Gráficos de Ligaduras I

Febrero 6, 2008Principio de la presentación

© Prof. Dr. François E. Cellier

Modelado Matemático de Sistemas Físicos

Gráficos de Ligaduras I• Hasta ahora hablamos de modelado orientado a objetos, de

los sistemas EDA que resultan de aquellos modelos y de los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas que se requieren para convertir sistemas EDA implícitos a sistemas EDO explícitos. No discutimos todavía de donde vienen los sistemas EDA.

• Por esa razón tuvimos que limitar la discusión a sistemas muy simples (circuitos eléctricos y sistemas mecánicos en el plano) para las cuales ya conocemos los modelos de sus elementos.

• Ahora se desarrollará una metodología de modelado de sistemas menos bien conocidos y discutimos como pueden obtenerse modelos físicamente correctos para ellos.




Contenido

• Energía y potencia• Flujos de potencia• Gráficos de ligaduras no causales• Un ejemplo• Gráficos de ligaduras causales




Energía y Potencia• Todos los sistemas físicos tienen en común las leyes de la

conservación de la energía y de la masa.• Los gráficos de ligaduras tratan íntimamente con la

conservación de la energía en un sistema físico.• Ya que energía se conserva en un sistema cerrado, la

energía en un tal sistema puede modificarse solamente por tres mecanismos:

Energía puede ser almacenada.Energía puede ser transportada de un sitio a otro.Energía puede ser convertida de una forma a otra.




Energía y Potencia II• La energía (E) acumulada en un lugar puede cambiar

solamente si energía adicional llega o si energía sale.• En los dos casos se necesitan flujos de energía que pueden

modelarse como derivadas de la energía con respecto al tiempo.

• La variable P se llama la potencia.• La energía tiene la unidad de Joule [J] mientras que la

potencia tiene la unidad de Watt [W].

P = dE/dt




Energía y Potencia III• En todos los sistemas físicos flujos de potencia pueden

escribirse como productos de dos variables físicos diferentes. Una entre ellas es una variable extensiva (es decir, proporcional a la cantidad), mientras que la otra es un variable intensiva (independiente de la cantidad).

• En el caso de flujos de energía acoplados puede suceder que un solo flujo de energía tiene que modelarse por la suma de productos de tales variables adjuntas.

Ejemplos: Pel = u · iPmech = f · v

[W] = [V] · [A]= [N] · [m/s]= [kg · m2 · s-3]




Flujos de Potencia• El modelado de sistemas físicos usando gráficos de ligaduras

se efectúa por una descripción gráfica de flujos de potencia.

• Los flujos de potencia se representan por arpones. Las dos variables adjuntas que representan el flujo de potencia se anotan por encima (variable intensiva: el “potencial” e) y por debajo (variable extensiva: el “flujo” f) del arpón.

• El anzuelo del arpón siempre se pone a la izquierda del arpón en la dirección del flujo positivo y el término “por encima” se refiere al lado del anzuelo.

ef

P = e · f e: Esfuerzof: Flujo




Gráficos de Ligaduras no Causales

U 0iva vb

U0

+U0

iSe

I 0Iva vb

u

0 Sf uI0

Voltaje y corriente tienen direcciones opuestas

Energía se añade al sistema




Elementos Eléctricos Pasivos en la Representación de Gráficos de Ligaduras

Riva vb

u

Civa vb

u

Liva vbu

ui

R

ui

C

ui

I

Voltaje y corriente tienen dirección idéntica

Energía se desangra del sistema




Uniones

0e1

e2

e3f1

f2

f3

1e1

e2

e3f1

f2

f3

e1 = e2

e2 = e3

f1 – f2 – f3 = 0

f1 = f2

f2 = f3

e1 – e2 – e3 = 0




Un Ejemplo Iv1

v2

v0

v1

v2

i0

iL

i1 i2

iC

i0

i0

i0

U0

v0v0

v0

v0

iL

iL

iLv1

v1

v1

i1

i1i1

u1

uL

v2 v2

v2

u2

uC

iC

iC

iC

i2

i2i2




Un Ejemplo II

i0

i0

i0U0

v0v0

v0

v0iL

iL

iLv1

v1

v1

i1

i1i1

u1

uL

v2 v2

v2

u2

uC

iC

iC

iC

i2

i2i2

v0 = 0 P = v0 · i0 = 0




Un Ejemplo III

i0U0

iL

v1

i1

i1i1

u1uL

v2 u2

uCiC

i2




Gráficos de Ligaduras Causales • Cada ligadura define dos variables separadas: el esfuerzo e

y el flujo f.• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener

los valores numéricos de estas dos variables.• Resulta que una de esas dos variables se evalúa en un lado

de la ligadura y la otra en el lado opuesto.• Una barra vertical simboliza el lado donde se evalúa el

flujo.

ef




“Causalización” de las Fuentes

U0 = f(t)

I0 = f(t)

U0

iSe

Sf uI0

La fuente define el esfuerzo.

El flujo tiene que evaluarse en el otro lado.

La fuente define el flujo.

La causalidad de las fuentes es fija.




“Causalización” de los Elementos Pasivos

ui

Ru = R · i

ui

Ri = u / R

ui

Cdu/dt = i / C

ui

Idi/dt = u / I

La causalidad de resistores es libre.

La causalidad preferida de los elementos de almacenaje es decidida por el deseo de usar integradores en lugar de diferenciadores.




“Causalización” de las Uniones

0e1

e2

e3f1

f2

f3

e2 = e1

e3 = e1

f1 = f2 + f3

1e1

e2

e3f1

f2

f3

f2 = f1

f3 = f1

e1 = e2+ e3

Uniones del tipo 0 definen una sola ecuación de flujos. Por consecuencia tienen una sola barra de causalidad.

Uniones del tipo 1 definen una sola ecuación de esfuerzos. Por consecuencia tienen exactamente (n-1) barras de causalidad.




Un Ejemplo IV

U0.e

U0.

eU

0.e

C1.e C1.e

C1.e

R1.

e

U0.

fL

1.f

R1.

f

R1.f R1.f R2.f

C1.f

U0 .e = f(t)U0 .f = L1 .f + R1 .f

dL1 .f /dt = U0 .e / L1R1 .e = U0 .e – C1 .eR1 .f = R1 .e / R1C1 .f = R1 .f – R2 .f

dC1 .e /dt = C1 .f / C1R2 .f = C1 .e / R2




Referencias I• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,

Springer-Verlag, New York, Chapter 7.

• Cellier, F.E. (1992), “Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems,” Simulation, 58(4), pp. 230-248.

• Cellier, F.E., H. Elmqvist, and M. Otter (1995), “Modeling from physical principles,” The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp. 99-108.




Referencias II• Cellier, F.E. (1997), “World Wide Web - The Global

Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research,” Proc. ICBGM'97, 3rd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, AZ, pp.187-191.

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