 2 ou x a 2
379. Escrevendo os logaritmos em base 2, temos:
log12 x log3 x 1 ⇒
log2 x
log2 1
2
log2 x
log3 2 1 ⇒
⇒ log2 x log2 x
log3 2 1.
Fazendo log2 x t, vem:
t t
log3 2 1 ⇒ t
1
log3 2 1
0
1 ⇒ t log2 3
1 log2 3 ⇒
⇒ t log2 3
log2 2 log2 3 ⇒ t
log2 3
log2 2
3
⇒ t log23 3, isto é:
log2 x log23 3 ⇒ 0 x 2
log 23
3.
S x | 0 x 2log 2
3
3
380. A condição de existência é x 0 (I)
Temos:
log2 (2x 1) log1
2 (2x 1 2) 2 ⇒
⇒ log2 (2x 1) log1
2 (2x 2 2) 2 ⇒
⇒ log2 (2x 1) log1
2 [2(2x 1)] 2.
Fazendo 2x 1 t, vem:
log2 t log12 (2t) 2 ⇒ log2 t log1
2 2 log1
2 t 2 ⇒
⇒ log2 t (1 log2 t) 2.
Fazendo log2 t r, vem:
r (1 r) 2 ⇒ r2 r 2 0 ⇒ r2 r 2 0 ⇒
⇒ 2 r 1, isto é,
2 log2 t 1 ⇒ 1
4 t 2, isto é,
1
4 2x 1 2 ⇒
5
4 2x 3 ⇒ log2
5
4 x log2 3 (II).
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
A solução da inequação proposta é dada por (I) (II), isto é,
S x | log2 54
x log2 3 .
381. Como log3 27 3 e log2 8 32
, a desigualdade proposta equivale a:
(x 3) x 32
0.
Fazendo o quadro-produto, temos:
S x | 32
x 3 .
382. 1º caso: Se log12 (x 1) 0, isto é, 0 x 1 1 ⇒ 1 x 2 (I), temos:
x log12 (x 1) 0 ⇒ x 0 (II).
A solução neste caso é dada por (I) (II), isto é, S1 .
2º caso: Se log12 (x 1) 0, isto é, x 1 1 ⇒ x 2 (I), temos:
x log12 (x 1) 0 ⇒ x 0 (II).
A solução neste caso é dada por (I) (II), isto é,
S {x | x 2}.A solução da inequação proposta é S S1 S2 S2 {x | x 2}.
CAPÍTULO VII — Logaritmos decimais
383. Utilizando as regras (I) e (II), temos:
log 7 → C 0
log 0,032 → C 2
log 105 → C 5
log 0,00010 → C 4
384. a) A característica é 3 e a mantissa é 0,5065.
Temos, então: log 3 210 3 0,5065 3,5065.
b) A característica é 1 e a mantissa é 0,4048.
Assim, log 25,4 1 0,4048 1,4048.
c) A característica é 0 e a mantissa é 0,7574.
Assim, log 5,72 0 0,7574 0,7574.
d) A característica é 1 e a mantissa é 0,8692.
Assim, log 0,74 1 0,8692 1,8692.
e) A característica é 3 e a mantissa é 0,5527.
Assim, log 0,00357 3 0,5527 3,5527.
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
385. a) x antilog 3,8768 ⇒ log x 3,8768 3 0,8768.
Com a mantissa 0,8768 encontramos o número 753, mas, como
a característica de log x é 3, temos x 7 530.
b) x antilog 1,8035 ⇒ log x 1,8035 1 0,8035.
Com a mantissa 0,8035 encontramos o número 636, mas, como
a característica de log x é 1, temos x 63,6.
c) x antilog 0,9175 ⇒ log x 0,9175 0 0,9175.
Com a mantissa 0,9175 encontramos o número 827, mas, como
a característica de log x é 0, temos x 8,27.
d) x antilog 1,5145 ⇒ log x 1,5145 1 0,5145.
Com a mantissa 0,5145 encontramos o número 327, mas, como
a característica de log x é 1, temos x 0,327.
e) antilog 3,6693 x ⇒ log x 3,6693 3 0,6693.
Com a mantissa 0,6693 encontramos o número 467, mas, como
a característica de log x é 3, temos x 0,00467.
f) x antilog 2,1271 ⇒ log x 2,1271 ⇒ log x 2 0,1271.
Com a mantissa 0,1271 encontramos o número 134, mas, como
a característica de log x é 2, temos x 0,0134.
386. a) antilog 2,0899 x ⇒ log x 2,0899 2 0,0899
2 1 1 0,0899 3 0,9101.
Com a mantissa 0,9101 encontramos o número 813, mas, como
a característica de log x é 3, temos x 0,00813.
b) antilog 3,2147 x ⇒ log x 3,2147 3 0,2147
3 1 1 0,2147 4 0,7853.
Com a mantissa 0,7853 encontramos o número 610, mas, como
a característica de log x é 4, temos x 0,00061.
c) antilog 0,4473 x ⇒ log x 0,4473 1 1 0,4473
1 0,5527.
Com a mantissa 0,5527 encontramos o número 357, mas, como
a característica de log x é 1, temos x 0,357.
d) antilog 1,6517 x ⇒ log x 1,6517 1 0,6517
1 1 1 0,6517 2 0,3483.
Com a mantissa 0,3483 encontramos o número 223, mas, como
a característica de log x é 2, vem que x 0,0223.
387. a) Considerando a função y log x, temos:
x y log x
x1 3270
x3 3275
x2 3280
y1 3 0,5145 3,5145
y3 ?
y2 3 0,5159 3,5159
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
A
C
B
D
F E log 3 280 = y2
log
3 2
70 =
y1
y3
x3 = 3 275x
1 = 3 270 x
2 = 3 280
Utilizando a aproximação linear para a função logarítmica, temos:
AFD AEB, donde:
x
3 x
1
x2 x
1
y3 y
1
y2 y
1
⇒ 5
10
y3 3,5145
3,5159 3,5145 ⇒
⇒ y3 3,5152, isto é, log 3275 3,5152.
b) Considerando a função y log x, temos:
x y log x
x1 23,7 y
1 1 0,3747 1,3747
x3 23,72 y
3 ?
x2 23,8
2 1 0,3766 1,3766
Por raciocínio idêntico ao anterior, temos:
y3 log 23,72 1,3751.
c) Considerando a função y log x, temos:
x y log x
x1 0,0457 y
1 2 0,6599
x3 0,04576 y
3 ?
x2 0,0458 y
2 2 0,6609
Por raciocínio idêntico aos anteriores, vem:
y3 log 0,04576 1,3395 2,6605.
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151
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
d) Considerando a função y log x, temos:
x y log x
x1 0,835 y
1 1 0,9217
x3 0,8358 y
3 ?
x2 0,836 y
2 1 0,9222
Analogamente aos anteriores, segue que:
y3 log 0,8358 0,0779 1,9221.
e) Considerando a função y log x, temos:
x y log x
x1 2,71 y
1 0 0,4330
x3 2,718 y
3 ?
x2 2,7 y
2 0 0,4346
Analogamente aos anteriores, vem:
y3 log 2,718 ≅ log e ≅ 0,4343.
388. a) x antilog 1,3552 ⇒ log x 1,3552 1 0,3552.
A mantissa 0,3552 não aparece na tábua, porém está
compreendida entre as mantissas 0,3541 e 0,3560.
Considerando a função y log x, temos:
x y log x
x1 22,6 y
1 log 22,6 1,3541
x3 ? y
3 log x
3 1,3552
x2 22,7 y
2 log 22,7 1,3560
Analogamente ao exercício anterior, temos que x3 ≅ 22,65.
Assim, antilog 1,3552 ≅ 22,65.
b) x antilog 0,4357 ⇒ log x 04357 0 0,4357.
A mantissa 0,4357 não aparece na tábua, porém está
compreendida entre as mantissas 0,4346 e 0,4362. Temos:
x y log x
x1 2,72 y
1 log 2,72 0,4346
x3 ? y
3 log x
3 0,4357
x2 2,73 y
2 log 2,72 0,4362
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152
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Analogamente ao anterior, vem:
x3 2,727, isto é, antilog 0,4357 2,727.
c) x antilog 1,7383 ⇒ log x 1,7383 1 0,7383.
A mantissa 0,7383 não aparece na tábua, porém está
compreendida entre as mantissas 0,7380 e 0,7388. Temos:
x y log x
x1 0,547 y
1 log 0,547 0,262
x3 ? y
3 log x
3 0,2617
x2 0,548 y
2 0,548 0,261
Do raciocínio anterior, vem:
x3 0,5474, isto é, antilog 1,7383 0,5474.
d) x antilog 1,6336 ⇒ log x 1,6336 ⇒ log x 1 0,6336
1 1 1 0,6336 2 0,3664.
A mantissa 0,3664 não aparece na tábua, porém está compreendida
entre as mantissas 0,3655 e 0,3674. Temos:
x y log x
x1 0,0232 y
1 log 0,0232 1,6345
x3 ? y
3 log x
3 1,6336
x2 0,0233 y
2 log 0,0233 1,6326
Teremos: x3 0,02325, isto é, antilog 1,6336 0,02325.
389. (I) Para calcularmos a1, notemos que:
log 12 300 4 0,0899 4,0899
e
log 12 400 4 0,0934 4,0934
Por interpolação linear, temos que a1 log 12 345 4,0909.
(II) Para calcularmos a2, notemos que:
log 4 0 0,6021 0,6021
e
log 4,1 0 0,6128 0,6128
Por interpolação linear, temos que a2 log 4,0909 0,6118.
(III) Para calcularmos a3, notemos que:
log 0,61 1 0,7853 0,2147
e
log 0,62 1 0,7924 0,2076
Por interpolação linear, temos que a3 log 0,6118 0,2134.
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153
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
(V) Como a4 5 log a
3 e a
3 0, a
4 não está definido em , pois
precisamos ter logaritmando positivo.
Assim, o maior valor de n é n 5 3.
391. a) log3 2 5
log 2
log 3 5
0,3010
0,4771 5 0,6309
b) log2 5 5
log 5
log 2 5
0,6990
0,3010 5 2,3222
c) log5 3 5
log 3
log 5 5
0,4771
0,6990 5 0,6825
d) log5 6 5
log 6
log 5 5
0,7782
0,6990 5 1,1133
e) log6 4 5
log 4
log 6 5
0,6021
0,7782 5 0,7737
392. Temos:
log3 800 5
log 800
log 3 5
2 1 0,9031
0,4771 5 6,084.
Assim, log3 800 5 6,084; temos então característica 6.
393. Seja N 5 5050. Temos:
N 5 5050 ⇒ log N 5 log(5050) ⇒ log N 5 50 ? log 50 ⇒
⇒ log N 5 50 ? (1 1 0,699) ⇒ log N 5 84,95 5 c
84 1
m
0,95.
Como a característica de log N é 84, pela regra I, segue que N 5 5050
possui 85 algarismos.
394. a) 5x 5 100 ⇒ log 5x 5 log 100 ⇒ x ? log 5 5 2 ⇒ x 5 2
0,699 ≅ 2,86.
b) 3x 5 20 ⇒ log 3x 5 log 20 ⇒ x ? log 3 5 log 20 ⇒
⇒ x ? 0,4771 5 (1 1 0,3010) ⇒ x ≅ 2,73.
c) 2x 5 30 ⇒ log 2x 5 log 30 ⇒ x ? log 2 5 log 30 ⇒
⇒ x 5 (1 1 0,4771)
0,3010 ≅ 4,91.
d) 7x 5 0,3 ⇒ log 7x 5 log 0,3 ⇒ x ? log 7 5 log 0,3 ⇒
⇒ x ? 0,8451 5 (21 1 0,4771) ⇒ x ≅ 20,62.
e) ex 5 50 ⇒ log ex 5 log 50 ⇒ x ? log e 5 log 50.
Pelo item e do exercício 387, log e ≅ 0,4343.
Então, x 5 1,6990
0,4343 ≅ 3,91.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
395. a) Fazendo 2x t, equação proposta é equivalente a:
t2 8t 15 0 ⇒ (t 3 ou t 5), isto é:
2x 3 ⇒ log 2x log 3 ⇒ x log 3
log 2 1,58
ou
2x 5 ⇒ log 2x log 5 ⇒ x log 5
log 2 2,32.
S {1,58; 2,32}
b) Fazendo 3x t, a equação proposta é equivalente a:
t2 5t 4 0 ⇒ (t 1 ou t 4), isto é:
3x 1 ⇒ x 0
ou
3x 4 ⇒ x log 4
log 3 1,26.
S {0; 1,26}
c) Fazendo 10x t, a equação proposta é equivalente a:
t2 7t 10 0 ⇒ (t 2 ou t 5), isto é:
10x 2 ⇒ x log 2 0,30
ou
10x 5 ⇒ x log 5 0,69
S {0,30; 0,69}
d) Fazendo ex t, a equação proposta é equivalente a:
t2 5t 6 0 ⇒ (t 2 ou t 3), isto é:
ex 2 ⇒ x log e log 2 ⇒ x 0,69
ou
ex 3 ⇒ x log e log 3 ⇒ x 1,10
S {0,69; 1,10}
396. Inicialmente, notemos que:
log10
6 log10
(2 3) log10
2 log10
3 0,30 0,48 0,78
e
log10
12 log10
(22 3) 2 log10
2 log10
3 2 0,30 0,48 1,08
Então, temos:
3x 23x 1 62x 1 ⇒ 3x 23x
2 62x 6 ⇒ 3x 23x 12 62x ⇒
⇒ log10
(3x 23x) log10
((12 62x) ⇒⇒ x log
10 3 3x log
10 2 log
10 12 2x log
10 6 ⇒
⇒ x 0,48 3x 0,30 1,08 2x 0,78 ⇒
⇒ 1,38x 1,08 1,56x ⇒ x 6.
S {6}
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
398. a) x 36
⇒ log x log 36
⇒ log x log 3
1
6 ⇒
⇒ log x 1
6 log 3 ⇒ log x
1
6 0,4771 0,0795
Por interpolação linear, x 1,201.
b) x 104
⇒ log x log 104
⇒ log x log10
1
4 ⇒
⇒ log x 1
4 log 10 ⇒ log x 0,25.
Por interpolação linear, x 1,778.
c) x 23,4 ⇒ log x log 23,4 ⇒ log x 3,4 log 2 ⇒
⇒ log x 3,4 0,3010 1,0234.
Por interpolação linear, x 10,554.
d) x 52,3 ⇒ log x 2,3 log 5 ⇒ log x 2,3 0,6990 ⇒
⇒ log x 1,6077.
Por interpolação linear, x 40,520.
399. Temos:
V 4R3
3 ⇒ R3
3V
4 ≅
3 20
4 3,14 ≅ 4,78.
Assim,
R3 4,78 ⇒ log R3 log 4,78 ⇒ 3 log R log 4,78.
Da tábua, log 4,78 0 0,6794, isto é, log 4,78 ≅ 0,6794, donde
log R ≅ 0,2264,
Novamente por interpolação linear, vem que R ≅ 1,68 cm.
400. Temos:
A (3,4)3 (1,73)25
⇒ A [(3,4)3 (1,73)2]
1
5 ⇒
⇒ log A 1
5 log [(3,4)3 (1,73)2] ⇒
⇒ log A 1
5 [3 log 3,4 2 log 1,73].
Da tábua temos:
log 3,4 0,5315 e log 1,73 0,2380, donde:
log A 1
5 [3 0,5315 2 0,2380] ⇒ log A 0,414.
Por interpolação linear, A 2,60.
402. Devemos ter: C 3Co, isto é:
C Co (1 i)t ⇒ 3 Co Co (1 0,03)t ⇒ (1,03)t 3 ⇒
⇒ t log 1,03 log 3 ⇒ t 0,0128 0,4771 ⇒ t 37,2.
Resposta: 38 meses.
403. Devemos ter: C 2Co, isto é:
C Co (1 i)t ⇒ 2 Co Co (1 0,105)t ⇒ 2 1,105t ⇒
⇒ log 2 t log 1,105.
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Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Como log 1,1 0,0414 e log 1,2 0,0792, por interpolação linear,
log 1,105 0,0433.
Daí, t 0,301
0,0433 6,95.
Resposta: 7 trimestres.
404. Temos: Co 106, i 0,03 e t 18.
Daí,
C Co (1 i)t ⇒ C 106 (1 0,03)18 ⇒ C 106 1,0318 ⇒
⇒ log C log (106 1,0318) ⇒ log C 6 18 log 1,03.
Da tábua, log 1,03 0,0128.
Daí, log C 6 18 0,0128 6,2304 6 0,2304.
Com a mantissa 0,2304 encontramos na tábua o número 170.
Como a característica de log C é 6, segue que C 1 700 000.
Resposta: R$ 1 700 000,00.
405. Temos: Co 5 105, i 0,04 e t 48 trimestres.
Daí,
C Co (1 i)t ⇒ C 5 105 (1,04)48 ⇒
⇒ log C log [5 105 (1,04)48] ⇒ log C log 5 5 48 log 1,04.
Como
log 1,04 0,017
e
log 5 0,699
, vem que log C 6,515.
Por interpolação linear, segue que C 3 273 000.
Resposta: R$ 3 273 000,00.
406. O número de bactérias após 3 horas é dado por:
N(3) 2 000 103
36 ⇒ log N(3) log (2 000 103
36) ⇒
⇒ log N(3) log 2 000 1
12 log 10.
Como log 2 000 3,3010, vem que:
log N(3) 3,3010 1
12 ≅ 3,3843.
Por interpolação linear, N(3) 2 422.
Resposta: Após 3 horas, haverá 2 422 bactérias.
407. Temos:
Q(t) Qo 10Kt ⇒ Q(20) Qo 1020K ⇒
⇒ 400 500 1020K ⇒ 4
5 1020K ⇒ 0,8 1020K ⇒
⇒ log 0,8 log 1020K tábua
(1 0,9031) 20K ⇒
⇒ 20K 0,0969 ⇒ K 0,004845.
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Fundamentos de matemática elementar
Logaritmos
novAS QUESTÕES dE vESTibUlArES
Gel
son
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2
Fundamentos de matemática elementar é uma coleção consagrada ao longo dos anos por oferecer ao estudante o mais completo conteúdo de Matemática elementar. Os volumes estão organizados da seguinte forma:
VOLUME 1 conjuntos, funções
VOLUME 2 logaritmos
VOLUME 3 trigonometria
VOLUME 4sequências, matrizes, determinantes, sistemas
VOLUME 5combinatória, probabilidade
VOLUME 6complexos, polinômios, equações
VOLUME 7 geometria analítica
VOLUME 8limites, derivadas, noções de integral
VOLUME 9 geometria plana
VOLUME 10 geometria espacial
VOLUME 11
matemática comercial, matemática financeira, estatística descritiva
A coleção atende a alunos do ensino médio que procuram uma formação mais aprofundada, estudantes em fase pré-vestibular e também universitários que necessitam rever a Matemática elementar.
os volumes contêm teoria e exercícios de aplicação, além de uma seção de questões de vestibulares, acompanhadas de respostas. Há ainda uma série de artigos sobre história da matemática relacionados aos temas abordados.
na presente edição, a seção de questões de vestibulares foi atualizada, apresentando novos testes e questões dissertativas selecionados a partir dos melhores vestibulares do país.
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