Unidade III

MATEMÁTICA APLICADA

Prof. João Giardulli

Ajuste de curvas

O que é isso?

Ajuste de curvas

É um método que consiste em encontrar uma curva que

se ajuste a uma série de pontos.

Existem vários métodos para realizar esse ajuste, como

o método dos mínimos quadrados, o método da máxima

verossimilhança e o método do máximo coeficiente

de correlação linear.

Ajuste de curvas

Adrien-Marie Legendre

(1752-1833)

Em 1806, aos 56 anos, publica os primeiros resultados

sobre aproximação de curvas utilizando o Método

dos Mínimos Quadrados.

Do pintor Julien-Leopold Boilly 1820-Album de 73 portraits-charge

aquarellés des membres de I’Institut.

Ajuste de curvas

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

Em 1796 descobre e justifica o Método dos Mínimos

Quadrados, aos 19 anos.

Extraído de http://www.gauss-goettingen.de/gauss_en.php?navid=2&supnavid=1

em 13/8/2014, página da universidade onde lecionou Gauss.

Ajuste de curvas

Quantidade

(q)

Incidentes

(i)

1 164

2 272

3 348

4 416

5 500

Fonte: autoria própria

Ajuste de curvas

Qual é o problema?

Encontrar uma reta que passe o mais próximo possível de

todos os pontos dados.

Ajuste de curvas

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6

Fonte: autoria própria

Ajuste de curvas

Fonte: autoria própria

Ajuste de curvas

Fonte: autoria própria

Ajuste de curvas

Como funciona?

Ajuste de curvas

Consideremos n pontos do ℝ2, não todos situados na

mesma vertical, cujas coordenadas são:

(x1,y1), (x2, y2), (x3, y3) ... (xn, yn).

O problema consiste em encontrar uma reta que se ajuste

a esses pontos.

Ajuste de curvas

Fonte: página 57 do livro-texto

Ajuste de curvas

Essa nuvem de pontos é conhecida como gráfico de

dispersão. Há inúmeras maneiras de se encontrar a reta que

mais se aproxima, inclusive usando uma régua, por exemplo.

Contudo, uma maneira simples e de qualidade é o método

dos mínimos quadrados.

Ajuste de curvas

A ideia básica desse método consiste em considerar o

modelo mais simples de relacionar duas variáveis x e y.

A equação de uma reta dada pela sentença y = Ax + B tornará

mínima a soma dos quadrados dos desvios:

((d1)2 + (d2)

2 + (d3)2 + (d4)

2 + ... + (dn)2), em que di = yi – (Axi + B).

Tal reta é chamada de reta de mínimos quadrados,

cuja equação iremos determinar.

Ajuste de curvas

Os dados a serem ajustados são os (xi, yi), de forma

tal que a distância vertical di seja a menor possível.

A partir dessas distâncias, define-se que D é igual ao

somatório do quadrado dessas diferenças, isto é:

D(A, B) = Σ (di)2 = Σ(yi – (Axi + B))2.

Portanto, temos que: D(A, B) = Σ(yi – Axi – B)2

Ajuste de curvas

Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:

D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0

D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0

Ajuste de curvas

Os pontos críticos de D são obtidos resolvendo-se o sistema:

D(A) = 2Σ(yi – Axi – B)(-xi) = 0

D(B) = 2Σ(yi – Axi – B)(-1) = 0

Ou seja:

Σ(xiyi – (Axi)2 - Bxi) = 0 ⇔ Σxiyi - AΣ(xi)

2 =Bxi

Σ(yi – Axi – B) = 0 ⇔ Σyi - AΣxi – nB = 0

Ajuste de curvas

A solução do sistema é:

O método dos mínimos quadrados consiste basicamente

em obter-se a curva, dentro de uma família de curvas

preestabelecidas, que minimiza esse desvio.

Fonte: página 58 do livro-texto

Ajuste de curvas

Lembrete:

Quando usamos funções do primeiro grau para representar

essas curvas, temos as retas e, no caso das funções

quadráticas, temos as parábolas.

Ajuste de curvas – exemplo

Um comerciante deseja obter uma equação de demanda para

o seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada

(y) se relaciona com o seu preço unitário (x) por meio de

uma função do 1o grau y = ax + b.

Para estimar essa reta, fixou os preços em vários níveis e

observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir:

Qual a equação da reta de mínimos quadrados?

Fonte: página 59 do livro-texto

Ajuste de curvas

Solução:

Inicialmente, vamos escrever a seguinte tabela de dados:

Temos que n = 4 (quantidade de dados fornecidos).

Fonte: página 59 do livro-texto

Ajuste de curvas

Logo, A será dado por:

Fonte: página 59 do livro-texto

Ajuste de curvas

B será dado por:

Logo, a equação da reta procurada é:

Fonte: página 59 do livro-texto

Fonte: página 59 do livro-texto

Interatividade

Qual é o objetivo do Método de Mínimos Quadrados?

a) Ajustar uma reta a uma nuvem de pontos.

b) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que

as distâncias destes pontos a esta curva sejam mínimas.

c) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que

os quadrados das distâncias destes pontos a esta

curva sejam mínimos.

d) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte

que a soma dos quadrados das distâncias verticais

destes pontos a esta curva seja mínima.

e) Ajustar uma curva a uma nuvem de pontos de sorte que

os quadrados das distâncias destes pontos a esta

curva sejam máximos.

Tipos de ajustes de curvas

O tipo de ajuste mais simples é o ajuste linear ou

regressão linear, que relaciona duas variáveis x e y.

O modelo matemático usado e a equação de uma reta:

y = Ax + B, em que A e B são os parâmetros do modelo.

Tipos de ajustes de curvas

No caso em que precisamos relacionar uma variável dependente

y com p variáveis independentes, o tipo de ajuste é chamado de

ajuste linear múltiplo, representado por:

y = β0 + β1.x1 + β2.x2 + ... + βp.xp

Em que β0 , β1 , ..., βp são os parâmetros do modelo.

Tipos de ajustes de curvas

Quando o modelo usado para o ajuste da curva

não é uma reta, e sim uma parábola, o tipo de ajuste

que usamos e a regressão quadrática são dados por:

y = Ax2 + Bx + C em que A, B e C são os parâmetros do modelo.

Tipos de ajustes de curvas

Observações:

Qualquer que seja o tipo de ajuste, precisamos de métodos

para calcular esses parâmetros e encontrar a solução.

Dependendo do caso, da quantidade de variáveis e

parâmetros, o calculo não é tão simples e precisamos

de recursos computacionais para resolver o problema.

Tipos de ajustes de curvas

Observações:

Existem diversos softwares com as fórmulas programadas,

com os quais só precisamos fornecer os dados para obter os

resultados. Entre eles, o mais popular é o Excel, da Microsoft.

Regressão linear

Em análise estatística, o método que estuda a relação

entre diversas variáveis quantitativas ou qualitativas, de modo

que uma variável pode ser predita a partir de outra variável

(ou outras variáveis), é conhecido como análise de regressão.

Não se quer apenas analisar a associação existente entre

duas variáveis quantitativas (ou qualitativas), mas justificar

a hipótese a respeito da provável relação de causa e

efeito entre essas variáveis.

A variável X depende da variável Y?

Regressão linear

A análise de regressão é usada com a finalidade de previsão.

Nesse caso, queremos prever o valor da variável X em

função da variável Y.

Outra finalidade é o de estimar o quanto a variável Y influencia

ou modifica a variável X.

Regressão linear

O caso mais simples de regressão é quando temos duas

variáveis e a relação entre elas pode ser representada por

uma linha reta, que chamamos de regressão linear simples

ou ajuste linear simples.

Fonte: página 60 do livro-texto

Regressão linear

b0 é o coeficiente linear, também chamado intercepto;

é o valor que y assume quando x for zero.

Quando a região experimental inclui x = 0, então b0

é o valor da média da distribuição de y em x = 0.

Fonte: página 60 do livro-texto

Regressão linear

b1 é o coeficiente angular, expressa a taxa de mudança

em y, isto é, a mudança em y quando ocorre a mudança

de uma unidade em x.

Ele indica a mudança na média da distribuição de

probabilidade de y por unidade de acréscimo em x.

Página 60 da apostila

Regressão linear

O ajuste linear múltiplo aplica-se nos casos em que y

é uma função linear de duas ou mais variáveis lineares.

Nesse caso, procura-se calcular os valores de b0, b1, b2 ,b3, ... ,

bn, tais que a relação entre eles seja aproximada por uma

expressão do tipo: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn.

Regressão linear

No caso do ajuste linear múltiplo, resolver o sistema de

equações normais é resolver o sistema:

Fonte: página 61 do livro-texto

Regressão linear

Exemplo: determinar a equação do tipo y = b0 + b1x1 + b2x2

que melhor se ajusta a tabela a seguir:

Solução:

Logo:

y = 4,2 + 3,4 x1 – 6,5 x2

Fonte: página 61 do livro-texto

Fonte: página 61 do livro-texto

Fonte: página 61 do livro-texto

Regressão linear

Observações:

O caso do ajuste polinomial consiste em determinar um

polinômio (que pode ser de qualquer grau).

Quando se trata de um polinômio do 2º grau, dizemos que o

ajuste é uma regressão quadrática.

Regressão linear

y = b0 + b1x1 + b2x

2 + b3x3 + ... + bnxn

Para resolver o ajuste polinomial, usamos o método do ajuste

linear múltiplo, com a seguinte adaptação:

x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3, ... , xn = xn

Regressão linear

Portanto, o sistema fica assim:

Fonte: página 62 do livro-texto

Regressão linear

Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma

expressão do tipo y = b0 + b1x1 + b2 x

2.

Solução:

Fonte: página 62 do livro-texto

Fonte: página 62 do livro-texto

Regressão linear

Exemplo: ajustar os pontos da tabela a uma

expressão do tipo y = b0 + b1x + b2 x2.

Solução:

y = -2,018 + 11,332x – 1,222x2

Fonte: página 62 do livro-texto

Fonte: página 62 do livro-texto

Interatividade

Defina a equação da reta para a quantidade de incidentes

ao longo dos meses de 2011 e estime a quantidade de

chamados para o mês de agosto.

Mês Quantidade

1 1.017

2 879

3 1.135

4 1.082

5 975

6 902

7 1.037

a) 1096 chamados.

b) 996 chamados.

c) 896 chamados.

d) 796 chamados.

e) 696 chamados.

Fonte: autoria própria

Medidas de dispersão

Medidas de dispersão são aquelas usadas para nos dizer

o quanto os valores analisados estão distantes (dispersos)

do valor real. A mais comum é a média. Na realidade, a

média é uma medida de tendência central e o seu valor é

calculado por meio da soma dos valores dados, dividida

pelo número de dados.

Medidas de dispersão

Em determinadas análises, a média não é suficiente, pois

podemos ter dois grupos distintos com uma dispersão

diferente e mesmo assim o valor da média ser igual.

Medidas de dispersão

Exemplo:

Observe os dados nos grupos:

A = 3,3,3

B = 1,3,5

A média nos dois grupos é a mesma e igual a 3, mas a

variação dos dados observados no grupo A é diferente

da variação observada no grupo B.

Medidas de dispersão

Nesse caso, além de usar a medida de tendência, é

aconselhável usar medidas de dispersão para uma

análise mais completa. As mais usadas são a

variância e o desvio padrão.

Medidas de dispersão

Propriedades do desvio padrão

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os

valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma

variável por uma constante (diferente de zero), o desvio

padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.

Interatividade

Defina a variância e o desvio padrão para a quantidade

de incidentes ao longo dos meses de 2011.

Mês Quantidade

1 1.017

2 879

3 1.135

4 1.082

5 975

6 902

7 1.037

a) 8.562 e 2,16.

b) 4,67 e 93.

c) 8.562 e 93.

d) 4,67 e 2,16.

e) 7.027 e 84.

Fonte: autoria própria

Coeficiente de variação

O coeficiente de variação é usado para analisar e caracterizar

a dispersão dos dados observados com relação ao seu valor

médio, isto é, o coeficiente de variação é a razão entre o

desvio padrão e a média dos dados observados.

CV = (desvio padrão / média) x 100

Coeficiente de variação

Exemplo:

Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um

mesmo grupo de indivíduos:

Qual das medidas (estatura ou peso)

possui maior homogeneidade?

Fonte: página 64 do livro-texto

Coeficiente de variação

Solução:

Teremos de calcular o coeficiente de variação da estatura

e o do peso.

O resultado menor será o de maior homogeneidade

(menor dispersão ou variabilidade).

Coeficiente de variação

Solução:

Coeficiente de variação da estatura:

(5 / 175 ) x 100 = 2,85%

Coeficiente de variação do peso:

(2 / 68 ) x 100 = 2,94%

Fonte: página 64 do livro-texto

Coeficiente de variação

Solução:

No caso, as estaturas apresentam menor grau de dispersão

que os pesos.

Correlação entre variáveis

Para analisar como os valores entre duas variáveis estão

relacionados, podemos observar um diagrama de dispersão

ou analisar os resultados por meio de uma equação.

Correlação entre variáveis

A partir da análise do diagrama de dispersão, podemos verificar

se a correlação entre as duas variáveis é:

linear positiva: os pontos do diagrama têm como imagem uma

reta ascendente;

linear negativa: os pontos têm como imagem uma reta

descendente;

não linear: os pontos têm como imagem uma curva;

não há relação: os pontos não dão ideia de uma

imagem definida.

Coeficiente de correlação linear

Proposto por Karl Pearson, o coeficiente de correlação

(ou “r de Pearson”) é usado para obter a medida da

correlação linear.

Ele indica o grau de intensidade da correlação entre

duas variáveis e o sentido dessa correlação, isto é,

se a correlação é positiva ou negativa.

Coeficiente de correlação linear

É dado pela fórmula:

Em que: n = número de observações.

Os valores limites de r são -1 e +1.

Fonte: página 65 do livro-texto

Coeficiente de correlação linear

Resumindo:

r = -1 (correlação linear negativa);

r = 0 (pontos não correlacionados);

r = +1 (correlação linear positiva).

Coeficiente de correlação linear

Exemplos:

Fonte: página 65 do livro-texto

Interatividade

O Método dos Mínimos Quadrados é um processo de:

a) estimação estatística.

b) determinação exata das curvas.

c) interpolação.

d) aproximação de curvas.

e) cálculo de erros.

ATÉ A PRÓXIMA!