Geometria analitica

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A Geometria Analítica estabelece relações entrea álgebra e a geometria por meio de equaçõese inequações. Isso permite transformar questõesde geometria em questões de análise e vice-versa.

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A Geometria Analítica, por meio de representaçõescartesianas, pode ser usada para indicar atemperatura do corpo, as oscilações da Bolsa deValores, efeitos da natureza etc.

– GEOMETRIA ANALÍTICA

Manual de Matemática

Capítulo 1

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA

A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-todo das coordenadas.

Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.

Estudo do Ponto

Sistema Cartesiano

Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas,

e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistemacartesiano ortogonal.

• O ponto 0 é a intersecção das retas xe y, chamado origem.• O par ordenado (x, y) é chamadocoordenada do ponto A.

Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.

2º 1º

3º 4º

Exemplo:Represente no plano cartesiano os pontos:A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).

Distância entre Dois PontosDados dois pontos, A(xA, yA) e B(xB, yB), definimos dA, B a distância entre A e

B, como mostra a figura:

B – y

B – x

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:2 2 2AB AC BC

2 2B A B A

d d d ou

d(AB) (x x ) (y y )

= − + −

Exemplos:

1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente ospontos no plano cartesiano.

Solução:

2 2B A B A

d(A, B) (x x ) (y y )

d(A, B) (1 2) ( 3 3)

d(A, B) 9 36

d(A, B) 45

d(A, B) 3 5

= − + −

= + + − −

–2 –1–1

2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.c) isósceles e não retângulo.

Solução:Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o

triângulo.2 2d(A, B) (3 2) (1 2)

d(A, B) 25 1

d(A, B) 26

= + + −

2 2d(B, C) (4 2) ( 4 2)

d(B, C) 36 36

d(B, C) 72

d(B, C) 6 2

= + + − −

=2 2d(A, C) (4 3) ( 4 1)

d(A, C) 1 25

d(A, C) 26

= − + − −

Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.

Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.

( ) ( ) ( )2 2 272 26 26= +

72 = 26 + 26

72 = 52 (F)

Portanto, o triângulo não é retângulo.

Resposta: c

Ponto Médio

Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) e M(xM, yM), o ponto que divide AB ao meio échamado ponto médio.

M(xM, yM) é o ponto médio do segmento AB .

A B A BM M

x x y yx e y

2 2+ += =

Exemplos:

1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) eB(2, –1).

Solução:

Substituindo os dados na fórmula:A B A B

x x y yx y

2 24 2 3 1

x y2 2

x 3 y 1

+ += =

+ −= =

= =Portanto, M(3, 1).

2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena-das de B.

Solução:Aplicando a fórmula:

A B A BM M

x x y yx y

2 20 x 3 y

6 12 2

x 12 2 3 y

+ += =

+ += − =

= − = += −

B(12, –5)

3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento damediana referente ao vértice A.

Solução:

Obs.:Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

Sendo o triângulo ABC:A

Devemos calcular o comprimento AM .

Calculando o ponto médio de BC .

B C B CM M

x x y yx y

2 20 4 2 6

x y2 2

x 2 y 4

+ += =

M(2, 4)

A mediana é dada pela d(A, M). Assim:2 2d(A, M) ( 1 2) (4 4)

d(A, M) 9

d(A, M) 3

= − − + −

Baricentro de um Triângulo

Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.

Sendo G(xG, yG), podemos definir

A B CG

x x xx e

3y y y

Exemplo:

Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).Determine o vértice C.

Solução:

A B C A B CG G

x x x y y yx y

3 33 1 x 1 2 y

6 83 3

18 2 x 24 3 y

x 16 y 27

+ + + += =

− + + += − =

= + − = += = −

Portanto, C(16, –27).

Condição de Alinhamento de Três PontosPara que três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) sejam alinhados ou

colineares, é necessário que:

x y 1D x y 1 0

x y 1= =

Obs.:Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.

Exemplos:

1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.

Solução:

D =− −2 6 1

D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24

Como D = 0, os pontos estão alinhados.

2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)sejam vértices de um triângulo.

Solução:

A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triânguloé D ≠ 0.

≠3 1 1

6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0–3m ≠ –8

3m ≠ 8

Área de um TriânguloSendo os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo,

podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:

Exemplos:1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontosA(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).

Solução:

Calculando o determinante:

D = − −2 0 1

D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0D = – 21

2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área dotriângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.

Solução:

D a a= −− − −

−−

D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2D = – 8a + 2

16 8a 2

8a 2 12

8a 2 12 8a 2 12

8a 10 8a 14

8a 148a 10

14 710 a aa 8 48

= − +

− + =

− + = − + = −

− = − = −

== −

− = ⇒ ==

A Reta

Equação Geral da Reta

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e um ponto qualquer P(xP, yP) quepertença à reta r( AB ).

Sabendo que A,B e P são colineares, então:

x y 1x y 1 0x y 1

A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equaçãoax + by + c = 0.

Exemplo:Determine a equação geral da reta que passa pelos pontosA(4, –2) e B(3, 6).Solução:Substituindo em:

x y x y

=− −

=4 2 1

24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0–8x – y + 30 = 08x + y – 30 = 0

Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo pontoA e B.

Intersecção de Retas

Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-ver o sistema formado pelas equações dessas retas.

Exemplo:Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e

B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).Solução:Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):

2 0− − =x y x y

0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0x – 4y + 12 = 0reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).

−5 2

− −− =

x y x y

2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 04x + 6y – 8 = 0Formando um sistema, temos:

x 4y 12 0 ( 4)

4x 6y 8 0

− + = − + − =

− 16y 48 0

+ − =

6y 8 0

22y 56

56 28y y

+ − =

= ⇒ =

Substituindo y = 2811

em x – 4y + 12 = 0, temos:

x – 4y + 12 = 0

x – 4 . 2811

+12 = 0

x – 11211

+12 = 0

x = 11211

– 12

x = 20

O ponto de intersecção é 20 28

,11 11

Equação ReduzidaDada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na

forma reduzida, isolando o valor de y.

= + →↓

y mx b coeficiente linear

coeficiente angular

Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em quea reta corta o eixo y.

Coeficiente Angular

É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,medido sempre no sentido anti-horário.

y ym tg ou m

x x−= α =−

m > 0 m < 0

m = 0 m não é definidoExemplos:1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e

B(1, 4).Solução:Aplicando a fórmula, temos:

x x−=−

2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0

Solução:

Isolando o valor de y, temos:

3x + 6y – 4 = 0

6y = –3x + 4

6 61x 2

−= +

em que 1

= − (coeficiente angular) e 2

= (coeficiente linear).

3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) eB(0, –3).

Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicara definição de coeficiente angular.

Qual será a inclinação da montanha?Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a

montanha.

Solução:

Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.

–15 – 2x + 3x – 5y = 0x – 5y – 15 = 0–5y = –x + 155y = x – 15

1y x 3

5= −

Equação Segmentária

A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula x y

+ = , em que p

é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).

(0, q)

(p, 0)

Exemplo:

Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)e B(0, 4).

Solução:

Aplicando a fórmula:x y

x y x y1 ou 1

3 4 3 4

−+ = + =−

Equação da reta que passa pelo ponto P(xp, y

p) e tem

coeficiente angular mDetermine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-

= − .

Solução:Seja P(xp, yp) um ponto qualquer da reta.

Então p

y ym y y m(x x )

−= ⇒ − = −

−(equação da reta)

y – yp = m(x – xp)

y – 3 = 1

(x + 2)

2y – 6 = –x – 2x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)

Posições Relativas entre Duas Retas

Retas Paralelas

Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares foremiguais.

mr = ms

Retas Concorrentes

Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angularesforem diferentes.

βmr ≠ ms

Retas Perpendiculares

Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr . ms = – 1 foremcoeficientes angulares inversos e contrários.

mr . ms = – 1

Exemplos:

1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 sãoparalelas.

Solução:

Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:

3x – y + 2 = 0

–y = –3x – 2

y = 3x + 2 ⇒ mr = 3

–9x + 3y – 1 = 0

3y = 9x + 1

y = 3x + 13

⇒ ms= 3

Como mr = ms, as retas são paralelas.

2) Determine K, para que as retas l1: (K + 2)x + y + 2 = 0 e

l2: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.

Solução:

Reduzindo as retas l1 e l2, temos:

(l1) (K + 2)x + y + 2 = 0

y = –(K+2)x – 21

m (K 2)= − +l

(l2) 3x + Ky – 1 = 0Ky = –3x + 1

3 1 3y m

K k K− −= + =l

Como as retas l1 e l2 são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1

–(K+2) .3

3K+6=–K

3K+K=–6

4K=–6

3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e quepassa pelo ponto A(–1, 2).

Solução:

Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:x – 2y + 3 = 0–2y = – x – 3

2y = x + 3 ⇒ r1

2 2= +

Como as retas r e s são paralelas, mr = ms =12

y – yA = ms(x – xA)

y – 2 = 12

(x + 1)

2y – 4 = x + 1–x + 2y – 5 = 0x – 2y + 5 = 0

Ângulo entre Duas Retas

Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:

θDefinimos:

1 m m−θ=

Exemplo:

Determine o ângulo formado pelas retas:

(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.

Solução:

Reduzindo as equações, temos:(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0–y = –2x – 1 y = –3x+2y = 2x +1 ms = –3mr= 2

Aplicando a fórmula:

Distância entre Ponto e Reta

A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp, yp) é dada pelafórmula:

p pP, r 2 2

ax by cd

Exemplos:

1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).

Solução:

Aplicando a fórmula, temos:

2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0

Solução:

Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.

Tomando a reta r, determinamos o ponto:p/x = 02 . 0 + y – 3 = 0y = 3 P(0, 3)

Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.

3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontosA (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).

Solução:

Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC dotriângulo.

6 – 3 y – 3x – 2y = 0–3x – 5y + 6 = 0

Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.

Circunferência

DefiniçãoCircunferência Circunferência Circunferência Circunferência Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da

circunferência).

A distância de C a qualquer pontoda circunferência é chamada raio.

Equação da Circunferência

P(x, y)

C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.

A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada porx2 + y2 = r2.

Equação Geral da Circunferência

Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos àequação geral da circunferência:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 02 2 2 2 2

x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − =

Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:• o coeficiente de x2 e y2 seja igual a 1;• não exista termo na variável x y;• o raio 2 2r a b F= + − , sendo r >0.

Exemplos:

1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:(x – 2)2 + (x + 1)2 = 9.

Solução:

Comparando as equações:(x – a)2 + (y – b)2 = r2 e (x – 2)2 + (x + 1)2 = 9, obtemos:

a = 2, b = –1 e r = 3C(2, –1) e r = 3

2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 eC(–3, 4).

Solução:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 52

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25

3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passapelo ponto P(3, 0).

Solução:O ponto P pertence à circunferência.

d(C, P) r

r ( 2 3) (1 0)

r 25 1

= − − + −

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 1)2 = ( )226

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26

4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro sãoos pontos A (4, 2) e B(–2, 6).

Solução:C(a, b) é o ponto médio de AB .

4 2 2 6a b

2 2a 1 b 4

− += =

= =C(1, 4)r é dado por r = d(C, A).

2 2r (1 4) (4 2)

= − + −

=A equação será (x – 1)2 + (y – 4)2 = 13.

5) Determine a equação geral da circunferência com centro emC(–1, 3) e r = 4.

Solução:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:

(x+1)2 + (y – 3)2 = 42

x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0

x2 + y2 + 2x – 6y – 6 = 0

6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral éx2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0.

Solução:Comparando as equações,x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 ex2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0, temos:–2a = –4 –2b = –102a = 4 2b = 10a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5)a2 + b2 – r2 = –722 + 52 – r2 = –7–r2 = –7 – 29r2 = 36r=6

Posições Relativas entre Circunferência e Ponto

Observe a circunferência e os pontos:

Se d(P1, C) < r, P é interno.

Se d(P2, C) = r, P ∈ à circunferência.

Se d(P3, C) >r, P é externo.

Exemplos:

1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-rência x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0.

Solução:

x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0

Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,

12+(–1)2 –2 . 1+4(–1)–10=0

–14 < 0 P é interior à circunferência.

x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)

32 + 42 – 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0

25> 0 Q é exterior à circunferência.

2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-cia x2 + y2 + 3x – 6y – a = 0.

Solução:

Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:

12 + 22 + 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0

Posições Relativas entre Reta e Circunferência

Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:

c • a é secante à circunferência, pois a

intercepta em dois pontos d(C, a) < r.

• b é tangente à circunferência, pois

b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.

• c é exterior à circunferência, poisnão tem ponto em comum com acircunferência d(C, c) > r.

Exemplos:

1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferênciax2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0?

Solução:

Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0–2a = –6 –2b = –22a = 6 2b = 2a = 3 b = 1

C(3, 1)a2 + b2 – r2 = 132 + 12 – r2 = 1

–r2 = –9r2 = 9r = 3

Calculando a distância de C à reta r, temos:

Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.

2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferênciax2 + (y – 2)2 = 4.

Determine k.

Solução:x2 + (y – 2)2 = 4 C(0, 2) e r = 2Kx – y = 0

Se a reta é tangente àcircunferência, d(C, s) = r.

2 K 1 2

K 0 K 0

= ⇒ =

Posições Relativas de Duas Circunferências

Dados r1 e r2, os raios das circunferências de centros C1 e C2 e d, a distânciaentre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-ferências:

As circunferências sãoexteriores:d > r1 + r2

As circunferências sãotangentes exteriores:d = r1 + r2

As circunferências sãosecantes:d < r1 + r2

As circunferências sãotangentes interiores:d = |r1 – r2|

As circunferências são interiores:d < |r1 – r2|

Exemplo:Verifique a posição relativa entre as circunferências(x – 2)2 + (y +1)2 = 25 e (x – 3)2 + (y +2)2 = 9:(x – 2)2 + (y +1)2 = 25C(2, –1) e r1 = 5(x – 3)2 + (y +2)2 = 9C(3, –2) e r2 = 3

2 2d (3 2) ( 2 1)

= − + − +

=|r1 – r2|=|5 – 3|=|2|=2r1 + r2 = 5 + 3 = 8Portanto, d < |r1 – r2| e as circunferências são interiores.

Estudo das CônicasAs figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois

são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.

Elipse Hipérbole Parábola

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distânciasde F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Elementos:A1, A2, B1 e B2 são os vérticesa é o semi-eixo maiorb é o semi-eixo menorc é a semidistância focalF1 e F2 são os focos

1 2F F = 2c (distância focal)

1 2A A = 2a (eixo maior)

1 2B B = 2b (eixo menor)

A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA

ESTÃO INTERAGINDO

Podemos observar que a elipseestá presente na trajetória dasórbitas dos planetas em torno doSol, e o Sol está posicionado numdos focos da elipse.

Todos os planetas, com exce-ção de Plutão, descrevem elipses.

Planeta

trajetória elíptica

Equações

• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:

P(x, y)

1 (–c, 0) F

2 (c, 0) x

a b+ =

• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:

a b+ =

• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior horizontal:

0 02 2

(x x ) (y y )1,

a bem que F(x c, y ) e

F (x c, y )

− −+ =

• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior vertical:

Relação Fundamental

a2 = b2 + c2

ExcentricidadeDefinimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e

o semi-eixo maior.

a, em que 0 < e < 1.

Exemplos:1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-

tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.Solução:2a = 12 2c = 6a = 6 c = 3Aplicando a relação fundamental a2 = b2 + c2.62 = b2 + 32

b2 = 27

b 27 b 3 3= ⇒ =

Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo 2 2

a b+ = .

2 2x y1

36 27+ =

2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e aexcentricidade de cada uma das elipses abaixo:

a) x2 + 5y2 = 20Solução:Dividindo a equação por 20, temos:

x 5y 2020 20 20

a2 = 20a =

a = eixo maior: 4 5

b2 = 4b = 2 eixo menor: 2b=4a2 = b2 + c2

20 = 4 + c2

c2 = 16c = ±4distância focal: 2c = 8focos F1(4, 0) e F2(–4, 0) – eixo maior horizontal.

b) 2 2(y 4) (x 2)

19 4− ++ =

Solução:

A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.2 2

0 02 2

(y y ) (x x )1

a b− −+ =

a2 = 9

a 9=a = 3 eixo maior: 2a = 6

b2 = 4

b = 2 eixo menor: 2b = 4

a2 = b2 + c2

9 = 4 + c2

c2 = 5

c 5= ± distância focal: 2c 2 5=

Os focos têm coordenadas F1 (x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c). Substitutivo:

F1 (–2, 4 + 5 ) e F2 (–2, 4 – 5 ).

c 5e e

a 3= ⇒ =

Hipérbole

Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o móduloda diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Elementos:A1 e A2 são os vérticesF1 e F2 são os focosa é o semi-eixo realb é o semi-eixo imaginárioc é a semidistância focal

1 2F F = 2c (distância focal)

1 2A A = 2a (eixo real)

1 2B B = 2b (eixo imaginário)

Equações

• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:

a b− =

• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:

a b− =

• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real horizontal:

2 20 0

(x x ) (y y )1

a b− −− =

• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real vertical:

2 20 0

(y y ) (x x )1

a b− −− =

Relação Fundamental

c2 = a2 + b2

Excentricidade

a= , com e > 1

Hipérbole Eqüilátera

Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixosreal e imaginário iguais, ou seja, a = b.

Equações das Assíntotas da Hipérbole

Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulode lados 2a e 2b.

Equações

• Eixo real horizontal e centro na origem:b

• Eixo real vertical e centro na origem:a

• Eixo real horizontal e C(x0, y0):

y y (x x )a

− = ± −

• Eixo real vertical e C(x0, y0):

y y (x x )b

− = ± −

Exemplos:

1) Determine a equação da hipérbole abaixo:

Solução:

Temos:

a = 2 e c = 4

Pela relação fundamental, temos:c2 = a2 + b2

16 = 4 + b2

b2 = 12

Logo:2 2 2 2

y x y x1 1

a b 4 12− = ⇒ − =

2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, comcentro na origem e eixo imaginário 2b = 8.

Solução:2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)a = 2 b = 4

Equação:2 2 2 2

x y x y1 1

a b 4 16− = ⇒ − =

3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole deeixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1(–5, 0).

Solução:2 2

a b− =

2a = 8

a = 4 e c = 5

c2 = a2 + b2

25 = 16 + b2

b2 = 25 – 16

b2 = 92 2x y

Excentricidade:

As assíntotas são:

b 3y x y x

a 4= ± ⇒ = ±

Parábola

Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dareta d(diretriz) e do ponto F(foco).

eixo de

simetria

• F é o foco.• d é a diretriz.• V é o vértice.• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.• V é o ponto médio do DF .

Equação• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:

P(x, y)

Concavidade para a direita:(y – y0)

2 = 2p(x – x0)

Se V (0, 0):(y – 0)2 = 2p(x – 0)y2 = 2px

Concavidade voltada para a esquerda:(y – y0)

2 = – 2p(x – x0)Se V(0, 0):y2 = –2px

• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:

• Concavidade voltada para cima:

(x – x0)2 = 2p(y – y0)

Se V(0, 0):

x2 = 2py

• Concavidade voltada para baixo:

(x – x0)2 = – 2p(y – y0)

Se V(0, 0):

x2 = –2py

Exemplo:

Dada a parábola de equação y2 = 12x, determine:

a) o vértice;

b) o foco;

c) a diretriz.

a) vértice

y2 = 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.V(0, 0):

b) foco

A parábola é do tipo y2 = 2px.

2p = 12 Então, p

pF , 0 F(3, 0)

c) diretrizp

D , 02

− D(–3, 0) e a equação é x = –3.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Analítica (ponto e reta)1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.

–4 –3 –2 –1–1

2 3 4 x

A EVOLUÇÃO DO ZERO

Desde os indianos até os árabes, aforma do zero mudou de um ponto paraum círculo.

O símbolo maia mais famoso para ozero era uma elipse com forma de olho.

MATEMÁTICA DO ABAJUR

Quando acendemos a luz de um abajur, podemosmostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que oabajur projeta na parede.

2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).

3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).

4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) eC(–2, –6). Calcule seu perímetro.

5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)

6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine amediana CM do triângulo.

7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine ascoordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).

8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices sãoA(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).

9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)

10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)formem vértices de um triângulo.

11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)

12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem

coeficiente angular igual a 13

13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontosA(–2, 0) e B(0, 6).

14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:a) a equação geral;b) a equação reduzida;c) a equação segmentária.

15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) eC(0, –2).

16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n sãoparalelas. Então:

a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3

b) n = 3m d) 1

17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.

18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.

19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,3) e C(2, –1). Determine a equação:

a) da reta AB;

b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .

20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.

21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –14 = 0 é igual a:

a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18

22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?

a) 2 b) 3

2c) 10 d) 1 e) 2

23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.

Geometria Analítica (circunferência e elipse)

24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nosseguintes casos:

a) C(1, –2) e r = 3 c) 1C 2,

e r = 1

b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3=

25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:

a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c) 1 5

C 1, e r2 2− =

26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferênciax2 + y2 – 6x – 2y – 3 = 0.

a) A(1, –2) b) B(–1, 0)

27) (CESCEM – SP) O raio da circunferência x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 é igual a:

a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16

28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:a) (x – 2)2 + (y – 3)2 ≥ 1 b) x2 + y2 < 81

29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferênciax2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0:

a) está situado no centro.

b) é interno à circunferência e fora do centro.

c) está situado na curva.

d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− .

e) n.d.a.

30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cadacaso:

a) x – y = 2x2 + y2 – 8x + 4y + 18 = 0

b) x – y + 1 = 0x2 + y2 – 10y + 15 = 0

c) x + 2y + 1 = 0(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:

a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal

b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical

c) a = 6, 1

= C(0, 0), de eixo maior horizontal

32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.

33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, ascoordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.

a) 2 2y x

125 16

+ = b) 2 2(x 6) x

125 16− + =

34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:a) y2 = 12x b) x2 = 8y

Respostas

1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)

2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno

P 21 3 5= +

5) a) 3

− b) M(2,0) 6) CM = 4

7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8) 8 1

G ,3 3

9) a) não estão alinhados b) estão alinhados

10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4

12) x – 3y – 15 = 0 13) x y

+ =−

14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b) 2 5

y x3 3

−= − c) x y

+ =− −

= 16) e 17) K ≠ –3

18) x + 4y + 5 = 0

19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0

20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2

24) a) (x – 1)2 + (y +2)2 = 9 c) 2

2 1(x 2) y 1

3 − + − =

b) x2 + (y – 4)2 = 5 d) x2 + y2 = 27

25) a) x2 + y2 + 2x – 2y= 0 c) 2x2 + 2y2 – 4x + 2y = 0b) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0

26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência

28) a) b)

3 r = 1

–9 9

30) a) r é exterior à circunferência.b) r é secante à circunferência.c) r é exterior à circunferência.

31) a) + =2 2x y

b) 2 2x y

+ = c) + =2 10y x

33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,

distância focal 6, F1(0, –3), F2(0, 3) 3

b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,

distância focal = 6, F1(3, 0), F2(9, 0) e 3

34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2

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