Post on 17-Apr-2015
Interpolação-Parte IIEstudo do Erro
1. Estudo do Erro na Interpolação2. Interpolação Inversa3. Grau do Polinômio Interpolador4. Função Spline em Interpolação
4.1 Spline Linear 4.2 Spline Cúbica
1.Estudo do Erro na Interpolação
O erro em aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador pn(x), de grau menor ou igual a n, é:
En(x)=f(x)-pn(x) para todo x de [x0,xn].
Estudar o erro na interpolação significa saber o quão próximo f(x) está de pn(x).
1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x)
x
f(x)
x0 x1
f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)f1(x)
p1(x)
f2(x)f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)
1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) por p1(x).
• O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1.
• O erro E11(x)=f1(x)-p1(x) > E1
2(x)= f2(x)- p1(x) para todo x de (x0 , x1).
• O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1”(x) e f2”(x).
1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 1: “Sejam pontos.Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para todo x em [x0,xn]. Seja pn(x) o polinômio
interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, x2,...,xn.
Então, em qualquer ponto do intervalo [x0,xn] o
erro é dado porEn(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)
onde “.
)1(,......210 nxxxx n
!1
)1(
n
f xn
nx xx ,0
1.Estudo do Erro na Interpolação
Demonstração:Teorema 1 o Note que x=xi para i=1,2,..,n, segue que
G(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)=0 En(x)=0, logo a fórmula do erro está correta para x=xi.
o Definindo a função H(t)= En(x)G(t)- En(t)G(x), com
. Então, H(t) tem n+1 derivadas e pelo menos n+2 zeros. Note que x0,x1,..,xn e x são zeros de H(t).
o Aplicando o Teorema de Rolle sucessivamente, n+1 vezes, demonstra-se o teorema.
in xxxxtx e ,, 0
1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 2: “Sejam pontos.Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos
pontos x0, x1, x2,...,xn. Da forma de NewtonEn(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) f[x0, x1, x2,...,xn,x].
Portanto,
com .
Demonstração imediata.
)1(,......210 nxxxx n
!1
],,...,,,[)1(
210
n
fxxxxxf x
n
n
nx xxx ,, 0
1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário1: Estimativa do Erro.
Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que
onde
!1)).....()(()()()( 1
10
n
MxxxxxxxpxfxE n
nnn
., com )(max 01
1 nn
n xxxxfM
1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário2: Estimativa do Erro.
Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, temos que
onde
!1)).....()(()()()( 1
10
n
MxxxxxxxpxfxE n
nnn
., com ],,....,,[max)!1( 010
1nn
n xxxxxxxfn
M
Estimativa para o erro
Seja dada na tabela:
a) Obter f (0.47) usando um polinômio de grau 2.b) Encontrar uma estimativa para o erro.
)(xf
x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72
f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37
Tabela de diferenças
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
0.2 0.16
0.428
0.34 0.22 2.0325
0.8333 -17.8963
x0 = 0.4 0.27 -3.7033
0.1667 18.2494
x1 = 0.52 0.29 1.0415
0.375 -2.6031
x2 = 0.6 0.32 0.2085
0.4167
0.72 0.37
Estimativa para o erro
Escolhendo
a)
b)
)04115.1()52.0)(4.0()1667.0()4.0(27.0
],,[))((],[)()()( 2101010002
xxx
xxxfxxxxxxfxxxfxp
6.0,52.0,4.0 210 xxx
)47.0(2780.0)47.0( fp
|2492.18||)6.047.0)(52.047.0)(4.047.0(||)47.0(| E
310303.8|)47.0(| E
009.0278.0)47.0( p
2. Interpolação inversa
Seja dada na tabela:
Obter x tal que f(x)= 1.3365 e encontrar uma estimativa para o erro.
Este é o problema da interpolação inversa.
)(xf
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f(x) 1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6478
2. Interpolação inversa
Solução versão 1: Obtenha pn(x) que interpola f(x)= 1.3365 e
determine x. Problema: não temos como estimar o erro cometido!!!!!!!
Solução versão 2: Se f(x) for monotonicamente crescente ou
decrescente no intervalo considerado, então ela pode ser invertida. Então faça a interpolação da função inversa e calcule o erro.
Tabela de diferenças divididas - Versão 2
y Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
1 0
0.9506
1.1052 0.1 -0.4065
0.8606 0.1994
y0 =1.2214 0.2 -0.3367
0.7782 0.1679
y1 =1.3499 0.3 -0.2718
0.7047 0.1081
y2 =1.4918 0.4 -0.2256
0.6373
1.6487 0.5
Estimativa para o erro
Escolhendo
a)
b)
)2718.0()3494.1)(2214.1()7782.0()2214.1(2.0
],,[))((],[)()()( 21010101
001
2
yyy
yyyfyyyyyyfyyyfxp
210 ,, xxx
27487.0)3165.1( p
|1994.0||)4918.12787.0)(3499.12787.0)(2214.12787.0(||)2787.0(| E
4101.1|)2787.0(| E
00011.027487.0 x
3.1 Grau do polinômio interpolador
Para a escolha do grau do polinômio interpolador:1) Construir a tabela de diferenças divididas;2) Examinar as diferenças na vizinhança do ponto
de interesse;
Se as diferenças de ordem k forem praticamente constante, ou se as diferenças de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinômio de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada.
3.1 Grau do polinômio interpolador
Seja com os valores da tabela:
Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para
xxf )(
x 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05
f(x) 1 1.005 1.01 1.0149 1.0198 1.0247
xxf )(
3.1 Grau do polinômio interpolador
xxf )(x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2
1 1
0.5
1.01 1.005 0
0.5
1.02 1.01 -0.5
0.49
1.03 1.0149 0
0.49
1.04 1.0198 0
0.49
1.05 1.0247
3.2 Fenômeno de Runge
Questão: A seqüência {pn(x)} converge para f(x) no intervalo [a,b] se {x0,x1,...,xn} pertencem a {a,b] e n tende ao infinito?
Interpolando a função no intervalo [-1,1] com
2251
1)(
xxf
.,..,2,1para2
1 nin
ixi
3.2 Fenômeno de Runge
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) com n=10
x-1 1
f(x)
P10(x)
!!!garantida! iaConvergênc - Spine ãoInterpolaçUtilizar :Solução
4. Função Spline em Interpolação
Fenômeno de Runge é superado pela função Spline.
Definição: Seja tabelada para . A função é denominada spline de grau se:a) Em cada subintervalo , para , é um polinômio de grau .b) é contínua e tem derivadas contínuas até ordem em .c) .
)(xf
1ii ,xx
nxxxx .....210
)(xS p p
)1(,..,2,1,0 ni)(xs p p
)(xS p
1p b,xxa n 0
nixfxS iip ,...,2,1para)()(
4.1 Função Spline Linear
A função spline linear interpolante de f(x), ouseja S1(x) nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita
em cada subintervalo como
Note que S1(x) é polinômio de grau 1 no intervalo. s1(x) é contínua em todo intervalo Nos pontos nós . Logo, S1(x) é a spline linear interpolante de f(x).
1ii ,xx
iiii
ii
ii
iii xxx
xx
xxxf
xx
xxxfxs ,)()()( 1
1
1
11
ii xx ,1
)()(1 ii xfxs
4.1 Função Spline Linear
Achar a função spline linear que interpola f(x)
Da definição:
Analogamente:
01
01
01
101 )()()(
xx
xxxf
xx
xxxfxs
2,122212
12
12
21)(1
xxxxxx
xs
5,243
1)(2 xxxs
7,55.85.02
1)(3 xxxs
0 1 2 3
1 2 5 7
1 2 3 25
kx)( kxf
k
4.1 Função Spline Linear
Graficamente
x
f(x)
1 7
s3(x)
52
s2(x)s1(x)
f(x)
4.2 Função Spline Quadrática
As spline quadráticas tem derivadas contínuas até ordem 1 e portanto a curvatura de S2(x) não é suave nos nós.
Seja a função
Note que a função e sua derivada primeira são contínuas em x=1. Contudo, sua derivada segunda, em x=1, não é contínua.
3,1para12
1,2para22)(
2
2
xx
xxxxf
4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente12 2 x
222 xx
4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente, vemos a descontinuidade da derivada segunda (curvatura). Considere agora a situação em que f(x) e sua derivada primeira são contínuas em x=1, contudo ocorre mudança de sinal da derivada segunda em x=1
Esta é situação que ocorre no ajuste de spline quadrática.
3,1para582
1,2para22)(
2
2
xxx
xxxxf
4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente222 xx
582 2 xx
4.2 Função Spline Cúbica
As splines cúbicas são as mais usadas. Uma spline cúbica S3(x) é uma função
polinomial por partes, contínua, onde cada parte sk(x) é um polinômio de grau 3 nos intervalos [xk-1,xk].
S3(x) tem derivadas primeira e segunda contínuas, logo não tem bicos e não troca abruptamente a curvatura nos nós.
4.2 Função Spline Cúbica - Construção
A função spline cúbica interpolante de f(x), ouseja S3(x), nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita
em cada subintervalo como polinômios de grau 3. Denotada por sk(x) para k=1,2,...,n, deve
satisfazer:1. 2. 3. 4. 5.
.,....,2,1,, para )()( 13 nkxxxxsxS kkk
.,....,2,1 para )()(3 nixfxS ii .1,....,2,1 para )()( 1 nkxsxs kkkk
.1,....,2,1 para )(')(' 1 nkxsxs kkkk
.1,....,2,1 para )('')('' 1 nkxsxs kkkk
4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Sejam as parte da spline cúbica dadas por
O Cálculo de envolve a determinação de 4ncoeficientes:
Condições 1: satisfeitas por construção.Condições 2: (n+1) condições nos nós. Condições 3: (n-1) condições de continuidade de S3 nos nós.
Condições 4: (n-1) condições de continuidade de S’3 nos nós.
Condições 5: (n-1) condições de continuidade de S’’3 nos nós.
Total de 4n-2 condições. Restam duas condições em aberto!!!
.,....,2,1, x-xx-xx-x)( k2
k3
k nkdcbaxs kkkkk
)(3 xS.,,,,.......,,,,,,,, 22221111 nnnn dcbadcbadcba
4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Notação:
Impondo as condições:
.,'',1 kkkkkkkk yxfgxsxxh
k
kk
k
kk
kkkkkkk
kkkk
k
kk
k
kk
k
k
k
kk
k
h
yy
h
yyghghhgh
hggh
h
yyc
ydg
bh
gga
1
1
1
1111
11
1
62
6
2
,2
,6
.,..,,g para equações 1)-(n linear tem sistema o que Note 10 ngg
4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Resta impor mais duas condições.
Alternativas 1: Chamada spline natural
Alternativa 2: Chamada spline parabólica.
Alternativa 3: Impor inclinações nos extremos.
0''e0'' 3003 nn gxSgxS
110 e nn gggg
BxSAxS n 'e' 303
Geralmente quando temos informações físicas do problema
4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Achar a spline cúbica natural que interpola f(0.25) dada
Temos 4 subintervalos iguais. Dadasresolvendo o sistema linear para
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0
f(x) 3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536
)(,)(,)(,)( 4321 xsxsxsxs
0 natural spline condições
26
4
26
4
26
4
40
234432
123321
012210
gg
yyyh
ghghgh
yyyh
ghghgh
yyyh
ghghgh
31 pois ,31 nk
4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Substituindo os valores de resolvemos o sistema linear obtendo:
Calculamos
Como queremos f(0.25) fazemos
)(,)(,)(,)(e,,,, 4321 xsxsxsxsdcba kkkk
252.6,111.4,654.6
0
321
40
ggg
gg
)25.0(sf(0.25) 1
5.0e)( hhxfy kkk
5348.2)25.0( 0.5 Sendo
-0.25-0.25-0.25)25.0(
11
1112
113
111
sx
dxcxbxas
5. EXERCÍCIOS
Faça os seguintes exercícios do capítulo 5 do livro texto.
Exercícios: 9,10 e projeto 2 página 266.