Post on 14-Feb-2018
Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Gil da Costa Marques
TriGonoMeTria no TriânGulo reTânGulo8
Fund
amen
tos
de M
atem
átic
a i
8.1 Trigonometria nos primórdios8.2 ângulos no triângulo retângulo: o grau8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos8.5 outras razões trigonométricas8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveis
163
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
8.1 Trigonometria nos primórdiosPor alguma razão, o número 60 tinha um apelo místico para os babilônios. Como resultado,
cerca de 2.000 anos antes da era cristã, já propunham um sistema de numeração cuja base era
esse número. Tal sistema tornou-se conhecido como sexagesimal, uma vez que a base escolhida
por eles era o número 60, ou seja, nesse sistema qualquer número poderia ser expresso como
soma de potências de 60 multiplicadas por constantes adequadas. Os Babilônios propuseram
a divisão da circunferência de um círculo em 360 partes iguais, daí resultando a unidade de
medida de ângulo conhecida como grau. Dessa forma uma circunferência tem 360°.
Considerando-se dois pontos (P1, P2), ambos localizados sobre uma circunferência, é
possível construir o segmento de reta determinado por esses dois pontos (veja Figura 8.1).
Hiparco definia corda (Crd) como o comprimento desse segmento. Para medi-lo, Hiparco
introduzia uma unidade de comprimento que dependia do raio da circunferência. Para isso,
dividia o raio da circunferência em 60 partes iguais.
Traçando duas semirretas a partir da origem, passando pelos dois
pontos, P1 e P2, podemos agora introduzir o ângulo a medindo
a inclinação dessas semirretas. Claramente, a corda depende desse
ângulo. Temos assim:
8.1
Hiparco (cerca 140 a.C.) recebeu o crédito por ter iniciado a trigono-metria, ou melhor, ter introduzido, de forma indireta, o conceito de seno de um ângulo. Hiparco era pesquisador no museu de Alexandria, a primeira instituição científica financiada pelo poder público. Transformou-se num dos maiores astrônomos da antiguidade. Sua principal contribuição à matemática teve a influência da matemática dos babilônios. Credita-se a ele a introdução, nos meios científicos relevantes na época, da medida de ângulo proposta pelos babilônios. Introduziu também a função seno utilizando o número 60.
Figura 8.1: Definição de Corda associada a um ângulo.
Crd Crd= ( )a
164
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
A corda pode ser, nesse contexto, entendida como função do ângulo a.
Adotando essa forma de caracterizar ângulos, ou de medi-los, podemos agora entender
como Hiparco introduziu a função seno, como é definida nos dias de hoje. De fato, sua relação
com a função comprimento da corda é bem simples:
8.2
Escrevendo a corda como sendo dada por
8.3
e utilizando o valor do raio, sem efetuar sua divisão em 60 partes, a função seno, definida a
partir da função corda em 8.2, pode ser escrita como:
8.4
A rigor, Hiparco não estava introduzindo a função seno. Ele definia o que denominamos
seno de um ângulo. Tal definição é análoga àquela obtida a partir das relações métricas de
ângulos agudos num triângulo retângulo.
Hiparco gerou uma tabela de cordas. Essa tabela é muito semelhante a uma tabela dos senos,
desde que nos atenhamos a ângulos menores do que 180°. A fim de determinar a posição dos
corpos celestes, Hiparco teve a ideia de fazer a interpolação para gerar algo como a função corda.
Ptolomeu publicou, em sua obra O Almagesto, uma tabela de cordas para ângulos variando
dentro de intervalos de 0,5°.
8.2 Ângulos no triângulo retângulo: o grau
Um triângulo é retângulo quando possui um ângulo reto, isto é, dois de seus lados são
perpendiculares. Esses lados são denominados catetos e aquele oposto ao ângulo reto é deno-
minado hipotenusa.
senCrd
senCrda a
Ra a
2 2 2 120=
( )→
=
( )
Crd a l( ) = 2
sen a lR2
=
165
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Para medir os ângulos de um triângulo retângulo utilizamos o grau como unidade de medida.
Observamos que, como o ângulo reto tem 90° por medida, os outros dois ângulos de um
triângulo retângulo são complementares, ou seja, têm como medida de sua soma 90°.
No caso de um triângulo retângulo, vale o teorema de Pitágoras, ou seja, vale a relação:
8.5
onde c é medida da hipotenusa, a e b são as medidas dos catetos.
8.3 Definição de seno e cosseno de um ângulo agudo num triângulo retângulo
Considerando o ângulo A, por exemplo, o lado que é
oposto a ele tem o nome de cateto oposto (o lado de medida
a ou simplesmente o lado a), enquanto o lado adjacente a ele,
e diferente da hipotenusa (o lado de medida b ou lado b), é
denominado cateto adjacente a esse ângulo. Observe que,
considerando agora o ângulo B, o lado b é o seu cateto oposto
enquanto o lado a é o seu cateto adjacente.
Você lembra?
1 grau é a medida do ângulo central obtido ao dividir uma circunferência em 360 partes iguais.
Figura 8.2: Lados e vértices do triângulo retângulo.
a b c2 2 2+ =
Figura 8.3: Lados de um triângulo retângulo.
166
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
A partir da notação, definimos o seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo como
sendo o quociente do cateto oposto pela hipotenusa:
Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:
8.6
Podemos também definir o cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como
sendo o quociente do cateto adjacente pela hipotenusa:
Da definição anterior obtemos, na Figura 8.3:
8.7
Convém observar que num triângulo retângulo só temos como definir senos e cossenos para
os ângulos agudos.
senθ = cateto opostohipotenusa
Figura 8.4: Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
sen sen
A ac
B bc
= =
cosθ = cateto adjacentehipotenusa
Figura 8.5: Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
cos cosA bc
B ac
= =
167
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Exemplos
• ExEmplo 1A partir do triângulo equilátero ABC de lado l e do quadrado de lado a da Figura 8.6, preencha as lacunas da tabela:
30° 60° 45°
SenoCosseno
→ REsolução:Observemos a Figura 8.6:
a. Para o caso do triângulo equilátero ABC, de lado l:Lembrando que, num triângulo equilátero, a altura, bissetriz e mediana, traçadas a partir de um vértice, coincidem, consideremos CH a altura do triângulo equilátero ABC, relativa à base AB;pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retângulo HBC, obtemos que
de onde
h l=
32
ou h l= −
32
(não convém)
Portanto, temos que:
Figura 8.6: O triângulo equilátero ABC e o quadrado DEFG.
h l l2 22
4= −
sen sen sen302
2 12
° = = = = =HCB ACBl
l
cateto opostohipotenusa
168
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
e
bem como:
e
b. Para o caso do quadrado DEFG, de lado a:Consideremos DF a diagonal do quadrado; pelo teorema de Pitágoras, aplicado no triângulo retân-gulo isósceles DEF, obtemos que
de onde
d a= 2 ou d a= − 2 (não convém)
Portanto, temos que:
Completando então a tabela:
30° 60° 45°
Seno12
32
22
Cosseno 32
12
22
Convém notar que sen 30° = cos 60° e cos 30° = sen 60° que, alias, é uma propriedade válida para qualquer par de ângulos complementares, isto é sen α = cos (90° − α) e e cos α = sen (90° − α), como adiante veremos.
cos cos cos302
32° = = = = =HCB ACB h
l
l
l
cateto adjacentehipotenusa
==3
2
sen sen60
32 3
2° = = = = =CBH h
l
l
l
cateto opostohipotenusa
cos cos60 2 12
° = = = =CBH
l
l
cateto adjacentehipotenusa
d a a2 2 2= +
senhipotenusa
45 452
22
° = ° = = =cos a aa
169
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
8.4 Propriedades dos senos e cossenos: a lei dos Senos e a lei dos Cossenos
Uma propriedade notável do cosseno e seno de um ângulo agudo num triângulo retângulo
é facilmente derivada a partir do teorema de Pitágoras. De fato, tomando os valores do seno e
do cosseno do ângulo agudo A no triângulo retângulo da Figura 8.3, conforme as expressões
8.6 e 8.7, e, em seguida, somando os valores dos seus respectivos quadrados, obtemos:
8.8
Utilizando o teorema de Pitágoras (8.5), resulta de 8.8 que, para qualquer ângulo agudo
num triângulo retângulo, vale a relação:
8.9
A fim de poder estabelecer a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos, que são relações úteis
entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer, não necessariamente retângulo, podendo
ser acutângulo ou obtusângulo, vamos ampliar o conceito de seno e cosseno de um ângulo.
Para tal, introduzimos as seguintes identidades:
8.10
8.11
8.12
8.13
sen cos2 22 2
2A A ac
bc
a bc
+ =
=
+2 2
+
sen cos2 2 1θ θ+ =
sen90 1° =
cos90 0° =
sen( ) sen180° − =x x
cos( ) cos180° − = −x x
170
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Consideremos, em primeiro lugar, a Lei dos Senos a qual estabelece que, num triângulo
ABC qualquer, vale a seguinte relação:
onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectiva-
mente e r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Considerando um triângulo ABC qualquer, inscrito numa
circunferência de raio r, a partir do vértice B podemos encontrar,
na circunferência, um ponto diametralmente oposto D; ligando D
a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C, pois o
ângulo BCD é inscrito numa semicircunferência.
Os ângulos de vértices em A e D são inscritos na circunferência
e determinam o mesmo arco BC, logo têm a mesma medida.
Agora, no triângulo retângulo BCD, temos:
de onde
ou seja,
Repetindo o raciocínio, para os ângulos de vértices B e C, teremos as relações:
bB
rsen
= 2 e cC
rsen
= 2
Logo, podemos concluir que:
aA
bB
cC
rsen sen sen
= = = 2
Figura 8.7: Triângulo ABC qualquer, inscrito numa circunferência de raio r.
senD ar
=2
sen A ar
=2
aA
rsen
= 2
aA
bB
cC
rsen sen sen
= = = 2
171
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Consideremos agora a Lei dos Cossenos, a qual estabelece que, num triângulo ABC,
qualquer, valem as seguintes relações:
onde a, b, c indicam as medidas dos lados opostos aos ângulos de vértices A, B, C, respectivamente.
Vamos provar apenas a primeira das relações e isso será suficiente, pois as três são análogas.
Analisemos as três possibilidades para o ângulo A (agudo, obtuso e reto).
a. A é um ângulo agudo.
Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo AHC é retângulo e pelo
Teorema de Pitágoras,
b2 = h2 + m2
O triângulo HBC também é retângulo e, novamente pelo Teorema de Pitágoras,
a2 = h2 + n2
Além disso, m + n = c, e, eliminando h nas duas primeiras equações, obtemos:
b2 − m2 = a2 − n2
Eliminando n obtemos:
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
cos
cos
cos
Figura 8.8: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é agudo.
b m a c m2 2 2 2− = − −( )
172
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Portanto, b2 − m2 = a2 − c2 + 2cm − m2 e daí a2 = b2 + c2 − 2cm.
Mas (m/b) = cos A ou m b A= .cos .
de onde a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A.
b. A é um ângulo obtuso.
Seja CH a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB. O triângulo CHA é retângulo e
assim, pelo teorema de Pitágoras,
b2 = h2 + m2
Como o triângulo CHB é retângulo, pelo teorema de Pitágoras,
a2 = h2 + (m + c)2
Eliminando h, temos:
b2 − m2= a2 − (m + c)2
Simplificando a última equação, temos:
a2 = b2 + c2 + 2cm
Mas mb
H AC A A= = ° − = −cos cos( ) cos 180 , ou seja,
m = − b.cos A
Logo,
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A .
Figura 8.9: Triângulo ABC em que o ângulo de vértice A é obtuso.
173
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
c. A é um ângulo reto.
Este caso é o próprio teorema de Pitágoras, pois cos A = 0.
• ExEmplo 21. Determine o valor de x no triângulo abaixo.
a.
→ REsolução:Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo da Figura 8.10, temos:
e, como sen 120° = sen 60° = 3
2 e sen 45° =
22
temos:
b.
→ REsolução:Aplicando a Lei dos Senos ao triângulo ABC da Figura 8.11, temos:
uma vez que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°.
Logo, como sen 30° = 12
e sen 45° = 2
2, temos
Figura 8.10: O triângulo dado.
100120 45sen sen°
=°
x
x = =100 2
3100
36
Figura 8.11: O triângulo dado.
10030 45sen sen°
=°
x
x =100 2
174
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
c.
→ REsolução:Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC da Figura 8.12, temos:
x2 = 16 + 25 − 2.4.5.cos 60°
ou seja, como cos 60° = 12
, temos:
x2 = 21
ou seja,
2. Mostre que a área S de um triângulo, cujos lados são a, b e c, é dada por:
S p p a p b p c= − − −( )( )( ) , onde p é o semi-perímetro do triângulo. Essa relação é devida
a Heron.
→ REsolução:Consideremos a Figura 8.13.Sabemos que a área do triângulo é dada por
Também temos sen A hb
= .
E, pela Lei dos Cossenos,
a2 = b2 + c2 − 2bc.cos A
ou seja,
Como sen cos2 2 1A A + = , temos:
Figura 8.12: O triângulo dado
x = 21
Figura 8.13: O triângulo ABC.
S c h=
⋅2
cos A b c abc
=+ −2 2 2
2
hb
b c abc
+
+ −
=
2 2 2 2 2
21
175
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Ou seja, 2
21
2 2 2 2 2Sbc
b c abc
+
+ −
= , pois h S
c=
2.
Multiplicando e dividindo por 2 a primeira fração, temos
ou seja,
(4S)2 + (b2 + c2 − a2)2 = (2bc)2
de onde resulta
16S2 = (2bc)2 − (b2 + c2 −a2)2
Uma vez que o segundo membro é uma diferença de quadrados, podemos escrever
16S2 = [2bc − (b2 + c2 − a2)].[2bc + (b2 + c2 − a2)]
ou ainda,
16S2 = [a2 − (b2 + c2 − 2bc)].[(b2 + c2 + 2bc)] − a2]
isto é,
16S2 = [a2 −(b − c)2].[(b + c)2 − a2]
Novamente, fatorando as diferenças de quadrados,
16S2 = [a + b − c]. [a − b + c].[b + c + a].[b + c − a]
ou
Como p a b c=
+ +2
é o semiperímetro, temos
S2 = (p − c).(p − b).p.(p − a)
ou
Ou, de outra forma,
S p p a p b p c= − − −.( ).( ).( ) .
42 2
12 2 2 2 2
Sbc
b c abc
+
+ −
=
S a b c a b c a b c b c a2
2 2 2 2=
+ −⋅− +
⋅+ +
⋅+ −
S p c p b p p a= − − −( ).( ). .( )
176
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
8.5 Outras razões trigonométricasNum triângulo retângulo, sempre no caso de um ângulo agudo, ainda podemos definir
outras razões entre as medidas de seus lados, além daquelas que definem o seno e o cosseno.
Definimos a tangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo o quo-
ciente do cateto oposto pelo cateto adjacente:
8.14
Temos assim que, num triângulo retângulo, como o da Figura 8.3, definimos a tangente dos
ângulos A e B, em termos dos catetos do triângulo retângulo:
8.15
Definimos também a cotangente de um ângulo agudo num triângulo retângulo como sendo
o quociente do cateto adjacente pelo cateto oposto ou o inverso da tangente do mesmo ângulo:
8.16
Temos assim que a cotangente do ângulo A e a cotangente do ângulo B da Figura 8.3 são,
em termos dos catetos a e b:
8.17
Figura 8.14: Tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo.
tg cateto opostocateto adjacente
θ =
tg tgA ab
B ba
= =
Figura 8.15: Cotangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo.
cotgtg
θθ
= =1 cateto adjacente
cateto oposto
cotg cotgA ba
B ab
= =
177
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Definimos ainda o valor da secante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o
inverso do cosseno do mesmo ângulo. Temos, pois, em termos dos lados do triângulo:
8.18
Assim, para os ângulos A e B da Figura 8.3, temos:
8.19
Definimos a cossecante de um ângulo agudo num triângulo retângulo como o inverso do
seno do mesmo ângulo:
8.20
Consequentemente, os valores da cossecante do ângulo A e da cossecante do ângulo B da
Figura 8.3 são dados, em termos dos lados do triângulo
8.21
Conclui-se que, num triângulo retângulo, podemos definir diferentes valores associados a
ângulos agudos, valores esses que são quocientes entre as medidas dos lados do triângulo.
Figura 8.16: Secante de um ângulo agudo do triângulo retângulo.
secθ = hipotenusacateto adjacente
sec secA cb
B ca
= =
Figura 8.17: Cossecante de um ângulo agudo do triângulo retângulo.
cossecθ = hipotenusacateto oposto
cossec cossecA ca
B cb
= =
178
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
8.6 Triangulação: cálculo de distâncias inacessíveisMedir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta,
isto é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o
metro como unidade padrão para medir distâncias. Na astronomia utilizamos outras unidades,
as quais serão aqui apresentadas.
Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora
da Terra as medidas são efetuadas de uma maneira indireta.
Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangu-
lação. Na Figura 8.18 esboçamos o esquema básico do uso da triangulação, para determinação
da altura (h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e
do cume do monte, e da distância (d) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos.
O ângulo θ é medido com um instrumento denominado teodolito.
Algumas vezes utilizamos a semelhança entre triângulos.
Um dos registros mais antigos de uso desse método indireto é aquele atribuído a Tales de
Mileto (625 – 558 a.C.), o qual teria determinado a altura da pirâmide de Gizé a partir da
determinação da dimensão da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar tal
medida no exato momento em que o tamanho de sua sombra projetada no solo era igual à
sua altura. Nesse momento, o tamanho da sombra da pirâmide era igual à altura da pirâmide.
Figura 8.18: Determinação da altura do monte por triangulação: tgθ = h/d ou h = d × tgθ.
179
Fundamentos de Matemática i
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
Na Figura 8.19 está representada a configuração de uma estrela, vista da Terra em duas
posições diametralmente opostas no seu movimento de translação e o Sol. A paralaxe estelar é
o desvio aparente da estrela em relação às estrelas de
fundo. O ângulo de paralaxe é p. As posições aparentes
da estrela podem ser registradas em imagens da região
do céu, obtidas em épocas diferentes. As paralaxes são
diminutas. Ou seja, são medidas em segundos de arco.
Por exemplo, a estrela mais próxima do Sol, a Próxima
Centauro (e de grande paralaxe, portanto) tem paralaxe
de meros 0,77 segundo de arco (2 décimos-milésimo
de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores
ainda.Tendo em vista a dificuldade experimental de
distinguir pontos muito próximos, esse método é
bastante limitado.
O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de
comprimento: o parsec. Um parsec é equivalente a 3,26 anos-luz ou 206.264 unidades
astronômicas, ou ainda 31 trilhões de quilômetros. Nesta unidade, as distâncias a estrelas mais
brilhantes visualmente ficam a distâncias entre 1,3 pc (a-Centauri) e 800 pc, excluindo-se
evidentemente o Sol.
D(parsec) = 1 / p(segundo de arco)
Experimente escrever essas distâncias em km, você vai ter que escrever muitos dígitos!
Um parsec = 206265 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1,49 · 108 km.
• ExEmplo 31. Na Figura 8.20 está representado um morro entre
dois pontos A e B. Um teodolito colocado no ponto C consegue mirar tanto A quanto B, informando que o ângulo ACB = 135°. Sabendo que CA = 100 m e que CB = 75 m, pede-se determinar a distância entre A e B.
Figura 8.19: Paralaxe estelar.
Figura 8.20: Encontrar a distância entre A e B.
180
8 Trigonometria no triângulo retângulo
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1
→ REsolução:Pela Lei dos Cossenos, temos:
(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2AC.BC.cos 135°
Como cos 135° = − cos 45° = −2
2 então
(AB)2 ≅ 26231,6 de onde AB ≅ 161,96 m.
2. Na Figura 8.21, estão representados os pontos A e B situados em margens opostas de um rio. Para calcular a distância AB, o topógrafo considerou um ponto C de onde fosse possível mirar os pontos A e B. Em seguida, com uma trena, mediu BC, encontrando 300 m, e, com o teodolito, mediu os ângulos ACB e ABC , encontrando 85° e 75°, respectivamente. Quanto mede AB aproximadamente?
→ REsolução:Em primeiro lugar, sabendo que a soma dos ângulos de um triângulo é 180o, determinamos o ângulo A BAC = = 20°.Pela Lei dos Senos, temos:
de onde temos
ou seja, usando uma calculadora, obtemos
AB ≅ 874
GlossárioAcutângulo: Todos os ângulos são agudos.
Obtusângulo: Há no triângulo um ângulo obtuso.
Parsec: Distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de arco.
Figura 8.21: Encontrar a distância entre A e B.
30020 85sen sen°
=°
AB
AB = °°
300 8520
.sensen
Agora é sua vez...Acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s)
atividade(s) proposta(s).