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LIVROLIVRO
DEDE
RESUMOSRESUMOS
Livro de Resumos doSimposio de Metodos
Numericos Computacionais
v.1 n.5 (2015)
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Marco Andre ArgentaMarina Vargas R. P. Goncalves
LIVRO DERESUMOS
O Livro de Resumos Metodos Numericos Computacionais contem todos os resumos expandidos e resumos de poster
enviados, aceitos e apresentados durante o V Simposio de Metodos Numericos Computacionais da UFPR 2015.
Universidade Federal do Parana (UFPR)2014
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Informacoes Basicas
A proposta do Simposio de Metodos Numericos Computacionais da UFPR e disseminar a pesquisa emmetodos numericos em engenharia e viabilizar um local para a discussao das pesquisas e trabalhos desenvolvidosna area. O livro de resumos contem todos os resumos expandidos e resumos de poster enviados e apresentadosdurante o evento.
Copyright
Os conceitos contidos nos resumos sao de exclusiva responsabilidade de seus autores, nao refletindo, necessariamente,a opiniao dos editores. Nao se permite a reproducao total ou parcial dos trabalhos, apenas utilizar comofonte de dados desde que seja indicada, na forma de citacao, explicitamente a sua fonte.
I
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
CORPO EDITORIAL
Editora ResponsavelEditora da UFPR
Coordenacao EditorialMarco Andre ArgentaMarina Vargas Reis de Paula Goncalves
OrganizacaoGustavo Valentim Loch
Comite CientıficoAbel SiqueiraAda ScudelariAdriano DelfinoAdriano VictorAna Paula OeningAndre FabianiAndre Jacomel ToriiAndre MalheirosArinei Carlos Lindbeck da SilvaCesar Augusto TaconeliCesar TaconeliCleverson AndreoliCosmo Damiao SantiagoCristovao FernandesDaniel Estevao KaviskiDebora Cintia MarcilioDeise CostaDiana CancelliDiane Rizzotto RossettoEduardo FerreiraEduardo LopesElias KrainskiElvidio GavassoniEmılio MercuriErica CastilhoEricson DilayEuda FerreiraFabiane OliveiraFelıcio Bruzzi BarrosFernando Mayer
Francisco Chagas Lima JuniorGeovani GrapigliaGislaine PericaroGustavo Valentim LochHsu Yang ShangHugo LaraIdemauro LaraIsabella Andreczevski ChavesJoao Elias Abdalla FilhoJose CarrerJose Eduardo Pecora JuniorJose Ruidival Soares dos Santos FilhoJucelio TomasJuliano Fabiano da MotaLeandro MagataoLuciane GrossiLuciano Kiyoshi ArakiLuiz Albino Teixeira JuniorLuiz AlkiminMael SachineMarcelo BessaMarcelo CostaMarco Andre ArgentaMarcos ArndtMarcos PratesMaria Teresinha Arns SteinerNeida maria Patias VolpiNelson DiasOdacir GraciolliPaulo ConejoPaulo SiqueiraRafael SouzaRamiro CardenasRaphael ScuciatoRenata StramandinoliRicardo AlmeidaRicardo BertinRoberta BoszczowskiRoberta SueroRoberto Dalledone MachadoRodrigo Eustaquio
II
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Rogerio CarrazedoRudinei BogoSilvana Heidemann RochaSilvia ShimakuraSimone MilocaSimone Tomazzoni GoncalvesSiovani Cintra FelipussiSolange Regina dos SantosSonia Isoldi MullerTerezinha GuedesThais FonsecaThiago Andre GuimaraesTIago Martinuzzi BuriolVanderly JaneiroWagner BonatWalmes ZevianiWalmor Cardoso GodoiWellington Mazer
Concepcao do projeto graficoMarco Andre Argenta
Web designMarco Andre Argenta
III
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Sumario
Informacoes Basicas I
Copyright I
CORPO EDITORIAL II
Apresentacao V
Resumos Expandidos 1Esquema Aproximativo Via Serie De Fourier Para O Tratamento Da Adveccao . . . . . . . . . . . 2Formulacao Do Metodo Dos Elementos De Contorno Para Meios Anisotropicos . . . . . . . . . . . 4Metodo De Passo De Tempo Fracionado De Alta Ordem Para As Equacoes De Navier-Stokes
Incompressıveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Modelo Em Coordenadas Generalizadas Para A Dinamica Da Umidade Em Grandes Reservatorios 8A Importancia Do Balanceamento E Refinamento Da Quadtree Para Selecao De Parametros Do
Support Vector Classification (SVC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Nonlinear Forced Vibration Analysis Of Multi-Articulated Offshore Towers . . . . . . . . . . . . . 12Estudo De Um Modelo Dispersivo Nao Linear Para Ondas Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Controle De Velocidade De Um Servomotor Utilizando Software Labview R© Real-Time . . . . . . . 16Solucao Numerica De Problema De Valor Inicial De Viga Considerando A Nao Linearidade Geometrica 18Camada De Absorcao Para O Metodo Das Diferencas Finitas No Domınio Do Tempo Aplicado A
Grade Tridimensional Formada Por Prismas Hexagonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Parametros Termofluidodinamicos Do Escoamento Cruzado Externo Sobre Uma Matriz Alternada
De Tubos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Construcao De Modelo Numerico De Pavimentos Urbanos Em Vias De Transporte Coletivo Utilizando
O Modelo Elastoplastico De Drucker-Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Programacao Linear Inteira Para Problemas De Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Analise De Confiabilidade Aplicada Ao Sensor De Combustıvel De Caminhao . . . . . . . . . . . . 28Solucao Numerica Da Equacao De Burgers Bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Sequenciamento Em Maquinas Paralelas Com Insercao De Novos Pedidos Aplicado A Industria De
Cosmeticos – Um Estudo De Caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32On The Numerical Evaluation Of Fractional Derivatives In Long-Term Creep Tests . . . . . . . . . 34Malha Adaptativa, Bloco-Estruturada Para Solucao Numerica Via Volumes Finitos De Escoamentos
Turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Estudo Comparativo Das Tecnologias Sem Fio Para Aplicacao Em Tempo Real . . . . . . . . . . . 38
Resumos de Poster 40Quadratura De Gauss De Alta Ordem Implementada Atraves De Programacao Paralela. . . . . . . 41Metodologia E Validacao De Um Modelo Constitutivo Em Proteses Dentarias. . . . . . . . . . . . 42Gerador De Malhas Em Coordenadas Generalizadas: Diferentes Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . 43Tecnologias Computacionais De Metodos Numericos Em Eletromagnetismo Computacional . . . . 44Metodos Numericos Para Estudo De Deformacoes Em Embalagens Polimericas Rıgidas . . . . . . . 45Analise De Incertezas De Um Sistema Massa-Mola Amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Elaboracao De Algoritmo Com Formulacao Nao Linear Geometrica Para O Calculo De Trelicas
Tridimensionais Via Mef Posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Estimacao Da Lei Efetiva De Compositos Nao Lineares Via Homogeneizacao Assintotica E Cotas
Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Determinacao Dos Coeficientes Invariantes No Resfriamento Conjugado Por Conveccao Forcada-Conducao
De Aquecedores 3d Protuberantes Em Canais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Modelagem Dinamica Do Manipulador Plataforma Stewart-Gough . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Indice por Autor 52
IV
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Apresentacao
O Programa de Pos-Graduacao em Metodos Numericos em Engenharia (PPGMNE), da Universidade Federaldo Parana, criado pelo Departamento de Construcao Civil (Setor de Tecnologia) e pelo Departamento deMatematica (Setor de Ciencias Exatas), tem por objetivo congregar as areas de concentracao de MecanicaComputacional e de Programacao Matematica num unico curso, por perceber a inter-relacao entre as mesmase por acreditar que, num trabalho conjunto, multi e interdisciplinar, e possıvel o desenvolvimento e aplicacaodos metodos numerico-computacionais na busca de novas formas de solucao dos problemas de Engenharia ede problemas reais de uma forma geral. O PPGMNE iniciou atividades em 1994 com o curso de mestradoe em 2003 passou a oferecer tambem o curso de doutorado. O Programa nao tem a pretensao de cobrirtodo o conhecimento das areas mencionadas, mas considera-se apto a desenvolver trabalhos em algumasdas areas mais importantes, conforme a natureza de seu corpo docente, que envolve professores de diversosdepartamentos: Construcao Civil, Engenharia Mecanica, Engenharia Eletrica, Engenharia de Producao,Engenharia Hidraulica, Matematica, Estatıstica, Informatica e Expressao Grafica.
A proposta do simposio e disseminar a pesquisa em metodos numericos em engenharia e viabilizar umlocal para a discussao das pesquisas e trabalhos desenvolvidos na area.
O evento proporcionara:
• divulgar a producao cientıfica desenvolvida pela comunidade academica do Curso de Pos-Graduacaode Metodos Numericos em Engenharia, e demais instituicoes de ensino participantes;
• promover o intercambio entre pesquisadores, alunos e professores, visando a troca de informacoescientıficas;
• realizar a integracao das pesquisas concluıdas e/ou em andamento possibilitando uma complementacaodos resultados e direcionamento das propostas;
• construir um ambiente de discussao dos desafios enfrentados pelo desenvolvimento da pesquisa sob oponto de vista empresarial e academico.
V
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Resumos ExpandidosResumos ExpandidosResumos Expandidos aceitos e apresentados durante o evento
1
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ESQUEMA APROXIMATIVO VIA SÉRIE DE FOURIER PARA OTRATAMENTO DA ADVECÇÃO
Palavras-Chave: Navier-Stokes, Esquema Convectivo, Upwind, Série de Fourier
1 INTRODUÇÃO
Para a modelagem de escoamentos de fluidosutilizam-se equações governantes fundamentadasnas leis físicas da conservação da massa e da quan-tidade do movimento. Na maioria dos casos, essasequações não admitem soluções analíticas devido,principalmente, à não-linearidade dos termos con-vectivos dominantes envolvidos.Nesse contexto, uma variedade de esquemas con-vectivos são propostos visando facilitar a aquisi-ção de soluções numéricas por meio de simpli-ficações das equações governantes e, ao mesmotempo, preservar a estabilidade dessas soluções.No que segue, propõe-se um novo esquema não-linear, idealizado sob o tratamento upwind e funda-mentado na série de Fourier de uma extensão ímparobtida a partir do esquema CUBISTA, de ALVES,OLIVEIRA AND PINHO (2003).
2 MODELO MATEMÁTICO
2.1 Equações GovernantesAs equações governantes de Navier-Stokes e da
continuidade são usadas para resolver uma amplaquantidade de problemas da mecânica dos fluidos.Para retratar problemas complexos, pode-se fazeruso do sistema de coordenadas generalizadas. Odomínio físico (x, y) é mapeado para o domíniotransformado (ξ, η) e as equações são reescritaspara o sistema generalizado. A mudança do siste-ma de coordenadas é feita pelas métricas de trans-formação (MALISKA, 1995).Considerando a modelagem de problemas bidi-mensionais incompressíveis, as equações gover-nantes podem ser reescritas para o sistema gene-
ralizado (ξ, η) como
∂
∂τ
(uJ
)+
∂
∂ξ(Uu) +
∂
∂η(V u) =
1
ρ
[∂p
∂η
∂y
∂ξ
−∂p∂ξ
∂y
∂η
]+ ν
[∂
∂ξ
(J
(α∂u
∂ξ− β∂u
∂η
))
+∂
∂η
(J
(γ∂u
∂η− β∂u
∂ξ
))](1)
∂
∂τ
( vJ
)+
∂
∂ξ(Uv) +
∂
∂η(V v) =
1
ρ
[∂p
∂ξ
∂x
∂η
−∂p∂η
∂x
∂ξ
]+ ν
[∂
∂ξ
(J
(α∂v
∂ξ− β∂v
∂η
))
+∂
∂η
(J
(γ∂v
∂η− β∂v
∂ξ
))](2)
∂U
∂ξ+∂V
∂η= 0 (3)
em que U e V são as componentes contravariantesdo vetor velocidade, J é o jacobiano da transforma-ção e α, β e γ são os coeficientes de acoplamentoentre as equações que geram as linhas no interiorda malha computacional.2.2 Dedução do Novo Esquema
O segundo e terceiro termos do primeiro mem-bro das equações (1) e (2) correspondem aos ter-mos convectivos. Em particular, denotando-se
C (u) =∂
∂ξ(Uu) +
∂
∂η(V u) (4)
e considerando a malha do domínio transformado(Fig.1), para um nível de tempo k, tem-se
C (u)∣∣∣k
e≈ U
∣∣kEu∣∣kE − U
∣∣kPu∣∣kP
+V∣∣kneu∣∣kne− V
∣∣kseu∣∣kse. (5)
Adriano Matheus Targino de Azevedo, Eliandro Rodrigues Cirilo
2
Figura 1: Malha Deslocada com ∆ξ = ∆η = 1
No processo de discretização, aplica-se uma linea-rização aos termosUu e V u da equação (5) a fim deque as velocidades de convecção U e V sejam obti-das por média aritmética. Conforme U e V são po-sitivos ou negativos, a propriedade transportada u éaproximada via um esquema convectivo apropriado(FORTUNA, 2012). Analogamente, discretiza-se otermo convectivo da equação (2). Dentre os esque-mas convectivos existentes, considera-se neste tra-balho o esquema CUBISTA, dada sua alta ordemde precisão e por ser estável na região Total Vari-ation Diminishing (TVD), definida por HARTEN(1983). Por fim, agrega-se uma série de Fourier aoCUBISTA, restrito à região TVD.
3 RESULTADOS PARCIAIS
Em variáveis normalizadas (LEONARD, 1988),o esquema CUBISTA é definido como:
φf =
7
4φU , 0 < φU <
3
8
3
4
(φU +
1
2
),
3
8≤ φU ≤
3
4
1
4(φU + 3) ,
3
4< φU < 1
φU , φU ∈ (−∞, 0] ∪ [1,∞)
(6)
Considerando em (6) apenas os termos definidos nointerior da região TVD, obtém-se a série de Fouri-er para uma extensão ímpar FI dessa retenção. I-nicialmente, a série de Fourier foi determinada nointervalo [−1, 1], resultado que se mostrou ineficaz,pois, para valores próximos de um, o fenômeno deGibbs era muito evidente. Para contornar a situa-ção, estendeu-se o termo (φU + 3)/4 no intervalo[1, 2]. No entanto, como o interesse é avaliar ocomportamento da solução numérica no intervalo[0, 1], restringe-se a série às reduzidas nesse inter-valo, de forma que a propriedade genérica φf con-vectada no escoamento possa ser aproximada poralguma soma parcial da série trigonométrica. Dian-te do exposto, deduz-se um novo esquema upwind
fundamentado na série de Fourier para as equações(1) e (2)
uk� ≈
30∑
n=1
bn sin
(nπφU
2
)(φD − φR)
+φR, 0 ≤ φU < 1
φU , φU ∈ (−∞, 0) ∪ [1,∞)
, (7)
em que
bn =1
n2π2
[4 sin
(3nπ
16
)+ 2 sin
(3nπ
8
)
−5
2nπ (−1)n
](8)
e o símbolo � indica um ponto de malha específicoenvolvido na discretização (5). A representação ge-ométrica do novo esquema é exposta na Fig.2.
0 10.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7 0.9
0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
Figura 2: Trigésima Soma Parcial na Região TVD
REFERÊNCIAS
Alves M.A., Oliveira P.J., and Pinho F.T. A con-vergent and universally bounded interpolationscheme for the tratment of advection. Interna-tional Journal for Numerical Methods in Fluids,41:47–75, 2003.
Fortuna A.O. Técnicas computacionais para dinâ-mica dos fluidos. EdUSP, 2012.
Harten A. High resolution schemes for hyperbolicconservation laws. Journal of ComputationalPhysics, 49:357–393, 1983.
Leonard B.P. Simple high-accuracy resolution pro-gram for convective modelling of discontinui-ties. Journal for Numerical Methods in Fluids,8:1291–1318, 1988.
Maliska C.R. Transferência de calor e mecânicados fluidos computacional: fundamentos e coor-denadas generalizadas. LTC, 1995.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
3
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DECONTORNO PARA MEIOS ANISOTRÓPICOS
Palavras-Chave: Método dos Elementos de Contorno, Anisotropia
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho visa apresentar a formu-lação do método dos elementos de contorno (MEC)para problemas bidimensionais, sob estado planode tensões, para materiais anisotrópicos.
Da teoria da elasticidade (TIMOSHENKO ANDGOODIER, 1968) sabe-se que quando há variaçãona orientação das propriedades do material deve-seconsiderar a condição de anisotropia.
Conforme Aliabadi (2002), as equações deequilíbrio e compatibilidade são independentes dotipo de material enquanto que a relação tensão-deformação depende do comportamento do mate-rial. Para casos bidimensionais, a lei constitutivaque representa um material anisotrópico no estadoplano de tensões é representada pela seguinte re-lação:
εxxεyyγxy
=
β11 β12 β16β21 β22 β26β61 β62 β66
σxxσxyτxy
, (1)
em que as constantes do material são definidas por:
β11 = 1/E1 β12 = −ν12/E1 β16 = η12,1/E1
β21 = −ν21/E2 β22 = 1/E2 β26 = η12,2/E2
β61 = η1,12/µ12 β62 = η2,12/µ12 β66 = 1/µ12,
onde Ek é o módulo de Young referente ao eixo xk,µ12 é o módulo de cisalhamento, νij é o coeficientede Poisson, βij é a matriz de compliance e ηl,jk co-eficientes mútuos de primeiro e segundo gêneros.Para estado plano de deformações, tem-se que:
βij = βij − (βi3βj3) /β33 onde i = 1, 2, 6.(2)
Inserindo a função tensão de Airy é possívelgarantir as condições de compatibilidade e equi-líbrio onde as tensões podem ser escritas daseguinte forma:
σxx =∂2F
∂y2, σyy =
∂2F
∂x2, τxy = − ∂2F
∂x∂y. (3)
As componentes das deformações estão sujeitasà seguinte equação de compatibilidade:
∂2εxx∂y2
+∂2εyy∂x2
=∂2γxy∂x∂y
. (4)
Portanto, ao substituir as componentes das ten-sões (equação 3) na relação 1 é possível chegar nasdeformações que inseridas na equação 4 obtém-se:
β11∂4F
∂y4− 2β16
∂4F
∂x∂y3+ (2β12 + β66)
∂4F
∂x2∂y2+
−2β26∂4F
∂x3∂y+ β22
∂4F
∂x4= 0. (5)
Ao introduzir o plano complexo, é possível in-tegrar F (x, y) ao longo da superfície característicaque substituído na equação 5 obtém-se a seguinteformulação:
d4F
dz4[β11µ
4 − 2β16µ3 + (2β12 + β66)µ
2]
+
+d4F
dz4[−2β26µ+ β22] = 0. (6)
Para obtenção de soluções não triviais daequação 6, com (d4F/dz4 6= 0), deve-se calcular asraízes da equação característica que são complexasou puramente imaginárias e ocorrem em pares con-jugados (LEKHNITSKII, 1981).
Amanda Jarek, Andre Pacheco de Assis, Luiz Alkimin de Lacerda
4
As expressões para o ponto fonte e ponto campono plano complexo são dadas por:
z′k = x′+µky′ zk = x+µky para k = 1, 2.
(7)A função das tensões podem ser representadas
pela seguinte relação:
F (x, y) = 2Re {F1 (z1) + F2 (z2)} . (8)
Introduzindo os potenciais complexos que sãorepresentados pelas derivadas da função 8 tem-seque:
Φ1 (z1) = F1′ (z1) Φ2 (z2) = F2
′ (z2) . (9)
Com isto, é possível chegar nas tensões e deslo-camentos:
σxx = 2Re {µ21Φ1
′ (z1) + µ22Φ2
′ (z2)}σxy = 2Re {Φ1
′ (z1) + Φ2′ (z2)}
τxy = −2Re {µ1Φ1′ (z1) + µ2Φ2
′ (z2)}ux = 2Re {p11Φ1 (z1) + p12Φ2 (z2)}uy = 2Re {p21Φ1 (z1) + p22Φ2 (z2)}
, (10)
onde:
p1k = β11µ2k + β12 − β16µk
p2k = β12µk + β22/µk− β26. (11)
2 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS
A solução fundamental para o tensor de desloca-mentos é definido a partir da equação 10, sabendo-se que a função Φ que satisfaz as condições de con-torno é dada por:
Φjk = Ajk ln (zk − zk ′) . (12)
Os coeficientes complexos Ajk são obtidos dasolução de dois sistemas lineares de equações si-multâneos da seguinte forma:
1 −1 1 −1µ1 −µ1 µ2 −µ2
p11 −p11 p12 −p12p21 −p21 p22 −p22
Aj1
Aj1
Aj2
Aj2
=
δj2/2πi−δj1/2πi
00
,
(13)onde µk são as raízes da equação 6. Já µk, p1k e p2ksão os conjugados das constantes.
As soluções fundamentais para os deslocamen-tos e forças de superfície são dadas por ALI-ABADI(2002):
Tij(zk
′, zk
)= 2Re
{1
(z1 − z1′)qj1 (µ1n1 − n2)Ai1
}
+2Re
{1
(z2 − z2′)qj2 (µ2n1 − n2)Ai2
}
Uij (zk′, zk) = 2Re [pj1Ai1 ln (z1 − z1′)] +
+2Re [pj2Ai2 ln (z2 − z2′)] , (14)
onde:
qjk =
[µ1 µ2
−1 −1
]. (15)
O tensor de deformações é dada por:
εjl =1
2(uj,l + ul,j) . (16)
Para a obtenção das deformações, são calcu-ladas as derivadas de Tij e Uij que são conheci-das como Sjli e Djli (CRUSE; SWEDLOW, 1971),dadas por:
Sjli =
[∂Tji∂xl
+∂Tli∂xj
]Djli =
[∂Uji
∂xl+∂Uli
∂xj
].
(17)
3 EQUAÇÃO INTEGRAL DO CONTORNO
O trabalho recíproco de Betti também é validadono caso de se considerar a anisotropia do mate-rial. A equação integral do contorno para contornossuaves, desprezando as forças de massa, é dada por:
uj/2 +
∫
Γ
TjiuidΓ =
∫
Γ
UjitidΓ. (18)
Para o cálculo dos deslocamentos no domínioutiliza-se a mesma equação utilizada para materi-ais isotrópicos. Já as deformações são obtidas pormeio da equação 16.
4 CONCLUSÕES
A formulação e a modelagem para problemasanisotrópicos são semelhantes aos obtidos parameios isotrópicos. A diferença existente na formu-lação anisotrópica, quando comparada à isotrópica,está no desenvolvimento das soluções fundamen-tais e das derivadas por estarem no plano complexo.
REFERÊNCIAS
Aliabadi M.H. The Boundary Element Method:Applications in Solids and Structure, volume 2.John Wiley & Sons, England, 2002.
Cruse T.A. and Swedlow J.L. Interactive programfor analysis and design problems advanced com-posites technology. Technical report afml-tr-71-268, Carnegie-Mellon University, Pittsburgh,Pennsylvania, 1971.
Lekhnitskii S.G. Theory of Elasticity of anAnisotropic Body. Mir, Moscow, 1981.
Timoshenko S. and Goodier J.N. Teoria de LaElasticidad. Urmo, España, 1968.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
5
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
MÉTODO DE PASSO DE TEMPO FRACIONADO DE ALTA ORDEMPARA AS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES INCOMPRESSÍVEIS.
Palavras-Chave: Métodos de Passo Fracionado, Equações de Navier-Stokes, ElementosFinitos Descontínuos, Escoamentos de Fluidos Newtonianos Incompressíveis.
1 INTRODUÇÃOA solução numérica das equações de Navier-Stokes (N-S) incompressíveis exigediscretização espacial e temporal de variáveis esuas derivadas. Em nosso trabalho diferençasfinitas são usadas para a discretização temporal, enquanto o método descontínuo Galerkin(DG) de alta ordem é usado para adiscretização espacial.Para realizarmos a discretização temporal dasequações de N-S incompressíveis usamos ummétodo do tipo passo fracionado (método“splitting”, Karniadakis e Sherwin, (2005)). Nométodo splitting de Karniadakis é desenvolvidauma formulação para o termo de pressão queresulta em um esquema de passo no tempopreciso, de alta ordem, para a solução dasequações de N-S incompressíveis. Estetratamento do termo de pressão é que tornapossível um método de tempo fracionado dealta ordem (Karniadakis et al, (1991)). Emparticular, condições de fronteira de alta ordemno tempo, para a pressão, são introduzidas queminimizam os efeitos de camadas limitesespúrias que seriam geradas caso se usassemétodos splitting de baixa ordem. Esteesquema pertence à uma família de esquemasditos rigidamente estáveis e empregam regrasmistas, explíctas/implícitas, de integração notempo. Estes esquemas exibem regiões deestabilidade muito mais amplas quandocomparados aos esquemas splitting de baixaordem que, tipicamente, são do tipo Adams( Karniadakis e Sherwin, (2005)). Além de serestável, sua formulação é tambémindependente do esquema de discretização
espacial, o que nos permitiu seu usoconjuntamente como o método DG para adiscretização espacial.
2 DISCRETIZAÇÃO TEMPORAL DAEQUAÇÃO DE N-S INCOMPRESSÍVELSeja Ω um domínio do ℝ
2 com fronteiras∂Ω de Dirichlet, ∂ΩD , e/ou Neumann,∂ΩN . A fronteira total do domínio é a
reunião disjunta destes dois tipos de fronteirase designemos por n o vetor unitário normale exterior à fronteira ∂Ω . A equação de N-S a ser resolvida é dada por
{∂u∂ t
+[∇ u]u=−∇ p+ν∇2 u , x∈Ω ;
∇⋅u=0, x∈Ω ;u (t=0)=u0, x∈Ω ;u (x)=gD , x∈∂ΩD ;∂u∂n
=gN , x∈∂ΩN . (1)
Assumimos aquí as definições padrões dostermos e variáveis da equação. Como visto acima, no nosso trabalho ummétodo splitting rigidamente estável é utilizadopara a integração temporal das equações de N-S. Dentro das possíveis ordens deconvergência deste método, escolhemos um deordem dois, por sua suficiência para ospropósitos tanto da tese em si como dedemonstração da funcionalidade do mesmo.Neste sentido, portanto, através do uso devariáveis intermediárias, ~u e
~~u , aequação (1) é dividida em três equaçõesdistintas que são resolvidas sucessivamente em
Aureo Quintas Garcia, Francisco AugustoAparecido Gomes, Mildred Ballin Hecke
6
cada passo de tempo:passo 1: Termo não linear:
γ0~u−α0u
n−α1un+1
Δ t=−β0 N (un)
−β1 N (un−1) (2)
Os coeficientes γ0, β0,1 são escolhidos demodo a resultar em um método de segundaordem no tempo para a velocidade (Ferrer,(2012)). N(.) representa a parcela não-linear daeq. (1).passo 2: Termo de presão:
−∇ pn+1=γ0
~~u−~uΔ t
. (3)
Aqui devemos ter obrigatoriamente que∇⋅
~~u=0 . Tomando-se o divergente destaequação chega-se a uma equação de Poisson,para p, que fica fechada usando-se condiçõesde Neumann nas fronteiras de entrada e deparede, obtidas com (Hesthaven e Warburton,(2006)):
∂ pn+1
∂ n=−β0 n⋅(
Dun
Dt+ν∇×ω
n)
−β1 n⋅(Dun−1
Dt+ν∇×ω
n−1) (4)
.
Além disso, condições de Dirichlet devem serespecificadas nas fronteiras de saída. Calculando pn+ 1 , em (4), podemos obter avelocidade intermediária
~~u usando aequação (3).passo 3: O passo no tempo é completado pelasolução da equação (5), abaixo, e correspondeao último passo do método splitting:
γ0(un+1
−~~u
Δ t)=ν∇
2un+1(5) .
A soma das equações correspondetes aos trêspassos acima nos leva à equação queefetivamente é integrada em um passo detempo:
γ0un+1
−α0 un−α1u
n−1
Δ t=−∇ pn+1
−β0 N (un)−β1 N (un−1
)+ν∇2un+1
.
Para maior eficiência computacional eestabilidade numérica, o termo não linear éintegrado via uma regra explícita, enquanto ostermos elipticos (passos 2 e 3) são integradosusando-se uma regra implícita (Karniadakis eSherwing, (2005)).
3 CONCLUSÃOO método é testado como o problema dovórtice de Taylor (Ferrer, (2012)). Impomos acondição de Dirichlet e a condição inicial viaos dados exatos:(u , v )=(−cos(π x)sin(π y ) ,sin (π x)cos(π y ))
e(−2 /Re)π2 t
p=−14
(cos (2π x)+cos(2π y ))e(−4 /R e) π2 t
o domínio Ω=[−1,1 ]2 é discretizado em 72
elementos triangulares e elementos de ordensiguais são utilizados para pressão e paravelocidade (Ferrer, (2012)). É usado o métodoDG para a discretização no espaço. A Fig.1mostra os erros relativos a p-refinamentos e h-refinamentos. Percebe-se claramente arealização da taxa de convergência prevista.Experimentos de validação do método tambémforam feitos e confirmaram a capacidade dométodo de represenrar o escoamanto comfidelidade, além de coadjuvar otimamente como método DG.
Fig.1: Extraida de (Ferrer, (2012).
REFERÊNCIASKarniadakis, G.; Sherins, S. Spectral/hp Element Methods for CFD. Oxford UniversityPress. UK, 2005.Ferrer, E. A high order DiscontinuousGalerkin – Fourier incompressible 3D NSsolver with rotating sliding meshes for simulating crossflow turbines. Phd Thesis. Un. ofOxford – 2012.Karnadiakis, G.; Israeli, M.; Orszag, SA.HighOrder Splitting Methods for the Incompressible NS Equations. J. Comp. Physics,97, 414443, 1991.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
7
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
MODELO EM COORDENADAS GENERALIZADAS PARA ADINÂMICA DA UMIDADE EM GRANDES RESERVATÓRIOS
Palavras-Chave: Modelagem Matemática, Dinâmica Atmosférica, Evaporação em Reservatórios
1 INTRODUÇÃO
Estudos acerca das variações climáticas globaisvem se intensificando ao longo das últimas dé-cadas, evidenciando a preocupação da sociedadeatual frente às transformações ocorridas recente-mente no planeta. Estas preocupações justificam-se devido ao fato de que as alterações no climapodem estar relacionadas a eventos climáticos ex-tremos, como secas, enchentes, ondas de calor e defrio, furacões e tempestades que estão ocorrendoem várias partes da Terra, afetando a organizaçãosocial e econômica das regiões atingidas.
São vários os fatores que contribuem com mun-danças no clima, entre eles o desmatamento de flo-restas e a queima de combustíveis fósseis como opetróleo, gás e carvão promovida pela industrial-ização e aumento da frota mundial de veículos.
Em particular, a instalação de hidrelétricas eseus respectivos reservatórios, tem gerado muitadiscussão sobre sua influência ou não nas alter-ações climáticas (LIMBERGER E CONTRI PIT-TON, 2008), atraindo ao longo das últimas dé-cadas a atenção de vários pesquisadores preocupa-dos com temas ligados à impactos ambientais e so-ciais. LIMBERGER E CONTRI PITTON (2008)afirmam que estudos referentes a esta temática sãomuito importantes no Brasil, pois o país tem suapolítica de geração de energia elétrica baseada nahidroeletricidade.
Considerando os fatos mencionados, o presenteestudo tem por objetivo apresentar um modelomatemático escrito no sistema de coordenadas gen-eralizadas, para avaliar a dinâmica da evaporaçãoem grandes reservatórios. Esta modelagem é jus-tificada por contribuir com os estudos relaciona-
dos a impactos ambientais ocasionados pelo repre-samento de águas na formação de lagos artificiaise também pelo fato de que, embora exista na lit-eratura quantidade significativa de pesquisas rela-cionadas à taxa de evaporação, há poucos estudosvoltados para a dinâmica da mesma, tema centraldeste trabalho.
2 MODELO MATEMÁTICO EM COORDE-NADAS CARTESIANAS
Os movimentos atmosféricos são governados pelasleis fundamentais da física de conservação demassa, momento e energia (HOLTON, 2004).Aplicamos essas leis a um pequeno elemento defluido ou elemento de controle da atmosfera afimde obter as equações governantes.
O fluxo do ar devido aos gradientes de temper-atura e pressão é modelado por meio do seguintesistema de equações
∂(ρu)
∂x+∂(ρv)
∂y= 0 (1)
∂u
∂t+∂(uu)
∂x+∂(uv)
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+
ν
(∂2u
∂2x+∂2u
∂2y
)(2)
∂v
∂t+∂(uv)
∂x+∂(vv)
∂y= −1
ρ
∂p
∂y+
ν
(∂2v
∂2x+∂2v
∂2y
)− [1− λ∗(T − T0)]g (3)
∂T
∂t+∂(uT )
∂x+∂(vT )
∂y= σ
(∂2T
∂x2+∂2T
∂y2
)(4)
Cleiton Luiz de Souza, Paulo Laerte Natti, Eliandro Rodrigues Cirilo
8
onde ρ e ν representa respectivamente, a densidadee a viscosidade cinemática do ar, σ e λ∗ coeficientesde difusividade e expansão térmica do fluido e g aaceleração da gravidade.
Já o transporte da umidade devido ao fluxo do aré descrito pela equação
∂C
∂t= −
(∂uC
∂x+∂vC
∂y
)+
D∗(∂2C
∂x2+∂2C
∂y2
)(5)
com D∗ o coeficiente de difusão molecular da umi-dade e u e v obtidos do modelo (1)-(4).
3 DOMÍNIO DE ESCOAMENTO
Neste trabalho, modelou-se a geometria do es-coamento da umidade conforme a Figura (1),adotando-se na elaboração das fronteiras da ge-ometria algumas simplificações. Representa-se asuperfície do lago pelo segmento r3. A variaçãode elevação de terreno (base da figura) ao redor doreservatório é aproximada por meio dos segmentosde retas r2 e r4. Os limites horizontais do escoa-mento são modelados pelos segmentos r1 e r5 e ocontorno superior pela parábola p.
200m
30.000m 10.000m 30.000m
260m
400m
x
y
Figura 1: Geometria do domínio de escoamento daumidade.
4 MODELO MATEMÁTICO EM COORDE-NADAS GENERALIZADAS
Devido à topografia da região ao redor do reser-vatório, a geometria do escoamento assume formairregular, necessitando portanto, ser representadapor meio de alguma geometria que se adapte àsvariações de elevação do terreno. Recorre-se entãoao sistema de coordenadas generalizadas, que temcomo função, representar geometrias complexasnos casos em que o sistema cartesiano não con-segue representar a fronteira de forma adequada,devido ao fato do domínio físico não coincidir como domínio da malha (BARBA, 2015). As equações(1)-(5) transformadas para o sistema de coorde-nadas generalizadas assumem a forma
∂U
∂ξ+∂V
∂η= 0 (6)
∂
∂τ
(uJ
)+
∂
∂ξ(Uu) +
∂
∂(V u) =
1
ρ
[∂p
∂η
∂y
∂ξ−
∂p
∂ξ
∂y
∂η
]+ ν
[∂
∂ξ
(J
(α∂u
∂ξ− β
∂u
∂η
))+
∂
∂η
(J
(γ∂u
∂η− β
∂u
∂ξ
))](7)
∂
∂τ
( vJ
)+
∂
∂ξ(Uv) +
∂
∂(V v) =
1
ρ
[∂p
∂ξ
∂x
∂η−
∂p
∂η
∂x
∂ξ
]+ ν
[∂
∂ξ
(J
(α∂v
∂ξ− β
∂v
∂η
))+
∂
∂η
(J
(γ∂v
∂η− β
∂v
∂ξ
))]−
g
J[1− λ∗(T − T0)] (8)
∂
∂τ
(T
J
)+
∂
∂ξ(UT ) +
∂
∂(V T ) =
σ
[∂
∂ξ
(J
(α∂T
∂ξ− β
∂T
∂η
))+
∂
∂η
(J
(γ∂T
∂η− β
∂T
∂ξ
))](9)
∂
∂τ
(C
J
)+
∂
∂ξ(UC) +
∂
∂η(V C) =
D∗[∂
∂ξ
(J
(α∂C
∂ξ− β
∂C
∂η
))+
∂
∂η
(J
(γ∂C
∂η− β
∂C
∂ξ
))](10)
5 CONCLUSÕES
Apresentou-se nesse trabalho um modelomatemático, baseado em dinâmica dos fluidoscomputacional, com potencial para ser aplicadona simulação e análise do escoamento da umidadesobre grandes reservatórios de água.
REFERÊNCIAS
Barba A.N.D. Estudo e Implementação de Es-quema Upwind na Resolução de um Modelo deDinâmica dos Fluidos Computacional em Coor-denadas Generalizadas. Dissertação, Universi-dade Estadual de Londrina, 2015.
Holton J.R. An Introduction to Dynamic Meteo-rology, volume 88. Elsevier Academic Press, 4edition, 2004. ISBN 0-12-354015-1.
Limberger, L., Contri Pitton S.E. Mudançasclimáticas globais e alterações climáticas : aparticipação dos grandes reservatórios de usinashidrelétricas. Pleiade, 2(2):123–133, 2008.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
9
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
A IMPORTÂNCIA DO BALANCEAMENTO E REFINAMENTO DA
QUADTREE PARA SELEÇÃO DE PARÂMETROS DO SUPPORT
VECTOR CLASSIFICATION (SVC)
Palavras-Chave: Balanceamento, Refinamento, Quadtree, Seleção de parâmetros, SVC.
1 INTRODUÇÃO
O desempenho do algoritmo Support Vector
Classification (SVC) depende do correto
ajuste de seus parâmetros. A busca por grid
(BG), método referência de seleção de
parâmetros do SVC, tem como desvantagem
seu alto custo computacional. Entretanto,
Beltrami e Silva (2015) mostraram que
combinar a técnica quadtree ao grid é uma
excelente opção para reduzir o número de
operações da BG. Porém, esta pesquisa vem
evidenciar que a quadtree só é eficiente para
essa finalidade se a mesma for balanceada e
refinada.
2 SUPPORT VECTOR CLASSIFICATION
O objetivo do SVC é encontrar um hiperplano
de máxima margem resolvendo sua
formulação dual:
(1)
,
Onde: são os multiplicadores de Lagrange.
Devido ao amplo domínio de convergência da
função gaussiana, equação (2), e sua vasta
aplicabilidade (PANG et al, 2011), ela é a
normalmente adotada no SVC.
(2)
Assim, para uma boa performance do SVC,
devem ser bem escolhidos: a constante de
regularização C e o parâmetro de (2).
3 BUSCA POR GRID (BG)
A BG visa encontrar em uma malha o par de
parâmetros (C, ), conforme o quadro 1.
1. Considere uma malha (grid) no espaço de
coordenadas .
2. Para cada par de parâmetros (C, ) do espaço de
busca, realize uma validação cruzada k-fold no
conjunto de treinamento.
3. Escolha o par (C, ) que resulte na maior taxa de
acertos de validação cruzada.
4. Use esses parâmetros para criar o modelo SVC. Quadro 1: Pseudocódigo da busca por grid.
4 QUADTREE
A quadtree é uma estrutura criada pela divisão
sucessiva do espaço em quadrantes de mesmo
tamanho. Ao fragmentar a região estudada, ela
identifica quais quadrantes estão inteiramente
contidos na área de interesse, parcialmente
inseridos ou vazios. Aqueles que estiverem
parcialmente contidos são os únicos a serem
recursivamente divididos em novos quadrantes
até que se tornem homogêneos. Quando essa
condição é atingida, encerra-se o processo de
divisão. A figura 1 ilustra seu funcionamento.
Figura 1: Funcionamento da quadtree.
5 MÉTODO GRID-QUADTREE
O método grid-quadtree (GQ) de Beltrami e
Silva (2015) visa desenhar a região de
Monica Beltrami, Crisiane Rezende Vilelade Oliveira, Arinei Carlos Lindbeck da Silva
10
parâmetros do SVC por meio da quadtree e
encontrar o par (C,) ótimo. A ideia
fundamental é reduzir operações do grid a
medida que várias regiões do espaço de busca
deixam de ser avaliadas. Por exemplo, zonas
de underfitting e overfitting, por não serem
interessantes ao SVC, são entendidas pela
quadtree como quadrantes vazios e,
consequentemente, dispensam divisões e a
varredura completa do grid.
Neste método, o espaço é analisado com base
em dois critérios: taxa de validação cruzada
(VC) e quantidade de vetores suporte (VS). O
controle desse último é importante, pois um
alto número de VS indica a ocorrência de
overfitting. Portanto, definem-se valores VC e
VS referência para auxiliar o processo de
divisão da quadtree. Assim, somente
quadrantes com parâmetros de taxa VC
superior ou igual à de referência e quantidade
de VS inferior ou igual à fixada são
considerados internos à região, caso contrário
externos. Contudo, se a quadtree não for
balanceada e refinada, a sua aplicação não é
eficiente para identificar a correta região de
parâmetros do SVC e, consequentemente, o
método não encontra a melhor solução (C,).
6 BALANCEAMENTO/ REFINAMENTO
Uma quadtree é dita balanceada quando a
maior diferença entre os níveis de quadrantes
(nós) adjacentes não excede à 1 para vizinhos
de aresta e à 2 para os de vértice. O
balanceamento da quadtree deve ser realizado
somente após o término de todo o processo de
divisão. Desta forma, avaliam-se apenas os
nós folhas (sem filhos) da quadtree,
observando quem são seus vizinhos e as
diferenças de níveis entre eles. Se a diferença
exceder aos critérios estabelecidos, divide-se o
nó analisado, balanceando-o.
Porém, mesmo que o balanceamento melhore
a convergência da quadtree, para a seleção de
parâmetros do SVC, somente esse
procedimento não é suficiente para garantir a
correta identificação da região de (C, ). Para
isso, é preciso refinar a quadtree. Neste
trabalho, o refinamento consiste em avaliar,
com base nos valores VC e VS referência, os
quadrantes criados artificialmente após o
balanceamento. O motivo é que esses podem
estar parcialmente inseridos na região de
interesse, devendo ser novamente divididos. O
refinamento normalmente ocorre nos
quadrantes localizados na fronteira da região.
A figura 2 ilustra quatro regiões de parâmetros
determinadas para o conjunto Ionosphere,
disponível no repositório LIBSVM. No
sentido horário, iniciando pela esquerda e
acima, a figura 2 indica, nessa ordem, a região
obtida pela: BG, GQ sem balanceamento e
sem refinamento, GQ balanceada e sem
refinamento e GQ balanceada e refinada.
Figura 2: Solução gráfica para o conjunto Ionosphere
Na figura 2, a boa região é a de cor azul e as
intersecções das linhas representam um par
(C,) avaliado, o que equivale à uma operação
de treinamento efetuada (passo 2 do quadro 1).
As comparações da figura 2 evidenciam a
redução de operações proporcionada pela
quadtree e mostram que somente a GQ
balanceada e refinada é capaz de determinar a
mesma região de parâmetros que a BG.
7 CONCLUSÃO
Este trabalho mostrou que a quadtree,
combinada ao grid, para determinar a correta
região de parâmetros do SVC deve estar
balanceada e refinada. Caso contrário, o
problema não converge ao ótimo.
AGRADECIMENTOS
Ao IFPR e a CAPES pelo apoio financeiro.
REFERÊNCIAS
Beltrami, M., Silva, A. C. L da., O uso da
técnica quadtree na otimização da busca por
grid – um método para selecionar parâmetros
do Support Vector Classification. Anais do
XXII SIMPEP, 2015.
LIBSVM: www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/libsvm
Pang, H et al., Novel linear search for support
vector machine parameter selection. Journal of
Zhejiang University, 12: 885- 896, 2011.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
11
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
NONLINEAR FORCED VIBRATION ANALYSIS OF MULTI-ARTICULATED OFFSHORE TOWERS
Keywords: Nonlinear modal analysis, offshore structures, compliant structures, nonlinear normal modes.
1 INTRODUCTION Articulated towers are a class of compliant structures very often used in the oil and gas industry, as an attractive design alternative under certain water depth conditions, since they are lighter than fixed platforms (CHANDRASEKARAN et al. 2010). The nature of the loads experienced by the tower and the design considerations demand a nonlinear dynamic analysis (GAVASSONI et al., 2014), and the large number of degrees-of-freedom (DOF) needed to satisfactory describe these problems limit a parametric analysis with usual design methods (PESHECK et al 2002). An alternative to overcome such difficulties is to use reduced order models. The Nonlinear Normal Modes (NNMs) are a useful tool to derive precise reduced order models in nonlinear vibration analysis, which allow a simpler parametric analysis. In this work, the invariant manifold based definition of NNMs is used to study the nonlinear forced vibration of a tri-articulated offshore tower (SHAW AND PIERRE 1991). The equations of motion are derived using the Euler-Lagrange equation. The reduced order model is initially used to investigate the fundamental tower behavior under free nonlinear vibration. The free vibration analysis is used to gain insight on the forced response of the tower
under the action of a harmonic external force. The harmonic excitation of the 1-DOF systems obtained by the NNMs analysis are studied giving useful information to the tower response to external dynamic loading such as current, wind and waves.
2 STRUCTURAL MODEL The structural model is based on rigid members linked by joint connections (SELLERS AND NIEDZWECKI 1992). Restoring forces are modeled as rotational springs with stiffness ki. The deck and facilities loads are modelled as a single mass m at the tower top. Each model’s structural member has length li, cross sectional area Ai, material’s specific weight γ and is considered as a rigid member. On the top mass is applied an harmonic horizontal force F0cos(ft). The model results in a 3-DOF problem, the rotational angles of each articulated joint - θi, as shown in Figure 1. The motion equations are obtained by applying the variational techniques resulting in three coupled nonlinear differential equations in terms of the generalized coordinates i(t), The resulting equations of motion are transformed into Cauchy standard form, using the Cramer’s rule to perform the inertia terms decoupling. The resulting equations are expanding as a polynomial series retain up to the third degree
Elvidio Gavassoni, Gabriel Jung
12
nonlinear terms.
Figure 1: Tri-articulated offshore tower structural model.
3 LINEAR AND NONLINEAR ANALYSIS
To perform a parametric analysis dimensionless parameters are included and numerical values are used (see Table 1).
Parameter Correspondence Used value
crPmg / Load parameter 0.70
lgp /2 Natural frequency 1.00
mAl / Mass parameter 0.05
²/0 mlF Force parameter Variable
Table 1: Dimensionless parameters.
The resulting natural frequencies from the linear analysis are: 01 =0.825 rad/s, 02 = 21.818 rad/s, and03 = 52.475 rad/s, and the corresponding linear modes are shown on the tower configuration in Figure 2.
Figure 2: Linear normal modes.
The forced 1-DOF nonlinear oscillators are used to perform important forced vibration analyis of the problem such as backbone curves, stability of motion and existant of multiple solutions. The results from the reduced order model are compared to
numerical integration of the full original equations of motion. The resulting nonlinear oscillators equations, one for each nonlinear normal mode, are:
).cos(997.9118567.534
10.431.7618.2753
),cos(980.634934.68
217.18262043.476
),cos(189.243154.0
307.0681.0
232
35
232
3
232
3
tuuuu
uuu
tuuuu
uuu
tuuuu
uuu
f
f
f
(1)
The forced 1-DOF nonlinear oscillators are used to perform important forced vibration analyis of the problem such as backbone curves, stability of motion and existant of multiple solutions. The results from the reduced order model are compared to numerical integration of the full original equations of motion.
4 CONCLUSIONS The reduced order models allow fast parametric analysis of the tower’s forced vibration and show a good agreement with the n integration results. Further work will include a multimodal analysis of the problem, and a more precise ocean loads consideration (buoyancy, added mass, and current action).
REFERENCES Chandrasekaran S., et. al., Dynamic Response
Behaviour of multi-legged Articulated Tower with & without TMD. Conference Proceeding of MARTEC, 2010.
Han S. M. and Benaroya, H., Vibration of a Compliant Tower in Three-dimensions. Journal of Sound and Vibration, 250(4):675-709, 2002.
Sellers L. L. and Niedzwecki J. M., Response Characteristics of Multi-articulated Offshore Towers. Journal of Ocean Engineering, 1:1-20, 1992.
Shaw S. W. and Pierre C., Normal modes for non-linear vibratory systems. Journal of Sound and Vibration, 164:85-124, 1993.
Gavassoni E., et al., Nonlinear modal analysis of multi-articulated offshore towers. European Nonlinear Oscillations Conference, 2014.
F0cos(ft)
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
13
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ESTUDO DE UM MODELO DISPERSIVO NÃO LINEAR PARAONDAS INTERNAS
Palavras-Chave: Sistema de EDPs, Dinâmica dos Fluidos, Equação de Ondas Longas Intermediárias
1 INTRODUÇÃO
A geração de ondas internas a grandes profundi-dades em mares e oceanos é um fenômeno de inte-resse muito atual no estudo da dinâmica oceânica.Diferenças de temperatura e salinidade provocamestratificação nas camadas de água, onde ondas decentenas de metros de altura e comprimento aindamaior podem viajar vários quilômetros. Acredita-se que elas sejam responsáveis por transportar emisturar nutrientes do fundo até a superfície, pro-piciando o desenvolvimento da vida marinha. Poroutro lado, essas ondas interagem com as estruturassubmersas e as linhas de extração de petróleo e gás,o que pode afetar as operações de recuperação emáguas profundas. Tais fatos evidenciam o potencialde impacto econômico e ambiental da pesquisa notema.Neste trabalho apresenta-se um estudo em anda-mento sobre a boa colocação de um sistema dotipo Boussinesq para ondas intermediárias que con-tém, no regime unidirecional de propagação, aequação de ondas longas intermediárias regulariza-da (ILWR), a qual também é considerada aqui.Tal estudo tem como ponto de partida o modelofracamente não linear de duas camadas para fundoplano introduzido emCHOI AND CAMASSA(1999),
ηt −[(1− αη)u
]x= 0
ut + αuux − ηx =√
βρ2ρ1
T [uxt] ,(1)
ondeη representa a perturbação da onda internacom relação à posição de equilíbrio da interface(Figura 1), u a média ao longo da direção verti-cal da componente horizontal da velocidade na ca-
mada superior,t a variável temporal ex a coor-denada horizontal. As constantesα = a
h1> 0 e
β =(h1
L
)2> 0 são parâmetros adimensionais pe-
quenos eα é da mesma ordem de√β. Os parâ-
metros básicos são:a = amplitude da perturbação,L = comprimento de onda,h1 = profundidade dacamada superior,h2 = profundidade da camada in-ferior (h2 ≫ h1 > 0) e ρ2 > ρ1 > 0 as densidadesdos fluidos. O operador Transformada de Hilbertna faixaT é definido no domínio das frequênciascomo sendo,
T [f ](k) = i coth(kh)f(k), (2)
parak ∈ R\{0}, ondeh =h2
L, L comparável ah2.
x
z η(x, t)ρ1
ρ2
h1
h2
Figura 1: Configuração de um sistema com doisfluidos.
2 RESULTADOS
Antes de estudar o sistema (1), abordou-se aequação ILWR,
ut + ux −3
2αuux −
√βρ2ρ1
T [uxt] = 0, (3)
Janaina Schoeffel, Ailın Ruiz de Zarate
14
por ser tecnicamente mais fácil de tratar do que osistema.
A equação de ondas longas intermediárias (ILW),
ut + ux −3
2αuux −
√βρ2ρ1
T [uxx] = 0, (4)
foi introduzida emJOSEPH(1977), que fez um es-tudo analítico da equação. EmABLOWITZ et al.(1982) foi introduzida a versão periódica daequação. A boa colocação da equação ILW em es-paços de SobolevHs, coms > 3/2, foi citada emABDELOUHAB et al. (1989), sendo os resultadosdemonstrados para a equação de Benjamin-Ono eenunciados para a equação ILW, e aparece tambémna tese de doutorado deBORBA (1991), para es-paços de Sobolev com pesos.
Neste trabalho é demonstrada a boa colocaçãoda equação ILWR para espaços de Sobolev detipo L2, Hs(R), com s > 1/2, seguindo asideias emBORBA (1991). Também é conside-rada uma versão periódica linearizada do sistema(1), cuja boa colocação para espaços de Sobolev
periódicosHsper × H
s+ 12
per , s ∈ R, foi demonstradacom base nas ideias emALFARO et al. (2014).Voltando a atenção para o sistema (1), é impor-tante destacar o fato de que só há um termo dis-persivo na segunda equação. Esse é um aspectoimportante que diferencia este sistema de outrosjá estudados, por exemplo, emALAZMAN et al.(2006); BONA et al. (2004); GRAJALES (2014);XU (2012). Pretendemos mostrar os avançosobtidos na boa colocação do sistema fracamentenão linear (1) para espaços de Sobolev de tipoL2 seguindo as ideias e técnicas utilizadas emSCHONBEK (1981); BORBA (1991), entre ou-tros.
REFERÊNCIAS
Abdelouhab L., Bona L., Felland M. and Saut J.-C. Nonlocal models for nonlinear, dispersivewaves.Physica D, 40:360–392, 1989.
Ablowitz M.J., Fokas A.S., Satsuma J. and SegurH. On the periodic intermediate long wave equa-tion. Journal of Physics, A, 15:781–786, 1982.
Alazman A.A., Albert J.P., Bona J.L., Chen M.andWu J. Comparisons between the BBM equationand a Boussinesq system.Advances in Differen-tial Equations, 11:121–166, 2006.
Alfaro D.G., Oliveira S.P., Ruiz de Zárate A. andNachbin A. Fully discrete stability and disper-sion analysis for a linear dispersive internal wavemodelComputational and Applied Mathematics,33:203–221, 2014.
Bona J.L., Chen M. and Saut J.-C. Boussinesqequations and other systems for small-amplitudelong waves in nonlinear dispersive media: II.Thenonlinear theory. Nonlinearity, 17:925–952,2004.
Borba M.P. A Equação Intermediária de OndasLongas em Espaços de Sobolev com Pesos, Tesede Doutorado.IMPA, Rio de Janeiro: 1991.
Choi W. and Camassa R. Fully nonlinear internalwaves in a two-fluid system.Journal of FluidMechanics, 396:01–36, 1999.
Grajales J.C.M. Existence and Numerical Ap-proximation of Solutions of an Improved Inter-nal Wave Model.Mathematical Modelling andAnalysis, 19:309–333, 2014.
Joseph R.I. Solitary waves in finite depth fluid.Journal of Physics, A, 10:L225–L227, 1977.
Schonbek M.E. Existence of Solutions for theBoussinesq System of Equations.Journal of Dif-ferential Equations, 42:325–352, 1981.
Xu, L. Intermediate long wave systems for internalwaves.Nonlinearity, 25:597–640, 2012.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
15
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
CONTROLE DE VELOCIDADE DE UM SERVOMOTOR UTILIZANDO
SOFTWARE LABVIEW® REAL-TIME
Palavras-Chave: Aquisição de dados, LabVIEW®, Tempo Real, Sistema de controle.
1 INTRODUÇÃO
Atualmente as áreas de instrumentação e
controle têm recebido grande destaque no
setor industrial, pois as medições e o controle
de todas as variáveis envolvidas nos processos
de produção são responsabilidade da mesma.
O ensino, de aspectos relacionados a essas
áreas, requer o uso de práticas de laboratórios
capazes de demonstrar a relação entre os
conceitos teóricos abordados em sala de aula e
a sua aplicação na indústria. (NASSER et al,
2014).
Devido ao desenvolvimento dos equipamentos
e métodos aplicados nas indústrias, cada vez
mais se faz necessário a utilização de
instrumentos didáticos, a fim de preparar o
aluno para o mercado de trabalho. Este artigo
consiste em um kit didático para controle de
velocidade de um servomotor, utilizando uma
interface gráfica para facilitar a demonstração
de conceitos de controle.
O sistema de aquisição e controle empregado,
desenvolvido usando o ambiente de
programação gráfica LabVIEW®, combina uma
interface intuitiva com a precisão do sistema
em tempo real (BYANT AND GANDHI
,2005). Comparando com uma programação
baseada em texto, a programação gráfica
utilizada pelo LabVIEW® encurta o tempo de
desenvolvimento e facilita a entendimento do
código-fonte.
2 METODOLOGIA E MATERIAIS
O kit é composto por um Motor com Encoder
incremental em quadratura para leitura da
posição angular, um Gerador acoplado através
de uma correia ao motor, para reproduzir
cargas mecânicas, e um Driver de potência,
conforme a Figura 1.
Figura 1:Kit didático.
A aquisição e o controle são feitos através da
placa PCI-6221, da National Instrument®,
acoplada a um computador desktop (Target),
onde o sistema fará a aquisição em tempo real,
garantindo uma taxa de aquisição de 500 Hz e
um tempo de resposta de 2 ms. A interação
com o usuário é feita através de outro
computador desktop (Host). O software de
desenvolvimento utilizado foi o LabVIEW®.
No Target, os dados do encoder são
aquisicionados, processados e enviados ao
Host. Para garantir que o sistema consiga
enviar os dados para o host em tempo real,
dois loops são executados paralelamente, um
de maior prioridade, executando as tarefas de
tempo critico (aquisição de dados de forma
determinística, ou seja, dentro de um período
de tempo) e outro com as tarefas não
determinísticas (envio dos dados para o host).
Lucas Niro, Joana Pereira Repinaldo, MarcioAurelio Furtado Montezuma, Wanderlei Malaquias
16
O Target não possui interface para o usuário.
O Host possui uma interface para o usuário. A
interface, Figura 2, fornece uma série de
opções configuráveis, na qual é possível
modificar o sinal de referência de controle
(setpoint), ajustar os parâmetros do controle
proporcional-integral-derivativo (PID) e
configurar a taxa de discretização do sistema.
O parâmetro de entrada do sistema, ou seja, a
velocidade do servomotor pode ser alterada
manualmente utilizando o gerador de função,
onde o usuário pode controlar a velocidade do
sistema através de ondas quadradas,
triangulares ou senoidais.
Figura 2: Interface para usuário.
A Figura 3 demonstra a comunicação dos
dados entre os sistemas. As variáveis de
entrada definidas pelo usuário (setpoint,
parâmetros do controle e a taxa de
discretização do sistema) são enviadas para o
Target através de uma conexão ethernet
estabelecida entre os dois sistemas. O Target
recebe e processa estes dados e envia para o
servomotor o valor do PWM e a direção de
rotação, o servomotor, por sua vez, envia a
posição angular do motor para o Target, onde
está o controle PID sendo executado em tempo
real, formando um sistema de controle em
malha mechada. Os dados de velocidade, ação
de controle e o tempo são enviados ao Host
para serem salvos e analisados posteriormente
ou servirem para geração dos gráficos
desejados.
Figura 3:Comunicação de dados.
3 RESULTADOS
Na realização do controle foi utilizado
técnicas de controle PID, onde cada constante
realiza a correção do erro para diferentes
situações, como variações rápidas do erro e
variações pequenas ao longo do tempo. As
correções para um desempenho satisfatório do
sistema foram P = 0,9, I = 0,002 e D = 0.
O gráfico da Figura 4, apresenta o controle da
velocidade do servomotor para uma onda
quadrada com amplitude de 1500 rpm, offset
de 3000 rpm e um duty cycle de 50%, onde a
curva vermelha é a velocidade do servomotor
e a preta o setpoint.
Figura 4:Curva da Velocidade.
4 CONCLUSÕES
O desenvolvimento de um sistema para
aquisição de dados e controle de um
servomotor utilizando o software LabVIEW®
em tempo real pode ser utilizado como
ferramenta de ensino, servindo de
conhecimentos práticos de aspectos teóricos
referentes a sistemas de controle. Isto é
possível devido a sua interface de fácil
compreensão e sua flexibilidade frente ao
usuário, permitindo uma interação com todas
as variáveis envolvidas no processo em tempo
real.
REFERÊNCIAS
Bryant, C. L., & Gandhi, N. J. (2005). Real-
time data acquisition and control system
for the measurement of motor and neural
data. Journal of Neuroscience Methods,
142(2), 193–200.
doi:10.1016/j.jneumeth.2004.08.019
Nasser, P., Martins, O., Luiz, C., & Melo, S.
De. (2014). DESENVOLVIMENTO DE
UM CONTROLADOR PID DIGITAL.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
17
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
SOLUÇÃO NUMÉRICA DE PROBLEMA DE VALOR INICIAL DE
VIGA CONSIDERANDO A NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA
Palavras-Chave: Método Runge-Kutta, Viga, Não Linearidade Geométrica.
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem por objetivo apresentar
uma metodologia para determinar a solução
numérica de Problemas de Valor Inicial (PVI)
de vigas por meio dos métodos: Previsor -
Corretor (Método dos Trapézios) (PCT),
Runge-Kutta-Gill (RKG) e Runge-Kutta de 4a
ordem (RK4). Para a aplicação de tais
métodos é desenvolvido um código
computacional com o auxílio do software
Matlab. Os resultados numéricos obtidos são
confrontados com a solução analítica de um
problema de uma viga em balanço
considerando a não linearidade geométrica.
2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL
A equação diferencial y', juntamente com a
condição inicial y(x0), constitui um Problema
de Valor Inicial (PVI) de primeira ordem
sendo expresso por (FRANCO, 2010):
(1)
(2)
Resolver numericamente um PVI consiste
em calcular aproximações para y = y(x) em
pontos discretos x0, x1, x2,, xN pertencentes
a um intervalo [a,b]. Para discretizar o
intervalo, toma-se N subintervalos (N 1) e
faz-se , com n = 0,1,...,N e
. Este conjunto de pontos é
denominado rede ou malha de pontos
discretos. No caso de um PVI de segunda
ordem, pode-se fazer a mudança de variável y'
= u, com y(x0) = y0. Então, tem-se um sistema
constituído por duas equações diferenciais
acopladas pelas condições iniciais dado por:
(3)
(4)
(5)
3 SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Considere uma viga em balanço com seção
transversal constante (A = 10-2
m2), de
comprimento L0 = 1 m e submetida a uma
força concentrada P aplicada na extremidade
livre. Na Figura 1 á apresentado um desenho
esquemático da viga nas suas configurações
deformada e indeformada. Os parâmetros
utilizados nas simulações são: E = 107 Pa e I =
10-5
m4. O momento fletor M e o momento de
inércia I são funções não lineares dependentes
do segmento deformado do elemento, sendo
necessário calcular o deslocamento horizontal
Δ.
Figura 1: Viga em balanço sujeita uma força concentrada P.
Fonte: adaptada de GONÇALVES (2006).
Conforme a metodologia apresentada por
GONÇALVES (2006), o valor do
deslocamento Δ pode ser determinado a partir
das seguintes equações:
(6)
(7)
Luiz Antonio Farani de Souza
18
(8)
O valor de Δ na Eq. (8) é calculado por um
processo de tentativa e erro, ou seja, assume-
se um valor e, então, resolve-se a integral dada
na Eq. (6) para determinar o comprimento L
da viga deformada. O procedimento é repetido
para vários valores de Δ até o valor
aproximado de L ser obtido. Na Figura 2 é
mostrado o algoritmo desenvolvido neste
trabalho, na sua forma explícita, para a
obtenção do valor de . Para o cálculo de L, a
integral é solucionada pelo método numérico
Regra dos Trapézios repetida. Em
coordenadas retangulares, a equação de Euler -
Bernoulli é dada por:
(9)
Fazendo a mudança de variável y' = u e
levando à Eq. (9), tem-se o seguinte Problema
de Valor Inicial (PVI) com o acoplamento de
equações:
(10)
(11)
com as seguintes condições iniciais:
(12)
(13)
Figura 2: Algoritmo para a determinação do deslocamento
horizontal .
Na Figura 3 são mostradas as curvas
numéricas deslocamento vertical máximo (na
extremidade livre da viga) versus força obtidas
com os modelos implementados, comparando-
os com a solução analítica apresentada por
TIMOSHENKO e GERE (1982). Na
discretização da viga, adotou-se 100 pontos
discretos para a malha. No cálculo do
deslocamento horizontal considerou-se =
10-5
e tol = 10-4
.
Figura 3: Deslocamento vertical máximo versus força.
Observa-se na Figura 3 que as curvas
preditas pelos métodos numéricos ficaram
razoavelmente próximas da solução analítica;
no entanto, a partir do incremento de força de
200 N os valores dos deslocamentos obtidos
nos pontos discretos com o método RK4
ficaram menos precisos em comparação com
os demais. O exemplo apresentado não se
refere a forças seguidoras.
4 CONCLUSÃO
Para o problema não linear de viga
analisado, vê-se que a metodologia utilizada
com a implementação dos métodos numéricos
com passo constante conseguiu obter
resultados com razoável precisão em
comparação com o analítico. Como sugestão
de pesquisa futura, a metodologia pode ser
utilizada na solução de problemas dinâmicos
de vigas com a teoria de Timoshenko e de
vigas sobre base elástica. Em adição, pode-se
implementar outros métodos numéricos de
maior ordem incorporando o controle de passo
adaptativo.
REFERÊNCIAS
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GONÇALVES, I. H. Análise de deformações
em vigas com comportamento
geometricamente não linear. Itajubá:
UNIFEI, 2006. Dissertação (Mestrado) -
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Mecânica, Universidade Federal de Itajubá,
2006.
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. E. Mecânica
dos Sólidos. Vol. 1. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1982.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
19
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
CAMADA DE ABSORÇÃO PARA O MÉTODO DAS DIFERENÇAS
FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO APLICADO À GRADE
TRIDIMENSIONAL FORMADA POR PRISMAS HEXAGONAIS
Palavras-Chave: FDTD, Prismas Hexagonais, Camada de Casamento Perfeito, PML, CPML.
1 INTRODUÇÃO
O método das diferenças finitas no domínio
do tempo, mais conhecido em inglês como
FDTD (Finite-Difference Time-Domain) é um
método de diferenças finitas com marcha no
tempo aplicado em equações de onda usadas
em acústica ou eletromagnetismo (JIN, 2010).
Para simular a propagação em espaço aberto, o
método FDTD necessita emular um espaço
infinito. Uma forma eficiente de alcançar este
objetivo é utilizar seis camadas de absorção de
onda (TAFLOVE AND HAGNESS, 2005)
envolvendo o espaço de simulação, usualmente
com formato de paralelepípedo. Estas seis
camadas devem absorver as ondas incidentes e
produzir reflexão desprezível de forma a não
introduzir erros nas simulações (BÉRENGER,
1994). Desta forma, estas camadas de absorção
são conhecidas em inglês como PMLs
(Perfectly Matched Layers). A melhor
formulação PML conhecida atualmente é
chamada em inglês como Convolutional-PML
(CPML). Neste artigo a formulação CPML é
aplicada a uma nova grade tridimensional,
desenvolvida pelos autores deste artigo,
formada por prismas hexagonais. Esta grade
tem como vantagem produzir menos dispersão
e anisotropia numéricas que a grade de
hexaedros do método FDTD Yee.
2 FORMULAÇÃO TEORICA
A formulação CPML no método FDTD Yee
(SCHNEIDER, 2013) utiliza um novo operador
del ∇c que incorpora uma condutividade
normalizada (Sw) que é aplicada aos campos elétricos (E) e magnéticos (H), tal que:
𝛁𝒄 = ��𝒙1
𝑆𝑥
𝜕
𝜕𝑥+ ��𝒚
1
𝑆𝑦
𝜕
𝜕𝑦+ ��𝒛
1
𝑆𝑧
𝜕
𝜕𝑧 (1)
Este operador del é aplicado nas equações de
Maxwell no domínio da frequencia:
𝛁𝒄 × 𝑯 = jωε𝑬 ; 𝛁𝒄 × 𝑬 = −jωμ𝑯 (2)
Onde ω é a frequencia angular, j é o número
imaginário, ε e μ são a permissividade elétrica
e a permeabilidade magnética do meio,
respectivamente. Convertendo a equação (2a),
por exemplo, para a componente de campo
elétrico Ex no domínio do tempo, tem-se:
𝜀𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑡= ��𝑦 ∗
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦− ��𝑧 ∗
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑧 (3)
Onde “*” indica convolução no tempo, e o
termo Ŝw é a transformada inversa de Fourier de (1/Sw). A condutividade normalizada (Sw) é definida como:
𝑆𝑤 = 𝑘𝑤 + 𝜎𝑤
𝑎𝑤 + 𝑗𝜔𝜀 = 𝑘𝑤 +
𝜎𝑚𝑤
𝑎𝑤 + 𝑗𝜔𝜇 (4)
Onde σw e σmw são as condutividades elétrica e magnética, respectivamente, dentro da PML. O termo aw assegura que a
condutividade Sw permanece finita quando a
frequencia (ω) vai a zero e o termo kw permite
Marinoel Joaquim, Sergio Scheer
20
que a permissividade relativa possa mudar na
PML. Desenvolvendo a transformada inversa
de Fourier na equação (3) é obtido:
𝜀𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑡=
1
𝑘𝑦
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦−
1
𝑘𝑧
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑧+ 𝜑𝑦(𝑡) ∗
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦−
𝜑𝑧(𝑡) ∗𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑧 (5)
As convoluções de φw(t) na equação (5)
podem ser calculadas recursivamente:
Ψ𝐸𝑢𝑤𝑛 = 𝜑𝑤(𝑡) ∗
𝜕𝐻𝑣
𝜕𝑤|
𝑡=𝑛.Δ𝑡 (6a)
Ψ𝐸𝑢𝑤𝑛 = 𝐶𝑤
𝜕𝐻𝑣𝑛
𝜕𝑤+ 𝑏𝑤 . Ψ𝐸𝑢𝑤
𝑛−1 (6b)
Onde os termos bw e Cw são dados por:
𝑏𝑤 = exp (− [𝑎𝑤
𝜀+
𝜎𝑤
𝑘𝑤𝜀 ] . ∆𝑡)
(7a)
𝐶𝑤 = 𝜎𝑤
𝜎𝑤𝑘𝑤+𝑘𝑤2 𝑎𝑤
(𝑏𝑤 − 1) (7b)
3 FORMULAÇÃO CPML PARA O
MÉTODO FDTD COM GRADE DE
PRISMAS HEXAGONAIS
Esta formulação CPML é aplicada nas oito
equações de diferença finitas da grade de
prismas hexagonais. Esta grade é formada pela
superposição e acoplamento das grades
bidimensionais dos modos TMZ (Transversal
Magnético) e TEZ (Transversal Elétrico)
intercaladas por meio passo espacial na direção
z, como mostrado em Figura 1. O modo TMZ é
formado pelos campos H1, H2, H3 no plano xy
e EZ na direção positiva do eixo z; e o modo
TEZ é formado pelos campos E1, E2, E3 no
plano xy e HZ na direção positiva do eixo z.
Figura 1: Modos TEZ e TMZ na grade de prismas hexagonais.
Uma fonte senoidal é aplicada no centro da
grade com dimensões Lx = Ly = Lz ≈ 150 m,
comprimento de onda λ = 20 m, número de
pontos por comprimento de onda Nλ = 20,
número de Courant Sc ≈ 0,5396 e PMLs com
espessuras Lcx = Lcz ≈ 23 m e Lcy = 40 m. O
número de passos no tempo é n = 236. As
Figuras 2 e 3 mostram as absorções efetivas das
seis PMLs nos planos xy e yz, respectivamente.
Figura 2: Onda senoidal no plano xy (nível reduzido em 10-4).
Figura 3: Onda senoidal no plano xz (nível reduzido em 10-4).
4 CONCLUSÕES
Uma formulação CPML para grade de prismas
hexagonais tem sido desenvolvida
apresentando resultados satisfatórios, desde
que se use uma espessura adequada de PML e
uma função suave de crescimento da
condutividade para minimizar reflexões.
REFERÊNCIAS
Bérenger, J. P., A perfectly matched layer for
the absorption of electromagnetic waves. J.
Comput. Phys. 114:185-200, 1994.
Jin, J. M., Theory and Computation of
Electromagnetic Fields. New Jersey: Willey,
2010.
Schneider J. B., Understanding the Finite-
Difference Time-Domain Method. URL:
www.eecs.wsu.edu/~schneidj/ufdtd Acesso
em: 28/03/2013.
Taflove, A., and Hagness, S. C., Computational
Electrodynamics: The Finite-Difference
Time-Domain Method. 3rd ed., Artech House:
Boston, 2005.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
21
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
PARÂMETROS TERMOFLUIDODINÂMICOS DO
ESCOAMENTO CRUZADO EXTERNO SOBRE UMA
MATRIZ ALTERNADA DE TUBOS CIRCULARES
Palavras-Chave: Convecção Forçada, Matriz Tubular, Escoamento Cruzado, Escoamento
Externo, Análise Numérica.
1 INTRODUÇÃO
Neste trabalho foi realizada uma análise
numérica da transferência de calor por convec-
ção forçada de um escoamento cruzado sobre
uma matriz de tubos circulares em arranjo
alternado utilizando o software ANSYS/
FluentTM 16.0. O resfriamento da matriz tubu-
lar isotérmica ocorreu pelo escoamento força-
do de ar sob condições de regimes permanente
e laminar com propriedades termofísicas cons-
tantes. Este problema é relevante em inúmeras
aplicações industriais, tais como geração de
vapor em uma caldeira ou resfriamento de ar
na serpentina de um condicionador de ar
(BERGMAN et al., 2014).
2 SOLUÇÃO NUMÉRICA
As equações governantes com suas condições
de contorno foram resolvidas numericamente
utilizando o Método dos Volumes de Controle
(PATANKAR, 1980). O algoritmo SIMPLE
(Semi-Implicit Method for Pressure Linked
Equations) foi utilizado para tratar do acopla-
mento pressão-velocidade. A discretização dos
termos difusivo-convectivos foi realizada por
meio do esquema Upwind de 2ª Ordem.
Devido às não-linearidades na equação do
momentum, as componentes de velocidade e a
correção da pressão foram sub-relaxadas para
prevenir instabilidade e divergência. Os fato-
res de sub-relaxação utilizados foram de 0,7
para as componentes da velocidade, 0,3 para a
correção da pressão e 0,5 para a temperatura.
O critério de parada do processo iterativo de
resolução foi estabelecido para mudança
absolutas das variáveis primitivas menores do
que quatro algarismos significativos entre duas
iterações consecutivas, enquanto a conserva-
ção global de massa no domínio foi satisfeita
em todas as iterações.
A verificação dos procedimentos numéricos
adotados foi realizada através da comparação
dos resultados apresentados em ANSYS
(2012). Após o estudo de refinamento de grade
computacional, uma grade 2D não-uniforme
contendo 26.029 volumes de controle hexago-
nais (Figura 1) foi utilizada nas simulações.
Esta grade computacional foi mais concen-
trada nas regiões próximas às interfaces
sólido-fluido devido aos maiores gradientes
das variáveis primitivas nestas regiões.
Figura 1 – Grade computacional 2D não-uniforme.
As resoluções numéricas foram executadas em
um microcomputador com processador IntelTM
CoreTM i7 3,6GHz e 16GB RAM. O tempo de
processamento computacional de uma solução
típica foi de aproximadamente 300 segundos.
Renan Gustavo de Castro Hott, Micheldo Espirito Santo, Thiago Antonini Alves
22
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados numéricos foram obtidos para
Reynolds iguais a 5600, 9200, 12.800, 16.400
e 20.000. Nesta faixa de operação, a natureza
do escoamento é laminar (KAYS et al., 2005).
Na obtenção dos resultados foram considera-
das temperaturas de entrada T0 = 300K e de
superfície dos tubos Ts = 450K.
3.1 Parâmetros Fluidodinâmicos
Na Figura 2 são mostradas as linhas de corren-
te sobre a matriz tubular. As principais carac-
terísticas do escoamento laminar consistem na
formação de vórtices a jusante dos tubos, na
direção do escoamento. Esta região de recir-
culação próxima ao ponto de estagnação
culmina na redução do coeficiente de trans-
ferência de calor local, pois o contato térmico
entre a superfície a jusante do tubo e do escoa-
mento livre é reduzido.
Figura 2 – Linhas de corrente (Re = 16.400).
Na Figura 3 é apresentado o perfil de veloci-
dade do escoamento laminar sobre a matriz
tubular. Nota-se o mesmo comportamento
fluidodinâmico quando comparada com a
Figura 2. Ressalta-se que é possível analisar as
magnitudes da velocidade e o sentido das
recirculações do escoamento.
Velocidade [m/s]
Figura 3 – Perfil de velocidades (Re = 16.400).
3.2 Parâmetros Térmicos
O mapa de isotérmicas do escoamento ao
longo da matriz alternada de tubos é ilustrado
na Figura 4. O gradiente de temperatura entre
o escoamento e a superfície dos tubos circula-
res decresce ao longo da configuração acar-
retando em uma diminuição do Nusselt local.
Temperatura [K]
Figura 4 – Distribuição de temperaturas (Re = 16.400).
Na Figura 5 o comportamento do Nusselt
médio é mostrado em função do Reynolds.
Como esperado, o Nusselt médio aumenta com
o aumento do Reynolds, indicando uma maior
transferência de calor por convecção forçada
da matriz de tubos circulares isotérmicos para
o escoamento fluido sobre ela.
ReD,máx
Nu
D
5000 10000 15000 2000050
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Figura 5 – Nusselt médio em função de Reynolds.
4 CONCLUSÕES
Esta análise numérica foi importante, pois o
conhecimento dos parâmetros termofluidodi-
nâmicos do escoamento cruzado externo sobre
uma matriz alternada de tubos circulares é
essencial no projeto de trocadores de calor.
REFERÊNCIAS
ANSYS/FluentTM. Modeling a periodic flow
and heat transfer using ANSYS/FluentTM.
Tutorial, 213-240, 2012.
Bergman, T.L., Lavine, A.S., Incropera, F.P.,
and Dewitt, D.P., Fundamentos de Transfe-
rência de Calor e de Massa. Livros Técni-
cos e Científicos Editora, 2014.
Kays, W.M., Crawford, M.E., and Weigand,
B., Convective Heat and Mass Transfer.
McGraw-Hill, 2005.
Patankar, S.V., Numerical Heat Transfer and
Fluid Flow. Hemisphere Publishg Co.,
1980.
,D DNu , Re 0 52760 6850
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
23
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
CONSTRUÇÃO DE MODELO NUMÉRICO DE PAVIMENTOS
URBANOS EM VIAS DE TRANSPORTE COLETIVO UTILIZANDO O
MODELO ELASTOPLÁSTICO DE DRUCKER-PRAGER
Palavras-Chave: Drucker-Prager, elementos finitos, análise de pavimentos, sistemas
multicamadas, plasticidade.
1 INTRODUÇÃO
O pavimento é um sistema estrutural
multicamadas sujeito a diversas solicitações,
preponderando aquelas provenientes do
tráfego. Quando cargas excedentes solicitam
os pavimentos, os mesmos podem sofrer
deformações não recuperáveis, características
do chamado “afundamento nas trilhas de
roda”. Esse tipo de fenômeno pode ainda
ocorrer em circunstâncias em que uma ou mais
camadas que compõe o pavimento foram mal
compactadas, as espessuras ou os materiais
escolhidos são inadequados face às
solicitações, entre outras causas. O modelo
proposto por Drucker e Prager (1952), é
utilizado neste trabalho para modelar o
comportamento inelástico dependente da
pressão hidrostática de materiais granulares
(com ângulo de atrito) como solos, rochas e
concretos. No espaço de tensões principais, o
modelo de Drucker-Prager é representado por
uma superfície cônica, suprindo algumas das
deficiências numéricas do tradicional modelo
de Mohr-Coulomb.
No presente trabalho o método dos elementos
finitos, através do software ANSYS®, é
utilizado para a modelagem do problema.
Nessa linha, o programa oferece três opções
de modelos constitutivos: Drucker-Prager
(DP), Extended Drucker-Prager (EDP) e o
Drucker-Prager Cap Model (IMAOKA, 2008).
Todos eles permitem a simulação do
comportamento elastoplástico desses
materiais, possibilitando a análise de um
problema com a complexidade de um
pavimento através da consideração da
interação entre camadas (GARCÍA, 2009).
2 MODELO E PARÂMETROS DE
VERIFICAÇÃO
Para a construção do modelo, foi utilizado um
elemento finito tridimensional do tipo
SOLID45, definido por oito nós com três
graus de liberdade cada, nas direções x, y e z
(referente a um sistema cartesiano global).
Este tipo de elemento finito permite modelar
problemas com grandes deformações e incluir
diversos modelos de plasticidade, tais como o
DP.
Inicialmente foram executadas simulações
considerando um sólido básico que, para fins
práticos, representaria um bloco sólido
composto por um único material – um solo
homogêneo solicitado por uma carga pontual
de Fz = 10 kN, que corresponderia a,
aproximadamente, 1/4 da carga de roda de um
caminhão padrão por norma, (BRASIL, 2006)
no nó localizado na origem do sistema
cartesiano. Posteriormente, a carga pontual
será substituída por uma solicitação distribuída
de formato elíptico, para representação mais
fiel do problema. São aplicadas restrições
perpendiculares às faces do sólido, com
exceção do plano superior, que está livre ao
deslocamento no sentido vertical. As
Patrıcia Schipitoski Monteiro, Ana PaulaMikos, Daniane Franciesca Vicentini
24
propriedades elásticas do material são:
E=5000 MPa (Módulo de Young) e ν=0,27
(coeficiente de Poisson). Os deslocamentos na
direção z são apresentados na Figura 1, onde a
cor vermelha indica os pontos de máximo
deslocamento vertical.
Figura 1: Modelo utilizado
As propriedades para a descrição não-linear do
problema são apresentadas na Tabela 1
(ANSYS, 2009).
Parâmetros do material Valor
Coesão (c) 2,9 MPa
Ângulo de atrito (ϕ) 32o
Ângulo de dilatância (ɵ) 0o
Tabela 1: Parâmetros do material.
Para a modelagem deste tipo de
comportamento (não linearidade material), os
modelos constitutivos oferecidos pelo
ANSYS, são descritos através de dois
parâmetros principais: o ângulo de atrito (ϕ) e
a coesão (c), valor que intercepta o eixo das
ordenadas (limite elástico do material) obtido
quando a pressão hidrostática atuante é nula.
Os parâmetros são representados na Figura 2.
Assim, de acordo com o modelo DP, a tensão
que define o início da plastificação (y) é dada
pela equação (1).
)3(3
cos6
sen
cy (1)
Na definição dos parâmetros do modelo, é
necessário ainda declarar o ângulo de
dilatação ϴ da superfície de plastificação, que
define a lei de fluxo plástico. Assim, se o
ângulo de dilatância for igual ao próprio
ângulo de atrito Φ (como é assumido
normalmente), a lei de fluxo é dita associativa
e conduz a uma superfície cujas deformações
plásticas ocorrem na direção normal à
superfície de plastificação. Quando o ângulo
de dilatância for menor que Φ ou igual a zero,
o fluxo é dito não-associativo e a superfície
varia de acordo com o ângulo definido. Vários
testes estão sendo realizados variando estes
parâmetros para verificar sua influência na
resposta.
Figura 2: Parâmetros requeridos para DP
3 RESULTADOS ESPERADOS
Após finalizada a etapa de testes de malha,
convergência do modelo e da aquisição de
parâmetros a partir da literatura disponível, a
seguinte fase consistirá na construção de um
modelo mais complexo de estrutura de
pavimentos, que permita comparar os
resultados numéricos com os obtidos em
campo, em vias de transporte coletivo público
da cidade de Curitiba.
REFERÊNCIAS
ANSYS. ANSYS Mechanical APDL Structural
Analysis Guide. 2009.
BRASIL. Manual de estudos de tráfego. 2006.
DRUCKER, D. C.; PRAGER, W. Soil
Mechanics and Plastic Analysis or Limit
Design”, Q. Appl. Math., 10, 157-165. Q.
Appl. Math., V. 10, P. 157–165, 1952.
GARCÍA, J. M. Análisis 3d No Lineal
Mediante Elementos Finitos Del Efecto Arco
En La Grava De Santiago, 2009. Pontificia
Universidad Católica De Chile.
IMAOKA, S. Ansys.net tips and tricks:
drucker-prager model. Disponível em:
<http://ansys.net/ansys/ansys_tips.html>. .
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
25
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA PARA PROBLEMAS DE
SEQUÊNCIAS: ABORDAGEM GERAL PARA REDUZIR O
TAMANHO DOS MODELOS
1 INTRODUÇÃO
Problemas de sequências pertencem
aos tópicos interdisciplinares mais
desafiantes da atualidade. Eles são
ubiquos nas ciências e na vida diária e
ocorrem, por exemplo, como
sequências de DNA que codificam
toda informação de um organismo,
como texto (natural ou formalizado) ou
como programa de computador (veja
FESTA (2007), MENESES et al.
(2005) e ZÖRNIG (2015)). Problemas
de sequências surgem portanto em
diversas variantes em biologia
computacional (desenvolvimento de
medicamentos), teoria de codificação,
compactação de dados e Linguística
Quantitativa e Computacional
(tradução automática).
2 CONCEITOS BÁSICOS
Dado um alphabeto = {1,…, }
com ℕ, cujos elementos são
chamados de caracteres. Por m
denotamos o conjunto de sequências
sobre com comprimento m. Para
duas sequências s, t m a distância
de Hamming d(s, t) entre s e t é
definida pelo número de posições nas
quais s e t diferem.
Muitos problemas de seleção de
seqüências encaixam-se na seguinte
forma (veja e.g. FESTA (2007)). Seja
= { 1s ,…, ns } um conjunto de n
sequências com is = (is1 ,…, i
ms )m
para i=1,…,n. O problema é dado pela
matriz de sequências
S =
nm
n
m
ss
ss
1
111
(1)
cujas linhas consistem das sequências
de .
O objetivo é determinar uma sequência
t = (t1,…,tm) que maximize ou
minimize uma certa característica
expressa em termos da distância de
Hamming entre t e uma si. Geralmente
a sequência t é construída, escolhendo
o elemento tj dos caracteres que
aparecem na j-ésima coluna da matriz
(1). Em particular, o problema da
seqüencia mais próxima (Closest
String Problem - CSP) consiste em
determinar uma sequência t que
minimize f(t)= ni ,...,1max d( is , t), e
no problema da sequência mais
distante (Farthest String Problem -
FSP) a função objetivo g(t)=
ni ,...,1min d( is , t) é maximizada.
3 MODELO CONVENCIONAL
Em anos recentes alguns Modelos de
Programação Linear Inteira (MPLI)
para problemas de sequências já foram
apresentados na literatura. A estratégia
principal para resolver um MPLI
(adotada a seguir) descreve-se em duas
fases da seguinte forma (veja
MENESES et al. (2005) e
PAPPALARDO et al. (2013)):
Fase 1: Resolva-se a relaxação linear
do problema,
Fase 2: Com base na solução da
primeira fase é construída uma
Peter Zornig
26
solução inteira por meio de um
método Branch&Bound.
Porém, a desvantagem comum dos
MPLI´s convencionais para problemas
de sequências é que o número de
variáveis e o número de restrições
crescem linearmente com as dimensões
da matriz (1). Por causa disso, o
tamanho dos modelos convencionais
pode ser muito grande, especialmente
em aplicações biológicas quando as
sequências são muito longas. Além
disso, a relaxação linear do problema
usualmente contém uma grande
proporção de componentes não
inteiros, o que torna o método de
Branch&Bound da segunda fase muito
demorado.
4 MODELO REDUZIDO
O objetivo deste trabalho é apresentar
uma abordagem geral para diminuir o
tamanho do MPLI para problemas de
sequências (ZÖRNIG (2011, 2015)).
Primeiro, o problema é normalizado,
substituindo toda coluna de (1) por um
“vetor de representação” que é
isomorfo à coluna original. O novo
MPLI é equivalente ao anterior, porem
tem muitas colunas idênticas que
podem ser modelados
“simultaneamente”. Desta forma é
possível deletar colunas idênticas a as
correspondentes variáveis do modelo
pelo que o tamanho é
consideravelmente reduzido. Em
particular, para problemas com três
sequências, o novo modelo tem no
máximo 10 variáveis e 7 restrições,
independente do comprimento m das
sequências. Os modelos convencionais
necessitam milhares ou até milhões de
restrições e variáveis para m grande.
Além disso, em extensos testes
numéricos com o novo MPLI foi
ilustrado que a solução da primeira
fase contém geralmente apenas uma
pequena proporção de componentes
não inteiros. Para um pequeno número
n de sequências, essa proporção é tão
pequena que um simples
arredondamento da “solução relaxada”
determina a solução exata ou pelo
menos uma aproximação excelente do
problema de sequências. (Em
particular, para o FSP com até 8
sequências o erro máximo em
problemas de teste foi de 3). Assim a
difícil segunda fase da resolução é
também bastante simplificada.
O princípio de redução de tamanha
aplica-se também a diversas outras
problemas de sequências, como, por
exemplo, ao “Far From Most String
Problem” ou a problemas com
múltiplos critérios.
Referências
Festa, P.: On some optimization
problems in molecular biology.
Mathematical Biosciences 207,
219-234, 2007.
Meneses, C.N., Pardalos P.M.,
Pappalardo, E. Pardalos P.M. e
Stracquadanio, G.: Optimization
Approaches for Solving String
Selection Problems, 2013.
Resende M.G.C. e Vazacopoulos, A.:
Modeling and Solving String
Selection problems, Proceedings
of the 2005 International
Symposium on Mathematical and
Computational Biology, Rio de
Janeiro.
Zörnig, P.: Improved Optimization
Modelling for the Closest String
and Related Problems. Applied
Mathematical Modelling, 35:
5609-5617, 2011.
Zörnig, P.: Reduced-Size Integer
Linear Programming Models for
String Selection Problems:
Application to the Farthest String
Problem. Journal of Computational
Biology 22(8): 729-742, 2015.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
27
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE APLICADA AO SENSOR DECOMBUSTÍVEL DE CAMINHÃO
Palavras-Chave: Sensor de combustível, probabilidade de falha, caminhão, confiabilidade.
1 INTRODUÇÃO
A confiabilidade pode ser entendida como aprobabilidade de que um componente ou sistemacumpra sua função com sucesso, ou seja, tenhaum bom desempenho durante um período de tempoprevisto, sob as condições de operação especifi-cadas no seu projeto (LAFRAIA, 2007).
“Atingir a satisfação dos clientes, melhorar aqualidade de seus produtos e reduzir custos temsido a missão de muitas das empresas no mercadobrasileiro e em especial no setor automobilístico,já que os principais fatores na decisão de com-pra de um veículo tem sido preço e confiabilidade"(MATOS & ZOTTI, 2010, p.1).
O problema em estudo relaciona-se com a falhado sensor de combustível modelo TX4, localizadono interior do tanque do caminhão. Sua funçãoé medir a quantidade de combustível no tanque einformar à unidade de comando que envia o dadopara o marcador no painel do caminhão. O prob-lema relatado pelos clientes é a inconsistência dasinformações apresentadas no marcador de com-bustível com a real quantidade existente no tanque.Devido a esse problema, em alguns casos, o cam-inhão chega a parar. O sensor é um sistema nãoreparável, ou seja, após sua falha é necessário tro-car a peça defeituosa por uma nova.
Geralmente, a aplicação dos caminhões difere,sobretudo, no uso rodoviário ou fora da estrada,bem como se ele é articulado ou rígido. Um pontofundamental é o seu uso, que pode variar desde otransporte de grãos, minério de ferro ou até mesmoentregas de carga de pequeno porte em áreas ur-banas. Nesse sentido, o objetivo deste trabalhoé analisar e comparar a probabilidade de falha de
quatro modelos de caminhões. Existe a hipótese deque os caminhões rígidos (caminhões sem articu-lação) apresentem probabilidade de falha diferentedos caminhões articulados.
2 MATERIAL
Utilizaram-se dados fornecidos por uma grandeindústria multinacional do ramo automobilístico,contendo registros de falha do sensor de com-bustível modelo TX4 (ver Figura 1). A base de da-dos contêm registros do Brasil, Chile e Peru, bemcomo informações de quatro modelos de caminhão(A, B, C e D), num total de 6136 caminhões.
Figura 1: Sensor de combustível modelo TX4.
2.1 Descrição dos modelos de caminhão• Modelo A: Projetado para uso fora da
estrada, este caminhão pode ser rígido ou ar-ticulado.
• Modelo B: Caminhão articulado, projetadopara estradas de longas distâncias.
• Modelo C: Caminhão rígido, projetado pararodovias de curta e médias distâncias.
• Modelo D: Caminhão articulado, projetadopara rodovias de curta e médias distâncias.
Ricardo Rasmussen Petterle, Roberta Gurnacki de Wallau
28
A quantidade de caminhões envolvidos neste es-tudo separados por modelo e por países encontram-se na Tabela 1:
Tabela 1: Quantidade de falhas e censuras apre-sentadas por modelo de caminhão para diferentespaíses em que os dados foram obtidos.
País
Modelo Brasil Chile Peru
A F = 193/S = 322 F = 10/S = 94 F = 266/S = 708
B F = 315/S = 382 F = 27/S = 32 -
C F = 127/S = 3244 - -
D F = 100/S = 316 - -
F: falha ; S: censura.
3 MÉTODOS
O tempo até a falha do sensor de combustívelé uma variável aleatória contínua e estritamentepositiva, logo é necessário modelar esta proba-bilidade de falha com uma distribuição adequadapara este tipo de dado. Para tanto, foram usadasas distribuições Exponencial-2P, Weibull-3P, Log-Normal, Gama, Gama Generalizada dentre outras.Como critério para a seleção do modelo probabilís-tico, foram comparados os valores da função delog-verossimilhança com o objetivo de obter o mel-hor ajuste aos dados.
4 RESULTADOS
Nas Tabelas 2, 3 e 4 são apresentadas, com tem-pos pré determinados, as estimativas da probabili-dade de falha do sensor de combustível para os da-dos do Brasil, Chile e Peru, respectivamente.
Tabela 2: Probabilidade de falha estimada para osdados do Brasil.
Tempo de uso
Rank Modelos 6 meses 12 meses 18 meses
1 B 43, 27% 61, 87% 70, 26%
2 A 39, 00% 57, 23% 65, 63%
3 D 23, 19% 48, 30% 65, 20%
4 C 2, 42% 8, 73% 15, 80%
Tabela 3: Probabilidade de falha estimada para osdados do Chile.
Tempo de uso
Rank Modelos 6 meses 12 meses 18 meses
1 B 40, 91% 62, 55% 73, 20%
2 A 6, 38% 14, 08% 21, 02%
Tabela 4: Probabilidade de falha estimada para osdados do Peru.
Tempo de uso
Rank Modelos 6 meses 12 meses 18 meses
1 A 26, 17% 39, 17% 45, 82%
Na base de dados não havia informaçãodisponível dos modelos B, C e D no Peru. En-quanto no Chile os registros apresentavam somenteos modelos A e B.
5 CONCLUSÕES
A probabilidade de falha do sensor de com-bustível é diferente entre os caminhões, os mode-los articulados são os que mais falham. Possivel-mente a falha nesses modelos é maior devido suaarticulação, que gera uma intensidade de vibraçãomaior. Considerando os dados do Brasil vemos quea probabilidade de falha do modelo B (articulado)é maior do que o modelo C (rígido), sendo que estemodelo apresenta probabilidade de falha estimadaem 15, 80% para 18 meses de uso.
O principal ganho com a aplicação desta técnicaestatística foi obter estimativas da probabilidade defalha do sensor de combustível para diferentes tem-pos pré determinados e poder analisar e comparar afalha entre os quatro modelos de caminhões.
REFERÊNCIAS
LAFRAIA J. Manual da Confiabilidade, Man-tenabilidade e Disponibilidade. 4 ed. Rio deJaneiro: Qualitymark: Petrobras, 2007.
MATOS P.Z. ; ZOTTI D. Analise de confiabilidadeaplicada a industria para estimacao de falhas eprovisionamento de custos. 2010.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
29
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DEBURGERS BIDIMENSIONAL
Palavras chave:Equação de Burgers, Diferenças Finitas, Análise Numérica, Scilab.
1 IntoduçãoNeste trabalho o método de diferenças finitas(MDF) é usado para gerar a solução da equa-ção de Burgers bidimenional, sendo utilizado dife-rença avançada no termo temporal, diferença cen-tral ponderada nos termos espaciais de primeiraordem e diferença central nos termos espaciais desegunda ordem. O esquema obtido preserva a nãolinearidade no termo espacial de primeira ordem,gerando um sistema explícito não linear de equa-ções. Como uma alternativa para evitar a necessi-dade da resolução do sistema não linear de equa-ções, em cada passo de tempo, será utilizado a téc-nica numérica descrita em [1,2] no qual linearizao sistema. Resultados numéricos são comparadoscom resultados da solução analítica obtida a partirda transformação de Hopf-Cole [3,4]. A técnicautilizada pode ser estendida para a resolução deproblemas não lineares resultantes em áreas dasengenharias e ciências.
2 Modelo Matemático
A equação de Burgers bidimensional, consideradaneste trabalho é:
∂u
∂t+u
∂u
∂x+u
∂u
∂y− 1
Re
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)= 0, (1)
onde u(x, y, t) é uma função de variáveis indepen-dentes x, y e t, em que t é a variável temporal e x,y são as variáveis espaciais e Re é o número deReynolds.
3 Metodologia NuméricaReescrevendo a equação (1) na forma,
∂u
∂t+
1
2
∂u2
∂x+
1
2
∂u2
∂y− α∂
2u
∂x2− α∂
2u
∂y2= 0, (2)
onde α = 1/Re e, usando aproximações de dife-renças avançada no termo temporal, central pon-derada nos termos espaciais de primeira ordem ecentral nos termos espaciais de segunda ordem, noponto (i, j, k + 1), obtém-se o sistema não linearde equações para i = 1...Mx − 1, j = 1...My − 1e k = 0...Mt, dado por
(ui,j,k+1 − ui,j,k) +k
4h[θ(u2i+1,j,k+1 − u2i−1,j,k+1)
+ (1− θ)(u2i+1,j,k − u2i−1,j,k)]
+k
4s[θ(u2i,j+1,k+1 − u2i,j−1,k+1)
+ (1− θ)(u2i,j+1,k − u2i,j−1,k)]
− kα
h2(ui+1,j,k+1 − 2ui,j,k+1 + ui−1,j,k+1)
− kα
s2(ui,j+1,k+1 − 2ui,j,k+1 + ui,j−1,k+1).
(3)
Considerando θ = 0, em (3), tem-se um sis-tema explícito de equações lineares em função deui,j,k+1, equanto que para 0 < θ ≤ 1 o sistemaexplícito a ser resolvido encontra-se na forma nãolinear. Como uma alternativa para evitar a neces-sidade da resolução do sistema não linear de equa-ções, em cada passo de tempo, utiliza-se a téc-nica numérica descrita em [1,2], no qual linearizaos termos do sistema, porém torna-o implícito emfunção de Wi,j , como apresentado por
(2rs2α + θrhs
2ui−1,j,k)Wi−1 − 2(1 + 2rs
2α + 2rh
2α)Wi
+ (2rs2α− θrhs
2ui+1,j,k)Wi+1 + (2rh
2α + θrsh
2ui,j−1,k)Wj−1
+ (2rh2α− θrsh
2ui,j+1,k)Wj+1
= −2rs2α(ui−1,j,k − 2ui,j,k + ui+1,j,k)
− 2rh2α(ui,j−1,k − 2ui,j,k + ui,j+1,k)
+1
2rhs
2(u
2i+1,j,k − u
2i−1,j,k) +
1
2rsh
2(u
2i,j+1,k − u
2i,j−1,k),
(4)
Tadasi Matsubara Junior e Neyva Maria lopes Romeiro
30
onde Wi,j = ui,j,k+1 − ui,j,k.O sistema obtido em (4) é resolvido utilizando
Gauss-Seidel, gerando soluções de W . As solu-ções em função de u são dadas usando ui,j,k+1 =Wi,j + ui,j,k.
4 Resultados NuméricosA solução analítica de (1), obtida a partir da trans-formação de Hopf-Cole [3,4], é dada por
u(x, y, t) = 1/(1 + exp(x+ y − t
2v)) (5)
para v = 1/Re, com condição ini-cial u(x, y, 0) = 1/(1 + exp(x+y
2v)),
x, y ∈ [0, 1], e condições de fronteirasu(0, y, t) = 1/(1 + exp(y−t
2v)), u(1, y, t) =
1/(1 + exp(2+y−t2v
)), u(x, 0, t) = 1/(1 +exp(x−t
2v)), u(x, 1, t) = 1/(1+exp(2+x−t
2v)), t > 0.
Considerando as condições iniciais e de fron-teiras, avalia-se os resultados das soluções numé-ricas, para Re = 100, Mt = 200, Mx =My = 40,θ = 0.5 e tf = 1, comparados com a soluçao ana-lítica, como ilustrados nas Figs. 1a-b. Nota-se quea solução numérica utilizando a técnica de lineari-zação reproduziu uma solução similar à analítica.Tais resultados pode ser confirmado na Fig. 2c(cor preta), onde apresenta-se os erros na normaL2.
Na Fig. 2 pode-se observar, para diferentes es-paçamentos em x ey, tanto a influência do passode tempo (Mt = 100 e 200) quanto do número deReynolds (Re = 100 e 200) nas soluções numéri-cas, comparadas com os resultados análiticos, paraθ = 0.5 e t ∈ [0, 1]. Verificou-se que as oscilaçõesnuméricas foram minimizadas ao refinar a malha,em todos os casos, e também que o método apre-senta erros de ordem menor para Re = 100. Tam-bém, foi verificado pequenas variações nos resul-tados numéricos, ao considerar θ = 0.1, 0.5 e 1.0em (4), quando comparados aos resultados analí-ticos, percebendo que para θ = 0.5 os erros forammenores, fato este que levou a considera-lo em to-dos os resultados apresentados neste trabalho.
5 ConclusãoO objetivo deste trabalho foi aplicar uma técnicade linearização transformando o sistema explícitode equações não lineares, obtido a partir da discre-tização via MDF na equação de Burgers bidimen-
sional, em um sistema implícito linear de equa-ções, evitando a necessidade da resolução do sis-tema não linear em cada passo de tempo. A téc-nica utilizada para a linearização mostrou-se efi-ciente quando comparada com a solução analítica,utilizando diferentes casos. Observou-se que asoscilações numéricas foram minimizadas ao refi-nar a malha, avaliados pela norma L2.
Figura 1: Soluções Analítica e Numérica
Figura 2: Erros na norma L2
Referências[1] SMITH, G. D. - Numerical solution of partialdifferential equation: finite difference methods.Claredon Press, Oxford, 3a ed.,1985.[2] KUTLUAY, S. E ESEN A. - A linearized nume-rical scheme for Burgers-like equations , AppliedMathematics and Computation, Elsevier, 2003.[3] HOPF, E. - The partial differential equationut + uux = muxx, Communications on Pure andApplied Mathematics 3 (1950), 201230.[4] MEDEIROS, CLÁUDIA BRUNOSI - Soluçõesda Equação de Burgers 1D e 2D via upwind dealta ordem e Hopf-Cole, Dissertação (Mestrado deMatemática Aplicada e Computacional) - Univer-sidade Estadual de Londrina, CCE, 2013.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
31
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
SEQUENCIAMENTO EM MÁQUINAS PARALELAS COM INSERÇÃO DE NOVOS PEDIDOS APLICADO À INDÚSTRIA DE COSMÉTICOS –
UM ESTUDO DE CASO
Palavras-Chave: Máquinas paralelas, estoque intermediário com data de validade, inserção
de novos pedidos, indústria de cosméticos.
1 INTRODUÇÃO Neste trabalho será estudado o problema
de sequenciamento em máquinas paralelas
idênticas para múltiplos itens, que será
aplicado a uma indústria de cosméticos. Trata-
se de uma empresa que produz para outras,
que possui um grande número de clientes e
produz em média 411 diferentes produtos
sendo que a variedade destes gera 150 mil
itens (2015). Segundo classificação do
SEBRAE, caracteriza-se como uma empresa
de pequeno porte.
O Problema de Dimensionamento de Lotes
e Sequenciamento na Programação da
Produção em Máquinas Paralelas (General Lot
Sizing and Scheduling Problem for Parallel
Production Lines – GLSPPL) é um modelo
análogo ao Problema de Dimensionamento e
Sequenciamento de Lotes Generalizado
(General Lot Sizing and Scheduling Problem –
GLSP). No GLSP, cada período t é
subdividido em subperíodos de tamanho
variável, fixando-se um número máximo de
lotes a serem produzidos por período. Já no
GLSPPL, os itens são produzidos em um
sistema de máquinas em paralelo e uma das
decisões envolvidas é a alocação dos lotes de
produção nas máquinas. (ULBRICHT, G.,
et.al., 2014).
Encontra-se na literatura trabalhos com
diferentes abordagens GLSPPL.. Como os
trabalhos de Meyer e Mann (2013), Xiao J. et
al. (2015) que apresentam soluções heurísticas
para o problema.
De acordo com Meyer (2002), quando há a
necessidade de produção de produtos
padronizados existem duas situações: um
grande número de itens que deve ser
produzido em muitas linhas de produção em
paralelo, ou em linhas automáticas de fluxo
onde cada uma delas é constituída por diversos
postos de trabalho interdependentes. Em
muitos problemas práticos de planejamento e
programação da produção, máquinas paralelas
devem ser levadas em conta. Algumas áreas
que consideram máquinas paralelas são:
Indústria farmacêutica e de cosméticos,
produção de plástico, indústria de pneus,
engarrafamento de líquidos e embalagens.
(FIOROTTO, D. J., et. al., 2015).
Diante deste contexto, este trabalho tem como
objetivo apresentar um modelo matemático de
sequenciamento em máquinas paralelas
idênticas para múltiplos itens, que minimize
simultaneamente o makespan e o lateness.
Após isto, realizar simulação do
sequenciamento deste ambiente de produção,
de forma que esta permita a inserção de novos
pedidos e um novo sequenciamento destes.
2 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA O processo desta indústria divide-se em
duas fases (Figura 1), sendo que as duas
caracterizam-se como um ambiente de
sequenciamento em máquinas paralelas
idênticas. Na primeira fase acontece o
processo de mistura do produto semiacabado,
Talita Mariana Pinho Schimidt, Cassius Tadeu Scarpin
32
que é realizado por três tanques misturadores.
A segunda fase trata-se do processo de envase
do produto acabado, que é realizado em
esteiras.
Nos três tanques misturadores podem ser
homogeneizados óleos e cremes, sendo que
isto depende da demanda. Tanto na primeira
quanto na segunda fase existem tempos de
setup e tempos de processamento diferentes
para cada item a ser produzido.
Entre a mistura e a envase existe um
estoque intermediário do produto acabado com
limitação da capacidade. Neste caso, além de
existir o custo e capacidade de estoque, há
também o vencimento dos produtos, pelo fato
de ser uma empresa de cosméticos, é de suma
importância que os produtos acabados sejam
envasados dentro da data de validade. O que
precisa ser considerado no modelo exato e na
simulação do sequenciamento.
Esta empresa conta com clientes de marcas
e produtos diferentes. Os pedidos são
realizados mensalmente, o que gera um
relatório mensal da demanda. No entanto, essa
variedade de clientes e produtos faz com que a
demanda também se torne variável. O
sequenciamento é realizado semanalmente,
porém esporadicamente acontecem novos
pedidos e a necessidade de realizar um novo
sequenciamento.
3 MÉTODO PROPOSTO O modelo exato será representado por
modelagem matemática que atenda todas as
restrições da indústria em estudo. O objetivo
principal deste modelo é que o mesmo possa
minimizar simultaneamente makespan e
lateness, atendendo as datas de entrega.
Para o ambiente de produção e condições
já descritas será realizada uma simulação,
adicionando a situação de novos pedidos, que
são realizados quase que diariamente. Os
novos pedidos devem ser inseridos no
sequenciamento da semana de forma que
nenhuma tarefa seja interrompida e que as
datas de entrega sejam atendidas. Sendo então
realizado um novo sequenciamento a cada
entrada de um pedido.
A implementação será realizada no na
linguagem Visual Studio 2015, utilizando
como software de otimização CPLEX.
4 CONCLUSÕES
A pesquisa encontra-se em fase de
desenvolvimento. O modelo e a simulação
serão aplicados à indústria de cosméticos
descrita e serão utilizados dados reais
fornecidos pela mesma para sua validação.
REFERÊNCIAS Fiorotto, D., J.; Araujo, S., A.; Jans, R..;
Hybrid methods for lot sizing on parallel
machines. Computers & Operations
Research, 63: 136-148, 2015.
Meyer, H.; Simultaneous lotsizing and
scheduling on parallel machines. European
Journal of Operational Research, 139: 277-
292, 2002.
Meyer H., Matthias, M.; A decomposition
approach for the General Lotsizing and
Scheduling Problem for Parallel production
Lines. European Journal of Operational
Research, 229: 718-731, 2015.
Site:http://www.sebrae.com.br/sites/PortalSebr
ae acesso em: 11/10/2015.
Ulbrich, G.; Patias Volpi, N., M.; Um modelo
matemático aplicado ao dimensionamento e
sequenciamento de lotes em máquinas
distintas em paralelo com estoques
intermediários limitados. SOBRAPO, 2014.
Xiao, J.; Huasheng, Y.; Canrong, Z.; Zheng,
L., Jatinder, N., D., G.; A hybrid
Lagrangian-simulated annealing – based
heuristic for the parallel-machine
capacitated lot-sizing and scheduling
problem with sequence-dependent setup
times. Computers & Operations Research,
63:72-82, 2015.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
33
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
NUMERICAL EVALUATION OF FRACTIONAL DERIVATIVES INLONG-TERM CREEP TESTS
Keywords: Fractional Derivatives, Grünwald-Letnikov Definition, Numerical Economy Schemes,Long-Term Creep Tests
1 INTRODUCTION
The application of fractional derivatives hasproven to be useful to describe the viscoelasticbehavior of several material (Bagley and Torvik,1983). This approach results in fractional-orderdifferential equations which can be solved by ana-lytic methods only in specific cases (Schmidt andGaul, 2006). Mostly, these governing equationshave unavailable analytical solutions, or when theyhave, the determination may require very elaboratemathematical processes. In such a case, it is nec-essary to consider a numerical approximation, andall the fractional derivatives have to be reevaluatedat every incremental time step. In doing so, thewhole time history of the respective variables hasto be taken into consideration and the computingcan take a long time (Schmidt and Gaul, 2002).
Herein, economy schemes based on Grünwald-Letnikov (GL) fractional definition, namely G1(Oldham and Spanier, 1974), P2 (Padovan, 1987)and SG (Schmidt and Gaul, 2006), are studied andcompared regarding to computational effort and ac-curacy. The application aim to to describe theviscoelastic behavior of high density polyethylene(HDPE) in long-term creep tests.
2 NUMERICAL GRÜNWALD-LETNIKOVFRACTIONAL DERIVATIVE
Oldham and Spanier (1974) considered a dis-crete approximation of the GL fractional derivativeof a function f(t) in the time interval [t1, t2]. Such
approximation is named G1 and results in
t1Dαt2f(t) ≈ ∆t−α
N−1∑
m=0
Am+1fm, (1)
where α ∈ R is the fractional derivative order,∆t = t/N is the time-step, fm = f (t−mt/N)and Am is given by
Am+1 =Γ(m− α)
Γ(−α)Γ(m+ 1)=
(m− 1− α)
mAm,
(2)in which Γ is the usual gamma function. In spitethat Eq. 1 results in very accurate approximations,the computational effort and storage requirementsgrow considerably and the process slows downsignificantly as time evolves (Schmidt and Gaul,2002). To improve this situation Padovan (1987)proposed a slight modification in Eq. 1 originatingthe algorithm P2, which is expressed by
t1Dαt2f(t) ' ∆t−α
r∑
m=0
Am+1fm, (3)
where r = min{N,Nmax}, Nmax = tc/∆t is thetruncation value and tc is the truncation time, i.e.,the time-step increment where the economic pro-cess begins.
Another economy scheme found in the litera-ture is called SG. Such scheme was proposed bySchmidt and Gaul (2002) and reduces the numeri-cal effort by considering the information of the far-ther past only approximately through a cheap inter-
Thais Clara da Costa Haveroth, Pablo Andres Munoz Rojas
34
polation scheme:
0Dαta(ta)f(t) ' ∆t−αTAi+n+1 +
+∆t−αi−1∑
m=0
Am+1fm, (4)
where T is associated with the expansion of thefractional derivative series in the interval [ti, ti+k].For more details see Schmidt and Gaul (2006).
3 APPLICATION AND RESULTS
An evaluation of the concepts G1, P2 and SG ispresented in this section by calculating long-termcreep tests for HDPE in the stress level σ = 2.97MPa for some values of Nmax (G1) and i = k(SG) [see Figs. 1(a) and 2(a)]. The algorithms P2and SG are compared to the referential algorithmG1. The overall simulation time was 1e + 8s with∆t =2000 s, resulting in N =50000 time steps.
The `2 norm of the difference between algorithmG1 and the approximations provided by algorithmP2 for some truncation times Nmax, and algorithmSG for some values of i = k, are plotted in 1(b) and2(b), respectively. The same figures additionallyshows the CPU time spent in each computation.
(a) (b)
Figure 1: (a) Strain approximations for some casesofNmax; (b) CPU time in contrast with the accuracyin relation to the referential algorithm G1.
Figure 2: (a) Strain approximations for some casesof i = k; (b) CPU time in contrast with the accu-racy in relation to the referential algorithm G1.
4 CONCLUSION
Although the fractional derivative methodpresents accurate results, the associated computa-tional effort is very high. In order to cope with thisissue, two approximate but faster algorithms, P2and SG, are implemented and their time/accuracyperformance is evaluated in relation to the referen-tial algorithm G1. It is verified that the P2 proce-dure shows a high CPU time reduction but a sig-nificant accuracy loss when compared to the refer-ence algorithm. The CPU time reduction achievedwith the SG is even higher and the relative errormuch lower, in agreement with the statements ofSchmidt and Gaul (2002). In other words, the SGalgorithm was shown to maintain the benefits of ac-curacy provided by fractional derivatives, while itreduces drastically the underlying numerical effort.
REFERENCES
Bagley R.L. and Torvik P.J. A theoretical basicfor the application of fractional calculus to vis-coelasticity. Journal of Rheology, 27(3):201–210, 1983.
Oldham K.B. and Spanier J. The fractional calcu-lus. Academic Press, New York-London, 1974.
Padovan J. Computational algorithms for fe for-mulations involving fractional operatiors. Comp.Mech., 1987.
Schmidt A. and Gaul L. Finite element formula-tion of viscoelastic constitutive equations usingfractional time derivatives. Nonlinear Dynamics,2002.
Schmidt A. and Gaul L. On the numerical evalua-tion of fractional derivatives in multi-dredree-of-freedom systems. Signal processing, 2006.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
35
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
MALHA ADAPTATIVA, BLOCO-ESTRUTURADA PARASOLUÇÃO NUMÉRICA VIA VOLUMES FINITOS DE
ESCOAMENTOS TURBULENTOS
Palavras-Chave: Malha adaptativa bloco-estruturada, Volumes Finitos, Escoamentos turbulentos
1 INTRODUÇÃO
A maioria dos escoamentos de fluidos observa-dos na natureza e em processos industriais se en-contra no estado turbulento. Estes são caracteri-zados por campos aleatórios de velocidade e apre-sentam altas taxas de mistura das propriedades ci-nemáticas do escoamento e químico-físicas do flu-ido. A malha adaptativa, bloco-estruturada pos-sibilita o método numérico atingir dinamicamentealta precisão em regiões do escoamento de interes-se, sendo recomendada para solução numérica deescoamentos turbulentos, como mostra a Figura 1.Este trabalho tem o objetivo de apresentar o frame-work numérico/computacional baseado em malhaadaptativa, bloco-estruturada, desenvolvido para oestudo de escoamentos turbulentos.
Figura 1: Malha adaptativa, bloco-estruturada uti-lizada na simulação de um jato turbulento CALE-GARI (2012).
2 MODELOS E MÉTODOS
O modelo matemático que descreve aevolução temporal/espacial de escoamentos incom-pressíveis, monofásicos e de fluido Newtoniano é
conhecido como equação de Navier-Stokes
DU
Dt= −1
ρ∇p+ ν∇2U, (1)
onde: U representa o vetor velocidade e p é apressão modificada pela fração isotrópica do ten-sor tensão; ρ e ν são a densidade e a viscosidadecinemática do fluido, respectivamente.2.1 Abordagens de simulação
As abordagens denominadas SimulaçãoNumérica Direta (DNS), Simulação de GrandesEscalas (LES) e Simulação Média de Reynolds(RAS) variam, entre outros aspectos, em grau deaplicabilidade e acurácia. Estas técnicas utilizammétodos numéricos (e.g., Volumes Finitos) paradiscretizar a equação diferencial parcial de trans-porte de quantidade de movimento linear.2.2 Método numérico
O método de Volumes Finitos emprega umamalha numérica/computacional, a qual é carac-terizada por um conjunto de células tridimensio-nais, onde as variáveis do escoamento (e.g., ve-locidade, pressão e temperatura) são calculadas emseus centroides conforme o arranjo co-localizadoFERZIGER and PERIC (2002).
3 MALHA NUMÉRICA/COMPUTACIONAL
Dois grupos de malhas se distinguem: estrutu-radas e não-estruturadas; estes, por sua vez, tam-bém se ramificam devido a outras especificidades.Uma das grandes vantagens da malha adaptativa,bloco-estruturada é sua contribuição para mini-mizar o custo computacional das simulações emtermos de processamento e memória. Isto ocorre
Vitor Vilela
36
devido à distribuição heterogênea das células com-putacionais pelo domínio de cálculo VILELA(2015). Em DNS, 99% da malha numérica são uti-lizados para solução de pequenas estruturas turbu-lentas, que se encontram na região denominada dis-sipation range. A técnica de simulação de grandesescalas, por sua vez, resolve as grandes estruturasturbulentas, contidas na faixa denominada energy-containing, enquanto modela os efeitos das peque-nas estruturas POPE (2000).
4 RESULTADOS
O framework desenvolvido possibilita o refina-mento da malha seguindo vários critérios, como e-xemplo a função linear da Fig. 2 e o posiciona-mento por blocos da Fig. 3. Adicionalmente, orefinamento da malha de acordo com campos es-calares (e.g., viscosidade turbulenta, componentesde vorticidade) e gradiente de campo (e.g., gradi-ente de temperatura/composição) são possíveis.
Os pontos das Figs. 2 e 3 representam os cen-troides das células tridimensionais utilizadas pelométodo Volumes Finitos. As tonalidades de cinzaindicam os diferentes níveis da malha.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 2: Projeção no plano x − y de refinamentolinear (a)− (d).
A Figura 2 mostra a projeção no plano x− y dequatro instantes do refinamento no eixo z da malhaadaptativa, bloco-estruturada seguindo uma funçãolinear. Para esta simulação, 2 níveis de refinamentoforam utilizados.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3: Visualização tridimensional de refina-mento por bloco (a)− (d).
A Figura 3 mostra quatro instantes do refi-namento por bloco da malha adaptativa, bloco-estruturada. Para esta simulação, 3 níveis de refi-namento foram utilizados.
5 CONCLUSÕES
As características dos escoamentos turbulen-tos citados neste trabalho explicitam a necessi-dade de uma malha numérica/computacional ca-paz de prover alta densidade de células computa-cionais apenas em regiões que demandem alta den-sidade de informação. A malha adaptativa, bloco-estruturada possui este atributo somado à facili-dade de desenvolvimento do método Volumes Fini-tos, comparado com malhas não-estruturadas, e demétodos computacionais de paralelização.
REFERÊNCIAS
CALEGARI P. Simulação computacional de es-coamentos reativos com baixo número de Machaplicando técnicas de refinamento adaptativo demalhas. Tese de doutorado, USP, São Paulo,2012.
FERZIGER J. and PERIC M. Computational me-thods for fluid dynamics. Springer, Berlin, 2002.
POPE S. Turbulent flows. Cambridge UniversityPress, New York, 2000.
VILELA V. A hybrid LES/Lagrangian FDFmethod on adaptive, block-structured mesh. Dis-sertação de mestrado, UFU, Uberlândia, 2015.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
37
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ESTUDO COMPARATIVO DAS TECNOLOGIAS SEM FIO PARA
APLICAÇÃO EM TEMPO REAL
Palavras-Chave: Rádio Frequência, Infravermelho, Bluetooth, Comunicação Serial.
1 INTRODUÇÃO
Este projeto consiste de um estudo
comparativo entre tecnologias de comunicação
sem fio aplicadas a comunicação serial em
tempo real desenvolvida em Matlab/Simulink,
com o intuito de determinar a maior taxa de
transmissão de dados para transmissores e
receptores de baixo custo, tendo como base os
resultados da comunicação serial com fio.
2 METODOLOGIA
Para o desenvolvimento deste estudo foram
escolhidas as tecnologias de comunicação sem
fio por rádio frequência (RF), Infrared Data
Association (IrDA) e Bluetooth 2.0.
Os módulos RF, IrDA e Bluetooth 2.0
utilizados foram, respectivamente, dos mo-
delos HYTRP-RS232 da Canton-Eletronics,
SMH-IR220 da IRXON e DF-BluetoothV3 da
DFRobot. Em todos os módulos as taxas de
comunicação (baud rate) de 9,6 kbps, 57,6
kbps e 115,2 kbps são aceitas.
Com a finalidade de testar o desempenho das
comunicações, desenvolveu-se uma aplicação
para o dsPIC30F2010 da Microchip
(MICROCHIP, 2006; MICROCHIP, 2011). A
função deste dispositivo é utilizar seu módulo
QEI (Quadrature Encoder Interface) para
realizar a leitura de um sensor do tipo encoder
linear. Esta leitura é controlada pela aplicação
desenvolvida utilizando o software Matlab/
Simulink.
Nesta aplicação o programa do Simulink
controla o tempo de resposta do microcontro-
lador por meio da geração de uma interrupção
na porta serial, que permite ao microcontrola-
dor executar a rotina de tratamento de inter-
rupção. Dentro desta rotina é verificada uma
chave de 1 byte (um caractere “{”) enviada
pela aplicação do Simulink, caso a chave
esteja correta, o microcontrolador retorna o
valor do contador do módulo QEI separado em
2 bytes.
O período de tempo predefinido para os
testes é o tempo de amostragem (sample time)
medido em Hertz, o qual refere-se a taxa
máxima de transmissão de dados. Esta medida
indicou o número máximo de amostras que a
aplicação do Simulink recebeu por segundo.
Altera-se a taxa de comunicação e o tempo de
amostragem, na análise comparativa das
tecnologias sem fio.
Deste modo, os testes consistem em usar
tanto a comunicação com fio, quanto as
tecnologias sem fio, para transmitir dados
entre um programa executado em tempo real e
um microcontrolador, alterando-se a taxa de
comunicação e o tempo de amostragem. A
realização dos testes consiste de quatro partes,
as quais foram descritas nas subseções 2.1,
2.2, 2.3 e 2.4.
2.1 Configuração dos módulos de comuni-
cação sem fio
Esta etapa consiste em configurar as taxas de
comunicação dos módulos sem fio com um
mesmo valor, sendo estes 9,6 kbps, 57,6 kbps
e 115,2 kbps.
2.2 Programação do microcontrolador
O objetivo desta etapa é garantir que a taxa
de comunicação serial do microcontrolador
seja igual a dos módulos sem fio. Além de
configurar o módulo QEI do microcontrolador
e a interrupção da comunicação serial que é
controlada pela aplicação.
Wanderlei Malaquias, Eduardo Hideki Kaneko, MatheusFernando Mollon, Marcio Aurelio Furtado Montezuma
38
2.3 Montagem do circuito
Os circuitos montados utilizam a placa de
desenvolvimento ET-dsPIC30F2010 Training
Kit v1 com o dsPIC30F2010, um oscilador
externo de 7,3728 MHz e um circuito inte-
grado MAX232 para implementação da comu-
nicação serial RS232. O sensor encoder uti-
lizado pertence à família HEDS da HP.
2.4 Configuração do programa de controle
em tempo real
O principal objetivo desta etapa é garantir
que a taxa de comunicação configurada no
programa seja igual a do módulo conectado à
porta serial RS232 do computador. Para os
testes, a cada taxa de comunicação selecionada
é variado de modo crescente o número de
amostras capturadas por segundo (sample
time). Sendo que o teste só terminou com a
deterioração do sinal pela perda de dados ou
pela interrupção da comunicação.
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os dados apresentados nas Tabelas 1, 2, 3 e
4 foram obtidos seguindo todos os procedi-
mentos da metodologia.
Na Tabela 1 são representados os dados
obtidos para o módulo de comunicação IrDA.
Para tal módulo os testes para os valores de
57,6 kbps e 115,2 kbps de taxa de comu-
nicação não foram realizados, devido a im-
possibilidade de manter a configuração com o
desligamento do módulo.
Taxa de Comunicação
(kbps)
Tempo de Amostragem
(Hz)
9,6 320
57,6 -
115,2 -
Tabela 1: Resultados do Módulo IrDA.
A Tabela 2 apresenta os dados obtidos para
o módulo de Rádio Frequência. Neste módulo
os testes para todas as taxas de comunicação
foram realizados. Porém, os resultados foram
insatisfatórios para a taxa de 115,2 kbps,
devido à perda de comunicação.
Taxa de Comunicação
(kbps)
Tempo de Amostragem
(Hz)
9,6 30
57,6 140
115,2 -
Tabela 2: Resultados do Módulo de Rádio Frequência.
A Tabela 3 apresenta os dados obtidos para
o módulo Bluetooth 2.0.
Taxa de Comunicação
(kbps)
Tempo de Amostragem
(Hz)
9,6 140
57,6 230
115,2 230
Tabela 3: Resultados do Módulo Bluetooth 2.0.
Na Tabela 4 estão representados os dados
dos testes de comunicação via cabo, nesta
pode-se observar que o tempo de amostragem
para as três configurações de taxa de
comunicação foram superiores aos tempos de
amostragem das tecnologias sem fio.
Taxa de Comunicação
(kbps)
Tempo de Amostragem
(Hz)
9,6 470
57,6 2870
115,2 5760
Tabela 4: Resultados da Comunicação Via Cabo.
4 CONCLUSÕES
De acordo com os resultados, as maiores
taxas de amostragem para uma determinada
taxa de comunicação são encontradas na
comunicação serial com fio. Porém, algumas
das tecnologias sem fio apresentam bons
resultados, como é o caso do IrDA a 9,6 kbps
e taxa de 320 amostras por segundo. Além
disso, o Bluetooth 2.0 operou de maneira
satisfatória nas três taxas de comunicação.
Já com o RF, apesar de se realizar os testes
para todas as taxas de comunicação, pode-se
observar que o aumento desta nem sempre
resulta em aumento no tempo de amostragem.
Nestes testes a tecnologia RF apresentou
resultados abaixo das outras tecnologias.
Os resultados obtidos neste trabalho são
válidos apenas para os módulos de comu-
nicação sem fio utilizados nos experimentos.
REFERÊNCIAS
Microchip, dspic30f2010 family reference
manual. 2006. Disponível em: <http://goo.gl
/60v4Nz>. Acesso em: 21 set. 2015.
Microchip, The dspic30f2010 data sheet.
2011. Disponível em: <http://goo.gl/OuSV7
l>. Acesso em: 21 set. 2015.
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
39
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Resumos de PosterResumos de PosterResumos de Poster aceitos e apresentados durante o evento
40
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
QUADRATURA DE GAUSS DE ALTA ORDEM IMPLEMENTADA
ATRAVÉS DE PROGRAMAÇÃO PARALELA
Palavras-Chave: Quadratura de Gauss, Programação Paralela, CUDA, GPU, MEF, MEFG.
RESUMO:
Vários métodos numéricos como o Método dos Elementos Finitos (MEF) e Método dos Elementos
Finitos Generalizado (MEFG), são amplamente utilizados para resolver problemas eletromagnéticos
modelados por equações diferenciais. Tanto o MEF quanto o MEFG empregam a Formulação
Variacional e o Método de Galerkin na solução do problema. Isso porque ambas as abordagens, em
passos posteriores, convergem para a mesma formulação. Embora o Método de Galerkin seja mais
simples, a formulação variacional permite uma visão mais ampla do problema físico, conforme
afirma JIANMING (2002). No que tange ao MEF e ao MEFG, a solução numérica é obtida através
da resolução de um sistema linear. Tal sistema é obtido levando em consideração que, no MEF e no
MEFG, o domínio computacional do problema a ser resolvido é discretizado em sub-regiões de
geometria simples, e que a solução do problema é aproximada por uma combinação linear de funções
definidas nestas sub-regiões. Muitos autores utilizam a quadratura de Gauss de baixa ordem no MEF,
e a quadratura de alta ordem no MEFG para calcular as integrais definidas pela forma fraca do
problema. Levando em consideração que a quadratura de Gauss de alta ordem demanda maior tempo
de máquina em relação à baixa ordem, este trabalho pretende, através de recursos de programação
paralela, apresentar uma técnica capaz de diminuir este custo computacional, sem afetar a precisão do
método. Segundo KAWABATA (2009), o uso de programas paralelizados é um caminho a ser
explorado pelos computadores modernos, que são dotados de multiplos processadores. Essa técnica
de programação é possível graças a arquiteturas como o Compute Unified Device Architecture
(CUDA), encontrada na Graphics Processing Unit (GPU) fabricada pela empresa nVidia, e Open
Computing Language (OpenCL), disponível em todas as GPUs. A preferência ao CUDA se deve ao
fato de possuir mais bibliotecas e funções que suportam melhor o desenvolvimento do trabalho. De
acordo com KIRK (2010), um programa CUDA consiste em uma ou mais fases que são executadas
no host ou em um device como uma GPU. O uso de GPU se justifica quando há um grande conjunto
de dados sobre os quais serão processadas as mesmas operações, tendo apenas parâmetros diferentes.
Nestes casos, as GPUs tendem a ter melhor capacidade de processamento a um baixo custo
financeiro e energético quando comparadas às Central Processing Unit (CPUs). Neste trabalho, é
apresentado uma implementação paralela que cria nós e pesos de Gauss e os aplica no MEFG.
REFERÊNCIAS:
Jianming, J., The Finite Element Method in Electromagnetics. 2nd edition, IEEE Press, 2002.
Kawabata, C.L.O., Venturini, W.S., and Coda, H. B., Desenvolvimento e implementação de um método de
elementos finitos paralelo para análise não linear de estruturas. 2009.
Kirk, D.B and Whu, W. W. Programming Massively Parallel Processors: A Hands-on Approach, 2010.
Andre Rabelo, Werley Facco, Eduardo Silva, Alex Moura
41
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
METODOLOGIA E VALIDAÇÃO DE UM MODELO CONSTITUTIVO EM
PRÓTESES DENTÁRIAS
Palavras-Chave: Aperto, Parafuso, Conjunto, Próteses Dentárias.
RESUMO:
Muitos estudos veem sendo realizados na área da biomecânica e aplicados a próteses dentárias,
visando a aperfeiçoar o conjunto, e assim procurando atenuar problemas de desgastes prematuros, os
quais podem ser ocasionados por imperfeições geométricas na base da coroa e cargas ou torques
inadequados que acarretam em uma abertura dos componentes (coroa/implante). (LOPES JÚNIOR,
2012). Tais esforços podem gerar elevadas tensões no conjunto da prótese, provocando danos a ela e,
consequentemente, dores, infecções e desconforto ao paciente. (GOMES, 2006). O objetivo deste
estudo é validar um modelo constitutivo de dano combinado, que é capaz de representar o
comportamento diferenciado em tração e compressão para materiais quase frágeis. Partindo desse
pressuposto, esse modelo constitutivo poderá ser aplicado para avaliar o efeito do aperto do parafuso
em relação ao conjunto. Para analisar este modelo, considerou-se uma barra prismática gerada pelo
software GID, a qual foi divida em três regiões, vinculando-se às duas superfícies das extremidades.
À região central impõe-se uma deformação inicial na direção axial da barra, que deve produzir uma
redução de seu comprimento. Com a deformação, as regiões laterais apresentaram um alongamento
para compensar o encurtamento da região central, a qual conduz ao surgimento de uma tensão axial
de tração uniforme em toda peça, que corresponderia à tensão de aperto do parafuso. Assim, após
estudos teóricos, conclui-se que a resposta numérica foi análoga à resposta analítica, comprovando
que a técnica proposta constitui uma metodologia capaz de representar o comportamento da estrutura
ao se apertar o parafuso, bem como permitindo uma análise à procura de um torque ideal,
submetendo o conjunto a diferentes níveis de torque, considerando as tensões, comportamento da
prótese em relação ao contato no conjunto (coroa/implante) por intermédio de uma região criada no
fuste do parafuso.
REFERÊNCIAS:
GOMES, E. A. Efeito da ausência de passividade no sistema coroa-implante-parafuso de retenção
por meio do MEF-2D. 2006. 93f. Dissertação (Mestrado em Odontologia) – Universidade Estadual
Paulista, Faculdade de Odontologia, Araçatuba, 2006.
Lopes Júnior, J. A. Análise numérica de interfaces de próteses dentárias através da mecânica do
dano. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Universidade
Estadual Paulista, 2012.
Gracielle Lima De Oliveira, Jose Aparecido Lopes Junior
42
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
Gerador de Malhas em Coordenadas Generalizadas: DiferentesAplicações
Palavras-Chave: Gerador de Malhas, Malhas Bidimensionais, Coordenadas Generalizadas, EquaçõesDiferenciais
RESUMO:
As equações diferenciais como ferramenta de modelagem e simulação de fenômenos físicos são muitoimportantes e amplamente utilizadas no ramo científico. Contudo, a representação das estruturas físicasda geometria em estudo em um ambiente computacional, aplicando estruturas de dados mais simples,tende a não obter resultados satisfatórios quanto à representação de forma realítisca do problema. Dessaforma, diferentes técnicas têm sido utilizadas como alternativas para transformar o domínio físico doobjeto em estudo para o domínio computacional. Dentre essas técnicas, o sistema de coordenadas gene-ralizadas é capaz de transformar uma geometria qualquer, descrita em sistema cartesiano, em um sistemageneralizado, permitindo melhor adequação na modelagem computacional (MALISKA, 2004; THOMP-SON et al., 1999).
Nesse sentido, apresenta-se no presente trabalho um gerador de malhas bidimensionais em coor-denadas generalizadas, produzindo um domínio mapeado para manipulações matemáticas e descrito apartir de um conjunto finito de pontos. O gerador codificado sob plataforma livre é implementado emPython, importando as bibliotecas numpy e matplotlib. A partir de um conjunto de pontos da fronteira,são empregados os métodos spline linear parametrizada para sua interpolação, cálculo da média pon-derada das fronteiras para pré-definição dos pontos internos da malha e Gauss-Seidel para a resoluçãonumérica das equações diferenciais elípticas que governam a transformação do sistema de coordenadas.
Com a finalidade de exemplificar e demonstrar o funcionamento do gerador de malhas bem como suasdiferentes aplicações, são ilustradas três malhas: do Lago Igapó I, localizado em Londrina (PR); do perfilde um rosto; e uma malha com obstáculos, adaptada do artigo de FANG et al. (2014). A fim de evitarpossíveis inconsistências, as duas primeiras malhas envolvem a técnica de multiblocos, consistindo naunião das malhas geradas para blocos menores. Já para a terceira, um único bloco é necessário. Assimsendo, por meio da avaliação dos resultados, pode-se constatar que o gerador é automatizado e capaz derepresentar de maneira adequada geometrias complexas e, assim, mais realísticas.
REFERÊNCIAS
FANG F., ZHANG T., PAVLIDIS D., PAIN C.C., BUCHAN A.G., and NAVON I.M. Reduced ordermodelling of an unstructured mesh air pollution model and application in 2d/3d urban street canyons.Atmospheric Environment, 96:96 – 106, 2014.
MALISKA C.R. Transferência de calor e mecânica dos fluidos computacional. Livro Técnicos e Cien-tíficos (LTC), 2004.
THOMPSON J.F., SONI B.K., and WEATHERILL N.P., editors. Handbook of grid generation. CRCPress, Boca Raton, London, New York, 1999.
Gustavo Taiji Naozuka, Saulo Martiello Mastelini, Neyva MariaLopes Romeiro, Eliandro Rodrigues Cirilo, Paulo Laerte Natti
43
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
TECNOLOGIAS COMPUTACIONAIS DE MÉTODOS NUMÉRICOS EM
ELETROMAGNETISMO COMPUTACIONAL
Palavras-Chave: Complexidade Computacional, Métodos Numéricos, Multiprocessamento,
Processamento Paralelo, Forças Ópticas, Otimização.
RESUMO:
O eletromagnetismo computacional é uma área interdisciplinar que envolve a Computação,
Matemática e Física, tendo como foco os estudos e modelagem dos comportamentos e interações das
ondas eletromagnéticas em diferentes fins como, por exemplo, em telecomunicações em micro-ondas
para a modelagem e otimização de antenas (BRIANEZE et al. 2009), RFID em Internet das Coisas
(MANIA, et. al., 2014), filtros de RF (SILVA, et al., 2014), e em óptica com acopladores ou divisores
de potência (SILVA-SANTOS, 2009). Devido a vastidão de aplicações e teorias envolvidas, há
inúmeras soluções analíticas para certos problemas, mas tem-se nos métodos numéricos a
generalização de modelos que abstraem essas, geralmente, sob as formas diferenciais ou integrais das
Equações de Maxwell (SILVA-SANTOS, 2010). Nesse contexto, esse trabalho apresenta algumas
bibliotecas numéricas que podem facilitar as simulações em diferentes aplicações de eletromagnetismo
computacional, especialmente na área de forças ópticas e feixes de Bessel, tanto na modelagem quanto
nas otimizações de interesse, assim como um estudo inicial dos recursos disponibilizados pela
Linguagem Python para atender as diferentes demandas encontradas nessa área como as várias
bibliotecas numéricas, o processamento paralelo (GONÇALVES, et al. 2011), o multiprocessamento
(multi-threads) (FARIA, 2011) e uma interfaces gráfica humano-computador (SANTANA, 2014).
REFERÊNCIAS:
Brianeze, J. R., et. al. Multiobjective Evolutionary Algorithms Applied To Microstrip Antennas
Design Ingeniare. Revista chilena de ingeniería 17.3, 288-298, 2009.
Faria, M. S. et al. One and two dimensional devices electromagnetic simulation using parallelism on
GPUs. IEEE International Microwave & Optoelectronics Conference (IMOC), p. 924-927, 2011.
Gonçalves, M. S. et al. Parallel three-dimensional full-time domain applied to photonic structures. IET
Optoelectronics, 5.1,40-45, 2011.
Mania, Flavio, et. al. Outlining low costs and open embedded systems for RFID in Internet of Things
applications. IEEE Brasil RFID, p. 16-18, 2014.
Santana, D. S., et. al. Human-Computer Interface Techniques to Design and Evaluate an
Electromagnetic Simulator. IEEE Latin America Transactions, v. 12, n. 4, p. 725-732, 2014.
Silva-Santos, C. H. Computação bio-inspirada e paralela para a analise de estruturas metamateriais em
microondas e fotônica. Tese de Doutorado, FEEC-Unicamp, 2010.
Silva-Santos, C. H. et al. Design of photonic devices using bio-inspired algorithms. SBMO/IEEE MTT-
S International Microwave and Optoelectronics Conference, 122-126, 2009.
Silva, L. G. et al. Development of tri-band RF filters using evolutionary strategy. AEU-International
Journal of Electronics and Communications, v. 68, n. 12, p. 1156-1164, 2014.
Ivan Eduardo Lage Rodrigues, Ayumi Kato De Campos,Carlos Henrique Da Silva Santos, Leonardo Andre Ambrosio
44
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ESTUDO DE DEFORMAÇÕES EM
EMBALAGENS POLIMÉRICAS RÍGIDAS
Palavras-Chave: Embalagens Poliméricas, Métodos numéricos, Análise de Flambagem.
RESUMO:
O uso contínuo de polímeros nas indústrias de embalagens tem gerado uma demanda por pesquisas
e inovações tecnológicas que resultem em melhorias no desempenho de produtos e na redução do
consumo de matéria prima. Um fenômeno que chama atenção é o que ocorre em copos poliméricos
rígidos, destinados ao envase de fluidos viscosos a quente, pois são produtos que consomem uma
grande quantidade de material, em comparação a outras embalagens poliméricas. Isso ocorre em
razão da necessidade de possuírem uma espessura ligeiramente resistente para suportar as tensões
geradas pelo resfriamento do fluido após a vedação da embalagem (Helbig et al, 2015). As
transferências de calor, o equilíbrio das forças e a dinâmica dos materiais envolvidos agregam grande
complexidade a este problema. Para compreender melhor esse fenômeno, foi desenvolvido um
modelo numérico do copo polimérico e forças atuantes, visando reproduzir as deformações
observadas durante o processo de envase. A simulação computacional foi feita com um código de
elementos finitos através do software ANSYS, que possibilita realizar simulações para análise
estrutural, térmica e dinâmica, transferência de calor, fluxo de fluidos e eletromagnetismo, dentre
outros (Morejon et al, 2009). A metodologia consiste em empregar um modelo computacional,
inicialmente simplificado, que possa fornecer informações e simular algumas características do
fenômeno em estudo. Para a validação do modelo computacional, os resultados numéricos são
comparados com os resultados experimentais obtidos em ensaios de compressão uniaxial. O modelo
computacional preliminar considera a hipótese de que a deformação ocorre predominantemente
devido à flambagem da parede lateral do copo. A flambagem é um fenômeno associado à deflexão
sofrida por materiais esbeltos ao serem submetidos a um esforço axial (Melconian et al, 2000). Ou
seja, está sendo considerado que o resfriamento provoca contração volumétrica do fluido gerando
uma pressão negativa no interior do copo, ocasionando, por sua vez, a compressão uniaxial na parede
do copo.
REFERÊNCIAS:
Helbig, D., Michelo, S., Santos, E. D. dos, Real, V., Rocha, L. A. O., Isoldi, L. A., Análise numérica
da flambagem térmica em placas finas de aço, Scientia Plena, vol. 11, n. 8, p. 2-3, 2015.
Melconian, S. Mecanica Técnica e Resistência dos Materiais, ed. 17, São Paulo: Erica, 2000, p. 299-
309.
Morejon, J. P., Jacomino, J. G., Morales, F. R., Rodriguez, Y. G., Crespo, A. C., Cedré, E. D., Scott,
A. D., Metodologia de modelación medianye Ansys de la historia térmica, tensiones y
deformaciones de soldadura, vol. 24, n. 2, Ver. Fac. Ing. UCV, 2009.
Laurita Istefani Silva Teles, Cristiano Brunetti,Mateus Das Neves Gomes, Tiago Martinuzzi Buriol
45
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ANÁLISE DE INCERTEZAS DE UM SISTEMA MASSA-MOLA
AMORTECEDOR
Palavras-Chave: variáveis aleatórias, Simulação de Monte-Carlo, Incertezas paramétricas.
Com a evolução iminente da tecnologia, a indústria demanda cada vez mais sistemas mecânicos que
apresentam maior eficiência e confiabilidade. Consequentemente, faz-se necessário desenvolver
modelos numéricos mais realistas, isto é, que se aproximem mais da realidade admitindo as
incertezas nos parâmetros e nas entradas dos sistemas. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar
a simulação de Monte Carlo como uma técnica para a avaliação da análise de um sistema massa-
mola-amortecedor.
Neste trabalho propõe-se apresentar a modelagem e simulação numérica da resposta dinâmica de um
sistema de um grau de liberdade (massa-mola-amortecedor) com incertezas nos parâmetros. As
incertezas paramétricas normalmente são modeladas utilizando uma abordagem probabilística,
segundo esta abordagem, os parâmetros concentrados são modelados através de variáveis aleatórias
que seguem uma função de densidade de probabilidade. Para simular a resposta dinâmica, o método
mais aplicado é a simulação de Monte-Carlo, que envolve a geração de um grande número de
amostras randômicos de cada parâmetro incerto modelado mediante uma variável aleatória. Apesar
de ser computacionalmente intenso, o método apresenta uma boa precisão e fácil compreensão,
sendo amplamente aplicada nas áreas de física, finanças, administração, economia, sobretudo
engenharia.
As simulações do sistema massa-mola-amortecedor e a Simulação de Monte Carlo foram
implementadas no software Matlab/Simulink. A resposta dinâmica do sistema com incertezas foi
caracterizada com a resposta no domínio do tempo e da freqüência. A resposta no domínio do tempo
caracteriza o deslocamento da massa em função do tempo. A resposta no domínio da frequência é
caracterizada pela Função de Resposta em Frequência (FRF).
Referências Lara-Molina, F.A.; Koroishi, E.H.; Steffen Jr, V. Análise Estrutural Considerando Incertezas
Paramétricas Fuzzy. , 2014. Martins, V.L.M.; Werner, L.; Pinto, F.T. Uso Da Simulação De Monte Carlo Para Avaliação Da
Confiabilidade De Um Produto. Disponível em: <
http://www.simpoi.fgvsp.br/arquivo/2010/artigos/E2010_T00480_PCN16162.pdf> Acesso em : 23 set. 2015
Muller, A. Simulação Estocástica: O Método de Monte-Carlo. Tese de TCC, Universidade Federal do
Paraná, 2008.
RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. 1. ed. São Paulo, SP: Pearson Prentice Hall, 2008. xv, 424 p
Leandro Augusto Martins, Vinicius Samezina, Fabian Andres Lara Molina
46
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ELABORAÇÃO DE ALGORITMO COM FORMULAÇÃO NÃO LINEAR
GEOMÉTRICA PARA O CÁLCULO DE TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS
VIA MEF POSICIONAL
Palavras-Chave: Método dos Elementos Finitos Posicional, Treliças tridimensionais, Python,
Estabilidade estrutural, Não linearidade geométrica.
RESUMO:
O desenvolvimento de novas técnicas e tecnologias impactaram de forma muito positiva as ferramentas
de análise e projeto de engenharia. Com a tecnologia EAC (Engenharia Auxiliada por Computador,
em inglês CAE) elevou-se a análise estrutural a outro patamar, sendo possível simular o
comportamento de estruturas cada vez mais complexas e obter resultados confiáveis para fins de
dimensionamento. Uma das bases dessa tecnologia é o Método dos Elementos Finitos (MEF), do qual
deriva o Método dos Elementos Finitos Posicional (MEFP) utilizado nesse trabalho. O MEFP tem por
principal característica ser uma formulação baseada na posição dos nós, ao invés de deslocamentos, e
de natureza não linear geometricamente exata. Em GRECO et al. (2006) o MEFP foi utilizado na
análise de treliças tridimensionais considerando também efeitos elastoplásticos, e os resultados
alcançados apresentaram boa aproximação com o software ANSYS®. Em LACERDA (2014) a análise
com o MEFP foi feita variando as medidas de deformação e também permitindo variação de volume
do elemento de treliça, obtendo também resultados muito próximos dos encontrados na literatura. O
presente trabalho teve como objetivo possibilitar a análise elástica não linear de treliças tridimensionais
através do desenvolvimento de um algoritmo em linguagem Python. Para isso, foi necessário o estudo
de conceitos de estabilidade estrutural de estruturas reticuladas, das características da formulação
posicional, dos conceitos de não linearidade geométrica e também o estudo da linguagem de
programação escolhida. O algoritmo desenvolvido foi testado em diversas situações distintas, com o
intuito de elevar a amplitude das análises e comprovar a eficiência da formulação empregada. Foram
analisadas treliças planas e tridimensionais em casos de comportamento linear e não linear. Os
resultados obtidos em todos os casos se apresentaram bastante próximos com os encontrados na
literatura, e praticamente idênticos aos encontrados nas simulações utilizando o software MASTAN2.
Com base na comparação dos resultados, observou-se a eficácia da formulação estudada e
implementada computacionalmente na análise não linear elástica de treliças tridimensionais.
REFERÊNCIAS:
GRECO, Marcelo et al. Nonlinear positional formulation for space truss analysis. [S.I.]: Elsevier,
2006.
LACERDA, Estéfane G.M. Análise não linear de treliças pelo método dos elementos finitos
posicional. 2014. 92 f. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil,
Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Natal, 2014.
Ricardo Lopes De Oliveira
47
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
ESTIMAÇÃO DA LEI EFETIVA DE COMPÓSITOS NÃO LINEARES VIA
HOMOGENEIZAÇÃO ASSINTÓTICA E COTAS VARIACIONAIS
Palavras-Chave: Materiais Compósitos, Homogeneização Assintótica, Cotas Variacionais.
RESUMO:
Este trabalho se propõe a estudar o comportamento efetivo de compósitos não lineares, comparando
as estimações obtidas para a lei efetiva pelo método de homogeneização assintótica (MHA) e cotas
variacionais. O MHA baseia-se em considerar uma solução assintótica formal do problema de valor de
contorno com coeficientes periódicos rapidamente oscilantes que modela o comportamento físico do
compósito. Tal solução é uma série de potências do parâmetro geométrico pequeno que caracteriza a
frequência das oscilações, obtendo-se assim uma sequência de problemas para os coeficientes da série.
O limite desta sequência é o modelo de um material homogêneo que descreve o comportamento
efetivo do compósito. Como vantagens deste método, têm-se o baixo esforço computacional exigido
em relação a enfoques diretos, e a boa aproximação entre a solução homogeneizada e as soluções
assintótica e exata do problema original (BAKHVALOV E PANASENKO, 1989). Por outro lado,
cotas variacionais são obtidas da formulação fraca do problema original. Introduz-se um potencial de
comparação que contém propriedades de compósitos lineares, e aplica-se a transformada de Legendre
ao contraste entre os potenciais do compósito não linear e de comparação juntamente com um
princípio variacional tipo mínima energia. As propriedades introduzidas pelo potencial de
comparação, junto com as variáveis do espaço de Legendre, constituem parâmetros para a otimização
das cotas (PEIGNEY, 2005). Finalmente, apresenta-se um exemplo ilustrativo de um compósito com
uma fase linear e outra não linear, para o qual foi necessário resolver numericamente equações
algébricas não lineares que resultam na estimação por MHA e na otimização das cotas. Observa-se
que a estimação obtida via MHA está contida no intervalo definido pelas cotas, o qual evidencia tanto
a relevância do MHA quanto a utilidade das cotas variacionais para controlar estimações obtidas por
outros métodos. Em particular, observa-se que a cota inferior obtida constitui uma boa aproximação
da lei efetiva estimada pelo MHA, mas que a cota superior ainda deve ser melhorada.
REFERÊNCIAS:
Bakhvalov, N. S. and Panasenko, G. P. Homogenization: Averaging processes in periodic media.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.
Peigney, M. A pattern-based method for bounding the effective response of a nonlinear composite.
Journal of the Mechanics and Physics of solids, 53:923-948, 2005.
Roberto Martins Da Silva Decio Junior, Leslie Darien Perez Fernandez
48
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES INVARIANTES NO
RESFRIAMENTO CONJUGADO POR CONVECÇÃO FORÇADA-
CONDUÇÃO DE AQUECEDORES 3D PROTUBERANTES EM CANAIS
Palavras-Chave: Resfriamento conjugado, convecção forçada, condução, coeficientes de influência
conjugado, simulação numérica, ANSYS/Fluent.
RESUMO:
As temperaturas médias de aquecedores 3D protuberantes montados em um substrato condutivo em
um canal retangular horizontal com escoamento laminar de ar foram correlacionadas, independente
da potência dissipada em cada aquecedor, por meio de uma matriz G+ com coeficientes invariantes.
Esses coeficientes são adimensionais e foram chamados coeficientes de influência conjugados (g+)
devido à natureza conjugada convecção forçada-condução do resfriamento dos aquecedores. O
aumento da temperatura de cada aquecedor no canal foi quantificado de tal forma que as
contribuições devido ao auto-aquecimento e à esteira térmica fossem claramente identificadas. Para
uma dada geometria, campo de escoamento, propriedades termofísicas do fluido e dos sólidos, os
coeficientes conjugados são invariantes com a taxa de dissipação de calor na configuração dos
aquecedores (ANTONINI ALVES E ALTEMANI, 2012). Considerando três aquecedores 3D
protuberantes, os resultados foram obtidos numericamente através do Método dos Volumes de
Controle (PATANKAR, 1980) utilizando o software ANSYS/FluentTM 16.0. As equações de
conservação com suas condições de contorno foram resolvidas através de um procedimento
acoplado, dentro de um domínio único compreendendo as regiões sólidas e do fluido, considerando
condições de regime permanente com propriedades constantes em escoamento laminar. O algoritmo
SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations) foi utilizado para tratar do
acoplamento pressão-velocidade. A discretização dos termos difusivo-convectivos foi realizada por
meio do esquema Upwind de Segunda Ordem. Devido às não-linearidades na equação do momentum,
as componentes de velocidade e a correção da pressão foram sub-relaxadas para prevenir
instabilidade e divergência. Após um estudo de refinamento de grade computacional, os resultados
numéricos foram obtidos com uma grade 3D não-uniforme. Esta grade computacional foi mais
concentrada nas regiões próximas às interfaces sólido-fluido devido aos maiores gradientes das
variáveis primitivas nestas regiões. Alguns exemplos foram apresentados, mostrando a facilidade na
obtenção e aplicação, através de simulações numéricas, dos coeficientes invariantes no resfriamento
conjugado por convecção forçada-condução de aquecedores 3D protuberantes em canais.
REFERÊNCIAS:
Antonini Alves, T., and Altemani, C.A.C., An invariant descriptor for heaters temperature prediction
in conjugate cooling. International Journal of Thermal Sciences, 58:92-101, 2012.
Patankar, S.V., Numerical heat transfer and fluid flow, Hemisphere Publishing Corporation, New
York, USA, 197 p., 1980.
Renan Gustavo De Castro Hott, Thiago Antonini Alves
49
V Simposio de Metodos Numericos Computacionais
MODELAGEM DINÂMICA DO MANIPULADOR PLATAFORMA STEWART-GOUGH
Palavras-Chave: Plataforma Stewart-Gough, modelagem dinâmica, mecanismo paralelo. RESUMO
A Plataforma de Stewart-Gough é um mecanismo paralelo de seis Graus de Liberdade (GdL) formado por uma base fixa ligada a uma plataforma móvel mediante seis pernas extensíveis com juntas ativas prismática (P). As pernas possuem uma junta esférica (E) na extremidade que liga à plataforma móvel e junta universal (U) na base fixa, esta configuração é definida como UPS. A cinemática paralela da Plataforma Stewart-Gough permite maior precisão de posicionamento e transmissão de grandes cargas em comparação aos mecanismos seriais, (TSAI, 1999). A empregabilidade da Plataforma de Stewart-Gough é bem ampla: simuladores de voo, máquinas industriais, e por causa da sua alta precisão é utilizada em robôs cirúrgicos, (LARA-MOLINA, 2008). O objetivo deste trabalho é simular a modelagem dinâmica da Plataforma de Stewart-Gough, para analisar o movimento e a velocidade em função das diversas forças de entrada aplicadas nas pernas extensíveis. A análise da dinâmica da Plataforma de Stewart-Gough foi estabelecida a partir do trabalho desenvolvido por (DASGUPTA e MRUTHYUNJAYA, 1998) onde a modelagem dinâmica da Plataforma Stewart-Gough foi formulada com uma equação fechada pelo uso do método de Newton-Euler. As simulações foram implementadas utilizado MATLAB/SIMULINK. Na simulação do movimento da plataforma, basta impor a força de entrada exercida pelos seis atuadores lineares das pernas. A força de entrada consiste em um pulso de amplitude 1N por 0,5 segundo em cada perna. Sendo que por 0,5 segundo o pulso atinge sua amplitude máxima e depois a força é retirada. Utilizando a equação dinâmica é computada a posição e velocidade da plataforma móvel correspondente às forças de entrada nas pernas.
REFERÊNCIAS: Dasgupta B., Mruthzunjaya, T.S, Closed-Form Dynamic Equations of the General Stewart Platform through the Newton-Euler Approach. Machinery Theory, vol. 33, n° 7, p. 993-1012,1998 Tsai, L, Robot Analysis, The mechanical os Serial and Parallel Manipulators. A Willey Interscience
Publication, .1st, ed. 1999. LARA, F. A., 2008, Ambiente de Simulação de Manipuladores Paralelos: Modelagem, Simulação e Controle de uma Plataforma Stewart, Dissertação de M.Sc., Universidade Estadual de Campinas, Campinas, SP, Brasil
Victor Renan Bolzon, Luiz Gustavo RicieriDa Silva, Fabian Andres Lara Molina
50
Indice Remissivo
Adriano Matheus Targino de Azevedo , 2Ailın Ruiz de Zarate, 14Alex Moura, 41Amanda Jarek , 4Ana Paula Mikos , 24Andre Pacheco de Assis , 4Andre Rabelo , 41Arinei Carlos Lindbeck da Silva, 10Aureo Quintas Garcia , 6Ayumi Kato De Campos , 44
Carlos Henrique Da Silva Santos , 44Cassius Tadeu Scarpin, 32Cleiton Luiz de Souza , 8Crisiane Rezende Vilela de Oliveira , 10Cristiano Brunetti , 45
Daniane Franciesca Vicentini, 24
Eduardo Hideki Kaneko , 38Eduardo Silva , 41Eliandro Rodrigues Cirilo, 2, 8Eliandro Rodrigues Cirilo , 43Elvidio Gavassoni , 12
Fabian Andres Lara Molina, 46, 50Francisco Augusto Aparecido Gomes , 6
Gabriel Jung, 12Gracielle Lima De Oliveira , 42Gustavo Taiji Naozuka , 43
Ivan Eduardo Lage Rodrigues , 44
Janaina Schoeffel , 14Joana Pereira Repinaldo , 16Jose Aparecido Lopes Junior, 42
Laurita Istefani Silva Teles , 45Leandro Augusto Martins , 46Leonardo Andre Ambrosio, 44Leslie Darien Perez Fernandez, 48Lucas Niro , 16Luiz Alkimin de Lacerda, 4Luiz Antonio Farani de Souza, 18Luiz Gustavo Ricieri Da Silva , 50
Marcio Aurelio Furtado Montezuma, 38Marcio Aurelio Furtado Montezuma , 16Marinoel Joaquim , 20Mateus Das Neves Gomes , 45Matheus Fernando Mollon , 38Michel do Espirito Santo , 22Mildred Ballin Hecke, 6Monica Beltrami , 10
Neyva Maria Lopes Romeiro , 43
Pablo Andres Munoz Rojas, 34Patrıcia Schipitoski Monteiro , 24Paulo Laerte Natti, 43Paulo Laerte Natti , 8Peter Zornig, 26
Renan Gustavo De Castro Hott , 49Renan Gustavo de Castro Hott , 22Ricardo Lopes De Oliveira, 47Ricardo Rasmussen Petterle , 28Roberta Gurnacki de Wallau, 28Roberto Martins Da Silva Decio Junior , 48
Saulo Martiello Mastelini , 43Sergio Scheer, 20
Tadasi Matsubara Junior e Neyva Maria lopes Romeiro,30
Talita Mariana Pinho Schimidt , 32Thais Clara da Costa Haveroth , 34Thiago Antonini Alves, 22, 49Tiago Martinuzzi Buriol, 45
Victor Renan Bolzon , 50Vinicius Samezina , 46Vitor Vilela, 36
Wanderlei Malaquias, 16Wanderlei Malaquias , 38Werley Facco , 41
51
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