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Febrero 6, 2008Principio de la presentación
© Prof. Dr. François E. Cellier
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Gráficos de Ligaduras I• Hasta ahora hablamos de modelado orientado a objetos, de
los sistemas EDA que resultan de aquellos modelos y de los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas que se requieren para convertir sistemas EDA implícitos a sistemas EDO explícitos. No discutimos todavía de donde vienen los sistemas EDA.
• Por esa razón tuvimos que limitar la discusión a sistemas muy simples (circuitos eléctricos y sistemas mecánicos en el plano) para las cuales ya conocemos los modelos de sus elementos.
• Ahora se desarrollará una metodología de modelado de sistemas menos bien conocidos y discutimos como pueden obtenerse modelos físicamente correctos para ellos.
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Contenido
• Energía y potencia• Flujos de potencia• Gráficos de ligaduras no causales• Un ejemplo• Gráficos de ligaduras causales
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Energía y Potencia• Todos los sistemas físicos tienen en común las leyes de la
conservación de la energía y de la masa.• Los gráficos de ligaduras tratan íntimamente con la
conservación de la energía en un sistema físico.• Ya que energía se conserva en un sistema cerrado, la
energía en un tal sistema puede modificarse solamente por tres mecanismos:
Energía puede ser almacenada.Energía puede ser transportada de un sitio a otro.Energía puede ser convertida de una forma a otra.
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Energía y Potencia II• La energía (E) acumulada en un lugar puede cambiar
solamente si energía adicional llega o si energía sale.• En los dos casos se necesitan flujos de energía que pueden
modelarse como derivadas de la energía con respecto al tiempo.
• La variable P se llama la potencia.• La energía tiene la unidad de Joule [J] mientras que la
potencia tiene la unidad de Watt [W].
P = dE/dt
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Energía y Potencia III• En todos los sistemas físicos flujos de potencia pueden
escribirse como productos de dos variables físicos diferentes. Una entre ellas es una variable extensiva (es decir, proporcional a la cantidad), mientras que la otra es un variable intensiva (independiente de la cantidad).
• En el caso de flujos de energía acoplados puede suceder que un solo flujo de energía tiene que modelarse por la suma de productos de tales variables adjuntas.
Ejemplos: Pel = u · iPmech = f · v
[W] = [V] · [A]= [N] · [m/s]= [kg · m2 · s-3]
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Flujos de Potencia• El modelado de sistemas físicos usando gráficos de ligaduras
se efectúa por una descripción gráfica de flujos de potencia.
• Los flujos de potencia se representan por arpones. Las dos variables adjuntas que representan el flujo de potencia se anotan por encima (variable intensiva: el “potencial” e) y por debajo (variable extensiva: el “flujo” f) del arpón.
• El anzuelo del arpón siempre se pone a la izquierda del arpón en la dirección del flujo positivo y el término “por encima” se refiere al lado del anzuelo.
ef
P = e · f e: Esfuerzof: Flujo
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Gráficos de Ligaduras no Causales
U 0iva vb
U0
+U0
iSe
I 0Iva vb
u
0 Sf uI0
Voltaje y corriente tienen direcciones opuestas
Energía se añade al sistema
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Elementos Eléctricos Pasivos en la Representación de Gráficos de Ligaduras
Riva vb
u
Civa vb
u
Liva vbu
ui
R
ui
C
ui
I
Voltaje y corriente tienen dirección idéntica
Energía se desangra del sistema
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Uniones
0e1
e2
e3f1
f2
f3
1e1
e2
e3f1
f2
f3
e1 = e2
e2 = e3
f1 – f2 – f3 = 0
f1 = f2
f2 = f3
e1 – e2 – e3 = 0
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Un Ejemplo Iv1
v2
v0
v1
v2
i0
iL
i1 i2
iC
i0
i0
i0
U0
v0v0
v0
v0
iL
iL
iLv1
v1
v1
i1
i1i1
u1
uL
v2 v2
v2
u2
uC
iC
iC
iC
i2
i2i2
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Un Ejemplo II
i0
i0
i0U0
v0v0
v0
v0iL
iL
iLv1
v1
v1
i1
i1i1
u1
uL
v2 v2
v2
u2
uC
iC
iC
iC
i2
i2i2
v0 = 0 P = v0 · i0 = 0
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Un Ejemplo III
i0U0
iL
v1
i1
i1i1
u1uL
v2 u2
uCiC
i2
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Gráficos de Ligaduras Causales • Cada ligadura define dos variables separadas: el esfuerzo e
y el flujo f.• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener
los valores numéricos de estas dos variables.• Resulta que una de esas dos variables se evalúa en un lado
de la ligadura y la otra en el lado opuesto.• Una barra vertical simboliza el lado donde se evalúa el
flujo.
ef
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“Causalización” de las Fuentes
U0 = f(t)
I0 = f(t)
U0
iSe
Sf uI0
La fuente define el esfuerzo.
El flujo tiene que evaluarse en el otro lado.
La fuente define el flujo.
La causalidad de las fuentes es fija.
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“Causalización” de los Elementos Pasivos
ui
Ru = R · i
ui
Ri = u / R
ui
Cdu/dt = i / C
ui
Idi/dt = u / I
La causalidad de resistores es libre.
La causalidad preferida de los elementos de almacenaje es decidida por el deseo de usar integradores en lugar de diferenciadores.
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“Causalización” de las Uniones
0e1
e2
e3f1
f2
f3
e2 = e1
e3 = e1
f1 = f2 + f3
1e1
e2
e3f1
f2
f3
f2 = f1
f3 = f1
e1 = e2+ e3
Uniones del tipo 0 definen una sola ecuación de flujos. Por consecuencia tienen una sola barra de causalidad.
Uniones del tipo 1 definen una sola ecuación de esfuerzos. Por consecuencia tienen exactamente (n-1) barras de causalidad.
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Un Ejemplo IV
U0.e
U0.
eU
0.e
C1.e C1.e
C1.e
R1.
e
U0.
fL
1.f
R1.
f
R1.f R1.f R2.f
C1.f
U0 .e = f(t)U0 .f = L1 .f + R1 .f
dL1 .f /dt = U0 .e / L1R1 .e = U0 .e – C1 .eR1 .f = R1 .e / R1C1 .f = R1 .f – R2 .f
dC1 .e /dt = C1 .f / C1R2 .f = C1 .e / R2
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Referencias I• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 7.
• Cellier, F.E. (1992), “Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems,” Simulation, 58(4), pp. 230-248.
• Cellier, F.E., H. Elmqvist, and M. Otter (1995), “Modeling from physical principles,” The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp. 99-108.
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Referencias II• Cellier, F.E. (1997), “World Wide Web - The Global
Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research,” Proc. ICBGM'97, 3rd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, AZ, pp.187-191.