lime

Harmônicos Esféricos

z

x

y

00

0, 0

1

4

l m

Y

11

1, 1

3sin exp( )

8

l m

Y i

10

1, 0

3cos

4

l m

Y

11Y

11Re[ ]Y

10Y00Y

(Images from http://odin.math.nau.edu/~jws/dpgraph/Yellm.html)

Harmônicos Esféricos(2)

(Images from http://odin.math.nau.edu/~jws/dpgraph/Yellm.html)

z

x

y

220

2, 0

5(3cos 1)

16

l m

Y

21

2, 1

15sin cos exp(i )

8

l m

Y

222

2, 2

15sin exp(2i )

32

l m

Y

21Y

21Re[ ]Y

22Y

22Re[ ]Y

20Y

7.4: Efeitos do campo magnético nos espectros atômicos— Efeito Zeeman

t = m x B = dL/dt

imã

Experimento de Stern-Gerlach

E. F. F. Chladni(1756-1827)

Acústica (1803)

Figuras de Chladni em 2 Dimensões

A areia acumula-se

nos nós

Toque em Lugares diferentes

Arco de violino em várias posicões

diferentes

Ondas estacionárias

Gelo seco

Click for Longer Chladni Movie (9.5MB)

CO2

Placa de bronze

Crude Chladni Figures

3 Diameters / 1 Circle3 Circles

1 Diameter / 2 Circles

4 Diameters / 1 Circle from in-class demo

Posicão no interior do nó circular externoCf. http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/MembraneCircle/Circle.html

(1,2)

Figuras de Chladnipara um

disco fino

Figuras de Chladnipara um

disco fino

Número de nós diametrais

Núm

ero de Nós C

irculares

PITCH

47 Patterns!

Nota: Para frequências mais altas, aumenta o número de maneiras de se obter a mesma frequência com padrões de

ondas estacionárias diferentes (figuras de Chladni diferentes, mas com mesmas frequências)

Frequência ≈ (Nós diametrais + 2 Nós circulares) 2

8 Lines

4 Circles

2 Circles4 Lines3 Circles

2 Lines

1 Circle6 Lines

Num

ber of Circles

Number of Diameters

1 Circle2 Lines

e.g. Daniel

Bernoulli(1700-1782)

Great Mathematicians Worked on Chladni’s 2-D Problems:

2/x2 + 2/x2 + 2/x2

(abbreviated 2)the Laplacian Operator

s para átomos com um elétron envolvem os

“Harmonicos Esféricos” de Laplace

(Análogo - 3D das Figuras de Chladni)

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