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Fundamentos de sinais e sistemas em tempo
discreto
ENGC33: Sinais e Sistemas II
Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA
21 de novembro de 2016
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 47
Sumario
1 Introducao
2 Estrutura do curso
3 SinaisEnergia e potencia
Transformacoes nas variaveis independentes
Classificacao de sinaisSinais elementares
4 Sistemas
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 47
Sumario
1 Introducao
2 Estrutura do curso
3 Sinais
Energia e potencia
Transformacoes nas variaveis independentes
Classificacao de sinais
Sinais elementares
4 Sistemas
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 47
IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, a qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Exemplos:
Tensao ou corrente (circuitos eletricos);
Audio e imagem (telefone, televisao, computador);
Batimentos cardıacos, pressao sanguıneas, glicose(biomedicos);
Posicao, velocidade, aceleracao (sistemas mecanicos);
Inflacao, PIB, taxa de desemprego (econometricos).
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IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, a qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Exemplos:
Tensao ou corrente (circuitos eletricos);
Audio e imagem (telefone, televisao, computador);
Batimentos cardıacos, pressao sanguıneas, glicose(biomedicos);
Posicao, velocidade, aceleracao (sistemas mecanicos);
Inflacao, PIB, taxa de desemprego (econometricos).
Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 47
IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre a
natureza de um fenomeno fısico.
Dependente de uma variavel ⇒ unidimensional;
Dependente de mais de uma variavel ⇒ multidimensional.
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IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre a
natureza de um fenomeno fısico.
Dependente de uma variavel ⇒ unidimensional;
Dependente de mais de uma variavel ⇒ multidimensional.
Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 47
IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Unidimensional: exemplo - eletrocardiograma.
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IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Multidimensional: exemplo - imagem.
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IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Sinais de tempo contınuo ⇒ a variavel independente e contınua;
Sinais de tempo discreto ⇒ a variavel independente assumes
apenas valores inteiros.
Tempo contınuo Tempo discreto
Notacao x(t) x [n]Variavel independente t ∈ R n ∈ Z
Sinal contınuo pode ser amostrados com perıodo T :
x [n] , x(nT ).
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IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Sinais de tempo contınuo ⇒ a variavel independente e contınua;
Sinais de tempo discreto ⇒ a variavel independente assumes
apenas valores inteiros.
Tempo contınuo Tempo discreto
Notacao x(t) x [n]Variavel independente t ∈ R n ∈ Z
Sinal contınuo pode ser amostrados com perıodo T :
x [n] , x(nT ).
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 47
IntroducaoSinais - definicoes
Sinais (Haykin; Van Veen, 2007)
Funcao de uma ou mais variaveis, o qual veicula informacao sobre anatureza de um fenomeno fısico.
Sinais de tempo contınuo ⇒ a variavel independente e contınua;
Sinais de tempo discreto ⇒ a variavel independente assumes
apenas valores inteiros.
Tempo contınuo Tempo discreto
Notacao x(t) x [n]Variavel independente t ∈ R n ∈ Z
Sinal contınuo pode ser amostrados com perıodo T :
x [n] , x(nT ).
Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 47
IntroducaoSinais amostrados
Para um sinal amostrados com perıodo T :
x [n] , x(nT ).
−15 −10 −5 0 5 10 15−2
−1
0
1
2
3
4
Sinal original
Permite tratar sinais contınuo atraves de processamento digital.
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IntroducaoSinais amostrados
Para um sinal amostrados com perıodo T :
x [n] , x(nT ).
−15 −10 −5 0 5 10 15−2
−1
0
1
2
3
4
Sinais original e amostrado
Permite tratar sinais contınuo atraves de processamento digital.
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IntroducaoSistemas - definicoes
Sistemas (Haykin; Van Veen, 2007)
Um sistema e definido como uma entidade que manipula um ou maissinais para realizar uma funcao, produzindo novos sinais.
Exemplos:
Sistemas de comunicacao (transmissor, canal, receptor);Sistemas de controle (sensor, controlador, atuador e
processo);
Sistemas eletricos (transformador, conversor, retificador).
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Sumario
1 Introducao
2 Estrutura do curso
3 Sinais
Energia e potencia
Transformacoes nas variaveis independentes
Classificacao de sinais
Sinais elementares
4 Sistemas
5 Comentarios Finais
Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 47
Estrutura do cursoSinais e Sistemas II
Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;
Analise de sinais de tempo discreto:
Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;
Sistemas lineares de tempo discreto;
Amostragem;
Analise de sistemas em tempo discreto:
Transformada Z;
Descricao matematica de sistemas;
Solucao de equacao de estados;
Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;
Estabilidade de sistemas lineares
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 47
Estrutura do cursoSinais e Sistemas II
Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;
Analise de sinais de tempo discreto:
Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;
Sistemas lineares de tempo discreto;
Amostragem;
Analise de sistemas em tempo discreto:
Transformada Z;
Descricao matematica de sistemas;
Solucao de equacao de estados;
Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;
Estabilidade de sistemas lineares
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 47
Estrutura do cursoSinais e Sistemas II
Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;
Analise de sinais de tempo discreto:
Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;
Sistemas lineares de tempo discreto;
Amostragem;
Analise de sistemas em tempo discreto:
Transformada Z;
Descricao matematica de sistemas;
Solucao de equacao de estados;
Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;
Estabilidade de sistemas lineares
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 47
Estrutura do cursoSinais e Sistemas II
Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;
Analise de sinais de tempo discreto:
Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;
Sistemas lineares de tempo discreto;
Amostragem;
Analise de sistemas em tempo discreto:
Transformada Z;
Descricao matematica de sistemas;
Solucao de equacao de estados;
Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;
Estabilidade de sistemas lineares
Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 47
Estrutura do cursoSinais e Sistemas II
Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;
Analise de sinais de tempo discreto:
Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;
Sistemas lineares de tempo discreto;
Amostragem;
Analise de sistemas em tempo discreto:
Transformada Z;
Descricao matematica de sistemas;
Solucao de equacao de estados;
Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;
Estabilidade de sistemas lineares
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Estrutura do cursoSinais e Sistemas II
Introducao a analise de sinais e sistemas em tempo discreto;
Analise de sinais de tempo discreto:
Serie de Fourier de tempo discreto;Transformada de Fourier de tempo discreto;
Sistemas lineares de tempo discreto;
Amostragem;
Analise de sistemas em tempo discreto:
Transformada Z;
Descricao matematica de sistemas;
Solucao de equacao de estados;
Controlabilidade e observabilidade de sistemas lineares;
Estabilidade de sistemas lineares
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Estrutura do cursoReferencia Bibliograficas
Referencias indicadas na ementa:
A. V. Oppenheim, A. S. Willsky e S. H. Nawab, Sinais eSistemas, 2a edicao, Pearson (2010).
B. P. Lathi, Sinais e sistemas lineares, 2a edicao,
Bookman-Artmed (2006).
K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5a edicao,Pearson (2011).
C. T. Chen, Linear System Theory and Design, 4a edicao,Oxford University Press (2012).
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Sumario
1 Introducao
2 Estrutura do curso
3 Sinais
Energia e potencia
Transformacoes nas variaveis independentes
Classificacao de sinais
Sinais elementares
4 Sistemas
5 Comentarios Finais
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SinaisEnergia e potencia
Potencia instantanea:
Pi = |x(t)|2 Pi = |x [n]|2
Energia num intervalo de tempo:
E =
∫ t1
t0
|x(t)|2dt E =
n1∑
n0
|x [n]|2
Potencia media num intervalo de tempo:
P =1
t1 − t0
∫ t1
t0
|x(t)|2dt P =1
n1 − n0 + 1
n1∑
n=n0
|x [n]|2
Medida (metrica) do tamanho do sinal.
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SinaisEnergia e potencia
Potencia instantanea:
Pi = |x(t)|2 Pi = |x [n]|2
Energia num intervalo de tempo:
E =
∫ t1
t0
|x(t)|2dt E =
n1∑
n0
|x [n]|2
Potencia media num intervalo de tempo:
P =1
t1 − t0
∫ t1
t0
|x(t)|2dt P =1
n1 − n0 + 1
n1∑
n=n0
|x [n]|2
Medida (metrica) do tamanho do sinal.
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Transformacoes nas variaveis independentesDescricao matematica
Deslocamento no tempo: x [n − n0],
Se n0 > 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a direita;
Se n0 < 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a esquerda;
Reflexao temporal: x [n] e x [−n];
Escalonamento no tempo: x [αn]
−10 0 100
0.5
1
1.5
x[n+5]
Degrau
−10 0 100
0.5
1
1.5
x[n]
Degrau
−10 0 100
0.5
1
1.5
x[n−5]
Degrau
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Transformacoes nas variaveis independentesDescricao matematica
Deslocamento no tempo: x [n − n0],
Se n0 > 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a direita;
Se n0 < 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a esquerda;
Reflexao temporal: x [n] e x [−n];
Escalonamento no tempo: x [αn]
−10 0 100
5
10x[n]
−10 0 100
5
10x[−n]
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Transformacoes nas variaveis independentesDescricao matematica
Deslocamento no tempo: x [n − n0],
Se n0 > 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a direita;Se n0 < 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a esquerda;
Reflexao temporal: x [n] e x [−n];
Escalonamento no tempo: x [αn]
−20 0 20−1
−0.5
0
0.5
1x[n]
−20 0 20−1
−0.5
0
0.5
1x[2n]
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Transformacoes nas variaveis independentesDescricao matematica
Deslocamento no tempo: x [n − n0],
Se n0 > 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a direita;
Se n0 < 0 ⇒ sinal x [n] deslocado para a esquerda;
Reflexao temporal: x [n] e x [−n];
Escalonamento no tempo: x [αn]
Em caso de multiplas operacoes ⇒ comecar pelo deslocamento
(CUIDADO! IMPOSICAO DESNECESSARIA!).
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Classificacao de sinaisSinais periodicos - tempo discreto
Sinal periodico ⇒ existe um valor positivo e inteiro N tal que
x [n] = x [n + N], ∀n;
Se um sinal e periodico, entao
x [n] = x [n + N] = x [n + 2N] = x [n + 3N] = ..., ∀n;
Perıodo fundamental N0 e o menor valor positivo e inteiro tal que
x [n] = x [n + N0], ∀n.
Se nao existe N0 > 0 inteiro, o sinal nao e periodico.
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Classificacao de sinaisSimetria
Um sinal e dito par se
x [n] = x [−n];
Um sinal e dito ımpar se
x [n] = −x [−n];
Note que x [0] = 0 num sinal ımpar;
Um sinal x [n] pode ser dividido numa parcela par e numa parcelaımpar:
Parcela par: Evx [n] = 0.5(x [n] + x [−n]);Parcela ımpar: Odx [n] = 0.5(x [n]− x [−n]);
x [n] = Evx [n]+Odx [n].
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Sinais elementaresExponenciais complexas (tempo discreto)
Importante para descrever o comportamento (resposta) desistemas lineares;
Em tempo contınuo:x(t) = Cceβc t ;
Em tempo discreto:
x [n] = Ceβn
ou alternativamente
x [n] = Cαn ⇒ α = eβ ;
C e α nao sao necessariamente numeros reais.
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Sinais elementaresExponenciais complexas (tempo discreto)
Importante para descrever o comportamento (resposta) desistemas lineares;
Em tempo contınuo:x(t) = Cceβc t ;
Em tempo discreto:
x [n] = Ceβn
ou alternativamente
x [n] = Cαn ⇒ α = eβ ;
C e α nao sao necessariamente numeros reais.
Prof. Tito Luís Maia Santos 23/ 47
Sinais elementaresExponenciais complexas (tempo discreto)
Importante para descrever o comportamento (resposta) desistemas lineares;
Em tempo contınuo:x(t) = Cceβc t ;
Em tempo discreto:
x [n] = Ceβn
ou alternativamente
x [n] = Cαn ⇒ α = eβ ;
C e α nao sao necessariamente numeros reais.
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Sinais elementaresExponenciais reais (tempo discreto)
Casos especiais
x [n] = Cαn
com C e α reais.
Comportamento da magnitude do sinal:
Magnitude (modulo) crescente para |a| > 1, ex.:x [n] = C · 1, 1n;
Magnitude (modulo) decrescente para |a| < 1, ex.
x [n] = C · 0, 8n;Magnitude (modulo) constante para |a| = 1
Comportamento do valor do sinal (sinal):
Variacao uniforme do sinal a > 0, ex.: x [n] = C · 1, 1n;Variacao alternante do sinal a < 0, ex.: x [n] = C · (−1, 1)n;
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Sinais elementaresExponenciais reais (tempo discreto)
Exemplo x [n] = αn.
0 10 20 300
0.2
0.4
0.6
0.8
(a)
α=0,8
0 10 20 300
5
10
15
20
α=1,1
(b)
0 10 20 30−1
−0.5
0
0.5
1
α=−0,8
(c)
0 10 20 30−20
−10
0
10
20
α=−1,1
(d)
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Sinais elementaresSequencias senoidais
Casos especiais
x [n] = Cej(Ω0n+φ)
com C = A ∈ R, Ω0 ∈ R e φ ∈ R .
Sabemos queejθ = cos(θ) + jsen(θ)
de maneira que
Aej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ) + jsen(Ω0n + φ)
Portanto temos que
ReAej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ)
e
ImAej(Ω0n+φ) = Asen(Ω0n + φ).
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Sinais elementaresSequencias senoidais
Casos especiais
x [n] = Cej(Ω0n+φ)
com C = A ∈ R, Ω0 ∈ R e φ ∈ R .
Sabemos queejθ = cos(θ) + jsen(θ)
de maneira que
Aej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ) + jsen(Ω0n + φ)
Portanto temos que
ReAej(Ω0n+φ) = Acos(Ω0n + φ)
e
ImAej(Ω0n+φ) = Asen(Ω0n + φ).
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Sinais elementaresSequencias senoidais
Casos especiais
x [n] = Cej(Ω0n+φ)
com C = A ∈ R, Ω0 ∈ R e φ ∈ R .
Por outro lado
cos(θ) =ejθ + e−jθ
2
de maneira que
Acos(j(Ω0n + φ)) =A
2ejφejΩ0n +
A
2e−jφe−jΩ0n.
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Sinais elementaresSequencias senoidais
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
(a)
cos(2πn/12)
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
cos(8πn/31)
(b)
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
cos(n/6)
(c)
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Sinais elementaresExponenciais complexas - caso geral
Considerem
x [n] = Cαn
com C = |C|ejθ e α = |α|ejΩ0 , Ω0 ∈ R e θ ∈ R .
Desta forma obtem-se
x [n] = Cαn = |C||α|nejθ+jΩ0n = |C||α|ncos(Ω0n+θ)+jsen(Ω0n+θ)
Comportamento das parcelas real e imaginaria:
Sequencias senoidais para |a| = 1;Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais
crescentes para |a| > 1;
Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciaisdecrescentes para |a| = 1.
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Sinais elementaresExponenciais complexas - caso geral
Considerem
x [n] = Cαn
com C = |C|ejθ e α = |α|ejΩ0 , Ω0 ∈ R e θ ∈ R .
Desta forma obtem-se
x [n] = Cαn = |C||α|nejθ+jΩ0n = |C||α|ncos(Ω0n+θ)+jsen(Ω0n+θ)
Comportamento das parcelas real e imaginaria:
Sequencias senoidais para |a| = 1;Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciais
crescentes para |a| > 1;
Sequencias senoidais multiplicadas por exponenciaisdecrescentes para |a| = 1.
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Sinais elementaresSequencias senoidais
−15 −10 −5 0 5 10 15−5
0
5
(a)
x[n]=0.9ncos(2πn/12)
−15 −10 −5 0 5 10 15−2
−1
0
1
2
x[n]=1.05ncos(2πn/12)
(b)
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Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
O que ocorre ao aumentar ω0 em x(t) = ejω0t ?
Reducao do perıodo fundamental T0 = 2πw0
.
O que ocorre ao aumentar Ω0 em x [n] = ejΩ0n?
Caso Ω0 = Ω′
0 + 2π, nada ocorre pois
ejΩ0n = ejΩ′
0nej2πn = ejΩ′
0n, Ω0 > Ω′
0, ∀n ∈ Z.
Exponencial de tempo discreto nao e necessariamente periodica
x [n] = x [n + N] ⇒ ejΩ0(n+N) = ejΩ0n ⇒ ejΩ0N = 1
assim
Ω0N = 2πm
com m e N sendo numeros inteiros.
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Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
O que ocorre ao aumentar ω0 em x(t) = ejω0t ?
Reducao do perıodo fundamental T0 = 2πw0
.
O que ocorre ao aumentar Ω0 em x [n] = ejΩ0n?
Caso Ω0 = Ω′
0 + 2π, nada ocorre pois
ejΩ0n = ejΩ′
0nej2πn = ejΩ′
0n, Ω0 > Ω′
0, ∀n ∈ Z.
Exponencial de tempo discreto nao e necessariamente periodica
x [n] = x [n + N] ⇒ ejΩ0(n+N) = ejΩ0n ⇒ ejΩ0N = 1
assim
Ω0N = 2πm
com m e N sendo numeros inteiros.
Prof. Tito Luís Maia Santos 31/ 47
Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
O que ocorre ao aumentar ω0 em x(t) = ejω0t ?
Reducao do perıodo fundamental T0 = 2πw0
.
O que ocorre ao aumentar Ω0 em x [n] = ejΩ0n?
Caso Ω0 = Ω′
0 + 2π, nada ocorre pois
ejΩ0n = ejΩ′
0nej2πn = ejΩ′
0n, Ω0 > Ω′
0, ∀n ∈ Z.
Exponencial de tempo discreto nao e necessariamente periodica
x [n] = x [n + N] ⇒ ejΩ0(n+N) = ejΩ0n ⇒ ejΩ0N = 1
assim
Ω0N = 2πm
com m e N sendo numeros inteiros.
Prof. Tito Luís Maia Santos 31/ 47
Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
O que ocorre ao aumentar ω0 em x(t) = ejω0t ?
Reducao do perıodo fundamental T0 = 2πw0
.
O que ocorre ao aumentar Ω0 em x [n] = ejΩ0n?
Caso Ω0 = Ω′
0 + 2π, nada ocorre pois
ejΩ0n = ejΩ′
0nej2πn = ejΩ′
0n, Ω0 > Ω′
0, ∀n ∈ Z.
Exponencial de tempo discreto nao e necessariamente periodica
x [n] = x [n + N] ⇒ ejΩ0(n+N) = ejΩ0n ⇒ ejΩ0N = 1
assim
Ω0N = 2πm
com m e N sendo numeros inteiros.
Prof. Tito Luís Maia Santos 31/ 47
Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
Comparacao entre as funcoes
y1(t) = cos(2πt/4), y2(t) = cos(10πt/4),
y1[n] = cos(2πn/4), y2[n] = cos(10πn/4)
−6 −4 −2 0 2 4 6−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Prof. Tito Luís Maia Santos 32/ 47
Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
Exercıcio: Determinar a frequencia fundamental do sinalx [n] = ej(2π/3)n + ej(3π/4)n.
Solucao:
Para que o sinal seja periodico:
x [n] = x [n + N] ⇒ ej(2π/3)n + ej(3π/4)n = ej(2π/3)(n+N) + ej(3π/4)(n+N)
ou seja ej(2π/3)N = 1 e ej(3π/4)N = 1.
Para ΩN = 2πm temos: N = 3 (m = 1) e N = 8 (m = 3).
Para atender as duas condicoes necessitamos de um multiplocomum;
Perıodo fundamental: N0 = 24 (menor multiplo comum);
Frequencia fundamental: Ω0 = 2π/24.
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Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
Exercıcio: Determinar a frequencia fundamental do sinalx [n] = ej(2π/3)n + ej(3π/4)n.
Solucao:
Para que o sinal seja periodico:
x [n] = x [n + N] ⇒ ej(2π/3)n + ej(3π/4)n = ej(2π/3)(n+N) + ej(3π/4)(n+N)
ou seja ej(2π/3)N = 1 e ej(3π/4)N = 1.
Para ΩN = 2πm temos: N = 3 (m = 1) e N = 8 (m = 3).
Para atender as duas condicoes necessitamos de um multiplocomum;
Perıodo fundamental: N0 = 24 (menor multiplo comum);
Frequencia fundamental: Ω0 = 2π/24.
Prof. Tito Luís Maia Santos 33/ 47
Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
Exercıcio: Determinar a frequencia fundamental do sinalx [n] = ej(2π/3)n + ej(3π/4)n.
Solucao:
Para que o sinal seja periodico:
x [n] = x [n + N] ⇒ ej(2π/3)n + ej(3π/4)n = ej(2π/3)(n+N) + ej(3π/4)(n+N)
ou seja ej(2π/3)N = 1 e ej(3π/4)N = 1.
Para ΩN = 2πm temos: N = 3 (m = 1) e N = 8 (m = 3).
Para atender as duas condicoes necessitamos de um multiplocomum;
Perıodo fundamental: N0 = 24 (menor multiplo comum);
Frequencia fundamental: Ω0 = 2π/24.
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Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
Exercıcio: Determinar a frequencia fundamental do sinalx [n] = ej(2π/3)n + ej(3π/4)n.
Solucao:
Para que o sinal seja periodico:
x [n] = x [n + N] ⇒ ej(2π/3)n + ej(3π/4)n = ej(2π/3)(n+N) + ej(3π/4)(n+N)
ou seja ej(2π/3)N = 1 e ej(3π/4)N = 1.
Para ΩN = 2πm temos: N = 3 (m = 1) e N = 8 (m = 3).
Para atender as duas condicoes necessitamos de um multiplocomum;
Perıodo fundamental: N0 = 24 (menor multiplo comum);
Frequencia fundamental: Ω0 = 2π/24.
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Sinais elementaresSequencias senoidais
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
(a)
cos(2πn/12)
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
cos(8πn/31)
(b)
−15 −10 −5 0 5 10 15−1
−0.5
0
0.5
1
cos(n/6)
(c)
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Sinais elementaresPropriedades periodicas de exponenciais complexas em tempo discreto
Exponenciais periodicas harmonicas:
φk [n] = ejk(2π/N)n, k = 0,±1,±2, ...
Funcao N passos a frente
φk+N [n] = ej(k+N)(2π/N)n
= ejk(2π/N)nejN(2π/N)n = φk [n]
Sao necessarias apenas N funcoes para descrever o conjunto de
funcoes harmonicas relacionadas.
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
−10 0 100
0.5
1
1.5
δ[n]
Impulso
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
−10 0 100
0.5
1
1.5
δ[n+1]
Impulso
−10 0 100
0.5
1
1.5
δ[n]
Impulso
−10 0 100
0.5
1
1.5
δ[n−1]
Impulso
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
−10 0 100
0.5
1
1.5
u[n]
Degrau
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
−10 0 100
0.5
1
1.5
u[n+1]
Degrau
−10 0 100
0.5
1
1.5
u[n]
Degrau
−10 0 100
0.5
1
1.5
u[n−1]
Degrau
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
Observacao 1.
δ[n] = u[n]− u[n − 1]
Observacao 2.
u[n] =∞∑
k=0
δ[n − k ] =0
∑
k=∞
δ[n − k ]
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
Observacao 1.
δ[n] = u[n]− u[n − 1]
Observacao 2.
u[n] =∞∑
k=0
δ[n − k ] =0
∑
k=∞
δ[n − k ]
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
Observacao 1.
δ[n] = u[n]− u[n − 1]
Observacao 2.
u[n] =∞∑
k=0
δ[n − k ] =0
∑
k=∞
δ[n − k ]
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 0
1, n ≥ 0
Observacao 1.
δ[n] = u[n]− u[n − 1]
Observacao 2.
u[n] =
∞∑
k=0
δ[n − k ] =
n∑
m=−∞
δ[m]
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 01, n ≥ 0
Observacao 3.x [n]δ[n] = x [0]δ[n]
Observacao 4.x [n]δ[n − n0] = x [n0]δ[n − n0]
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Sinais elementaresFuncao impulso unitario e funcao degrau unitario
Funcao impulso unitario
δ[n] =
0, n 6= 0
1, n = 0
Funcao degrau unitario
u[n] =
0, n < 01, n ≥ 0
Observacao 3.x [n]δ[n] = x [0]δ[n]
Observacao 4.x [n]δ[n − n0] = x [n0]δ[n − n0]
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Sumario
1 Introducao
2 Estrutura do curso
3 Sinais
Energia e potencia
Transformacoes nas variaveis independentes
Classificacao de sinais
Sinais elementares
4 Sistemas
5 Comentarios Finais
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Sistemas IPropriedades basicas de sistemas
1 Sistemas com e sem memoria:
Um sistema e chamado sem memoria se a sua saıda, para cada valor da
variavel independente num dado instante, depende apenas da entrada
naquele instante.
Ex.: y[n] = (2x[n]− x2[n])2 (sem memoria) e y[n] = x[n − 1] (com
memoria).
2 Inversibilidade de sistemas:
Um sistema e chamado inversıvel se entrada distintas levam a saıda
distintas.
Ex: y[n] = 2x[n] (inversıvel) e y[n] = x[n]2 (nao inversıvel).
3 Causalidade (nao antecipativo):
Um sistema e chamado causal se a saıda a qualquer instante depende
apenas de valores passados e presente da entrada (saıda).
Ex. y[n] = x[n − 1] (causal) e y[n] = x[n]− x[n + 1] (nao causal)
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Sistemas IIPropriedades basicas de sistemas
4 Estabilidade:
Informalmente, um sistema estavel e aquele para o qual entradas
pequenas levam a respostas que nao divergem.
Ex. y[n] = 0.5y[n − 1] + x[n] (estavel) e y[n] = (n + 1)x[n] (instavel)
5 Invariancia no tempo:
Conceitualmente, um sistema e invariante no tempo se o comportamento e
as caracterıstica do mesmo sao as mesmas ao longo do tempo. Ou seja
y[n] = f (x[n]) ⇒ y[n − n0] = f (x[n − n0]).Ex. y[n] = sen(x[n]) (invariante no tempo) e y[n] = nx[n] (variante no
tempo).
6 Linearidade:
Um sistema e linear se e valida a propriedade da superposicao (aditividade
e homogeneidade). Ou seja
y1[n] = f (x1[n]), y2[n] = f (x2[n]) ⇒ y1[n] + y2[n] = f (x1[n] + x2[n]) e
αy1[n] = f (αx1[n]).Ex. y[n] = x[n] (linear) e y[n] = x2[n] (nao linear).
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Sumario
1 Introducao
2 Estrutura do curso
3 Sinais
Energia e potencia
Transformacoes nas variaveis independentes
Classificacao de sinais
Sinais elementares
4 Sistemas
5 Comentarios Finais
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Comentarios Finais
Nesta aula foram apresentadas alguns conceitos e definicoes:
Definicao de sinais e sistemas;
Definicao de energia e potencia de sinais;Transformacoes na variaveis independentes;
Alguns sinais elementares;Algumas propriedade basicas de sistemas.
Na proxima aula discutiremos sobre:
Soma de convolucao;Equacoes a diferenca.
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