Geometria EspacialElementos de Geometria

Espacial Prof. Fabiano

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da

Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação

entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial,

são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.

Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

O Plano

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); Um ponto e uma reta que não contem o ponto; Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; Duas retas paralelas que não se sobrepõe; Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; Duas retas concorrentes; Dois segmentos de reta concorrentes.

PoliedrosSão sólidos do espaço de 3 dimensões cuja fronteira é a reunião de partes de planos.

7 facesHeptaedro6 facesHexaedro5 facesPentaedro4 facesTetraedro

Poliedros de Platão

O filósofo Platão nasceu em Atenas (Grécia), em 428 / 427 a.C. A primeira paixão de Platão foi a política. Mais tarde, a filosofia se tornou a finalidade de sua vida.Há cerca de 2400 anos, os poliedros regulares foram estudados na escola de Platão, por isso recebem o nome de Poliedros de Platão.     

Esse filósofo professou que o mundo foi criado a partir de 4 elementos básicos: a terra, o ar e a água. Platão associou cada um dos elementos a um dos poliedros regulares. O último poliedro que Platão estudou foi o dodecaedro. Platão associou este sólido ao cosmos (Universo)

Tetraedro: fogoCubo ou Hexaedro: terraOctaedro: arDodecaedro: cosmosIcosaedro: água

OS CINCO SÓLIDOS PLATÔNICOS

  Faces Arestas Vértices

Tetraedo 4 6 4Hexaedro 6 12 8Octaedro 8 12 6

Dodecaedro 12 30 20

Icosaedro 20 30 12

Relação de Euler

V – A + F = 2

Em qualquer poliedro convexo é válida a relação:Onde:

V = nº de vértices; A = nº de arestas; F = nº de faces.

S = (V-2).360

Soma dos ângulos das faces :

Cubo ou Hexaedro Regular

CaracterísticasVértices: 8Arestas: 12Faces: 6 Um Cubo é uma figura formada por 6 quadrados iguais, como mostra a figura ao lado.

Área da Base: AB = (lado)2

  Área Lateral: AL = 4(lado)2

Área total: AT = 6(lado)2

  Volume: V = (lado).(lado).(lado)

CUBO

V = a3

d

d´

a

aa

At = 6a2

d = a 3

d´ = a 2

Paralelepípedo Reto-Retângulo

Estrutura de um paralelepípedo:CaracterísticasVértices: 8Arestas: 12Faces: 6

É o sólido construído com seis retângulos, congruentes dois a dois, conforme ilustra a figura ao lado. AB = ab AL = 2(ac + bc)

PARALELEPÍPEDO

V = abc

d c

ba

St = 2(ab+ac+bc)d2 = a2+b2+c2

Prismas

Estrutura dos primas:Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto

As arestas laterais têm o mesmo comprimento.As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.As faces laterais são retangulares.

Prisma oblíquo

As arestas laterais têm o mesmo comprimento.As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.As faces laterais não são retangulares.

Os prismas podem ser quadrangulares, triangulares, hexagonais, pentagonais, etc... dependendo da forma de suas bases. 

Seção transversal de um prismaÉ a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Prisma regularÉ um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

PRISMASV = AB.h

AT =

Prisma Regular =

AT =

SOMA DAS ÁREAS DAS

FACES LATERAISAL + 2 AB

Prisma reto de bases regulares

Área da Base: AB = (área da fig da base)

Área Lateral: AL = n (face lateral)Área total: AT = 2AB + AL

Volume: V = AB. h

CilindroÉ o sólido como o representado na figura a seguir:

Área da Base:AB = πR2

Área Lateral: AL = 2πRh

Área total: AT = 2(πR2) + 2πRh

Volume: V = πR2h

V =

AL =

AT =

AB.h

AB = πR2

h

R

g

2πRg

AL + 2 AB

h

R

=

CILINDRO

Cilindro equilátero: g = 2R

Cone Circular Reto

É o sólido como o representado na figura abaixo:

Área da Base: AB = πR2

Área Lateral: AL = πRg 

Área total: AT = πR2 + πRg

Volume: hRV 2

31 π=

g = 2R

gh

R

AB = πR2

V =

g2 = h2 + R2

AB.h3

AL = πRg

AT = AL + AB

Cone equilátero:

CONE

Pirâmide

São sólidos como o representado na figura acima. Se a base for um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre a base coincidir com o seu centro, a pirâmide é denominada pirâmide regular. onde :(h) altura da pirâmide.

(h)2 = (ap) 2 + (ab) 2 (ab) apótema da base (raio da circunferência inscrita). (ap) apótema da pirâmide, ou apótema lateral.

Área da Base: AB = (área da fig da base)

Área Lateral: AL = n (face lateral)

Área total: AT = AB + AL

Volume: hAA BL 31=

EsferaDevido às características especiais da esfera,

ela não pode ser planificada. Uma esfera é obtida fazendo-se a rotação

completa de um semicírculo sobre seu diâmetro. Com esse movimento, cada ponto do

semicírculo descreve uma circunferência que tem como centro um ponto qualquer do diâmetro

e cujo raio se torna maior à medida que aumenta a sua distância ao eixo. Todos os

pontos da superfície esférica estão à mesma distância de um ponto chamado centro.

Área do círculo máximo:A= πR2

Área da esfera: AT = 4πR2

Volume da esfera:

3

34 RV π=

SEÇÃO NA ESFERA

R2 = d2 + r2

O. R

. r.d

Cunha

Área do fuso:

Volume da cunha :

02 3604α

π=

RAF

03 360

34

α

π=

R

AF