1 Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecnica Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA) (Fevereiro 2005) Geometria Analtica Captulo I. Introduo A Geometria, como cincia dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade.Infelizmenteistosfoiconseguidomediantealgebracomoprincpiounificador.Os gregos, porm, no eram muito bons em lgebra. Mais do que isso, somente no sculo XVII a lgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fuso criativa com a geometria. Ocorre porm que o fato de haver condies para uma descoberta no exclui o toque de genialidade de algum.Enocasodageometriaanaltica,frutodessafuso,omritonofoideumaspessoa.Dois franceses,PierredeFermat(1601-1665)eRenDescartes(1596-1650),curiosamenteambosgraduadosem Direito,nenhumdelesmatemticoprofissional,soosresponsveisporessegrandeavanocientfico:o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemtica e o segundo por razes filosficas. E, diga-sedepassagem,notrabalharamjuntos:ageometriaanalticaumdosmuitoscasos,emcincia,de descobertas simultneas e independentes. Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicavamuitasdesuasmelhoreshorasdelazermatemtica,certamentenoeraporquefaltasseoutra maneiradepreencheroseutempodisponvel.NaverdadeFermatsimplesmentenoconseguiafugirsua verdadeira vocao e, apesar de praticar matemtica como hobby, nenhum de seus contemporneos contribuiu tanto para o avano desta cincia quanto ele. Alm da geometria analtica, Fermat teve papel fundamental na criao do Clculo Diferencial, do Clculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos nmeros, ramo da matemtica que estuda as propriedades dos nmeros inteiros. Acontribuio deFermatgeometriaanalticaencontra-senumpequenotextointituladoIntroduo aos Lugares Planos e Slidos (1636 no mximo) que s foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analtica. O interesse de Descartes pela matemtica surgiu cedo, no College de la Fleche, escola do mais alto padro, dirigida por jesutas, na qual ingressar aos oito anos de idade. Mas por uma razomuito especial e quejrevelavaseuspendoresfilosficos:acertezaqueasdemonstraesoujustificativasmatemticas proporcionam.Aosvinteeumanosdeidade,depoisdefreqentarrodasmatemticasemParis(almde outras)jgraduadoemDireito,ingressavoluntariamentenacarreiradasarmas,umadaspoucasopes dignas que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da Frana. Durante os quase nove anos que serviu em vrios exrcitos, no se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da cincia e da filosofia. A Geometria Analtica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como umdos trs apndices do Discurso do mtodo, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, emresumo,Descartesdefendeomtodomatemticocomomodeloparaaaquisiodeconhecimentosem todos os campos. AGeometriaAnaltica,comohoje,poucoseassemelhascontribuiesdeixadasporFermate Descartes. Inclusive sua marca mais caracterstica, um par de eixos ortogonais, no usada por nenhum deles. Mais,cadaumaseumodo,sabiaqueaidiacentraleraassociarequaesacurvasesuperfcies.Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notao algbrica.

HYGINO H. DOMINGUES 2 Captulo II. Introduo ao 2e estudo do ponto.

Sejam os conjuntos{1, 2} B =e{3, 4} A = . De certo, so conjuntos finitos, de nmeros reais e com o auxlio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos. conhecida uma operao entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado umoutroconjunto,emqueosnovoselementossoentidadesmatemticas,formadasporduaspartes,uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemtica denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B.{(3,1) , (3, 2) , (4,1) , (4, 2)} A B = . Veja quenoselementosde A B ,oprimeironmeronoparordenadoadvindodoconjuntoAenquantoqueo segundoveiodoconjuntoB.VamosdefinirumamaneiraderepresentaroconjuntoA B eparaisso utilizaremos tambm retas reais, porm numa disposio diferente. Veja!!! Utilizando-sederetasreaispodemosrepresentaresse resultado do conjunto A B , porm a questo que essas retas reais estodispostasconvenientemente,umaperpendicularoutra.A essas retas, nessa disposio, chamamos eixos coordenados. Na reta queestnaposiohorizontal,representaremososelementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjuntoB.Comopodemosperceber,osquatroelementosdo conjuntoA B foram representados fazendo-se o cruzamento de um nmero advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B. SuponhaagoraqueoconjuntoAsejadotipo:{ / 3 4} A x R x = equeoconjuntoBsejaexpressoda forma{ /1 2} B x R x = .FazendoagoraaoperaoA B ,chega-seemumanovafiguramostradaa seguir: Comopodemosperceberoresultadodessaoperaofoiuma regio,umcontornogeomtricofechadoeseuinterior.Agora imaginaoqueacontecesedefinirmosoconjuntoAcomosendoos reaiseoconjuntoBtambm.Comodeseesperar,sefizermoso produtocartesianodosreaiscomoprprioconjuntodosreais, teremosoquechamamosdeplanocartesianoouaindade 2 .A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultadodoprodutocartesianoentredoisconjuntosunitrios,ou aindacomosendoumelementodeprodutocartesianoentredois conjuntos no vazios. Opontopodeserentendidocomooendereodecertaposionumdadoplano.Comosepode representar pontos com pares de nmeros reais, possvel definir operaes algbricas com esses pontos. Bumpontoqualquer,doplanoXOYeparacadaBest assossiadoumparordenado,paressequerepresentadodaseguinte forma:(xb ,yb) onde xb a posio relativa ao eixo X e yb a posio relativa ao eixo Y.Comoditoacima,opontorepresentadonoeixocartesiano porumacoordenadax,denominadadeabscissaeumacoordenaday, 3 chamada ordenada. Dizemos que dois pontos so iguais quando acontece a seguinte propriedade: ( , ) ( , )A A B B A B A BA x y Bx y x x e y y = = = II.1 - Distncia entre dois pontos Sejam A(xA ,yA) e C(xC ,yC) dois pontos do plano. A distncia entre esses dois pontos exatamente ovalordahipotenusadotringuloABCmostradoabaixo.Logoseconseguirmosdeterminarovalordos catetos,utilizandooTeoremadePitgoras,serpossvelacharessadistncia.Logo,comoocateto C AAB x x = e o cateto C ABC y y = , aplicando o Teorema de Pitgoras vm:

2 2,( ) ( )A C A C A Cd x x y y = + R1) Uma formiga est sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra o ponto P(2, 3). Ela caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3).Calcular a distncia que a formiga andou. Soluo:Aplicando a frmula da distncia entre dois pontos, chegamos distncia que a formiga andou. 2 2,( ) ( )P Q P Q P Qd x x y y = + =2 2 2 2(2 ( 6)) (3 ( 3)) 8 6 + = + = 64 36 10 + = R2) Duas circunferncias so tangentes externamente. O centro de uma circunferncia est no ponto C1(3, 5) e o centro da outra est no ponto C2(0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferncias. Soluo: Foi dito que essas circunferncias so tangentes externamente, logo a soma dos raios exatamente a distncia entre C1 e C2. 1 2 1 22 2,( ) ( )P Q C C C Cd x x y y = + =2 2(3 0) (5 1) 9 16 25 5 + = + = = P1-) Calcule a distncia entre os pontos abaixo: a) P(0, 0)eQ(3, 4)b) P(1, 13)eQ(6, 1) c) P(7, 0)eQ(1, 8) d) P(-6, 13) e Q(-1, 1) P2-)DadoumtringuloABC,comvrticesA(0, 0), B(12, 5) e C(3, 4). Calcule o seu permetro. P3-)Sejaumhexgono,talque,A(10,0),B(5, 3 5 ),C(-5,3 5 ),D(-10,0),E(-5,- 3 5 )eF(5,-3 5 ),soseusvrtices.Determineosvaloresdas 4 diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que pode-se concluir sobre esse hexgono? P4-) Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto: a) A(1+ x, y - 2x + 2)eB(-3, -1 + 3y). b) A(2x + y,y - 5 )eB(x2 4, 2y - 9). c) A(x y 3 , x + y 3)eB(2x ,3y). P5-)Sabe-sequeascoordenadasdobaricentrode um tringulo qualquer so dadas por: 3C B AGx x xx+ += e 3C B AGy y yy+ += . Calculeascoordenadasdobaricentrodeum tringuloABC,comvrticesA(-6,0),B(6,0)e C(0,3 6 ).Mostre que GA = GB = GB =3 4 . II.2 - Razo de seco Esse assunto tem sido pouco explorado nas provas em geral, mas em contra partida, embora seja um assunto relativamente simples, quando cobrado poucos candidatos acertam a questo. Isso a acontece devido principalmentefaltaderigoredidatismodoslivrosqueesseassunto.Aidiaaquiquevocpercebao conceito que est por trs desse assunto e assim a sua compreenso vai ser automtica. Tem-se um dado segmento AC de extremos A(xa ,ya)e C(xc ,yc). Queremos determinar um ponto B, sobre a reta que contm o segmentoAC(veja que B est sobre a reta e no necessariamente no segmento), tal quearelaorBCAB= sejamantida.Vamosexplicaroqueessarelaoapresentadaquerdizer:quando escrevemos querBCAB= , estamos querendo passar a informao de que o tamanhoAB r vezes maior que otamanhoBC .Oproblemaqueemalgumasprovasoficiais,foicobradoesseconceito,porm,comum valornegativoparar.Apartirdessemomentoessanotao rBCAB= setorna,naverdade,umabusode linguagem e uma falta de rigor, porque o que significa a diviso entre dois tamanhos ser negativa ? De fato, quando se pensa em tamanhos se trata de um absurdo, porm podemos dar um tratamento mais elegante essa questo considerandoAB , no como segmento mas sim como um vetor. Ainda assim a expresso rBCAB= umaheresiamatemtica,poisnosedefiniumadivisodevetores,logo,umamaneiramaisformaldese formular esse enunciado usando a expresso. AB r BC =uuur uuur. Fazendo desse jeito, at a questo simplificada, poispossvelresolver o problemadeumasvez(tantoparaotermoemxcomoparaotermoemy). Veja:. AB r BC =uuur uuur. Assim, temos:) ( B C r A Br r r r = isolando B chegamos aCrrArBr r r|.|

\|++|.|

\|+=1 11. 5 Esse resultado significa que a relao entre Bx , Axe Cx dada por: C A Bxrrxrx |.|

\|++ |.|

\|+=1 11(I) Da mesma forma achamos a relao entre By , Aye Cy dada por:C A Byrryry |.|

\|++ |.|

\|+=1 11(II) II.3 - Coordenadas do ponto mdio SejaBopontomdiodeAC .ParaacharmosascoordenadasdeB,bastaverque:1 =BCAB,ouseja,BC = AB ento fazendo r = 1 nas equaes (I) e (II) temos que: 2C ABx xx+=e 2C ABy yy+=. R3) Dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar ascoordenadas de umponto B (sobre a reta que contm AC), tal queBC AB 2 = . Soluo: Temos que,) ( 2 B C A B = C A B 2 3 + = C A B3231+ = . Assim, temos, 35) 2 (32) 1 (313231= + = + =C A Bx x x e 314) 6 (32) 2 (313231= + = + =C A By y y, logo B |.|

\|314,35. R4) Calcule as coordenadas do ponto mdio do segmento AB. Dados, A(0, 8), B(2, 2). Soluo: Seja M o ponto mdio de AB. Temos: 122 02=+=+=B AMx xxe522 82=+=+=B AMy yy , logo, M(1, 5). R5) Seja o tringulo ABC. A(0, 0), B(4, 2) e C(6, 4). Determine o valor da base mdia relativa ao lado AB. Soluo: N o ponto mdio de AC e M o ponto mdio de BC. A base mdia o e segmento MN.526 42=+=+=C BMx xx .324 22=+=+=C BMy yy , assim, M(5, 3). 6 326 02=+=+=C ANx xx .224 02=+=+=C ANy yy , assim, N(3, 2).O comprimento de MN dado pela distncia de M N. 5 ) 2 3 ( ) 3 5 ( ) ( ) (2 2 2 2,= + = + =N M N M N My y x x d P6-)SejamospontosA(1,3)eB(2,5).Determine ascoordenadasdeumpontoCtalqueCdividao segmento AB nas seguintes propores: a-) 3 =BCABb-)4 =BCABc-) 34=BCAB d-) 51=BCAB e-) 72 =BCAB

P7-)DetermineascoordenadasdeumpontoC, pertencente ao segmento AB com A(1,3) e B(2,5), tal que:CB AC AB 2 3 5 + = . P8*-) Seja o tringulo ABC. A(0, 0), B(2, 2) e C(6, 8).Determineovalordabasemdiarelativaao lado AB. II.4 - Condio de alinhamento de pontos Esse assunto mostrado nos livros convencionais de uma forma que lhe permite verificar a condio dealinhamentodetrsemtrspontos.Essedispositivoprticoqueserapresentado,oOCAP(Operador Condio de Alinhamento entre Pontos), capaz de verificar se n pontos esto alinhados ao mesmo tempo. Veremosmaisafrentequeoresultadonumricoquegeradoporesseoperadortemumsignificadomuito importanteepoderoso.VejacomoseaplicaoOCAP:sejam 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , ) Px y P x y Px y4 4 4( , ) e P x y , pontos do plano.,1P ,2P ,3P ,4P estaro alinhados OCAP = 0. Veja a figura abaixo: colocar os pontos, numa ordemsuaescolha,umembaixodooutroefazerasmultiplicaesnossentidodassetas(primeiropara cima) e quando forem feitas as multiplicaes no sentido para baixo, troca-se o sinal do nmero resultante. No final soma-se tudo e esse o resultado do OCAP. OCAP = = 2 1 3 2 4 3 1 4(xy x y xy x y + + + 1 2 2 3 3 4 4 1) x y xy x y xy . P8-) Verifique se os pontos abaixo esto alinhados: a) 1P ( 0, 1), 2P (-1, 0), 3P (4, 5) .b) 1P ( 0, 2), 2P ( 1, 3), 3P (4, 4) c) 1P ( 0, 0), 2P (-1, 5), 3P (4, -20) . d) 1P ( 10, 0), 2P (-1, -1), 3P (4, -5) . e) 1P ( 8, 1), 2P (-10, 0), 3P (5, 5) . f) 1P ( 0, 1), 2P (-1, 10), 3P (14, 5) . 7 P9-)DadosospontosA(0,0)eB(5,5).Sejaum pontoQ(r,s)queestalinhadocomAeBao mesmo tempo. Determine uma relao entre r e s. P10-)Dadosospontos A(0, 2)eB(2, 0).Seja um pontoQ(r,s)queestalinhadocomAeBao mesmo tempo. Determine uma relao entre r e s. P11-) Dados os pontos A(-1, 2) e B(1, 1). Seja um pontoQ(r,s)queestalinhadocomAeBao mesmo tempo. Determine uma relao entre r e s. P12-)Dadosospontos A(2, 4)eB(2, 8).Seja um pontoQ(r,s)queestalinhadocomAeBao mesmo tempo. Determine uma relao entre r e s. P13-)Dadosospontos A(3, 2)eB(2, 4).Seja um pontoQ(r,s)queestalinhadocomAeBao mesmo tempo. Determine uma relao entre r e s. *P14-)OpontoP(r,s)talqueestalinhadocom QeR.Qobaricentrodotringuloformadopor C(0,0),D(3,3)eE(6,9).Bumpontosobreo segmentoACtalque3 =BCABemqueA(3,12). Determinar uma relao entre r e s.

Captulo III. Estudo da reta. Podemos definir uma reta como sendo uma sucesso de infinitos pontos, distintos, alinhados. O fato de estaremalinhadosconfereaexistnciadeumadireoconstante.Assimsendopode-seafirmarquepara existir uma reta necessrio da existncia de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direo. A reta no tem fim e divide o plano que a contm em duas partes. III.1 - Equaes da reta Apartirdoenunciadoacimapodemosdeterminaraequaodeumaretasesoubermosdoispontos pelos quais ela passa. Sendo dados esses dois pontos, ou seja, conhecemos as suas coordenadas integralmente, j sabemos que por eles vai passar uma reta nica, e justo que cada ponto que esteja nessa reta a relao do seu x com seu y seja constante. Veja a figura: A no segmento formado por A e B todos os pontos esto alinhados, assim,podemosfazeroOCAPcomospontosdadoseumponto gentico (x, y) e esse OCAP tem que resultar zero.Achar a equao de uma reta relacionar as coordenadas genricas x e y de tal forma queaplicandonessarelaoaordenadatem-secomoresultadoa abcissa ou vice versa. ,,,,a ab ba ax yx yx yx y =b a a b a a b b ax yx yx y- x y - x y -xy + + =0 8 ( ) ( ) ( ) 0b a a b b a a ba b cy y x x x y x y xy + + =14243 14243 1442443. 0 . ax by c equao geral da reta + + = Vamos agora partir da equao encontrada acima e isolar o termo y, ou seja, vamos escrever o y como uma funo de x:b a a b b ab a a bm ny y xy xyy xx x x x| | | | = + || \ . \ .14243 1442443 Esse novo formato de equao muito utilizado e tem um nome especfico, o chamamos de equao reduzida da reta. reta da reduzida equao n mx y + = Dafiguraacima,pode-severquefoiconstrudoumtringuloretnguloABDcomoprolongamentodos segmentos que formam os pontos A e B. O nguloque aparece como ngulo interno do tringulo ABC exatamenteonguloquearetaABformacomahorizontal,poissetemasituaodeduasretasparalelas cortadas por uma mesma transversal que forma ngulos correspondentes. O cateto oposto a , BD, tem valorb ay y e o cateto adjacente AD tem valor b ax x . Podemos ento achar o valor da tangente deda seguinte maneira: ajacente cat oposto cat..tan = = b ab ay y yx x x = = m.Veja que interesante, o valor docoeficiente quemultiplica ox naequaoreduzidanumricamenteigualtangente dongulo quearetafazcomahorizontal.Devido a essefato,essecoeficienterecebeuumnomeconveniente,mchamadodeCOEFICIENTEANGULAR. Trata-sedapartedaretaquedasuadireo.Ooutrocoeficientedaequaoreduzidanchamadode coeficiente linear e ele tem um significado; veja que se substituirmos x = 0 na equao reduzida, resulta-se emy=n,ouseja,essenexatamenteopontoemquearetacortaoeixoOy,chamadode COERICIENTE LINEAR. Assim sendo, conhecendo-se o coeficiente angular e um ponto 0 0( , ) Px yem que uma reta passa possvel encontrar sua equao da seguinte maneira:(y - yo) = m (x - xo) y = mx + (yo mxo). Apartirdaequaogeraldaretaoudaequaoreduzidadareta,podemoschegaraoutrotipodeequao chamado equao segmentaria da reta. Vejamos:0, 0 ax by c c ax by c + + = + = . Dividindo toda a equao por (-c) tem-se: 9 1 1,ax by x yc cc ca b = + = c cfazendo p e qa b= = 1x yequao segmentria da retap q+ =. R6) Determinar a equao geral da reta que passa pelos pontos P(0, 6) e Q(6, 0). Soluo: Aplicando o L aos pontos P e Q, temos: 0 66 036 0 0 0 6 6 0 6 00 6y x x yx y= + + = + =R7) Dados dos pontos, A(0, 2) e B(-3, -1), determinar a equao da reta que contm o segmento AB. Soluo:Como por dois pontos passa uma nica reta, temos: y = ax + b. a =1) 3 ( 0) 1 ( 2= =xy, logo sua equao : y = x + n. Como o ponto (0, 2) pertence reta esse satisfaz a sua equao. 2 = 0 + n, n = 2. e a equao da reta : y = x + 2. R8) Dadas as retas abaixo na forma geral. Passe para forma reduzida. a)0 9 8 2 = + x y .b)0 10 18 3 = + x ySoluo: a)0 9 8 2 = + x y . Basta isolar o y. 29429289 8 2 + = += + = x y x y x yb)0 10 18 3 = + x y . Isolando o y:.31063103180 10 18 3 + = += = + x y x y x y R9) Sejam os pontos A(0, 0),B(0, 4), C(4, 4) e D(4, 0) os vrtices de um quadriltero. Determine: a) A reta suporte que contem a diagonal AC b) A reta suporte que contem a diagonal BD c) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto A e o ponto mdio do lado CD. d) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto mdio do lado BC e o ponto mdio do lado CD. 10 Soluo: a)Retasuportedeumsegmentoaretaquecontemessesegmento.Assim,bastafazeroLcomospontos A(0,0), C(4, 4) eum ponto genrico (x, y). . 0 4 40 04 40 0x y y xy x= = =b) Fazemos o mesmo feito no item a s que agora com os pontos B(0, 4), D(4, 0) e um ponto genrico (x, y). Aplicamos o L e obtemos que a equao da reta :. 4 + = x yc)VamosacharopontomdiodeCD.C(4,4)eD(4,0).424 42=+=+=D CMx xx e220 42=+=+=D CMy yy . Assim,M(4,2).VamosfazeroLcomospontosA(0,0),M(4,2)eumpontogenrico(x,y).achamosa equao:.2xy =d) Determinando os ptos mdios de BC e CD, M e N respectivamente. M|.|

\| + +24 4,24 0 = M(2, 4). N |.|

\| + +20 4,24 4 = N(4, 2). Fazendo L com M, N e um ponto genrico (x, y) encontramos a equao: . 6 + = x y P14-) Determine as equaes das retas que passam pelos pontos indicados abaixo: a) A(0, 0)B(2, 4) b) A(-1, 1)B(5, 5) c) A(0, 3)B(-2, 1) d) A(2, 7)B(-2, -13) e) A(8, 3)B(-6, -4)f) A(0, 0)B(-3, 0) P15-) Dado o tringulo com vrtices A(0, 0),B(2, 3), C(1, 0). Determine: a) As coordenadas do baricentro. b) Os pontos mdios dos lados AB, BC e CA. c)Aequaodaretasuportedamedianarelativa ao vrtice A.d)Aequaodaretasuportedamedianarelativa ao vrtice B. e)Aequaodaretasuportedamedianarelativa ao vrtice C. f) A equao da reta suporte da base mdia relativa base BC. g)Aequaodaretasuportedabasemdia relativa base AB. *P16-)DadosospontosA(-10,0),B(10,0),C(0, 3 10 ).AcheumpontoE,sobreAC,talque ligando Be E, cortamos o tringulo ABCem dois tringulos BCE e BAE, com2 =BAEBCEAA. III.2 - Interseco entre retas Lembraquando,lna7sriedoprimeirograu,aprendemosaresolversistemasdeequaesdo primeirograu?Alieradadoumsistemadeduasequaesdo1graueduasincgnitasetnhamosque descobrir os valores das incgnitas que satisfaziam ao mesmo tempo, as duas equaes. Pois , vimos no item III.1, que as retas tem equao da forma0 = + + c by ax , que so equaes do 1 grau. Sabemos que duas retas noparalelasenemcoincidentesseinterceptamumanicavez.Assim,dadasduasretas,acharasua 11 interseco determinar o x e o y, que satisfazem ao mesmo tempo as duas equaes, ou seja, voltamos 7 srie e vamos agora resolver sistemas de primeiro grau, de duas equaes e duas incgnitas. A interseco de r com s := s r= + += + +002 2 21 1 1c y b x ac y b x a, temos que resolver esse sistema e achar o ponto (x, y) que satisfaz essas duas equaes ao mesmo tempo. Obs.: Em alguns casos ser necessrio fazer interseco com o eixo Ox ou com Oy. Nesses casos agimos da seguinte forma: Interseco com o eixo Oy: Qualquer ponto do eixo Oy tem abscissa 0, logo basta substituir o x da equao conhecida por 0 e ver o valor de y correspondente. Ex: fazer a interseco entre a reta5 3 + = x ycom o eixo Oy: 5 5 ) 0 .( 3 = + = y . Logo essa reta corta o eixo Oy no ponto (0, 5). Interseco com o eixo Ox: Qualquer ponto do eixo Ox tem ordenada 0, logo basta substituir o y da equao conhecida por 0 e ver o valor de x correspondente. Ex: fazer a interseco entre a reta5 3 + = x ycom o eixo Ox:355 3 0= + = x x . Logo essa reta corta o eixo Ox no ponto|.|

\| 0 ,35 Algumas consideraes importantes Nesse momento vale pena discutirmos uma questo proposta pelo vestibular da Academia da Fora Areade2001/2002.Acabamosdeestudaramaneiradeseprocederparadeterminaraintersecodeduas retasecomofoidito,trata-sedaresoluodeumsistemalinearcomduasequaeseduasincgnitas.O vestibulardaAFApropsumaanlisemenosbraalemaisfilosficadoassuntoquandoexpandiuparaa anlisedeumsistemadetrsequaesetrsincgnitas.Foiditonoenunciadoqueumaequaodotipo 0 ax by cz d + + + = ,equivaleaumaequaodeumplano,assimsendo,quandoresolvemosumsistema desses, na verdade estamos analisando o resultado da interseco de trs planos. Veja a questo proposta: (AFA-2001)O conjunto de solues de uma nica equao linearb z a y a x a3 2 1= + + representado por umplanonosistemadecoordenadasretangularesxyz(quandoa1,a2,a3nosotodosiguaisazero). Analise as figuras a seguir. (I)Trs planos se cortando numa reta (II)Trs planos se cortando num ponto (III)Trs planos sem interseo 12 Assinale a opo verdadeira. a)A figura I representa um sistema de trs equaes com uma nica soluo. b) A figura III representa um sistema de trs equaes cujo conjunto soluo vazio. c)A figura II representa um sistema de trs equaes com uma infinidade de solues. d)As figuras I e III representam um sistema de trs equaes com solues iguais. Comopodeservista,afigura(I)mostratrsplanosseinterseccionandonumareta,ouseja,trata-sedeum sistemaquegeracomosoluomuitasternas(x,y,z)oquedumcarterdeinfinitassoluesparao sistema,logoestamosdiantedeumsistemapossveleindeterminado.Comrelaofigura(II)tm-setrs planosqueseinterseccionamnumnicoponto(x,y,z),oqueconfereumstatusdesistemapossvele determinado.Jafigura(III)mostraumaintersecodosplanosgerandodoisconjuntosdisjuntos,ouseja, surgiram duas retas, paralelas que, por conseguinte no vo se cruzar, logo no se tem uma soluo para esse sistemasendoeleumsistemaimpossvel.Comessaanlisepodemosconfigurarcomocorretaaopob poisdizque(III)setratadeumsistemacomtrsequaesquetemconjuntosoluorepresentadopelo conjunto vazio. R9) Determinar o ponto de interseco entre as duas retas dadas:= + = + 0 7 30 5 3y xy x

Soluo: Daequaodecimatemosque5 3 + = x y .Substituindonaequaodebaixo,tem-se: 2 5 ) 1 ( 3 1 8 8 0 7 15 9 0 7 ) 5 3 ( 3 = + = = = = + + = + + y x x x x x x P16-)Acheasintersecesentreosparesderetas abaixo: a)y = 3x 4ey x + 6 = 0; b)y 4x + 5 = 0 e o eixo Ox;c)y + 8x 4 = 0ey + x + 7 = 0; d)y 5x + 2 = 0eo eixo Oy;e)y x + 2 = 0e3x y + 1 = 0;f)x 2y + 6 = 0e2x + 2y 3 = 0;g)5x 3y + 2 = 0ex + 3y 2 = 0; P17-)Acheasintersecesentreasretasabaixoe os eixos Ox e Oy: a)2x + 3y 2 = 0 b)3x 6y + 7 = 0c)2x y = 0d)3x 6y 12 = 0 *P18-)Mostrequeasretasdeequao 2 3 1 0 x y + = ,0 x y + = e3 4 1 0 x y + =concorrem no mesmo ponto. *P19-)Demonstreque2 0 x y = ,2 8 x y + = e (1 ) 2(1 ) 8 0 kx k y + + = concorremnomesmo ponto, para qualquer valor de k. III.3 - ngulo entre retasNessa seo vamos estabelecer uma relao que expressa exatamente uma informao sobre o menor ngulo formado por duas retas concorrentes.Como vimos antes,a parte daequao de umareta que est vinculada 13 comasuadireoocoeficienteangular,assimsendo,nadamaisjustoqueesseresultadoqueestamos querendosaiaemfunodessescoeficientes,quesodeantemoconhecidos.Sodadasduasequaesde reta:r rr y m x n = +r e:s ss y m x n = +r. sm tg e = rm tg = . Da geometria plana:( ) ( ) ( )tg tg = + = + ( ) ( )}( ){( )( )001 . 1 .tg tgtg tgtg tgtg tg tg tg ==+ = + = = = +.Como queremos o menor ngulo entre essas retas, temos que garantir que o resultado encontrado positivo, assim, aplicamos o mdulo sobre a expresso encontrada. r sr sm m m mtg+=1 Para o caso particular em que se tm retas perpendiculares,90 =e(90) tg . Logo, a nica maneira de seterumafrao(comnumeradorfinito)tendendoparaoinfinitofazendoodenominadortenderazero. Assim,1 0 1s r s rSer s m m m m + = = r r Condio para ques r :. 1s rmm= III.4 - Condies de paralelismo entre retas Sejam 2 1r e r retascontidasnoplano. 1 1 1: r y m x n = + e 2 2 2: r y m x n = + .Ascondiesexpressas abaixo, so expressamente para equaes na forma reduzida. paralelas tas m m Re2 1 = ;Vejaquenecessrioesuficientequeocomponenteresponsvelpela direo da reta seja igual para ambas as retas. 1 2 1 2Re m m e n n tas coincidentes = = ;Aquialmdeseteramesmadireoelasdevem passar pelo mesmo ponto, assim, tanto os ms quando os ns so iguais. es concorrent tas m m Re2 1 ; Basta que as direes sejam diferentes que em algum lugar essas retas vo se cruzar. 14 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 0 2 21 21 2= + + = + + = s t t y s x x ty s y sx ty xs tr sr sm m m mtg+=1Sejam 2 1r e rretas contidas no plano.0 :1 1 1 1= + + c y b x a r e 0 :2 2 2 2= + + c y b x a r . Essas retas esto na sua forma geral, assim, veja como ficam as condies de paralelismo: paralelas tasbabaRe2211 = ; es coincident tasbcbcebabaRe22112211 = =Para entender essas condies basta colocar 2 1r e rno formato reduzido e aplicar as condies que vimos para o formato reduzido. Para que se tenha um feixe de retas concorrentes, basta que todos os coeficientes angulares sejam distintos, dois a dois, e que exista um nico ponto que satisfaa as equaes de todas as retas ao mesmo tempo. R11) Determine o ngulo entre as retas abaixo: a)r :0 2 = + + y x es :0 2 2 = + + y x Soluo:a)primeiramente vamos passar as equaes para o formato reduzido.r :2 = x yes :2 2 = x y assim, 2sm= e1rm= . Aplicando na frmula, temos: 3131) 1 )( 2 ( 1) 1 ( ) 2 (== + = tgLogo, o ngulo entre as retas r e s tal que a sua tangente 31. Ento:|.|

\|=31arctg R11) Dadas as equaes de r: 0 2 ) 3 ( ) 2 ( = + + y m x me s:0 5 ) 5 ( ) 1 ( = + + y m x m , determinar os valores de m para que sejam paralelas. Soluo:Como esto na forma reduzida, para serem paralelas, + = + =10 7 3 451322 2m m m mmmmm 370 7 3 = = m m R12) (AFA-94)Para que a reta0 20 5 = + y x seja paralela reta determinada pelos pontos M(t,s) eN(2, 1), deve-se ter t igual a: a)2525sb) -5s + 7 c) -5s +3 d)5s 3Soluo: Primeiro temos que determinar a equao da reta formada por M e N. Vamos usar o OCAP. 15 =5211 t s . 3 5 2 5 5 d Letra s t t s = = + R13) Determinar a equao da reta r, que paralela reta s de equao y 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 3). Soluo:Foi dito que r paralela a s, logo a equao de r vai ser: y 3x + n = 0. Para determinar o n, usamos que r passa por P(2, 3), ento esse ponto deve satisfazer a sua equao. Assim: (3) 3.(2) + n = 0, n = 3. Logo: r: y 3x + 3 = 0 R13) Verificar se as retas abaixo so ou no perpendiculares: a)r :0 2 2 = + + y x es :0 2 2 = + + y xb)r :0 3 = + y x es :0 11 3 = + = x y Soluo:a)Para ver se as retas so perpendiculares ou no, basta achar o coeficiente angular de cada uma e multiplic-los. Se o resultado for -1, so perpendiculares. Vejamos: 21 =sme2 =rm . Logo,. 1 2 .21 ==r sm mLogo r e s so perpendiculares. b) Da mesma forma:3 =sme 31 =rm . Logo,. 1 ) 3 ).(31( = =r sm mLogo, r e s no so perpendiculares.

P18-) Determine os valores de m para que as retas r e s sejam retas coincidentes. r:3x + 2y + (3m-5) = 0s: 9x + 6y + (m2-m+2) = 0 P19-)Determinaraequaodaretar,que paralela reta s de equao 2y 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 1). P20-)Determinaraequaodaretarque perpendicular reta s de equao 3y + 2x 6 = 0 e quepassapelopontodeintersecoentreasretast:y 2x + 5 = 0 e u: x = 3. P21-)Calculeomenornguloentreosparesde retas abaixo: a) y +3x 2 = 0 e y = 2x 1 b) y 2x + 6 = 0 e 2y 4x + 9 = 0c)2y x + 5 = 0 e 2x y 6 = 0 d) y 2x + 1 = 0 e y = 5x 1 e) 2y 2x + 7 = 0 e 3y +x 1 = 0 P22-) D a equao de r. Sabe-se que r // s, s: 2x y + 5 = 0 e que r passa pela origem. P23-)Daequaoder.Sabe-sequerpassapor T(0, 1) e perpendicular s e que s passa por P( 2, 1) e por Q(1, 2). P24-) u: y = x + 5, v: y = 2x + 7, r: y 3x + 1 = 0 e s: 2y 8x + 2 = 0. Determine a reta que passa pela interseco entre ue v epelaintersecoentre re s. P25-) Dados A(0, 1), B(2, 3). Determine C e D tais que os tringulos ABC e ABD so eqilteros. P26-)DadosA(0,1)eC(2,3)taisqueACa diagonaldeumquadradoABCD.DetermineBe D, tal que BD a outra diagonal. 16 *P27-)Discutaemfunodepemaposio relativaentreasretas(r)0 mx y p + = e(s) 3 3 7 0 x y + = *P28-)Mostrequetodasasretasdeequaes ( 2) 4 0 m x my m + + = concorremnummesmo ponto. III.5 - Distncia de ponto reta Sejam r:0 = + + c by axe) , (0 0y x Ptal quer P , conforme a figura abaixo: Traamos um par de eixos auxiliares, XOY, a fim de que as contas sejam minimizadas, pois para esse novo par de eixos, o ponto) , (0 0y x Ppassa ser a origem. Logo temos que 0' x x x = +e 0' y y y = + . Substituindo essas relaesnaequaodaretarvem: 0 0( ' ) ( ' ) 0 ax x by y c + + + + = resultandoem 0 0' ' ( ) 0 ax by ax by c + + + + = . Essaanovaequaoder,agoratendocomorefernciaonossonovosistemadeeixos.Vamosachara equao da reta s, perpendicular r, passando pela origem (no novo sistema de eixos). Passando a equao de r para o formato reduzido temos: 0 0' 'ax by c ay xb b+ + | | | |= ||\ . \ .. Logo o sbma= , poiss r . A equao de s fica dada por' 'by xa| |= |\ .. Fazendo a interseco de r com s resulta no ponto Q. Logo 0 0 0 02 2 2 2( ) ( ),ax by c a ax by c bQa b a b + + + + | | |+ +\ ..CalculandoadistnciadePatopontoQ,lembrandoque agora P se torna a origem (0, 0) chega-se que 2 20 0 0 0, 2 2 2 2( ) ( )P Qax by c a ax by c bda b a b + + + + | | | |= + ||+ +\ . \ .= 2 2 20 0,( ) ( )P Qax by c a bd+ + +=0 02 2 22 2( )ax by ca ba b+ +=++. Logo, d-se por distncia de P a r a seguinte expresso: 2 20 0,b ac by axdr P++ += 17 No caso particular em que, no sistema original XOY, o ponto P seja a origem (0,0), a expresso fica reduzida : 2 2,b acdr P+=. III.6 - Distncia entre duas retas paralelas. Sejam 2 1r e r deequaes01 = + + c by ax e02 = + + c by ax respectivamente.Paraseobteradistncia entre 2 1r e r ,bastapegarumpontoquepertenaaumadasretasecalcularadistnciadessepontoata outra reta. Seja. ) , (1 0 0r y x P Assim, 1 0 0c by ax = + .2 21 22 22 0 0,b ac cb ac by axdr P+=++ += . Logo,2 21 2,2 1b ac cdr r+= 01)(MACK)Umsegmentoderetade comprimento8movimenta-senoplanomantendo suasextremidadesPeQapoiadasnoseixos0xe 0y,respectivamente.Entreospontosdolugar geomtrico descrito pelo ponto mdio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa: a) 2 b) 1c) 0d) 1 e) 2 02)(ITA)Trspontosdecoordenadas, respectivamente,(0,0),(b,2b)e(5b,0),comb> 0, so vrtices de um retngulo. As coordenadas do quarto vrtice so dadas por: a) ( b, b)b) (2b, b) c) (4b, 2b)d) (3b, 2b) e) (2b, 2b) 03)(MACK)Nafigura,areadotringulo assinalado6.Entoadistnciaentreasretas paralelas r e s : a) 2 b) 3/2 c) 6/5 d) 7/5e) 8/5 04)(UFMG)Opontodaretasqueestmais prximo da origem A = (2,4). A equao da reta s a) x + 2y = 6b) x 2y + 10 = 0 c) y + 2x = 0d) 2y x = 10 e) y + 2x = 6 05) (VUNESP) Seja A a interseco das retas r, de equao y = 2x, e s, de equao y = 4x 2. Se B e Csoas interseces respectivasdessasretascom o eixo das abscissas, a rea do tringulo ABC : a) b) 1c) 2 d) 3e) 4 06)(FGV)Umpolgonodoplanodeterminado pelas inequaes x0, y0, 5x + 2y 20 e x + y 7. Seus vrtices so: a) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2 ,5) b) (0, 0), (4, 0) e (0, 7) c) (0, 0), (7,0) e (2 ,5)d) (0, 0), (7,0), (2 ,5) e (0, 10) 18 e) (4, 0), (7, 0), (0, 10) e (0, 7) 07)(FATEC)SeA=(-1,3)eB=(1,1),entoa mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-1,1)b) (-3/4, 3/4) c) (- 2 /2, 2 /2)d) (-1/2, 1/2)e) (-1/4, 1/4) 08) (ITA) Seja A o ponto de interseco das retas r e s dadas, respectivamente, pelas equaes x + y = 3ex-y=-3.SejamBeCpontossituadosno primeiroquadrantecomBreCs.Sabendoque d(A,B) = d(A,C) = 2 , ento a reta passando por B e C dada pela equao: a) 2x + 3y = 1b) y = 1 c) y = 2d) x = 1e) x = 2 09)(ITA)Sabendoqueoponto(2,1)oponto mdio de uma corda AB da circunferncia (x 1)2 + y2 = 4, ento a equao da reta que contm A e B dada por: a) y = 2x 3b) y = x 1c) y = x + 3 d) y = 3x/2 2e) y = (1/2)x + 2 10) (FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e perpendicularretaABondeA=(0,0)eBo centrodacircunfernciax2 +y2-2x-4y=20. Ento a equao de s : a) x 2y = 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3d) y x = 3 e) 2x + y = 6 11)(UFRS)UmcrculocomcentroC=(2,5) tangencia a reta de equao x 2y 7 = 0. O valor numrico da rea da regio limitada pelo crculo a) 4b) 5c) 6 d) 7e) 8 12) (UECE)Sejam Q1(x1,y1) e Q2(x2,y2) os pontos de interseco da reta de equao y + 2 = 0 com a circunfernciadecentronopontoP(-4,1)eraior centmetros.Sex10) tangente circunferncia(x 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ngulo que a reta forma com o eixo x:. a) 1/5b) 1/2 c) ( 3 )/2 d) ( 2 )/2e) 5 15) (ITA) Duas retas r1 e r2 so paralelas reta 3x y = 37 e tangentes circunferncia x2 + y2 2x y = 0. Se d1 a distncia de r1 at a origem e d2 a distncia de r2 at a origem, ento d1 + d2 igual a: a)12 b)15 c)7d)10 e)5 16)(FGV)NumtringuloABCsoconhecidoso vrtice A = (3,5) e as retas y 1 = 0 ex + y 4 = 0,suportesdeduasmedianasdotringulo.Areta que passa pelos vrtices B e C tem equao: a) 2x + 3y 2 = 0.b) 3x + y 1 = 0. c) x + 2y 1 = 0. d) 2x + y 1 = 0. e) x + 3y 1 = 0. 17)(ITA)Asretasy=0e4x+3y+7=0so retassuportesdas diagonaisdeumparalelogramo. Sabendoqueestasdiagonaismedem4cme6cm, ento, a rea deste paralelogramo, em cm2, vale: a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5 18)Determinarasequaesdasretastqueso paralelas a (s): 12x + 5y + 1 = 0 e tangentes a (): x2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0. 19) Determinar as equaes das retas t que passam por P(2,3) e so tangentes a (): x2 + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 20)Obter as equaes das bissetrizes dos ngulos formados pelas retas:r:3x+4y-1=0s:12x- 5y = 0 19 GABARITO 01) C02) C03) C04) B05) A06) A07) A 08) D09) C10) B11) B12) B13) A14) B 15) E16) C 17) B 18) 12x+5y+43=0, 12x+5y - 87=0 19) x + 2y - 8 = 020) 21x - 77y + 13 = 0 e 99x + 27y - 13 = 0 Captulo IV. Lugar Geomtrico Lugar Geomtrico (L.G.) uma regio do plano ou uma geometria em que todos os pontos obedecem a uma lei ou propriedade. IV.1 - Bissetrizes e sua equao Vimos em Geometria plana que bissetriz a reta que corta um ngulo em duas partes iguais. Vamos estender esse conceito para algo mais geral. Na verdade a bissetriz algo mais forte que isso e essa definio apenas uma conseqncia da definioformal de bissetriz. Bissetriz o lugar geomtrico dos pontos do plano que eqidistam de duas retas concorrentes dadas. Sejam 2 1r e r deequaes01 1 1= + + c y b x a e02 2 2= + + c y b x a ,respectivamente,talqueambassejam concorrentes. Vamos determinar as equaes das bissetrizes do ngulo formado por 2 1r e r . Assim,seja) , (0 0y x P umpontoqualquerdessabissetriz,entobastacalcularmosadistnciadesse ponto P uma das retas e igualarmos com a distncia desse mesmo ponto a outra reta. Logo temos: 2 1, , r P r Pd d =Logo:22222 0 2 0 2,21211 0 1 0 1,2 1b ac y b x adb ac y b x adr P r P++ += =++ +=assim, chegamos a seguinte equao: s bissetrize das Equaob ac y b x ab ac y b x a++ +=++ +22222 0 2 0 221211 0 1 0 1 Resolvendoessaequao(equaomodular),obteremosduasrespostas(umaequivalentebissetriz interna e outra equivalente bissetriz externa). Resolvemos essa equao da seguinte forma: ||.|

\|++ + =++ +22222 0 2 0 221211 0 1 0 1b ac y b x ab ac y b x a Exerccios resolvidos: R10) Determinar as equaes das bissetrizes de duas retas dadas: 20 a) r: 0 5 12 5 = + + y x es: 0 2 4 3 = + + y x Soluo: Aplicando a definio de bissetriz temos: s P r Pd d, ,= . Seja P(x0, y0).++ +=++ +2 20 02 20 04 32 4 312 55 12 5 y x y x+ +=+ +52 4 3135 12 50 0 0 0y x y x 1 caso: + +=+ +52 4 3135 12 50 0 0 0y x y x0 1 8 14 26 52 39 25 60 250 0 0 0 0 0= + + + = + + y x y x y x81470 0+ = x y 2 caso: |.|

\| + + =+ +52 4 3135 12 50 0 0 0y x y x0 51 112 64 26 52 39 25 60 250 0 0 0 0 0= + + = + + y x y x y x11251740 0+= x yOBS.: Repare que o coeficiente angular do 1 caso 47 e o do 2 caso 74 . Como j era esperado, veja que174.47 =, logo, realmente, as bissetrizes interna e externa formam um ngulo de 90. P27-)Determinaraequaodolugargeomtrico dospontosdoplanoemqueadistnciadeum ponto qualquer desse LG at a reta r: 6x + 8y 1 = 0 igual a distncia dessemesmo pontoat reta s: 5x 12y + 2 = 0. P28-)Determinaraequaodolugargeomtrico dospontosdoplanoemqueadistnciadeum ponto qualquer desse LG at a reta r: 4y + 3x + 2 = 0 igual a distncia dessemesmo pontoat reta s:7x+24y5=0.Verifiquequeasretas encontradas nesse LG so perpendiculares. P29-)Determinaraequaodolugargeomtrico dos pontos do plano que eqidistam 5 unidades do ponto P(0, 0). P30-)Determineaequaodolugargeomtrico dos pontos do plano determinado pelas equaes: = =t yt x 5 2 P31-)Determinaraequaodolugargeomtrico determinado pelas equaes abaixo: ==t ysent xcos P32-)Determinaraequaodolugargeomtrico determinado pelas equaes abaixo: |.|

\| + ==t sen ysent x21 P33-)Determineaequaodolugargeomtrico dos pontos do plano que eqidistam de dois pontos fixos dados. P(0, 0) e Q(5, 5). P34-)Determinaraequaodolugargeomtrico dospontosdoplanoemqueadistnciadeum ponto qualquer desse LG at a reta r: 3x + 4y 1 = 0 igual a n vezes a distncia desse mesmo ponto at reta s: 5x 12y + 2 = 0. P35-)Ummeninoestsentadonamesapara almoar.Derepenteelevumaformigaandando sobre a mesa e repara que o inseto anda 2 cm para a direita e sobe 3 cm. Cada vez que a formiga subia 21 os3cmomeninofaziaumfurinhonamesada cozinha(tentandomataraformigaenunca conseguiaporquequandoelefuravaatoalhaa formiga j tinha sado do lugar). Determine o lugar geomtrico marcado pelos furos na toalha da mesa. Suponhaqueaorigemdosistemadecoordenadas estava no primeiro furo que o garoto fez na toalha da mesa. P36-) Determine o lugar geomtrico dos pontos do plano que so determinados pelas equaes: + =+ =122t t yt x. Faa um esboo desse lugar geomtrico. P37-) So dadas duas retas, r: 3x + 4y 3 = 0 es: 7x + 24y 1 = 0. Determine o lugar geomtrico dos pontos do plano tais que duas vezes a distncia dessespontosataretartrsvezesadistncia desses pontos reta s. 2 Desafio Determinaraequaodolugargeomtricodospontosdoplanoquepossuemiguais potncias em relao duas circunferncias dadas. C1 uma circunferncia centrada em O1(0, 0) e de raio R1 igual a 5. C2 outra circunferncia com centro O2(10, 0) e de raio R2 igual a 3. Obs.: A potncia de um ponto externo uma circunferncia dado por:( )2 2,) ( R d O PotO P =em que O o centro dessa circunferncia. 22 25250 50 0 0 12 8 0 0 0 14 28 24 4 00 00 72 74 64 22 00 0= = = + + + + + =LL Captulo V. Outras consideraes para o OCAP Lembra do OCAP? Como vimos acima, se aplicssemos alguns pontos no OCAP e se o resultado fossezeroospontosestariamalinhados?EseoOCAP0?Oquesignificariaessevalor?Ovalorde 2OCAPrepresentaareadopolgonoformadopelospontosaplicados,quandoobedecidaumaordemde aplicao dos pontos no OCAP. Vamos demonstrar esse resultado. Vamossuporaexistnciadeumpolgonodenlados,comvrtices 1 1 1( , ) A x y , 2 2 2( , ) A x y , ,( , )n n nA x y . Fazendo o OCAP com todos esses pontos nessa ordem se obtm a expresso: 2 1 3 2 4 3 5 4 1 1 1 2 2 3... ( ...n n nOCAP xy x y xy x y xy x y x y xy= + + + + + + + + +1 1)n n nx y xy+ + . possvel provar, usando o produto vetorial entre dois vetores, que odobrodareadeumtringulodadapelo determinante:1 12 2 1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 33 311 ( )1x yx y x y xy x y xy x y x yx y= + + + + . Aplicandonessedeterminanteospontos 1 2 3A A A , 1 3 4A A A , 1 4 5A A A ,..., 1 1 n nA A Aesomandotodosos resultados, chega-se a expresso: 3 1 12 ( ... )nS x x y= + +1 3 1( ... )nx y y+ + +2 1 3 2 4 3 1( ... )n nxy x y xy xy+ + + + + 3 1 1( ... )nx x y + +1 3 1( ... )nx y y + +1 2 2 3 3 4 1 1 1( ... )n n n nx y xy x y x y x y xy OCAP + + + + + = . Logo 2OCAPS = .EsseresultadomuitopoderosoemostraqueseforfeitooOCAPcomospontos num determinado sentido, de forma que se feche o polgono, o resultado desse OCAP o dobro da rea desse polgono. Ex.: Seja o polgono de 6 lados com vrtices em: A(0,0), B(0,2), C(2,4), D(6,4), E(7,2), F(7,0). Determinar a sua rea. Jeito trabalhoso de soluo: Desenhar o polgono, dividi-lo em figuras conhecidas, calcular cada rea e depois som-las. Modo prtico de resoluo: Aplicar o OCAP, tirar o mdulo e dividir por dois. Veja: que o valor da rea desse

polgono estranho. 23 P38-)Verifique se os pontos abaixo esto alinhados. Caso no estejam, determine a rea do polgono formado. Lembre-sequeparadeterminararea,deve-secolocarospontosnoplano,escolherumdessespontose adotar uma ordem (sentido horrio ou anti-horrio) para o L.a)A(0, 0), B(0, 3), C(1, 4), D(3, 5), E(5, 5), F(5, 2) b)A(-1, 0), B(0, 4), C(2, 4), D(3, 5), E(-2, 5) c)A(5, 0), B(4, 3), C(1, 2), D(0, 3) d)A(1, 2), B(-1, 0), C(4, 5), D(-8, -7) e)A(2, 1), B(5, 4), C(-3, -4), D(0, -1) f)A(0, 0), B(1, 2), C(3, 3), D(3, 2) g)A(-1, 0), B(-1, 1), C(0, 2), D(3, 3)h)A(1, 1), B(2, 2), C(1, 0 ), D(2, -2) P39-) Dado o hexgono A(0, 0), B(1, 2), C(2, 2), D(3, 0), E(2, -2), F(1, -2). Sejam M, N, P os pontos mdios de AB, CD, EF respectivamente. Determine: a)A rea do tringulo MNP b)As coordenadas do baricentro de MNP c)Angulo entre MN e NPd)A rea do hexgono. P40-) Uma curva de equao25 ) 3 (2 2= + y xcorta os eixos coordenados nos pontos A, B, C e D. Determine a rea desse quadriltero formado por esses quatro pontos. P41-) Uma curva de equao116 92 2= + y x corta os eixos coordenados nos pontos A, B, C e D. Determine a rea do quadriltero formado por esse quatro pontos. Captulo VI. Cnicas Nessecaptulovamosestudaralgunstiposparticularesdelugaresgeomtricos.Essenomecnicas, realmente, no vem toa, ele surge pois as figuras que vamos estudar so resultados de cortes de planos em cones duplos. Veja as figuras abaixo: Veja que quando se toma um cone duplo e se faz um corte atravs de um plano paralelo base desse cone, a figura resultante o que chamamos de circunferncia. Ao inclinarmos esse plano de seco, o corte 24 resultante gera outra figura que chamada de elipse. No caso de se fazer um corte nesse mesmo cone atravs de um plano paralelo geratriz do cone obtm-se como figura resultante uma parbola. No ltimo caso, faz-seumcorteusandoumplanoperpendicularaoplanodabasedocone,assimseobtmdoisramosde hiprbole. VI.1 - Circunferncia o L.G. dos pontos) , ( y x PLplano que eqidistam de um ponto dado fixo ) , (0 0 0y x P . Essa distncia fixa chamada raio. Veja sua equao!!! quadrado ao membros os ambos elevando r y y x x r dO LP P = + =2020 ,) ( ) ( .

2 2 20 0( ) ( ) x x y y r Equaoreduzida dacircunferncia + = Desenvolvendo a equao reduzida, encontramos a equao geral da circunferncia. . 0 ) ( 2 22 2020 0 02 2ncia circunfer da geral Equao r y x y y x x y x = + + + Dadaumaequaogeraldacircunferncia,queremosidentificaroraioeocentroC(x0,y0).Basta dividir o coeficiente do termo em x por -2 (pronto achamos o x0), fazendo o mesmo com o coeficiente do termo em y, achamos o y0. Para determinar o raio, fazemos o seguinte:n y x R + =2020onde n o termo independente de x e y dado na equao. R11) Dadas as equaes de circunferncias abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro : a)0 10 6 82 2= + + y x y x b)0 1 11 52 2= + + + y x y x Soluo: a) Primeiro vamos olhar para o coeficiente do termo em x. Basta dividi-lo por -2 e obtemos o x0. Fazemos o mesmocomocoeficientedotermoemy.Assim:326428== ==c cy e x ,logoC(4,3).Paraacharoraio, basta calcular: R =15 10 3 42 2= + b) 25250== x2112110== ylogo |.|

\| 211,25C e2711211252 2= |.|

\| + |.|

\|= R 25 P42-)Dadasasequaesdecircunferncias abaixo,identificaroraioeascoordenadasdo centro : a)0 5 2 82 2= + + + + y x y x b) 0 3 9 72 2= + + + y x y x c)0 2 4 22 2= + + y x y x P43-) Monte as equaes das circunferncias: a)C(0, 0),r = 5 b)C(1, -3), r = 8 c)C(-1, -1), r = 1 d)C(0, 5),r =2 P44-)IndiqueocentroCeoraiodas circunferncias abaixo. a)x2 + y2 + 2x = 3 b)x2 + y2- 5x + 2y = 0 c)x2 + y2 + 5x= 1 d)x2 + y2- 5y 5x = 0 P45-) D a rea da regio hachurada. VI.1.1 - Posies relativas entre ponto e circunferncia DadaacircunfernciaC: 2 2 2) ( ) ( R y y x xC C= + eoponto) , (0 0y x P .SubstitumosopontoPna equao da circunferncia, calculamos o resultado e tiramos a seguinte concluso: Se 2 2020) ( ) ( R y y x xC C< + , P interior; Se 2 2020) ( ) ( R y y x xC C= + , PC ; Se 2 2020) ( ) ( R y y x xC C> + , P exterior; VI.1.2 - Posies relativas entre reta e circunferncia Dada a circunferncia C:2 2 2) ( ) ( R y y x xC C= + e a reta r: 0 = + + c by ax . Isolando y ou x e substituindo em C, encontraremos uma equao do 2 grau em x ou y, respectivamente. Logo, para que r seja secante a C, bastaqueessaequaotenhaduassoluesreaisdistintas;paraquersejatangenteaCdevehaveruma soluo real; para que r seja exterior C, a equao no pode ter soluo real. r secante:0 > ; r tangente:0 = ; r exterior:0 < ; R12) Determinar a posio relativa entre a circunferncia C:0 10 6 82 2= + + y x y xe a reta r: -2x + y + 1 = 0. Determine tambm a sua interseco se houver. Soluo: 26 Vamosisolaroynaequaodareta:1 2 = x y .Substituindonaequaodacircunferncia temos: 0 10 ) 1 2 ( 6 8 ) 1 2 (2 2= + + x x x x 0 17 24 52= + x x 0 236 340 576 > = = ,logorsecanteC.Continuando a resolver a equao, temos 559 12 = x . De fato temos dois valores de x, pois so dois pontos de interseco entre a reta e a circunferncia. Para 559 12 += xtemos 559 191559 122+= ||.|

\|+= yPara 559 12 += xtemos 559 191559 122= ||.|

\|= y . Logo os pontos de interseco entre a circunferncia e a reta so: ||.|

\|+ +559 19,559 121Pe ||.|

\| 559 19,559 122P . P46-)Indiqueaposiorelativaentreasretaseascircunfernciasabaixo,bemcomosuasinterseces(se tiverem): a) x2 + y2= 25 ey = x + 1b) x2 + y2= 25 ey = x 10c) (x 1)2 + (y 3)2 = 9eOxd) x2 + y2 + 2x= 8e2y 4x + 6 = 0e)(x 1)2 + y2 2y= 15ey = 3x VI.1.3 - Posies relativas entre circunferncias Seja 2 1C Cd a distncia entre os centros das circunferncias e 2 1r e r os seus raios. Semelhantemente ao feito com as interseces de retas e circunferncias, podemos fazer entre circunferncias, ou seja, isolamos o x ou o y das equaes e as igualamos. Resolvendo a nova equao podemos encontrar uma, duas ou nenhuma soluo,assim,podemosdizersesotangentes,secantesousempontosemcomum,respectivamente.O problemaqueapenasasoluodaequaonosuficienteparasabersesotangentesexterioresou interiores, por exemplo. Assim fazemos as seguintes anlises abaixo: 2 1C Cd > +2 1r r2 1C Cd =d r r + +2 1, d > 0, trata-se de circunferncias exteriores; + =2 12 1r r dC Cd = 0, trata-se de circunferncias tangentes exteriores; 27 2 12 1r r dC C = , temos circunferncias tangentes interiormente; 2 1 2 12 1r r d r rC C+ < < , temos circunferncias secantes; 2 12 1r r dC C < , caso em que a circunferncia de raio menor interior outra; P47-) Dadas as equaes abaixo, determine a posio relativa entre as circunferncias. Lembre-se que no necessrio desenhar as circunferncias, basta calcular a distncia entre os seus centros e comparar com a soma dos raios e a diferena dos raios. a)x2 + y2 = 1e(x 1)2 + y2= 1.b)(x 1)2 + (y 5)2 = 1e (x 2)2 + (y 3)2 = 1 c)x2 + (y 2)2 = 1ex2 + y2+ 6y 2x+ 6 = 0 d)x2 + y2 2y = 3ex2 + y2 10y+ 21 = 0 e)x2 + y2 = 121ex2 + y2 4y 4x= 8 VI.2 Elipse A elipse o nome dado ao LG dos pontos do plano tais que a soma das distncias de qualquer ponto desse LG a dois pontos fixos, chamados focos, constante e igual a 2a. Vamos achar a equao de uma elipse. 28 = + = + a d d a PF PFF P F P2 22 1, , 2 1 = + + + a y c x y c x 2 ) 0 ( )) ( ( ) 0 ( ) (2 2 2 2 |.|

\|+ + = |.|

\|+ 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 4 7 6quadrado ao membros os ambos elevandoy c x a y c x22 222 2) ( 2 ) ( + + + + + = + 2 2 2 2 2 2 2) ( 4 ) ( 4 ) ( y c x a y c x a y c x ( ) |.|

\|+ + = + + + + = 4 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 4 4 7 6quadrado ao membros os ambos elevandoy c x a a cx y c x a cx a cx22 222 2 2 2) ( ) ( 4 2 4 2 + = + + + = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 22 2 x c x a y a c a a c a cx a x a y a cx a a x c + = + = + = = =22 2222 222 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2) ( ) ( xb abyb aab ab ab x y a b a c a x y a c a ab a por membros os ambos dividindob b4 4 4 8 4 4 4 7 6 8 7 6 8 7 6 elipse da equaobyax = + 12222. elipse da completa equaoby yax xc c =+1) ( ) (2222 OBS.:Reparequesea=b,camosnaequaodeumacircunferncia: 2 2 2) ( ) ( a y y x xc c= + ,logo conclumos que toda circunferncia um caso particular de uma elipse. VI.2.1 - Caso particular da elipse sobre Ox e seus elementos Equao:12222= +byax Semi-eixo maior: 2a Semi-eixo menor: 2b Excentricidade: e =ac, sempre 0.Assimsendo,areadaregio hachurada, formada pelos dois retngulos : (A)log102 (B)log103 (C)log104 (D)log105 (E)e)log106 05.(FUVEST-2000)Dasregieshachuradasna seqncia, a que melhor representa o conjunto dos pontos(x,y),doplanocartesiano,satisfazendoo conjunto de desigualdades x0; y0; x y + 10; x2 + y29,: (A)(B) (C)(D) (E) nda 06.(FUVEST-1999)Umpirataenterrouum tesouronumailhaedeixouummapacomas seguintes indicaes: o tesouro est enterrado num pontodalinharetaentreosdoisrochedos;esta maisde50mdopooeamenosde20mdorio (cujo leito reto). a)Descreva,usandoequaeseinequaes,as indicaesdeixadaspelopirata,utilizandopara isto o sistema de coordenadas mostrado na figura. b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenadaxdoponto(x,0)ondeotesouroest enterrado. 07.(FUVEST - 1999) A reta r tem equao 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1,2) e perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) Determine a equao de s. b) Calcule a rea do tringulo ABC. 08.(FUVEST 2003) A) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferncia C passapelospontos(1,0)e(3,0)etemcentrono 33 eixox.Paraqualvalordemaretartangentea C? B) Suponha agora que o valor de m seja menor que aqueledeterminadonoitemanterior.Calculea readotringulodeterminadopelocentrodeCe pelos pontos de interseco de r com C. 09.(FUVEST2003)Duasretassetdoplano cartesianoseinterseptamnoponto(2,2).O produto de seus coeficientes angulares 1 e a reta s interseptaoeixodosynoponto(0,3).Areado tringulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t : A)2 B) 3 C)4 D)5 E)6 10.(FUVEST2003)Osistema = += + +1 y cx0 y ) 1 c ( x, onde00 c ,admiteumasoluo(x,y)comx= 1. Ento, o valor de c : A)-3B)-2C)-1 D)1 E)2 11.(FUVEST2003)Noplanocartesiano,os comprimentosdesegmentosconsecutivosda poligonal, que comea na origem 0 e termina em B (verfigura),formamumaprogressogeomtrica derazop,com0 0, so vrtices de um retngulo. As coordenadas do quarto vrtice so dadas por: (A) (-b, -b) (B) (-2b, -b) (C) (4b, -2b) (D) (3b, -2b) (E) (-2b, -2b) 78.(ITA-1995)ConsidereCumacircunferncia centrada em O e raio 2r, e t a reta tangente a C num pontoT.ConsideretambmAumpontodeCtal que AT = um ngulo agudo. Sendo B o ponto 40 de t tal que osegmentoABparalelo ao segmento OT , ento a rea do trapzio OABT igual a: (A) r2(2 cos - cos 2) (B) 2r2(4 cos - sen 2) (C) r2(4 sen - sen 2) (D) r2(2 sen + cos ) (E) 2r2(2 sen 2 - cos 2) 79.(ITA-1996)Tangenciandoexternamentea elipse 1, tal que 1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse 2, de eixo maior sobre a reta quesuportaoeixomenor de 1ecujoseixostm mesma medida que os eixos de 1. Sabendo que 2 estinteiramentecontida noprimeiroquadrante,o centro de 2 : (A) (7,3)(B)(8,2) (C)(8,3) (D)(9,3)(E)( 9,2) 80.(ITA - 1996) So dadas as parbolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: y = x2 - 3x + 11/4 cujos vrtices so denotados,respectivamente,porV1 eV2.Sabendo queraretaquecontmV1eV2,entoa distncia de r at origem : (A) 265(B)267(C)507 (D)5017(E)7411 81.(ITA-1996)Sodadasasretasr:x-y+1+ 2 = 0 e s:3 x + y - 2 3= 0 e a circunferncia C: x2 + 2x + y2 = 0. Sobre a posio relativa desses trs elementos, podemos afirmar que: (A)ressoparalelasentresieambasso tangentes C. (B)r e s so perpendiculares entre si e nenhuma delas tangente aC. (C)ressoconcorrentes,rtangenteCes no tangente C. (D)ressoconcorrentes,stangenteCer no tangente C. (E)ressoconcorrenteseambasso tangentes C. 82.(ITA - 1996) Sabendo que o ponto (2,1) ponto mdio de uma corda AB da circunferncia (x - 1)2

+ y2 = 4,ento a equao da reta que contm A e B dada por: (A) y = 2x 3 (B) y = x-1(C) y = -x + 3 (D) y = 3x/2 - 2(E) y = -x/2 + 2 83.(ITA - 1997) Seja m *+, tal que a reta x - 3y - m = 0 determina,na circunferncia (x - 1)2 + (y +3)2=25,umacordadecomprimento6.Ovalor de m : (A) 10 + 4 10 (B)2 + 3 (C)5- 2(D)6 + 10 (E)3 84.(ITA - 1997) Seja A o ponto de interseco das retas r e s dadas, respectivamente pelas equaes x + y = 3 e x + y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B r e C s. sabendo qued(A,B)=d(A,C)=2 ,entoaretapassando por B e C dada pela equao: (A) 2x + 3y = 1(B)y = 1(C)y = 2 (D)x = 1(E)x = 2 85.(ITA - 1997) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (2,0)eC:(0,3).SejaP:(x,y)opontoda intersecodasbissetrizesinternasdotringulos ABC. Ento x + y igual a: (A) 12/(5 +13 )(B)8/(2 +11 ) (C)10/(6 + 13 )(D)5 (E)2 86.(ITA-1998)ConsidereahiprboleHea parbolaT,cujasequaesso,respectivamente, 5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1). Ento, o lugar geomtrico dos pontos P, cuja soma dosquadradosdasdistnciasdePacadaumdos focos da hiprbole H igual ao triplo do quadrado da distncia de P ao vrtice da parbola T, : (A) a elipse de equao13) 2 y (4) 3 x (2 2=++. (B) a hiprbole de equao14) 3 x (5) 1 y (2 2=++. (C) O par de retas dadas por y = (3x - 1). (D) A parbola de equao y2 = 4x + 4. (E) Acircunfernciacentradaem(9,5)eraio 120 . 87.(ITA - 1998) As retas y = 0e 4x + 3y + 7 = 0soretassuportesdasdiagonaisdeum paralelogramo.Sabendoqueestasdiagonais medem4cme6cm,ento,areadeste paralelogramo, em cm2, vale: 41 (A) 536 (B)427C)344

(D)348 (E)548 88.(ITA-1990)Sejamaebconstantesreais positivas. Considere x = a2 tg t + 1ey2 = b2 sec2t - b2onde 02t< . Ento uma relao entre x e y dada por: (A)a x , ) 1 x (aby2 =(B)1 x , ) 1 x (aby242 =(C) = x ), 1 x (aby2 (D) 1 x ), 1 x (aby2 = (E) 1 x ), 1 x (bay22 = 89.(ITA-1990)Sejamasretas(r)e(s)dadas respectivamente pelas equaes 3x - 4y + 12 = 0e3x - 4y + 4 = 0. Considere ( l ) o lugar geomtrico doscentrosdascircunfernciasquetangenciam simultaneamente(r)e(s).Umaequaoque descreve ( l ) dada por: (A) 3x - 4y + 8 = 0(B) 3x + 4y + 8 = 0(C) x - y + 1 = 0 (D) x + y = 0(E) 3x - 4y - 8 = 0 90.(ITA - 1990) Seja C o centro da circunferncia x2 + y2 - 6 2 y = 0. Considere A e B os pontos de interseo desta circunferncia com a reta y =2 x .Nestascondiesopermetrodotringulode vrtices A, B e C : (A)3 2 6 + (B) 2 3 4 +(C) 3 2 + (D) 2 3 5 + (E)n.d.a. 91.(ITA-1990)Considereareta(r)mediatrizdo segmentocujosextremossoospontosemquea reta2x-3y+7=0interceptaoseixos coordenados.Entoadistnciadoponto(61,41) reta (r) : (A) 23 5 (B)134 (C) 13(D)73 2(E)32 92.(ITA-1990)Considerearegiodoplano cartesianoxOydefinidapelasdesigualdadesx-y< 1,x+y>1e(x-1)2+y20.O lugar geomtrico dos pontos P = (x,y) tais que de 3r2 a diferena entre o quadrado da distncia de P a A e o dobro do quadrado da distncia de P reta y = -r : (A)umacircunfernciacentradaem(r,-2r) com raio r. (B)umaelipsecentradaem(r,-2r)comsemi-eixos valendo r e 2r. (C)uma parbola com vrtice em (r, -r) (D)duasretasparalelasdistandor 3 umada outra. (E)umahiprbolecentradaem(r,-2r)com semi-eixos valendo r. 107.(ITA2001)Ocoeficienteangulardareta tangente elipse19 162 2= +y x no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto P = (8,0) : (A) 33 (B) 21 (C)32 (D)43 (E)42 108.(ITA2003)Considereafamliade circunferncias com centros no segundo quadrante etangentesaoeixoOy.Cadaumadestas circunfernciascortaoeixoOxemdoispontos, distantesentreside4cm.Ento,olugar geomtricodoscentrosdestascircunferncias parte: A)de uma elipse. B)de uma parbola. C)de uma hiprbole. D)de duas retas concorrentes E)da reta y = -x 109.(ITA2003)Areadopolgono,situadono primeiroquadrante,quedelimitadopeloseixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) R2 : 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, igual a: (A)6(B)25(C) 2 2(D)3(E)310 110.(ITA2003)Sabe-sequeumaelipsede equao1byax2222= + tangenciainternamentea circunferncia de equao x2 + y2 = 5 e que a reta deequao3x+2y=6tangenteelipseno ponto P. Determine as coordenadas de P. 111.(IME-1997)DadosospontosAeBdo plano,determineaequaodolugargeomtrico dospontosPdoplano,detalmodoquearazo entreasdistnciasdePaAedePaBsejadada porumaconstantek.Justifiqueasuaresposta analiticamente,discutindotodasaspossibilidades para k. 112.(IME-1999)ABCDumquadradodelado l , conforme figura abaixo. Sabendo-se que K a somadosquadradosdasdistnciasdeumpontoP doplanodefinidoporABCDaosvrticesde ABCD, determine: OvalormnimodeKeaposiodopontoPna qualocorreestemnimo;olugargeomtricodo ponto P para K = 4 2l . 113.(IME-2000)Calculeascoordenadasdos pontosdeinterseodaelipsecomahiprbole, representadas na figura abaixo, sabendo-se que: a)ospontosCeC'soosfocosdaelipseeos pontos A e A' so os focos da hiprbole; b)BB' o eixo conjugado da hiprbole; c)OB = OB' = 3m e OC = OC' = 4m. 114.(IME - 2001) Sejam r, s e t trs retas paralelas nocoplanares.Somarcadossobrerdoispontos AeA,sobresospontosBeBesobretos 44 pontos C e C de modo que os segmentosa AA = ' , b BB= 'ec CC= 'tenham o mesmo sentido. a) MostrequeseGeGsoosbaricentrosdos tringulos ABC e ABC, respectivamente, ento ' GG paralelo s trs retas. b) Determine' GGem funo de a, b e c. 115.(IME 2002) Considere uma parbola de eixo OXquepassepeloponto(0,0).Define-sea subnormalemumpontoPdaparbolacomoo segmentoderetaortogonaltangentedacurva, limitadopelopontoPeoeixofocal.Determinea equaoeidentifiqueolugargeomtricodos pontos mdios das subnormais dessa parbola. 116.(IME-89) Dada a equao: 0 14 3 ) 1 ( 4 22 2= + + + + m y m mx y xa)Determine os valores de m, para que esta equao corresponda a um circulo. b)Determine o lugar geomtrico dos centros desses crculos. 45 CASD VestibularesGeometria Analtica Filipe Rodrigues CCCaaappptttuuulllooo IIIXXX GGGaaabbbaaarrriiitttooosss Respostas dos exerccios propostos P1. a)5b)13 c)10d)13 P2.82 18 2 + = p P3. 3 10 = = = = = = FB EA DF CE BD ACEsse hexgono regular. P4. a)x = - 4; y = 5,5;b)x = 4 ou x = -2; y = 4; a)x = - 1; y = -2; P5. G = (0, 3 2 ) P6. a) |.|

\|=29,47Bb) |.|

\|=317,37Bc) |.|

\|=725,711B d) |.|

\|=310,67B e) |.|

\|=511,53B P7. C = (4, 9) P8. a) simb) no c) simd)noe) nof)no P9. s = r P10. 2 + = r s P11. 232 + =rs P12. 2 = rP13. 8 2 + = r s *P14. 0 18435 = +rs P14. a) y 2x = 0 b)2x 3y + 5 = 0 c) y x 3 = 0 d) y 5x + 3 = 0 e) 2y x + 2 = 0 f)y = 0 P15. a) G(1, 1)b)MAB(1, 3/2),MBC(3/2, 3/2), MAC(1/2, 0)c) y = x.d) y =2x 1.e) x = 1.f) 2y 6x + 3 = 0. g)4y 6x + 3 = 0.

*P16. ||.|

\|=33 10,320E P16. a) (-1, -7) b)(5/4, 0) c)(11/7, -60/7) d)(0, -2) e)(-3/2, -7/2)f) (-1, -8) g) (0, 2/3) P17-)Acheasintersecesentreasretasabaixoeoseixos Ox e Oy: a) Ox (1, 0)Oy (0, 2/3) b) Ox (-7/3, 0) Oy (0, 7/6) c) Ox (0, 0)Oy (0, 0) d) Ox (4, 0)Oy (0, -2) P18. 2 2 5 = m P19. r:2y 3x + 4 = 0. P20. r: 2y 3x- 3 = 0. P21. a) = 45 b) = 0 c) = 90 d) = arctg(3/11) e) = arctg 2 46 P22. r: y = 2x P23. r: y = x + 1 P24. t: y + 2x + 1 = 0 P25. C(1 +3, 2 - 3 ) D(1 - 3 , 2 +3 ) P26. B(0, 3)D(2, 1) P27. 0 33 224 28 :1= + y x b0 7 16 128 :2= + y x b P28. 0 15 8 4 :1= x y b0 5 44 22 :2= + + y x b P29. x2 + y2 = 25 P30. 0 5 2 = x y P31. x2 + y2 = 1 P32. x2 + (y - 1)2 = 1 P33. 5 + = x y P34. 0 ) 10 13 ( ) 60 52 ( ) 25 39 ( : = + + n y n x n s0 ) 10 13 ( ) 60 52 ( ) 25 39 ( : = + + + n y n x n sP35. 23xy = P36. 1 32+ = x x y P37. 0 27 32 9 : lg1= y x0 33 112 51 : lg2= + y x P38. a) No. S = 35/2 b)No. S = 9c)No.S = 7d) Sim. e) Sim.f) No. S = 3 g) No. S =3 h) No. S = 5/2 P39. a) S = 3.b)G(3/2, 0)c) = arctg 3 d) S = 8 P40. S = 40 P41. S = 24 P42. a)C(-4, 1), raio:10 . b)C |.|

\| 29,27, raio: 2118. c)C(1, 2), raio:3 . P43. a) x2 + y2 = 25 b) (x 1)2 + (y + 3)2 = 64 c) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1d) x2 + (y 5)2 = 2 P44. Resp. a)C(-1, 0) r = 2; b) C(5/2, -1)r =229 c)C(-5/2, 0) r =229; d) C(5/2, 5/2)r =22 5 P45. S = 25 2) 1 5 ( 3 P46. a) secante A(-4, -3) e B(3, 4) b) No h interseco. c) Tangente A(1, 0) d) secante A||.|

\|+ +520 2 5,520 5e B ||.|

\| 520 2 5,520 5 e)secante A||.|

\|+ +539 3 6,539 2 e B ||.|

\| 539 3 6,539 2 P47. a) sec.b) sec. c) exteriores d) tangentese) interiores P48. a)C(2, 3),V1(-3, 3), V2(7, 3) 47 F1(-1, 3),F2(5, 3) b)Noexistemerealtalquearetay=mxsejatangente essa elipse P49. a) C(1, 0),V1(0, 13), V2(0, -13) F1(0, 5),F2(0, -5) b) 135= ec)(x 1)2 + y2 = 169 d)(x 1)2 + y2 = 144 P50. 912 = m P51. 116 252 2= + y x P52. L = 20 P53. 19) 3 (25) 4 (2 2=+ y x P54. 125) 1 (9) 1 (2 2=+ y x P55. 1 ) 1 (2) 1 (22= +yx P56. 1 ) 1 (2) 2 (22= +yx P57. a)14) 1 (812 2=+y x b)1 ) 1 (2522= + + yx c)149 9) 3 (2 2= + y x d)1922= + yx