MAT5719 - Cálculo Diferencial Geométricono Rn

22 de fevereiro de 2010

Lista 31. Seja f : [0, 2]→ R∗+ contínua, tal que int1

0 f (t)dt =∫ 2

1f (t)dt = 1. Para cada

x ∈ [0, 1], considere g(x) definida implicitamente por∫ g(x)

xf (t)dt. Prove

que g está bem definida e é de classe C1.

2. Dada f (x, y, z) = (x2 + y2 − 4)3 + z2 − 1, determine os valores c ∈ R taisque f −1(c) é superfície de R3 e , nesses casos, descreva f −1 e determine suadimensão.

3. Determine os valores regulares de F(x, y, z, t) = (x2 + y2 − z2 + t2, t2) edescreva as superfícies de nínel.

4. Verificar se f (x, y) = 2x2 + 3xy + 2y2 tem extremos locais condicionada àcurva g(x, y) = x2 + y2 = 1.

5. Achar os pontos do elipsóide x2 + 2y2 + 3z2 = 1 cuja soma das coordenadasseja máxima.

6. Seja f (x1, . . . , xn) =√

x1 . . . xnn, ∀xi ≥ 0. Determine o máximo de f restritaà x1 + · · · + xn = a (xi ≥ 0). Conclua que x1 . . . xn ≤

(x1+···+xn

n

)n.

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