Fundamentos de Matematica Elementar - Vol 04 - Sequencias_Matrizes_Determinantes_Sistemas_Lineares
Apostila Fundamentos Matematica MONITORES
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Rascunho
Treinamento Intensivo de
Fundamentos Matematicos
Coordenacao de Monitoria
28 de dezembro de 2014
Rascunho
Sumario
1 Numero Inteiros ( N ) 7
1.1 Subtracao e os numeros negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Representacao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Comparacao de numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Operacoes com numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Adicao de numeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Adicao e Subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.8.1 Expressoes Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.9 Numeros Compostos e Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9.1 Decomposicao por fatores primos . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Numeros Racionais Q 19
2.1 Fracoes Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Simplificacao de fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Adicao ou Subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3
Rascunho
4 SUMARIO
3 Potenciacao 29
3.1 Potenciacao de numeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Propriedades Operatorias da Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Notacao Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Radiciacao 37
4.1 Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Propriedades Operatorias da Radiciacao . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Propriedades Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Raızes Literais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Adicao e Subtracao com radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.1 Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.5.2 Divisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Produtos Notaveis 45
5.1 Operacoes com expressoes algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Multiplicacao ou Divisao de expressoes algebricas . . . . . . . . . . . 45
5.3 Propriedade Distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4 Produtos Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Fatoracao 51
6.1 Fator comum em evidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Agrupamento dos termos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3 Diferenca de dois quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Trinomio quadrado perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.5 Trinomio do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Equacoes de primeiro grau 55
7.1 Equacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Rascunho
SUMARIO 5
8 Equacoes do 2o Grau 59
8.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9 Trigonometria 63
9.1 Elementos do Triangulo Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Razoes trigonometricas no triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . 64
9.3 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.4 Adicao de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10 Relacoes Metricas no Triangulo retangulo 71
10.1 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Rascunho
Capıtulo 11
Numero Inteiros ( N )2
Os numeros negativos sempre aparecem com o sımbolo ( - ) e os positivos aparecem3
sem sımbolo ou com o sımbolo ( + ) e o numero zero nem e positivo nem negativo.4
Os numeros negativos geralmente sao associados a temperaturas frias, aos andares5
abaixo do terreo e ao saldo devedor de um correntista.6
1.1 Subtracao e os numeros negativos7
Os numeros negativos aparecem quando subtraımos um numero maior de um menor,8
isto e 40− 120 = −80 . Exemplo: Assim, efetue as operacoes abaixo:9
1. 386− 14910
2. 926− 103611
3. 5274− 227412
4. 777− 81913
5. 74− 200114
1.2 Representacao Geometrica15
A representacao geometrica dos numeros inteiros e uma reta, com espacamentos16
unitarios, onde os numeros negativos ficam a esquerda do zero e os positivos a sua17
direita, como na figura 1.1:18
7
Rascunho
8 CAPITULO 1. NUMERO INTEIROS ( N )
Figura 1.1: Reta dos Numeros Inteiros
No intervalo entre dois numeros quaisquer existem outros infinitos numeros, for-19
mando o conjunto dos numeros reais. Uma caracterıstica dos numeros inteiros e20
sempre conseguirmos para numero inteiro dado seu sucessor ou antecessor. Assim21
a representacao nao termina no -2 ou no 3, isto e, existe o sucessor de 3, que e o 422
e o antecessor de -2, que e o -3. Exemplo: Construa uma reta com os primeiros 723
numeros positivos e os primeiros 4 numeros negativos.24
1.3 Comparacao de numeros inteiros25
Podemos comparar dois numeros inteiros para saber se um deles e maior que o26
outro. Para fazer esta comparacao podemos utilizar a representacao geometrica27
dos numeros inteiros ou analogias como a do saldo bancario. Na representacao28
geometrica, quanto mais a esquerda esta o numero, menor ele e. Por outro lado,29
quanto mais a direita esta o numero, maior ele e. Assim −3 < 0 ,4 > 2 ,1 > 0 ,30
1 > −131
Exemplo: Compare os numeros abaixo:32
1. -4 e -233
2. 2 e 334
3. -21 e 1835
4. 30 e 2736
5. -16 e -437
Rascunho
1.4. OPERACOES COM NUMEROS INTEIROS 9
1.4 Operacoes com numeros inteiros38
1.4.1 Adicao de numeros Inteiros39
Para somar numeros inteiros podemos usar varias estrategias. Veja os exemplos40
abaixo: a) adicao: -2 + 5 podemos pensar assim:41
•42
• A temperatura estava -2o. Subiu 5o. Ficou em +3o.43
• O Corinthians sofreu 2 gols ( -2) e marcou 5 gols ( + 5 ). Ficou com um saldo44
de 3 gols ( +3 ).45
• Na reta de inteiros se eu sair do numero -2 e andar 5 numeros para a direita46
(+5 ) eu chego ao numero 3 ( +3 ).47
b) adicao: -3 + -4 podemos pensar assim:48
•49
• A temperatura estava -3o . Baixou 4o ( -4). Ficou em - 7o.50
• O Vasco da Gama sofreu 3 gols ( -3) e tomou 4 gols em outra partida( -4 ).51
Ficou com um saldo de -7 gols.52
• Na reta de inteiros se eu sair do numero -3 e andar 4 numeros para a esquerda53
eu chego ao numero -7.54
Exemplo: Efetue as adicoes:55
1. −386 + 50056
2. −329 + (−94)57
3. 0 + (−185)58
4. −87 + (−87)59
Rascunho
10 CAPITULO 1. NUMERO INTEIROS ( N )
1.4.2 Adicao e Subtracao60
O resultado das operacoes da adicao e subtracao para os numeros inteiros sempre e61
um numero inteiro, esta propriedade e chamada de fechamento62
Exemplo 163
8 - 3 – 4 – 5 – 12 + 4 –1 – 10 + 8 – 9 – 15 - 764
A forma mais facil de trabalharmos a adicao e a subtracao e separarmos os65
numeros positivos dos numeros negativos:66
(8+4+8) + (-3- 4-5 -12-1-10 -9-15 -7)67
A seguir obtemos a soma dos positivos e a soma dos negativos: 16 +(-66)68
O resultado obtido sera: - 50.69
Sugestao: Represente na reta os numeros em cada uma das etapas70
Exemplo 271
15 – 10 – [ 8 + 7 – 19- ( -1+ 2 + 8 – 11)].72
Os sinais , [], () determinam a prioridade das operacoes73
Lembre se das seguintes regras: 1. Elimine primeiro os parenteses, depois col-74
chetes e por fim as chaves75
2. Se o sinal que estiver fora de qualquer um deles (parenteses, colchete, chave)76
for negativo deveremos trocar todos os sinais dos numeros que se seguirem, porem se77
o sinal de fora for positivo, deveremos manter o sinal dos numeros que se seguirem.78
Primeiramente copiamos a expressao ate os parenteses, chegando nele trocamos79
todos os sinais dos numeros ja que fora dele temos um sinal negativo 15 – 10 – [ 880
+ 7 – 19 + 1 –2 – 8 + 11] os parenteses foram eliminados81
A seguir eliminaremos o colchete, utilizando o mesmo raciocınio 15 – 10 – 8 – 782
+ 19 – 1 + 2 + 8 – 11 os colchetes foram eliminados83
e por fim eliminamos a chave. 15 – 10 + 8 + 7 – 19 + 1 – 2 – 8 + 11,84
agindo da mesma forma que no exemplo anterior chegamos a (15 + 8 + 7 + 185
+ 11) + (-10 – 19 – 2 – 8),86
resultando em 42 + ( - 39) = 387
Sugestao: Represente na reta os numeros em cada uma das etapas88
1.4.3 Exercıcios89
1. Efetuar as operacoes. Represente na reta os numeros em cada uma das etapa:90
Rascunho
1.5. MULTIPLICACAO 11
2. 10–9–7–8 + 12–3–7 + 8–31 + 7 + 20 R:-891
3. –22–6 + 8 + 12 + 10–45–27 + 33 R:-3792
4. 12–(10–9–8–4) + 15 R:3893
5. –23–10–[9–17 + (8–9–7)–1] R:-5094
6. 16 + 23− 12–[8 + 4 + 7–(5–3–9) + 13] + 12 R: 095
7. 34 + 12–10–8–9–[21–9–8–(23–9–10)] R:3796
8. 90–[11–7–(5 + 14–34)–14–8] R:9397
9. 45–87–12–12–56–10–[12–24–45 + (45–32–54) + 9 + 18] R:-6198
1.5 Multiplicacao99
O conjunto dos numeros inteiros e fechado para a operacao da multiplicacao. A100
multiplicacao de numeros inteiros gera numeros inteiros101
Exemplo 1102
(−1) · (−2) · (+3) · (−2)103
Neste caso devemos lembrar a regra de sinais para o produto, ou seja: Se tivermos104
um numero ımpar de sinais negativos o produto resultara negativo. Se tivermos um105
numero par de sinais negativos o produto sera positivo. No exemplo acima temos106
um numero ımpar de sinais negativos (tres), portanto o produto sera negativo - 12107
Exemplo 2 Calcule os produtos:108
• (+12).(−2).(−3).(−10) R: - 720109
• (−2).(−12).(−5).(−8) R: 960110
• (−1).(−2).(−3).(−4).(−5) R: -120111
1.6 Divisao112
O conjunto dos numeros inteiros e fechado para a operacao de divisao. A divisao de113
numeros inteiros NAO gera numeros inteiros.114
Os resultados nesse caso nao podem ser representados na reta dos numeros in-115
teiros116
Rascunho
12 CAPITULO 1. NUMERO INTEIROS ( N )
1.7 Potenciacao117
A operacao de Potenciacao e um recurso de linguagem que facilita a escrita de118
produtos de termos repetidos:119
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 (1.1)
Na expressao pode se contar 9 vezes o numero 2, para facilitar a escrita adota-se120
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 29 (1.2)
De forma geral121
a · a · a · · · · a = an (1.3)
Notacao a e a base na Potenciacao e indica o numero que foi repetido n e o expoente122
na Potenciacao e indica o numero de repeticoes123
Exemplo: Represente o produto indicado 22 = ,diz se dois ao quadrado124
23 = , diz se dois ao cubo125
24 = , diz se dois elevado a quarta potencia126
210 = , diz se dois elevado a decima potencia127
1.8 Radiciacao128
Observe que : 22 = 4129
23 = 8130
24 = 16131
210 = 1024132
Poderıamos estar interessados na situacao contraria. Qual o numero elevado a133
quarta potencia que resulta em 81?134
Essa e a operacao de Radiciacao e e o inverso da Potenciacao. Matematicamente:135
4√
81 (1.4)
Pensnado um pouco temos que 3 · 3 · 3 · 3 = 81 Assim a resposta seria 3. Mate-136
maticamente137
4√
81 = 3 (1.5)
Rascunho
1.8. RADICIACAO 13
Perceba que:138
2√
81 = 9 (1.6)
No inıcio e mais facil pensar na Potenciacao para resolver problemas de Radi-139
ciacao. Depois a memorizacao torna o processo natural.140
De forma geral141
n√a = q (1.7)
Diz se raiz n-esima de p e igual a q. E estamos procurando qual o numero q que142
multiplicado repetidamente n vezes resulta em a143
1.8.1 Expressoes Numericas144
Nas operacoes em uma expressao numerica, devemos obedecer a seguinte ordem:145
1. Potenciacao ou Radiciacao146
2. Multiplicacao ou Divisao147
3. Adicao ou Subtracao148
Observacoes:149
• Antes de cada uma das tres operacoes citadas anteriormente, deve se realizar150
a operacao que estiver dentro dos parenteses, colchetes ou chaves.151
• A multiplicacao pode ser indicada por x ou por um ponto. ou as vezes sem152
sinal, desde que fique clara a intencao da expressao.153
Exemplo 1154
133− [(35 + 8)− (12− 3)]− {(17 + 4)− [15− (11− 9)]}
133− [43− 9]− {21− [15− 2]} = 133− 34− {21− 13}
= 133− 34− 8
= 133− 42
= 91
(1.8)
Seguindo-se a ordem rigidamente (repetindo): Primeiro divisoes e multiplicacoes,155
depois, adicao e subtracao. A operacao que vier primeiro. Vai resolvendo o que156
Rascunho
14 CAPITULO 1. NUMERO INTEIROS ( N )
estiver dentro e repetindo o que nao estiver sendo operado. Cada um na sua vez.157
Exemplo 2158
−8− [+2− 1 + (−50 + 28)] =
= −8− [+2− 1 + (−22)]
= −8− [+2− 1− 22]
= −8− [+2− 23]
= −8− [−21]
= −8 + 21
= 13
(1.9)
Sugestao Faca os exemplos seguintes159
Exemplo 3160
133− [(35 + 8)2 − (12− 3)]3 − {√
(17 + 8)− [15− (11− 9)]}2
(1.10)
133− [√
(35 + 14)−√
(12− 3)]2 − {√
(17 + 8)− [15− (11− 9)2 + (√
16 + 4]2}2
(1.11)
Rascunho
1.9. NUMEROS COMPOSTOS E PRIMOS 15
1.9 Numeros Compostos e Primos161
Um numero inteiro maior que 1 e um numero primo se tem dois e so dois162
divisores, a unidade e o proprio numero.163
Um numero composto e um numero que tem mais do que dois divisores164
naturais distintos.165
Na Grecia Antiga, Eratostenes estabeleceu os numeros primos para os 100 pri-166
meiros numeros, conforme figura 1.9:167
Figura 1.2: Crivo de Eratostenes
O numero 1 nao e primo, so tem um divisor, o proprio 1.168
O numero 1 tambem nao e composto169
Todo o numero composto pode ser escrito como um produto de fatores primos,170
por exemplo:171
1. 8 = 23172
2. 36 = 22 · 32173
3. 595 = 5 · 7·174
1.9.1 Decomposicao por fatores primos175
A forma usual para obter a decomposicao consiste na aplicacao da Regra do Traco.176
Por exemplo: Para o numero 210, aplica se o processo de divisao sucessiva por todos177
os numeros primos a partir de 2.178
Rascunho
16 CAPITULO 1. NUMERO INTEIROS ( N )
Quocientes
210 2
105 3
35 5
7 7
1
Primos divisores sucessivos (1.12)
Portanto 210 = 2 · 3 · 5 · 7179
Complete a decomposicao180
2
4410 2
735 3
245 5
7
7 7
1
(1.13)
Portanto181
1.10 Exercıcios182
1. Calcule as exressoes:183
(a) 7− (10 + 5) + 5 · (7− 3) R.: 12184
(b) 4 + 5 · 8− 3 · 11 + 5 R.: 16185
(c) −8 + 5 · (−1 + 3)− 7 R.: –5186
(d) 2− (−2− 5)− 2 · (−5 + 2) R.: 15187
(e) −3 · −3− 2 · [−5–3 · (–1 + 3)]− 5− 7 R.: –49188
(f) −5− 2 · −3− 2 · [−4− 2(−6 + 10) · (−3 + 1)] + 7 R.: 35189
(g) (−1 + 5) · (5− 1)− 2 · [−3 + 2 · (3 + 2 · 6)− 4] R.: –30190
(h) 7− 6− (−17− 6) + 3 · [3 + 4 · (−2 + 3 · 2)− 4] R.: 51191
(i) 4 + 3 · 2− 6 · 7 + 3 · 5 + 4 · (−2)− 8 · 2 + 11 R.: –30192
Rascunho
1.10. EXERCICIOS 17
2. Calcule as expressoes193
(a) 7− ((10 + 5) + (5 · (7− 3))3)2194
(b) 4 + (5 · 8− 3 · 11)2 + 5195
(c) −8 + 5 · ((−1 + 3)− 7)4196
(d) 2− ((−2− 5)− 2 · (−5 + 2))3197
(e) −3 · {−3− 2 · [−5− 3 · (−1 + 3)]}3 − (5− 7)198
(f) −5− 2 · {−3− 2 · [−4− 2(−6 + 10) · (−3 + 1)] + 7}2199
(g)√
(−1 + 5) · (5− 1)2 − 2 · [−3 + 2 · (3 + 2 · 6)− 4]200
(h) 7− 6− (−17− 6) + 3 · [3 + (4 · (−2 + 3 · 2))3 − 4]201
(i) 4 + (3 · 2− 6 · 7)2 + 3 · 5 + 4(·(−2)− 8 · 2 + 11)3202
3. Decomponha em numeros primos203
(a) 147204
(b) 525205
(c) 504206
(d) 187207
(e) 1155208
(f) 3969209
(g) 2310210
(h) 1008211
(i) 756212
(j) 5040213
Rascunho
Capıtulo 2214
Numeros Racionais Q215
Lembre se que a unica operacao que nao possui fechamento nos numeros inteiros e216
a divisao. Ou seja para217
3 : 5 =3
5(2.1)
nao ha representacao no conjunto dos Numeros Inteiros do resultado dessa operacao.218
Lembre se tambem que na representacao da reta ha um intervalo nao ocupado219
entre dois numeros inteiros.220
Todo numero racional, escrito na forma de razao entre dois inteiros quaisquer a221
e b, e denominado um numero racional ou simplesmente uma fracao.222
a : b =a
b(2.2)
E necessario reforcar o conceito que toda fracao pode ser representada como a223
divisao entre o numero a e o numero b. Por exemplo:224
1. 3 : 4 =3
4225
2. 7 : 5 =7
5226
3. 8 : 2 =8
2e nesse caso ja sabemos que o resultado e 4.227
A fracao e sempre representada por dois numeros:228
• a e o numerador, o numero de partes consideradas de um objeto229
• b o denominador, o numero total de partes do objeto230
19
Rascunho
20 CAPITULO 2. NUMEROS RACIONAIS Q
Por exemplo, na fracao 14
(um quarto), o numero 1 e o numerador e numero 4 e231
o denominador.232
Muitos alunos apresentam grande dificuldade em aprender e trabalhar com as233
fracoes, pois:234
1. Nao reconhecem se 14
e maior ou menor que 15.235
2. Cometem erros do tipo 23
+ 14
= 37
236
Observacoes Importantes Algumas observacoes que devemos fazer antes de237
iniciarmos nosso estudo:238
1. Todo numero inteiro tambem e um numero racional, logo Z e um subconjunto
de Q. Por exemplo:
3 =12
4
2. Cada numero racional pode ser representado por infinitas fracoes equivalentes.
Por exemplo12
4=
9
3==
75
25
3. Se o numerador for multiplo do denominador a fracao sera um racional inteiro.239
Por exemplo,15
3= 5, pois 15 e multiplo de 3. Caso contrario, a fracao sera240
um racional fracionario.241
4. Todo numero racional pode ser representado por um numero decimal exato ou242
por uma dızima periodica. Por exemplo,5
2= 2, 5 ou
1
3= 0, 3333243
5. Tipos de fracoes244
(a) Fracao Propria Quando o numerador for menor que o denominador,245
ou seja, a < b, com a > 0 e b > 0.246
(b) Fracao Impropria Quando o numerador for maior que o denominador,247
ou seja, a > b, com a > 0 e b > 0.248
Toadas fracoes proprias2
5,3
7,4
9sao menores que 1 e todas fracoes improprias249
8
5,3
2,4
3sao maiores que 1250
Rascunho
21
Figura 2.1: Nomes das fracoes
Os nomes das fracoes dependem do numero de partes em que a unidade e dividida251
e do numero de partes que estamos considerando, conforme a figura 2.1.252
As fracoes com denominadores multiplos de 10 recebem o nome de fracao decimal.
Por exemplo,2
10,
3
10,13
10
A fracao com outros denominadores, recebe o nome de avos, que em latim tinha253
o significado de parte ou quota. Por exemplo,4
9, quatro onze avos,
5
128cinco cento254
e vinte e oito avos, etc. Observe figura 2.2255
Figura 2.2: Nomes das fracoes
Rascunho
22 CAPITULO 2. NUMEROS RACIONAIS Q
2.1 Fracoes Equivalentes256
Fracoes equivalentes sao representacoes distintas da mesma quantidade. ”Equi”indica257
igualdade.”Valente”significa ”que tem valor”. Observe as figuras 2.3 e 2.4
Figura 2.3: Fracoes Equivalentes
258
Figura 2.4: Fracoes Equivalentes, representacao numerica
2.1.1 Simplificacao de fracoes259
Para podemos estabelecer o seguinte processo, ver figura 2.5:
Figura 2.5: Simplificacao de Fracoes Equivalentes
260
Rascunho
2.2. EXERCICIOS 23
Quando fazemos isto, dizemos que a fracao foi simplificada e tambem45
60e equi-261
valnte a3
4262
Perceba que o processo e de ida e volta. E poderıamos ter feito ao contrario263
2.2 Exercıcios264
1. Simplificar as seguintes fracoes:265
(a)25
10266
(b)12
36267
(c)72
144268
(d)21
3269
(e)−16
128270
(f)75
−15271
(g)−8
−480272
(h)32
512273
(i)27
243274
(j)15
25275
(k)9
11276
2. Reduzir ao mesmo denominador comum:277
(a)1
2,1
3,5
6,
7
12278
(b)4
2,1
5,3
2,5
3,7
6279
(c) 3,5
4,1
2,1
9280
(d)4
3,11
5,5
7281
(e)2
3,1
5,3
7282
(f)2
3,2
5,2
7283
(g)3
11,
2
13,
5
26284
(h) , ,285
3. Refaca o exercıcio 2 colocando as fracoes em ordem crescente286
2.3 Adicao ou Subtracao287
A ideia de juntar corresponde, na Matematica, a adicao. Podemos entao somar288
fracoes representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Observe a289
adicao, na figura 2.6:290
Este exemplo justifica a regra utilizada para somar fracoes:291
Para somar ou subtrair fracoes de mesmo denominador, somamos ou292
subtraımos os numeradores e conservamos o denominador.293
Rascunho
24 CAPITULO 2. NUMEROS RACIONAIS Q
Figura 2.6: Adicao de Fracoes de Denominadores Iguais
No entanto, quando as fracoes tem denominadores diferentes, aparece uma difi-294
culdade. Como somar3
5+
1
4? Observe a figura 2.7295
Figura 2.7: Adicao de Fracoes de Denominadores Diferentes
A solucao aparece do caso anterior, quando os denominadores eram iguais. Assim296
o primeiro passo e “reduzir as fracoes ao mesmo denominador”.297
Depois que as fracoes estao com o mesmo denominador, efetuamos a adicao:298
Para somar ou subtrair fracoes com denominadores diferentes299
1. Reduzimos as fracoes ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior.300
2. Para reduzirmos as fracoes ao mesmo denominador, podemos tirar o MMC301
entre os denominadores e efetuarmos de modo mais rapido a soma ou subtracao302
entre as fracoes.303
Por exemplo para3
5+
1
4304
3
5+
1
4=
12
20+
5
20
=12 + 5
20
=14
20
(2.3)
A subtracao se faz da mesma forma 2.8305
2.3.1 Exercıcios306
1. Efetuar307
Rascunho
2.4. MULTIPLICACAO 25
Figura 2.8: Subtracao de Fracoes de Denominadores Diferentes
(a)2
7+
2
3308
(b)2
5+−1
3309
(c)7
2+
4
4310
(d)−1
5+
8
3+−3
4311
(e)5
6+
3
4− 4312
(f)4
9− 7
12+ 3313
(g)2
14+
4
21314
(h)−7
10+
4
15315
(i)9
7+
4
9316
(j)3
5+
11
7317
(k)2
9+
3
8318
(l)4
7+−7
11319
(m)2
7+
2
3− 2
5+−1
3320
(n)7
2+
4
4+−1
5+
8
3+−3
4321
(o)5
6+
3
4− 4− 4
9− 7
12322
(p)2
14− 4
21− −7
10+
4
15323
2.4 Multiplicacao324
A fracao de uma fracao pode ser calculada pelo descricao geometrica na figura 2.9
Figura 2.9: Subtracao de Fracoes de Denominadores Diferentes
325
De forma geral326
Rascunho
26 CAPITULO 2. NUMEROS RACIONAIS Q
a
b× c
d=ac
bd(2.4)
Para multiplicarmos duas fracoes , multiplicamos os numeradores e os denomi-327
nadores entre si.328
Por exemplo:329
a)4
3× 5
7=
20
21330
b)2
3× 5
4=
10
12=331
c)7
3× 4
21=
28
63=332
2.5 Divisao333
Figura 2.10: Subtracao de Fracoes de Denominadores Diferentes
Para dividirmos duas fracoee, multiplicamos a primeira fracao pelo334
inverso da segunda fracao.335
Por exemplo:336
a)4
3:
5
7=
4357
=4
3× 7
5=
28
15337
b)2
3:
5
4=
2345
=2
3× 4
5=338
c)7
3:
4
21=
73421
=7
3× 21
4=339
2.5.1 Exercıcios340
1. Efetuar341
(a)2
7× 2
3342
(b)2
5× −1
3343
(c)7
2:
4
4344
(d)−1
5:
8
3+−3
4345
(e)5
6× 3
4346
(f)4
9:
7
12347
Rascunho
2.5. DIVISAO 27
(g)2
14× 4
21348
(h)−7
10:
4
15349
(i)9
7:
4
9350
(j)3
5× 11
7351
(k)2
9× 3
8352
(l)4
7:−7
11353
(m)2
7× 2
3× 2
5× −1
3354
(n)
(7
2:
4
4
)×(−1
5:
8
3
)+
3
4355
(o)
(5
6× 3
4
):
(4
9:
7
12
)356
(p)2
14−((
4
21× −7
10
):
4
15
)357
2. Efetuar as operacoes:358
(a)3
5+
1
5359
(b)2
6− 5
6360
(c)2
11− 3
22361
(d)5
7− 1
42362
(e)1
5− 5
6− 4
15+
5
3363
(f)3
4− 7
15− 3
3+
11
6364
Rascunho
Capıtulo 3365
Potenciacao366
3.1 Potenciacao de numeros inteiros367
Operacao matematica envolvendo dois numeros:368
an = a× a× a · · · × a︸ ︷︷ ︸n
= b (3.1)
a base a, indica o numero repetido numa multiplicacao n o expoente n, indica a369
quantidade de vezes que a base a se repete na multiplicacao b potencia, o resultado370
da operacao371
Exemplos:372
1. 32 = 3 · 3 = 9373
2. (−2)2 = (−2) · (−2) = 4374
3. (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = 8375
4.(34
)3=(34
)·(34
)·(34
)=(
333
)=(
27256
)376
Cuidado com os sinais.377
Numero negativo elevado a expoente par fica positivo.378
Numero negativo elevado a expoente ımpar permanece negativo Exemplos379
1. 34 = 3 · 3 · 3 · 3 =380
2. 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =381
29
Rascunho
30 CAPITULO 3. POTENCIACAO
1. (−2)2 = (−2) · (−2) =382
2. (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) =383
Situacoes especiais De acordo com definicoes matematicas, os expoentes 0 e384
1 produzem :385
1. a0 = 1386
2. n1 = n387
Cuidado388
1. 0n = 0389
2. 1n = 1390
3. −22 = −(2 · 2) = −4391
4. −35 = −(3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3) = −243392
5. (−a)5 = (−a) · (−a) · (−a) · (−a) · (−a) =393
6. −a5 = −(a · a · a · a · a · a) =394
Se , qual sera o valor de “”? Observe: , pois o sinal negativo nao esta elevado395
ao quadrado. os parenteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” nao deve396
ser elevado ao quadrado, somente o numero 2 que e o valor de x.397
Rascunho
3.2. PROPRIEDADES OPERATORIAS DA POTENCIACAO 31
3.2 Propriedades Operatorias da Potenciacao398
As seguintes propriedades podem ser utilizadas para efetuacao de calculos:399
am · an = a× a× a · · · × a︸ ︷︷ ︸m
· a× a× a · · · × a︸ ︷︷ ︸n
= am+n
am
an=
a× a× a · · · × a︸ ︷︷ ︸m
a× a× a · · · × a︸ ︷︷ ︸n
= am−n
(am)n = (am)× (am) · · · × (am)︸ ︷︷ ︸n
= a(m·n)
(ab
)n=an
bn
(a · b)n = an · bn
(ab
)−n=
(b
a
)n
a−n =
(1
a
)n
(3.2)
Todas as propriedades sao validas nos dois sentidos400
Exemplos: A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das pro-401
priedades:402
1. am · an = am+n403
(a) 23 · 22 = 2 · 2 · 2︸ ︷︷ ︸ · 2 · 2︸︷︷︸ = 23+5 =404
(b) 2x · 23 = 2 · 2 · · · · 2︸ ︷︷ ︸x
· 2 · 2 · 2︸ ︷︷ ︸ = 2x+3 =405
(c) 218 = 2 · 2 · · · · 2︸ ︷︷ ︸11
· 2 · 2 · 2 · · · · 2︸ ︷︷ ︸ = 211 · 27 =406
2.am
an= am−n407
(a)23
22=
2 · 2 · 2︸ ︷︷ ︸2 · 2︸︷︷︸ = 23−2 =408
Rascunho
32 CAPITULO 3. POTENCIACAO
(b)2x
23=
2 · 2 · · · · 2︸ ︷︷ ︸x
2 · 2 · 2︸ ︷︷ ︸ = 2x−2 =409
(c) 218 =
2 · 2 · · · · 2︸ ︷︷ ︸11
2 · 2 · 2 · · · · 2︸ ︷︷ ︸ =211
27=410
3. (am)n = am·n411
(a) (23)2 = 23 · 23 = 23·5 =412
(b) (2x)3 = 2x · 2x · 2x = 2x·3 =413
(c) (23)x = 23 · 23 · · · · 23︸ ︷︷ ︸x
= 2x·3 =414
(d)(218)3
=(218)·(218)·(218)
=(218·3) =415
Quando o numero 10 for elevado a qualquer potencia positiva bastara repetir em416
zeros a quantidade equivalente ao expoente.417
Ex: 104 = 1000︸︷︷︸4 zeros
418
Quando o numero 10 for elevado a qualquer potencia negativa bastara repetir419
em zeros a quantidade equivalente ao expoente colocando-os a esquerda do numero420
1, sendo que depois do primeiro zero havera uma vırgula.421
Ex: Ex: 10−4 = 0, 0001︸ ︷︷ ︸4 zeros
422
No caso de expoentes iguais, vale ainda operar com as bases, e fazer a potenciacao423
por ultimo.424
Ex: 22x52 = (2x5)2 = 102425
102 : 52 = (10 : 5)2 = 22 Nao existem regras para somar ou subtrair426
potencias.427
Devemos resolve-las separadamente para depois somar ou subtrair.428
3.3 Notacao Cientıfica429
Quando colocamos um numero em notacao cientıfica, tem-se a vantagem de traba-430
lhar com numero muito grandes ou muito pequenos mais facilmente.431
A notacao cientıfica tem a forma:432
N · 10x (3.3)
Rascunho
3.4. EXERCICIOS 33
Onde 1 < N < 10 e x e o expoente de 10. Com os numeros nessa forma, podemos433
operar com eles:434
1. (N × 10x)(M × 10y) = (NXM)X10x+y435
2. N10x : M × 10y = N : MX10x−y436
3. (N × 10x) + (M × 10x) = (N +M)× 10x437
4. (N × 10y)− (M × 10y) = (N −M)× 10y438
Nos casos de adicao e subtracao, devemos ter os expoentes iguais para poder439
fazer a operacao.440
Deve-se transformar o expoente antes de comeca-la. Para transformar o expoente441
devemos lembrar:442
O numero a ser transformado for maior que um, a vırgula ”andara”para a es-443
querda, e o expoente sera positivo. Ou seja, em um numero grande o expoente444
aumenta.445
O numero a ser transformado for menos que um, a vırgula ”andara”para a direita446
e o expoente sera negativo. Ou seja, em um numero pequeno o expoente diminui.447
Simplifique a expressao:2n · 4
3√
8 · 23n+1448
Como temos multiplicacao e divisao de potencias de bases diferentes, devemos449
reduzir todas a mesma base. Como a menor base e 2, tentaremos escrever todos os450
numeros que aparecem na base 2.451
2n · 22
2 · 23n+1452
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicacao de potencias de mesma base.453
2n+2
21+3n+1454
Agora aplicaremos as propriedades de divisao de potencias de mesma base.455
2(n+2)−3n+2 = 2−2n456
3.4 Exercıcios457
1. Calcule as potencias:458
(a) (−6)2459
(b) −(−6)2460
(c) −62461
(d) (−2)3462
Rascunho
34 CAPITULO 3. POTENCIACAO
(e) −23463
(f) 50464
(g) (−8)0465
(h) 028466
(i) 132467
(j) 132468
(k) (−1)20469
(l) (−1)17470
(m)
(2
3
)2
471
(n)
(−4
3
)3
472
(o)
(517
643
)0
473
(p)
(−3
5
)2
474
(q)
(−2
7
)3
475
(r)
(2
3
)2
476
(s)
(−4
3
)3
477
(t)
(−3
4
)3
+
(−2
7
)3
478
(u)
(2
3
)2
−(−4
3
)3
479
(v)
(−4
3
)3
+
(1
4
)3
480
2. Calcule o valor de481
(a) [47 · 410 · 4]2 ÷ (45)7482
(b) (a · b)3 · b · (b · c)2483
(c) x3·y5·x−1·y3·(x3)2
·y−2·x4·(x2)4484
3. Dado a = 27 · 38 · 72 b = 25 · 36 · 70 calcule485
(a)a
b486
(b) a3 · b2487
(c)a
b2488
(d)a3
b489
(e) a2 · aa3
b2
490
4. Simplifique a expressao491
(a)3 ·(12
)2+ 1
4
3 ·(−1
3
)2 − 32
492 (b)23 ·
(23
)3+ 1
4· 23
3 ·(−1
3
)2 − (32− 1)2493
Rascunho
3.4. EXERCICIOS 35
(c)
(13− 1)2 · (2
3
)3 − 24· 23
2−(−1
3
)2 − (32 + 32
)3494
(d)
[(13− 1)2 · (2
3
)3 − 24
]· 23
2−(−1
3
)2 − (32 + 32
)3495
(e)
[3 ·(12
)2+ 1]2− 1
4[3 ·(−1
3
)]2 − 32
496
(f)
[3 ·(12
)2+ 1]2− 1
4[3 ·(−1
3
)−(−2
3
)3]2 − 32
497
5. Calcule o valor numerico da expressao a2 − 2ab+ b2 para498
(a) a =1
3e b =
3
5499
(b) a =−2
7e b = −3
2500
(c) a =3
5e b =
5
7501
(d) a =
(1
3− 1
)2
e b =
(1− 3
5
)502
(e) a =
(1
3− 4
5
)2
e b =
(1
3− 3
5
)503
6. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potencias:504
(a) 2−3505
(b) 10−2506
(c) 4−1507
7. Efetue508
(a)
(2a2b
c3
)2
·(a2c
b
)3
509
(b)
(2a2b
c3− a2
b2
)2
·(a2c
b− c2
a3b2
)3
510
(c)
(3x2ya3b3
)2(
3xy2
2a2b2
)3511
(d)
(3x2yx3y2
)−2(
3x2y2
x3b−2
)3512
8. Dado a = 14
, b = −23
, c = −132
,x = −37
, y = 57
. Calcule o valor numerico de513
cada item do exercıcio 7514
Rascunho
Capıtulo 4515
Radiciacao516
Uma questao natural e saber quanto vale 82 pela extensao da linguagem. Em outras517
situacoes e importante determinar quando for dado um numero se existe um outro518
numero que multiplicado por si mesmo uma certa quantidade de vezes resulta no519
primeiro. Por exemplo, para o numero 64 existe algum numero que multiplado por520
si mesmo gera o 64.521
Pensando um pouco temos a igualdade 64 = 8 · 8 = 82. Outros exemplos:522
1. 49 = 7 · 7 = 72523
2. 121 = 11 · 11 = 112524
3. 81 = 9 · 9 = 92525
4. 81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34526
E a operacao de Radiciacao que vai responder essas questoes.527
4.1 Radiciacao528
A radiciacao e a operacao inversa da potenciacao.529
n√a = b (4.1)
n e o radical ou ındice530
a e o radicando531
b e a raiz532
37
Rascunho
38 CAPITULO 4. RADICIACAO
De modo geral podemos escrever:533
n√a = b↔ bn = a; com as restricoes iniciais n ∈ Ne n > 1 (4.2)
Exemplos534
1. 3√
8 = 2↔ 23 = 8535
2. 4√
81 = 3↔ 34 = 81536
3. 3√
64 = 4↔ 43 = 64537
4.2 Propriedades Operatorias da Radiciacao538
As seguintes propriedades podem ser utilizadas para efetuacao de calculos:539
n√ab = n
√a
n√b
n
√a
b=
n√a
n√b
n√am =
(n√a)m
= amn
n
√m√a = n·m
√a
a−mn =
1
amn
=1
n√am
(4.3)
Exemplos540
1.3√
8 · 27 =3√
8 · 3√
27 =3√
23 · 3√
33 =541
2.3
√8
27=
3√
83√
27=
3√
23
3√
33=542
3.3√
26 = (3√
2)6 = 263 =543
4.2
√3√
26 =2·3√
26 = 266 =544
Rascunho
4.3. PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 39
4.3 Propriedades Fundamentais545
Abaixo, teremos algumas propriedades fundamentais usadas nos processos de radi-546
ciacao:547
n√
0 = 0 : caracteriza a multiplicacao de zero por si mesmo, que resulta sempre548
no proprio zero.549
n√
1 = 1 : implica no mesmo caso anterior, ja que a multiplicacao de 1 n vezes550
sera sempre igual a 1.551
1√a = a : como o numero “aparece” so uma vez na multiplicacao, permanece ele552
mesmo.553
n√an = a : caso o expoente seja colocado em forma fracionaria, terıamos a fracao554
n:n, que e igual a 1.555
n√am = a
mn : sempre que ha uma raiz ha possibilidade de transforma-la em um556
expoente fracionario e vice-versa.557
4.4 Raızes Literais558
A forma fracionaria da potenciacao corresponde na pratica a um radiciacao.559
Para calcular√
29 = 292560
Escrever o radical na forma de expoente fracionario nao resolve o problema, pois561
nove nao e divisıvel por 2.562
Assim decomporemos o numero 9 da seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 e divisıvel563
por 2 que e o ındice da raiz.564
Assim teremos:√
29 = 28+12 = 2
82+ 1
2 = 23 · 212 = 8
√2565
Para3√x14 = x
143 = x
12+23 = x4 · x
23 = x4
3√x2 pois 12 e divisıvel por 3 (ındice da566
raiz).567
E importante lembrar que esta propriedade tambem e muito usada no568
sentido contrario ou seja (o denominador “n” do expoente fracionario e569
o ındice do radical). Exemplo :570
235 =
5√
23571
532 =
(5
12
)3=(√
5)3
572
Rascunho
40 CAPITULO 4. RADICIACAO
4.5 Adicao e Subtracao com radicais573
Quando temos radicais semelhantes em uma adicao algebrica, podemos reduzi-los a574
um unico radical somando-se os fatores externos desses radicais. Podemos dizer que575
estamos colocando em evidencia os radicais que apareceram em todos os termos da576
soma.577
Exemplos:578
1)√
3 + 4√
3 + 2√
3 +√
2√
3 = (1 + 4 + 2 +√
2)√
3 = (9 +√
2)√
3579
2) 2 5√
2 + 3 5√
2− 7 5√
2 + 5√
2 = (2 + 3− 7 + 1) 5√
2 = −1 5√
2580
4.5.1 Multiplicacao581
Temos 4 casos basicos para a multiplicacao de radicais, a seguir veremos cada um:582
1. Radicais tem raızes exatas.583
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:584
Exemplo:585
(a)√
81 · 3√
27 · 4√
4 = 9 · 3 · 4 =586
(b)√x2 · 3
√(x− 1)6 · 4
√x8 = x · (x− 1)2 · x2 =587
2. Radicais tem o mesmo ındice.588
Devemos conservar o ındice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre589
que possıvel o resultado obtido.590
Exemplos:591
(a)3√
81 · 3√
27 · 3√
4 =3√
81 · 27 · 4 =592
(b)5√x2 · 5
√(x− 1)6 · 5
√x8 = 5
√x2 · (x− 1)6 · x8 =593
3. Radicais tem ındices diferentes594
O caminho mais facil e transformar os radicais em potencias fracionarias.595
Logo em seguida, transformar os expoentes fracionarios em fracoes equiva-596
lentes (com mesmo denominador).597
(a)5√
81 · 4√
27 · 3√
4 =5√
34 · 4√
33 · 3√
22 = 345 · 4
34 · 2
23 =598
Rascunho
4.5. ADICAO E SUBTRACAO COM RADICAIS 41
(b)5√x2 · 3
√(x− 1)6 · 7
√x8 = x
25 · (x− 1)
36 · x
78 =599
4. Utilizando a propriedade distributiva.600
Exemplo:601
(a)5√
81 · ( 4√
27 +3√
4) =5√
81 · 4√
27 +5√
81 · 3√
4)602
(b)5√x2 · ( 3
√(x− 1)6 · 7
√x8) =
5√x2 · 3
√(x− 1)6 +
5√x2 · 7√x8 =603
4.5.2 Divisao604
A divisao de radicais tem 3 casos basicos, a seguir veremos cada um deles:605
1. Os radicais tem raızes exatas606
Exemplo:607
(a)3√
81÷ 3√
27 =3√
813√
27=608
(b)4√x2
4√x8
=x
x2=609
2. Radicais tem o mesmo ındice.610
Devemos conservar o ındice e dividir os radicandos611
Exemplos:612
(a)3√
813√
27=
3
√81
27=613
(b)5√x2
5√
(x− 1)6= 5
√x2
(x− 1)6614
3. Radicais com ındices diferentes. O caminho mais facil e transformar os radicais615
em potencias fracionarias, efetuar as operacoes de potencias de mesma base e616
voltar para a forma de radical .617
Exemplos:618
(a)
√81
3√
27=
8112
2713
=(34)
12
(33)13
=3
42
333
=32
3=619
(b)3√x2
5√
(x− 1)6=
x23
(x− 1)56
620
Rascunho
42 CAPITULO 4. RADICIACAO
4.6 Exercıcios621
1. Calcule622
(a)√
36 =623
(b)√
121 =624
(c)√
269 =625
(d)√
625 =626
(e)3√
125 =627
(f)3√
243 =628
(g)5√
1 =629
(h)6√
0 =630
(i) 3√−125 =631
(j) 7√−1 =632
(k) 5√−32 =633
2. Fatore e escreva na forma de potencia com expoente fracionario:634
(a)3√
32 =635
(b)3√
25 =636
(c)4√
27 =637
(d)4√
125 =638
(e)7√
8 =639
(f)7√
81 =640
(g)8√
512 =641
3. Calcule a raiz indicada:642
(a)√
4a2 =643
(b)√
36a2b6 =644
(c)
√4
9a8b4 =645
(d)
√a24
100=646
(e)
√16a10
25=647
(f)
√1
625=648
(g)
√16a4
49b2c6=649
(h)3√a3b6 =650
(i)
√5√
162 5√
(33− 1)6 =651
(j)
√5√x2 5√
(x− 1)6 =652
4. De o valor das expressoes na forma fracionaria:653
(a)
√1
100=654
(b) −√
1
16=655
(c)
√4
9=656
(d)4
3
√81
16=657
(e) 1 +
√25
16=658
(f)
√49
3−√
81
16=659
(g)
√493
4√813−√
8116
=660
Rascunho
4.6. EXERCICIOS 43
5. Calcule os valores das seguintes expressoes:661
(a)√
81662
(b) 3√
125663
(c)√
3 ·√
3664
(d) 3√
9 · 3√
81665
(e) 212 ·√3√
216666
(f)√3+√3
2·√2√6
667
(g)
√3√
3√81· 3√812
3−13
668
(h)6√64·6
12
6√6669
(i) 1543√
1670
(j) 22√−1671
(k) 271√−1672
(l)3√−16 ·
√64673
(m)5√
1795 + 3√−1893 − 7
√(−10)7674
(n)
√√√3
8√3 − 4675
(o) 142√
0676
(p)3√16·√6· 3√4·√
3√
2·(2+√4)
√3
677
(q)√
(−3)2678
(r) 4√
(−4)4679
(s) 3√
(−5)3 +(
3√
5)3
680
6. Quanto vale681
(a)
√3√
3 · 3−16 +
(4
13
3√
2
)3
− 87
(27)3682
7. Simplifique683
(a) 12√
10−√
10 + 8√
10684
(b) 6√
12− 4√
12− 8√
12685
(c) −43√
11 + 53√
11− 113√
11686
(d) − 4√
81 + 234√
81− 114√
81687
(e) −43√
79 · (5 3√
79− 113√
79)688
(f)√
6 · (√
10− 8√
10)689
(g) (2√
11− 3√
11) · (√
10− 8√
10)690
(h)
√2− 4
√2
−5√
2 + 8√
2691
(i) −43√
79 · (5 3√
79− 113√
79)692
(j)13
3√
11− 52
3√
11 + 1 3√
11
13
4√
81(1− 7
4
)2+ 4√
81 ·(5− 1
34√
81)2693
8. Calcule694
(a)
(1− 1
2
)2
695
(b)
√(1− 1
2
)2
+ 1696
(c)√(
1− 12
)2+ 1697
Rascunho
44 CAPITULO 4. RADICIACAO
(d)
√(1− 1
2
)2
+ 1 + 1
3
698
(e)
√(1− 1
2
)2
+2
3+
3
4
3
699
(f)
(1− 3
4
)(3 +2
5
)700
Rascunho
Capıtulo 5701
Produtos Notaveis702
5.1 Operacoes com expressoes algebricas703
Devemos fazer a reducao de termos semelhantes, por exemplo:704
x+ x√
3 = (1 +√
3)x705
2x2 − 3x+ 5 + 3x2 − x− 7 = (2 + 3)x2 + (−3− 1)x+ (5− 7) = 5x2 − 4x− 2706
Verifique que somamos os termos semelhantes, com , x2 com x2, x com x e assim707
por diante.708
5.2 Multiplicacao ou Divisao de expressoes algebricas709
Devemos utilizar as propriedades de potenciacao., por exemplo:710
x · x = x2 ou 2x2 · 3x4 = 6x6711
Os produtos notaveis sao expressoes que se destacam por aparecer repetidamente712
A maior dificuldade dos alunos e distinguir a seguinte propriedade de potenciacao713
(ab)2 de (a+ b)2.714
Por consequencia, os alunos associam que (a+ b)2 com a2 + b2.715
Exemplos numericos mostram q ue a igualdade nao e verdadeira.716
(3 + 7)2 = 102 = 100717
32 + 72 = 9 + 49 = 58.718
Como 100 6= 58→ (3 + 7)2 6= 32 + 72719
45
Rascunho
46 CAPITULO 5. PRODUTOS NOTAVEIS
5.3 Propriedade Distributiva720
1. (a+ b)(a+ b) = a2 + ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab+ b2721
2. (a− b)(a− b) = a2 − ab− ab+ b2 = a2 − 2ab+ b2722
3. (a+ b) · (a− b) = a2 − ab+ ab− b2 = a2 − b2723
Devemos perceber que na propriedade distributiva todos os termos sao multi-724
plicados entre si e claro, nao se esquecendo das regras de sinais. Para facilitar o725
desenvolvimento dessa propriedade surgem os produtos notaveis.726
5.4 Produtos Notaveis727
Produtos que sao frequentemente usados e para evitar a multiplicacao de termo a728
termo, existem algumas formulas que convem serem memorizadas.729
1. Quadrado da soma entre dois termos: (a+b)2 = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2730
Representacao geometrica sera a seguinte:
Figura 5.1: Quadrado da soma
731
Observe que a area desse quadrado de lado a + b sera (a + b)2, ou podemos732
simplesmente somarmos as areas menores e obteremos: a2 + a.b + a.b + b2 =733
a2 + 2ab+ b2734
Rascunho
5.4. PRODUTOS NOTAVEIS 47
2. Quadrado da diferenca entre dois termos:735
(a− b)2 = a2 − ab− ab+ b2 = a2 − 2ab+ b2 Representacao geometrica sera a736
seguinte:
Figura 5.2: Quadrado da Diferenca
737
3. Produto da soma pela diferenca entre dois termos: (a+ b) · (a− b) = a2− ab+738
ab− b2 = a2 − b2 Representacao geometrica sera a seguinte:
Figura 5.3: Produto soma pela diferenca
739
4. Cubo de uma soma entre dois termos (a+ b)3 = (a+ b)2 · (a+ b) = (a2 + a.b+740
a.b+ b2)(a+ b) = a3b0 + 3a2 + 3ab2 + a0b3 = a3 + 3a2 + 3ab2 + b3741
Representacao geometrica sera a seguinte:742
5. Cubo da diferenca entre dois termos743
Rascunho
48 CAPITULO 5. PRODUTOS NOTAVEIS
Figura 5.4: Cubo da soma
Para determinar o cubo da diferenca, basta substituir na identidade acima, b744
por -b, obtendo: (a–b)3 = a3–3a2b + 3ab2–b3 (a − b)3 = (a + b)2 · (a + b) =745
(a2 − 2ab+ b2)(a+ b) = a3b0 − 3a2 + 3ab2 + a0b3 = a3 + 3a2 + 3ab2 − b3746
Representacao geometrica sera a seguinte:
Figura 5.5: Cubo da Diferenca
747
Exemplos748
1. (x+ 5)2 = (x)2 + 2(x)5 + 52 = x2 + 10x+ 25749
2. (3x+ y)2 = (3x)2 + 2(3x)y + y2 = 9x2 + 6xy + y2750
3. (x+ 3) · (x− 3) = x2 − 32 =751
Rascunho
5.5. EXERCICIOS 49
4. (3x+ 4y) · (3x− 4y) = (3x)2 − (4y)2 =752
5. (1− 3x)3 = (1)3 − 3(1)23x+ 3 · 1(3x)2 − (3x)3 = 13 − 9x+ 27x2 − 27x3753
5.5 Exercıcios754
1. Desenvolva755
(a) (5 + b)3756
(b) (3a− b)2757
(c) (3a2 + 2)3758
(d) ((3a)2 + 2)3759
(e) (2b− 3a)3760
(f) (b− a)3 · (b− a)2761
(g) (b+ a)2 · (b− a)2762
(h) (b2 − a3)3 · (b− a)2763
(i) ((b+ 1)2 − a3)2 · (b2 − 3a4)2764
(j)
([1
3a+ 1
]2− 1
)2
765
(k)
([1
a+ b
]2−[
2a+ b
a+ b
]2)3
766
(l) ((3a+ 1)2 + 2)3767
(m) ((3a)2 + (2 + b)3)2768
(n) [(3a)2 − (2 + b)3]3769
(o)[(2a)2 + (3 + b)3]2
[(3a)2 − (2 + b)3]3+ 1770
(p)
[a2 − (1 + b)2]2
2a2 − (a+ b)2]3
]− 1771
(q)
[a2 − (1 + b)2]2
2a2 − (a+ b)2]3
]−[
a3 − b2
[2a3 − b2]3
]772
Rascunho
Capıtulo 6773
Fatoracao774
O objetivo e em transformar a expressao algebrica em fatores de uma multiplicacao,775
ou seja, transformar em um produto. Para isso, temos alguns casos de fatoracao.776
6.1 Fator comum em evidencia777
O primeiro caso de fatoracao e colocar em evidencia o elemento que aparece em todos778
os termos , ou seja , o fator comum a todos os termos em evidencia. Se verificarmos779
nada mais e do que a propriedade distributiva: ax + ay = a.(x+y) Vejamos alguns780
exemplos:781
1. 8x− 12y + 4 = 4(2x–3y + 1)782
2. (a+ b)x+ (a+ b)y = (a+ b)(x+ y)783
3. 8xy2 − 12x3y + 4x2y2 = 4xy(2y2–x2 + xy)784
6.2 Agrupamento dos termos semelhantes785
Esta tecnica de fatoracao consiste em agrupar os termos semelhantes e colocar em786
evidencia duas ou mais vezes.787
Fatorar xy + xz + ay + az?788
Verifique que nao existe um unico elemento comum a todos os termos, portanto789
vamos agrupar os termos que possuem partes iguais.790
Neste caso, o xy e xz tem a letra x comum, portanto podemos colocar o x em791
evidencia, xy + xz = x(y + z).792
51
Rascunho
52 CAPITULO 6. FATORACAO
Entao ate agora estamos assim: xy + xz + ay + az = x(y + z) + ay + az793
Agora, percebam que o ay e o az tem parte comum: a letra a.794
Entao fazemos a mesma coisa: ay + az = a(y + z).795
Desta forma a expressao original xy+xz+ ay+ az e igual a x(y+ z) + a(y+ z) .796
Finalmente notamos que (y + z) e comum a x e a, entao fazemos novamente a797
mesma coisa.798
Colocamos (y + z) em evidencia. Veja: (y + z)(x+ a).799
Observe que se fizermos esta multiplicacao obteremos a expressao original
xy + xz + ay + az = (y + z)(x+ a)
Vejamos alguns exemplos:800
1. ax+ ay + x+ y = a(x+ y) + 1(x+ y) = (x+ y)(a+ 1)801
2. 8x2 − 5xy + 6x− 3y = 4x(2x− y) + 3(2x− y) = (4x+ 3)(2x− y)802
3. 3y − 3y2 − 2 + 2y = 3y(1− y)− 2(1− y) = (3y − 2)(1− y)803
4.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4y − 16y3 + 2x− 2xy2 = 4y(1− y2) + 2x(1− y2)
= (4y − 2x)(1− y2)
= 2(2y − x)(1− y)(1 + y)
804
6.3 Diferenca de dois quadrados805
x2 − y2 = (x+ y) · (x− y)
Vejamos alguns exemplos:806
1. 4a2 − 9b4 = (2a)2 − (2b2)2 = (2a+ 3b2)(2a− 3b2)807
2. 25a2 − 16 = (25a)2 − (4)2 = (25a+ 4)(25a− 4)808
3. x4 − y4 = (x2)2 − (y2)2 = (x2 + y2)(x2 − y2) = (x2 + y2)(x+ y)(x− y)809
4.x2 − 4z2
xz − 2xz3=
(x+ 2z)(x− 2z)
xz(1− 2z2)=
(x+ 2z)(x− 2z)
xz(1−√z)(1 +
√z)
810
Rascunho
6.4. TRINOMIO QUADRADO PERFEITO 53
6.4 Trinomio quadrado perfeito811
x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2
ou
x2 − 2xy + y2 = (x− y)2
Verifique que a expressao x2 + 2xy + y2 e o resultado do desenvolvimento do812
produto notavel (x+ y)2.813
Entao, ao inves de escrevermos x2 + 2xy+ y2 simplesmente escrevemos (x+ y)2.814
Vejamos alguns exemplos:815
1. 4a2 + 12ab2 + 9b4 = (2a+ 3b2)2816
2. x2 − 8x+ 16 = (x− 4)2817
3. 9x4 + 30x2y2 + 25y8 = (3x2 + 5x4)2818
6.5 Trinomio do segundo grau819
Seja um trinomio do 2o grau ax2 + bx+ c com a 6= 0, b, c ∈ R. Sao raızes da equacao820
x1 e x2, tem se:821 x1 + x2 = − b
aSoma das raızes
x1 · x2 =c
aProduto das raızes
(6.1)
6.6 Exercıcios822
1. Fatore:823
(a) 3x2 − 5x+ 2824
(b) 25a4 − 81b2825
(c) 9x2 − 12xy + 4y2826
(d) 4y2 + 6y − 4827
(e) x2 − xy + xz − yz828
(f) 38x3b4c− 95a2b5c3 + 57a4b2c2829
(g) 8x2 − 4x2y − 18xy2 + 9y3830
(h) 180x3y − 5xy3831
(i) 16x2 − 8xy + y2832
(j)x2
9− y2
16833
(k) 8x3 − 24x2y − 12x2 + 18xy2 +834
36xy − 27y2835
(l) 4a2 − 8ab+ 4b2836
Rascunho
54 CAPITULO 6. FATORACAO
(m) 9z2 + 6z + 1837
(n) (a+ b)x+ 2(a+ b)838
(o) (x+ y)2 − (x− y)2839
(p) (a+ b2)4 − (a− b2)4840
2. (FAAP-SP) Calcule a expressao2x2 − 14x+ 24
x2 − 9841
3. Dado x = 4 + 3−2 , calcule expressao:842
(a) x2 + x−2843
(b) x+ x−2844
(c) (x+ x−2)3845
(d)x2 + 1
x4 − x2846
(e)x2 + 1
(1− x2)3+ 1847
4. Dado x = a+ a−1 , calcule expressao:848
(a) x2 + x−2849
(b) x+ x−2850
(c)x2 + 1
x4 − x2851
(d)x2 + 1
(1− x2)3+ 1852
5. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x+ 1)(x2 + ax+ b) para todo x real, os valores de a e853
b sao, respectivamente: RESPOSTA: E854
(a) -1 e -1855
(b) 0 e 0856
(c) 1 e -1857
(d) -1 e 1858
(e) 1 e 1859
6. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois numeros positivos e 4 e a soma dos860
inversos de seus quadrados e 1. Determine:861
(a) O produto dos dois numeros862
(b) A soma dos dois numeros863
Rascunho
Capıtulo 7864
Equacoes de primeiro grau865
7.1 Equacao866
Equacao e toda sentenca matematica aberta que exprime uma relacao de igualdade.867
A palavra equacao tem o prefixo equa, que em latim quer dizer ”igual”. Exem-868
plos:869
2x+ 8 = 0870
5x− 4 = 6x+ 8871
3a− b− c = 0872
Nao sao equacoes:873
4 + 8 = 7 + 5(Nao e uma sentenca aberta)874
x− 5 < 3 (Nao e igualdade) (nao e sentenca aberta, nem igualdade)875
A equacao geral do primeiro grau:876
ax+ b = 0 (7.1)
onde a e b sao numeros conhecidos e a diferentes de 0, se resolve de maneira877
simples:878
Subtraindo b dos dois lados, obtemos:879
ax+ b− b = 0− b880
ax = b881
Dividindo agora por a (dos dois lados), temos:882
ax
a=b
a883
x =b
a884
55
Rascunho
56 CAPITULO 7. EQUACOES DE PRIMEIRO GRAU
Considerar a equacao 2x− 8 = 3x− 10885
A letra x e a incognita da equacao. A palavra incognita significa ”desconhecida”.886
Na equacao acima a incognita e x ; tudo que antecede o sinal da igualdade887
denomina-se 1o membro, e o que sucede, 2o membro.888
2x− 8︸ ︷︷ ︸1omembro
= 3x− 10︸ ︷︷ ︸2omembro
889
Qualquer parcela, do 1o ou do 2o membro, e um termo da equacao.890
Equacao do 1o grau na incognita x e toda equacao que pode ser escrita na forma891
ax = b , sendo a e b numeros racionais, com a diferente de zero.892
7.2 Exercıcios893
1. Resolva as equacoes a seguir:894
(a) 18x− 43 = 65895
(b) 23x− 16 = 14− 17x896
(c) 10y − 5(1 + y) = 3(2y − 2)− 20897
(d) x(x+ 4) + x(x+ 2) = 2x+ 12898
(e) (x− 5)÷ 10 + (1− 2x)÷ 5 = (3− x)÷ 4899
(f) 4x(x+ 6)− x2 = 5x2900
2. Determine 0 numero real ”a”para que as expressoes (3a+6)8
e (2a+10)6
sejam901
iguais.902
3. Resolver as seguintes equacoes (na incognita x):903
(a) 5/x− 2 = 1/4(x 6= 0)904
(b) 3bx+ 6bc = 7bx+ 3bc905
4. Resolva as equacoes em R aplicando as tecnicas resolutivas:906
(a) 3− 2(x+ 3) = x− 18907
(b) 50 + (3x− 4) = 2(3x− 4) + 26908
(c) 7x− 2 = −4x+ 5909
(d) 2x+ 6 = x+ 18910
Rascunho
7.2. EXERCICIOS 57
(e) 5x− 3 = 2x+ 9911
(f) 3(2x− 3) + 2(x+ 1) = 3x+ 18912
(g) 2x+ 3(x− 5) = 4x+ 9913
(h) 2(x+ 1)− 3(2x− 5) = 6x− 3914
(i) 3x− 5 = x− 2915
(j) 3x− 5 =3
5− 1
4916
(k)3
4x−
√4− 7
4=
(3
5− 1
4
)2
917
5. Resolva as equacoes em R aplicando as tecnicas resolutivas:918
(a) 3x+ 5 = 2919
(b) x− (2x− 1) = 23920
(c) 2x− (x− 1) = 5− (x− 3)921
(d) 2x− 3 = 15922
(e) 4y = 30− 18923
(f) 5z − 6 = z + 14924
(g) m+ 4 = 20925
6. O dobro de um numero, aumentado de 15, e igual a 49. Qual e esse numero?926
7. A soma de um numero co o seu triplo e igual a 48. Qual e esse numero?927
8. A idade de um pai e igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades,928
sabendo que juntos tem 60 anos?929
9. Somando 5 anos ao dobro da idade de Sonia, obtemos 35 anos. Qual e a idade930
de Sonia?931
10. O dobro de um numero, diminuıdo de 4, e igual a esse numero aumentado de932
1. Qual e esse numero?933
11. O triplo de um numero, mais dois, e igual ao proprio numero menos quatro.934
Qual e esse numero?935
12. O quadruplo de um numero, diminuıdo de 10, e igual ao dobro desse numero,936
aumentado de 2. Qual e esse numero?937
Rascunho
58 CAPITULO 7. EQUACOES DE PRIMEIRO GRAU
13. O triplo de um numero, menos 25, e igual ao proprio numero, mais 55. Qual938
e esse numero?939
14. Num estacionamento ha carros e motos, totalizando 78. O numero de carros940
e igual a 5 vezes o de motos. Quantas motos ha no estacionamento?941
15. Um numero somado com sua quarta parte e igual a 80. Qual e esse numero?942
Rascunho
Capıtulo 8943
Equacoes do 2o Grau944
E dita do 2o grau, toda equacao do tipo945
ax2 + bx+ c = 0 (8.1)
em que a 6= , b e c sao numeros reais. Se b = 0 ou c = 0 , tem-se uma equacao946
do 2o grau incompleta.947
Graficos Tıpicos948
Figura 8.1: Concavidade da Parabola
Qualquer equacao do 2o grau pode ser resolvida pela formula de Bhaskara onde:949
x =−b2a±√b2 − 4ac
2a(8.2)
O discriminante ∆ = b2 − 4ac ,estabelece o numero de raızes:950
1. ∆ > 0, duas raızes reais distintas951
2. ∆ = 0, duas raızes reais iguais952
59
Rascunho
60 CAPITULO 8. EQUACOES DO 2O GRAU
3. ∆ < 0, nao ha raızes reais.953
Sejam x1 e x2 raızes da equacao, entao −ba
e a soma e ca
o produto dessas raızes.954
1.955
8.1 Exercıcios956
1. Considerando o universo dos numeros reais, resolver as equacoes do 2o grau957
incompletas:958
(a) 4t2 − 25 = 0959
(b) y2 + 9 = 0960
(c) y2 − 3x = 0961
2. Resolver, no universo dos numeros reais, a equacao do 2o grau:962
(a) x2 − 25 = 0963
(b) 3t2 − 48 = 0964
(c) 9y2 − 1 = 0965
(d) 2x2 − 1 = 0966
(e) 4y2 + 16 = 0967
(f) x2 − 7x = 0968
(g) 3y2 − 2y = 0969
(h) 5t2 + 2t = 0970
(i) 3x2 + 5x− 2 = 0971
(j) t2 − 6t+ 9 = 0972
(k) 2y2 − 3y + 2 = 0973
(l) x2
2+ x
5− 30+x
10= 0974
3. Determine k, sabendo que a soma das raızes da equacao da 5x2 + kx− 2 = 0975
e 3/5. Determine a outra raız976
4. Para que valores de m a equacao x2 + 3x+m = 0 nao admite raızes reais?977
Rascunho
8.1. EXERCICIOS 61
5. Determine os valores de k para os quais a equacao y2 − ky + 1 = 0 admite978
raızes reais e iguais.979
6. A equacao x2 + 2x+m = 0 admite duas raızes reais e distintas. Determine os980
valores de m.981
7. A equacao kx2−5x−8 = 0, na variavel x, admite raızes reais para que valores982
reais de k?983
8. Sem resolver as equacoes a seguir, calcule a soma e o produto de suas raızes.984
A partir da soma e do produto, determine mentalmente as raızes de cada985
equacao.986
(a) x2 − 5x+ 6 = 0987
(b) x2 − 9x+ 20 = 0988
(c) x2 + 5x+ 6 = 0989
(d) x22x− 8 = 0990
9. Resolva, em R, os sistemas:991
(a)
x+ y = 3
x2 + y2 − 3x = 2992
(b)
3x− y = 2
x2 − 2y − x = −2993
(c)
2 = x− y
x2 + y2 + y = 11994
Rascunho
Capıtulo 9995
Trigonometria996
Um problema real onde pode ser percebido a aplicacao da Trigonometria e dada na997
figura 9
Figura 9.1: E possıvel calcular a altura do predio usando o tamanho da sombra
998
9.1 Elementos do Triangulo Retangulo999
Todo triangulo retangulo apresenta um angulo reto e dois agudos. O triangulo ABC1000
da figura, 9.1 e retangulo em A.1001
As letras maiusculas dos vertices denotam tambem os angulos internos corres-1002
pondentes e as letras minusculas a,b,c denotam os lados opostos aos angulos e suas1003
respectivas medidas.1004
Logo A = 90o e B + C = 90o1005
63
Rascunho
64 CAPITULO 9. TRIGONOMETRIA
Figura 9.2: Elementos do Triangulo Retangulo
a soma das medidas dos angulos internos de qualquer triangulo e igual1006
a 180o ou meio plano1007
Os nomes cateto e hipotenusa sao usados apenas nos triangulos retangulos. A1008
hipotenusa e o lado oposto ao angulo reto, e os demais lados sao catetos1009
9.2 Razoes trigonometricas no triangulo retangulo1010
Para as Definicoes apresentadas na figura 9.2, as funcoes trigonometricas sao defi-1011
nidas por:1012
sen(α) =cateto oposto ao angulo α
Hipotenusa= Funcao seno do angulo
cos(α) =cateto adjacente ao angulo α
Hipotenusa= Funcao cosseno do angulo
tan(α) =cateto oposto ao angulo α
cateto adjacente ao anguloα= Funcao tangente do angulo
(9.1)
9.3 Funcoes trigonometricas1013
AS funcoes trigonometricas ficam definidas no cırculo trigonometrico por:1014
Os graficos das funcoes tem o seguinte comportamento1015
Rascunho
9.3. FUNCOES TRIGONOMETRICAS 65
Figura 9.3: Definicoes do Triangulo Retangulo
Figura 9.4: Cırculo Trigonometrico
Figura 9.5: Grafico da Funcao Seno
Rascunho
66 CAPITULO 9. TRIGONOMETRIA
Figura 9.6: Grafico da Funcao Cosseno
Figura 9.7: Grafico da Funcao Tangente
Rascunho
9.4. ADICAO DE ARCOS 67
9.4 Adicao de arcos1016
Existem relacoes para a composicao de arcos1017
sen(α± β) = sinαcosβ ± sinβcosα
cos(α± β) = cosαcosβ ∓ senβsenα
tan(α± β) =tanα± tanβ1∓ tanαtanβ
(9.2)
Figura 9.8: Composicao de arcos
9.5 Exercıcios1018
1. Calcular os catetos de um triangulo retangulo cuja hipotenusa mede 6 cm e1019
um dos angulos mede 60.1020
2. Quando o angulo de elevacao do sol e de 25o , a sombra de um edifıcio mede1021
8 m. Calcule a altura do edifıcio.1022
3. Quando o angulo de elevacao do sol e de 60o, a sombra de um poste mede 15m.1023
Calcule a altura da arvore1024
4. Uma escada encostada na parede tem seus pes afastados a 2,5 m formando um1025
angulo de 30o com a vertical. Calcule a altura da escada1026
5. Calcule o valor de x1027
(a)1028
(b)1029
Rascunho
9.5. EXERCICIOS 69
8. Se senx = 3/5 e x e um angulo do 2o quadrante, determine cosx .1032
9. Localize os angulos no cırculo trigonometrico e coloque os valores em ordem1033
crescente : sen70o, sen160o, sen250o, sen300o1034
10. Resolva as equacoes1035
(a) senx =
√3
21036
(b) cosx = −11037
(c) cosx = −√
2
21038
11. Calcule k, tal que senx = 1 + 4k e cosx = 1 + 2k1039
12. Se senx+ cosx = 1 + 3a e senx− cosx = 1− a , calcule a.1040
13. Se cosx = 2senx , calcule senx.1041
14. Se sen2x− senx = 2cos2x , calcule cosx .1042
15. Dado que senx · cosx = a, calcule o valor de y =(senx+ cosx)2 em funcao dea1043
Rascunho
Capıtulo 101044
Relacoes Metricas no Triangulo1045
retangulo1046
E muito antiga a relacao
Figura 10.1: Pitagoras no Triangulo retangulo
1047
a2 = b2 + c2 (10.1)
Para o triangulo dado na figura 10: a e a hipotenusa1048
b e c sao os catetos1049
h e a altura relativa a hipotenusa1050
m e a projecao ortogonal de c1051
n e a projecao ortogonal de b1052
71
Rascunho
72 CAPITULO 10. RELACOES METRICAS NO TRIANGULO RETANGULO
D semelhanca de triangulos obtidas da figura 10 obtem se os seguintes resultados1053
a2 = b2 + c2
b2 = a ·m
c2 = a · n
h2 = n ·m
b · c = a · h
(10.2)
10.1 Exercıcios1054
1. Em um triangulo retangulo as projecoes dos catetos sobre a hipotenusa medem1055
6 cm e 8 cm. Determine a altura relativa a hipotenusa desse triangulo.1056
2. A medida da altura relativa A hipotenusa de um triangulo retangulo e 12 cm e1057
uma das projecoes mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triangulo.1058
Rascunho
10.1. EXERCICIOS 73
3. Determine a medida das projecoes em um triangulo retangulo cuja hipotenusa1059
mede 12 cm e um dos catetos 4 cm.1060
4. Em um triangulo retangulo a altura relativa a hipotenusa mede 12 cm e a1061
diferenca entre as medidas das projecoes dos catetos sobre a hipotenusa e 71062
cm. Calcule o valor da hipotenusa desse triangulo1063
5. As medidas dos catetos de um triangulo retangulo sao ( x + 5) cm e ( x + 1)1064
cm e a hipotenusa ( x + 9) cm. Determine o perımetro desse triangulo.1065
6. Utilizando as relacoes metricas, determine o valor pedido:1066
Figura 10.2:
(a)1067
(b)1068
(c)1069
(d)1070