Aula de Vetores Geometria Analitica-2015

7/24/2019 Aula de Vetores Geometria Analitica-2015

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Faculdade Pitgoras /Fama

So Lus

Disciplina: Geometria Analtica e lgebra etorialPro!essor: "os# de $ibamar Serra Dutra%&ecaDutra'Graduado em (ngen)aria (l#trica%*F+A'

Graduado em Licenciatura em +atemtica%,F+A'P-s.graduado em (ng de Seguran0a do1rabal)o%FA+A'


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+A1$,&(S

Definio: Sejam m e n nmeros inteiros positivos. Uma

matriz m x n (l-se: matriz m por n, com m e n ) umatabela retangular e m lin!as e n colunas e nmeros reais.

"Usaremos tambm a nota#$o genrica " % para representaressa matriz.&aa elemento a matriz usa a nota#$o e uplo 'nice.


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" orem a matriz m x n simplesmente einia por mlin!as e n colunas.Ex: A = B = C =Matriz linha* a matriz +ue possui uma nica lin!a, ou seja, temorem x n.x:

Matriz coluna* a matriz +ue possui uma nica coluna, ou seja, tem

orem m x .x:


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Matriz quadrada* a matriz +ue possui o nmero e lin!as igual ao nmero ecolunas. esse caso, izemos +ue a matriz +uaraa e orem n.

x:

Matriz nulaUma matriz / % ita nula, +uano toos os elementos a matrizs$o nulos.

x:

Matriz OpostaSeja uma matriz " % c!ama-se oposta a matriz ", a matriz 0 " emesma +ue a matriz " cujos elementos s$o os opostos os

elementos a matriz ".x:


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Matriz Identidade&!ama-se matriz ientiae toa matriz +uaraa e oremn. 1oa matriz cujos elementos a iagonal principal s$o

unit2rios e os emais elementos nulos. 3epresentaa por .x:Matriz transposta

4aa a matriz " e orem m x n, c!ama-se matriz transpostae ", inicaa por "t, a matriz cuja orem n x m, seno assuas lin!as orenaamente iguais 5s colunas a matriz ".x:

Igualdade de matrizes4uas matrizes s$o iguais se tm a mesma orem e oselementos corresponentes s$o iguais.x:


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x: 4etermine x e 6 para +ue as matrizes " e 7 sejam iguais." % e 7 %

Soma ou subtrao de matrizesSomamos ou subtra'mos uas matrizes e mesma orempela soma ou subtra#$o e seus elementos corresponentes.

x: 4aas as matrizes " % ,7 % e & % . 4etermine:a) " 8 7 0 &b) " 8 7c) 7 8 ") " 0 7e) 7 0 "


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Propriedades da adioSejam as matrizes ", 7, & e /(matriz nula), se existir aai#$o entre as matrizes. 9alem as seguintes proprieaes:

) " 8 7 % 7 8 " (proprieae comutativa);) (" 8 7) 8 & % " 8 (7 8&) (proprieae associativa)


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Multiplicao de uma matriz por um escalar Seja a matriz " e orem m x n e ? um nmero real, c!ama-se?" a matriz +ue se obtm multiplicano-se toos os elementosa matriz " pelo nmero real ?.x: 4aa a matriz " % . 4etermine a matriz 0


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x: 4etermine se poss'vel, o prouto "7, one:a) " % e 7 %b) " % e 7 %Propriedades da multiplicao de matrizesSeno ", 7 e & matrizes e ? um nmero real, e amitino-seas opera#Aes abaixo sejam poss'veis, s$o v2lias as seguintesproprieaes:

) ("7)& % "(7&) ("ssociativa);) "(7 8 &) % "7 8 "& (4istributiva 5 es+uera, em rela#$o5 ai#$o)


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x: 4etermine se poss'vel, o prouto "7, one:a) " % e 7 %b) " % e 7 %Propriedades da multiplicao de matrizesSeno ", 7 e & matrizes e ? um nmero real, e amitino-seas opera#Aes abaixo sejam poss'veis, s$o v2lias as seguintesproprieaes:

) "(7&) % "(7&) ("ssociativa);) "(7 8 &) % "7 8 "& (4istributiva 5 es+uera, em rela#$o5 ai#$o)


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&Obser'a(es:B) " multiplica#$o e matrizes n$o comutativa. 4e moogeral "7 C 7".

;B) Duano uas matrizes, " e 7, s$o tias +ue "7 % 7",izemos +ue " e 7 comutam ou +ue s$o comut2veis.x: 4aas as matrizes . ssas matrizes comutamE


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Matriz in'ersaSeja a matriz " % , com n F ;, se existir uma matriz 7, tal +ue

"7 % 7" % , ent$o 7 a inversa a matriz ". screvemos 7 %

"-

. Gogo temos:

/bs: Duano uma matriz possui inversa izemos +ue ela invers'vel, caso contr2rio izemos +ue ela n$o invers'vel ousingular.x: 4etermine a matriz inversa a matriz " % , se existir.Propriedades da matriz in'ersa) ( (Uma matriz invers'vel igual 5 inversa e sua inversa);) ( ( " transposta a inversa igual 5 inversa a transposta)


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Determinantes4eterminante o nmero real associao a uma matriz+uaraa, obtio por meio e opera#Aes +ue envolvem toos

os elementos a matriz.Determinante de uma matriz quadrada de ordem )Seja a matriz +uaraa e orem , inicaa por " % HaijI.or eini#$o, o eterminante e " igual ao nmero aij.

Determinante de uma matriz quadrada de ordem *Se " uma matriz +uaraa e orem ;, calculamos seueterminante azeno o prouto os elementos a iagonalprincipal menos o proutos os elementos a iagonalsecun2ria.4aa a matriz " % , inicamos seu eterminante por:


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Determinante de uma matriz quadrada de ordem +&onsieremos a matriz genrica e orem


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Determinante de uma matriz de ordem maior que +,ara calcular um eterminante e orem maior +ue


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Propriedades dos determinantes) et " % et

;) et 7 % ? et "-O.SE/01.-I%S:

B) et 7 % et "

;B) et(? ") % et ", seno ? nmero real e n orem amatriz.


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S,S1(+AS D( (2*A34(S L,5(A$(S4enomina-se sistema linear m x n o conjunto S e m e+ua#Aesem n incMgnitas +ue poe ser representao a seguinte orma:

ax8 a;x;8 a


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4izemos +ue (, ;,


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6LASS,F,6A378 D( *+ S,S1(+A L,5(A$/s sistemas lineares s$o classiicaos +uanto ao nmero esolu#Aes em a seguinte orma:

S,S1(+AL,5(A$

POSS23E4

Duano amite solu#$o.

IMPOSS23E4

Duano n$o amite solu#$o.

DE5E6MI.%DO:"mite uma nica solu#$o.

I.DE5E6MI.%DO:"mite ininitas solu#Aes.


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M%56I7ES %SSO-I%D%S % 0M SIS5EM% 4I.E%6Seja o sistema linear e m e+ua#Aes e n incMgnitas:

a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn= b1 a11x1+ a12x2+ a13x3+ ... + a1nxn= b2 . . . . . .

. . .am1x1+ am2x2+ am3x3+ ... + amnxn= bm

Katriz completa Katriz incompletaA = =


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Katriz as incMgnitas Katriz os termos inepenentesX = 7 =

6esoluo de sistema pela regra de -ramer

Seja o sistema:ara resolver o sistema pela regra e &ramer necessitamosos eterminantes:4 % , 4

x

% , 46

% e


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4z%" solu#$o o sistema ser2 aa pelos valores e x, 6 e z,calculaos a seguinte orma:

x % , 6 % e z %/bs: ssa regra recomenaa para resolu#$o e sistemalineares +ue sejam o tipo S4, isto , cujo eterminante 4 amatriz os coeicientes n$o seja nula.

xemplo: 3esolver os sistemas:a)

b)


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6ESO4089O DE 0M SIS5EM% 4I.E%6 PO6 ES-%4O.%ME.5O

Um sistema ito escalonao +uano est2 isposto nasseguintes ormas:

x 8 6 %

x 8 ;6 - z % ;

Jx 8>6 8 z % Jx 8 J6 0 z % P

/bserve +ue, nestes exemplos, na primeira e+ua#$o aparecem

toas as incMgnitas, na ;B esaparece a incMgnita x,


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Mtodo do escalonamento* o processo usao para resolu#$o e um sistema linear +ueenvolve elimina#$o e incMgnitas.

ste mtoo procura transormar o sistema ao em sistemase+uivalentes, at c!egar a um sistema escalonao, usano asseguintes transorma#Aes elementares sobre as e+ua#Aes osistema ao:Q1rocar as posi#Aes e uas e+ua#Aes.QKultiplicar uma as e+ua#Aes por um nmero real ierentee zero.QKultiplicar uma e+ua#$o por um nmero real e aicionar oresultao a outra e+ua#$o.

xemplos:. 3esolver os sistemas:a) =x 0


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b) x 8 ;6 8 =z % > ;x 0 6 8 ;z % R


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(9($66,8S

J. Seja " % uas matrizes ; x ;. Se " % 7, etermine a, b e

c.a) a % b % c

b) a % < e b % c

c) a % - < e b % - c

) a % b e c % , 7=xP, &Pxe @m x n, sabeno +ue " @% 7. Duantos elementos possui a matriz @ &EJ. 4aa a matriz " % e sabeno +ue et " % R, calcule:a) et 7 % b) et (>") c) et (


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;. 4aas as matrizes " % (, com e7 % (, com , calcule o eterminante e " L 7. 3esp: - P>;


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=. "s coni#Aes sociais no 7rasil, atravs os anos, tmemonstrao +ue a m2 istribui#$o e rena, somaa a outrosatores, alimenta movimentos organizaos como os os sem-

terra, no campo, e sem-teto, na ciae. &onlitos, invasAes emorte geraas por essa injusti#a social tm sio manc!ete ejornais e notici2rios, eixano no ar a perspectiva e +ue asolu#$o parece estar istante, porm evemos estacar algunscasos e assentamentos e am'lias +ue oram bem-suceios.o caso e uma esapropria#$o e terras, eterminao juizsentenciou: X&aa gleba e terra, comO JJJ m;, ser2 iviia em ; lotes e ocupaa por uas am'lias,seno uma elas com at < il!os e a outra com mais e )>> )*>

# > A> +>

- )*> A> B>


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(18$DeJni0o

Considere o segmento orientado (um segmentoest orientado quando nee se es!o"e um sentidode #er!urso$ !onsiderado #ositi%o&. 'enimos #or


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B

A

uando es!re%emos (gura abaixo&$ estamosarmando que o %etor determinado #eo segmentoorientado AB. orm$ quaquer outro segmento de mesmo!om#rimento$ mesma dire,o e mesmo sentido de ABre#resenta tambm o mesmo %etor . B

A/ m4duo$ a dire,o e o sentido de um %etor o m4duo$a dire,o e o sentido de quaquer um dos seusre#resentantes. 5ndi!a6se o m4duo de #or .


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etores no planoConsidere dois %etores n,o #araeos$re#resentados !om a origem no mesmo #onto/$ sendoe retas !ontendo estes re#resentantes$res#e!ti%amente. (gura abaixo&.


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4a igura anterior, temos:


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/s vetores s$o n$o paralelos +uais+uer e um vetorarbitr2rio o plano eterminao por .

/ vetor expresso como em (), iz-se +ue combina#$o linear e . / conjunto 7 % \ ] c!amao e

base no plano. Dual+uer conjunto e ois vetores n$oparalelos constitui uma base no plano.


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/ !on)unto base do #ano ordenado. Ent,o$dada uma base quaquer no #ano$ todo %etordesse #ano !ombina,o inear dos %etores

dessa base$ de modo 0ni!o./ n0meros da iguadade (1& s,o !"amados!om#onentes ou !oordenadas de na base B./ %etor da iguadade (1& #ode ser re#resentado

tambm #or = (&7a #rti!a as bases mais utii8adas s,o asortogonais.'entre as innitas bases ortogonais(%etores

ortogonais e unitrios& no #ano$ uma deas #arti!uarmente im#ortante. 9rata6se da baseque determina o sistema !artesiano ortogonax/. /s %etores ortogonais e unitrios$ neste

!aso$ s,o


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;imboi8ados #or $ ambos !om origem em / eextremidades em (1$


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/s n0meros x e s,o !om#onentes de nabase !anni!a.

/ %etor em (2& ser tambm re#resentado#or = (x$ & (3&

Como na re#resenta,o (3& n,o " re*er>n!ia$#odemos ter a deni,o:?etor no #ano um #ar ordenado (x$ &den0meros reais.

x

x

, 5>, C> e 7>

esto abaixo desse plano e tm cota ? 0:ponto A!@, 2, 0", situado no ;< octante1

ponto 5!/, 4, 0", situado no 0< octante1

ponto C!/@, /, 0", situado no 4< octante1

ponto 7!, /4, 0", situado no 2< octante1ponto A>!@, 2, /0", situado no < octante1

ponto 5>!/, 4, /0", situado no @< octante1

ponto C>!/@, /, /0", situado no B< octante1

ponto 7>!, /4, /0", situado no < octante.

Docaliza#o dos pontos =


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.

A

?

N

AQ

C

.

. .

DQ

6Q

EQ

6

D

E

E!E6-2-IOS


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coorenaas os pontos.

J


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seguinte opera#$o .

Igualdade? Opera(es? 3etor Definidos por DoisP t P t Mdi P l li Md l d


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Pontos? Ponto Mdio? Paralelismo e Mdulo de um3etor,

Para encontrar as coordenadas do ponto 5, somam/se

ordenadamente as coordenadas do ponto inicial a com as


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ordenadamente as coordenadas do ponto inicial a com as

componentes do vetor .

I*" Ee A(" e 5 (so pontos extremos de um segmento, o pontom'dio = de A5 '

*" Ee os vetores = (" e = (so paralelos,

8

O %aI bI

c'

A%

?

N

= E %aR '


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P$8D*18 (S6ALA$


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P$8D*18 (S6ALA$Definio %lgbrica

&!ama-se prouto escalar e ois vetores % 8 8 e% 8 8 , e se representaas por , o nmero real

%

Obser'ao: 4enota-se tambm o prouto escalar epor as seguintes maneiras: e se l Xescalar Y.Obser'ao:

/ prouto escalar c!amao quadrado escalarovetor e se enota :

) xemplo: Se e calcular o prouto escalar e por .

Solu#$o:

;) Sejam os vetores e . &alcular:a) () b) c)


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a) () b) c)Soluo:a) % (;, -;, J) e % (P, R,


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VVV)V9) .9)

xemplo: Seno , calcular (Soluo:( % -


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4aos ois vetores e , se um os vetores nulo, ent$o o prouto nulo. 1oavia, a rec'proca n$o veraeira, pois poemos ter, porexemplo, ois vetores e e ent$o:

Definio:

4ois vetores e s$o itos ortogonaisse o seu prouto escalar nulo.4enotaremos vetores ortogonais com a nota#$o .Observao: m particular o vetor nulo ortogonal a +ual+uer

vetor.xemplo: 9eriicar se os vetores: , s$o ortogonais ois a ois.

Exem#o: 'eterminar um %etor ortogona aos %etores .;ou,o: ;e ta que se)a ortogona a $ temos:


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q ) g $

/ sistema #ossui uma indetermina,o. Togo #ara $ temos:. Ent,o um dos %etores ortogonais a e o %etorDeJni0o Geom#trica de Produto (scalar;e e s,o %etores n,o6nuos e U Gnguo entre ees$ ent,o:A#i!ando a Tei dos Cossenos no triGnguo ABC$ temos:?imos que:Com#arando as duas ex#resses$ mostramos que:

"

&

7

Gogo, o prouto escalar e ois vetores n$o-nulos igual ao prouto e seus mMulos pelocosseno o Wngulo por eles ormao.xemplo: Seno o Wngulo entre calcular


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xemplo: Seno o Wngulo entre , calculara) b) c)Soluo:

a) % (;)(


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sta ltima airma#$o estabelece a condio de ortogonalidadee ois vetores.Obser'ao:/ vetor ortogonal a too vetor, isto , para too .

xemplo: rovar +ue o triWngulo e vrtices um triWngulo retWngulo.Solu#$o: ara provar +ue os pontos s$o e um triWngulo retWngulo, temos +ueprovar +ue !2 um Wngulo reto entre os vetores. 9amos encontrar os vetoresligaos e epois azer o prouto escalar entre os mesmos.

Gogo o triWngulo retWngulo em 7


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Gogo, o triWngulo retWngulo em 7.-lculo do Jngulo de dois 3etores" partir a eini#$o e prouto escalar , poemos encontrar o Wngulo existente entre os vetores n$o-nulos atravs a express$o:

einimos esse Wngulo como seno o Wnguloentres os vetores e .

xemplo:&alcular o Wngulo entre os vetores .

Exem#o: Ca!uar o Gnguo entre os %etores .;ou,o:Togo


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Togo$Exem#o: ;abendo que o %etor *orma Gnguo de


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que *orma !om os %etores $ res#e!ti%amente:

/s cossenos diretores de s,o os !ossenos de seus Gnguos diretores$isto $ .

Como o %ersor um %etor unitrio$ ogo:


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Como o %ersor um %etor unitrio$ ogo:

Exem#o: Ca!uar os Gnguos diretores de

P$8D*18 (18$,AL


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Antes de ini!iarmos !om a deni,o do

#roduto %etoria$ #re!isamos *a8er uma bre%ere%is,o sobre determinantes de ordem 2 eordem3. 7a resou,o do determinante deordem 3 utii8aremos o 9eorema de Ta#a!e:

'eterminante de /rdem 2:Exem#o:

'eterminante de /rdem 3:

Exem#o:Definio&!ama se prouto vetorial e ois vetores % 8 8 e % 8 8 tomaos nesta


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&!ama-se prouto vetorial e ois vetores % 8 8 e % 8 8 , tomaos nestaorem, e se representa por ao vetor

/ #roduto %etoria de #or tambm indi!ado #or e >6se I %etoria J.Ptii8amos na resou,o do #roduto %etoria o desen%o%imento do 9eoremade Ta#a!e$ de *orma que substitu@mos os %aores de a$ be c#eos %etoresunitrios .

7o !!uo do #roduto %etoria n,o temos determinante$ #ois$ a #rimeira in"a!ontm %etores. Ptii8amos esta nota,o #ea *a!iidade de memori8a,o queea #ro#i!ia #ara o !!uo #ois s4 determinante quando temos es!aares


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ea #ro#i!ia #ara o !!uo$ #ois$ s4 determinante quando temos es!aares.

/ #roduto %etoria tambm denominado #orproduto externoouprodutocruzado.Exem#o: 'ados e . Ca!uar .

'is#ositi%o #rti!o #ara o !!uo deA#esar do determinante !onter uma in"a que !ontm %etores em %e8 de es!aares Psaremos a regra


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A#esar do determinante !onter uma in"a que !ontm %etores em %e8 de es!aares. Psaremos a regrade ;arrus #ara a resou,o do #roduto %etoria$ #ois torna mais *!i a memori8a,o.Te%ando6se em !onsideraes agumas #ro#riedades dos determinantes$ !on!u@mos de imediato que:1V& = 6 (&$ isto $ os %etores e s,o o#ostos$ #ois a tro!a de ordem dos %etores no #roduto %etoria

im#i!a na tro!a do sina do determinante$ ou se)a$ tro!a de sina de todas suas !om#onentes.Togo$ !on!ui6se que o #roduto %etoria n,o !omutati%o.2V& = se$ somente se$ $ #ois neste !aso$ todos os determinantes t>m suas in"as #ro#or!ionais.Casos #arti!uares:1& (determinantes !om in"as iguais&

2& (determinantes !om in"a de 8eros&Exem#os de #roduto %etoria de %etores #araeos:a&b&(2


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b&(2!& ( x (d& ( x (sabemos que um %etor est bem denido quando !on"e!emos sua dire,o$ seu sentido e seu

!om#rimento. A seguir #assaremos a denir o %etor no !aso de serem n,o #araeos.6aractersticas do


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'e *orma anoga$ demonstra6se que .Como o %etor tem mesma dire,o de (a#enas sentidos o#ostos&$ tambm ee ortogonatanto a !omo .Exem#o: dados os %etores = (3$ 1$ 2& e = (6 2$ 2$ &$ tem6se= (1$ 61S$ Q& e( = (1$ 61S$ Q& L () % - ; 0


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Caso ten"amos d0%idas sobre o sentido de $ #odemos asso!iar estes dois %etores a uma du#a de %etoresunitrios es!o"idos entre . or exem#o$ asso!iando $ !om

= (


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,nterpreta0o Geom#trica do +-dulo do Produto etorial/bser%ando que no #araeogramo determinado #eos %etores n,o6nuos (gura abaixo&$ a medida da base e da atura $ rea A deste #araeogramo A = (base&^(altura) % ou se)a$

A =Ia rea do #araeogramo determinado#eos %etores numeri!amente igua ao!om#rimento do %etor J.?amos !om#ro%ar este resutado #or meio de um exem#o #arti!uar tomando os %etores = 2 e =3. 9emos$ ent,o

sen^

= (


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Exem#o:enquanto que2& ara quaquer %etores e o es!aar as #ro#riedadese

Exem#os:1& 'eterminar o %etor $ ta que se)a ortogona ao eixo e $ sendo;ou,oComo $ temos = (x$ < $ 8&$ ent,o equi%ae a


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(1$ 1$ 61& (1$ 1$ 61& = (8$ 6x + 28$ 6x&8 = 1$ 6x + 28 = 1 e 6x = 61 ogo x = 1 e 8 = 1.= (1$ < $ 1&2& ;e)a um triGnguo equitero ABC de ado 1


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;abemos que

B& Como A = (base&(atura&$ temos:

A =" =& 'eterminar a distGn!ia do #onto ($ 1$ 2& D reta r que #assa #eos #ontos A(3$ 1$ 3& e B($ 1$1&.

;ou,o:;e)a d a distGn!ia do #onto D reta r$ !omo mostra a gura.

;e)a d a distGn!ia do #onto D reta r$ !omo mostra a gura.


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d = $ !omo $ ogo temos:

e $ ent,o:d = BA

r

d

.^

& 'ados os %etores $ !a!uar o %aor de a #ara que a rea do #araeogramodeterminado #or se)a igua a .;ou,o


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A rea do #araeogramo dada #or

Ee%ando ambos os membros ao quadrado$ temos:

Neso%endo a equa,o do 2V grau temos:

a = 3 ou a =

& 4aos os ponto "(;, , ), 7(


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Solu#$oa) " partir o triWngulo "7& poss'velconstruir um paralelogramo "7&4, poisa 2rea o triWngulo igual a metae a

2rea o paralelogramo." 2rea o paralelogramo eterminaa pelos vetores , ent$o a 2rea o triWngulo ser2: " %

eA =b& " = $" =

BA

'C

"

.^

(9($66,8S

J. 4aos os vetores . 4etermine e o vetor unit2rio e .


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J. 4aos os vetores . 4etermine e o vetor unit2rio e .a)

b)c)

)

e)

J;. 4aos os vetores , etermine .a)

a)

c))

e)

J


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J=. &alcule os valores e m para +ue o mMulo o vetor seja

igual a PO.a) m % - ;b) m % ;c) m % - ; ou m % ;

) m % ; ou m % ;e) m % - ; e m % - ;

J>. Seja o paralelogramo "7&4 e vrtices "(=, , ;), 7(>, J,), &(-, ;, -;) e 4(-;,


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a) ; ou =b) - =

c) - O) =e) OJP. 4aos os vetores . 4etermine o Wngulo entre os vetores .

(,J ponto)4aos: cos-J,;J % PR,=OJcos-J,R % P,O


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a) 4etermine o mMulo e .b) 4etermine o prouto escalar entre o vetor .

J. " torre mantia reta pelos trs cabos. Se a or#a em caacabo +ue atua sobre a torre or a+uela mostraa na igura.


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4etermine:a) /s vetores .b) 4 i W l i


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b) 4etermine os Wngulos iretores o vetor ./bserve a igura a seguir, e respona as +uestAes J e .

J. / sen!or `os possui um terreno +ue tem o ormato aigura cujos vrtices s$o os pontos 7_. Se o sen!or `os

t t t


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pretene cercar o terreno com arame arpao ano +uatrovoltas e ao reor o mesmo. Duanto ele ir2 gastar se a

meia real e caa lao J vezes a o esen!o e o metroo arame arpao igual a 3 ;,>JE4aos:

. Se a 2rea real o terreno igual a J vezes a 2rea oesen!o. Dual a 2rea em metros +uaraos +ue o sen!or `osir2 usar para construir sua casa, se ele pretene ocuparapenas OJ a 2rea real o terrenoE4ao:;. / poste a igura abaixo est2 sujeito a uma or#a e OJ na ire#$o e & para 7. 4etermine:4aos:


128/160

a) / a intensiae (mMulo) a or#a .b) / prouto escalar entre os vetores e .


129/160

4aos: cos-J,;J % PR,=OJcos-J,R % P,O


130/160

Definio

&!ama-se prouto misto os vetores % 8 8 ,

% 8 8 e % 8 8 , tomaos nesta orem, ao nmero real/ prouto misto e tambm inicao por ().

4o prouto vetorial entre , temos:

% %

% , logo:

%

xemplo:&alcular o prouto misto os vetores , e .


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() %

P6OP6IED%DES DO P6OD05O MIS5O"s proprieaes o prouto misto ecorrem, em sua maioria,as proprieaes os eterminantes.I) / prouto misto () mua e sinal se trocarmos a posi#$o e

ois vetores.m rela#$o ao exemplo acima, em () % ;P, temos:() % - ;P() % - ;P() % - ;P() % - ;P

xemplo:&alcular o prouto misto os vetores , e .


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() %

P6OP6IED%DES DO P6OD05O MIS5O"s proprieaes o prouto misto ecorrem, em sua maioria,as proprieaes os eterminantes.I) / prouto misto () mua e sinal se trocarmos a posi#$o e

ois vetores.m rela#$o ao exemplo acima, em () % ;P, temos:() % - ;P() % - ;P() % - ;P() % - ;P

Se +ual+uer um estes trs ltimos proutos eetuarmos novapermuta#$o e ois vetores, o prouto misto resulta volta a ser;P


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;P.m rela#$o ao prouto misto () ocorrer:

a) uma permuta#$o !aver troca e sinal[b) uas permuta#Aes o valor n$o altera.3esulta esta proprieae +ue os sinais poem serpermutaos, isto ,

II


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vetores ,

"mitino-se +ue sejam coplanares, o vetor , por ser ortogonala e , tambm ortogonal a .&omo e s$o ortogonais, o prouto escalar entre eles igual azero.% () % J

Y

/bserva#$o:a) Se pelo menos um os vetores nulo (o eterminante zero por ter uma ilas e zeros e os trs vetores s$o


135/160

zero por ter uma ilas e zeros e os trs vetores s$ocoplanares)[

b) Se ois eles orem paralelos (o eterminante zero por teruas ilas e elementos proporcionais ou iguais e os trsvetores s$o coplanares).xemplos:

) 9eriicar se os vetores .

;) Dual eve ser o valor e m para +ue os vetorese sejam coplanaresE


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eometricamente, o prouto misto igual, em mMulo, aovolume o paralelep'peo e arestas eterminaas pelos

vetores n$o-coplanares . (_ig. )

))

Y

Y

Figura

" 2rea a base o paralelep'peo .Seja o Wngulo entre os vetores . Seno um vetor ortogonal 2base a altura ser2 paralela a ele logo temos:


137/160

base, a altura ser2 paralela a ele, logo temos:

9olume 9 o paralelep'peo igual a:9 % (2rea a base) (altura) %

9 % %

nt$o poemos escrever +ue o volume ser2 igual a: 3 $xemplo:Sejam os vetores . &alcular o valor e m para +ue o volume

o paralelep'peo eterminao por seja O u.v.

Solu#$o:o volume ser2 igual a: 3 $(


138/160

(

, logo temos: m % - ; ou m % =3O40ME DO 5E56%ED6OSejam ", 7, & e 4 pontos n$o coplanares. ortanto os vetorestambm n$o coplanares. &omo esse trs vetores eterminamum paralelep'peo representao na igura ;.

A E

6D

Figura

/ volume o paralelep'peo igual a:3 $3epartino o paralelep'peo em ois prismas triangulares e


139/160

3epartino o paralelep'peo em ois prismas triangulares emesmo taman!o. / volume o prisma triangular ser2:

/ prisma poe ser repartio em trs pirWmies e mesmovolume, seno uma elas o tetraero "7&4, logo seu volumeser2 igual a:

x: Sejam "(, ;, -), 7(>, J, ), &(;, -, ) e 4(O, , -


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&onsieremos um ponto "( um vetor . SM existe uma reta r +uepassa por " e tem a ire#$o o vetor .

Um ponto (x, 6, z) pertence a r se, e somente se, o vetor paralelo a (igura


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/ vetor c!amao vetor iretor a reta r e t o parWmetro.xemplo:

" reta r +ue passa por "(, -, =) e tem a ire#$o e % (;,


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4e acoro com

% " 8 ttem-se

"

/bserva#Aes:a) 9imos +ue a caa nmero real t correspone um pontoe caa correspone um nmero real t.

Y

Y

YY

Y

A

21

61 3

t=61

t =, >, R) pertence 5 reta r, pois:r: (x, 6, z) % (, -, =) 8 t(;, > R) % ( - =) 8 t(; < ;)


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(>, >, R) % (, -, =) 8 t(;, , >, R) 0 (, -, =) % t(;,


144/160

reta.x:

. " reta r +ue passa pelo ponto "(, -=, , n)pertence a r.

) screver outros ois sistemas e e+ua#Aes paramtricas er.g) screver e+ua#Aes paramtricas a reta s +ue passa por


145/160

g) screver e+ua#Aes paramtricas a reta s +ue passa por(>, ;, - =) e paralela a r.

!) screver e+ua#Aes paramtricas a reta s +ue passa por "e paralela ao eixo os 6.3esolu#$o:a) r:

b) para t % , temos:

para t % =, temos:

c) / ponto o tipo (=, 6, z), logo temos:= % ; 8 t t % ;, ent$o: o ponto (=, -, ;)) 5 reta se existir um real t +ue torna as e+ua#Aes e r


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) 5 reta se existir um real t +ue torna as e+ua#Aes e rveraeiras. ara 4(=, -, ;), temos:

,logo . ois t % ; satisaz as e+ua#Aes.ara (>, - =, -


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r:ara &(O, ->, R) r e vetor iretor , temos:

r:g) Se , os vetores iretores e s s$o os mesmos e r. ara, tem-se

s:

) &omo a reta s paralela ao eixo 6 e passa pelo ponto ", ume seus vetores iretores . nt$o:s: ou


148/160

s: ouf 6E5% DEI.ID% PO6 DOIS PO.5OS

" reta einia pelos pontos " e 7 a reta +ue passa por " ou7 e tem a ire#$o o vetor .x: screver as e+ua#Aes paramtricas a reta r +ue passapor " (


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"s e+ua#Aes paramtricas o segmento "7 s$o as mesma a reta r,porm, com . 1emos:

"7: , com/bserve +ue:se t % J, obtm-se o ponto "[

se t % , obtm-se o ponto 7[e para t entre J e , obtm-se os pontos entre " e 7.Se o segmento or 7" com o mesmo intervalo e varia#$o e t, tomano oponto 7 e para vetor iretor . nt$o:

"7: , com

A Er

f E/0%8KES SIML56I-%S D% 6E5%"s e+ua#Aes paramtricas e uma reta s$o[


150/160

Seno a J, b J e c J, ent$o poemos escrever:

"s e+ua#Aes simtricas a reta +ue passa pelo ponto" ( e tem a ire#$o o vetor (a, b, c) s$o aas por: $ $

x: " reta +ue passa pelo ponto "() e tem a ire#$o ovetor tem e+ua#Aes simtricas: $ $ara obter outros pontos a reta, basta atribu'mos +ual+uervalor a uma as vari2veis.

f 6E5%S P%6%4E4%S %OS P4%.OS -OO6DE.%DOSUma reta paralela a um os planos x/6, x/z ou 6/z se seusvetores iretores orem paralelos ao corresponente plano.


151/160

eto es eto es o e pa a e os ao co espo e te p a oesse caso, uma as componente o vetor nula.

" igura abaixo mostra a reta r (r x/6) +ue passa pelo ponto"(- , ;,


152/160

#

&omo toos os pontos e r s$o o tipo (x, 6, =), ou seja, s$opontos e cota =, toos eles istam = uniaes o plano x/6 e,por isso, r x/6.

pontos istintos a reta r, o vetor iretor" igura a seguir mostra a reta r +ue passa por "(, >,


153/160

f 6E5%S P%6%4E4%S %OS EI!OS -OO6DE.%DOSUma reta paralela a um eixo /x, /u ou /z se seus vetoresiretores orem paralelos a , aina, a .

A

r

?

N

.

B

xemplo: Seja a reta r +ue passa por "(;,


154/160

p" reta r poe ser representaa pelas e+ua#Aes:

ara o caso particular a reta ser paralela a um eixo

coorenao. "s e+ua#Aes s$o escritas somente pelasconstantes. nt$o as e+ua#Aes a reta r s$o:

A

r

?

N

=

B

subenteneno-se z uma vari2vel livre +ue assume toos osvalores reais. /ne toos os pontos e r s$o o tipo (;,


155/160

p p ( , , )as coorenaas constantes ientiicam a reta.

"s iguras e ; apresentam retas +ue passam pelo ponto s$oparalelas aos eixos /x e /6, respectivamente. a ormasimpliicaa suas e+ua#Aes s$o:

A r

?N

=

8

A

r

?N

=

8

Figura

Figura B

f J.C04OS DE D0%S 6E5%S&!ama-se Wngulo e uas retas o menor Wngulo e um vetoriretor e e e um vetor e .


156/160

Sejam as retas com as ire#Aes e , respectivamente como

mostra a igura a seguir:

Seno o Wngulo procurao temos:

?N

=

8

xemplo: &alcular o Wngulo entre as retas

solu#$o:


157/160

#/s vetores +ue einem a ire#$o as retas s$o:

f 6E5%S O65OCO.%ISSejam as retas com as ire#Aes e , respectivamente. nt$o:

xemplo: "s retas s$o ortogonaisE

Seno vetores iretores e ., logo as retas s$o ortogonais./bserva#$o


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4uas retas ortogonais poem ser concorrentes ou n$o. a

igura, as retas , s$o ortogonais a r. orm, e r s$oconcorrentes. esse caso, iz-se +ue s$o perpeniculares.

r

Y

Y

f 6E5%S O65OCO.%4 % D0%S 6E5%SSejam as retas n$o paralelas, com as ire#Aes e ,respectivamente. 1oa reta r ortogonal e ter2 a ire#$o e um


159/160

vetor tal +ue:

m vez e tomarmos um vetor como uma solu#$o particular osistema poemos utilizar o prouto vetorial para obter o vetoriretor a reta r.

1eno o vetor ireto a reta r, basta termos um ponto a retapara eterminarmos sua e+ua#$o.xemplo: 4eterminar as e+ua#Aes paramtricas a reta r +uepassa pelo ponto "(


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"s e+ua#Aes paramtricas a reta r s$o:

r:

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